幂函数图像与性质
幂函数图像及性质总结幂函数九个基本图像幂函数比较大小的方法
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
幂函数图像与性质
一知识梳理1、幂函数（1）定义：一般地，形如_________的函数称为幂函数，其中为常数。
几种常见幂函数的图像：①②③④⑤（2）幂函数的性质①所有幂函数在_________都有定义，并且图像都过点________；②时，幂函数的图像通过_________，并且在区间上是_________，特别的，当时，幂函数的图像________，当时，幂函数的图像________。
③时，幂函数的图像在区间上是_________，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。
（4）幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数. 轴和直线之间，图象由上至下，指数.二.常见幂函数的性质：定义域值域奇偶性单调性定点三、例题解析例1.已知函数若关于x的方程有两个不同的实根，则k的取值范围是___________例2.若曲线处的切线与两个坐标轴围城的三角形的面积为18，a=____例3 已知函数为何值时，：（1）是正比例函数，（2）是反比例函数，（3）是二次函数，（4）是幂函数例4 若点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。
四：巩固练习1.已知幂函数(p,q∈N+且p与q互质)的图象如图所示,则A.p、q均为奇数且<0B.p为奇数,q为偶数且<0C.p为奇数,q为偶数且>0D.p为偶数,q为奇数且<02.给定一组函数解析式:如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①3、已知，则（）ＡＢＣＤ4、幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是（）ＡＢＣＤ5.（2011·山东高考）若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为：（A）0 （B）（C）1 （D）6.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为_________。
幂函数的性质与图像第一象限ppt课件
O
X
k>0时
y ｋ＞１开口向上型抛物线
０＜ｋ＜１开口 向右抛物线型
O
X
画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性,画出函数在其 他象限还有的图象
；.
8
3、当 0时，
y
图像是0除 ， 1点 去的一条射 1 线．
；.
o 图4
x 6
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图像过定点1，1
(2)当 0时，
函数是增函数， 图像是抛物线型；
(3)当 0时，
函数是减函数，
图像是双曲线型．
；.
7
k<0时 第 一 象 限
y
k<0
双曲线型
K=1 K=0,直线型
(2)研究这些图像有何规律？
(1)yx2， yx3
1
1
(2)yx2，yx3
(3)yx1， yx2
；.
合作 讨论
4
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
1、当 0时，
(1)图像过 0， 0和 定 1， 1； 点
(2)函数在0，是增函数，
即在第一象限是增 数函 ；
(3)图像是抛物线型的，
随着的增大，图像逐渐由x轴向y轴靠近．
；.
1
幂函数的定义 一般地，函数y = xn叫做幂函数，其中x是自变量，n是常数。(n∈R)
；.
2
下列函数中，哪几个函数是幂函数？
（1）y = （3）y=2x
(5) y=x2 +2
（2）y=2x2 （4）y=1
(6) y=-x3
答案:(1)(4)
1
x2
；.
3
探究活动一
(1)分别作出下列函数在第一象限内的图像；
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
幂函数的图像和性质
幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质是指关于某一变量x的多项式形式为y=ax^n（a≠0）的函数，其中a是实数，n∈Z，称为幂函数。
由于幂函数有着独特的形式，它的图像和性质也有许多独特之处。
一、图像1. 对于任意实常数a>0，n>0，y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线；2. 对于任意实常数a>0,n<0,y=ax^n的图像是一条以x轴上的无穷远点为极坐标的曲线；3. 对于任意实常数a<0,n>0,y=ax^n的图像是一条以y轴上的无穷远点为极坐标的曲线；4. 对于任意实常数a<0,n<0,y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线。
二、性质（1）当n>0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断增大，直至无穷大；（2）当n<0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断减小，直至无穷小；（3）当n=0时，y=ax^n即为常数函数y=a，其图像是一条水平线；（4）当n>0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向上；（5）当n<0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向下；（6）对于任意实数m，y=ax^n的图像关于y=m的对称轴是x=(m/a)^(1/n)；（7）当n>0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间[0, +∞]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而增大；（8）当n<0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间(-∞, 0]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而减小；三、总结幂函数的图像和性质是指函数形式为y=ax^n（a≠0）的函数的图像和性质，其中a是实数，n∈Z。
幂函数的性质有：对称轴、渐近线、函数值随x的变化而变化等，此外，图像表明幂函数的变化趋势，可以直观地看出函数值y 随x的变化趋势，从而有助于理解函数的特点。
幂函数的图像及性质
函数，∴由 (a ?1)3 ? (3? 2a)3 ，得a-1<3+2a 即a>-4 .
∴所求a的取值范围是 (－4，＋∞)．
幂函数的图像及性质
【变形训练】
1、已知幂函数 y ? (mm2 ? ? 1)xm2?2m?3 ，当x∈
(0，＋ ∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么 ？奇偶性如何？单调性如何？
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为 (0，＋∞)， ∴函数 f(x) 在[1，＋ ∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为 f(1)＝2.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
2、已知幂函数 y=xp-3 (p∈N*）的图象关于 y轴
对称，且在 (0，＋∞)上是减函数，求满足
p
p
(a ? 1) 3 ? (3 ? 2a ) 3 的a的取值范围 ．
解：函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 证明如
下：
任f(x取1)－x1、f(xx22)∈＝(0x，212 ＋? x∞222)，? 且2(xxx21122<?xx2x22，12)
?
2(x1
? x2)(x2 x12 x22
?
x1)
幂函数的图像及性质
【典型例题】
∵0<x 1<x2，∴ x1＋x2>0，x2－x1>0， x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 .
解：∵函数 y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p －3<0，即 p<3 ，
又∵ p ∈N*，∴ p ＝1，或 p ＝2.
∵函数y＝xp－3的图象关于 y轴对称，∴ p－3是偶数，
高考数学第一轮复习幂函数图像与性质
幂函数的性质与图像 幂函数及其性质 1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x= （3）2y x= （4）1y x-= （5）3yx=用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数， 在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练： 已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
幂函数图象及其性质
1.7
，∴ 1 1.52
1
1.7 2
（ 2 ） ∵ y x3 在 R 上 是 增 函 数 ， 1.2 1.25 ， ∴
(1.2)3 (1.25)3
（ 3 ） ∵ y x1 在 (0,) 上 是 减 函 数 ， 5.25 5.26 ， ∴
Where there is a will,there is a way.
幂函数 y＝xα 有下列性质：(1)单调性：当 α
＞0 时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当 α＜0
时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂
函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶
函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．
例
3．已知幂函数
y
（ xm2 2m3
mZ
）的图象与
x
轴、
y 轴都无交点，且关于原点对称，求 m 的值．
B．y x3
C．y 2x
D．y x1
答案：C
例 2．已知函数 f x m2 m 1 x5m3 ，当 m 为何值时， f x： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是 0, 上的 增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；
（5）是二次函数；
简解：（1）m 2 或 m 1（2）m 1（3）m 4（4）m 2
幂函数图象及其性质
幂函数图象及其性质
幂函数的图像与性质
1、幂函数的定义 形如 y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中 x
是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的
位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数
函数的自变量在指数位置。
例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．y x
幂函数知识点
幂函数知识点1. 幂函数定义幂函数是形如 \(y = x^n\) 的函数，其中 \(n\) 是实数。
当 \(n\) 为正整数时，幂函数的图像是一系列经过原点的点，且随着 \(n\) 的增加，曲线逐渐趋于平坦。
2. 幂函数的图像特征- 当 \(n > 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递增。
- 当 \(0 < n < 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递减。
- 当 \(n\) 为负整数时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内表现为周期函数，周期为 \(4\pi\)。
- 当 \(n = 0\) 时，函数退化为常数函数 \(y = 1\)。
3. 幂函数的性质- 奇次幂函数是奇函数，即 \(y(-x) = -y(x)\)。
- 偶次幂函数是偶函数，即 \(y(-x) = y(x)\)。
- 幂函数的导数是 \(y' = n \cdot x^{n-1}\)。
- 幂函数的积分是 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。
4. 幂函数的应用- 在物理学中，幂函数常用于描述物体的速度与加速度的关系。
- 在经济学中，幂函数可以用来模拟市场需求与价格的关系。
- 在工程学中，幂函数用于描述材料的强度与应力的关系。
5. 特殊幂函数- 指数函数 \(y = a^x\) 是幂函数的一种特殊形式，其中 \(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
- 对数函数 \(y = \log_a x\) 也是幂函数的一种特殊形式，其中\(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
6. 幂函数的运算法则- 幂的乘法：\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)- 幂的除法：\(x^m / x^n = x^{m-n}\)- 幂的幂：\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)7. 幂函数的极限- 当 \(x \to 0\) 时，\(x^n\) 的极限取决于 \(n\) 的值。
高中幂函数图像及性质
高中幂函数图像及性质
幂函数图像及性质总结：1.幂函数图像总结：α>0时，图像过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图像不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立。
1、幂函数的图像
2.幂函数性质总结：幂函数的图像一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。
（1）正值性质：当α>0时，幂函数y=x有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）(0,0）
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0
（2）负值性质：当α<0时，幂函数y=x有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数是一种常见的函数形式，表示为 $ f(x) = ax^b $，其中a和b是实数常数，且b不等于零。
在本文中，我们将探讨幂函数的图像和性质，帮助读者更好地理解幂函数在数学中的应用和意义。
幂函数的图像特征幂函数的图像一般呈现为一条曲线，其形状取决于幂函数中的指数b的正负性和大小。
当b>0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递增；当b<0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递减。
若b为偶数，则幂函数的图像在第一和第三象限中均为非负，且在原点处取得最小值；若b为奇数，则幂函数的图像在第一、第三象限中一正一负，且在原点处有切线。
幂函数的性质总结1.定义域和值域：幂函数的定义域为全体实数集 $ \mathbb{R} $，值域取决于指数b的正负性。
2.奇偶性：当指数 $ b $ 为偶数时，幂函数是偶函数；当指数 $ b $ 为奇数时，幂函数是奇函数。
3.对称性：如果 $ b $ 为偶数，则幂函数关于y轴对称；如果 $ b $ 为奇数，则幂函数关于原点对称。
4.增减性：当 $ b > 0 $ 时，幂函数在定义域上递增；当 $ b < 0 $ 时，幂函数在定义域上递减。
5.极值点和拐点：幂函数的极值点和拐点通常出现在指数b为偶数的情况下。
6.与常函数的比较：当幂函数的指数b大于1时，其增长速度快于常函数；当指数b在 0 到 1 之间时，其增长速度为常函数；当指数b为负时，其绝对值小于 1 时，其增长速度慢于常函数。
结语通过以上对幂函数图像及性质的总结，我们可以更深入地理解幂函数在数学中的重要性和应用。
幂函数在数学建模、物理学等领域有着广泛的应用，希望本文能够帮助读者更好地理解幂函数的概念和特性。
幂函数及其性质
1 1.函数f(x)＝x＋ 为奇函数. x
2.函数f(x)＝x2，x[－1,1)为偶函数.
3.函数y＝f(x)在定义域R上是奇函数， 且在(－, 0]上是递增的，则f(x)在 [0, ＋)上也是递增的. 4.函数y＝f(x)在定义域R上是偶函数， 且在(－, 0]上是递减的，则f(x)在 [0, ＋)上也是递减的.
幂函数的图像和性质
回顾概念
幂函数： 凡是形如y=xa 的函数，就称为幂函数。 其中x为自变量，a为自然数。
几个常见幂函数
y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=x1/2
1. 画图
在同一平面直角坐标系内，
作出幂函数的图像。
y x, y x , y x ,
2 3
y x , y x
R R
奇偶性： 在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
y x
1 2
定义域：[0,) 值 域： ,) [0 奇偶性： 非奇非偶函数
在 单调性： [0,)上是增函数
y x
1
定义域：{x x 0} 值
{ 域：x x 0}
在 奇偶性： {x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
1 2
1
y
Y=x²
Y=x³
Y=x
y x
1 2
y x
1
O
x
研究函数的 2. 图象和性质
定义域： 值 域：
R R
在R上是奇函数 奇偶性：
单调性：在R上是增函数
定义域：
R
值
[ 域： 0,)
奇偶性：在R上是偶函数
在(,0]上是减函数
单调性： 在[0,)上是增函数
定义域： 值 域：
3.4幂函数的图像及其性质
授课主题：幂函数教学目标1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质.2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并能进行简单的应用.教学内容1．幂函数的定义：一般地，形如()Ry xαα=∈的函数称为幂函数，其中α是常数．2．幂函数的图象：函数y x=2y x=3y x=12y x=1y x-=的图象-1-111y=xy=x3y=x2y=xy=1xyxOy x=2y x=3y x=12y x=1y x-=定义域R R R[0,)+∞(0)(0)-∞+∞，，值域R[0,)+∞R[0,)+∞(0)(0)-∞+∞，，奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性单调递增在(0]-∞，上减在[0)+∞，上增单调递增单调递增在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递减公共点(11)，(11)，(11)，(11)，(11)，图象所在象限一、三一、二一、三一一、三3．幂函数的性质：（1）所有的幂函数在(0)+∞，都有定义，并且图象都通过点(11)，； （2）0a >时，幂函数的图象通过原点，并且在[0)+∞，上是增函数； （3）0a <时，①幂函数在(0,)+∞上是减函数；②在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近．（4）任何幂函数图象都不经过第四象限； （5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． （6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （7）幂函数nm y x =奇偶性①当n 为偶数时，nm y x =为偶函数；②当n 为奇数，m 为奇数时，nm y x =为奇函数； ③当n 为奇数，m 为偶数时，n m y x =为非奇非偶函数．特别地，幂函数n y x =（Z n ∈），当n 为偶数时，n y x =为偶函数；当n 为奇数时，n y x =为奇函数．题型一 幂函数概念的理解应用例1 函数223()(1)mm f x m m x +-=--是幂函数，且当()0,x ∈+∞时，()f x 是增函数，求()f x 的解析式.点评：幂函数y ＝x α(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验根，以免增根．巩 固 函数221()(2)mm f x m m x +-=+是幂函数且是奇函数，则实数m 的值是___________.答案：-1题型二 利用幂函数的性质比较大小例2 比较下列各组中两个数的大小：点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来比较大小．巩固比较下列各组数的大小：题型三求幂函数的解析式例3巩固幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(9)＝________.答案：3A组2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是() A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．二次函数解析：本题考查幂的运算性质f(x)f(y)＝a x a y＝a x＋y＝f(x＋y).答案：C3．函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋2是幂函数且函数f(x)为偶函数，求m的值．解析：∵f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋2是幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.当m＝1，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，符合题意，∴m＝2.B组1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是()A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1答案：B答案：B 3．函数y ＝x－2在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( )A.14 B ．－14 C ．4 D ．－4答案：①＜ ②＜ ③＞ ④＜答案：AC 组1．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0,0)和(1,1)点，则正确的判断是( )A ．(1)对(2)错B ．(1)错(2)对C ．(1)(2)都错D ．(1)(2)都对 答案:C2．上图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，12，2四个值，则相应图象依次为：______.答案:C 4，C 2，C 3，C 1 3．设f (x )＝(a －3)x (a＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？(3)f (x )为正比例函数？ 答案:1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．2．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2， 即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2. 3．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错 解析：选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0， ∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点． 4．函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01－x ≥0，∴x <1.答案：(－∞，1)5．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．2解析：选C.设f (x )＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12. 6．下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( )A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13D ．y ＝x －34解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x ≥0；C.y ＝x －13＝13x ，x ≠0；D.y ＝x －34＝14x3，x ＞0.7．已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x ≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m ≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B. 8．下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③D ．①④解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x ≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确． 9．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．10．幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( )A ．α＞1B ．0＜α＜1C ．α＞0D ．α＞0且α≠1解析：选A.当x ＞1时f (x )＞1，即f (x )＞f (1)，f (x )＝x α为增函数，且α＞1. 11．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x )的解析式是________．解析：设f (x )＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f (x )＝x 1212．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．解析：结合幂函数的图象性质可知p <1. 答案：p <113．如图所示的函数F (x )的图象，由指数函数f (x )＝a x 与幂函数g (x )＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．解析：依题意得⎩⎨⎧ a 14＝1214α＝12⇒⎩⎨⎧a ＝116，α＝12.所以a a＝(116)116＝[(12)4]116，a α＝(116)12＝[(12)32]116，αa ＝(12)116，αα＝(12)12＝[(12)8]116，由幂函数单调递增知a α＜αα＜a a ＜αa . 答案：a α＜αα＜a a ＜αa11 14．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.15．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？解：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2.16．已知幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3.又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．。
5、幂函数图像与性质
函数 y x 的图像
2
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 在R上是偶函数 单调性： 在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x
1
的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{ y
y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性： 在(0,)上是减函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p= w 元 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
yx
2
a
2
yx
y x
1 2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V
a
3
3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 边长 a 度
幂函数的图象及性质
1 -1, 2 , 时的情形。
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3,
五个常用幂函数的图像和性质
3 2 y x y x (1) (2) y x (3)
(4) y x
1 2
(5) y x
1
函数 y x 的图像
定义域： 值 域：
R R
奇偶性：在R上是奇函数
单调性：在R上是增函数
函数 y x 的图像
1 2性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y=x
定义域 值域 R R
y = x2
R [0，+∞） 偶函数
y=
x3
y x
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
幂函数图像与性质(有的有,有的没有)
幂函数的性质与图像1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0， +∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. （4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3y x =、12y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
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a=1
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
0<a<1
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
a=0
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
（1）1与 比较时，可将1化为
，
即要么与数同底，要么与数同指
若能化为同指数，则用幂函数的单调性； 若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
例3
若m
4
1 2
3
2m
1 2
,
则求m的取值范围.
解
:Q
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围. 32
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数;
-4
-2
2
4
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
3、α为奇数时,幂函数为奇函数,
-2
α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
幂函数在第一象限内的图像与性质
0< <1
>1
<0
图
象y
y
y
特1 点 o1
（1）y 3x;
(2) y
1 x2
;
(3) y 2x2;
(4) y x2 1;
(5) y 1;
(6) y 1 ； x
(7) y (x 1)2 (8) y x0 (9) y x3
答案（2）（6）（8）
快速反应
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
y x1
[0，+∞）
，0 U（0，+）
a为图奇像数时函数为
奇函数，a为偶数 时，函数为偶函数
奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数 奇函数
单调性 公共点
在R上是 增函数
在（－∞,0]上 是减函数，在 (0, +∞）上是 增函数
在R上是 增函数
在(0，+∞)上是 在( －∞,0)，(0,
增函数
+∞）上是减函数
B1
y x3
C1
y x2
yA
H
y
Jy
Dy
Fy
OX
(A)
y
OX
(B)
y
O
X
OX
OX
(C)
(D)
(E)
y
y
OX
(F)
OX
(G)
O
X
(H)
OX
OX
(I)
(J)
例2.利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.
-2
-2
（3）2.5 5 与2.7a<50a>1
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度
1
a S2
1
y x2
V t 1 km / s
y x1
幂函数的定义：
一般地，函数 y x叫做幂函数(power
function) ，其中x为自变量， 为常数。
注意： (1) 指数是常数；底数是自变量；
（2）幂函数的解析式必须是 y x 的形式，x
练习4：
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
α>1 a=1
0<α<1
如果α<0,则幂函数
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
范例讲解
1、如果函数 f (x) (m2 m 1)xm22m3
是幂函数，求满足条件的实数m的值.
2、已知幂函数
图像过点（3,27），求
的值
范例讲解
3、求下列函数的定义域。
解：（1）
（2） 则定义域为
则定义域为
式子有意义时满足
求幂函数的定义域时将幂的形式转化为根式
定义域：{x x 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3 y=x1/2
… -2
-1
0
… -8 -1 0 … / /0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2
-4 -6 -8
1
2
18 12 y=x3
23 4
3 4…
27 64 …
3 2…
提高训练
1、已知幂函数
的值。
图像过点（-2,16），求
2、求下列函数的定义域。
3、
1、解：由题意得： 函数达式为
2、解（1） 则定义域为
（2）
式子有意义时满足
式子有意义时满足 则定义域为
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ，-1 2
时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
） 利 用
性 判 断
数型单无
）调（
2
函性）
问题引入
我们先看几个具体问题:
w (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p= 元
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
yx
S a2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V a3
y x2
y x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、奇偶性和单调性，随常数α取值 的不同而不同.
y=x
定义域
R
y = x2
R
y= x3
R
1
y x2
（3）奇偶性与a有关
范例讲解
例1、如果函数f (x) (m2 m 1)xm22m3
是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满
足条件的实数m的值.
解：由题意有 m2 m 1 1
m2 2m 3 0
m2 m 2 0 m2 2m 3 0
m 2或m 1 m2 2m 3 0
m 2
从而有 f (x) x3 是幂函数，且在区间（0，
+∞）内是减函数.
练习4：
已知函数 f (x) m2 3m 3 xm22 是幂函
数,并且是偶函数，求m的值。
解:因为f (x) m2 3m 3 xm22是幂函数
m2 3m 3 1 解之得: m 2或m 1
又因为f (x)是偶函数
前的系数必须是1，没有其它项。
（3）定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比：
式子
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
名称
常数
x
a为底数 指数
α为指数 底数
y
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
练习：判断下列函数哪几个是幂函数？
a<0a>1 a=1
0<a<1
a=0
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
指数相同的
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
两个数比较 大小：先分
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
公式整理 函数图像及性质整理
函数
指数函数
对数函数
幂函数
图像
定义域 单调性
奇偶性 共同点
南漳县职教中心 黄晓梅
温故知新
为单共
增调同
函性特
义 域 上 为 减 函
数 ， 底 数 在 到
1
一 致 底 数 大 于
1
点 ： （ ） 无 奇
01
数
之 间 ，， 定 义 域2偶 性 （定上）
比单常
较调见
数 求 定
大 小 底
性 判 断
题 型 （
1
义 域 底
4
数 （ ）
3
底 数 （
） 奇 偶
数 、 真
对 数 （
1 xo1
1 x o1
x
性 都经过定点（1，1） 质
在[0，+∞)为
在[0，+∞)为单
单调增函数.（慢增） 调增函数.
（快增）
在（0，+∞)为 单调减函数. (慢减)
幂函数在第一象限内的图像与性质