3.4 简单几何体的表面展开图(3)

A
O
已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形，它的表面 2,求这个圆锥的底面半径和母线的长. 积为75 cm
解：∵轴截面△ABC是等边三角形 ∴AC=2OC 由题意，得
A
OC AC OC 2 75 3 OC 2 75
OC 2 25 OC 0 C OC 5(cm) AC 2OC 2 5 10(cm)
P
h A O r
l
B
圆锥的侧面积和全面积
如图:设圆锥的母线长为a,底面 半径为r.则圆锥的侧面积 公式为：
S侧
P
l 2r
h
O r l B
= rl 全面积公式为：
1 2r l. 2
A
S全 S侧 S底
= πrl ＋πr
2
例1、根据圆锥的下列条件， 求它的侧面积和全面积 （1）
S側= 150πcm2，S全= 250πcm2.
2.一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角 为240°的扇形.求这个圆锥的底面半径. 12cm 3.将半径为30cm的圆形铁皮剪成三个全等的扇 形,用来做三个无底的圆锥形筒,则圆锥形筒的 高是少(不计接头) ?
1 设圆锥底面半径为r,则 2r 2 30 3
h r l ２．圆锥的侧面积： s侧 rl
2 2 2
高
母线
l
h
2
底面 半径
３．圆锥的全面积：s全
来自百度文库
r 0 360 ４．圆锥侧面展开图的圆心角： l
数学方法：
分割法
rl r
r
转化（立体图形与平面图形之间的相 数学思想： 互转化）
侧 面
圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直 角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周 而成的面所围成的几何体.
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面
母
线
无论转到什么位置，这条斜边都叫做 圆锥的母线 另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的 底面
圆锥相关概念
高
连结顶点与底面圆心的线段 叫做圆锥的高
h
a l r
问题： 母线 圆锥的母线有几条？
S 10 5 5 2 1015 102
（400 50 5）
圆锥的轴截面
一个圆锥形的零件, 经过轴的剖面是一个等
腰三角形, 这个三角形就叫做圆锥的轴截面；
它的腰长等于圆锥的母线长, 底边长等于圆锥
底面的直径. 如△ABC就是圆锥的轴截面 S轴截面=h×2r÷2=rh B C
则
5 l =_______ 6 则r=_______
(3)
l
= 10, h = 8
l
图 23.3.6
动一动：
1．准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的 表面展开图．
图 23.3.6
圆锥及侧面与展开图的相关概念
问题: 1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得 到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么 关系？
解：（1）∵l=80cm,h=38.7cm,
∴
r l 2 h2 802 38.72 70(cm)
∴S侧= = ×70×80 1.8 104 (cm2 )

rl
答：烟囱帽的面积约
1.8 104 cm2
h r

l
例2.圆锥形烟囱帽（图3-54）的母线长为80cm，高为38.7cm. （2）以1:40的比例画 出这个烟囱帽的展开图 解：烟囱帽的展开图 的扇形圆心角为 h r
注意：1、认清直径还是半径 2公式中的l表示母线
解:∵ l=15cm,r =5cm, ∴S 侧 =πrl 3.14×15×5 = 235.5（cm 2 )


235.5×10000= 2355000 （cm 2 ) 答：至少需 235.5 平方米的材料.
1.已知圆锥的底面半径为12cm,母线长为 20cm.求这个圆锥的侧面积和全面积.
图 23.3.7
既是圆的周长
又是侧面展开 图扇形的弧长
问题: 2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇 形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
图 23.3.7
既是圆锥的母线
又是侧面展开图扇 形的半径
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面 积. 圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
由已知侧面展开图,得 r ×360 ＝ 270,解得r ＝225(cm). 300 所求三视图如图,比例 1:10
6.如图,在四边形ABCD中,BC＝CD＝10,AB＝ 15,AB⊥BC,CD⊥BC.把四边形ABCD绕直线 CD旋转一周,求所得几何体的表面积.
四边形ABCD绕直线CD旋转一周的表面积为一个圆 锥、一个圆柱的侧面积与这个圆柱下底面积的和, 2 其中圆锥母线长为（ 15-10 ） 102 5 5 所以所求表面积为
问题1.圆柱体怎么形成呢？ 将矩形绕一边所在直线旋 转360°所形成的几何体 问题2.你对圆柱还有哪些了解？
S侧 =2 rh
S表 =2 rh+2 r
V = r h
2
2
九年级下册
圆锥的侧面积和全面积
试一试：以直角三角形一条直角边所在 的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面 所围成的几何体是……？
S側= 240πcm2，S全= 384πcm2.
2.如图为一个圆锥的三视图.以相同的大小 比例画出它的表面展开图.
由已知三视图， 得r ＝ 120mm, l ＝ 1602 +1202 ＝200(mm)
r 120 360 360 216 l 200
1.已知圆锥的底面半径为10cm,母线长为15cm. 求这个圆锥的侧面积和全面积.
如图中l是圆锥的一条母线， 而h就是圆锥的高
P
h
O
l
B
2.圆锥的底面半径、 A 高线、母线长三者之间 间的关系: 2 2
r
l h r
2
填空: 根据下列条件求值（其中r、h、l 分别 是圆锥的底面半径、高线、母线长）
3 （1） l = 2，r=1 则 h=_______
(2) h =3, r=4
答：圆锥的底面半径为5cm，母线长为10cm.
O
B
合作探究、如图，圆锥的底面半径为1，母
线长为3，一只小虫要从底面圆周上一点B出发， 沿圆锥侧面回到B点，问它爬行的最短路线是 多少？
若沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线 AC上中点D,问它爬行的最短路线是多少？
若沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC 上中点D,问它爬行的最短路线是多少？
圆锥底面圆周上的任意一点 与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线
用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，得到的截面是圆，在 不同位置所截得的圆的半径， 与底面半径均不等。
用过圆锥的高线的平面截圆 锥，得到的截面（圆锥的轴 截面）是等腰三角形 它的底边是圆锥底面的直径 底边上的高线就是圆锥的高线
1.连结顶点与底面圆心 的线段叫做圆锥的高
D
回顾与 思考
本节课我们有什么收获?
本节课我们认识了圆锥的侧面展开 图,学会计算圆锥的侧面积和全面积, 在认识圆锥的侧面积展开图时 , 应知 道圆锥的底面周长就是其侧面展开图 扇形的弧长 . 圆锥的母线就是其侧面 展开图扇形的半径 , 这样在计算侧面 积和全面积时才能做到熟练、准确.
小结
1.圆锥的高,底面半径, 母线长之间的关系是:
解： 将 圆 锥 沿 AB展 开 成 扇 形 ABB， 则 点C是BB的 中 点 ， 过 点 B作BD AC， 垂足为 D.连 接BC r BAB 360 120 l BAC 60 AB AC ABC是 等 边 三 角 形 D为AC的 中 点 在RtABC中， BAD 60, AB 3 3 BD 3 2 3 答 ： 它 爬 行 的 最 短 路 线 是 3. 2
（ 2）
r=12cm, l=20cm
h=12cm， r=5cm
l
图 23.3.6
若设圆锥的筹码展开图扇形的圆心角 为 ，

则由
l
180
2r
P )θ l r B
得到圆锥的侧面展开图扇形的圆 心角度数的计算公式：
r 0 360 l
l 2r
h
A
O
例2.圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高为 38.7cm. 3 （1）求这个烟囱帽的面积（精确到10 c㎡)。
得r ＝ 10(cm). 在圆锥的轴截面中,由勾股定理,知
h 302 102 20 2 (cm)
4.已知圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面圆心的 截面)是边长为6cm的正三角形.求圆锥的高和 侧面积,并以1:2的比例画出圆锥的表面展开图?
h 3 3cm, S侧 18cm
2
5.如图为一个圆锥的侧面展 开图.以1:10的比例画出它的 三视图.
l
r 0 70 360 360 0 315 0 l 80
按1:40的比例画出这个烟囱 帽的展开图如图3-55
童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其 圆锥形帽身的母线长为15cm，底面半径为5cm， 生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算 至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用料和 余料，π取3.14 ）？