人教版八年级上册第2讲 与三角形有关的角讲义

第2讲与三角形有关的角

三角形内角和定理

(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.

(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°。

①如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，

②过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.

(3)理解与延伸：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；

②一个三角形中最少有一个角不小于60°；

③直角三角形两锐角互余；

④等边三角形每个角都是60°．

(4)作用：求角度，尤其是三角形中的角度计算。

【例1－1】填空：

(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；

(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；

(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝________°，∠C＝_________°.

【例1－2】如图，在△ABC中，∠CAB=∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，求∠ADC 的度数.

【例1－3】如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数。

【例1－4】若等腰三角形的一内角为40°，则顶角为（ ）

A. 40°

B. 100°

C. 70°或40°

D.40°或100°

直角三角形的性质与判定

(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．

如图所示，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，那么∠A ＋∠B ＝90°.

【例2－1】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是 ( )． A ．43° B ．47° C ．30° D ．60°

【例2－2】 如图所示，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，求证：△EPF 是直角三角形．

判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。

【例2－3】下列条件能确定△ABC 是直角三角形的条件有_____________ ①∠A+∠B=∠C ；② ∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=90°-∠B ； ④∠A=∠B=2

1

∠C ； ⑥∠A -∠B=∠C ；⑦∠A=2∠B=3∠C ；⑧∠A=

21∠B=3

1∠C 【例2－4】如图,在△ABC 中,∠ABC=60∘,∠ACB=54∘，BE 是AC 边上的高，CF 是AB 边

上的高，H 是BE 和CF 的交点，HD 是∠BHC 的平分线，求∠ABE ，∠ACF 和∠CHB 的度数。

三角形的外角

(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC 其中的一个外角．

练习：选出下图中∠1是△ABC 的外角的序号：_______________

注意：一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．

三角形外角的理解:外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．

【例3】 在△ABC 中，∠A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B 的两倍，那么∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝__________. 4.三角形外角性质

(1)1

B A

C

D (3)

1

A

B

C

D

(4)

A

B

D

1

(5)

E A

B

C

D

1

(6)

E

A

B C

D

1

(2)

1

A

B C D

性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

如图所示： ∠1＝∠B ＋∠C

∠B ＝∠1－∠C 或∠C ＝∠1－∠B ．

注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.

(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；

②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等． 【例4--1】填空：求出下列各图中∠1的度数.

(1)如图，∠1=______；(2)如图，∠1=______；(3)如图，∠1=______；

(4)如图，∠1=______；(5)如图，∠1=______；(6)如图，∠1=______.

【例4--2】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.

【例4--3】 填空：

(1)如图(1)，P 为△ABC 中BC 边的延长线上一点，∠A ＝50°，∠B ＝70°，则∠ACP ＝________°.

(2)如图(2)所示，已知∠ABE ＝142°，∠C ＝72°，则∠A ＝__________°，∠ABC ＝

1

B

A

C

D

第4题(1)30︒

30︒

(1)

1

B

A

C

D

第4题(2)

40︒

35︒

(2) A

B

C

D

1

第4题(3)

40︒ (3)

A

B

C

D

1

第4题(4)

120︒

85︒

(4) A

B

C

1

D

第4题

(5)70︒40︒

(5) A

D

1

C

B

第4题(6)

35︒ (6)