函数的凹凸性

x
y x2
1
(1,1)
y
o
1 y x
1
x
6、双曲函数
由
e x , e x 构成.
y cosh x
e x ex 双曲正弦 sinh x 1 x 2 y e
D : ( ,),
奇函数.
x x
2
e e 双曲余弦 cosh x 2
D : ( ,),
1 x y e 2
(a 0, a 1)
ye
x
1 x y( ) a
y ax
(a 1)

(0,1)
2、对数函数 y log a x
(a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
y x (是常数) 3、幂函数 y
y x
y log 2 x 在 0 x 1 内为凸函数。所以答案为 B。
点评:只要能作出这四个初等函数的草图,马上根据函数 的凹凸性可直接作结论.
典例 2.（05 北京理工科 13） ．对于函数 f ( x ) 定义域中 任意的 x1 , x 2 ( x1 x 2 ) ，有如下结论： ① f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ； ② f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ；
函数的凹凸性
一、曲线的凹凸性与拐点
一、曲线的凹凸性与拐点
如图，观察抛物线 y x , y x ，它们 在区间[0，1]上都是单调增加的，但弯曲的方向 y 不一样。
2
这说明，在研究函数的图形时， 仅知道他们的单调性是不够的， 还需要考察曲线的弯曲方向及 扭转弯曲方向的点。 1 o 1 x
二、凹凸与拐点的定义
典例 1. （05 湖北卷） 在 y 2 , y log 2 x, y x , y cos 2 x 这 四 个 函 数
x 2
中
，
当
0 x1 x2 1
时
，
使
x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数 f( ) 2 2
是（ B ） A．0 B． 1 C．2 D．3
x1 x2 2
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 (1) 若恒有 图形是凹的; (2) 若恒有 图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 则称 在区间 I 上连续 , 则称
y y y
o o o
xx x xx x x x x 11 11 22 x 22 x 22
D 在
f ( x)
上
有
：
yD f (
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 故④不正确 ) yC 2 2
点评:本题主要考查了 f ( x) lg x 函数运算性质以及直 线斜率应用,题目较综合 .判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
定 义 在
R
上 的 函 数
1 1 1 2 1 1 1 2 1 当 1 时， ( ) 取得最大值 2 ， ( ) 取得最小值 0 x 2 4 x 2 4 x
2 a 0 结合 a 0 ， a [2,0) 。
指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。
x y a 1、指数函数
y sinh x
偶函数.
sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x x cosh x e e
D : ( ,)
奇函数,
有界函数,
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x
x
x
定义域：( , ) 奇函数 单调递增 有界
定义: 若曲线段向上（下）弯曲， 则称之为凹（凸）的。
y
C
B
A
o
x
y f ( x)
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?
y
y f ( x)
y
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段（的中点） 位于所张弦的下方。
图形上任意弧段（的中点） 位于所张弦的上方。
二、曲线的凹凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
o
A
x
y
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
x x2 f( 1 ) f ( x1 ) 2
y f ( x)
y
f(
x1 x 2 ) 2
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
o
x1
x1 x2 2
x2
x
o
x1
chx e e 双曲余切 cothx x shx e e x
x
x
定义域：( , ) 奇函数
y thx y cothx
双曲函数常用公式
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 解析:答案为 B。要使 f ( 恒成 ) 2 2
立， 由函数值的定义及函数图象即需要函数在 0 x 1 内为凸函数。 而 y 2 , y x 在 0 x 1 内为凹函数，
x 2
y cos 2 x 在 0 x 1 内 先 凸 后 凹 函 数 。 只 有
cosh 2 x sinh 2 x 1 ;
sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
cosh 2 x cosh x sinh x .
2 2
例9
解
1 x 求函数 f ( x ) (e e x ) 的反函数. 2 1 x 令 y (e e x ), 则 2 e 2 x 2 ye x 1 0
ex y
y2 1 y 1)
2
(舍去“-”)
x ln( y
将字母 x 与 y 互换,得 即
y ln( x
x 2 1)
f 1 ( x ) ln( x x 2 1)
f ( x)
满 足 ： 如 果 对 任 意
x1 , x2 R
都 有
x1 x2 1 f( ) f ( x1 ) f ( x2 )则称函数 f ( x ) 是 R 上的凹函数，已知二次函 2 2
数
f ( x ) ax 2 x (a R 且 a 0) ， 0 时函数 f ( x) 是凹函数； f ( x ) 1 ，试求实数 a 的范围。
凹函数。
（2）由
f ( x) 1 1 Байду номын сангаас f ( x) 1 1 ax 2 x 1
①
2 ax x 1 当 x 0 时， a R ，当 x (0,1] 时①即 恒成立 2 ax x 1
1 1 1 1 2 1 a x 2 x ( x 2 ) 4 1 即 恒成立，当 x (0,1] 时 1 ， 1 1 1 1 1 x a 2 ( )2 x x x 2 4
【知识背景】函数的凹凸性是高等数学的数学分析中
的研究函数的一个概念，是用来研究函数图象的变化趋 势的。
【高考联接】在高考中常借助函数的凹凸性来考查基
本初等函数的图象及性质，这一知识点常渗透在与函数 的图象与性质的选择填空题中。 经常与高中所学的函数、 三角、不等式知识相结合。此类问题的常规处理思路有 数形结合法、导数分析法、增量分析法、估猜法等。
f ( x1 ) f ( x 2 ) ③ 0; x1 x 2
x1 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) ④ f( ) . 2 2
当 f ( x ) lg x 时 ， 上述 结 论中正 确 结 论的 序 号 是 .
【详解】 对于①②可以用 f ( x ) lg x 直接验证即可②满足题意 对于③④如右图所示： 对于 f ( x ) lg x 图象上任意不同 两点 A( x1 , f ( x1 )) B ( x2 , f ( x2 ))
k AB
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 显 然 成 立 （ 可 以 用 x1 x2
1 0( x 0) ）故③正确 x ln10 x x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 再有 AB 中点 C （ 1 , )过 C 2 2 x x2 作 DC x 轴交 f ( x ) 于 D（ 1 , yD ) 2 f '( x )
（1） 求证：当 a （2） 如果 x
0,1 时
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( )＝ 解析： （1） 对任意的 x1 , x2 R, a 0 ， 2
2 2
1 x1 x2 2 x1 x2 2 2 2 2 ax1 x1 ax2 x2 2a( ) ax ax a ( x x 1 2 1 2 2 2 2 1 x1 x2 1 2 ) f ( x1 ) f ( x2 )故函数 f ( x) 是 ＝ a ( x1 x2 ) 0 ， f ( 2 2 2