常微分方程解的存在唯一性定理

常微分方程解的存在唯一性定理

一阶微分方程（1）

其中是在矩形域上的连续函数。

定义1 如果存在常数，使得不等式

对于所有都成立，则函数称为在上关于满足Lipschitz条件。

定理1 如果在上连续且关于满足Lipschitz条件，则方程(1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，这里，。

Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想。

首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程

的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数

，显然也是连续函数，如果,

那末就是积分方程的解。否则,我们又把代入积分方程右端的，得到

，如果，那末就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数

(3.1.1.4)

这样就得到连续函数序列：，，…，，…如果，那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到

即，这就是说是积分方程的解。这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。函数称为初值问题的第次近似解。

命题1设是方程(1)的定义于区间上，满足初始条件的解，则是积分方程

的定义于上的连续解。反之亦然。

现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：

命题2对于所有的，函数在上有定义、连续且满足不等式。

命题3函数序列在上是一致收敛的。

设则也在上连续，且。

命题4是积分方程的定义于上的连续解。

命题5设是积分方程的定义于上的一个连续解，则，。

综合命题1—5，即得到存在唯一性定理的证明。