实数集确界原理

N {n | n为正整数}
有下界而无上界．
任何一个不大于1的实数都是 N 的下界，故 N 为有下界的数集 为证 N 无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M， 总存在某个正整数 n0 ( N ), 使得 n0 M .
则
n0 N ,
事实上，对任何正数M(无论多么大)，取n0 且
0 0 U (a)与U (a)
U (a)与U (a) : 除去点 a 后, 分别为点 a 的空心 左、右邻域，简记为
邻域：U () {x || x | M }, 其中M为充分大的正数.
邻域：U () {x | x M }, 其中M为充分大的正数.
邻域： U () {x | x M }, 其中M为充分大的正数.
注:由上(下)确界的定义可知
设数集S有上确界．证明 sup S S sup S SBaidu Nhomakorabea, 则对一切 x S 有 x 证：() 设 例5
§2
实数集· 确界原理
教 学 要 求
1．理解区间（开区间、闭区间）、邻域、空心邻域的概念。 2．深刻理解有界集、确界的概念。 3．掌握据定义论证确界的方法。 4．初步学会否定定义的构造方法。
一
设
区间与邻域
a, b R,且 a b.
称数集 数集
{x | a x b} 为开区间，记作 (a, b).
的全体实数上的集合记作
[a, ), 读作“无穷大”，
类似有以下记号：
(, a] {x | x a} (a, ) {x | x a} (, a) {x | x a} (, ) {x | x } R
a R, 0. 满足绝对值不等式 | x a | a 的 邻域，记作 U (a; ), 简记作 U (a), 即
定义2 设S是R中的一个数集. 若数 例2
又是S的最小上界，
设
(i) (ii)
证
S [0,1]. 证明: sup S 1. 对一切 x S , 有 x 1, 1 是S的上界； 对任何 1, 取 x0 1 S , 则有 x0 1 ,
故
sup S 1.
称为闭区间，记作 [ a, b] 都称为半开半闭区间，分别记作
{x | a x b}
数集 {x | a
x b} 与 {x | a x b}
[ a, b) 与 (a, b].
a
( a, b)
b
x
a
[ a, b]
b
x
a [ a, b) b
满足关系式 x
a ( a, b] b
x
x
a
[M ] 1, ([ M ]
对
M
取整）
n0 M . 这就证明了 N
(1) S有无上界;
无上界．
问题: 设
S [0,1].
(2) S若有上界,有几个上界; (3) S若有无最小的上界. S的最小的上界,称作S的上确界.
满足： (i) 对一切 x S , 有 x , 即 是S的上界； , 存在x0 S , 使得 x0 , 即 (ii) 对任何 则称数 为数集S的上确界，记作 sup S .
设 类似有以下记号： 点 点 点
的全体实数
x 的集合称为点
U (a; ) {x || x a |} (a , a ),
a 的空心 邻域： U 0 (a; ) {x | 0 | x a | }, 简记作 U 0 (a).
a 的 右邻域： U (a; ) [a, a ), 简记为 U (a) a 的 左邻域： U (a; ) (a , a], 简记为 U (a)
(i) 对一切 解 先验证supS=1. (i) 对一切
定义3 设S是R中的一个数集. 若数

满足：
x S , 有 x 1, 即1是S的上界. (ii) 对任何 1, 若 0, 则任取 x0 S都有x0 ; 若 0, 则 0 1, 由有理数集在实数集中的稠密性，在 ( ,1) 必存在有理数 x0 , 显然有 x0 S , 且 x0 , 所以supS=1.
类似地可验证infS=0．
问题:
故 是数集S中最大的数，即
max S . () 设 max S , 则 S. 下面验证 max S . (i) 对一切 x S , 有x ,即是S的上界; (ii) 对任何 只须取 x0 S , 则x0 . 由(i),(ii)知 sup S .
二
有界集· 确界原理
定义1 设S为R中的一个数集．若存在数M，使得对一切 则称S为有上界的数集，数M称为S的一个上界。 定义1.1 设S为R中的一个数集．若存在数L，使得对一切 则称S为有上界的数集，数L称为S的一个下界。
xS xS
都有
x M,
都有
x L,
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集． 例1 证明数集 证
例3
证
若
S [0,1). 证明: sup S 1. (i) 对一切 x S , 有 x 1, 1 是S的上界； (ii) 对任何 1. 若 0, 则有任取 x0 S , 有 x0 . 1 , 有 x0 . 所以 sup S 1. 0 1, 取 x0 2
设 (1) 一个数集的上确界是唯一的; (2) 一个数集的上确界,可能属于该数集,也可能不属于该数集; (3) 不同的数集可能有相同的上确界.
注
x S , 有 x , 即是S的下界； (ii) 对任何 , 存在x0 S , 使得 x0 ,即 又是S的最大下界， 则称数 为数集S的下确界，记作 inf S . 例4 设 S {x | x为区间(0,1)中的有理数},试按上、下确界的定义验证： sup S 1,inf S 0.