计算水力学第三章
水力学第三章第二部分
3.9 圆管内液体的紊流运动
因为
e
32.8d
Re
（1）当雷诺数较小时，δe较大，以至于壁面凸起完全 被粘性底层所覆盖，紊流流核被粘性底层与壁面凸起完
全隔开，此时紊流阻力不受壁面粗糙凸起的影响，沿程
阻力系数只和雷诺数有关。
——光滑紊流，水力光滑壁，水力光滑管。
下午3时36分33秒
下午概3时念36分对33紊秒 流均适用。
3 圆管紊流断面分区结构
在紊流中，水流贴附在边界面上的质点，边壁对其横 向运动有限制作用，质点几乎平行于边壁的迹线慢慢运动
，故其脉动很小，而流速梯度du/dy较大，粘性切应力τ起
主导作用，其流态基本属于层流，因而在紊流中： ①紧靠固体边界有一极薄的层流运动流层称为粘性底层； ②在层流底层以外是紊流，称之为紊流区（是紊流主体） ； ③两液层还有一层极薄的过渡层。（因该层无研究价值可 不考虑）
水力学
xx交通学院
下午3时36分33秒
复习
1 沿程损失的产生原 因及其影响因素。
产生原因是流体的粘 性和惯性以及管道的粗 糙度等，因而这种损失 的大小与流体的流动状 态（层流或紊流）有密 切关系。
沿程损失的大小与流 过的管道长度成正比， 与流态相关
下午3时36分33秒
2 局部损失的产生原 因及其影响因素。
f f f
瞬时流速，时均流速，脉动流速
下午3时36分33秒
3.7 液体的紊流运动
2 紊流运动的特征
f 1
T
fdt
To
脉动值的时均值为零
f 1
T f dt 1
T
( f f )dt
To
To
1
T f dt 1
(整理)第三章给水排水管道系统水力计算基础
第三章给水排水管道系统水力计算基础本章内容：1、水头损失计算2、无压圆管的水力计算3、水力等效简化本章难点：无压圆管的水力计算第一节基本概念一、管道内水流特征进行水力计算前首先要进行流态的判别。
判别流态的标准采用临界雷诺数Re k，临界雷诺数大都稳定在2000左右，当计算出的雷诺数Re小于2000时，一般为层流，当Re大于4000时，一般为紊流，当Re介于2000到4000之间时，水流状态不稳定，属于过渡流态。
对给水排水管道进行水力计算时，管道内流体流态均按紊流考虑紊流流态又分为三个阻力特征区：紊流光滑区、紊流过渡区及紊流粗糙管区。
二、有压流与无压流水体沿流程整个周界与固体壁面接触，而无自由液面，这种流动称为有压流或压力流。
水体沿流程一部分周界与固体壁面接触，另一部分与空气接触，具有自由液面，这种流动称为无压流或重力流给水管道基本上采用有压流输水方式，而排水管道大都采用无压流输水方式。
从水流断面形式看，在给水排水管道中采用圆管最多三、恒定流与非恒定流给水排水管道中水流的运动，由于用水量和排水量的经常性变化，均处于非恒定流状态，但是，非恒定流的水力计算特别复杂，在设计时，一般也只能按恒定流(又称稳定流)计算。
四、均匀流与非均匀流液体质点流速的大小和方向沿流程不变的流动，称为均匀流；反之，液体质点流速的大小和方向沿流程变化的流动，称为非均匀流。
从总体上看，给水排水管道中的水流不但多为非恒定流，且常为非均匀流，即水流参数往往随时间和空间变化。
对于满管流动，如果管道截面在一段距离内不变且不发生转弯，则管内流动为均匀流；而当管道在局部有交汇、转弯与变截面时，管内流动为非均匀流。
均匀流的管道对水流的阻力沿程不变，水流的水头损失可以采用沿程水头损失公式进行计算；满管流的非均匀流动距离一般较短，采用局部水头损失公式进行计算。
对于非满管流或明渠流，只要长距离截面不变，也没有转弯或交汇时，也可以近似为均匀流，按沿程水头损失公式进行水力计算，对于短距离或特殊情况下的非均匀流动则运用水力学理论按缓流或急流计算。
水力学课件 第三章_水动力学基础
(2) 恒定渐变流 过水断面上，动水压强近似 地按静水压强分布。
z p C
取过水断面上任意两相邻流线 间的微小液柱。轴向受力分析：
1） 表面力
液柱上、下底面 的动水压力 pdω与(p+dp)dω
液柱侧面
的动水压力及摩擦力趋于零；
液柱底面的 摩擦力，与液柱垂直。
2） 质量力 自重分力：γdωdn cosα 惯性力：恒定渐变流条件下略去不计。
用欧拉法描述液体运动时，液体运动质点的加速度是当地加速 度与迁移加速度之和。
当地加速度: 固定点速度随时间的变化，
第一项：
ux
/ t,u y
/ t,uz
/ t
迁移加速度:等号右边括号内项反映了在同一时刻因地 点变更而形成的加速度。
§3—2 欧拉法的若干基本概念
1． 迹线和流线 迹线则是同一质点在一个时段内运动的轨迹线。
活学活用
பைடு நூலகம்
恒定渐变流中，同一过水断面上的动水压强近似按地静水压强分布 恒定均匀流中，同一过水断面上的动水压强精确地按静水压强分布
对恒定均匀流， z p C
同一过水断面上:
对于断面AB
pA
zA
pB
zB
C1
pA ? pB ?
对于断面CD
pC
zC
pD
zD
C2
pC ? pD ?
pA
zA
pB
zB
pC
zC
C
pA ? pB ? pC ?
§3—3 恒定总流的连续性方程
考虑到： (1)在恒定流条件下，元流的形状与位置不随时间改变； (2)不可能有液体经元流侧面流进或流出； (3)液流为连续介质，元流内部不存在空隙。
第3章管网水力学
第3章 管网水力学
3.3 管道的水力等效简化
水力等效简化原则：等效后管网与原系统具有相 同的水力特性。
第3章 管网水力学
3.3 管道的水力等效简化
3.3.1 串联和并联管道的简化
串联管道的简化
L
l1
l2
lN
d1
d2
dN
串联管道
l d [ N
hp he spqpn
当不计管路水头损失时，则有如下流量与扬程对应关 系，见下表
第3章 管网水力学
3.4 水泵和泵站
3.4.2 水泵和泵站特性曲线
单台q 单台he 单台sp 单台hp N台q N台he N台sp N台hp
q
he
sp
hp
Nq
he
？？ hp？
得同型号水泵并联水力特性公式
hp he sp/ (Nqp )n he spqpn
2. hf 1051.852* 0.74.87 *800 2.25m 3.ξ=0.9*2+0.1*6+0.19*2=2.78
1.2482 4. hm 2.78* 2*9.8 0.22m
5.0.22/2.25=0.10=10%.
第3章 管网水力学
3.2 管渠水头损失计算
3.2.3 非满管流水力计算
]1/ m
li
dm
i1
i
当串联管段管径相同时呢？
第3章 管网水力学
3.3 管道的水力等效简化
3.3.1 串联和并联管道的简化
并联管道的简化
d1
q1
d2
q2
dN
qN
d
q
并联管道
第3章-给水排水管网水力学基础
n
d (N)m di
kqNn l
d
m N
干管配水情况
3.4.2 沿线均匀出流的简化
给水管网中的配水管沿线向用户供水，如图3.6所示。假设沿线出流是 均匀的，则管道内任意断面x上的流量可以表示为：
qx
qt
l
l
x
ql
沿程水头损失：
h f
l
k (qt
l
l
x
2y) D
或
y / D (1 cos ) / 2
2
式中，θ的单位为弧度。
过水断面面积、湿周 和水力半径依次为，
A D2 ( sin ) ，
8
D 和
2
R A D ( sin ) 4
设该管道的坡度为I，满管流时的过水断面面积、水力半径、流量和流速分别 为A0、R0、q0和v0，可得
A0 D2 / 4 ， R0 D / 4 ，
3.1.2 恒定流与非恒定流 由于用水量和排水量的经常性变化，给水排水管道中的流量和流速随时间变化，
水流经常处于非恒定流（又称非稳定流）状态。但是，非恒定流的水力计算 比较复杂，在管网工程设计和水力计算时，一般按恒定流（又称稳定流）计 算。 随着计算机技术快速发展与普及，国内外已经开始研究和采用非恒定流计算给水 排水管网，而且得到了更接近实际的结果。
hf
l v2
D 2g
式中 D──管段直径（m）；g──重力加速度（m/s2）； λ──沿程阻力系数， 8g。 C2
常用管材内壁当量粗糙度e（mm）
表3.1
3.2.3 局部水头损失计算
计算公式 ：
局部阻力系数ζ
式中，hm ──局部水头损失，m； ζ──局部阻力系数，见表3.5。
第三章水库洪水调节及计算培训讲学
水库调洪计算的实用公式（瞬态法）： 水量平衡方程：
蓄泄方程：
方程或曲线，可按泄洪建筑物的水力特性换算
得到。
（1）堰流
3
q溢M1BH2
H即为库水位Z与堰顶高程之差
（2）闸孔出流 q洞M2H12 H即为库水位Z与闸孔中心高程之差
根据H与q的关系曲线求出Z与q的关系曲线q=f(z)。由水 库水位z在水库容积特性曲线上，求出相应的水库蓄水容积V。 于是，最终求出下泄流量q与库容V的关系曲线q=f(V)
调洪计算的目的（研究课题）：
一定的水库 拟定的泄洪建筑物
防洪标准 类型、尺寸 防洪限制水位 入库洪水过程 下游安全泄量
出库 洪水 过程
最大 下泄 流量
防洪 特征 库容
特征 水位
水库调洪计算的任务
在规划设计阶段，调洪计算的任务是根据水文分析计算提供的 各种标准的设计洪水，对已经拟定的泄流建筑物型式与尺寸方 案，遵循水库汛期控制运用规则，进行水库的蓄泄调洪计算， 推求泄流过程和最大下泄流量，并确定有关防洪的特征水位与 特征库容。
计算步骤
（1）由已知的水库水位容积关系曲线V=f (Z)和泄流建筑物方 案，用水力学公式求出下泄流量与库容的关系曲线q=f(V)；
（2）选取合适的计算时段△t，以秒为计算单位；
（3）决定开始计算的时刻和此时刻的V1、q1值，然后列表计 算。计算过程中，对每一计算时段的V2、q2值都要进行试 算；先假定一个q2值，根据水量平衡方程求出V2,然后按此 V2值在q~V曲线上查出q2值，若与假定的q2不相等，则要 重新假定一个q2值，重复上述试算过程，直至两者相等或 很接近为止。这样多次演算求得的q2、V2值就是下一时段 的q1、V1值，可依据此值进行下一时段的试算。
水力学第三讲
§3-1 流动描述 • 2 迹线与流线 • 流线：某一时刻各点的切线方向与通过这些点的 流体质点的流速方向重合的空间曲线称为流线。
dx(t 0 ) ds dy(t 0 ) 用欧拉法描述， t 确定，由定义 u y u y ( x, y, z, t 0 ) u ，u 是合成流速 ds dz(t 0 ) u z u z ( x, y, z, t 0 ) u ds u x u x ( x, y , z , t 0 ) u
dz
u y dy ( u y )dxdydt y 2
u x dx ( u x )dydzdt x 2
( u z
u z dz )dxdydt z 2
dxdydzdt t
( u x
u x dx )dydzdt x 2
( u z
u z dz )dxdydt z 2
z (
§3-4流体微团运动分析（简介） • 2无旋流与有旋流：基本概念、无旋流满足的条件
有旋流：流体微团绕自身轴旋转，
x 2 y 2 z 2 0
无旋流：流体微团不绕自身轴旋转，
x y z 0
u z u y y z u x u z 无旋流满足的条件 z x u y u x x y
严格讲流体运动都属于三元流动，质点运动都具有一元流性质。
§3-2 描述流体运动的一些基本概念
• 4 均匀流与非均匀流、渐变流与急变流
• 均匀流：运动要素(沿流线)不随空间位置变化的流动； • 非均匀流：运动要素(沿流线)随空间位置变化的流动； • 渐变流：运动要素(沿流线)随空 • 间位置缓慢变化的流动；
第三章_给水排水管道系统水力计算基础
C e C＝－ .71lg 17 + 14.8R 3.53Re 2.51 e 或 = −2lg + λ 3.7D Re λ 1
11
4vR vD 式中 Re－雷诺数， ＝ = ，其中ν是与水温有关的 Re
ν
ν
水动力粘度 系数 m2 / s; ， e－管壁当量粗糙度，m，由实验确定。 但此式需迭 代计算，不便于应用，可以简化为 直接计算的形式 ： 4.462 e C＝－ .71lg 17 + 0.875 14.8R Re 1 4.462 e 或 ＝－ lg 2 + 0.875 λ 3.7D Re
0.013～0.014 ～
0.025～0.030 ～
21
2 2 1 1 1 1 v= R 3I 2 = R 3 (D h/D 2 , )I nM nM 2 1 2 1 1 1 AR 3 I 2 = A(D h/D R 3 (D h/D 2 q= , ) , )I nM nM
――非满流管渠水力计算基本公式 ――非满流管渠水力计算基本公式 v、q、D、h/D、I五个变量，已知三个，求另两 h/D、 五个变量，已知三个， 个。
15
3．2．3 局部水头损失计算
v hm = ξ 2g
式中 hm——局部水头损失，m； hm——局部水头损失 局部水头损失， ξ——局部阻力系数。 ——局部阻力系数 局部阻力系数。
2
给水排水管网中局部水头损失一般不超过沿 程水头损失的5% 常忽略局部水头损失的影响， 程水头损失的5%，常忽略局部水头损失的影响， 5%， 不会造成大的计算误差。 不会造成大的计算误差。
1 v = •R •I n
2 3
1 2
D h
武汉大学水力学教材第三章教材
第三章水动力学基础1、渐变流与急变流均属非均匀流。
( )2、急变流不行能是恒定流。
( )3、总水头线沿流向能够上涨，也能够降落。
( )4、水力坡度就是单位长度流程上的水头损失。
( )5、扩散管道中的水流必定是非恒定流。
( )6、恒定流必定是均匀流，非恒定流必定是非均匀流。
( )7、均匀流流场内的压强散布规律与静水压强散布规律同样。
( )8、测管水头线沿程能够上涨、能够降落也可不变。
( )9、总流连续方程v1A1 = v2 A2 对恒定流和非恒定流均合用。
( )10、渐变流过水断面上动水压强随水深的变化呈线性关系。
( )11、水流老是从单位机械能大的断面流向单位机械能小的断面。
( )12、恒定流中总水头线老是沿流程降落的，测压管水头线沿流程则能够上涨、降落或水平。
( )13、液流流线和迹线老是重合的。
( )14、用毕托管测得的点流速是时均流速。
( )15、测压管水头线可高于总水头线。
( )16、管轴高程沿流向增大的等直径管道中的有压管流，其管轴压强沿流向增大。
( )17、理想液体动中，随意点处各个方向的动水压强相等。
( )2／2g = z2 +p2／g + v22／2g +hw1- 2 ，式中各项代表( )18、恒定总流的能量方程z1+ p1／g + v1(1) 单位体积液体所拥有的能量；(2) 单位质量液体所拥有的能量；(3) 单位重量液体所拥有的能量；(4) 以上答案都不对。
19、图示抽水机吸水管断面A─A 动水压强随抽水机安装高度h 的增大而( )(1) 增大(2) 减小(3) 不变(4) 不定20、在明渠恒定均匀流过水断面上1、2 两点安装两根测压管，如下图，则两测压管高度h1 与h2 的关系为( ) (1) h1 ＞h2 (2) h1 ＜h2 (3) h1 = h2 (4) 没法确立21、对管径沿程变化的管道( )(1) 测压管水头线能够上涨也能够降落(2) 测压管水头线老是与总水头线相平行(3) 测压管水头线沿程永久不会上涨(4) 测压管水头线不行能低于管轴线22、图示水流经过渐缩管流出，若容器水位保持不变，则管内水流属( )(1) 恒定均匀流(2) 非恒定均匀流(3) 恒定非均匀流(4) 非恒定非均匀流23、管轴线水平，管径渐渐增大的管道有压流，经过的流量不变，其总水头线沿流向应( )(1) 渐渐高升(2) 渐渐降低(3) 与管轴线平行(4) 没法确立24、均匀流的总水头线与测压管水头线的关系是( )(1) 相互平行的直线；(2) 相互平行的曲线；(3) 互不平行的直线；(4) 互不平行的曲线。
水力学讲义
水 力 学 讲 义
2、水头损失：水流在运动过程中克服水流阻力而消耗的 能量称为水头损失。其中边界是外因，粘滞性是内因。 3、根据边界条件的不同，水头损失分两类：对于平顺的 边界，水头损失与流程成正比，称为沿程水头损失，用hf 表示；由于局部边界急剧改变，导致水流结构改变、流速 分布调整并产生旋涡区，从而引起的水头损失称为局部水 头损失，用hj表示。
这里得到一个重要的结论： 圆管层流运动的沿程阻力系数λ与雷诺数Re成反比。从沿程水 头损失等式中也可看出hf与流速的一次方成正比，这个结果与雷诺 实验的结论相一致，为后面讨论紊流的λ变化规律提供了重要依据。
水 力 学 讲 义
3.6 紊流 一、紊流运动要素 紊流的一系列参差不齐的涡体连续通过某一定点时， 此处的瞬时运动要素(如流速、压强等)随时间发生波动， 叫做运动要素的脉动。 某一瞬间通过定点的液体质点的流速称为该定点的瞬时 流速；任一瞬时流速总可分解为三个分速ux、uy、uz。
1 ux T
T
0
u x dt
第三章 液流形态及水头损失
二、紊动附加切应力 紊流切应力的计算，由两部分所组成：相邻流层间的粘 滞切应力和由脉动流速所产生的附加切应力，即 2 du 2 du l dy dy
水 力 学 讲 义
三、紊流粘性底层 在紊流中，紧靠固体边界的地方，粘滞切应力起主要作 用，液流型态属于层流。因此紊流并不是整个液流都是 紊流，在紧靠固体边界表面有一层极薄的层流层存在， 叫做粘性底层。在层流底层以外的液流才是紊流。称为 紊流流核。
3.3 均匀流沿程水头损失与切应力的关系 ----均匀流基本方程
在均匀流中，任意取出一段总流来分析。 如图，对1-1,2-2写能量方 程:hf=(z1+p1/r)-(z2+p2/r) 通过力的平衡分析可得：
《水力计算手册》
《水力计算手册》水力计算手册第一章：引言1.1 背景介绍水力计算是水利工程领域中的重要内容，它是设计、建设和维护水利设施的基础。
水力计算手册是为了系统地介绍水力计算的基本原理、方法和应用而编写的。
本手册旨在帮助工程师和技术人员更好地理解和应用水力学知识，提高水力计算的准确性和可靠性。
1.2 基本概念本章将介绍水力计算手册中常用的基本概念，包括水力学、水流特性和水力计算的定义和分类。
第二章：水力学基础2.1 流体力学基础本节将介绍流体力学的基本概念和方程，包括流体静力学和流体动力学的基本原理和公式。
2.2 流体流动特性本节将介绍流体在不同条件下的流动特性，包括稳恒流动和非稳恒流动的特点和计算方法。
2.3 流量计算本节将介绍水力计算中常用的流量计算方法，包括流速计算、流量测量和河流横截面面积计算等。
第三章：水力计算方法3.1 水力元件计算方法本节将介绍水力计算中常用的水力元件计算方法，包括管道流动、水泵和水轮机的计算方法。
3.2 液压计算方法本节将介绍液压计算中的基本原理和方法，包括压力计算、流速计算和水力损失计算等。
3.3 水力模型计算方法本节将介绍水力模型计算中的基本原理和方法，包括模型试验的设计和数据处理等。
第四章：水力计算实例4.1 管道网络计算实例本节将给出管道网络计算的实例，包括水流速度计算、管道阻力计算和管道压力计算等。
4.2 水泵计算实例本节将给出水泵计算的实例，包括水泵性能曲线计算和水泵选型等。
4.3 水轮机计算实例本节将给出水轮机计算的实例，包括水轮机效率计算、水轮机功率计算和水轮机设计等。
第五章：水力计算应用5.1 水利工程设计本节将介绍水力计算在水利工程设计中的应用，包括渠道设计、堤坝设计和船闸设计等。
5.2 水资源管理本节将介绍水力计算在水资源管理中的应用，包括河流流量调控、水库调度和灌溉规划等。
5.3 水环境保护本节将介绍水力计算在水环境保护中的应用，包括水污染控制、水质保护和水生态修复等。
水力学 (张耀先 著) 黄河水利出版 第3章 课后答案
２ ２ 得ｐ ３ ０ｋ Ｎ／ ｍ ， ｐ ４ ０ｋ Ｎ／ ｍ ， Ｂ点处断面平均流速 Ａ＝ Ｂ＝
ｖ １ ． ５ｍ／ ｓ ， 求Ａ 、 Ｂ两断面的总水头差及管中水流流动 Ｂ＝ 方向。 解： 由连续方程 ｖ Ａ ｖ Ａ Ａ Ａ＝ Ｂ Ｂ 从而得出 ｖ ６ｍ／ ｓ Ａ＝ Ａ 、 Ｂ两断面总水头差为（ 以 Ａ点所在水平面为基准面） ：
２ ２ ｄ ｄ π １ ２ Ｑ Ｋ槡 １ ２ ． ６ × ｈ＝ ２ ｇ槡 １ ２ ． ６ × ｈ Δ Δ 理论值 ＝ 槡 ４ ４ ４ ｄ ｄ １－ ２ 槡
图３ ５ ２
＝ ０ ． ０ ６ １５ ９ （ ｍ／ ｓ ） ０ ． ０ ６ ＝ ０ ． ９ ７ ４ μ＝ ０ ６ １５ ９ ０ ． ３ ２ ３ 一引水管的渐缩弯段（ 见图 ３ ５ ３ ） ， 已知入口直径 ｄ ２ ５ ０ｍ ｍ ， 出口直径 ｄ １＝ ２＝
３ ２ ２ 有 一 文 德 里 管 路 （ 见图 ３ ５ ２ ） ， 已知管径 ｄ １ ５ｃ ｍ ， 文德里管喉部直径 ｄ １ ０ｃ ｍ ， 水银压差计 １＝ ２＝ 高差 Δ ｈ ＝ ２ ０ｃ ｍ ， 实测管中流量 Ｑ＝ ６ ０Ｌ ／ ｓ ， 试求文德 里流量计的流量系数 μ 。 Ｑ 实测 解： 流量系数 μ＝ Ｑ 理论值
３ Ｑ＝ Ａ ｖ ０ ． ０ １ ５７ （ ｍ ／ ｓ ） ３ ３＝
图３ ４ ５
３ １ ６ 如图 ３ ４ ６所示， 某主河道的总流量
３ Ｑ １８ ９ ０ｍ ／ ｓ ， 上游两个支流的断面平均流 １＝
速为 ｖ １ ． ３ ０ｍ／ ｓ ， ｖ ０ ． ９ ５ｍ／ ｓ 。若两个支 ３＝ ２＝ 流过水断面面积之比为 Ａ Ａ ４ ， 求两个支流 ２／ ３＝ 的断面面积 Ａ 。 ２及 Ａ ３ 解： 根据连续性方程： Ｑ Ｑ Ｑ 图３ ４ ６ ２＋ ３＝ １ Ｑ ＝ Ａ ｖ ２ ２２ ２ ２ １４ ８ ２ ． ３ ５ （ ｍ ） Ａ ３ ７ ０ ． ５ ９ （ ｍ ） Ｑ Ａ ｖ ２＝ ３＝ 联立解得 Ａ ３＝ ３ ３ Ａ ２ ＝ ４ Ａ ３ ０ ． ２ｍ ， ｄ ０ ． ４ｍ ， 高差 Δ ｚ ＝ １ ． ５ｍ ， 今测 ３ １ ７ 一变直径的管段 Ａ Ｂ （ 见图 ３ ４ ７ ） ， ｄ Ａ＝ Ｂ＝ ·７ ·
水力学第3章
2 2 u1 p2 u2 Z2 hw 2g 2g
z为单位重量液体的势能（位能）。 u2/2g为单位重量液体的动能。 p/为单位重量液体的压能（压强势能）。
• z+p/=该质点所具有的势能。 • z+p/+ u2/2g=总机械能 • hw'为单位重量的流体从断面1-1流到2-2 过程中由于克服流动的阻力作功而消耗 的机械能。这部分机械能转化为热能而 损失，因此称为水头损失。
0
Δh
h1
h2
动 压 管
A-A
静 压 管
A
1
2
例3 试证明图中所示的具有底坎的矩形断面 渠道中的水流是否有可能发生．
（a） 假设这种水流可以发生 证：
以0-0为基准面，列1-1， 2-2断面能量方程：
p1 1V12 p2 2V22 Z1 Z2 hw12 2g 2g
Q3 Q1 Q2
Q3 Q1 Q2 Q1
Q1 Q2 Q3
Q3 Q2
对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为： ∑Q流入=∑Q流出 连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用 力的关系，通常应用连续方程来计算某一已知过水断 面的面积求断面平均流速或者已知流速求流量，它是 水力学中三个最基本的方程之一。
二、迹线和流线 迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质 点不同时刻在空间位置的连线。 流线是某一瞬间在流场中画 出的一条曲线，这个时刻位于 曲线上各点的质点的流速方向 与该曲线相切。 对于恒定流，流线的形状不随时间而变化， 这时流线与迹线互相重合；对于非恒定流，流 线形状随时间而改变，这时流线与迹线一般不 重合。
Q dQ udA
《水力学》第三章 能量方程技巧
能量方程的运用技巧：
1． 选择基准面
✧ 原则上基准面可以任意选定，一旦确定，则上、下游断面能量值必须针对同一基准面取值。
✧ 一般基准面取在z 值计算较为方便和明确的地方。
✧ 通常对管道取在管出口中心水平面；对容器水体取在水面。
2． 选择上、下游计算断面
✧ 确保计算断面为渐变流；
✧ 计算断面已知运动要素尽可能多同时又含有待求未知数。
通常取水面、管的大气出口、均匀管段等处。
3． 选择断面上计算点
✧ 选择计算点主要是进行断面任一点测压管水头γp
z +的
计算，因此尽可能选在易于求出该值的地方，通常是水面点、管轴中心点。
4． 所有能量值都以水头表示
✧ 一般液体多为水，所以方程各项都为水柱高度，尤其注意压强项必要时需要转换。
5． 等式两边压强表达统一，一般情况采用相对压强
6． 工程实用上一般取12
α1α== 7． 常常和连续方程联解。
清华 水力学 讲义 第三章
第三章 流体运动学本章在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。
本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动的动力学因素。
连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束，也在本章的讨论范围之中。
§3—1 描述流动的方法一. 拉格朗日法和欧拉法● 拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的位移矢量为：r r a b c t =(,,,)，其中(,,)(,,,)a b c r a b c t =0是拉格朗日变数，即t 0时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。
● 欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：u u x y z t =(,,,)，其中(,,)x y z 是空间点（场点）。
流体的其它物理特性和运动要素也都用对应于时间与空间域的场的形式描述。
二. 流体质点的加速度、质点导数● 在拉格朗日观点下，流体质点加速度的求法是比较简单的。
求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一、二阶导数即可，求导时a,b,c 作为参数不变，意即跟定流体质点。
u r t rt a u t u t r t =====d d ,d d ∂∂∂∂∂∂22.● 欧拉法中流体质点加速度的表达必须特别注意，求加速度需要跟定流体质点，于是 x,y,z均随 t 变，而且),,(d ),,d(z y x u u u tz y x =，所以加速度 u u tz u u y u u x u u t u t z z u t y y u t x x u t u t u a z y x)(d d d d d d d d ∇⋅+=+++=+++==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. ● 建立 t 时刻和 t+dt 时刻的流场图，假设一流体质点在 t 时刻位于场点 M ，t + dt 时刻它到达场点M ’，在 t+dt 时刻的流场图上再标上与点M 处于同一位置的场点M 1，此时有另一个流体质点占据该场点。
水力学 液流形态和水头损失
第三章 液流形态和水头损失考点一 沿程水头损失、局部水头损失及其计算公式1、沿程水头损失和局部水头损失计算公式（1）水头损失的物理概念定义：实际液体运动过程中，相邻液层之间存在相对运动。
由于粘性的作用，相邻流层之间就存在内摩擦力。
液体运动过程中，要克服这种摩擦阻力就要做功，做功就要消耗一部分液流的机械能，转化为热能而散失。
这部分转化为热能而散失的机械能就是水头损失。
分类：液流边界状况的不同，将水头损失分为沿程水头损失和局部水头损失。
（2）沿程水头损失：在固体边界平直的水道中，单位重量的液体自一个断面流至另一个断面损失的机械能就叫做该两个断面之间的水头损失，这种水头损失是沿程都有并随沿程长度增加而增加的，所以称作沿程水头损失，常用h f 表示。
沿程水头损失的计算公式为达西公式对于圆管 gv d L h f 22λ= 对于非圆管 gv R L h f 242λ= 式中，λ为沿程阻力系数，其值与液流的流动形态和管壁的相对粗糙度d /∆有关，其中∆称为管壁的绝对粗糙度，)(Re,df ∆=λ； L 为管长；d 为管径；v 为管道的断面平均流速；R 为水力半径； v 为断面平均流速。
（3）局部水头损失：当液体运动时，由于局部边界形状和大小的改变，液体产生漩涡，或流线急剧变化，液体在一个局部范围之内产生了较大的能量损失，这种能量损失称作局部水头损失，常用h j 表示。
局部水头损失的计算公式为 gv h j 22ζ= 式中，ζ为局部阻力系数；其余符号同前。
（4）总水头损失对于某一液流系统，其全部水头损失h w 等于各流段沿程水头损失与局部水头损失之和，即 ∑∑+=ji fi w h h h2、湿周、水力半径（1）湿周χ：液流过水断面与固体边界接触的周界线，是过水断面的重要的水力要素之一。
其值越大，对水流的阻力和水头损失越大。
（2）水力半径R : 过水断面面积与湿周的比值，即 χAR =单靠过水断面面积或湿周，都不足以表明断面几何形状和大小对水流水头损失的影响。
水力学第三章课后习题答案
水力学第三章课后习题答案2.23 已知速度场xu =2t +2x +2y ，yu =t -y +z ，zu =t +x -z 。
试求点（2，2，1）在t =3时的加速度。
解：x x x x xx y z u u u uau u u t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂()()2222220t x y t y z =+++⋅+-+⋅+26422t x y z=++++ ()2321t x y z =++++y y y y y xyzu u u u a u u u t x yz∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ ()()101t y z t x z =+--+++-⋅12x y z=++-z z z z z x y z u u u ua u u u t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ ()()12220t x y t x z =++++-+-12t x y z=++++()()3,2,2,12332221134x a =⨯⨯+⨯+++=（m/s 2）()3,2,2,112223y a =++-=（m/s 2） ()3,2,2,11324111z a =++++=（m/s 2）2222223431135.86xyza a a a =++=++=（m/s 2）答：点（2，2，1）在t =3时的加速度35.86a =m/s 2。
3.8已知速度场xu =2xy ，y u =–331y ，zu =xy 。
试求：（1）点（1，2，3）的加速度；（2）是几维流动；（3）是恒定流还是非恒定流；（4）是均匀流还是非均匀流。
解：（1）44421033x x x x xx y z u u u u au u u xy xy xy t x y z ∂∂∂∂=+++=-+=∂∂∂∂ 551100033y y y y y xyzu u u u a u u u y y txyz∂∂∂∂=+++=+++=∂∂∂∂ 33312033z z z z z x y z u u u u a u u u xy xy xy t x y z ∂∂∂∂=+++=+-=∂∂∂∂()41161,2,31233x a =⨯⨯=（m/s 2）()51321,2,3233y a =⨯=（m/s 2） ()32161,2,31233x a =⨯⨯=（m/s 2） 22213.06x y z a a a a =++=（m/s 2）（2）二维运动，空间点的运动仅与x 、y 坐标有关；（3）为恒定流动，运动要素与t 无关； （4）非均匀流动。
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第四节 截断误差和相容性
以ＦＴＢＳ格式为例
等价方程
截断误差
ＦＴＣＳ格式的截断误差 ＦＴＦＳ格式的截断误差 蛙跳格式的截断误差
对流方程的差分方程等价形式
差分方程和相应的微分方程相容
定解条件 差分算子
截断误差 定解问题相容
第五节 收敛性
相容性：是指当自变量的步长趋于零时, 差分格式与微分问题的截误差的范数是 否趋于零,从而可看出是否能用此差分格 式来逼近微分问题。 收敛性：是指当自变量步长趋于零时,要 求差分格式的解趋于微分方程定解问题 的解。要求差分格式的解(数值解)与微 分方程定解问题的解(精确解)是一致的。
二、偏导数的差商近似
１．Ｔａｙｌｏｒ展开法 通过对差商近似点（ｉ，ｊ）的Ｔａｙ ｌｏｒ展开，可以分析差商对偏导近似 的精度
一阶向前差商
一阶向后差商
二阶中心差商
边界处偏导数的差商近似
对点（０，ｊ）进行Ｔａｙｌｏｒ展开
构造一阶偏导数的二阶精度的差商近似 必须有
解得
构造二阶偏导数的差商近似必须有
差分格式的解 微分问题的解 离散误差 差分格式收敛 相容性是收敛性的必要条件, 相容性 是形式上的逼近，收敛性是解的逼近， 相容性不一定能保证收敛性
例微分方程定解问题
解析解为
将［０，ａ］等分为ｎ段 则步长Δｘ＝ａ／ｎ
差分解为
微分问题
ＦＴＢＳ格式
离散误差
由截断误差分析有
深水波相速度
为弥散波或称色散波 浅水波相速度
为非弥散波
１、无耗散和色散的模型
放大因子的模｜ｒ｜＝１，说明波在传 播过程中，经过Δｔ时刻后振幅没有衰减。 放大因子的幅角Δφ＝－ＣｋΔｔ,表明传 播Δｔ时刻后，同一位置ｘ处波的相位迟 后为Δφ，它是相函数的差；而相速度Ｃ 为与波数无关，没有色散现象。方程描 述了无衰减、无弥散的物理现象。
２、有耗散的模型
分别为二阶、四阶耗散
系数。 方程描述了有物理耗散而无色散的波运 动。耗散系数引起波幅的衰减，但相速 度不发生改变。
３、有弥散的模型
ε３、ε５称为三阶、五阶弥散系数 方程描述了有弥散的波动，波分量的振幅 值不随时间变化，而相速度是波数ｋ的 函数。
三、数值耗散和弥散
用差分方程逼近微分方程时引入了误差， 有时这些误差项使计算结果的幅值衰减 和相速度发生变化，其作用相当于流动 中的物理耗散和弥散，这种虚假的物理 效应称作数值耗散和数值弥散。
“逆风”格式
二、物理耗散与弥散
一维行波的波高
在一固定时刻，空间上相差一个波长λ其 波高相等
所以ｋλ＝２π ｋ称为波数 在一固定位置，时间相差一个周期Ｔ， 其波高相等
ｆ为频率。 Ｃ表示单位时间传播的距离，称为相速 度。 物理耗散是指波幅Ａ因阻尼作用而衰减 的现象 弥散是指波的相速度Ｃ随波数发生变化 的现象。
根据此定理,在线性适定和格式相容的条件下， 只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不 稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳 定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定 性的研究上。
第八节 差分方程数值效应
微分方程是描述物理量在时间和空间上 的连续变化的规律 差分方程来描述离散化后物理量的变化 规律 离散误差使原系统的物理性质和规律遭 到歪曲和破坏的作用称为数值效应或离 散近似的伪物理效应。 必须对这些效应有明确的概念，从物理 上来考虑数值格式的合理性，减少数值 效应的影响。
差分 差商
向前差分
向后差分 中心差分
一阶导数，对应的差分称为一阶差分。 对一阶差分再作一阶差分，所得到的称 之为二阶差分。二阶向前差分：
任何阶差分都可以由其低一阶的差分得到：
函数的差分与自变量的差分之比，即为函 数对自变量的差商 一阶向前差商
一阶向后差商
一阶中心差商 二阶中心差商
第七节 Lax等价定理
相容性是收敛性的必要条件，稳定性与收敛性 有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、 收敛性和稳定性三者之间的关系的。
Lax等价定理:对一个适定的线性微分问题及一 个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必 收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分 问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性 的必要和充分的条件。
单增长型的不稳定称为静力不稳定性
过冲型振荡的不稳定称为动力不稳定
von Neumann稳定性分析方法
定解问题
FTBS格式
初值误差 误差传播方程
误差展开成傅氏级数
代入误差传播方程
对任意的ｋ有
Ｇ为放大因子
FTBS格式稳定条件
FTBS格式稳定条件 ＦＴＣＳ格式为一不稳定格式
一、“逆风”效应
物质的对流输运出现了与波速相反方向 传播的不合理现象，称为“逆风”效应， 是一伪物理现象的数值效应。 对流方程
FTCS格式
假定在某瞬时ｊ在某一断面ｋ处引入某 一物理量ｕ＝１，η＝１
由表可见，物理量向上、向下游两个方向传播，出现 了与波速相反方向传播的不合理现象，称之为“逆风” 效应。 FTCS格式所描述的物理量的运动规律与它所近似的原 问题固有的规律相差甚大，不仅计算结果误差很大， 而且也往往是引起差分格式不稳定的一个因素，前面 已证明了该差分格式是无条件不稳定的。 对流方程采用一阶精度FTBS格式或FTFS格式能近似 原问题的物理现象。采用何种格式还与波速的方向有 关，当Ｃ为正时采用ＦＴＢＳ格式，当Ｃ为负时采用 ＦＴＦＳ格式。若Ｃ的符号在计算过程中会改变，例 如潮水河道，则可以采用“逆风”格式：
网格剖分使得每一空间步长、时间步长 均相等，则称该网格为一均匀网格，否 则称之为非均匀网格 数值解主要是求解节点上的末知变量的 数值，利用有限的节点上的值来代替整 个求解域内的连续函数值。 概念：离散、插值、误差 构造差分方程、分析数值误差
第二节 偏导数的差商近似
一、差分、差商的基本概念 解析函数 导数定义
ＦＴＣＳ格式
ＦＴＦＳ格式
蛙跳格式
显式格式：由第ｊ时间层上的值，可直接算出 第ｊ＋１时间层上的值的格式。 隐式格式：不能直接从ｊ时间层上值直接解出， 需联立求解ｊ＋１层上的值的格式。 对同一个定解问题，可以有多种差分格式， 多种步长参数来近似，从而也得到若干个差分 近似解。那么这些解是否可以都作为原定解问 题的近似解？那些解精度高？为什么？ 相容性、稳定性及收敛性分析
计算水力学
第三章 有限差分的基本理论
第一节 基本概念
一维对流方程
计算平面为ｘ－ｔ的上半平面。在平面上画出 两族平行于坐标轴的直线,把求解域分成矩形 的计算网格。网格线的交点称为节点,ｘ方向 上网格线之间的距离Δｘ称为空间步长,ｔ轴方 向上网格线之间的距离Δt称为时间步长
ｘ－ｔ平面、计算网格
网格节点 节点函数值
ＦＴＦＳ格式稳定条件
蛙跳格式稳定条件
Von Neumann稳定性分析法主要用于 线性初值问题的稳定性分析。对于非线 性问题用局部线性化的方法加以推广。 局部线性化方法假定非线性系数变化得 很缓慢，因而可用局部网格结点上的函 数值代入后作为常数处理，并认为每一 网格结点上的计算稳定性与相邻结点无 关，以网格结点上最小的局部稳定极限 值作为整个差分问题的稳定极限值。
用高阶多项式插值可得到高阶差商表达式。 高阶多项式插值具有龙格不稳定性，使得插值 对计算误差十分敏感。 多项式插值法在计算流体力学中多用于处理边 界处的差商近似。 偏导数的差商近似还有其它多种方法，但最终 均需用Ｔａｙｌｏｒ展开来计算其近似的误差， 因此在实际计算中通常均用Ｔａｙｌｏｒ展开 法来构造，因为此法在构造差商近似的同时还 得出了其近似的误差精度。
解得
构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近 似必须有
解得：
２．多项式插值法
用多项式插值法把待求函数表示成含待 定系数的解析函数，由节点函数值确定 该系数，然后对此函数求偏导数，得到 逼近偏导数的差商表达式。 设函数ｕ可用抛物插值公式来近似：
设原点ｘ＝０在点ｉ的位置上，则有
解出待定系数
ａ．取Δｘ＝１，Δｔ＝0.5 ， C=1.0 则
b．取Δｘ＝１，Δｔ＝2，C=1.0则
对同一定解问题的同一差分格式（ＦＴＢＳ） 其不同的空间与时间步长，将得到不同的结果， 如果作为原始定解问题的近似解，那一个解精 度高呢？。 不稳定的解是不能作为原定解问题的近似解的。 偏导数的差商近似并非一种，同一偏微分方程 的差分方程也并非一个，可以有若干个，对原 始定解问题也相应有若干种差分格式。
函数
导数 差商
差商与导数的比值为衰减比：
长波有λ>>Δｘ，衰减系数：
因为ｋΔｘ<<１，所以长波幅值很小，差商是 微商好的近似，且当Δｘ→０时ｒ→１
考虑可辨认的短波。如λ＝４Δｘ，则ｋ Δｘ＝２πΔｘ／λ＝π／２，衰减比为 ｒ ＝２／π，这时差商带来了很大的误差。 对于和空间步长Δｘ接近的短波，差商无 法近似导数。
第三节 差分方程
偏导数用其差商近似来代替 偏微分方程转变为相应的代数方程称之 为差分方程。 对流方程
ห้องสมุดไป่ตู้
在点（ｉ，ｊ）成立