幂函数图像与性质

练习4：
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
α>1 a=1
0<α<1
如果α<0,则幂函数
B1
y x3
C1
y x2
yA
H
y
Jy
Dy
Fy
OX
(A)
y
OX
(B)
y
O
X
OX
OX
(C)
(D)
(E)
y
y
OX
(F)
OX
(G)
O
X
(H)
OX
OX
(I)
(J)
例2.利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.
-2
-2
（3）2.5 5 与2.7a<50a>1
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度
1
a S2
1
y x2
V t 1 km / s
y x1
幂函数的定义：
一般地，函数 y x叫做幂函数(power
function) ，其中x为自变量， 为常数。
注意： (1) 指数是常数；底数是自变量；
（2）幂函数的解析式必须是 y x 的形式，x
（1）1与 比较时，可将1化为
，
即要么与数同底，要么与数同指
若能化为同指数，则用幂函数的单调性； 若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
例3
若m
4
1 2
3
2m
1 2
,
则求m的取值范围.
解
:Q
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0wenku.baidu.com 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围. 32
a=1
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
0<a<1
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
a=0
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
函数 y x的图像
定义域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数 在(,0]上是减函数
函数 y x1 的图像
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
公式整理 函数图像及性质整理
函数
指数函数
对数函数
幂函数
图像
定义域 单调性
奇偶性 共同点
a<0a>1 a=1
0<a<1
a=0
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
指数相同的
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
两个数比较 大小：先分
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、奇偶性和单调性，随常数α取值 的不同而不同.
y=x
定义域
R
y = x2
R
y= x3
R
1
y x2
前的系数必须是1，没有其它项。
（3）定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比：
式子
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
名称
常数
x
a为底数 指数
α为指数 底数
y
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
练习：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x;
(2) y
1 x2
;
(3) y 2x2;
(4) y x2 1;
(5) y 1;
(6) y 1 ； x
(7) y (x 1)2 (8) y x0 (9) y x3
答案（2）（6）（8）
快速反应
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
m 2
从而有 f (x) x3 是幂函数，且在区间（0，
+∞）内是减函数.
练习4：
已知函数 f (x) m2 3m 3 xm22 是幂函
数,并且是偶函数，求m的值。
解:因为f (x) m2 3m 3 xm22是幂函数
m2 3m 3 1 解之得: m 2或m 1
又因为f (x)是偶函数
提高训练
1、已知幂函数
的值。
图像过点（-2,16），求
2、求下列函数的定义域。
3、
1、解：由题意得： 函数达式为
2、解（1） 则定义域为
（2）
式子有意义时满足
式子有意义时满足 则定义域为
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ，-1 2
时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
定义域：{x x 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3 y=x1/2
… -2
-1
0
… -8 -1 0 … / /0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2
-4 -6 -8
1
2
18 12 y=x3
23 4
3 4…
27 64 …
3 2…
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3
(-2,4)
4 y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1 1、所有幂函数在(0，+∞)上都有定
y=x 2
义，并且图象都通过点(1,1).
2
(4,2)
1
） 利 用
性 判 断
数型单无
）调（
2
函性）
问题引入
我们先看几个具体问题:
w (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p= 元
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
yx
S a2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V a3
y x2
y x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长
1 xo1
1 x o1
x
性 都经过定点（1，1） 质
在[0，+∞)为
在[0，+∞)为单
单调增函数.（慢增） 调增函数.
（快增）
在（0，+∞)为 单调减函数. (慢减)
幂函数在第一象限内的图像与性质
0
1
＝1
（1）、都过定点（1,1）
0 1
（2）a大于零在第一象限为增函数； a小于零，在第一象限为减函数
y x1
[0，+∞）
，0 U（0，+）
a为图奇像数时函数为
奇函数，a为偶数 时，函数为偶函数
奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数 奇函数
单调性 公共点
在R上是 增函数
在（－∞,0]上 是减函数，在 (0, +∞）上是 增函数
在R上是 增函数
在(0，+∞)上是 在( －∞,0)，(0,
增函数
+∞）上是减函数
（1）5.1－2 __＞__ 5.9－2； （2） 1.73.5 _＞___ 1.73； （3）若3a＞2a，则a __＞__ 0。
0 1 ＝1
0 1
例2： 比较下列各值的大小 解：幂（函1数）
指数为负
（同指数，指数为正，对应函数为 增函数，底数越大，数越大）
指数函数
（1）
（同底数，底数在0到1之间， 指数越大数越小）
m 1不符合题意， 舍去
m 2
范例讲解
练习 如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象限内的图象，已知 a分
别取 1,1, 1 , 2 四个值，则相应图象依次为:_C__4__C__2_ C3 C1 2
1
yx 2
2
y x3
I5
G 3
y x3 y x2
4
y x3
E
yx
y x 3 y x 2
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温故知新
为单共
增调同
函性特
义 域 上 为 减 函
数 ， 底 数 在 到
1
一 致 底 数 大 于
1
点 ： （ ） 无 奇
01
数
之 间 ，
， 定 义 域
2
偶 性 （
定上）
比单常
较调见
数 求 定
大 小 底
性 判 断
题 型 （
1
义 域 底
4
数 （ ）
3
底 数 （
） 奇 偶
数 、 真
对 数 （
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数;
-4
-2
2
4
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
3、α为奇数时,幂函数为奇函数,
-2
α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
幂函数在第一象限内的图像与性质
0< <1
>1
<0
图
象y
y
y
特1 点 o1
清指数正负， 指数为正，
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
底数越大， 数越大，指
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
数为负，底 数越大，数 反而越小
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
用不等号填空：
指数相同的 两个数比较 大小：先分 清指数正负， 指数为正， 底数越大， 数越大，指 数为负，底 数越大，数 反而越小
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
范例讲解
1、如果函数 f (x) (m2 m 1)xm22m3
是幂函数，求满足条件的实数m的值.
2、已知幂函数
图像过点（3,27），求
的值
范例讲解
3、求下列函数的定义域。
解：（1）
（2） 则定义域为
则定义域为
式子有意义时满足
求幂函数的定义域时将幂的形式转化为根式
（3）奇偶性与a有关
范例讲解
例1、如果函数f (x) (m2 m 1)xm22m3
是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满
足条件的实数m的值.
解：由题意有 m2 m 1 1
m2 2m 3 0
m2 m 2 0 m2 2m 3 0
m 2或m 1 m2 2m 3 0