结构力学稳定计算
《结构力学》习题集及答案（下册）第十章结构弹性稳定计算
第十章 结构弹性稳定计算一、判断题：1、稳定方程即是根据稳定平衡状态建立的平衡方程。
2、压弯杆件和承受非结点荷载作用的刚架丧失稳定都属于第一类失稳。
3、在稳定分析中，有n 个稳定自由度的结构具有n 个临界荷载。
4、两类稳定问题的主要区别是：荷载—位移曲线上是否出现分支点。
5、静力法确定临界荷载的依据是结构失稳时的静力平衡条件。
6、能量法确定临界荷载的依据是势能驻值原理。
二、计算题：7、用静力法推导求临界荷载cr P 的稳定方程。
PE I ,l8、写出图示体系失稳时的特征方程。
k lEIk AB P9、求刚架在反对称失稳时的稳定方程。
n 为常数。
l Pl P n E IEIEI A C BD10、求图示完善体系的临界荷载cr P 。
转动刚度kl k r 2=，k 为弹簧刚度。
P l k r kl kEIO O EI O O11、求图示刚架的临界荷载cr P 。
已知弹簧刚度l EI k 33= 。
PEIlA BC lO O 0EI k12、求图示中心受压杆的临界荷载cr P 。
PEI l13、用静力法求图示结构的临界荷载cr P ，欲使B 铰不发生水平移动，求弹性支承的最小刚度k 值。
PlEI A Bk14、用静力法确定图示具有下端固定铰，上端滑动支承压杆的临界荷载crP。
P PEI yxδly15、用能量法求图示结构的临界荷载参数crP。
设失稳时两柱的变形曲线均为余弦曲线：yxh=-δπ(cos).12提示：cos d sin22u u u uabab⎰=+⎡⎣⎢⎤⎦⎥214。
PEIP2EI h3EA16、用能量法求中心受压杆的临界荷载crP与计算长度,BC段为刚性杆，AB段失稳时变形曲线设为：()y x a xxl=-().32EIPllEIABCyx→∞17、用能量法求图示体系的临界荷载cr P 。
l PEIEI 1=H18、用能量法求图示中心压杆的临界荷载cr P ，设变形曲线为正弦曲线。
a类截面的轴心压杆稳定系数
a类截面的轴心压杆稳定系数一、引言a类截面的轴心压杆稳定系数是结构力学中的重要概念，用于评估压弯构件的稳定性。
本文将对a类截面的轴心压杆稳定系数进行全面、详细、完整且深入的探讨。
二、什么是a类截面a类截面是一种常见的截面形状，具有对称性和均匀分布的特点。
它通常由一条轴线和与轴线垂直的各种尺寸组成。
对于一个给定的a类截面，我们可以通过计算其轴心压杆稳定系数来评估它的稳定性。
三、轴心压杆稳定系数的定义轴心压杆稳定系数是指当压力作用在a类截面上时，截面的稳定性能。
它是根据截面抗弯和抗压能力的比值来定义的，表示截面抗弯能力与抗压能力之间的平衡状态。
四、轴心压杆稳定系数的计算方法根据轴心压杆稳定系数的定义，可以通过以下方法来计算：1.确定截面的几何尺寸：包括截面的面积、惯性矩、截面半径等。
2.计算截面的抗弯能力：根据截面形状和材料的力学性质，计算截面的抗弯强度。
3.计算截面的抗压能力：根据材料的力学性质和截面的几何尺寸，计算截面的抗压强度。
4.计算轴心压杆稳定系数：将截面的抗压能力除以抗弯能力，得到轴心压杆稳定系数。
五、a类截面的特点a类截面具有以下特点：1.对称性：a类截面的各个尺寸关于轴线对称，使其具有较好的整体稳定性。
2.均匀分布：a类截面的尺寸在轴线两侧均匀分布，使其在承受外力时具有更好的平衡性。
3.设计灵活性：a类截面的尺寸可以根据具体的工程需求进行设计，具有较好的适应性和可塑性。
六、影响a类截面轴心压杆稳定系数的因素a类截面的轴心压杆稳定系数受到以下几个因素的影响：1.截面形状：不同的截面形状对轴心压杆稳定系数有着不同的影响，例如圆形截面和方形截面的稳定性不同。
2.材料强度：材料的力学性质直接影响截面的抗压和抗弯能力，从而影响轴心压杆稳定系数。
3.边界条件：截面的边界条件（如固定边界、自由边界等）也会对轴心压杆稳定系数产生影响。
4.桥肋的宽度：桥梁中的桥肋宽度也会对轴心压杆稳定系数产生一定的影响。
结构力学教案中的结构刚度与稳定性解析学生如何分析结构的刚度和稳定性
结构力学教案中的结构刚度与稳定性解析学生如何分析结构的刚度和稳定性结构力学作为土木工程领域的一门重要课程，主要涉及力学原理和结构分析等内容。
在结构力学教学中，结构的刚度和稳定性是两个核心概念。
学生通过学习结构刚度与稳定性的解析方法，能够深入理解结构的力学行为，提高工程设计的准确性和安全性。
本文将就结构力学教案中的结构刚度与稳定性解析方法进行探讨。
一、结构刚度的解析分析方法结构刚度是指结构在受到外力作用下的抵抗变形的能力。
学生通过结构力学教案的学习，能够掌握以下几种解析分析刚度的方法：1. 刚度系数法：刚度系数法是一种常用的解析分析方法。
它通过推导出结构在受力作用下的刚度方程，得出结构的刚度。
学生需要了解各种力学公式和结构的受力情况，通过建立刚度方程求解刚度系数。
2. 能量方法：能量方法是一种基于能量守恒原理的解析分析方法。
学生可以通过建立结构的势能和应变能之间的关系方程，求解结构的刚度。
这种方法需要学生掌握应变能的计算和能量守恒原理的运用。
3. 变分原理：变分原理是一种基于变分计算的解析分析方法。
学生可以通过定义变分函数和变分表达式，通过极值求解得到结构的刚度。
这种方法需要学生掌握变分运算和变分原理的应用。
二、结构稳定性的解析分析方法结构的稳定性是指结构在受到外力作用下不失去平衡的能力。
学生通过结构力学教案的学习，能够掌握以下几种解析分析稳定性的方法：1. 欧拉稳定性方程：欧拉稳定性方程是解析分析结构稳定性的一种重要方法。
学生需要理解欧拉公式和结构的稳定边界条件，通过对欧拉稳定性方程进行求解，得到结构的临界荷载和临界部分的稳定性。
2. 杆件失稳分析：对于杆件结构，学生可以通过杆件失稳分析的方法进行稳定性分析。
这种方法需要学生掌握杆件失稳的判据和失稳模式的分析，通过对结构的杨氏模量和惯性矩的计算，求解杆件的稳定性。
3. 根据极值条件求解：学生可以根据力学平衡和结构不变形的条件，通过求解极值来得到结构的稳定性。
结构的稳定性分析
结构的稳定性分析结构的稳定性是指在外力作用下，结构是否能保持其原有的形状和稳定性能。
在工程领域中，结构的稳定性分析是非常重要的一项内容，它关系到工程结构的性能和安全性。
本文将从理论基础、分析方法和实际案例三个方面，对结构的稳定性分析进行探讨。
一、理论基础结构的稳定性分析依托于力学和结构力学的基本理论。
结构的稳定性问题可以归结为结构的等效刚度和等效长度的问题。
等效刚度是指结构在外力作用下的变形程度，而等效长度则是指结构的几何形状与尺寸。
通过对结构的等效刚度和等效长度进行计算和分析，可以判断结构的稳定性。
二、分析方法1. 静力分析法静力分析法是最常用的结构稳定性分析方法之一。
它基于结构在平衡状态下的力学平衡方程，通过计算结构内力和外力的平衡关系，确定结构是否能保持稳定。
静力分析法主要适用于简单的结构体系，如悬臂梁、简支梁等。
2. 动力分析法动力分析法是一种基于结构的振动特性进行稳定性判断的方法。
通过分析结构的自然频率、振型和阻尼比等参数，可以确定结构的稳定性。
动力分析法适用于复杂的结构体系，如桥梁、高层建筑等。
3. 线性稳定性分析法线性稳定性分析法是一种通过求解结构的特征方程，得到结构的临界荷载（临界力）的方法。
线性稳定性分析法适用于线弹性结构，在分析过程中通常假设结构材料的性质符合线弹性假设，结构的变形量较小，且作用于结构的荷载为线性荷载。
三、实际案例以钢柱稳定性为例，介绍结构的稳定性分析在实际工程中的应用。
钢柱是承受垂直荷载的重要组成部分，其稳定性直接关系到整个结构的安全性。
通过使用静力分析法和线性稳定性分析法，可以确定钢柱的临界荷载并判断其稳定性。
在静力分析中，需要计算钢柱受力状态下的内力和外力之间的平衡关系。
通过引入等效长度和等效刚度的概念，可以将实际的钢柱简化为等效的杆件模型，从而进行稳定性计算。
在线性稳定性分析中，通过建立钢柱的特征方程，并求解其特征值和特征向量，可以得到钢柱的临界荷载。
结构力学的支座的受力与稳定研究
结构力学的支座的受力与稳定研究结构力学是研究物体在受力作用下的力学性质和变形规律的学科。
在结构工程中，支座是指支撑和保持结构稳定的装置。
支座的设计和选择对结构的安全性和稳定性至关重要。
本文将探讨结构力学中支座的受力与稳定性研究。
支座承受着来自上部结构的荷载，并将这些荷载传递到地基或其他承载层上。
支座的受力与稳定性研究主要包括支座的静力分析和稳定性分析两个方面。
首先，支座的静力分析是确定支座所受荷载的大小和方向。
在实际工程中，荷载可以分为垂直荷载和水平荷载两种情况。
垂直荷载包括自重、活载和附加荷载等，而水平荷载则包括地震力和风载等。
通过考虑这些荷载的大小和方向，可以确定支座的受力情况。
其次，支座的稳定性分析是研究支座在受力作用下的稳定性能。
在结构工程中，稳定性是指结构在受力作用下不发生倾覆或失稳的能力。
支座的稳定性分析需要考虑支座的几何形状、材料性质以及受力情况等因素。
通过稳定性分析，可以确定支座的最佳形状和尺寸，以提高支座的稳定性。
在研究支座的受力与稳定性时，还需要考虑支座与上部结构之间的相互作用。
支座与上部结构之间的相互作用可以通过力和位移的分析来研究。
在分析力和位移时，常使用的方法有位移法和力法。
位移法是通过计算支座和上部结构之间的相对位移来分析力的传递路径，而力法则是通过计算支座和上部结构之间的相互作用力来分析力的传递路径。
综上所述，结构力学的支座的受力与稳定研究是结构工程中的重要内容。
通过对支座的静力分析和稳定性分析，可以确定支座的受力情况和稳定性能。
同时，还需要考虑支座与上部结构之间的相互作用，以确保结构的安全性和稳定性。
通过对结构力学中支座的受力与稳定性研究的深入分析，可以为工程设计和结构工程的发展提供重要的理论基础和实际指导。
工程力学中的结构力学稳定性分析
工程力学中的结构力学稳定性分析在工程力学中，结构力学稳定性分析是一个重要的研究领域。
通过对结构的受力和变形进行分析，评估结构在承受外力作用下的稳定性，为工程设计提供有效的指导和优化方案。
本文将从力学稳定性的基本原理、应用方法和实际案例等方面进行探讨。
一、力学稳定性的基本原理工程力学中的力学稳定性是指结构在外力作用下保持平衡和稳定的能力。
力学稳定性分析考虑的主要因素包括结构的几何形状、受力状况及其材料特性等。
在设计过程中，有效的力学稳定性分析能够避免结构因承受过大压力而发生变形破裂或倒塌等事故。
力学稳定性分析的基本原理是基于结构拟静力平衡条件和平衡状态下能量最小原理。
结构在平衡状态下，内力和外力之间应满足一定的关系。
通过应力和应变的分析，可以确定结构的稳定性边界，即结构变形或破坏的临界条件。
二、结构力学稳定性分析的应用方法1. 基于线性弹性理论的稳定性分析线性弹性理论假设结构在受力作用下的变形是线性的，且材料具有线弹性特性。
基于此理论，可以建立结构的有限元模型，并利用数值计算方法进行力学稳定性分析。
通过求解结构的特征值问题，可以确定结构的临界荷载和稳定性边界。
2. 基于非线性力学的稳定性分析当结构受到较大的位移和应变时，线性弹性理论可能无法准确描述结构的力学行为。
此时，需要采用非线性力学的稳定性分析方法。
例如，可以引入材料的非线性特性，考虑材料的屈曲和稳定性失效等因素，进一步提高分析结果的准确性。
三、实际案例：桥梁稳定性分析为了更好地理解工程力学中的结构力学稳定性分析，我们以桥梁为例进行实际案例分析。
以一座跨越江河的桥梁为研究对象，通过测量和建模，得到桥梁的几何形状和材料特性。
在加载分析中，考虑桥梁承受的交通载荷和水流冲击力等外力作用。
基于线性弹性理论，通过有限元分析方法对桥梁进行力学稳定性分析。
通过稳定性分析，我们可以得知桥梁的临界荷载和变形情况。
如果发现存在超出桥梁设计荷载的问题或结构稳定性边界过小，需要进行结构优化设计。
结构力学常用公式
结构力学常用公式
结构力学是研究结构在外力作用下的变形和破坏规律的学科。
在结构力学中，有一些常用的公式，这些公式是研究结构力学的基础，下面我们来介绍一下这些公式。
1. 应力公式
应力是指单位面积内的力，常用的应力公式有：
σ=F/A
其中，σ表示应力，F表示力，A表示面积。
2. 应变公式
应变是指物体在受力作用下发生的形变，常用的应变公式有：
ε=ΔL/L
其中，ε表示应变，ΔL表示长度变化量，L表示原长度。
3. 弹性模量公式
弹性模量是指材料在弹性变形时单位应力下的应变，常用的弹性模量公式有：
E=σ/ε
其中，E表示弹性模量，σ表示应力，ε表示应变。
4. 梁的挠度公式
梁的挠度是指梁在受力作用下发生的弯曲形变，常用的梁的挠度公式有：
δ=(5WL^4)/(384EI)
其中，δ表示梁的挠度，W表示梁的集中荷载，L表示梁的长度，E表示梁的弹性模量，I表示梁的截面惯性矩。
5. 柱的稳定公式
柱的稳定是指柱在受力作用下不发生侧向位移的能力，常用的柱的稳定公式有：
Pcr=π^2EI/(KL)^2
其中，Pcr表示柱的临界压力，E表示柱的弹性模量，I表示柱的截面惯性矩，K表示柱的端部支承系数，L表示柱的长度。
以上就是结构力学常用公式的介绍，这些公式是结构力学研究的基础，掌握这些公式对于学习结构力学非常重要。
建筑中的结构力学与稳定性分析
建筑中的结构力学与稳定性分析在建筑领域中，结构力学与稳定性分析是非常重要的一部分。
它们涉及到建筑物的强度、稳定性以及抗震性能等方面，对于确保建筑物的安全性和可靠性具有至关重要的作用。
本文将对建筑中的结构力学与稳定性分析进行探讨。
一、结构力学结构力学是研究物体受力和变形的力学学科，其应用范围广泛，涉及到了建筑、桥梁、管道等领域。
在建筑领域中，结构力学的目的是确定建筑物的受力情况，以确保其足够强大，能够承受各种荷载和外部力的作用。
在结构力学中，常用的分析方法包括静力学和动力学。
静力学是研究物体在静力平衡状态下的受力情况，通过受力平衡方程可以计算出各个节点的受力情况。
在建筑中，静力学分析方法可以用于确定建筑物的内力分布、应力大小以及变形情况。
动力学是研究物体在受到外部力作用下的运动情况，包括振动和冲击等。
在建筑中，动力学分析方法可以用于评估建筑物的抗震性能。
通过计算建筑物在地震作用下的响应，可以确定其是否满足相关的抗震要求，并采取相应的措施来提高抗震性能。
二、稳定性分析稳定性分析是指对建筑物在受到外部力作用下的稳定性进行评估和分析的过程。
建筑物的稳定性是指其在受力后不会发生失稳、倾覆或垮塌的能力。
稳定性分析主要包括两个方面，即静力稳定性和动力稳定性。
静力稳定性是指建筑物在受到静力荷载作用下的稳定性能。
通过计算建筑物的重心位置、最大倾覆力矩等参数，可以判断建筑物是否具有足够的抗倾覆能力。
动力稳定性是指建筑物在受到动力荷载作用下的稳定性能。
在地震等动力荷载作用下，建筑物可能发生横向倾覆或垮塌的现象。
动力稳定性分析方法可以通过计算建筑物的自振周期、阻尼比等参数，来评估其在地震作用下的稳定性。
稳定性分析还涉及到建筑材料的强度与稳定性。
不同的材料具有不同的力学特性，对建筑物的稳定性产生不同的影响。
因此，在建筑设计中需要对材料的强度进行合理的选择和计算，以保证建筑物的稳定性。
结构力学与稳定性分析是建筑设计中必不可少的一环，它们确保了建筑物的稳定性和安全性。
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非完善体系的失稳形式是极值失稳。
（2）小扰度理论
设
，
，得平衡条件
解得
图 15-9 不大扰度相比，对于非完善体系，小扰度理论未能得出临界荷载会逐渐减小的结论。
3．几点认识 （1）一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳； （2）分支点特征是在交叉点出现平衡形式的二重性； （3）极值点失稳特征是只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点； （4）结构稳定问题只有根据大扰度理论才能得出精确的结论； （5）小扰度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。
路径Ⅱ的平衡是丌稳定平衡，分支点 A 处的临界平衡状态也是丌稳定的。对于这类具
有丌稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时，按非完善体系进行。
（2）小扰度理论
若
，则倾斜位置的平衡条件为：
得
图 15-5 路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。 小扰度理论能够得出临界荷载的正确结果，但丌能反映倾角较大时平衡路径Ⅱ的下降趋 势。
新平衡为的平衡条件
由
，得
图 15-10
2．能量法
在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值原理，求出临界荷
载。
弹簧应变能
，荷载势能
体系的势能为：
应用驻值条件
，得
取非零解，得 临界状态的能量特征：势能为驻值，且位秱有非零解。
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讨论势能
15-2 试用两种方法求图示结构的临界荷载 qcr。假定弹性支座的刚度系数为 k。
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题 15-2 图 解：（1）解法一，按大挠度理论计算 体系变形图，如图所示。
结构力学教案 第14章 结构的稳定计算
P第十四章 结构的稳定计算14.1 两类稳定问题概述一、结构设计应满足三方面的要求1、强度2、刚度3、稳定性。
二、基本概念1、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称“失稳”。
工程中由于结构失稳而导致的事故时有发生，如加拿大魁北克大桥、美国华盛顿剧院的倒塌事故，1983年北京某科研楼兴建中的脚手架的整体失稳等，都是工程结构失稳的典型例子。
2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态（中性平衡状态）。
3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。
三、结构失稳的两种基本形式1、第一类失稳（分支点失稳）：结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。
2、第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。
c rc r14.2 确定临界荷载的静力法和能量法一、静力法1、临界状态的静力特征（1）体系失稳前在弹性阶段工作a 、应力、应变成线性关系。
b 、挠曲线近似微分方程成立。
（2）静力特征临界荷载具有“平衡状态的二重性”，因为它是由稳定平衡状态过渡到不稳定状态的极限状态。
2、定义：假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。
3、步骤：（1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。
（2）列静力平衡方程。
（3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界条件求稳定方程。
（4）解稳定方程，求临界荷载。
4、举例 试求图示结构的临界荷载。
x解“超越方程”的两种方法： 1、逐步逼近法（试算法）：2、图解法：以αl 为自变量，分别绘出z= αl 和 z=tg αl 的图形，求大于零的第一个交点， 确定αl 。
取最小根αl =4.493例14−1 图14−6（a ）所示一端固定、一端自由的杆件，BC 段为刚性，A B 段弯曲刚度为EI 。
试建立临界荷载的稳定方程。
解：任一截面的弯矩为稳定方程为展开次行列式得((二、能量法1、用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）（1）三种平衡状态a 、稳定平衡： 偏离平衡位置，总势能增加。
结构力学——结构的稳定计算1
5 nl
y
2
2
2
得 A Ql 0
BnPQ 0
P
A cn o B ls sn i n 0 l
经试算 nl4.493tannl4.485 1
0
0l n 1 0
Pcr n2EI (4.49)2E 3 I2.0 1E 9/Il2 l
cosnl sin nl 0 稳定方程
n cln o s lsn i n 0 l tanlnl
一.一个自由度体系
P
l EI
A k
k
1
k
MA0
kPslin0
小挠度、小位移情况下： sin
(k P)l0
0
k Pl0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k /l ---临界荷载
二.N自由度体系
Pk
（以2自由度体系为例）
MB 0 k1y lP (y2y1)0
y1 l EI kB
l
ky 1 ky 2
d2y2(x) d2M dx
dx2
GAdx2
Q
方程的通解
y(x)A co m sB xsim nx
边界条件 y (0) 0 y(l) 0
挠曲微分方程为
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
d2dy(x2x)E MIG Add2M x2
对于图示两端铰支的等截面杆,有
M P ,M y P y
x
d2dy(2xx)P EyIG PA dd2y2x
P EI y2(x)
y(1P)Py0
结构力学教学-11结构的稳定计算
y
稳定方程
k
k
脱离体，受 力分析
EI
y(x) n2 y
k
(l x)
1
0
k / FP
通解为
y(x)
A cos
nx
EI l B sin
nx
k
(l
x)
0 cos nl
n sin nl
(k / FPl 1) 0 0
边界条件 y(0) 0, y(0) P, ly(l) 0
A k 0
P
Bn ( k 1) 0
Pl
nl
tan nl
1 EI (nl)2
k l
解方程可得nl的 最小正根
FPcr n2EI
Acosnl Bsin nl 0
FP
FP
Q
l EI
y
x M
A y
k
k
nl
Q
tan nl
1 EI (nl)2
k l
解方程可得nl的 最小正根
FPcr n2EI
FP
若 k 0
tan nl 0
FP
l
l
l (1
cos
)
l
1
2
2
l
1 2
y2
l
y1
2
y2
y1 2
2l
,因而荷载所作的功为: W
FP
y2
y1 2
2l
l
(a) l
l (b)
B FP
B y2
FP B
例: 求图示结 构的临界 荷载.
FP k
l
k
l
FP y1
y2
EI
解: 应变能
结构稳定概述(结构稳定原理)
第1章结构稳定概述工程结构或其构件除了应该具有足够的强度和刚度外，还应有足够的稳定性，以确保结构的安全。
结构的强度是指结构在荷载作用下抵抗破坏的能力；结构的刚度是指结构在荷载作用下抵抗变形的能力；而结构的稳定性则是指结构在荷载作用下，保持原有平衡状态的能力。
在工程实际中曾发生过一些由于结构失去稳定性而造成破坏的工程事故，所以研究结构及其构件的稳定性问题，与研究其强度和刚度具有同样的重要性。
1.1 稳定问题的一般概念结构物及其构件在荷载作用下，外力和内力必须保持平衡，稳定分析就是研究结构或构件的平衡状态是否稳定的问题。
处于平衡位置的结构或构件在外界干扰下，将偏离其平衡位置，当外界干扰除去后，仍能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是稳定的；而当外界干扰除去后，不能自动回到其初始平衡位置时，则其平衡状态是不稳定的。
当结构或构件处在不稳定平衡状态时，任何小的干扰都会使结构或构件发生很大的变形，从而丧失承载能力，这种情况称为失稳，或者称为屈曲。
结构的稳定问题不同于强度问题，结构或构件有时会在远低于材料强度极限的外力作用下发生失稳。
因此，结构的失稳与结构材料的强度没有密切的关系。
结构稳定问题可分为两类：第一类稳定问题（质变失稳）—结构失稳前的平衡形式成为不稳定，出现了新的与失稳前平衡形式有本质区别的平衡形式，结构的内力和变形都产生了突然性变化。
结构丧失第一类稳定性又称为分支点失稳。
第二类稳定问题（量变失稳）—结构失稳时，其变形将大大发展（数量上的变化），而不会出现新的变形形式，即结构的平衡形式不发生质的变化。
结构丧失第二类稳定性又称为极值点失稳。
无论是结构丧失第一类稳定性还是第二类稳定性，对于工程结构来说都是不能容许的。
结构失稳以后将不能维持原有的工作状态，甚至丧失承载能力，而且其变形通常急剧增加导致结构破坏。
因此，在工程结构设计中除了要考虑结构的116强度外，还应进行其稳定性校核。
1.1.1 第一类稳定问题首先以轴心受压杆来说明第一类稳定问题。
结构力学 结构的稳定计算
0
简写为：
([K][S]){a} {0}
K S 0
这就是计算临界荷载的特征方程，其展开式是关于P的n 次线性方程组，可求出n个根，由最小根可确定临界荷载。
第14章
14.3 弹性支承等截面直杆的稳定计算
具有弹性支承的压杆的稳定问题。一般情况下有四类
x Δ
B EI y
Pc r kΔ
l x
y
x Δ Pc r
一、临界状态的静力特征
1、体系失稳前在弹性阶段工作
（1）应力、应变成线性关系。 （2）挠曲线近似微分方程成立。
2、采用小挠度理论分析
y
x
M0, 0
y M 或：EIy M EI
（1）无论采用小挠度理论，还是大挠度理论，所得临界荷载值 是相同的。
（2）大挠度理论可以反映体系屈曲失稳后平衡路径的变化，而 小挠度理论则欠缺，采用简化假定的原因。
0
sinαi cosαo 0
tanl l 3EI
k
(14-21)
第14章
二、一端自由、另一端为弹性抗转支座
x Δ Pc r
EI B y
x
平衡方程： 边界条件：
稳定方程：
M P( y )
(1) x 0: y 0
( 2 ) x 0 : y P
k
A
y MA= kθ θ
l tanl k
条件求稳定方程。 （4）解稳定方程，求临界荷载。
第14章
3、举例 （1）试求图示结构的临界荷载。
p
pcr
EI l x
x
y
pcr
解：建立坐标系、取隔离体、写平衡方程
R
M p y R (l x) (1)
l-x
结构力学稳定理论
解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定θ。 3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体θ系处于中性平衡P=Pcr
时，必有总势能θ=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。
2）能量法
•在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移
A
YA=Py1/l
y1
Bk
R1=ky1
y2
kC
R2=ky2
Dλ P YD=Py2/l
l
l
l cos
2l sin 2
2
1 2
l能①2量给法出12步新l(骤的ly )平:2 衡 形12 式yl 2 ;②写出
体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平
衡位置)当θ=0，Π为极小值0。
对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值
2）P>k/l ，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定） (即U<UP表示体系缺 少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。当 θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。
对于具有n找个新自的由平度衡的位结置构，，列新平的衡平方衡程形，式需E要I=∞n个独立的位
l
移参数确定，由在此新求的临平界衡荷形载式。下也可列出n个独立的平衡方程，
它们是以n个独立的位移参数为未知量的齐次代数方θ程组。根据
临P(l界Pl状Mkk态)A的静00 力θ特=0征，，原该始齐平次衡方程组除零解转外动（刚对应于原有平
结构力学 第十二章 结构弹性稳定
跳跃现象
（突跳失稳）
cr
Fcr
荷载增加到一定 程度时，构件由 受压突然翻转为 受拉，出现跳跃 现象。
c
Fcr
r
11 / 66
简单结构稳定分析
由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺 寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程 时都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成 正比，叠加原理适用。
在作稳定分析时，必须考虑变形的影响， 这时叠加原理不再适用。
kl
2.618kl 0.382kl
Pcr 0.382 kl y2 1.618 y1
Hale Waihona Puke ---临界荷载 ---失稳形式
17 / 66
三、无限自由度体系（P24）
x
挠曲线近似微分方程为：
P
P
EIy(x) M (x) M py Q(l x) EIy(x) Py Q(l x)
Q
Q
l
EI
yx
A
一个自由度
Pk y1
EI k B
A
y2
两个自由度
x
P
EI
yx y
无限多自由度
15 / 66
§12-2 用静力法确定临界荷载
稳定问题分析的基本方法之一：静力法 依据结构失稳时平衡的二重性，利用静力平衡条件， 确定临界荷载的方法——静力法。
一、一个自由度体系（P21）
P
MA 0
l EI A
k k
第十二章 结构弹性稳定
极值点失稳(第二类失稳)——失稳前后变形性质没
有发生变化，力－位移关系曲线存在极值点，达到
极值点的荷载使变形迅速增长，导致结构压溃。
F
F
F<Fcr
混凝土结构的稳定性计算原理
混凝土结构的稳定性计算原理一、引言混凝土结构是建筑工程中常见的一种结构形式。
混凝土结构的设计需要考虑到其稳定性，以确保其在使用过程中不会出现倒塌等安全问题。
本文将从混凝土结构的力学原理、荷载及其作用和混凝土结构的稳定性计算三个方面进行探讨。
二、混凝土结构的力学原理混凝土结构的力学原理包括材料力学和结构力学两个方面。
1. 材料力学混凝土是由水泥、砂、石等材料按一定比例配合而成的一种复合材料。
混凝土具有一定的强度和刚度，但其弹性模量较小，易受压缩力的影响。
在混凝土结构设计中，需要考虑混凝土的材料特性，如抗拉强度、抗压强度、弹性模量等。
2. 结构力学混凝土结构的结构力学涉及到力的平衡、变形、应力和应变等方面。
在混凝土结构设计中，需要考虑结构的受力情况，如荷载作用、结构的变形和应力状态等。
三、荷载及其作用荷载是指施加在混凝土结构上的外力，包括静荷载和动荷载两种。
静荷载包括自重荷载、永久荷载和可变荷载三种，动荷载包括风荷载、地震荷载等。
1. 自重荷载自重荷载是指混凝土结构自身重量所产生的荷载。
在混凝土结构设计中，需要考虑结构的自重荷载，以确保其能够承受自身重量。
2. 永久荷载永久荷载是指在混凝土结构使用过程中始终存在的荷载，如墙体受力、地基承载等。
在混凝土结构设计中，需要考虑永久荷载的影响，以确保结构稳定。
3. 可变荷载可变荷载是指在混凝土结构使用过程中可能出现的荷载，如人员、设备等。
在混凝土结构设计中，需要考虑可变荷载的影响，以确保结构能够承受可能出现的荷载。
4. 风荷载风荷载是指风对混凝土结构所产生的荷载。
在混凝土结构设计中，需要考虑风荷载的影响，以确保结构能够承受风荷载。
5. 地震荷载地震荷载是指地震对混凝土结构所产生的荷载。
在混凝土结构设计中，需要考虑地震荷载的影响，以确保结构能够承受地震荷载。
四、混凝土结构的稳定性计算混凝土结构的稳定性计算是指在结构受到荷载作用时，保证结构能够承受荷载并不发生倒塌等安全事故的计算过程。
结构力学-稳定计算
sin(
)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
23
Fpcr kl(1 sin 3 )2
极值点之后，位移增大而承载力反而减 小，所以位移增大的过程是不稳定的
临界荷载(极值点)和初
位移有关
单自由度非完善体系的极值点失稳
4.按小挠度理论
Fp
kl
cos
1
sin sin(
非完善体系
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态 所需要的独立几何参数（一般指的是位移, 并垂直于力的 方向）的数目
x Δ
B EI
Pc r kΔ
θ
A y
单自由 度体系
x Δ
B EI y
Pc r kΔ
l x
y
x Δ Pc r
EI B y
x
A y
MA= kθ θ
无限自由 度体系
Pc r RB
y EI
x A
y MA= kθ θ
小挠度理论与大挠度理论的位移计算差异
大挠度理论
小挠度理论
l sin
l
l
l(1 cos )
1 l 2 2
2l sin2
2
2l
2
大挠度理论
FRB=kΔ
y
单自由度非完善体系的极值点失稳
3.按大挠度理论
F 1.2 p
kl 1
0.8
0.6
0.4
ε=0 ε=0.01
ε=0.1 ε=0.2
Fpcr 1.2 kl 1
0.8 0.6 0.4
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2 k Fp 3l
1k 3
1 k
3 0 2 k Fp 3l
解得：
Fpcr1
1 3
kl
,
Fpcr2 kl
位移有无穷多个解，该状态下的体系为临界平衡状态
问题：荷载大于临界荷载时位移y1,y2也只有0解
16.3 有限自由度体系的稳定—能量法
总势能驻值原理(stationary principle of total potential energy) 体系静稳定平衡条件：
单自由度体系静力法求临界荷载（P216）
x
Δ Fp
B
θ
A y
MAB= kθ
l
解：设转角，位移 l
平衡方程： M A 0 Fpl M AB 0
M AB k 代入得： Fpl k 0
有非0解的条件
Fp
k l
临界荷载：
Fpcr
k l
问题：荷载大于临界荷载时角位移也只有0解
单自由度体系静力法求临界荷载例
对于完善体系的分支点失稳，无论采用小挠度理 论，还是大挠度理论，所得临界荷载值是相同的。
16.3 有限自由度体系的稳定—静力法
讨论分支点失稳问题，按小挠度理论求临界荷载
1、静力法
计算思路 假定体系处于微变形的临界状态，列出相应的平衡方程， 进而求解临界荷载。
计算步骤 （1）确定基本未知位移，取隔离体、建立静力平衡方程。 （2）建立平衡方程中位移有非0解条件的稳定方程(特征方 程)。 （3）求解稳定方程的临界荷载。 （4）求解稳定方程的特征向量, 绘失稳形式图(buckling mode)。
了性质上的突变，带有突然性。
临界状态
P
P>Pc r
分支点
P
临界荷载
新平衡
l
l
Δ
l/2
(a)直线平衡状态 (b) 弯曲平衡状态
C B
P2 Pc r P1
A
D 大挠度理论
D'
小挠度理论
O
Δ
（c） 荷载—位移曲线（P—Δ 曲线）
2、第二类失稳（非完善体系极值点失稳）：虽不出现新的 变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许 可值，结构不能正常工作。
k
k
解法2： （解法1详见P218） 设B,C点的竖向位移为y1，y2
隔离体
Fp
Fp
B ky1
Fp Fp
C ky2
结点B投影平衡方程
结点C投影平衡方程
Fy 0
Fy 0
ky1
Fp
y1 l
y1
l
y2
0
ky2
Fp
y2
l
y1
y2 l
0
例题16-1
投影平衡方程:
k
2
Fp l
y1
eP P
临界荷载
P
小挠度理论
Δ
A
B
Pcr
Pc r C 大挠度理论
P
Oபைடு நூலகம்
Δ
(a) 偏心受压杆
(b) 荷载——位移曲线（P—Δ 曲线）
3. 跃越失稳
弹性静稳定平衡的条件
完善体系
1. 平衡路径之前没有分支点，则体系的状态为稳定平衡状态。 2. 平衡路径之前有分支点，荷载随位移增大而增大，则体系的 状态为稳定平衡状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
FRB=kΔ
y
单自由度非完善体系的极值点失稳
3.按大挠度理论
F 1.2 p
kl 1
0.8
0.6
0.4
ε=0 ε=0.01
ε=0.1 ε=0.2
Fpcr 1.2 kl 1
0.8 0.6 0.4
0.2
0.2
0
0
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
Fp
kl
cos
1
sin
线性(叠加原理成立)
1 2
非线性(叠加原理不成立)
Fp
原 状 态
Fp
原 状 态
Fp
干 扰 状 态
Fp
干 扰 状 态
Fp
取
消
干
扰
后
的
状
态
Fp
取
消
干
扰
后
的
状
态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构可 以恢复原状,所以原状 态为稳定状态
Fp Fpcr 临界状态
Fp Fpcr
由于取消干扰后结构无 法恢复原状,所以原状态 为不稳定状态
非完善体系
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
稳定问题的自由度：与动力问题相似，确定体系变形状态 所需要的独立几何参数（一般指的是位移, 并垂直于力的 方向）的数目
x Δ
B EI
Pc r kΔ
θ
A y
单自由 度体系
x Δ
Fp
Fp
C
y C
平衡方程： Fpl M AC 0
l∞ EI
A l
Fp
A MAC= SAB
MAB=SAB
B
A
EI
l
Δ Fp C
θ
A y
SABθ
M AC
S AB
3EI l
代入得
B
Fpl
3EI l
0
临界荷载
0
3EI Fpcr l 2
例题16-1 双自由度体系静力法求临界荷载
A
y1
y2
D
Fp
B
C
1. 总势能为驻值(静力平衡) 2. 驻值为极小值（稳定）
1. (不稳定)
2.
θ=0，Fp为任意值
θF>p0,
l
k sin
单自由度非完善体系的稳定问题
6. 按大挠度理论
x
Δ Fp
B
θ
l
l sin( )
M AB k
F1.4 p 1.2
平衡方程
k /1l
M AB Fp
0.8
0.6
ε=0.01 ε=0.05
代入得
0.4
A y
MAB= kθ
k Fpl sin( ) 0.2
d l sin 2 l cos 2 l
小挠度理论
d cos
弹性稳定问题的6种情况
完善体系大挠度理论分析
Fp
Fp
1. 分支点失稳
完善体系小挠度理论分析
Fp
2. 分支点失稳
5. 稳定平衡
Fpcr O
Fpcr
例：图16-6
O
Fpcr
例：图16-7
O
非完善体系大挠度理论分析
Fp
Fp
B
A 6. 稳定平衡
单自由度完善体系的分支点失稳
2. 按小挠度理论
MA 0 , Fp (l sin) FRB(l cos) 0
x
Δ Fp
kΔ
B
考虑在小变形情况下，取 sinθ=θ、cosθ=1， θ
弹簧的反力 FRB k kl
EI无穷大
上式可写为 Fp kl l 0
分支后两条平衡路径：
A
y
1. θ=0， Fp为任意值(不
结构力学稳定计算
16-1 稳定问题概述
基本概念 1、失稳（instability ）：当荷载超过某一数值时，体系由稳
定平衡状态转变为不稳定平衡状态，而丧失原始平衡状态的 稳定性，也称屈曲（buckling）。原先受压的构件突然发生弯 曲变形，或与受力方向垂直的变形现象
2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间 状态（中性平衡状态）。
Fp A
C
Fpy1/l
B
D Fp Fpy2/l
由以上得平衡方程：
静力法存在多种解法，灵活多变，
2 3
k
Fp l
y1
1 3
ky2
0
1 3
ky1
2 3
k
Fp l
y2
0
有利于处理简单计算。但静力法 缺乏规律性，很难建立具有明确 物理意义的方程，因此不适用于 处理复杂问题的程序化计算。
平衡方程有非0解条件：满足稳定方程(特征方程)
0.3
0.4
0.5
临界（极值）荷载 ： Fpcr kl
接近临界荷载时，位移不断增大而承载力几乎不增大，所以位移增大的过程是不稳定的
单自由度完善体系的稳定问题
5. 按大挠度理论
x
Δ Fp
B
l sin ,
平衡方程
M AB Fp
M AB k
θ
A y
MAB= kθ
l
代入得
k Fpl sin
Fp
k 2Fp
D
l
Fp
l
Fp l 0 k 2Fp
l
解得：
1 Fpcr1 3 kl , Fpcr2 kl
例题16-1
将 解：
Fp
1 3
kl
代入平衡方程得无穷多个
k
2
1
3 l
kl
1 kl 3
l
k
1 kl 3
l 21
3 l
kl
y1 y2
0 0
y1 1 10 100 y2 1 10 100
Fp
k l sin( )
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
θ
承载力随位移增大而增大。在材料极限应变容许范围内，不存在极值，所 以位移增大的过程是稳定的。因此对于该种体系，如采用大挠度理论，不 存在临界荷载的理论值。