江苏省南通市天星湖中学2020-2021学年高二下学期3月周练数学试题(3.21) 含答案
高二数学3月月考试题文_2 2
2021-2021学年下学期高二年级数学学科3月考试试卷〔1〕在回归直线a x by ˆˆ+=中，1122211()()ˆ()n niii ii i nni i i i x x y y x y nxyb x x x nx====---==--∑∑∑∑，aˆ＝y －b ˆx ． 〔2〕HY 性检验公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 〔其中d c b a n +++=〕〔3〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1、点()3,1-P ，那么它的极坐标是〔 〕A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 2、假如有95%的把握说事件A 和B 有关，那么详细算出的数据满足〔 〕635.6.635.6.841.3.841.3.2222<><>K D K C K B K A ()()()以上都不对的值是纯虚数，则实数、若.1.1.1.231322D C B A x i x x x ±-+++-()()()()()6.02.1ˆ.4.52.1ˆ.32.1ˆ.22.1ˆ.2.1,3,2,,,,,,,42211+-=+-=+=+=-x yD x y C x yB x y A y x y x y x n n 则该回归直线方程为，率估计值为若其回归直线方程的斜其样本点的中心为关关系的数据、已知一组具有线性相5、把正整数按以下图所示的规律排序，那么从2021到2021的箭头方向依次为( )6、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度〞时，反设正确的选项是〔 〕60.60.60.60.大于假设三内角至多有两个大于假设三内角至多有一个假设三内角都大于假设三内角都不大于D C B A ()()i D i C i B i A z i z i z 4343.2323.4343.2323.,3337++--==+则满足、已知复数8、2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜测(f x ）的表达式为〔 〕. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+ 9、圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是〔 〕A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π10、与参数方程为)21x tt y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数等价的普通方程为〔 〕 A ．2214y x += B ．221(01)4y x x +=≤≤ C ．221(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤ 11、假设圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x 〔θ为参数〕，直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x 〔t 为参数〕，那么直线与圆的位置关系是〔 〕()=--++=∆∆r V ABC P r S S S S ABC P cb a Sr r S ABC c b a ABC 则体积为的四面体内切球的半径为的面积分别为的四个面面体类比这个结论可知：四则内切圆半径为的面积为的三边为、设,,,,,,,2,,,,,12432143214321432143214.3.2..S S S S VD S S S S V C S S S S V B S S S S V A ++++++++++++二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13、给出以下说法：(1)两个随机变量的线性相关性越强，那么相关系数的绝对值越接近1；(2)在残差图中，假设残差点比拟均匀地落在程度的带状区域内，那么说明选用的模型比拟适宜；〔3〕用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好;(4)比拟两个模型的拟合效果，可以比拟残差平方和的大小，残差平方和越小模型拟合效果越好. 其中正确的序号是 .14、圆的方程是222x y r +=,那么经过圆上一点()00,M x y 的切线方程为200x x y y r +=,类比上述性质，可以得到关于椭圆 22221x y a b+= 的类似的性质为经过椭圆上一点()00,M x y 的切线方程为 .15、在极坐标系中，点)6,2(πP ,那么过点P 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 .16、在复平面内，i 为虚数单位，假设复数z 满足11z iz +=+，那么z 在复平面内对应的点的轨迹方程为 .三、解答题〔本大题一一共6小题，一共计70分。
高二数学试题-天门中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题 解析版
cos x
sin x ，则不等式 f (sin x ) f (cos x ) 0 的解集
2
2
．
四、解答题
15．已知函数 f x ln x ax 1 .
试卷第 2页，共 3页
．
(1)当 a 1 时，求 f x 的最大值.
(2)讨论函数 f x 的单调性.
为 πl .
又圆锥的底面周长为 2πr ，所以 2πr πl ，即圆锥的母线长 l 2r .
所以圆锥的侧面积为 πrl 2πr 2 16π ，
解得 r 2 2 .
故选：C.
2．C
【分析】依题意可得 2 3 (m 1)m 0 ，求出 m 的值，再检验即可.
【详解】直线 l1 ： 2 x (m 1) y 4 0 与直线 l2 ： mx 3 y 2 0 平行，
A． x y 1 0
B． x y 1 0
C． x ln 2 y 1 0
D． x ln 2 y 1 0
）
6．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 1,0 , B 2,3 ，向量 OC mOA nOB ，且 m n 4 0 .
（
）
A．12
B．10
C．5
D． 2 log 3 5
4．已知函数 f x ln x 2 ln 4 x ，则 f x 的单调递增区间为（
A． 2,3
B． 3, 4
C． ,3
）
D． 3,
x
5．已知函数 f x 2 ，则函数 f x 的图象在点 0, f 0 处的切线方程为（
江苏省高二下学期3月联考数学试题(解析版)
一、单选题1．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）()1,,2a n = ()2,1,2b =- 2a b - ba rA B C D 【答案】A【分析】先由向量的数量积运算求出，再结合向量模的运算求解即可. 52n =【详解】解：由空间向量，，若与垂直，()1,,2a n = ()2,1,2b =- 2a b - b则，(2)0a b b -⋅=即，22a b b ⋅= 即， 249n +=即， 52n =即，51,,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭即 a ==r 故选：A.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量模的运算，属基础题. 2．在的展开式中，的系数为（ ）()62x x y ++52x y A ．60 B ．15 C ．120 D ．30【答案】A【分析】方法1：运用分步乘法原理计算可得结果. 方法2：运用二项式定理的通项公式计算可得结果.【详解】方法1：可以看作6个相乘，从中选2个y ，有种选法；再从剩()62x x y ++()2x x y ++26C 余的4个括号中选出3个x ，最后一个括号选出，有种选法；所以的系数为2x 3141C C 52x y ．231641C C C 60=方法2：因为，所以其展开式的通项公式为， ()()6622⎡⎤++=++⎣⎦x x yx x y 2616C ()r r r r T x x y -+=+令，得展开式的通项公式为，再令，得，2r =24()x x +24844C ()C k k k k kx x x --=85k -=3k =所以的系数为．52x y 236460C C =故选：A.3．已知函数，则实数（ ） ()()321,103f x x x ax f =+-='=a A ．4 B ．3C ．D ．12【答案】B【分析】求导，利用即可.()10f '=【详解】因为，()22f x x x a =+-'所以， ()11230f a a '=+-=-=则， 3a =故选：B.4．已知，若三向量共面，则实数等于（ ） (2,1,3),(1,4,2),(1,3,)a b c λ=-=--= ,,a b cλA ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】利用向量共面定理，设，列出方程组，即可求出实数． c ma nb =+λ【详解】，三向量共面，(2,1,3),(1,4,2),(1,3,)a b c λ=-=--= ,,a b c可设，即，∴c ma nb =+ (1,3,)(2,4,32)m n m n m n λ=--+-，解得． 214332m n m n m n λ-=⎧⎪∴-+=⎨⎪-=⎩1,1,1m n λ===故选：D ．5．李中水上森林公园原为荒滩，经过治理，成为江苏省最大的人工生态林.园内栽种了10万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏.这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园.游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩.甲将在二月蓝花海之前的任意一站下竹筏，乙将在童话国之前的任意一站下竹筏，他们都至少坐一站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．793419716【答案】B【分析】先求解所有可能的情况数，再根据游客乙下竹筏的所有可能，分别分析甲比乙后下的情况数再求解即可【详解】由题意，甲可能下竹筏的站号有共16种情况，乙可能下竹筏的站号有2,3,4,...,17共7种情况，2,3,4,...,8故甲乙所有下竹筏的情况数有种.716112⨯=当乙在2号站下时，满足甲比乙后下的情况数有15种；当乙在3号站下时，满足甲比乙后下的情况数有14种；…，当乙在8号站下时，满足甲比乙后下的情况数有9种；共种情况. 151413...984++++=故甲比乙后下的概率为 8431124=故选：B6．若函数在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） ()3e x f x ax =-A ． B ．C ．D ．(),3-∞(),0∞-()0,3()3,+∞【答案】C【分析】求出函数的导数，由有小于0的根列式求解作答.()f x ()f x '()0f x '=【详解】由函数求导得：，因函数在R 上有小于0的极值点， ()3e x f x ax =-()3e x f x a '=-()f x 则有小于0的根，即当时，，而函数在R 上单调递增， ()0f x '=0x <3e x a =3e x 则当时，，于是得，0x <03e 3x <<0<<3a 经验证，当时，函数在R 上有小于0的极值点， 0<<3a ()3e x f x ax =-所以实数a 的取值范围是. ()0,3故选：C7．据说，笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：国王不懂，将这封信交给了公主，公主()1sin (0)a a ρθ=->用笛卡尔教她的极坐标知识，画出了这个图形“心形线”．明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣.某同学利用GeoGebra 电脑软件将，()f x =“心形线”．观察图形，当时，()g x =-0x >的导函数的图象为（ ）()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据图象的单调性判断导数正负排除BC ，再由函数增长快慢判断AD ，即可得解.【详解】因为的图象在轴及下方， ()g x =-()g x x 当时，由图象知单调递增，所以，故排除BC ；0x >()g x ()0g x '>又当且时，图象越来越“陡”，即增长越来越快，故函数导数越来越大， 1x <2x →()g x 据此排除D. 故选：A8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）1sin 2a =ln3ln2b =-98c =a b c A ． B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>【答案】D【分析】构造，利用导数求其单调性可判断的大小，构造()()sin ln 1f x x x =-+,a b，再由为锐角时，，即()21e 12x g x x x =---9182->αsin αα<可得到答案.【详解】设，()()sin ln 1f x x x =-+π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则， ()1cos 1f x x x '=-+令，，()()m x f x '=()()21sin 1m x x x '=-++因为在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递sin y x =π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭()211y x =+π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭()m x 'π0,6⎛⎫⎪⎝⎭减，由，所以， ()2π11010,062π16m m ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭()00π0,,60x m x ⎛⎫∃⎪'∈⎝⎭= 所以当，所以在上单调递增， ()()000,,x x x m ∈'>()m x ()00,x 当，所以在上单调递减，()00π,,6x m x x ⎛⎫∈⎪'⎝⎭< ()m x0π,6x ⎛⎫⎪⎝⎭又，，()00m =10π16π6m ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+从而即在上恒成立，()0m x >()0f x ¢>π0,6⎛⎫⎪⎝⎭故在上单调递增，()f x π0,6⎛⎫⎪⎝⎭所以，即， ()()00f x f >=()11sin ln 1sin ln(1)ln 3ln 222x x >+⇒>+=-即，a b >构建，则， ()21e 12xg x x x =---()e 1x g x x '=--令，则，()e 1xx x ϕ=--()e 1x x ϕ'=-当时，，则在单调递增，()0,x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ()0,∞+所以，即，()()00e 010x ϕϕ>=--=()0g x '>故在上单调递增，则， ()g x ()0+∞，()()00g x g >=故在恒成立， 21e 12xx x -->()0+∞，取， 12x =9182>而由为锐角时，可知，， αsin αα<11sin 22<由不等式传递性知， c a >综上可得：. c a b >>故选：D.【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断， （2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．展开式的常数项为20B ．被7除余161x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1008C ．展开式的第二项为D ．被63除余161x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭46x -1008【答案】BCD【分析】利用二项展开式的通项及二项式定理即可求解.【详解】对于A ，的展开式的通项为. 61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()6621661C 1C kk k k k kk T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，所以展开式的常数项为，故A 错误；620k -=3k =61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()3361C 20-=-对于B ，()100100010001991991991000100100100100100871C 71C 71C 71C 71=+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ ，因为都是的倍数，所以100199991001007C 7C 71=+⨯++⨯+ 100199991001007,C 7,,C 7⨯⨯ 7是的倍数，所以被7除余1，故B 正确；100199991001007C 7C 7+⨯++⨯ 71008对于C ，的展开式的第二项为，故C 正确；61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()11161162141166116T C x C x x x --⨯+⎛⎫=⨯⨯-=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭对于D ，()()5050100250050014914914950050505050508864631C 631C 631C 631C 631===+=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ ，因为都是的倍数，所以5014949505063C 63C 631=+⨯++⨯+ 5014949505063,C 63,,C 63⨯⨯ 63是63的倍数，所以被63除余1，故D 正确. 5014949505063C 63C 63+⨯++⨯ 1008故选：BCD.10．如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，111ABC A B C -ABC ∠AC 2a =，，是的中点，点在棱上，要使平面，则的值可能是（ ）13BB a =D 11A C E 1AA CE ⊥1B DE AEA ．B ．C ．D ．a 32a 2a 52a 【答案】AC【分析】利用已知条件判断平面，然后说明，设，然后1B D ⊥11ACC A CE DE ⊥(03)AE x x a =<<可得，又，然后可求出答案. 2222224,(3)CE x a DE a a x =+=+-2222910CD a a a =+=【详解】由已知得又D 是的中点， 1111,A B B C =11A C 所以，又侧棱底面ABC ， 111B D A C ^1AA ⊥可得侧棱平面，又平面， 1AA ⊥111A B C 1B D ⊂111A B C 所以，11AA B D ⊥因为，所以平面， 1111AA AC A ⋂=1B D ⊥11AAC C 又平面，所以， CE ⊂11AAC C 1B D CE ⊥故若平面，则必有.CE ⊥1B DE CE DE ⊥设，则， (03)AE x x a =<<2222224,(3)CE x a DE a a x =+=+-又，2222910CD a a a =+=所以， 22222104(3)a x a a a x =+++-解得或. x a =2a 故选：AC11．已知函数，，则下列结论正确的是（ ） ()32x x f x =-x ∈R A ．函数在上单调递增 ()f x (0,)+∞B ．存在，使得函数为奇函数 a ∈R ()xf x y a =C ．任意，x ∈R ()1f x >-D ．函数有且仅有2个零点 ()()g x f x x =+【答案】ABC【分析】A 选项：通过导数判断函数单调性；B 选项：取特殊值验证结论的存在；C 选项：通过放缩，得到函数值的范围；D 选项：通过函数值的符号，判断零点个数.【详解】对于A ：，3()3ln 32ln 22ln 3ln 22x xxxf x ⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦'因为，所以，，因此，,()0x ∈+∞21x>312x ⎛⎫> ⎪⎝⎭3ln 3ln 3ln 22x⎛⎫>> ⎪⎝⎭故，所以在上单调递增，故A 正确；()0f x '>()f x (0,)+∞对于B ：令，令，定义域为，关于原点对a=xxy =-()xxh x =-R 称，且，故为奇函数，B 正确；()()xxxxh x h x ---=-=-=-()h x 对于C ：时，；时，；0x >3()2102x xf x ⎡⎤⎛⎫=->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦0x =()0f x =时，；C 正确；0x <()21x f x >->-对于D ：时，，时，，0x =()0g x =0x >3()322102xx x xg x ⎡⎤⎛⎫>-=->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦时，，所以只有1个零点，D 错误；0x <3()322102x xxxg x ⎡⎤⎛⎫<-=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()g x 故选：ABC12．下列说法正确的是（ ）A ．空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，则一共可以作210个不同的四面体B ．甲、乙、丙3个人值周，从周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出24种不同的值周表C ．从0，1，2，，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有L 26543个D ．4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有144种 【答案】AD【分析】直接利用组合数计算，判定A ，对甲的值周按照是否在星期六分类，利用组合结合分步乘法计数原理计算，从而判定B ，按照首位分类，利用排列数计算可以判定C ，利用先分组后排列的方法，结合乘法原理和排列组合计算判定D.【详解】对于，空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，可以有A 10441种取法，即可以作个不同的四面体，A 正确；410C 210=210对于B ，分种情况讨论：①甲排在星期六，有种排法；②甲不排在星期六，有21244C C 24=种排法；则值班方案种数为种，B 不正确；2243C C 18=241842+=对于C ，分种情况讨论：①五位数的首位为､､､､､､､时，有个五位数，223456789498A 24192=②五位数的首位为时，其千位数字不能为､，有个五位数，102387A 2352=则共有个大于五位数，C 不正确；24192235226544+=13000对于D ，分步进行分析：①将个小球分为组，有种分组方法，②在个盒子中任选24324C 6=43个，放入三组小球，有种情况，1343C A 24=则有种不同的放法，D 正确； 624144⨯=故选：AD.三、填空题13．_________．（用数字作答）43122138848484C C C C C C C +⋅+⋅+⋅=【答案】494【分析】根据组合数计算公式计算即可.【详解】，43122138848484C C C C C C C 7056428684494+⋅+⋅+⋅=+⨯+⨯+⨯=故答案为：49414．函数的极值点为，则______.()ππ28sin ,,22f x x x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭0x 0πtan 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】-3【分析】由极值点的定义可求，再由同角关系，两角和正切公式可求.0sin x 0πtan 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】因为，()ππ28sin ,,22f x x x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭所以()()28cos cos 8f x x x x x '=-+=-因为函数的极值点为，()ππ28sin ,,22f x x x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭0x 所以，且，()00cos 80x x -=ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以，所以，0sin x =0000sin cos tan 2cos x x x x ====所以. 000tan 1tan 341tan x x x π+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭故答案为：-3.15．如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上ABCD ABEF ABCD ABEF M AC 移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________．N BF (0CM BNa a ==<<MN【分析】首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，再求的长的最小值． MN MN 【详解】因为平面平面，平面平面， ABCD ⊥ABEF ABCD ⋂ABEF AB AB BE =⊥，所以平面，所以两两垂直.BE ⊥ABCD AB BC BE ，，过点M 作，垂足分别为G ，H ，连接，易证. MG AB MH BC ⊥⊥，NG NG AB ⊥因为，所以 CM BNa ==CH MH BG GN ===以B 为坐标原点，分别以所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐BA BE BC ，，标系，B xyz -则 ,0,1,,0M N ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎭⎭==当 a =MN． 16．设实数，若不等式恰好有三个整数解，则实数的取值范围为_________．0m >e ln 0mx m x -<m 【答案】 ln 5ln 2,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由题知恰好有三个整数解，进而结合函数得恰好l ln e e n mx mx x x <()ln ,1f x x x x =≥ln xm x<有三个整数解，再根据函数的性质，数形结合求解即可. ()ln ,1xg x x x=≥【详解】解：因为不等式恰好有三个整数解e ln 0mx m x -<所以不等式恰好有三个整数解，即恰好有三个整数解， e ln 0mx mx x x -<l ln e e n mx mx x x <令，则在上恒成立， ()ln ,1f x x x x =≥()ln 10f x x '=+>[)1,+∞所以函数在上单调递增， ()ln f x x x =[)1,+∞所以，不等式恰好有三个整数解，即恰好有三个整数解， e mx x <ln xm x<令，则， ()ln ,1xg x x x =≥()21ln x g x x -'=所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减， [)1,e x ∈()0g x '>()g x ()e,x ∈+∞()0g x '<()g x 因为， ()()()()ln 22ln 2ln 4ln 510,24,52445g g g g ======所以，作出函数的图象如图所示，()g x所以，要使恰好有三个整数解，则，即，ln x m x <()()52g m g ≤<ln 5ln 252m ≤<所以，实数的取值范围为 m ln 5ln 2,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为： ln 5ln 2,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于构造函数，结合函数同构方法将问题()ln ,1f x x x x =≥转化为恰好有三个整数解问题求解即可. ln xm x<四、解答题17．（1）解不等式；288A 6A x x -<（2）若，求正整数．2222345C C C C 363n ++++= n 【答案】（1）；（2）.8x =13n =【分析】（1）根据排列数计算公式化简后代入检验求解即可；（2）由组合数的运算及组合数的性质化简得出方程，验证满足，由单调性确定唯一解即可.13n =【详解】（1）因为，288A 6A x x -<所以且，，8!8!6(8)!(10)!x x <⨯--28x ≤≤*x ∈N 即且，，116(10)(9)x x <⨯--28x ≤≤*x ∈N 经验算，可解得；8x =（2）因为2222322223453345C C C C C C C C C 1n n +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+-，32223223445551C C C C 1C C C 1C 1363n n n +=+++⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-==-=所以，则满足题意，且在且时递增，(1)(1)3646n n n +-=13n =31C n +*n ∈N 4n ≥因此是唯一解.13n =18．如图所示，四棱锥中，，S ABCD -2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=︒CB BD ==，平面平面.SB SD =SBD ⊥ABCD（1）求证：平面平面； SBD ⊥SBC （2）若点P 在线段上，且，若平面与平面所成锐二面角大小为，求的SC CPCSλ=ABP SBD 60︒λ值.【答案】（1）见解析（2）. 23λ=【解析】（1）证明平面，平面平面即得证；（2）以A 为原点，分别以BC ⊥SBD SBD ⊥SBC AD，和平行于的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法得到ABSE A xyz -，解方程即得解.12=【详解】（1）证明：因为， 2290DAB ADC ABD BCD ∠=∠=∠=∠=︒故，故.90CBD ∠=︒BC BD ⊥又平面平面，平面平面，平面， SBD ⊥ABCD SBD ABCD BD =BC ⊂ABCD 故平面；BC ⊥SBD 因为平面，故平面平面； BC ⊂SBC SBD ⊥SBC（2）设E 为的中点，连接，因为，BD SE SB SD ==所以，又平面平面，故平面，SE BD ⊥SBD ⊥ABCD SE ⊥ABCD 如图，以A 为原点，分别以，和平行于的方向为x ，y ，z 轴正方向， AD ABSE 建立空间直角坐标系，A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()0,2,0B ()2,4,0C ()2,0,0D ()1,1,2S 因为，则， CP CS λ=()()1,3,2,3,2CP CS λλλλλ==--=-- 所以，()2,43,3P λλλ--易得平面的一个法向量为，SBD ()2,2,0BD =设为平面的一个法向量，，， (),,n x y z =ABP ()0,2,0AB = ()2,43,2AP λλλ=-- 由得不妨取.0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ()()20,24320,y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩()2,0,2n λλ=- 因为平面与平面所成锐二面角为， SBD ABP 60︒，12=解得，（不合题意舍去）， 23λ=2λ=-故. 23λ=【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间二面角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19．请从下列三个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题.①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；③展开式中有且只有第2545四项的二项式系数最大.已知在的展开式中，___________.()2*nx n N ⎛∈ ⎝(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项；(2)求展开式中的所有有理项.（注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.） 【答案】(1)，第五项 60(2)63364,240,60,x x x -【分析】根据所选的项，结合所给条件分别有①，②，③根据有且只有第1225n n C C =11222(1)24||(1)25n n n n C C ---=-四项的二项式系数最大，求n 值，均为.6n =（1）将代入二项式确定展开式通项，令的指数为0时求，进而求出常数项； 6n =x r （2）将代入并写出展开式通项，再根据有偶数，从而可确定有理项．6n =232n r-【详解】（1）由二项式知：展开式通项为，2321(2)((1)2n rr n rr r n r r r nn T C x C x ---+==-①第2项与第3项的二项式系数分别为、，故，1nC 2nC 1225n n C C =∴，整理得，又，解得.2(1)52n n n =⨯-260n n -=*n ∈N 6n =②第2项与第3项的系数分别为，，则有，解得. 11(1)2n nC --222(1)2n nC --11222(1)24||(1)25n n n n C C ---=-6n =③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大，可知.展开式共有7项，从而可知. 6n =由上知：展开式通项为，1236216(1)2r r rr r T C x--+=-当，有时，常数项为. 12302r-=4r =464456(1)260T C -=-=（2）由上知：的展开项通项为，要求有理项，可知，1236216(1)2r r rr r TC x--+=-0,2,4,6r =∴有理项分别为，，，，即为12060026(1)2C x --1232262226(1)2C x-⨯--1234464426(1)2C x-⨯--1236666626(1)2C x-⨯--63364,240,60,x x x -20．如图所示，平面，四边形为直角梯形，四边形ADFE 为矩形，EA ⊥ABCD ABCD ，．90ABC BAD ∠=∠=︒21EA AB BC AD ====(1)记平面平面，求证：平面；EAB ⋂ECD l =l ⊥BCFE (2)在线段上是否存在点，使得二面角长；若FC P P BD C --PC 不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 1PC =【分析】（1）延长、交于点，连接即为交线，证明，，由线面垂直BA CD M EM l l BE ⊥l BC ⊥的判定定理即可证明； （2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系, 设，利用向量{},,AD AB AECP CF λ=(01)λ<<法求解即可.【详解】（1）延长、交于点，连接即为交线，BA CD M EM l在直角梯形中，ABCD 由于，， 90ABC BAD ∠=∠=︒2BC AD =所以为的中点，则有， A BM EA AB AM ==因为平面，平面， EA ⊥ABCD BM ⊂ABCD 所以．EA BM ⊥则为等腰直角三角形，， EBM △BEM 90∠=︒即．l BE ⊥因为平面，平面， EA ⊥ABCD BC ⊂ABCD 所以.．EA BC ⊥又因为，平面，， AB BC ⊥AB AE ⊂、BEM AB AE A = 所以平面，BC ⊥BEM 因为平面，所以，l ⊂BEM l BC ⊥又因为平面，， ,BC BE ⊂BCFE BC BE B ⋂=所以平面．l ⊥BCFE （2）由平面，且AD 、AB 在面ABCD 内，又，所以两两互相EA ⊥ABCD 90BAD ∠=︒AD AB AE 、、垂直，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．{},,AD AB AEA xyz-则，11(0,1,0),(1,1,0),(,0,0),(0,0,1),(,0,1)22B C D E F 所以，，1(,1,0)2BD =- 1(,1,1)2CF =-- 设，则，CP CF λ=(01)λ<<1(,,)2CP λλλ=--所以， 1(1,,)2BP BC CP λλλ=+=-- 设平面的一个法向量为，BDP (,,)m x y z =由，得：，0m BD m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1021102x y x y z λλλ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪--+= ⎪⎪⎝⎭⎩令，则，所以，2x =221,y z λλ-==22(2,1,m λλ-=而平面的一个法向量为，BCD (0,0,1)n =则，cos ,m n < 由于二面角，则P BD C --cos ,m < 所以，则或，2222()12265()λλλλ-=-+23λ=2λ=因为，所以， 01λ<<23λ=又，所以．32CF =1PC =21．某展览会有四个展馆，分别位于矩形的四个顶点、、、处，现要修建如图中实ABCD A B C D 线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百8AB =6AD =米，且．AE DE BF CF ===(1)设，求出步道的总长（单位：百米）关于的函数关系式；（参考数据，DAE x ∠=y x 3π4tan103=）1.732=(2)求步道的最短总长度（精确到0.01百米）． 【答案】(1) 1286tan (01os 3πc y x x x =+-<<(2)18.39百米【分析】（1）若设，运用三角函数表示、、，进而写出y 与x 的关系式； DAE x ∠=AE FN DE （2）运用导数研究函数的最值即可.【详解】（1）设直线EF 与AD ，BC 分别交于点M ，N ，设，则，， DAE x ∠=3cos AE x=3tan FN ME x ==，86tan EF MN FN ME x =--=-则，解得， 86tan 0x ->4tan 3x <又因为，所以，π02x <<03π10x <<所以）. 1286tan (01os 3πc y x x x =+-<<（2）， ()1286tan o 3π0c 10s f x x x x ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，令，可得， ()23π112sin 60cos 0x f x x x -⎛⎫'=<< ⎪⎝⎭()0f x '=π6x =当时，，当时，， π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<10π,63πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增，()f x (0,)6π0π,3π16⎛⎫⎪⎝⎭故当时，取得极小值（最小值） π6x =()f x （百米），π818.396f ⎛⎫=+≈ ⎪⎝⎭所以步道的最短总长度约为18.39百米. 22．已知函数的最大值是． ()ln x a f x x+=12(1)求实数的值；a (2)设函数，若，使，求实数的取值范围．()e 2xg x =0x ∃>()()g x f x k ≤+k 【答案】(1) 1ln 2a =-(2) [1,)+∞【分析】（1）求出函数导数，分析函数单调性，据此求出函数的最大值即可得解； （2）构造函数，求导后由局部再构造函数，利用导e ln 1ln 2()()()2x x F x g x f x x +-=-=-2e ()ln 22x x xG x =+数可得函数单调性，利用零点存在性定理确定唯一零点的大致范围，由此可知为函数最小()0F x 值，再由隐零点的满足条件化简即可得解. ()0F x 【详解】（1）求导，得，令 ， 解得 ．21ln ()x a f x x --'=1ln 0x a --=1e x α-=当 时， ；当 时， ，10e x α-<<()0f x '>1e x α->()0f x '< 所以在 上单调递增， 在上单调递减，()f x ()10,e α-()1e ,α-+∞所以当 时， 函数有最大值， 即，1e x α-=()f x ()1111e 2ea a f --==所以1ln 2a =-（2）令，e ln 1ln 2()()()2x x F x g x f x x+-=-=-求导， 得2x22e ln e ln 2ln 22()2x x xx F x x x+-'=-=令， 求导得， 2e ()ln 22x x xG x =+()222e 1()2xx G x x+'=+当时， ， 所以在 上单调递增.0x >()0G x '>()G x (0,)+∞因为()()224222244e e 2e e2e ln 2e 10,(1)ln 20222e e G G ------⋅=+=-<=->所以存在唯一的， 使，()202e ,1x -∈0200e ln 022x x x+=当时， ;00x x <<()0,()0G x F x <'<当时， ，0x x >()0,()0G x F x >'>所以在 上单调递减， 在上单调递增， ()F x ()00,x ()0,x +∞由， 得0200e ln 022x x x+=002ln0000222e ln ln e x x x x x x ==⋅构造函数， 求导， 得，()e (0)x h x x x =>()(1)e 0x h x x '=+>所以在 上单调递增， 又，所以()h x (0,)+∞()002ln h x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭00ln 2ln ,x x =-所以. ()0000000ln 1ln 21e 112x x x k F x x x x +--≥=-=-=故实数的取值范围是k [1,)+∞【点睛】关键点点睛：构造后，由导数知函数在 上单调递增，需要找2e ()ln 22x x xG x =+()G x (0,)+∞到两个合适的值，确定隐零点的范围是解题的第一个关键点，当确定存在唯一的， 使()202e ,1x -∈后，利用隐零点得到函数极值，再由隐零点满足的条件构造函200e ln 022x x x +=002ln 0000222e lnln e xx x x x x ==⋅数，利用单调性得出是解题的第二个关键所在，解决这两个关键点，即可得解.00ln 2ln x x =-。
2020-2021学年江苏省南通市高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x2<4x,x∈N}，则A∩B=()A. [0,2]B. (0,2]C. {0,1，2}D. {1,2}2.已知复数z=−12+√32i，则z2+z=()A. −1B. 1C. 12+√32i D. √32−12i3.已知a=π−2，b=−log25，c=log213，则()A. b>a>cB. c>b>aC. a>c>bD. a>b>c4.已知等比数列{a n}的前6项和为1894，公比为12，则a6=()A. 738B. 34C. 38D. 245.英国数学家泰勒(B.Taylor,1685−1731)发现了如下公式：sinx=x−x33!+x55!−x7 7!+⋯.根据该公式可知，与−1+13!−15!+17!−⋯的值最接近的是()A. cos57.3°B. cos147.3°C. sin57.3°D. sin(−32.7°)6.设F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点.点P在C上，且PF1，F1F2，PF2成等比数列，则C的离心率的最大值为()A. 12B. 23C. 34D. 17.为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为()A. 23B. 13C. 16D. 1128.若x1，x2∈(0,π2)，则“x1<x2”是“x2sinx1>x1sinx2”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.如图是函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象，则()A. f(x)的最小正周期为πB. 图象关于(−2π3,0)对称C. f(−π12)=1D. f(x)的图象向右平移π6个单位，可以得到y =cos2x 的图象10. 已知四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥平面ABCD ，则( )A. ∠PCD 是PC 与AB 所成的角B. ∠PAD 是PA 与平面ABCD 所成的角C. ∠PBA 是二面角P −BC −A 的平面角D. 作AE ⊥PB 于E ，连结EC ，则∠AEC 是二面角A −PB −C 的平面角11. 过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与C 相交于P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)两点.若|PQ|的最小值为6，则( )A. 抛物线C 的方程为y 2=6xB. PQ 的中点到准线的距离的最小值为3C. y 1y 2=−36D. 当直线PQ 的倾斜角为60°时，F 为PQ 的一个四等分点12. 在△ABC 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则下列命题正确的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ <0，则△ABC 为钝角三角形B. a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ <0C. 若a ⃗ ⋅b ⃗ >b ⃗ ⋅c ⃗ ，则|a ⃗ |<|c ⃗ |D. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|c ⃗ −b ⃗ |，则|a ⃗ |=|c ⃗ | 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若(x +√a)6的展开式中x 的系数为30，则a = ______ ．14. 某公司于2021年1月推出了一款产品A ，现对产品上市时间x(单位：月)和市场占有率y 进行统计分析，得到如表数据：x 1 2 3 4 5 y0.0020.0050.0100.0150.018由表中数据求得线性回归方程为ŷ=0.0042x+â，则当x=10时，市场占有率y 约为______ ．15.已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=ln ax.若f(e2)=1，则a=______ ．16.一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60°，且下底面边长是上底面边长的2倍.若该棱台的体积为7√36，则其下底面边长为______ ，外接球的表面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=0，S6=3(a7−1)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n，求满足不等式1b1+1b2+1b3+⋯+1b n>14(b1+b2+b3+⋯+b n)的正整数n的集合．18.在①asinB=bsin B+C2；②AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33S；③√3asinC+acosC=b+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．问题：在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，D是BC的中点.若a=√7，b=2，且______，求A及AD的长．19.某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为n的样本进行调查.调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的1315，学习兴趣高的学生占样本容量的23，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的35．(1)完成下面2×2列联表.若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量n 的最小值；(2)该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X)． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB//CD ，∠BAD =60°，AB =AD =12CD =2，E 为棱PD 上的一点，且DE =2EP =2．(1)证明：PB//平面AEC ； (2)求二面角A −EC −D 的余弦值．21. 设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线y =2x 的交点分别为A ，B ，四边形AF 1BF 2的面积为4． (1)求双曲线C 的方程；(2)已知l 为圆O ：x 2+y 2=43的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．22. 设函数f(x)=ax −1+e x ，已知x =0是函数g(x)=f(x)−2x 的极值点．(1)求a ；(2)当x ∈[0,π2)时，若f(x)≥msin2x ，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2<4x,x ∈N}={x|0<x <4,x ∈N}={1,2，3}， ∴A ∩B ={1,2}． 故选：D ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z =−12+√32i ，∴z 2+z =z(z +1)=(−12+√32i)(12+√3i)=(√32i)2−(12)2=−1．故选：A ．根据已知条件，运用复数的运算法则，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵a =π−2=1π2，∴0<a <1， ∵b =−log 25=log 215，c =log 213，15<13，∴log 215<log 213，即b <c <0．∴a >c >b ， 故选：C ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.【答案】B【解析】解：根据题意，等比数列{a n}的前6项和为1894，公比为12，则有S6=a1(1−q6)1−q =1894，解可得a1=24，则a6=a1q5=34；故选：B．根据题意，由等比数列的前n项和公式可得S6=a1(1−q6)1−q =1894，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意可知，sin(−1)=−1+13!−15!+17!−⋯，因为1弧度≈57.3°，所以sin(−1)≈sin(−57.3°)，由诱导公式可得sin(−α)=−sinα，sinα=cos(π2−α)，cos(π−α)=−cosα，所以sin(−57.3°)=−sin57.3°=−cos32.7°=cos(180°−32.7°)=cos147.3°，则与−1+13!−15!+17!−⋯的值最接近的是cos147.3°．故选：B．由题意得到sin(−1)=−1+13!−15!+17!−⋯，结合1弧度≈57.3°以及诱导公式进行化简，即可得到答案．本题考查了简单的合情推理的应用，主要考查了三角函数诱导公式的运用，弧度制与角度制关系的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为P在椭圆上，由椭圆的定义得PF1+PF2=2a①；由PF1，F1F2，PF2成等比数列，所以(2c)2=PF1⋅PF2②；由均值不等式PF1+PF22≥√PF1⋅PF2及①②，得a≥2c；所以e=ca ≤12，当且仅当PF1=PF2时，等号成立．故选：A．利用定义得到PF1，PF2的等量关系，再结合题目条件及基本不等式建立a，c的不等关系，进而求最值．本题考查椭圆中焦点三角形的问题，重点考查椭圆的定义及利用不等式求最值，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数n=C42C42=36，甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数m=C42C21C21=24，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为P=mn =2436=23．故选：A．甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数n=C42C42=36，甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数m=C42C21C21=24，由此能求出甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵x1，x2∈(0,π2)，∴要使x2sinx1>x1sinx2即使sinx1x1>sinx2x2，令f(x)=sinxx ，x∈(0,π2)，f′(x)=xcosx−sinxx2，令ℎ(x)=xcosx−sinx，ℎ′(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx<0，故ℎ(x)=xcosx−sinx在(0,π2)上为减函数，且ℎ(0)=0，故f′(x)<0，故f(x)=sinxx 在(0,π2)上为减函数，故“x 1<x 2”是“sinx 1x 1>sinx 2x 2”的充要条件，即“x 1<x 2”是“x 2sinx 1>x 1sinx 2”成立的充要条件， 故选：C ． 由题意转化为判断sinx 1x 1>sinx 2x 2，从而构造函数f(x)=sinx x，x ∈(0,π2)，利用导数判断函数的单调性，从而求得．本题考查了充分、必要条件的判断及函数的单调性的判断，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而判断充分、必要条件，其中构造函数并利用导数判断函数的单调性为难题，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由图象可知，T2=2π3−π6=π2，所以f(x)的最小正周期为π， 故选项A 正确； 因为T =2πω=π，可得ω=2，又(π6,0)为“五点法”中的第二个点， 则2×π6+φ=π2，解得φ=π6， 所以f(x)=cos(2x +π6)， 因为f(−2π3)=cos[2×(−2π3)+π6]≠0， 则(−2π3,0)不是f(x)的对称中心，故选项B 错误；f(−π12)=cos[2×(−π12)+π6]=1，故选项C 正确；f(x)=cos(2x +π6)的图象向右平移π6个单位， 可得函数y =cos[2(x −π6)+π6]=cos(2x −π6)， 故选项D 错误． 故选：AC ．利用图象求出函数的最小正周期，即可判断选项A ，由周期公式求出ω，由特殊点求出φ，即可得到函数f(x)的解析式，求解函数值即可判断选项B，C，利用图象变换求出变换后的解析式，即可判断选项D．本题考查了三角函数图象和性质的综合应用，主要考查了三角函数解析式的求解，周期公式的应用，三角函数对称中心的理解与应用，三角函数的图象变换等，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．10.【答案】AB【解析】解：作出图象如图所示，因为ABCD是矩形，则AB//CD，所以∠PCD是PC与AB所成的角，故选项A正确；因为PD⊥平面ABCD，则PA在平面ABCD内的射影为AD，所以∠PAD是PA与平面ABCD所成的角，故选项B正确；因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则BC⊥PD，又BC⊥CD，CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，则PC⊥BC，又CD⊥BC，故∠PCD为二面角P−BC−A的平面角，故选项C错误；作AE⊥PB于E，连结EC，因为没有条件可以判断EC是否垂直PB，所以不能确定∠AEC是二面角A−PB−C的平面角，故选项D错误．故选：AB．利用异面直线所成角的定义判断选项A，利用线面角的定义判断选项B，由二面角的平面角的定义判断选项C，D．本题考查了空间角的理解，解题的关键是掌握异面直线所成角的定义、线面所成角的定义、二面角的平面角的定义，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：当斜率不存在时，即PQ过抛物线的焦点，且垂直x轴，∴y2=2p⋅p2，∴|PQ|=2p，当斜率存在时，设直线PQ的方程为y=k(x−p2)，设P(x1,y1)，P(x2,y2)，联立直线PQ与抛物线方程{y=k(x−p2)y2=2px，可得k2x2−(k2p+2p)x+k2p24=0①，由韦达定理，可得x1+x2=k2p+2pk2=p+2pk2，由抛物线的定义，可得|PQ|=x1+p2+x2+p2=2p+2pk2>2p，综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即PQ过抛物线的焦点，且垂直x轴，|PQ|取得最小值，∵|PQ|的最小值为6，∴2p=6，即p=3，∴抛物线的方程为y2=6x，故A选项正确，∵PQ的中点到准线的距离最小值为p2+p2=p=3，故B选项正确，∵当斜率不存在时，两交点坐标为(p2,p)，(p2,−p)，∴y1y2=−p2=−9，故C选项错误，当直线PQ的倾斜角为60°时，可得k=√3，∴|PQ|=2p+2p3=6，解得p=94，将k=√3，代入①中，可得12x2−20px+3p2=0，解得两根为3p2,p 6，不妨设，x1=3p2，x2=p6，∴由抛物线得的定义可得，|PF|=3p2+p2=2p，|FQ|=16p+12p=2p3，即|PQ|=|PF|+|FQ|=8p3，∴|FQ|=14|PQ|，即F为PQ的一个四等分点，故D选项正确．故选：ABD．由题意可知，当斜率不存在时，即PQ过抛物线的焦点，且垂直x轴，即|PQ|为通径时，|PQ|取得最小值，再结合抛物线的定义与性质，即可求解．本题考查了抛物线的定义与性质，需要学生掌握通径的概念，以及如何证明通径最短，需要学生较强的综合能力，属于难题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，a ⃗ ⋅b ⃗ <0⇔BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ <0⇔CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ >0⇔|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosC >0⇔cosC >0， 又C ∈(0,π)，所以C ∈(0,π2)，故不能判断△ABC 是钝角三角形，故 A 错误； 对于B ，a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ <0⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cos(π−C)+|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cos(π−A)+|c ⃗ |⋅|a ⃗ |⋅cos(π−B)<0， ⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cosC +|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cosA +|c ⃗ |⋅|a ⃗ |⋅cosB >0，⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−|c ⃗ |22|a ⃗ |⋅|b⃗ |+|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅|b ⃗ |2+|c ⃗ |2−|a ⃗ |22|b ⃗ |⋅|c ⃗ |+|c ⃗ |⋅|a ⃗ |⋅|c ⃗ |2+|a ⃗ |2−|b⃗ |22|c ⃗ |⋅|a ⃗ |>0，⇔|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+|c ⃗ |2>0， 显然成立，故B 正确； 对于C ，a ⃗ ⋅b ⃗ >b ⃗ ⋅c ⃗ ⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cos(π−C)>|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cos(π−A)⇔|a ⃗ |cosC <|c ⃗ |⋅cosA ， 不能得到|a ⃗ |与|c ⃗ |的大小关系，故C 错误； 对于D ，|a ⃗ −b ⃗ |=|c ⃗ −b ⃗ |⇔|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⇔|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 设AB 的中点为M ，BC 的中点为N ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 于是|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 在△BCM 中，由余弦定理可得 cosB =BM 2+BC 2−MC 22BM⋅BC=14BA 2+BC 2−MC 2BA⋅BC，在△BNA 中，由余弦定理可得 cosB =BN 2+BA 2−AN 22BN⋅BA=14BC 2+BA 2−AN 2BC⋅BA，所以14BA 2+BC 2−MC 2BA⋅BC=14BC 2+BA 2−AN 2BC⋅BA，又MC =AN ，所以BA =BC ，即|a ⃗ |=|c ⃗ |.故D 正确． 故选：BD ．对于A ，a ⃗ ⋅b ⃗ <0等价于cosC >0，即可判断A 错误；对于B ，a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ <0等价于|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+|c ⃗ |2>0，即可判断B 正确；对于C ，a ⃗ ⋅b ⃗ >b ⃗ ⋅c ⃗ ，等价于|a ⃗ |cosC <|c ⃗ |⋅cosA ，即可判断C 错误；对于D ，|a ⃗ −b ⃗ |=|c ⃗ −b ⃗ |等价于|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，设AB 的中点为M ，BC 的中点为N ，则|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，再结合余弦定理可判断D 正确． 本题考查平面向量数量积的线性运算和数量积运算，考查余弦定理的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于难题．13.【答案】√255【解析】解：因为(x +√a)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 6−r ⋅(√a)r ，、令6−r =1，则r =5，所以T 6=C 65⋅(√a)5x ，因为x 的系数为30，则C 65⋅(√a)5=30，解得a =√255．故答案为：√255．利用二项展开式的通项公式，求出r 的值，然后列出关于a 的等式，求解即可． 本题考查了二项式定理的应用，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．14.【答案】0.0394【解析】解：由题意，x −=1+2+3+4+55=3，y −=0.002+0.005+0.010+0.015+0.0185=0.01，因为线性回归方程为ŷ=0.0042x +a ̂，则a ̂=0.01−0.0042×3=−0.0026， 所以ŷ=0.0042x −0.0026，将x =10代入，可得y ̂=0.0042×10−0.0026=0.0394． 故答案为：0.0394．先求出样本中心，再代入线性回归方程，即可求出a ^，从而得到线性回归方程，将x =10代入求解即可．本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．15.【答案】−e【解析】解：根据题意，f(x)是奇函数，若f(e 2)=1，则f(−e 2)=−1， 当x <0时，f(x)=ln ax ，则f(−e 2)=ln(a−e 2)=−1，则a =−e ， 故答案为：−e ．根据题意，由函数的奇偶性可得f(−e 2)=−1，结合函数的解析式计算可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．16.【答案】235π4【解析】解：设正四棱台下底面边长为2x ， 依题意可得，正四棱台的高ℎ=√32x ，∵棱台的体积为7√36，∴13⋅(x 2+4x 2+√x 2⋅4x 2)⋅√32x =7√36， 解得x =1，则正四棱台的下底面边长为2；∴正四棱台上底面对角线长为√2，下底面对角线长为2√2，设上底面中心为O 1，下底面中心为O 2，四棱台外接球半径为R ，若外接球球心O 在线段O 1O 2上，由√R 2−(√22)2+√R 2−(√2)2=√32，此方程无解；若外接球球心O 在线段O 1O 2的延长线上，由√R 2−(√22)2−√R 2−(√2)2=√32，解得：解得：R 2=3516，外接球的表面积为4π×3516=354π．故答案为：2；354π．设正四棱台下底面边长为2x ，可得正四棱台的高ℎ=√32x ，再由棱台体积公式列式求解x ，则下底面边长可求；设上底面中心为O 1，下底面中心为O 2，四棱台外接球半径为R ，由棱台的高相等分类列式求得R ，则外接球表面积可求．本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1=0，S 6=3(a 7−1)，所以15d =3(6d −1)，解得d =1， 所以数列{a n }的通项公式为a n =n −1； (2)因为b n =2a n =2n−1， 所以b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b n =1−2n 1−2=2n −1， 所以1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n=1−(12)n1−12=2[1−(12)n ]，因为1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n>14(b 1+b 2+b 3+⋯+b n )，所以2[1−(12)n ]>14(2n −1)， 即22n −9×2n +8<0， 解得1<2n <8， 所以0<n <3， 又n 为正整数， 所以n =1，2，故正整数n 的集合为{1,2}．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，将已知的等式用d 表示，求出d ，由等差数列通项公式求解即可；(2)利用等比数列的求和公式表示出不等式，然后求出n 的取值范围，即可得到答案．本题考查了等差数列通项公式的运用，等比数列求和公式的应用以及指数不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：①asinB =bsinB+C 2，由正弦定理可得：sinAsinB =sinBsinB+C 2，又因为B ∈(0,π)，所以sinB ≠0，所以sinA =sinπ−A 2=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，在三角形中，A ∈(0,π)，则A2∈(0,π20, 所以cos A2≠0，所以可得sin A2=12， 所以A2=π6或56π， 可得A =π3或53π(舍)由正弦定理可得asinA =bsinB ，而a =√7，b =2， 所以sinB =ba sinA =√7⋅√32=√3√7， cosB =√7，cosC =−cos(B +A)=−cosBcosA +sinAsinB =√7⋅12+√32√3√7=2√7，在△ADC 中，DC =a 2=√72， 由余弦定理可得AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅DC ⋅cosC =74√7212√7=√192； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33S ；所以可得cbcosA =2√33⋅12bcsinA ， 所以可得tanA =√3，A ∈(0,π)， 所以A =π3，后面解法同①；③√3asinC +acosC =b +c ，由正弦定理可得：√3sinAsinC +sinAcosC =sinB +sinC ， 在三角形中，sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， 所以√3sinAsinC =cosAsinC +sinC ，sinC ≠0， 所以√3sinA −cosA =1，即2sin(A −π6)=1， 所以sin(A −π6)=12， 所以A −π6=π6或A −π6=56π，可得A =π3或A =π(舍)， 后面计算同①，综上所述：A =π3，AD =√192．【解析】由所给的①或②或③中的条件可得A 角，再由a ，b 边求出B 的正弦，进而求出余弦值，由三角形的内角和为π，求出cos C 的值，在三角形ADC 中由余弦定理可得AD 的值．本题考查三角形的余弦定理，正弦定理，面积公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)2×2列联表如下：则K 2=n(35n⋅115n−415n⋅115n)21315n⋅215n⋅23n⋅13n =n 52，因为有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关， 所以n52≥5.024，解得n ≥251.248， 结合题意，正整数n 是15的倍数， 所以n 的最小值为270；(2)由(1)可知，“学习兴趣一般”的学生中，“主动预习”与“不太主动预习”的学生人数之比为4：1，因此用分层抽样的方法，从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中，“不太主动预习”的人数为2， 所以X ～H(3,2，10)， 所以P(X =0)=C 83C 103=715，P(X =1)=C 21C 82C 103=715P(X =2)=C 22C 81C 103=115，所以X 的分布列为：X 0 1 2P715715115则E(X)=3×210=35．【解析】(1)作出2×2列联表，求出K2的值，由题意结合临界表中的数值，列出关于n 的不等式，求出n的范围，即可得到答案；(2)先求出从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中，“不太主动预习”的人数，利用X～H(3,2，10)，求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了独立性检验的应用，超几何分布数学期望计算公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：连结BD交AC于点O，连结OE，在底面ABCD中，因为AB//CD，AB=12CD，由△ABO∽△CDO，可得DOOB =CDAB=2，因为DE=2EP，即DEEP=2，所以在△BDP中，DOOB =DEEP，故E O//PB，因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB//平面AEC；(2)解：取AB的中点H，连结DH，因为∠BAD=60°，AB=AD，所以△ABD为等边三角形，则DH⊥AB，因为AB//CD，则DH⊥CD，因为PD⊥平面ABCD，又DH，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥DH，PD⊥CD，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标如图所示，因为DH⊥CD，PD⊥DH，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，则DH⊥平面PCD，因为AD=2，∠BAD=60°，所以DH =√3，平面PCD 的一个法向量为n ⃗ =(√3,0,0)， 因为AB =12CD =2，DE =2EP =2， 故A(√3,−1,0),C(0,4,0),E(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,5,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,2)， 设平面ACE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√3x +5y =0−√3x +y +2z =0，令x =5，则y =√3,z =2√3， 故m ⃗⃗⃗ =(5,√3,2√3)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√3√3×2√10=√104， 故二面角A −EC −D 的余弦值√104．【解析】(1)连结BD 交AC 于点O ，连结OE ，利用平行线的性质以及三角形的相似比，可证明EO//PB ，由线面平行的判定定理证明即可；(2)取AB 的中点H ，连结DH ，证明PD ⊥DH ，PD ⊥CD ，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ACE 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)设F 1F 2=2c ，由直线y =2x 是双曲线C 的一条渐近线，可得ba =2①， 因为双曲线C 的准线方程为x =±a 2c ，则{x =a 2c y =2x，可得y =2a 2c ，所以B(a 2c ,2a 2c)，由双曲线的对称性，可得S 四边形AF 1BF 2=4S △BOF 2=4×12c ×2a 2c=4a 2，结合四边形AF 1BF 2的面积为4，可得4a 2=4，解得a =1， 结合①，可得b =2， 所以双曲线C 的方程为x 2−y 24=1；第21页，共23页 (2)①当直线l 的斜率存在时，对于圆O ：x 2+y 2=43，不妨考虑l ：x =2√33， 则由{x =2√33x 2−y 24=1，可得{x =2√33y =±2√33， 所以P(2√33,2√33),Q(2√33,−2√33)， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，因为这些l 与C 相交于P ，Q 两点，所以k ≠±2，因为这些PQ 与圆O 相切， 所以√1+k 2=2√33，即m 2=43(1+k 2)(∗)， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立方程组{y =kx +m x 2−y 24=1，可得(4−k 2)x 2−2kmx −(m 2+4)=0(k ≠±2)， 结合(∗)，可得△=(2km)2+4(4−k 2)(m 2+4)=163(k 2+16)>0， 则x 1+x 2=2km4−k 2,x 1x 2=−m 2+44−k 2，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=−(1+k 2)(m 2+4)4−k 2+2k 2m 24−k2+m 2 =3m 2−4(k 2+1)k 2−4，结合(∗)，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×43(1+k 2)−4(k 2+1)k 2−4=0．综上所述，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 【解析】(1)利用渐近线得到ba =2，再利用准线方程与直线y =2x ，求出点B ，从而由四边形AF 1BF 2的面积为4，列出关系，结合b a =2，即可求出a 和b 的值，从而得到答案；(2)①当直线l 的斜率存在时，求出点P ，Q 的值，求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，利用直线与圆的位置关系得到m 2=43(1+k 2)，将直线l 与双曲线联立方程组，得到韦达定理，利用平面向量数量积的坐标表示进行化简求解，即可得到答案．本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，平面向量数量积的坐标运算，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为f(x)=ax−1+e x，所以g(x)=(a−2)x−1+e x，则g′(x)=a−2+e x，因为x=0是函数g(x)的极值点，则g′(0)=0，解得a=1，当a=1时，g′(x)=e x−1，令g′(x)=0，解得x=0，当x<0时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，当x>0时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，所以x=0是函数g(x)的极值点，故a=1；(2)由(1)可知，f(x)=x−1+e x，且f(0)=0，因为f′(x)=1+e x>0，所以f(x)在[0,π2)上单调递增，则当x∈[0,π2)时，f(x)≥f(0)，即f(x)≥0，①当m≤0时，msin2x≤0，所以f(x)≥msin2x恒成立；②当m>0时，令ℎ(x)=f(x)−msin2x=x−1+e x−msin2x，x∈[0,π2)，则ℎ′(x)=1+e x−2mcos2x，x∈[0,π2)，若0<m≤1，x∈[0,π2)，则ℎ′(x)=1+e x−2mcos2x≥1+e x−2m≥2−2m≥0，所以ℎ(x)在[0,π2)上单调递增，则当x∈[0,π2)时，ℎ(x)≥ℎ(0)，结合ℎ(0)=0，可得ℎ(x)≥0，故当x∈[0,π2)时，f(x)≥msin2x恒成立，若m>1，则[ℎ′(x)]′=e x+4msin2x，所以当x∈[0,π2)时，[ℎ′(x)]′>0，则ℎ′(x)单调递增，因为ℎ′(0)=2−2m<0，ℎ′(π4)=1+eπ4>0，ℎ′(x)在[0,π2)上图象不间断，第22页，共23页)上存在唯一的零点，设为α，所以ℎ′(x)在[0,π2因为ℎ′(x)在(0,α)上是增函数，则当x∈(0,α)时，ℎ′(x)<ℎ′(α)，即ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(0,α)上减增函数，则当x∈(0,α)时，ℎ(x)<ℎ(0)，即ℎ(x)<0，即x∈(0,α)时，f(x)<msin2x，与题设矛盾．综上所述，实数m的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)利用极值点满足g′(x)=0，求出a的值，然后再进行验证即可；(2)利用(1)可得f(x)≥0，当m≤0时，f(x)≥msin2x恒成立；当m>0时，构造函数ℎ(x)=f(x)−msin2x，利用导数研究ℎ(x)的性质，即可证明f(x)≥msin2x恒成立；当m>1时，利用导数研究ℎ(x)的性质，可得f(x)<msin2x，与题设矛盾，从而得到m 的取值范围．本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．第23页，共23页。
2021年高二下学期3月考试卷数学(理)试题 含答案
2021年高二下学期3月考试卷数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）1.若直线：与：平行，则实数的值为（）A. B. 或 C. D. 或2.方程的两个根可分别作为（）A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率3.若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，若，则的实轴长为（）A. B. C. D.5.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.6. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A.5B．4 2 C．3 D．57.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为45°的直线，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则()A．B．C．或D．8.在椭圆中，分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则该椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.9. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．10. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．11. 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）A ．9B ．6C ． 4D ．312. 设圆锥曲线的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线上存在点P 满足，则曲线的离心率等于（ ）A ．B ．或 2C ．2 D ．第II 卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.） 13. 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数的最大值为14.已知△ABC 中，顶点B 在椭圆上，则___ ____15.在平面直角坐标系中，已知圆上有且只有四个点到直线的距离为，则实数的取值范围是________．16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。
【江苏专用】2020-2021学年度高二下数学期末全真模拟卷(三)学生版
（三）一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，则化简202011i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的结果为（ ）A. iB. i -C. 1-D. 12.为了解学生对街舞的喜欢是否与性别有关，在全校学生中进行抽样调查，根据数据，求得2K 的观测值0 4.804k ≈，则至少有（ ）的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．参考数据：A. 90%B. 95%C. 97.5%D. 99%3.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A. 160 B. 163 C. 166 D. 1704.已知随机变量2~0(),N ξσ，且()10.3P ξ≥=，则0()1P ξ-≤≤=（ ） A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55.有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ） A. 42种B. 48种C. 60种D. 72种6.若10521001210(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则5a 为（ ） A. 251B. 250C. 252D. 2497.已知函数()f x 的导数为()'f x ，()()0f x xf x '->对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中一定成立的是( ) A. ()()f f e π> B. ()()f f e π< C.()()f f e eππ>D.()()f f e eππ<8.已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,4,5B =，从集合A 中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a 表示，从集合B 中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b 表示，记X b a =-，则随机变量X 的期望为（ ） A.134B.154C. 3D. 4二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分．9.2020年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产．学校开始以网课的方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果进行测试．高三有1000名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则（人数保留整数）（ ）参考数据：若()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Z μσμσ-<<+=．A. 年级平均成绩为82.5分B. 成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等C. 成绩不超过77分的人数少于150人D. 超过98分的人数为1人10.下列说法中正确的是（ ）A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变B. 设有一个线性回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加1个单位时，ˆy 平均增加5个单位 C. 设具有相关关系的两个变量,x y 的相关系数为r ，则||r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强 D. 在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，则2K 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1xf x e x -=-．则下列结论正确的是（ ）． A. 当0x <时，()()1xf x ex =+B. 函数()f x 有五个零点C. 若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤D. 对12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<恒成立12.现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（ ） A. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B. 若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C. 若4个不同小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D. 若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知z 是一个复数，满足313z z i z i ⋅-⋅=+（i 为虚数单位）,则z =___________. 14.已知随机变量X 的分布列为2()(1,2,3,4)kP X n n n n===+，则_________=k ,()23P X ≤≤=________.15.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A 医院150人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B 医院至少有一人的概率是__________；设两名联络人中B 医院的人数为X ，则X 的期望为__________．16.已知定义在()0,∞+上的函数()0f x >，且满足()()()2f x f x f x '<<，若()()12f k f =⋅，则实数k 的取值范围为________．四．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省园三2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题
12．ABD
【分析】
若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为 种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为 种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为 种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．
4．D
【分析】
确定函数图象关于直线 对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论．
【详解】
函数定义域是 ，由于 的图象关于直线 对称， 的图象也关于直线 对称，因此 的图象关于直线 对称，排除AC，
有无数个零点，因此 也有无数个零点，且当 时， ，排除B．
故选：D．
【点睛】
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列等式中，成立的有（）
A． B．
C． D．
10．已知函数 的定义域为 ，部分函数值如表1， 的导函数 的图象如图1.下列关于函数 的性质，正确的有（）
A．函数 在 是减函数
B．如果当 时， 的最大值是2，那么 的最大值为4
C．函数 有4个零点，则
D．函数 在 取得极大值
江苏省园三2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数 在[0，π]上的平均变化率为
A．1B．2C．πD．
2．将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（）
20．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 在区间 上的最大值；
江苏南通2024年高二3月质量监测数学试题(解析版)
2023~2024学年度第二学期3月份质量监测高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量()()1,,2,2,4,AB a AC b =−=− ，若AB 与AC共线，则a b −=（ ）A. 6−B. 2−C. 2D. 6【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合空间向量平行的坐标运算分析求解.【详解】因为()()1,,2,2,4,AB a AC b =−=− ，且AB 与AC共线， 则()2,4,AB AC b λλλλ==− ，可得2142a b λλλ−== =− ，解得1224a b λ =− =− =，所以6a b −=−. 故选：A.2. 规定()()A 11mx x x x m =−−+ ，其中*,x m ∈∈R N ，且0A 1x =，这是排列数A mn （*,N n m ∈，且m n ≤）的一种推广.则1=（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据所给公式即可求解.【详解】)111=+=,故选：C3. 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是（）A. 240B. 288C. 360D. 480【答案】D【解析】【分析】根据题意利用间接法和捆绑法运算求解.【详解】由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数的个数是66A720=，1，3相邻六位数的个数是2525A A240=，所以1，3不相邻的六位数的个数是720240480−=.故选：D.4. ()7211x xx+−的展开式中含5x的项的系数是（）A. 30B. 32C. 34D. 36【答案】C【解析】【分析】因为()()()7772211111x x x xx xx=+−−−+，根据二项式定理分析求解.【详解】因为()()()7772211111x x x xx xx=+−−−+，且()71x−展开式的通项为()()177C1C,0,1,2,,7r rr r rrT x x r+⋅−−⋅⋅⋅⋅，所以展开式中含5x的项的系数为()()47771C1C34×+×−=.故选：C5. 某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果X.服从正态分布()70,100N，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（）附：随机变量ξ服从正态分布()2,Nµδ，则()0.6826Pµδξµδ−<<+=，的.(22)0.9544,(33)0.9974P P µδξµδµδξµδ−<<+=−<<+=.A. 456B. 558C. 584D. 651【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布概率分布即可求解.【详解】抽测结果在及格线与优秀线之间的学生所占的比例为()(22)0.68260.95440.81852222P P µδξµδµδξµδ−<<+−<<+++==，故人数为6820.8185558×≈， 故选：B6. 在空间直角坐标系中，已知点()()()1,1,1,0,1,0,1,2,3A B C ，则点C 到直线AB 的距离为（ ）A.B. 2C. D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.【详解】根据题意，()()1,0,1,0,1,2AB AC =−−=，则AB =设向量u是直线AB的单位方向向量，AB u AB == ， ()0,1,2002AC u ⋅=⋅=++× 则点C 到直线AB.故选：A.7. 为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲､乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校支教.若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲､乙不安排在同一个学校的概率为（ ）A.16B.56C.112D.1112【答案】B 【解析】的【分析】根据古典概型和对立事件，结合排列数、组合数分析求解.【详解】根据题意可知：若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有2343C A 36=种不同安排方法，记“甲、乙不安排在同一个学校”为事件A ，则A 为“甲、乙安排在同一个学校”，则有33A 6=种不同安排方法，所以()()6511366P A P A =−=−=. 故选：B.8. 设随机事件,A B ，已知()()()231,,5105P A P B A P B A ===，则()P A B =（ ） A.319B. 719C. 625D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】由()()()231,,5105P A P B A P B A ===可得323()()(),10525P AB P A P B A ==×=()313()()5525P BA P A P B A ==×=A AB AB =+ ，且事件AB 与AB 互斥， ()237()()()()52525P A P AB AB P AB P AB P AB ∴=+=+⇒=−=，同理B AB AB =+,所以()()6()25P B P AB P AB =+= 7()725()6()19125P AB P A B P B ===− 故选：B ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在5(2)x y +的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数和为32 B. 各项系数和243C. 二项式系数最大的项为第2项和第3项D. 所有偶数项的系数和为122为【答案】ABD 【解析】【分析】利用二项式系数的性质判断AC ；利用赋值法判断BD. 【详解】因为5n =，可知二项式系数和为5232=，故A 正确； 二项式系数的最大值为2355C ,C ，为第3项和第4项，故C 错误；设543223*********(2)a x a x y a x y a x y x a y a y y x =++++++， 令1xy ==，可得50123453243a a a a a a +++++==， 即各项系数和为243，故B 正确；令1,1x y ==−，可得()501234511a a a a a a −+−+−=−=−， 可得135122a a a ++=，即所有偶数项的系数和为122，故D 正确； 故选：ABD.10. 在长方体1111ABCD A B C D −中，12,1,AB BC CC E ===是CD 的中点.则（ ） A. 1112B E AD AA AB =−−B. 异面直线1A B 与1B EC. 直线1AB 与平面1BB ED. 点B 到平面1AD E 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：根据空间向量的线性运算分析判断；对于BCD ：建系，利用空间向量求相关夹角和举例.【详解】对于选项A ：因为1111112B E BC C C CE AD AA AB =++=−−，故A 正确；如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1111,0,0,1,2,0,0,1,0,1,0,1,1,2,1,0,0,1,0,1,0A B C A B D E ，可得()()()()()()()111110,2,0,0,2,1,0,2,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0AB A B AB EB BB D A AE ==−====−=−， 对于选项B：因为111111cos ,A B EB A B EB A B EB ⋅==⋅， 所以异面直线1A B 与1B E，故B 错误； 对于选项C ：设平面1BB E 的法向量(),,n x y z = ，则1100n EB x y z n BB z ⋅=++= ⋅==， 令1x =，则1,0y z =−=，可得()1,1,0n =−，则111cos ,n AB n AB n AB ⋅===⋅所以直线1AB 与平面1BB EC 正确； 对于选项D ：设平面1ADE 的法向量(),,m a b c = ，则100m D A a c m AE a b ⋅=−= ⋅=−+=， 令1a =，则1b c ==，可得()1,1,1m =，所以点B 到平面1AD E的距离为m ABm⋅=D 正确； 故选：ACD.11. 甲袋中装有3个白球､2个红球和3个黑球，乙袋中装有2个白球､2个红球和1个黑球，先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出2个球.用123,,A A A 分别表示从甲袋中取出的球是白球､红球和黑球，用B 表示从乙袋中取出的2个球同色，则（ ） A. ()14|15P B A =B. ()2415P A B =C. ()29120P B =D. 2,A B 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】根据题意结合古典概型判断A ；利用条件概率判断B ；利用全概率公式判断C ；根据独立事件概率关系判断D.【详解】由题意可知：()()()1233213,,8848P A P A P A ====， ()()()22222223223222123222666C C C C C C C 441|,|,|C 15C 15C 5P B A P B A P B A ++++======，故A 正确； ()()()222411|15415P A B P B A P A ==×=，故B 错误； ()()()()()()()112233|||P B P B A P A P B A P A P B A P A =++4341329158154581120=×+×+×=， 即()29120P B =，故C 正确； 因为()()2129294120480P A P B =×=，即()()()22P A B P A P B ≠， 可知2,A B 不相互独立，故D 错误； 故选：AC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设a ∈Z ，且07a ≤≤，若20243a +能被8整除，则=a __________. 【答案】7 【解析】 【分析】由()12024012813=+，借助二项式定理展开后结合a 的范围计算即可得.【详解】()101201012110111011110121012101241012100122281C 8C 38C 8C =+=++++ ()0101111010101101012101210128C 8C 8C 81++++ ，故202431−能被8整除， 由07a ≤≤，故当7a =时，即202437+能被8整除. 故答案为：7.13. 现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好有1双的取法总数为__________. 【答案】120【解析】【分析】借助分步乘法计数原理及组合数的性质计算即可得. 【详解】先从5双鞋子中任取1双，有15C 种，再从剩下的4双中选取两双，并从这两双中每双鞋各取一个，共211422C C C ××种，故共有12115422C C C C 120×××=种. 故答案为：120.14. 在某次数学测试中，学生成绩X 服从正态分布()2100,N δ.若()1801202P X ≤≤=，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是__________. 【答案】532【解析】【分析】借助正态分布的性质与二项分布的性质计算即可得. 【详解】由()1801202P X ≤≤=，X 服从正态分布()2100,N δ故()11128024P X −<==， 则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生， 至少有2名学生的成绩低于80分的概率为：2323331115C 1C 44432 ×−+=. 故答案为：532. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程成演算步骤.15.在()*3,nn n ≥∈N 的展开式中，第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列. （1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1）7 （2）2214x ，1764x − 【解析】【分析】（1）根据二项式系数的定义结合等差中项列式求解； （2）根据二项式定理结合有理项的定义分析求解.【小问1详解】由题意可知：第2,3,4项的二项式系数依次为123C ,C ,C n n n ，因为第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列，则132C C 2C n n n +=， 可得()()()1216n n n n n n −−+=−，解得7n =或2n =（舍去）或0n =（舍去）， 所以n 的值为7. 【小问2详解】由（1）可知7的二项展开式的通项为14377417C C ,0,1,2,,72rr rrrr rT x r −−+==⋅⋅⋅， 令1434r−为整数，则2,6r =， 可得222732C 2124T x x ==，611776C 7264T x x −−==， 所以展开式中所有的有理项为2214x ，1764x −. 16. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1A B AO ⊥； （2）若1AA =，求直线1A B 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）借助线面垂直的判定定理与性质定理即可得； （2）建立适当空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得. 【小问1详解】由2AB AC ==，O 为BC 的中点，故AO BC ⊥， 由1A O ⊥平面ABC ，AO ⊂平面ABC ，故1A O AO ⊥，又BC 、1A O ⊂平面1A BC ，1BC A O O = ，故AO ⊥平面1A BC ， 又1A B ⊂平面1A BC ，故1A B AO ⊥； 【小问2详解】由题意可得，OA 、1OA 、OB 两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系1O ABA −，由2AB AC ==，AB AC ⊥，故12AO BC ==，又1AA =，故12OA ，故()B 、()10,0,2A、()12B 、()0,C ，则()12A B =− 、)12B B =−、()0,CB = ， 设平面11BCC B 的法向量为(),,m x y z =，则有200z−==，取x ，则)m =，则1cos ,m A B ==， 即直线1A B 与平面11BCC B .17. 在1,2,3,9, 这9个连续的自然数中，任取3个数. （1）求这3个数中，至少有一个是奇数的概率；（2）记X 为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X 的值是2），求随机变量X 的分布列及数学期望. 【答案】17.202118. 分布列见解析，()23E X = 【解析】【分析】（1）借助对立事件的概率计算即可得； （2）求出每种情况概率列出分布列即可求取期望. 【小问1详解】设这3个数中，全是偶数的情况为事件A ，则()3439C 1C 21P A ==， 则这3个数中，至少有一个是奇数的概率为()3439C 12011C 2121P A =−=−=； 【小问2详解】X 的可能取值为0、1、2，()1111266539C C +C C 11C 2P X ===，()1739C 12C 12P X ===， ()()()5011212P X P X P X ==−=−==，故其分布列为：则()112122123E X =×+×=. 18. 在四棱锥S ABCD −中，AD ,BC AD CD ⊥，平面SCD ⊥平面,ABCD SC SD ⊥，22,SC AD BC SD ====的（1）求点B 到平面SAC 的距离；（2）在线段SB 上是否存在点E ，使二面角E CD A −−？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1（2）E 为SB 的三等分点，靠近S 的一端 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量，结合点面距离公式即可求解 （2）根据法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】由于SC SD ⊥，且平面SCD ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()(()()0,0,0,,0,2,0,2,0,2,1S D C A B ,()()()0,2,0,2,0,0,1SCSA BC==,设平面SAC 的法向量为(),,m x y z =，则20,20,m SC y m SAz ⋅==⋅=+=，取1x =，则(1,0,m = ， 故点B 到平面SAC的距离为BC m d m ⋅==【小问2详解】假设线段SB 上存在点E ，使得二面角E CD A −−， 设()()()0,2,10,2,,01SE SB λλλλλ===≤≤ ,()0,2,E λλ∴，()()()2,0,0,22,,0,0,2CD CE DA λλ−=−=, 设平面CDE 的法向量为()111,,n x y z =，平面CDA 的法向量为()222,,k x y z = ，则()111120220n CD y n CE y z λλ ⋅=−= ⋅=−+=，取)11z λ=−，则)(),,1n λλ=−− ，2222020k CD y k DA z ⋅=−= ⋅==，取2y =()k = ， 设二面角E CD A −−的平面角为θ，则sin θ=，故cos θ=故coscos ,n k θ==化简得2132103λλλ+−=⇒=或1λ=−（舍去）， 故存在点E ，使得二面角E CD A−−， 此时点E 满足13SE SB =，即E 为SB 的三等分点，靠近S 的一端19. 为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史､悟思想､办实事､开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择. 方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立､互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二. （1）求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率；（2）若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由. 【答案】（1）827，25（2）选择乙老师，理由见解析 【解析】【分析】（1）借助二项分布与超几何分布的概率计算公式计算即可得； （2）计算出相应二项分布与超几何分布的期望与方差即可得. 【小问1详解】设甲，乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件A 与事件B ，则()2224218=C =3327P A ⋅，()224246C C 62===C 155P B ；【小问2详解】设甲教师得分数为X ，则答对题数为2X ，有24,23X B， 故()216224233XE X E==××=，()223244412339X D X D==×××−=， 设乙教师得分数为Y ，则Y 的可能取值为4，6，8，()224246C C 24=C 5P Y ==，()314246C C 86=C 15P Y ==，()4446C 18=C 15P Y ==， 则()281848241646851515153E Y ++=×+×+×==， ()222216816116644685315315345D Y =×−+×−+×−= ，由()()E X E Y =，()()D X Y D >，则乙老师更为稳定，故选择乙老师.。
江苏省南通市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学试题及答案
南通市2021年高二年级质量监测数 学本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＜4x ，x ∈N }，则A ∩B ＝A ．[0，2]B ．(0，2]C ．{0，1，2}D ．{1，2}2．己知复数z ＝－12＋32i ，则z 2＋z ＝ A ．－1 B ．1 C ．12＋32i D ．32－12i 3．已知a ＝π－2，b ＝－log 25，c ＝log 213，则 A ．b ＞a ＞c B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c4．己知等比数列{a n }的前6项和为1894，公比为12，则a 6＝ A ．738 B ．34 C ．38D ．24 5．英国数学家泰勒(B ．Taylor ，1685－1731)发现了如下公式：sin x ＝x －x 33!＋x 55!－x 77!＋…．根据该公式可知，与－1＋13!－15!＋17!－…的值最接近的是 A ．cos 57.3° B ．cos147.3° C ．sin57.3° D ．sin(－32.7°)6．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点．点P 在C 上，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等比数列，则C 的离心率的最大值为A ．12B ．23C ．34D ．1 7．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为A ．23B ．13C ．16D ．1128．若x 1，x 2∈(0，π2)，则“x 1＜x 2”是“x 2sin x 1＞x 1sin x 2”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。