(通用版)201X版高考数学一轮复习 不等式选讲 2 第2讲 不等式的证明教案 理

第2讲 不等式的证明

1．基本不等式

定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则

a ＋b

2

≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

定理3：如果a 、b 、c 为正数，则

a ＋

b ＋c

3

≥3

abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则

a 1＋a 2＋…＋a n n

≥n

a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．

2．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键

使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n ＝k 时不等式成立推证n ＝k ＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．

对于任意的x 、y ∈R ，求证|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. 证明：根据绝对值的几何意义，可知|x －1|＋|x |≥1， |y －1|＋|y ＋1|≥2，

所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. 若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，求证：1a 2＋1

b

2≥8.

证明：因为a ＋b ＝1， 所以a 2＋2ab ＋b 2＝1. 因为a >0，b >0， 所以1

a 2＋1

b 2＝

（a ＋b ）2

a 2

＋

（a ＋b ）2

b 2

＝1＋2b

a ＋

b 2a 2＋1＋2a b ＋a 2b 2＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋2a b ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b 2a 2＋a 2

b 2≥2＋

2

2b a ·2a b

＋2

b 2a 2·a 2b 2＝8⎝ ⎛⎭

⎪⎫

当a ＝b ＝12时取等号.

若x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y >z ，求证：x 1＋x ＋y 1＋y >z

1＋z . 证明：因为x ＋y >z ， 所以x ＋y －z >0.

由分数性质得z 1＋z

1＋x ＋y

.

因为x >0，y >0，

所以x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y

.

所以x 1＋x ＋y 1＋y >z

1＋z

.

若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1

b

.

证明：a ＋1a －⎝ ⎛⎭

⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）

ab

.

由a >b >1得ab >1，a －b >0， 所以（a －b ）（ab －1）ab

>0.

即a ＋1a －⎝ ⎛⎭

⎪⎫b ＋1b >0，所以a ＋1a >b ＋1b

.

比较法证明不等式

[典例引领]

(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．

(1)求M ；

(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.

【解】

(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－2x ，x ≤－1

2

，

1，－1

2＜x ＜1

2

，2x ，x ≥12

.

当x ≤－1

2时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；

当－12＜x ＜1

2

时，f (x )＜2；

当x ≥1

2时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.

所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．

(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－

a 2

b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.

因此|a ＋b |＜|1＋ab |.

比较法证明不等式的方法与步骤

(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论． (2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．

[提醒] (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法． (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．

[通关练习]

1．若a ，b ∈R ＋，证明：(a ＋b )(a 5＋b 5)≤2(a 6＋b 6)．

证明：因为(a ＋b )(a 5＋b 5)－2(a 6＋b 6)＝a 6＋a 5b ＋ab 5＋b 6－2a 6－2b 6＝a 5b ＋ab 5－a 6－b 6＝a 5(b －a )＋b 5(a －b )＝(a －b )(b 5－a 5)．

当a >b >0时，a －b >0，b 5－a 5<0，有(a －b )(b 5－a 5)<0. 当b >a >0时，a －b <0，b 5－a 5>0，有(a －b )(b 5－a 5)<0. 当a ＝b >0时，a －b ＝0，有(a －b )(b 5－a 5)＝0. 综上可知(a ＋b )(a 5＋b 5)≤2(a 6＋b 6)．

2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：a b b a ≤(ab )a ＋b

2.