广东省珠海市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案
广东省潮州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷
广东省潮州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷一、单选题1.命题“ ∀x ∈(0,1),x 2−x <0 ”的否定是（ ）A. ∃x 0∉(0,1),x 02−x 0≥0B. ∀x 0∉(0,1),x 02−x 0<0C. ∀x 0∈(0,1),x 02−x 0≥0D. ∃x 0∈(0,1),x 02−x 0≥02.在 △ABC 中，若 sinA a =cosB b，则角 B 为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. π23.如果 a >b >0 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）A. c −a >c −bB. 1a >1bC. (12)a >(12)b D. lna >lnb 4.过椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的上顶点与右顶点的直线方程为 x +2y −4=0 ，则椭圆 C 的标准方程为 （ ）A. x 216+y 24=1B. x 220+y 24=1C. x 224+y 28=1D. x 232+y 28=1 5.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 15=30 ， a 10=4 ，则 a 9 等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 86.若数列 {a n } 的通项公式为 a n =n n 2+196(n ∈N ∗) ，则这个数列中的最大项是（ ） A. 第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项7.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15º、北偏东45º方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60º方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里．A. 5√6B. 10√6C. 10√2D. 20√28.已知 x >0 ， y >0 ，且 2y +1x =1 ，则 x +2y 的最小值为（ ）A. 9B. 12C. 16D. 209.如图，空间四边形 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， CD 的中点， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. FA ⃗⃗⃗⃗⃗C. AF ⃗⃗⃗⃗⃗D. EF⃗⃗⃗⃗⃗ 10.已知双曲线 x 2a 2−y 2=1(a >0) 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，离心率为 2√33，P 为双曲线右支上一点，且满足 |PF 1|2−|PF 2|2=4√15 ，则 △PF 1F 2 的周长为（ ）A. 2√5B. 2√5+2C. 2√5+4D. 2√3+411.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A. 13B. 18C. 21D. 2612.已知A,B,C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A. 53 B.√173C. √172D.94二、填空题13.已知椭圆x 25+y2m=1的一个焦点为(0,1)，则m=．14.已知在等比数列{a n}中，a1a2a3=8，a4+a5=0，则a6=．15.已知空间直角坐标系中，点A(−1,1,2)，B(−3,0,4)，若|c|=6，c⃗//AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则c⃗=．16.下表数阵的特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i j则（1）a n n=（n∈N∗）；（2）表中的数52共出现次.三、解答题17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=−1，b1=1，a2+ b2=3 .（1）若a3+b3=7，求{b n}的通项公式；（2）若T3=13，求S n .18.在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b2+c2−a2=4√23bc .（1）求sinA的值；（2）若ΔABC的面积为√2，且√2sinB=3sinC，求ΔABC的周长.19.已知命题p:2−a<t≤3+a，命题q:方程x24t+y2t2+3=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）.当a=1时，判断“命题p”是“命题q”成立的什么条件？（2）.若“命题p”是“命题q”成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AA1= AB，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．（1）.求证：DE//平面ABC；（2）.求二面角B1−AE−F的余弦值．21.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x(x>0)户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%，而)(a>0)万元.从事水果加工的农民平均每户收入将为3(a−3x50（1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值.22.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点F到直线x−y+1=0的距离为√2 .（1）.求抛物线C的方程；（2）.点O为坐标原点，直线l1、l2经过点M(−1,0)，斜率为k1的直线l1与抛物线C交于A、B两点，斜率为k2的直线l2与抛物线C交于D、E两点，记λ=|MA|⋅|MB|⋅|MD|⋅|ME|，若k1k2=−12，求λ的最小值.答案解析部分一、单选题1.【答案】 D2.【答案】 B3.【答案】 D4.【答案】 A5.【答案】 B6.【答案】 C7.【答案】 A8.【答案】 A9.【答案】 C10.【答案】 C11.【答案】 C12.【答案】 B二、填空题13.【答案】 614.【答案】 215.【答案】 （-4，-2,4）或（-4，-2,4）16.【答案】 n 2+1；4三、解答题17.【答案】 （1）解：设等差数列 {a n } 的公差为d ，等比数列 {b n } 的公比为q ，则 a n =−1+(n −1)d ， b n =q n−1由题意可得： {a 2+b 2=3a 3+b 3=7 ，则 {−1+d +q =3−1+2d +q 2=7即 {d +q =42d +q 2=8，解得 {d =2q =2 或 {d =4q =0 （舍去） 因此 {b n } 的通项公式为 b n =2n−1 .（2）解：由题意可得： T 3=b 1+b 2+b 3 ，则 {T 3=b 1(1+q +q 2)=13−1+d +q =3 ，解得 {q =3d =1 或 {q =−4d =8， ∴ S n =12n 2−32n 或 S n =4n 2−5n .18.【答案】 （1）解：∵ b 2+c 2−a 2=4√23bc ，∴由余弦定理可得2bccosA ＝ 4√23 bc ，∴cosA ＝ 2√23 ， ∴在△ABC 中，sinA ＝ √1−cos 2A ＝ 13 ．（2）解：∵△ABC 的面积为 √2 ，即 12 bcsinA ＝ 16 bc ＝ √2 ，∴bc ＝6 √2 ，又∵ √2 sinB ＝3sinC ，由正弦定理可得 √2 b ＝3c ，∴b ＝3 √2 ，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ＝6， ∴a =√6 ，所以周长为 a +b +c =2+√6+3√2 .19.【答案】 （1）解：当 a =1 时，若命题 p 为真，则 1<t ≤4 ，若命题 q 为真，则 4t >t 2+3,∴1<t <3 ，由命题 q 能推出命题 p ，但命题 p 不能推出命题 q ，所以“命题 p ”是“命题 q ”成立的必要不充分条件．（2）解：因为命题 p 是命题 q 成立的充分不必要条件，所以 {2−a <3+a2−a ≥13+a <3，解得 −12<a <0 ． 20.【答案】 （1）证明：设 AB 的中点为 G ，连接 DG,CG ，则 DG//__12BB 1//__EC ， ∴四边形 DGCE 为平行四边形∴ DE//GC又 DE ⊄ 平面ABC ， GC ⊂ 平面ABC ∴ DE // 面 ABC ．（2）解：如图建立空间直角坐标系 O −xyz ，令 AB =AA 1=2 ，则 A(0,0,0) ， E(0,2,1) ， F(1,1,0) ， B(2,0,0) ， B 1(2,0,2) ， D(1,0,1) ，∵B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2) ， EF ⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,−1) ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0) ∴ B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0∴ B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗∵ AF ∩EF =F ∴ B 1F ⊥ 面 AEF∴平面 AEF 的一个法向量为 B1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2) 设平面 B 1AE 的法向量为 n⃗ =(x,y,z) ， 则由 n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {2y +z =0x +z =0． 令 x =2 ，则 z =−2,y =1 ∴n ⃗ =(2,1,−2) ∴cos <n ⃗ ,B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ·B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√66 n ⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗⃗ ||B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√66 ∴二面角 B 1−AE −F 的余弦值为 √66. 21.【答案】 （1）解：动员 x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则 (200−x)×[3×(1+0.04x)]≥200×3 ，解得 0<x ≤175 . （2）解：由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则 3(a −3x 50)⋅x ≤(200−x)×[3×(1+0.04x)] ，（ 0<x ≤175 ），化简得 a ≤0.02x +200x +7 ，（ a >0 ）. 由于 0.02x +200x +7≥2√0.02x ⋅200x +7=11 ，当且仅当 0.02x =200x ⇒x =100 时等号成立，所以 0<a ≤11 ，所以 a 的最大值为 11 .22.【答案】 （1）解：抛物线的焦点 F 的坐标为 (p 2,0) ， 点 F 到直线 x −y +1=0 |p 2+1|√2=√2 ，因为 p >0 ，所以 p =2 . 所以抛物线 C 的方程为 y 2=4x ；（2）解：设点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) ，联立方程 {y 2=4xy =k 1(x +1) ，消去 y 后整理为 k 12x 2+(2k 12−4)x +k 12=0 ， 由题意得 {k 1≠0Δ=(2k 12−4)2−4k 14>0 ，所以 −1<k 1<0 或 0<k 1<1 ， 所以 {x 1+x 2=4−2k 12k 12x 1x 2=1 ， 又 |MA|=√1+k 12|x 1+1| ， |MB|=√1+k 12|x 2+1| ，所以， |MA|⋅|MB|=(1+k 12)|(x 1+1)(x 2+1)|=(1+k 12)|x 1x 2+(x 1+x 2)+1| =(1+k 12)|4−2k 12k 12+2|=4(1+k 12)k 12 . 同理， |MD|⋅|ME|=4(k 22+1)k 22 . 所以 λ=|MA|⋅|MB|⋅|MC|⋅|MD|=16(k 12+1)(k 22+1)k 12k 22=16(k 12k 22+k 12+k 22+1)k 12k 22 =16(54+k 12+k 22)14≥64(54+2|k 1k 2|)=64×94=144 .（当且仅当 {k 1=−√22k 2=√22 或 {k 1=√22k 2=−√22取等号）. 所以 λ 的最小值为144.。
2020-2021学年广东省深圳实验学校高中部高二下学期第一阶段考试数学试题 word版
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟 满分：150分 命题人：曾玉泉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．用数字1,2,3组成允许有重复数字的两位数，其个数为( )A ．9B ．8C ．6D ．5 2．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为( )A ．6B ．7C ．8D ．14 3．右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若,a b 是某行的前两个数，当7a =时，b =( )A. 20B. 21C. 22D. 234．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X < 等于( ) A ．115 B ．715 C ．815 D ．14155．如右图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( ) A ．36种 B ．24种 C ．12种 D ．9种6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思 不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联： “客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,585,2662等；那么用数1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为( )A ． 30B ．36C ．360D ．1296 7．在561819(1)(1)(1)(1)x x x x -+-++-+-…的展开式中，含3x 的项的系数是( ) A ．3871 B ．3871- C ．4840 D ．4840- 8．224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为( )A ．256B ． 258C ．260D ．264二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳实验学校2020-2021学年高二上学期第二阶段考试化学试题(wd无答案)
广东省深圳实验学校2020-2021学年高二上学期第二阶段考试化学试题一、单选题(★★★) 1. 下列说法中正确的是A．储热材料是一类重要的能量储存物质，单位质量的储热材料在发生熔融或结晶时会吸收或释放较大的热量B．反应热的单位kJ·mol-1表示1mol物质参加反应时的能量变化C．Mg在CO2中燃烧生成MgO和C，反应中化学能全部转化成热能D．在可逆反应中，正反应焓变与逆反应焓变相等(★★★) 2. 下列关于能源的说法不正确的是A．生物质能、地热能、氢能、风能、潮汐能、天然气等为清洁能源B．化石燃料在燃烧过程中能产生污染环境的一氧化碳、二氧化硫等有害气体C．化石燃料的燃烧一定是放热反应，但并不是所有的化学反应都一定伴随着能量变化D．直接燃烧煤不如将煤进行深加工后燃烧效果好(★★★) 3. 25℃、101 kPa时，强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的中和热△ H=-57.3kJ∙mol -1，，石墨的燃烧热△ H=-393.5kJ∙mol -1，乙醇的燃烧热△ H=-1366.6kJ∙mol -1。
下列热化学方程式书写正确的是A．B．C．D．(★★) 4. 下列事实不能用勒夏特列原理解释的是A．黄绿色的氯水光照后颜色变浅B．CaCO 3(s)CaO(s)+CO2(g)，平衡时将容器的体积缩小至一半，新平衡的浓度与原平衡相同C．用浓氨水和氢氧化钠固体可快速制取氨气D．打开汽水瓶时，有大量气泡溢出(★★★★) 5. 对于在一个密闭容器中进行的反应C(s)+H 2O(g) CO(g)+H 2(g) ，下列条件的改变对反应速率几乎没有影响的是①增加C的量；②增加CO的量；③将容器的体积缩小一半；④保持体积不变，充入N 2以增大压强；⑤升高反应体系的温度；⑥保持压强不变，充入N 2以增大体积。
A．②③B．①④C．①⑥D．④⑥(★★★) 6. 在一定温度下，下列叙述不是可逆反应A(g)＋3B(g) 2C(g)达到平衡状态标志的是（）①C生成的速率与C分解的速率相等；②单位时间内生成a mol A，同时生成3a mol B；③A、B、C的浓度不再变化；④A、B、C的压强不再变化；⑤混合气体的总压强不再变化；⑥混合气体的物质的量不再变化；⑦单位时间内消耗a mol A，同时生成3a mol B；⑧A、B、C的分子数之比为1∶3∶2A．②⑧B．①⑥C．②④D．③⑧(★★★) 7. 下列有关平衡常数的说法正确的是A．改变条件，反应物的转化率增大，平衡常数也一定增大B．2NO 2(g)N2O4(g)，开始时充入1molN2O4，平衡常数表达式为C．对于给定的可逆反应，温度一定时，其正、逆反应的平衡常数相等D．，若改变温度使平衡常数增大，则该反应一定是往正反应方向移动(★★) 8. 下列过程一定不能自发进行的是( )A．2N2O5(g)=4NO2(g)＋O2(g) ΔH＞0B．2H2(g)＋O2(g)=2H2O(l) ΔH＜0C．(NH4)2CO3(s)=NH4HCO3(s)＋NH3(g) ΔH＞0D．2CO(g)=2C(s)＋O2(g) ΔH＞0(★★★) 9. 在一定温度下，冰醋酸加水稀释过程中，溶液导电能力如图所示，下列说法不正确的是A．用湿润的pH试纸测量a处溶液的pH，测量结果可能偏小B．a、b、c三点，a点时醋酸溶液中H＋浓度最小C．b点时，醋酸电离程度最大D．可通过微热的方法使c点溶液中c(CH3COO-)增大(★★★) 10. 氢碘酸(HI)可用“四室式电渗析法”制备，其工作原理如图所示(阳膜和阴膜分别只允许阳离子、阴离子通过)。
广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题(含答案)
华南师大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、 单选题：本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．过点()1,2-和点()0,3的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．3B ．1C ．3-D ．1-2．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则6a 的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．83．若直线l 的方向向量是()3,2,1a =，平面α的法向量是()1,2,1u =--，则l 与α的位置关系是（ ）A ．l α⊥B ．//l αC ．l 与α相交但不垂直D ．//l α或l α⊂4．若直线220x y +-=为圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232a a +=-，344a a +=，则8S =（ ）A ．80B ．85C ．90D ．956．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ） A ．3 B ．14 C ．28 D ．427．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||1||3AB MA ==，，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点. 延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．4A 1二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．460a a +=C ．910a a <D ．n S 有最大值81410．已知曲线22:1C mx ny +=，则( )A ．若4m n ==，则曲线C 是圆,其半径为2B ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y轴上 C ．若曲线C过点(，(，则C 是双曲线 D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形11．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．12144a = B ．2022a 是偶数C ．20221232020a a a a a =++++ D ．2020202420223a a a +=12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点.一束平行于x 轴的光线1l 从点()(),11P m m >射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（ ）A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线 C ．2516AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程为3y x =，则实数m =___________．14．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为______.全科试题免费下载公众号高中僧课堂15．已知正项数列{}n a 前n 项和n S 满足()()12n n n a a S m m +=+∈R ，，且3510a a +=，则m =__________. 16．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点分别为,A B ，左焦点为F ，以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于,M N 两点.若四边形FAMN 是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为___________.四、解答题：本大题共6小题，满分52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 17．（本题满分8分）在ABC 中，7cos 8A =，3c =，sin 2sinB A =且b c ≠. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积．18．（本题满分8分）已知数列{}n a 满足194a =-且134n n a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足30n n b na +=，求{}n b 的前n 项和为n T .19．（本题满分8分）如图，正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点. （1）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1A A D B --的正弦值.C 1120．（本题满分8分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且经过点(2A p ，)(0)m m >，||5AF =． （1）求p 和m 的值；（2）若点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．21．（本题满分10分）某高科技企业研制出一种型号为A 的精密数控车床，A 型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A 型车床所创造价值的第一年）.若第1年A 型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A 型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A 型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用n a （*N n ∈）表示A 型车床在第n 年创造的价值.（1）求数列{}(N )n a n *∈的通项公式n a ；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，n T =nS n，企业经过成本核算，若100n T >万元，则继续使用A 型车床，否则更换A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换A 型车床？22．（本题满分10分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，右顶点A 在圆22:3O x y +=上，且121AF AF ⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，设O 为坐标原点. ①求证：点M 与点N 的横坐标之积为定值； ②求MON ∆周长的最小值.，则2021122019a a a a =+++，同理2020122018a a a a =+++，2019122017a a a a =+++，依次类推，可得为原点，1,,CA CB CC 的方向为()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，因为1430 cos,1056AN BMAN BMAN BM⋅-+<===⨯>，所成角的余弦值为30直线四边形FAMNS=椭圆长轴长故ABC 的面积34n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭()41n ⎫++-⎪434n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭ABC 为正三角形正三棱柱, 又AO ⊂平面，1BB BC ⊥，1OO ⊂平面1(1,2,3),(2,1,0)AB BD ∴=-=-，1(1,2,3)BA =-. 1110,0AB BD AB BA ⋅=⋅=,1BD BA B ⋂=，且的一个法向量为(,,)n x y z =，(1,1,3)AD =--，1(0,2,0)AA =，则10n AD n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，得(3,0,1)n =-.）得1(1,2,3)AB =-为平面易得2364|c |o ,28s ||n AB n AB n AB ⋅-===-⋅.B 的平面角为θ所以11(4,4)AM x y =--，22(4,4)AN x y =--，又）由题意知126,,,a a a 构成首项故()*280306,N n a n n n =-∈（万元）由题意知()*78,,,7,N n a a a n n ∈构成首顶(7*17,N 2n n n -⎫∈⎪⎭730,1n n n -≤≤⎫所以，当*12,N n n ∈时，恒有则()13,0AF c =--，()23,0AF c =-，因为121AF AF ⋅=-，所以的渐近线方程为33y x , 当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x ，所以3,2OD MN,所以132OM ON .此时OMN 的周长为6OM ON MN，此时3M Nx x . 当直线的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m k ，则(,0)mD k，联立2213ykx m x y，得222(13)6330k xkmx m ，由于直线l 与双曲线所以2130k 且0m ，所以22222364(13)(33)130k m k m k，22310k m --=.则22310m k ,得33k或33k . ，由33ykx m yx ，解得3333(,),(,)33333333m mm m M N k k k k ，则222333()()333333m m mOM k k k ，222333()()333333m m m ON kk k ，22222331333()()1333333333m k m m m mMN k k k k k . 又22221331133M Nm k x x k k ，为定值，所以OMN 的周长为2221111333333k OM ON MNm k k k ，当33k时，周长为22222221112212123113333313333k k k kk m mkk k k k .当33k时，周长为 22222221112212123113333313333k k k k k m m kk kk k ,因为222222212122113113121111442kk k k kkkk k k，所以当33k 时，周长大于2336.当33k时，周长大于2336.综上所述，OMN 周长的最小值为。
广东省珠海市2021-2022学年高二上学期期末考试+历史+Word版含答案
【答案】A
10.1960年，英国首相麦克米伦访问非洲时说：“变革之风已经吹遍这个大陆，不管我们喜不喜欢，民族意识的这种增长是个政治事实。我们大家都必须承认这个事实，并且在制定国家政策时把它考虑进去。”他意在强调
A.民族自决原则的适用性B.应大力支持非洲独立运动
C.顺应非殖化完成的趋势D.改革已成为非洲时代潮流
【答案】A
11.西方国家既是全球化的主要受益者，又是反全球化的主阵地。西方国家反全球化的主要群体是担心失业、担心丧失福利，害怕在全球化进程中成为经济利益受损的弱势群体。导致上述现象的主要原因是（ ）
A.国家的经济主权让渡困难B.人口迁移引发文化冲突
C.经济全球化造成利益失衡D.社会福利制度难以为继
【答案】C
C.使印度在经济上从属于西ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD.同化当地的经济与文化
【答案】B
6.二战时期，一份重要文献写到：“德国无效果及无意识抵抗全世界自由人民之力量所得之结果彰彰在前，可为日本人民之殷鉴……时机业已到来，日本必须决定一途：其将继续受其一意孤行计算错误而将日本帝国陷于完全毁灭之境之军人统制？抑或走向理智之路？”该文献发表于
A. 核战争不可避免B. 美苏对峙威胁了世界和平
C. 英国是超级大国D. 冷战具备长期存在的条件
【答案】D
8.20世纪70年代后期以来，英国把开矿、公共交通、邮电等原属国家垄断的部门交由私人资本去经营。同时，把学校、市政维护、收运垃圾、道路修整等公共事业交给私人“承租”。这反映了英国
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末考试数学试题 word版
广东省珠海市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：必修3、选修2-1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上．）1．命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，200230x x -+< B ．0x ∀≤，2230x x -+< C ．00x ∃>，200230x x -+≥D ．0x ∀>，2230x x -+≥2．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．168B ．167C ．153D ．1353．在空间直角坐标系中，点(4,1,9)A ---与点(10,1,6)B --的距离是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．命题“[1,2]x ∀∈，2x a ≤”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．4a ≥D ．4a >5．方程1x -= ） A ．一个圆B ．一个椭圆C ．两个圆D ．半圆6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语甲组乙组听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x ，y 的值分别为（ ）90996166629x y甲组乙组A ．7，8B ．7，7C ．8，5D ．5，77．根据表格数据，得到的回归方程为ˆˆ9ybx =+，则ˆb =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-8．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为4，则数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．8-9．从区间[0,2]中任取一个实数x ，从区间[0,3]中任取一个实数y ，则使224x y +≤成立的概率为（ ） A ．12B ．9π C ．6π D ．3π 10．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线经过椭圆的上顶点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．3C ．2D ．211．已知椭圆22:142x y C +=，过点(1,1)M 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点M 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y +-=C ．20x y +-=D ．210x y -+=12．给出下列命题：①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 全不为0”； ②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题； ③设,x y ∈R ，则“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件；④已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)其中是真命题的有（ ） A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）13．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取 名志愿者．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为 ．15．某学校羽毛球校队进行扩招，共2个名额，现有2名男生和3名女生报名，从报名学生中任选2名学生，则恰好选中2名女生的概率为 ．16．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的标准方程为 ． 17．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 和N 分别是11B D 和11B C 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．18．与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与圆222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心的轨迹方程为 ．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为 ．20．如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD = ．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．已知命题p ：“关于x 的方程220x x m -+=有实数根”，命题q ：“23m -<<”，命题r ：“1t m t <<+”． （1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围； （2）若r 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围．22．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成[160,165)，[165,170)，……，[180,185)共五组后，得到的频率分布表如下所示：（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．23．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．24．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，CF //DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．图① 图②（1）求证：CD//平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，右焦点为F ，右顶点为A ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形面积为 （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线9x =交于点P 、Q ，且P 、Q 中点为G ，求证：1||||2FG PQ =．珠海市2020～2021学年度第一学期期末学生学业质量监测高二数学试题参考答案一、选择题1-5 DACDD 6-10 BDBCD 11-12 AB 二、填空题 13．【答案】3 14．【答案】1 15．【答案】31016．【答案】2219y x -= 【解】因为双曲线的渐近线方程为3y x =±，则设双曲线的方程是229y x λ-=，又它的一个焦点是，故910λλ+=，1λ∴=，2219y x -= 故答案为2219y x -=． 17．【答案】3010【解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，(1,1,2)M ，(0,2,0)C ，(1,2,2)N ，(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，设异面直线AM 和CN 所成角为θ，则||cos ||||6AM CN AM CN θ⋅===⋅．∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为10．故答案为：10．18．【答案】2212516x y += 【解】设动圆圆心为3C ，半径为r ，与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与圆222:(3)81C x y -+=内切，则131C C r =+，329C C r =-，133212106C C C C C C +=>=， 故动圆圆心3C 的轨迹满足椭圆的定义，长轴长为10，焦距为6，可得动圆圆心的轨迹方程为：2212516x y +=，故答案为：2212516x y +=． 19．【解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，31,,02E ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(1,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(0,0,1)D ， (1,3,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-，30,,02AE ⎫⎛= ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的法向量(,,)n x y z =，则1300n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)n =， ∴点E 到面1ACD 的距离：||319||38AE nd n ⋅==20．【答案】【解】由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+，22()CD AB AC BD ∴=-+22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅2163664116AC BD -⋅=++=，||229CD ∴=故答案为解法二：因为二面角为直二面角，且AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC β∴⊥，BD α⊥，2226452BC ∴=+=，2225264116CD BC BD =+=+=，CD ∴==三、解答题21．【解】（1）若p 为真：440m ∆=-≥，解得1m ≤ 若“p q ∧”是真命题，则p ，q 均为真命题 即123m m ≤⎧⎨-<<⎩，解得21m -<≤．m ∴的取值范围21m -<≤（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得(,1)(2,3)t t +-即213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），解得22t -≤≤．t ∴的取值范围22t -≤≤22．【解】（1）第2组的频数为1000.30030⨯=人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300， 频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：106160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答．设第3组的3位学生为1A ，2A ，3A ，第4组的2位学生为1B ，2B ，第5组的1位学生为1C ，则从这6位学生中抽取2位学生有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共15种情况．抽到的2位学生不同组的有：()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()11,B C ，()21,B C ，共11种情况．所以抽到的2位学生不同组的概率为1115． 23．【解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b=⎧⎪=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -= （2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x=-⎧⎨=⎩， 消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．24．【解】（1）（解法一）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM 则//AM BC =∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC ∴=四边形ABEF 为矩形//AB EF ∴=，//MC EF ∴=∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM ∴=又CF ⊂/平面ADE ，ME ⊂平面ADECF //∴平面ADE（解法二）四边形ABEF 为矩形BF //AE ∴又BF ⊂/平面ADE ，AE ⊂平面ADEBF //∴平面ADE又BC//AD ，同理可得：BC//平面ADE又BF BC B ⋂=，,BF BC ⊂平面BCF∴平面BCF //平面ADE又CF ⊂平面BCFCF //∴平面ADE（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =- 设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则 00n CD n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩(2,2,1)n ∴=又AD 是平面AEFB 的一个法向量， 2cos ,3||||n ADn AD n AD ⋅∴〈〉==⋅∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．25．【解】（1）由题意得132ca ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a =，1c =，b = 所以椭圆C 的方程为22198x y +=；（2）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221198x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()228916640t y ty ++-=，则0∆>恒成立， 由韦达定理得1221689ty y t +=-+，1226489y y t =-+，设点(9,)P m ，(3,0)A ，则()()11113,2,AM x y ty y =-=-，(6,)AP m =，由AM //AP ∣得()1162y m ty =-，可得1162y m ty =-，即点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭， 同理可得点2269,2y Q ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，1168,2y FP ty ⎫⎛∴=⎪ -⎝⎭，2268,2y FQ ty ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，()()1212366422y y FP FQ ty ty ∴⋅=+--()1221212366424y yt y y t y y =+-++2222236648964643248989t t t t t ⨯+=+-++++()222366464646406432489t t t -⨯=+=-=-+++()1221212366424y y t y y t y y =+-++因此，FP FQ ⊥．又因为P 、Q 中点为G ，所以1||||2FG PQ =．。
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，200230x x -+<B ．0x ∀≤，2230x x -+<C ．00x ∃>，200230-+≥x xD ．0x ∀>，2230x x -+≥【答案】D【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题求解即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时既要改变量词又要否定结论，所以命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是0x ∀>，2230x x -+≥，故选：D.2．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．168 B ．167C ．153D ．135【答案】A【分析】先求样本间隔，然后根据抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可． 【详解】样本间隔为18﹣3＝15， 即抽取样本数为180÷15＝12， 则最大的样本编号为3+15×11＝168， 故选：A ．3．在空间直角坐标系中，点(4,1,9)A ---与点(10,1,6)B --的距离是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由A ，B 的坐标求出AB 的坐标，求其模可得A 与B 的距离． 【详解】点(4,1,9)A ---，点(10,1,6)B --，∴(6,2,3)AB =-，则||||(7AB AB ==-=． 故选：C ．4．命题“[1,2]x ∀∈，2x a ≤”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a > B ．1a ≥C ．4a ≥D ．4a >【答案】D【分析】先找出命题为真命题的充要条件{}4a a ≥，从集合的角度充分不必要条件应为{}4a a ≥的真子集，由选项得出答案.【详解】[]1,2x ∀∈，214x ≤≤，∴要使2x a ≤恒成立，即4a ≥， 本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有D 符合. 故选：D.【点睛】结论点睛：充分不必要条件一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．5．方程211(1)x y -=--表示的曲线是（ ） A ．一个圆 B ．一个椭圆C ．两个圆D ．半圆【答案】D【分析】原方程两边平方，等价于22(1)(1)1(1)x y x -+-=，从而可得出结论． 【详解】方程211(1)x y -=--等价于22(1)(1)1(1)x y x -+-=，∴表示的曲线是半个圆．故选：D ．6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x 、y 的值分别为A ．7、8B ．5、7C ．8、5D ．7、7【答案】D【分析】根据中位数和平均数的公式分别进行计算即可．【详解】组数据的中位数为17，x 7∴=，乙组数据的平均数为17.4，()19161610y 2917.45∴+++++=， 得80y 87+=， 则y 7=， 故选D ．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数和平均数的公式是解决本题的关键．中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数. 7．根据如表数据，得到的回归方程为y b x 9=+，则b (= )A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】由题意可得样本中心点，代入回归直线可得b 值，即可得答案． 【详解】由题意可得()14567865x =++++=，()15432135y =++++=， 回归方程为9y b x =+且回归直线过点()6,3，369b ∴=+，解得1b =-，故选D ．【点睛】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.8．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为4，则数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．8-【答案】B【分析】首先设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为12x -，然后结合原数据的方差，利用方差的公式计算得出新数据的方差，再求出标准差即可． 【详解】设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为12x -， 则原数据的方差为22211021[()()()]1610x x x x x x -+-+⋯+-=， 则新数据的方差为：11[(121210x --+22)(1212x x +--+102)(1212x x +⋯+--+2)]x 222121014[()()()10]x x x x x x =⨯-+-+⋯+- 41664=⨯=．故数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为：8． 故选：B ．9．从[0]2，中任取一个数x ，从[0]3，中任取一个数y ，则使224x y ≤＋的概率为（ ）A ．12B ．π9C ．π3D ．π6【答案】D【分析】在平面直角坐标系中作出图形，则x ∈[0，2]，y ∈[0，3]的平面区域为矩形，符合条件x 2+y 2≤4的区域为以原点为圆心，2为半径的扇形内部，则扇形面积与矩形面积的比为概率【详解】在平面直角坐标系中作出图形，如图所示， 则x ∈[0，2]，y ∈[0，3]的平面区域为矩形OABC ， 符合条件x 2+y 2≤4的区域为以原点为圆心， 2为半径的扇形OAD 内部， ∴P （x 2+y 2≤4）2124236S S ππ⨯===⨯扇形矩形；故选D ．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题的关键．10．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．33C 3D ．22【答案】D【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可得()()0,,,0B b F c -，由3BF FA =， 得4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点A 在椭圆上，则：22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：2222216812,,9922c c e e a a ⋅=∴===. 故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．11．已知椭圆：22142x y +=，过点()1,1M 的直线与椭圆相交于,A B 两点，且弦AB 被点M 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y +-=C ．20x y +-=D ．210x y -+=【答案】B【详解】设()11A x y ，，()22B x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-∴+=则()()121212122142x x y y x x y y -+-==--+ 即直线AB 的斜率为12-则直线AB 的方程为()1112y x -=-- 即230x y +-= 故选B12．给出下列命题：①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 全不为0”； ②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题； ③设,x y ∈R ，则“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件；④已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率其中是真命题的有（ ） A ．①② B ．②④C ．①③D ．②③④【答案】B【分析】根据否命题的定义判断①；求出逆否命题判断②命；根据充分条件与必要条件的定义判断③；求出双曲线的离心率判断④.【详解】①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题应该是“若220a b +≠，则a ，b 不全为0”，故①错误；②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是“已知,x y ∈R ，若2x =且1y =，则3x y +=”，故②正确； ③取112x =≠，42y =≠，但是2xy =，即“1x ≠或2y ≠”不能推出“2xy ≠”，所以“1x ≠或2y ≠”不是“2xy ≠”的充分不必要条件，故③错误；④双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则有2b a=，则离心率2215c b e a a==+=，故④正确故选：B ．二、填空题13．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取__________名志愿者．【答案】3【分析】先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案. 【详解】第3组的人数为10050.0630⨯⨯=， 第4组的人数为10050.0420⨯⨯=， 第5组的人数为1000.02510⨯⨯=， 所以这三组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，第三组应抽取306360⨯=名， 故答案为：3.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关频率分布直方图的识别以及分层抽样某层抽取个数的问题，正确解题的关键是掌握在抽取过程中每个个题被抽到的机会均等. 14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为__________． 【答案】1【分析】求出抛物线22x y =的焦点坐标与准线方程，从而可得答案. 【详解】由22x y =可得1p =，抛物线22x y =的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y， 所以抛物线22x y =的焦点到准线的距离为11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故答案为：1.15．某学校羽毛球校队进行扩招，共2个名额，现有2名男生和3名女生报名，从报名学生中任选2名学生，则恰好选中2名女生的概率为__________． 【答案】310【分析】从2名男同学和3名女同学中任选2人，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，根据概率公式计算即可【详解】从2名男同学和3名女同学中任选2人，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，故选中的2人都是女同学的概率310P =， 故答案为：310.16．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】2219y x -=.【解析】解：由双曲线渐近线方程可知b /a =3 ①因为它的一个的焦点为（10，0），所以c=10 ② 又c2=a 2+b 2③联立①②③，解得a 2=1，b 2=9， 所以双曲线的方程为x 2- y 2/9 =1． 故答案为为x 2- y 2/9 =1．17．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 和N 分别是11B D 和11B C 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为__________．【答案】3010【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，利用空间向量夹角余弦公式可得答案.【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，(1,1,2)M ，(0,2,0)C ，(1,2,2)N ，(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，设异面直线AM 和CN 所成角为θ， 则||30cos ||||65AM CN AM CN θ⋅===⋅⨯．∴异面直线AM 和CN 30．30．18．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.【答案】2212516x y += 【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为__________．【答案】319【分析】以D为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1ACD 的法向量，利用向量法能求出点E 到平面1ACD 的距离． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(0,0,1)D ， (1,3,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-，30,,02AE ⎫⎛= ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的法向量(,,)n x y z =，则1300n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)n =， ∴点E 到面1ACD 的距离：||319||38AE n d n ⋅==， 故答案为:31938．【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间角与距离的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”.20．如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD =__________．【答案】229【分析】求CD 的长转为求||CD ，而CD CA AB BD =++，按照向量的模长求法，即可求解.【详解】由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+，22()CD AB AC BD ∴=-+22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅2163664116AC BD -⋅=++=， ||229CD ∴=．故答案为229．三、解答题21．已知命题p ：“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根”，命题q ：“23m -<<”，命题r ：“1t m t <<+”．（1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围； （2）若r 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）21m -<≤；（2）22t -≤≤. 【分析】（1）由p 为真可得1m ，从而123m m ≤⎧⎨-<<⎩，进而可得答案；（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），进而可得答案.【详解】（1）若p 为真：440m ∆=-≥，解得1m 若“p q ∧”是真命题，则p ，q 均为真命题即123m m ≤⎧⎨-<<⎩，解得21m -<≤．m ∴的取值范围21m -<≤（2）由r 是q 的充分不必要条件， 可得(,1)t t +是(2,3)-的真子集，即213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），解得22t -≤≤． t ∴的取值范围22t -≤≤22．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成[160,165)，[165,170)，……，[180,185)共五组后，得到的频率分布表如下所示：（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）11 15.【分析】（1）依据频数与频率公式求得相应数据，再根据数据完成频率分布直方图；（2）利用分层抽样求得第3、4、5组中的人数，再用列举法求得相应概率.【详解】（1）第2组的频数为1000.30030⨯=人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300，频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：106160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答．设第3组的3位学生为1A，2A，3A，第4组的2位学生为1B，2B，第5组的1位学生为1C，则从这6位学生中抽取2位学生有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()11,AC ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共15种情况．抽到的2位学生不同组的有：()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()11,B C ，()21,B C ，共11种情况．所以抽到的2位学生不同组的概率为1115． 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏.23．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）22122y x -=；（2）8. 【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可；（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可.【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b=⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x=-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 24．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，由平面几何证得四边形CMEF 为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；（2）由已知以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，运用二面角的向量求解方法可求得平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，则//AM BC=，∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC∴=，四边形ABEF 为矩形//AB EF ∴=，//MC EF∴=， ∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM∴=， 又CF ⊂/平面ADE ，ME ⊂平面ADE ，//CF ∴平面ADE ；（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F ，(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =-设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩，(2,2,1)n ∴=， 又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉==⋅，∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，右焦点为F ，右顶点为A ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形面积为122．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，直线MA、NA分别与直线9x=交于点P、Q，且P、Q中点为G，求证：1||||2FG PQ=．【答案】（1）22198x y；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率及菱形的面积联立方程求出,a b，即可求解；（2）设直线方程为1x ty=+，表示出,P Q点的坐标，利用向量可证明FP FQ⊥，根据直角三角形斜边中线的性质得证.【详解】（1）由题意得132122caab⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a=，1c=，22b =，所以椭圆C 的方程为22198x y；（2）如图，设直线l的方程为1x ty=+，设点()11,M x y、()22,N x y，联立221198x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得()228916640t y ty++-=，则0∆>恒成立，由韦达定理得1221689ty yt+=-+，1226489y yt=-+，设点(9,)P m，(3,0)A，则()()11113,2,AM x y ty y=-=-，(6,)AP m=，由AM//AP→得()1162y m ty=-，可得1162y m ty =-，即点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，同理可得点2269,2y Q ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，1168,2y FP ty ⎫⎛∴=⎪ -⎝⎭，2268,2y FQ ty ⎫⎛=⎪ -⎝⎭， ()()1212366422y y FP FQ ty ty ∴⋅=+--()1221212366424y y t y y t y y =+-++2222236648964643248989t t t t t ⨯+=+-++++()222366464646406432489t t t -⨯=+=-=-+++ 因此，FP FQ ⊥．又因为P 、Q 中点为G ，所以1||||2FG PQ =． 【点睛】关键点点睛：设点()11,M x y 、()22,N x y ，点(9,)P m ，根据向量AM //AP →，转化出点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，2269,2y Q ty ⎫⎛⎪-⎝⎭，利用向量0FP FQ ⋅=，证明FP FQ ⊥是证明结论的关键所在，属于中档题.。
广东省珠海市2013-2014学年高二下学期期末考试数学理(B卷)试题 Word版含答案
（第3题图）珠海市2013-2014学年度第二学期期末学生学业质量监测高二理科数学试题（B 卷）参考答案与评分标准考试用时：120分钟 总分：150分参考公式：如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k k n kn nP k C p p k n -=-=，，， 临界值表:线性回归直线方程：x b y aˆˆ-=，∑∑==---=ni ini iix x y yx x b121)())((ˆ))()()(()(22d b d c c a b a bc ad n K ++++-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
答案： CBCDA BDCBA BC1.在复数范围内，方程12-=x 的解是A.1±B.-1C.i± D.i2. 人都会犯错，老王是人，所以老王也会犯错．这个推理属于 A ．合情推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．归纳推理3．如右图所示，图中有5组数据（用字母代表），现准备去掉其中一组，使剩下的组数据的线性相关性最高，那么应该去掉的一组是 A ．E B ．F C ．G D ．H4．等于则)(,ln )(2x f x x x f '+= A.1+x B.12+x C.x x 1+5. 函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则试卷类型：B（第5题图）B ．2x =-为()f x 的极大值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．0x =为()f x 的极小值点6. 从5名同学中选3人参加某项会议，则选法种数为 A ．15B ．10C ．20D ．607．若5名学生排成一列，则其中学生甲站在最左边的排法种数为 A ．10B ．48C ．120D ．248.从1,2，3，...，9这9个数中，取出2个数，其和为奇数的取法有 A ．10种B ．18种C ．20种D ．36种9.离散型随机变量的分布列为：则x 的值为A ．61 C ．21 D ．41 10. 若随机变量X 服从正态分布2~(1,)X N σ，且4.0)3(=<X P ,则)11(<<-X P = A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ． 0.411．用数学归纳法证明)12(5312)()3)(2)(1(-⋅⋅⋅=++++n n n n n n n (n ∈N *)，当1+=k n 时，在假设k n =时成立的等式左端需要增加的代数式为A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．211k k ++D ．231k k ++12．已知11=a ，1211a a +-=，2311a a +-=，…，nn a a +-=+111，…．那么=2014a A ．-2 B ．21-C ．1D ． 2 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请将正确答案填在答题卡上． 13．)2)(1(i i -+＝__________．i +3 14．=⎰2123dx x（用数字作答）．715．在5)1(xx +展开式中，含x 项的系数为 ．10 16．函数xe xf =)(在0=x 处的切线方程为 ．01=+-y x （或1+=x y ）17．设随机变量ξ的概率分布为ka k P 2)(==ξ，a 为常数，4,3,2,1=k ，则=a ．18．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表：经计算得1.6≈χ，则在犯错概率不超过________的前提下认为药物有效．2.5_％ 19． 从1，2，3，4，5，6，7中选出三个互不相邻的数，选法有_______种．（填数字）10 20．等差数列{}n a 中，有11221)12(+++=+++n n a n a a a ，类比以上性质，在等比数列{}n b 中，有等式____________________________________________________成立．1211221+++=n n n b b b b三、解答题：本大题共5小题，每小题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上. 21．某研究性学习小组有6名同学． （1）这6名同学排成一排，有多少种排法？（2）若6名同学站成一排，其中甲乙两人站在最中间，有多少种排法？解：（1）六个元素的全排列=P 66A ＝720…5分（2）第一步：先确定中间甲乙两人的顺序，有22A 种排法；第二步：剩下的4名同学进行全排列，有44A 种排法，根据分步计数原理：.=P 4422A A ⋅＝242⨯＝48（种）……10分22．已知x x x x f ++=232)(，R x ∈．（1）求函数)(x f 的单调减区间；（2）当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的值域． 解：（1）143)(2++='x x x f ……1分 令得0)(='x f 31,121-=-=x x ……2分 当)31,1(--∈x 时,0)(<'x f ……4分 所以函数f(x)的单调减区间是)31,1(--……5分（2）由（1）易得, f(x)在(-1,-31)单调递减,在(-31,1)单调递增, ……6分 4)1(,274)31(,0)1(=-=-=-f f f …8分 所以f(x)的值域为[4,274-]……10分23．某人身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.根据统计学的有关研究，儿子的身高与父亲的身高有关。
2020-2021学年广东省珠海市香洲区九年级(上)学期期中数学试题(含答案)
“点睛”本题考查了二次函数的性质．二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=（x-h）2+k；两根式：y=a（x-x1）（x-x2）．
13．2
【分析】
B′C=10-B′D．在直角△AB′D中，利用勾股定理求得B′D的长度即可．
解：由旋转的性质得到AB=AB′=5，
解：连结BC、OB、OC，延长DO交BC与H，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=60°，
∴∠DBC=∠BCD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=BC，∠BDC=60°，
∵∠ABD=∠CAD，
∴弧DC=弧DB，
∴DH⊥BC，
∴BH=CH，∠BOH= ∠BOC，
而∠BOC=2∠BDC=120°，
解：一元二次方程4x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数a、一次项系数b和常数c分别是：a＝4，b＝﹣3，c＝﹣1，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为 （a≠0）．
2．A
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形的定义，分别进行判断，即可得到答案．
解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A正确；
（1）判断△ABC的形状：；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
参考答案
1．C
【分析】
一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且a≠0)．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此作答．
14．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是___米．
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。
2020-2021学年广东省梅州市高二上学期期末考试数学试题 解析版
2020-2021学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2xC．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x2．已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若向量，，且，则实数λ的值是（）A．0B．1C．﹣2D．﹣14．已知圆C的圆心是直线x+y+1＝0与直线x﹣y﹣1＝0的交点，直线3x+4y﹣11＝0与圆C 交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为（）A．x2+（y+1）2＝18B．C．（x+y）2+y2＝18D．5．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝﹣12x的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．6B．C．D．6．若函数f（x）＝2x+在区间[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥2C．a＜2D．a≤27．一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x（cm），小盒子的容积为V（cm3），则（）A．当x＝2时，V有极小值B．当x＝2时，V有极大值C．当时，V有极小值D．当时，V有极大值8．设函数f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x）若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式e x f（x）＞e x+2019的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2019，+∞）C．（2019，+∞）D．（0，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．设f（x），g（x）都是单调函数，其导函数分别为f'（x），g'（x），h（x）＝f（x）﹣g （x），下列命题中正确的是（）A．若f'（x）＞0，g'（x）＞0，则h（x）单调递增B．若f'（x）＞0，g'（x）＜0，则h（x）单调递增C．f'（x）＜0，g'（x）＞0，则h（x）单调递减D．若f'（x）＜0，g'（x）＜0，则h（x）单调递减10．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）A．设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线B．设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P 的轨迹为椭圆C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．双曲线与椭圆有相同的焦点11．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是（）A．a1+c1＝a2+c2B．a1﹣c1＝a2﹣c2C．c1a2＞a1c2D．12．关于函数，下列说法正确的是（）A．x0＝2是f（x）的极小值点B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正整数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．直线l过坐标原点且与线y＝e x相切，则l的方程为．14．已知过点的椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），则椭圆C的标准方程是．15．如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为米（精确到0.1米）．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC 中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为．四、解答题：解答应写出文字说明。
【市级联考】广东省珠海市2020-2021学年高二上学期期末考试物理试题含答案解析
C.直流电流表 量程 ，内阻约为
D.直流电压表 量程 ，内阻约为
E.直流电压表 量程 ，内阻约为
F.滑动变阻器 最大阻值 ，允许通过的最大电流为
G.滑动变阻器 最大阻值 ，允许通过的最大电流为
实验要求小灯泡两端的电压从零开始变化并能测多组数据．
实验中电流表应选用______，电压表应选用______，滑动变阻器应选用______． 填器材前的字母
A．粒子带正电
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
C．能通过的狭缝P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的荷质比越小
11．如图所示的电路中，电源电动势E和内阻r恒定不变，滑片P从左端向右端移动，则
A．电流表的示数变大B．电压表的示数变大
C．电阻 消耗的功率变小D．电灯L消耗的功率变小
6．如图，两根与纸面垂直的长直导线通有方向相反的电流 、 ，且 、b、c、d为纸面内的四个点，且b、d的连线与a、b、c的连线垂直。则磁感应强度可能为零的点是
A．a点B．b点C．c点D．d点
7．如图，氕核、氘核、氚核三种粒子从S点无初速释放。经电场 加速后，又进入电场 偏转最后打在屏上。整个装置处于真空中，不计粒子重力及其相互作用，则
12．质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入竖直平面内方向如图所示的正交匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒只在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是( )
A．该微粒一定带负电
B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的场强为Bvcosθ
13．如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面 未画出 一群比荷为 的负离子体以相同速率 较大 ，由P点在纸面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是
2020-2021学年广东省广州市海珠区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市海珠区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|33}A x x =-<<，集合2{|340}B x x x =--，则(A B = )A ．(3-，1]B ．[2-，3)C ．(3-，2]-D ．(3-，1]-2．（5分）已知椭圆2212516x y +=，则该椭圆的离心率为( )A ．45B ．1625C ．35D ．9253．（5分）已知命题:0p a ∃，20a a +<，则命题p ⌝为( )A ．0a ∀，20a a +B ．0a ∀，20a a +<C ．0a ∀，20a a +D ．0a ∃<，20a a +< 4．（5分）等比数列{}n a 中，已知1236a a a ++=，4563a a a ++=-，则789(a a a ++= ) A ．24B ．32C ．34D ．278-5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π+B ．323π+ C ．236π+ D ．236π+ 6．（5分）设正数m ，n 满足111m n+=，则94m n +的最小值为( ) A ．9B ．16C ．25D ．267．（5分）椭圆22221(0)x y m n m n +=>>和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是这两曲线的一个交点，则12||||PF PF ⋅的值为( ) A ．22m a -B ．1()2m a -C m aD ．m a -8．（5分）几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成30︒角，则该椭圆的离心率为( )A 23B 3C 6D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）已知命题p ：若0x y <<，则x y ->-，命题q ：若x y <，则22x y <，则下列命题中真命题( ) A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨10．（5分）已知110a b<<，则下列不等式正确的是( ) A ．11a b ab<+ B ．||0a b +> C ．22lna lnb >D ．11a b a b->- 11．（5分）已知直线1l 、2l 的方向向量分别是(2AB =，4，)x ，(2CD =，y ，2)，若||6AB =且12l l ⊥，则x y +的值可以是( ) A ．3-B ．1-C ．1D ．312．（5分）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，短轴长等于2，离心率61F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为2213y x +=B ．椭圆C 的方程为2213x y += C ．23||PQ =D ．△2PF Q 的周长为43三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知x，y满足条件10301x yx yy-+⎧⎪+-⎨⎪>⎩，则32z x y=-+的最小值为．14．（5分）数列{}na的前n项和为nS，已知2(2)nan n=+，则4S=．15．（5分）如图，长方体1111ABCD A B C D-中，2AB AD==，122AA=，若M 是1AA 的中点，则BM与平面11B D M所成角的正弦值是．16．（5分）过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左、右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是.（用区间表示）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）①454a a+=-，②266a a+=-，③714S=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．问题：等差数列{}na前n项和为nS，73a=，若____，是否存在，使得1S S->且1S S+<？18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P到两点(3,0)M，(3,0)N的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线2y x=+与曲线C有公共点，求实数的取值范围．19．（12分）某公司进行技术创新，将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态形式的化工产品，从而实现“变废为宝、低碳排放”．经过生产实践和数据分析，在这种技术下，该公司二氧化碳月处理成本y（元)与二氧化碳月处理量([300x x∈，600]，单位：吨）之间满足函数关系21300800002y x x=-+，假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200元．（1）该公司二氧化碳月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低，最低平均成本是多少？（2）该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少？ （月收益=月收入-月处理成本）20．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点． （1）求证：1//AB 平面1DBC ；（2）若11AB BC ⊥，求二面角1D BC C --的余弦值．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，1133(*)n n n a a n N ++=+∈． （1）求证：数列{}3n n a 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：37324n n S n >-． 22．（12分）已知点(1,0)A ，E ，F 为直线1x =-上的两个动点，且AE AF ⊥，动点P 满足//EP OA ，//FO OP （其中O 为坐标原点）． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M ，N ，如果4OM ON ⋅=-，证明直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标．2020-2021学年广东省广州市海珠区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|33}A x x =-<<，集合2{|340}B x x x =--，则(A B = )A ．(3-，1]B ．[2-，3)C ．(3-，2]-D ．(3-，1]-【解答】解：集合{|33}A x x =-<<， 集合2{|340}{|1B x x x x x =--=-或4}x ， {|31}(3AB x x ∴=-<-=-，1]-．故选：D ．2．（5分）已知椭圆2212516x y +=，则该椭圆的离心率为( )A ．45B ．1625 C ．35D ．925【解答】解：椭圆2212516x y +=，5a ∴=，4b =，3c =， ∴该椭圆的离心率为35c e a ==． 故选：C ．3．（5分）已知命题:0p a ∃，20a a +<，则命题p ⌝为( )A ．0a ∀，20a a +B ．0a ∀，20a a +<C ．0a ∀，20a a +D ．0a ∃<，20a a +< 【解答】解：特称命题:0p a ∃，20a a +<，由特称命题的否定是全称命题，则命题p ⌝为0a ∀，20a a +． 故选：C ．4．（5分）等比数列{}n a 中，已知1236a a a ++=，4563a a a ++=-，则789(a a a ++= ) A ．24B ．32C ．34D ．278-【解答】解：等比数列{}n a 中， 由等比数列的性质得：n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，由1236a a a ++=，4563a a a ++=-， 得：78933362a a a -++=-⨯=． 故选：B ．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π+B ．323π+ C ．236π+ D ．236π+ 【解答】解：由题意可知几何体的是组合体，下部是圆柱，上标是四棱锥，圆柱的高为1，四棱锥的高为1， 圆柱的底面半径为12， 所以组合体的体积为：21321122133V ππ+=⋅⋅+=． 故选：B ．6．（5分）设正数m ，n 满足111m n+=，则94m n +的最小值为( ) A ．9B ．16C ．25D ．26【解答】11494994(94)()1313225n m n m m n m n m n m n m n∴+=+⋅+=+++⋅=， 当且仅当32m n =时等号成立． 故选：C ．7．（5分）椭圆22221(0)x y m n m n +=>>和双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是这两曲线的一个交点，则12||||PF PF ⋅的值为( )A ．22m a -B ．1()2m a -C ．m a -D ．m a -【解答】解：由题意，不妨设P 在双曲线的右支上，则12||||2PF PF m +=，12||||2PF PF a -= 1||PF m a ∴=+，2||PF m a =-2212||||PF PF m a ∴⋅=- 故选：A ．8．（5分）几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成30︒角，则该椭圆的离心率为( )A 23B 3C 6D ．12【解答】解：椭圆的长轴为2a ，短轴的长为2b ，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成30︒角， 可得2cos302ba=︒32a b =，所以22212c a b e a a -===． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）已知命题p ：若0x y <<，则x y ->-，命题q ：若x y <，则22x y <，则下列命题中真命题( ) A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【解答】解：若0x y <<，则0x y ->->，即命题p 是真命题，当1x =-，0y =时，满足x y <，但22x y <，不成立，即命题q 是假命题，则p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，()p q ∧⌝是真命题，()p q ⌝∨为假命题， 故选：BC ． 10．（5分）已知110a b<<，则下列不等式正确的是( ) A ．11a b ab<+ B ．||0a b +> C ．22lna lnb > D ．11a b a b->- 【解答】解：由110a b<<，可得0a b >>． 所以11a b ab<+，故A 正确； 因为0a b <-<-，所以||a b <-，即||0a b +<，故B 错误；由0a b <-<-，可得22a b <，所以22lna lnb <，故C 错误； 由110a b <<，可得11a b->-，又a b >， 所以11a b a b->-，故D 正确． 故选：AD ．11．（5分）已知直线1l 、2l 的方向向量分别是(2AB =，4，)x ，(2CD =，y ，2)，若||6AB =且12l l ⊥，则x y +的值可以是( ) A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解：直线1l 、2l 的方向向量分别是(2AB =，4，)x ，(2CD =，y ，2)，||6AB =且12l l ⊥，∴64420y x ++=⎪⎩，解得216220x x y ⎧=⎨++=⎩，∴43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩，1x y ∴+=或3x y +=-．故选：AC ．12．（5分）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，短轴长等于2，离心率1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是( )A．椭圆C的方程为2213yx+=B．椭圆C的方程为2213xy+= C．23||3PQ=D．△2PF Q的周长为43【解答】解：由已知得，22b=，1b=，63ca=，又222a b c=+，解得23a=．∴椭圆方程为2213yx+=．如图：2223||3bPQa∴===，△2PF Q的周长为443a=．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知x，y满足条件10301x yx yy-+⎧⎪+-⎨⎪>⎩，则32z x y=-+的最小值为2-．【解答】解：由约束条件10301x yx yy-+⎧⎪+-⎨⎪>⎩作出可行域如图，联立301x y y +-=⎧⎨=⎩，解得(2,1)A ，化目标函数32z x y =-+为32y x z =+，由图可知，当直线32y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2-． 故答案为：2-．14．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2(2)n a n n =+，则4S = 1715．【解答】解：已知211(2)2n a n n n n ==-++， 则1111111111111132435112212n S n n n n n n =-+-+-+⋯+-+-=+---++++， 所以411117125615S =+--=． 故答案为：1715． 15．（5分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，122AA =，若M 是1AA 的中点，则BM 与平面11B D M 所成角的正弦值是63．【解答】解：由勾股定理知，2211246B M D M BM AM BM ===+=+=，112B D = ∴112211111111()226222222B D MSB D B M B D =-⨯- 设点B 到平面11B D M 的距离为h ， 1111B B D M M BB D V V --=， ∴1111111113322B D Mh S AC BB B D ⋅=⋅⋅⋅， 即122222222h ⋅=⋅2h ∴=，设BM 与平面11B D M 所成角为θ，则1sin h B M θ===， 故BM 与平面11B D M16．（5分）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左、右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是) .（用区间表示）【解答】解：过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左、右两支分别相交， 双曲线的一条渐近线的斜率b a 必大于3，即3ba>，因此该双曲线的离心率c e a === 故答案为：)+∞．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）①454a a +=-，②266a a +=-，③714S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由． 问题：等差数列{}n a 前n 项和为n S ，73a =，若 ____，是否存在，使得1S S ->且1S S+<？【解答】解：若存在，使得1SS ->且1S S+<，则0a <，10a+>，设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ，若选择条件①：由74534a a a =⎧⎨+=-⎩，可得1163274a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以92(1)211n a n n =-+-=-，*n N ∈， 由0n a <，可得112n <， 所以当5=时，满足50a <，60a >．若选择条件②：由72636a a a =⎧⎨+=-⎩，可得1163266a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以92(1)211n a n n =-+-=-，*n N ∈， 由0n a <，可得112n <， 所以当5=时，满足50a <，60a >．若选择条件③：由77314a S =⎧⎨=⎩，可得116372114a d a d +=⎧⎨+=⎩，可得1113a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1121(1)333n a n n =+-=+，*n N ∈，易知0n a >恒成立， 所以不存在满足条件的．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点M，(N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若直线2y x =+与曲线C 有公共点，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）由已知可得||||4||PM PN MN +=>=，由椭圆的定义可知点P 的轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长为4的椭圆， 所以2a =，c =，则2431b =-=，所以轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）联立方程22214y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理可得：22(14)16120x x +++=，因为直线与椭圆有公共点，则△2225648(14)0=-+，解得33kk -或，故实数的取值范围为3(,[,)-∞+∞． 19．（12分）某公司进行技术创新，将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态形式的化工产品，从而实现“变废为宝、低碳排放”．经过生产实践和数据分析，在这种技术下，该公司二氧化碳月处理成本y （元)与二氧化碳月处理量([300x x ∈，600]，单位：吨）之间满足函数关系21300800002y x x =-+，假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200元．（1）该公司二氧化碳月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低，最低平均成本是多少？（2）该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少？ （月收益=月收入-月处理成本）【解答】解：（1）设每吨的平均处理成本为t 元， 由已知可得18000300,[300,600]2y t x x x x==+-∈， 所以1800018000300230022t x x x =+-⨯ 400300100=-=，当且仅当180002x x=，即400x =时取等号， 故二氧化碳月处理量400吨时，每吨的平均处理成本取到最低值100元； （2）设公司利用这种技术处理二氧化碳的月收益是U 元， 由已知可得21200(3008000)2U x x x =--+，[300x ∈，600]，所以22115008000(500)4500022U x x x =-+-=--+， 当500x =时，45000max U =， 当300x =时，25000min U =，故当[300x ∈，600]时，[25000U ∈，45000]，所以该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是45000元，此时二氧化碳的月处理量为500吨．20．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点． （1）求证：1//AB 平面1DBC ；（2）若11AB BC ⊥，求二面角1D BC C --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接1B C ，交1BC 于E ，连接DE ， 由已知得四边形11BB C C 为矩形，E ∴是1B C 中点， 在△1AB C 中，D 为AC 中点，1//AB DE ∴， 1AB ⊂/平面1DBC ，DE ⊂平面1DBC ， 1//AB ∴平面1DBC ．（2）设E 、F 分别为1B C 、BC 的中点，连接EF ，AF ， 由已知得AF BC ⊥，AF EF ⊥，EF BC ⊥，以F 为原点，分别以FB ，EF ，FA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设1BB a =，2BC b =，则(0A ，03)b ，(B b ，0，0)，1(B b ，a -，0)，(C b -，0，0)，1(C b -，a -，0)， ∴1(AB b =，a -，3)b ，1(2BC b =-，a -，0)，11AB BC ⊥，∴221120AB BC b a ⋅=-+=，解得2b =，∴1(2C B a =，a ，0)， D 是AC 中点，∴2a ，06a ，∴32(a DB =，0，6a ， (0n =，0，1)是平面1CBC 的法向量．设平面1DBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则1203260m C B ax ay a a m DB ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，得36(,m =， 2cos ,||||2m n m n m n ⋅∴<>===⋅∴二面角1D BC C --的余弦值为2．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，1133(*)n n n a a n N ++=+∈． （1）求证：数列{}3n n a 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：37324n n S n >-． 【解答】证明：（1）数列{}n a 满足11a =，1133(*)n n n a a n N ++=+∈， 整理得11133n nn na a ++-=（常数）， 当1n =时，11133a =， 所以数列{}3n n a 是以13为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由于数列{}3n n a 是以13为首项，1为公差的等差数列，所以2()33n n a n =-⨯．证明：（3）由于2()33n n a n =-⨯，故12222(1)3(2)3()3333n n S n =-⨯+-⨯+⋯+-⨯①，2312223(1)3(2)3()3333n n S n +=-⨯+-⨯+⋯+-⨯②，②-①得：111239772()31()33262n n n n S n n +++-=-⨯--=-⨯+，故177()32124n n n S +=-⨯+，所以17()3737737212()3343244324n n n n n n n S n n +-⨯=+=-+>-⨯⨯．22．（12分）已知点(1,0)A ，E ，F 为直线1x =-上的两个动点，且AE AF ⊥，动点P 满足//EP OA ，//FO OP （其中O 为坐标原点）． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M ，N ，如果4OM ON ⋅=-，证明直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）设(,)P x y ，(1,)E a -，(1,)F m -，则(2,),(2,)AE a AF m =-=-，(1,),(1,0),(1,),(,)EP x y a OA FO m OP x y =+-==-=， 由AE AF ⊥，则有(2-，)(2a ⋅-，)0m =且点E ，F 不在x 轴上， 故4am =-，且0a ≠，0m ≠， 由//EP OA ，可得0y a -=，即y a =， 由//FO OP ，可得0mx y +=，即y mx =-， 所以24y amx x =-=-，故动点P 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =≠； （2）根据题意可设直线l 的方程为(0)x ty b b =+≠， 由24x ty b y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty b --=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则124y y t +=，124y y b =-，故22222212121212(1)()4(1)44OM ON x x y y t y y bt y y b b t bt b b b ⋅=+=++++=-+++=-，由4OM ON ⋅=-，解得2b =，故直线l 的方程为2x ty =+，恒过定点(2,0)．。
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末考试物理试卷及答案
17.解：(1)依题意可知小球所受的支持力 N=0，小球竖直方向上受力平衡，则有
=
得
qg
mE
小球在水平方向只受洛仑兹力作用，在 xoz 平面上做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得
2
=
（1 分）
解得半径
r mv Ev qB gB
(2)带电小球沿 y 轴的加速度为 a，根据牛顿第二定律得
'− =
（1 分）
最大静摩擦力 fm＝μFN＝μ(mg－Fcos α)＝2.6 N
当最大静摩擦力方向向右时
FT＝Fsin α－fm＝1N
当最大静摩擦力方向向左时
FT＝Fsin α＋fm＝6.2 N
又 FT＝G
所以 1N≤G≤6.2 N。
答案：(1)2 A 电流方向为 a 到 b (2)6 N (3)1N≤G≤6.2N
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末考试物理试卷及答案
物理试题参考答案
1-7 CBDBA DC 8-12BD AC AD BC CD 13.（1）0.383（0.381—0.384 均可） （2）A1 R1 （3）保护电路 14. (1) 黑 (2) 1；5 (3)1.10mA 2.20V (4) 40 ； 965 15.（1）小灯泡的额定电流 = = 0.4 = 0.2 ；
2
根据闭合欧姆定律 = + + ； 得 =3 ； 电动机两端电压为 0.4V，电功率 = = 0.08 ;
输出功率 = − 2 = 0.04
16.解析：(1)通过 ab 的电流大小为 I＝ E ＝2 A R＋R0＋r
方向为 a 到 b。
(2)ab 受到的安培力为 F＝BIL＝6 N。
(3)对 ab 受力分析如图所示，
2021-2022学年广东省珠海市高二上期末考试数学试卷附答案解析
2021-2022学年广东省珠海市高二上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知点M （1，2，3），N （2，3，4），P （﹣1，2，3），若PQ →=3MN →，则Q 的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，﹣5） B ．（3，4，1）C ．（﹣4，﹣1，0）D ．（2，5，6）2．圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1关于直线x +y ＝0对称的圆的方程是（ ） A ．（x +3）2+（y ﹣4）2＝1 B ．（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1 C ．（x +4）2+（y ﹣3）2＝1 D ．（x +4）2+（y +3）2＝13．若方程x 2m+y 22−m=1表示椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1）∪（1，2）4．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，若PN →=2NC →，AM →=3MB →，NM →=x PA →+y PC →+z PD →，则x +y +z ＝（ ）A ．−12B ．−13C ．13D ．−165．直线2x •sin θ+y ＝0被圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0截得最大弦长为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．3D ．2√26．已知直线y ＝kx ﹣1与椭圆x 24+y 23=1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP →=3PB →，则实数k 的值为（ ） A ．√62B ．−32C ．±√62D ．±327．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ＝2AB ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿AE 翻折至△P AE 的位置（点P ∉平面AECD ），设线段PD 的中点为F ，则在翻折过程中，下列论断不正确的是（ ）A ．CF ∥平面AEPB ．异面直线CF 与PE 所成角的大小恒定不变C ．AE ⊥DPD ．当平面APE ⊥平面AECD 时，AD 与平面PDE 所成角为30° 8．如图，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以OF 2为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为P ，线段PF 1与另一条渐近线交于点Q ，且△OPF 2的面积是△OPQ 面积的2倍，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．3√22C ．√2D ．√3二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为（ ） A ．x 24−y 2=1B ．x 2−y 24=1C ．y 24−x 2=1D ．y 2−x 24=1 10．已知空间向量a →=(2k +2，k ，−4)，b →=(−2，1，8)，且a →⊥b →，则（ ） A ．k ＝﹣6B ．|b →|=69C ．k ＝﹣12D ．|b →|=√6911．已知圆M ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝3（a ，b ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB|=√3，则下列结论错误的是（ ） A ．a 2+b 2＝4B ．四边形OAMB 的面积为√32C ．a +b 的最小值为−√2D ．MA →⋅MB →是定值12．如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是（ ）A ．A 1C 1⊥平面BD 1B ．BD 1⊥平面ACB 1C ．BD 1与底面BCC 1B 1所成角的正切值是√2D ．过点A 1与异面直线AD 与CB 1成60°角的直线有2条 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →=(1，2，3)，b →=(x ，x 2+y −2，y)，且a →，b →同向，则x ，y 的值x ＝ ，y ＝ ．14．以点A （0，4），B （4，6）为直径的两个端点的圆的标准方程是 ． 15．已知椭圆x 26+y 23=1的左焦点为F ，点A 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点B 是线段AF 的中点，则△FOB 的周长为 ． 16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，关于原点对称的点A 、B 在椭圆上，且满足|AB |＝|F 1F 2|，若令∠F 1AB ＝θ且θ∈[π12，π4]，则该椭圆离心率的取值范围为 ．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）求证：P A∥平面EBD；（2）求PB与平面EBD所成的角的正弦值．18．已知直线l1：（m+2）x+my﹣8＝0与直线l2：mx+y﹣4＝0，m∈R．（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若l1⊥l2，求m的值．19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为点F1，F2，左、右顶点分别为A，B，长轴长为4，椭圆上任意一点P（不与A，B重合）与A，B连线的斜率乘积均为−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1∥l2，试问：四边形MNPQ可否为菱形？并请说明理由．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且PD ＝CD ＝1，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ． （1）证明：PB ⊥平面DEF ；（2）若三棱锥A ﹣BDP 的体积为13，求二面角D ﹣BP ﹣C 的余弦值．21．已知圆C上有两个点A（2，3），B（4，9），且AB为直径．（1）求圆C的方程；（2）若直线3x+4y﹣18＝0与圆C交于C、D，求CD长度；（3）已知P（﹣1，3），点Q是圆C上的任意一点，求PQ的最大值和最小值．22．已知椭圆C ：x 22+y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A （0，2）的直线l 交椭圆C 于不同的两点P 、Q ．（1）若直线l 经过F 2，求△F 1PQ 的周长；（2）若以线段PQ 为直径的圆过点F 2，求直线l 的方程； （3）若AQ →=λAP →，求实数λ的取值范围．2021-2022学年广东省珠海市高二上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知点M （1，2，3），N （2，3，4），P （﹣1，2，3），若PQ →=3MN →，则Q 的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，﹣5） B ．（3，4，1）C ．（﹣4，﹣1，0）D ．（2，5，6）解：点M （1，2，3），N （2，3，4），P （﹣1，2，3），设Q （a ，b ，c ），则PQ →=（a +1，b ﹣2，c ﹣3），MN →=（1，1，1）， ∵PQ →=3MN →，∴（a +1，b ﹣2，c ﹣3）＝（3，3，3）， ∴{a +1=3b −2=3c −3=3，解得a ＝2，b ＝5，c ＝6． ∴Q 的坐标是（2，5，6）． 故选：D ．2．圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1关于直线x +y ＝0对称的圆的方程是（ ） A ．（x +3）2+（y ﹣4）2＝1 B ．（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1 C ．（x +4）2+（y ﹣3）2＝1D ．（x +4）2+（y +3）2＝1解：由题意，设所求的圆为：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝1． 易知（a ，b ）与（3，4）关于x +y ＝0对称，所以{b−4a−3×(−1)=−1b+42+a+32=0，解得a ＝﹣4，b ＝﹣3． 故所求圆方程为：（x +4）2+（y +3）2＝1． 故选：D ． 3．若方程x 2m+y 22−m=1表示椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1）∪（1，2）解：方程x 2m+y 22−m=1表示椭圆，假设焦点在x 轴上，则m ＞2﹣m ＞0， 解得：1＜m ＜2，当焦点在y 轴上，则2﹣m ＞m ＞0，解得：0＜m ＜1，综上可知：m 的取值范围（0，1）∪（1，2）， 故选：D ．4．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，若PN →=2NC →，AM →=3MB →，NM →=x PA →+y PC →+z PD →，则x +y +z ＝（ ）A ．−12B ．−13C ．13D ．−16解：因为PN →=2NC →，AM →=3MB →，所以NM →=NC →+CB →+BM →=13PC →+PA →−PD →+14(PD →−PC →)=112PC →+PA →−34PD →， 又NM →=x PA →+y PC →+z PD →， 所以x =112，y =1，z =−34， 则x +y +z =112+1−34=13． 故选：C ．5．直线2x •sin θ+y ＝0被圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0截得最大弦长为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．3D ．2√2解：根据题意，圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0，即x 2+（y −√5）2＝3，其圆心为（0，√5），半径r =√3，圆心到直线2x •sin θ+y ＝0的距离d =√5|√1+4sin θ=√5√1+4sin θ≥√5√5=1，当圆心到直线的距离最小时，直线2x •sin θ+y ＝0被圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0截得弦长最大， 而d =√5√1+4sin θ的最小值为1，则直线2x •sin θ+y ＝0被圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0截得最大弦长值为2×√3−1=2√2，故选：D ．6．已知直线y ＝kx ﹣1与椭圆x 24+y 23=1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP →=3PB →，则实数k 的值为（ ） A ．√62B ．−32C ．±√62D ．±32解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意可得P （0，﹣1）， 联立{y =kx −1x 24+y 23=1，整理可得：（3+4k 2）x 2﹣8kx ﹣8＝0，x 1+x 2=8k 3+4k2①，x 1x 2=−83+4k2②，因为AP →=3PB →，则（﹣x 1，﹣1﹣y 1）＝3（x 2，y 2+1）， 可得x 1＝﹣3x 2，将其代入①可得﹣2x 2=8k 3+4k2，可得x 2=−4k 3+4k2，将x 1＝﹣3x 2，x 2=−4k 3+4k2代入②可得：﹣3•（−4k 3+4k 2）2=−83+4k2，解得：k 2=32， 即k ＝±√62， 故选：C ．7．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ＝2AB ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿AE 翻折至△P AE 的位置（点P ∉平面AECD ），设线段PD 的中点为F ，则在翻折过程中，下列论断不正确的是（ ）A ．CF ∥平面AEPB ．异面直线CF 与PE 所成角的大小恒定不变C ．AE ⊥DPD ．当平面APE ⊥平面AECD 时，AD 与平面PDE 所成角为30°解：对于A ，取P A 中点M ，连接MF ，ME ，因为F 为PD 中点，所以MF ∥AD ，MF =12AD ，又因为四边形ABCD 为矩形，AD ＝2AB ，E 是BC 的中点，所以CE ∥AD ，CE =12AD ， 所以MF ∥CE ，MF ＝CE ，所以四边形MFCE 为平行四边形，所以CF ∥EM ， 又因为EM ⊆平面AEP ，CF ⊈平面AEP ，所以CF ∥平面AEP ，所以A 对； 对于B ，由A 知，∠PEM 为异面直线CF 与PE 所成角的大小，所以B 对； 对于C ，取AD 中点N ，连接EN ，CN ，当△P AE 接近极限位置△NAE 时， AE 与DP 所成角等于CN 与DP 所以角，接近于∠CND ＝45°，所以C 错； 对于D ，因为四边形ABCD 为矩形，AD ＝2AB ，E 是BC 的中点，所以DE ⊥AE ， 因为平面APE ⊥平面AECD ，平面APE ∩平面AECD ＝AE ，所以DE ⊥平面P AE ， 又因为DE ⊆平面PDE ，所以平面P AE ⊥平面PDE ，因为平面P AE ∩平面PDE ＝PE ，AP ⊥PE ，所以P A ⊥平面PDE ，所以AD 与平面PDE 所成角为∠PDA ，因为P A =12AD ，所以∠PDA ＝30°，所以D 对． 故选：C ．8．如图，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以OF 2为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为P ，线段PF 1与另一条渐近线交于点Q ，且△OPF 2的面积是△OPQ 面积的2倍，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．3√22C ．√2D ．√3解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），直线OP 的方程为bx ﹣ay ＝0，①以OF 2为直径的圆的方程为（x −c 2）2+y 2=c 24，②由①②解得P （a 2c，ab c），直线PF 1的方程为y =aba 2+c 2（x +c ），与渐近线方程bx +ay ＝0， 解得Q （−a 2c2a 2+c 2，abc 2a 2+c2），由△OPF 2的面积是△OPQ 面积的2倍，可得F 2到直线OP 的距离为Q 到直线OP 的距离的2倍，即有√b 2+a 2=2|−a 2bc 2a 2+c 2−a 2bc2a 2+c2|√b 2+a 2， 化为4a 2＝2a 2+c 2，即为c =√2a ， 所以e =ca =√2． 故选：C ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为（ ） A ．x 24−y 2=1B ．x 2−y 24=1C ．y 24−x 2=1D ．y 2−x 24=1解：双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦距，可得c =√5，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，可得a ＝2b ，又c 2＝a 2+b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线方程为：x 24−y 2＝1或y 2−x 24=1．故选：AD ．10．已知空间向量a →=(2k +2，k ，−4)，b →=(−2，1，8)，且a →⊥b →，则（ ） A ．k ＝﹣6B ．|b →|=69C ．k ＝﹣12D ．|b →|=√69解：∵a →=(2k +2，k ，−4)，b →=(−2，1，8)，且a →⊥b →， ∴a →⋅b →=−2(2k +2)+k −32=0，即k ＝﹣12． |b →|=√(−2)2+12+82=√69． 故选：CD ．11．已知圆M ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝3（a ，b ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB|=√3，则下列结论错误的是（ ）A ．a 2+b 2＝4B ．四边形OAMB 的面积为√32C ．a +b 的最小值为−√2D ．MA →⋅MB →是定值解：圆M 的圆心M （a ，b ），半径r =√3，则△MAB 为边长为√3的等边三角形， 由OA ＝OB ＝1，AB =√3，△OAB 的高h =√1−34=12， 所以S △ABO =12×12×√3=√34，S △MAB =√34×（√3）2=3√34， 所以S 四边形OAMB =√34+3√34=√3，故B 错误； S 四边形OAMB =12×OM ×AB ，所以OM =√3√3=2， 即√a 2+b 2=2，所以a 2+b 2＝4，故A 正确； 因为2（a 2+b 2）≥（a +b ）2，所以（a +b ）2≤8， 即﹣2√2≤a +b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时取等号， 则a +b 的最小值为﹣2√2，故C 错误； MA →•MB →=|MA →|•|MB →|•cos60°=√3×√3×12=32，故D 正确． 故选：BC ．12．如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是（ ）A ．A 1C 1⊥平面BD 1B ．BD 1⊥平面ACB 1C ．BD 1与底面BCC 1B 1所成角的正切值是√2D ．过点A 1与异面直线AD 与CB 1成60°角的直线有2条 解：如图，正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，对于A ，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥B 1B ，∴A 1C 1⊥平面 BB 1D 1D ，所以A 正确；对于B ，由A 知 A 1C 1⊥平面 BB 1D 1D ，∴A 1C 1⊥BD 1，∴AC ⊥BD 1，同理，AB 1⊥BD 1，∴BD 1⊥平面 ACB 1，所以B 正确；对于C ，在Rt △D 1C 1B 中，BC 1=√2D 1C 1，∴tan ∠C 1BD 1=D 1C 1BC 1=√22，所以C 错误；对于D ，由于异面直线AD 与CB 1成45°的角，如图，过A 1作 MN //AD ，PQ //CB 1，设MN 与PQ 确定平面α，∠P A 1M ＝45°，过A 1在面α上方作射线A 1H ，则满足与MN ，PQ 成60°的射线A 1H 有2条：满足∠MA 1H ＝∠P A 1H ＝60°的有一条， 满足∠NA 1H ＝∠QA 1H ＝60°的有一条，故满足与MN ，PQ 成60°的直线有2条，故过点A 1与异面直线AD 与CB 1成60°角的直线有2条．所以D 正确； 故选：ABD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →=(1，2，3)，b →=(x ，x 2+y −2，y)，且a →，b →同向，则x ，y 的值x ＝ 1 ，y ＝ 3 ． 解：∵a →，b →同向，∴存在实数k ＞0，使得k a →=b →． ∴{x =kx 2+y −2=2k y =3k ， 解得：x ＝1，y ＝3，k ＝1． 故答案为：1，3．14．以点A （0，4），B （4，6）为直径的两个端点的圆的标准方程是 （x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝5 ．解：点A （0，4），B （4，6）的中点坐标为（0+42，4+62），即圆心的坐标（2，5），半径r =|AB|2=√42+(6−4)22=√5， 所以A （0，4），B （4，6）为直径的两个端点的圆的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝5； 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝5． 15．已知椭圆x 26+y 23=1的左焦点为F ，点A 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点B 是线段AF 的中点，则△FOB 的周长为 √3+√6 ．解：椭圆x 26+y 23=1，可得a =√6，b =√3，∴c =√3．由题意可知如图：连结AF 2，点B 是线段AF 的中点，可得OB =∥12AF 2， 有椭圆的定义可知|AF |+|AF 2|＝2a ， ∴|BF |+|BO |＝a =√6．△FOB 的周长为：a +c =√3+√6． 故答案为：√3+√6．16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，关于原点对称的点A 、B 在椭圆上，且满足|AB |＝|F 1F 2|，若令∠F 1AB ＝θ且θ∈[π12，π4]，则该椭圆离心率的取值范围为 [√22，√63] ． 解：由已知可得AB ＝2c ，且四边形AF 1BF 2为矩形． 所以BF 1＝2c ⋅sin θ，AF 1＝2c ⋅cos θ＝BF 2， 又因为BF 1+BF 2＝2a ，所以2c ⋅sin θ+2c ⋅cos θ＝2a ． 得离心率e =c a =1sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)因为θ∈[π12，π4]，所以θ+π4∈[π3，π2]，可得sin(θ+π4)∈[√32，1]， 从而e ∈[√22，√63]． 故答案为：[√22，√63]．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．（1）求证：P A ∥平面EBD ；（2）求PB 与平面EBD 所成的角的正弦值．（1）证明：连接AC ，交BD 于O ，连接OE ， 因为底面ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点， 又因为E 为PC 中点，所以P A ∥OE ， 因为OE ⊂平面EBD ，P A ⊄平面EBD ， 所以P A ∥平面EBD ．（2）解：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ， 所以DA 、DC 、DP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2a ， P （0，0，2a ），B （2a ，2a ，0），E （0，a ，a ），DE →=（0，a ，a ），DB →=（2a ，2a ，0），PB →=（2a ，2a ，﹣2a ）， 设平面EBD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），{n →⋅DE →=ay +az =0n →⋅DB →=2ax +2ay =0，令y ＝﹣1，n →=（1，﹣1，1）， 所以PB 与平面EBD 所成的角的正弦值为|n →⋅PB →||n →|⋅|PB →|=√3⋅2a √3=13．18．已知直线l 1：（m +2）x +my ﹣8＝0与直线l 2：mx +y ﹣4＝0，m ∈R ． （1）若l 1∥l 2，求m 的值； （2）若l 1⊥l 2，求m 的值．解：（1）∵l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率一定存在， ∴m+2m=m 1≠−8−4，解得m ＝﹣1． （2）∵l 1⊥l 2， ∴（m +2）m +m ×1＝0， 解得m ＝0或﹣3． 19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为点F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，长轴长为4，椭圆上任意一点P （不与A ，B 重合）与A ，B 连线的斜率乘积均为−34．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点F 1的直线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，过点F 2的直线l 2与椭圆C 交于P ，Q 两点，且l 1∥l 2，试问：四边形MNPQ 可否为菱形？并请说明理由．解：（1）由题意，a ＝2，则A （﹣2，0），B （2，0），设P(x 0，y 0)(x 02≠4)，则点P 与点A 连线的斜率为k AP =y0x 0+2，点P 与点B 连线的斜率为k BP=y 0x 0−2，故y 02x 02−4=−34， 又因为点P 在椭圆C 上，故有x 024+y 02b 2=1，联立解得b 2＝3，则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）由于点F 1，F 2关于原点对称且l 1∥l 2，故l 1，l 2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以四边形MNPQ 为平行四边形；由（1），知F 1（﹣1，0），易知直线MN 不能平行于x 轴．所以令直线MN 的方程为x ＝my ﹣1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．联立方程{3x 2+4y 2−12=0x =my −1，得（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9＝0，所以y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 若MNPQ 是菱形，则OM ⊥ON ，即OM →⋅ON →=0，于是有x 1x 2+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2−m(y 1+y 2)+1=0， 整理得到−12m 2−53m 2+4=0，即12m 2+5＝0，上述关于m 的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ 不可能是菱形．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且PD ＝CD ＝1，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ． （1）证明：PB ⊥平面DEF ；（2）若三棱锥A ﹣BDP 的体积为13，求二面角D ﹣BP ﹣C 的余弦值．证明：（1）∵PD ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵底面ABCD 为长方形，∴CD ⊥BC ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵DE ⊂平面PCD ，∴DE ⊥BC ，∵PD ＝CD ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ， ∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE ⊥PB ，又EF ⊥PB ，DE ∩EF ＝E ， ∴PB ⊥平面DEF ．解：（2）由题意知DA 、DC 、DP 两两垂直，以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系D ﹣xyz ，可得D （0，0，0），P （0，0，1），C （0，1，0），设BC ＝t ，则有V A ﹣BDF ＝V P ﹣ABD =13×12×t ×1=13，解得t ＝2，∴B （2，1，0），∴BD →=（﹣2，﹣1，0），BP →=（﹣2，﹣1，1），又E （0，12，12），设平面PBD 的法向量n →=（x ，y ，z ），∴{n →⋅BD →=0n →⋅BP →=0则{−2x −y =0−2x −y +z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣2，0），由（1）DE ⊥平面PBC ，得DE →为平面PBC 的法向量，得DE →=（0，12，12），设二面角D ﹣BP ﹣C 为α，则cos α=||||⋅||=√105， 所以二面角D ﹣BP ﹣C 的余弦值为√105．21．已知圆C 上有两个点A （2，3），B （4，9），且AB 为直径． （1）求圆C 的方程；（2）若直线3x +4y ﹣18＝0与圆C 交于C 、D ，求CD 长度；（3）已知P （﹣1，3），点Q 是圆C 上的任意一点，求PQ 的最大值和最小值．解：（1）由题可得C （3，6），圆C 的直径2r ＝|AB |=√(2−4)2+(3−9)2=2√10，所以r =√10，∴圆C 的方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10；（2）圆心（3，6）到直线的距离d =√3+4=1，则由弦长公式可得CD ＝2√r 2−d 2=2√10−1=6；（3）因为CP =√(3+1)2+(3−6)2=5，且P （﹣1，3）在圆外，所以PQ 的最小值为CP ﹣r ＝5−√10，PQ 的最大值为r +CP =√10+5． 22．已知椭圆C ：x 22+y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A （0，2）的直线l 交椭圆C 于不同的两点P 、Q ．（1）若直线l 经过F 2，求△F 1PQ 的周长；（2）若以线段PQ 为直径的圆过点F 2，求直线l 的方程；（3）若AQ →=λAP →，求实数λ的取值范围．解：（1）因为椭圆C ：x 22+y 2＝1，所以椭圆C 的长半轴长为√2，由椭圆的定义可得，PF 1+PF 2=2√2，QF 1+QF 2=2√2，所以△F 1PQ 的周长为4√2；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝0，此时Q （0，1），P （0，﹣1）， 又F 2（1，0），所以F 2P →=(−1，−1)，F 2Q →=(−1，1)，所以F 2P →⋅F 2Q →=0符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx +2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线与{x 22+y 2=1y =kx +2，则有（1+2k 2）x 2+8kx +6＝0， 所以x 1+x 2=−8k1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2，△＝64k 2﹣4（1+2k 2）×6＞0，解得k 2＞32，因为F 2P →=(x 1−1，y 1)，F 2Q →=(x 2−1，y 2)，F 2P →⋅F 2Q →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+（kx 1+2）（kx 2+2）＝0， 所以（k 2+1）x 1x 2+（2k ﹣1）（x 1+x 2）+5＝0，故(k 2+1)61+2k 2+(2k −1)(−8k1+2k 2)+5=0，解得k =−118， 故直线l 的方程为11x +8y ﹣16＝0，综上所述，直线l 的方程为x ＝0或11x +8y ﹣16＝0；（3）①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝0，若Q （0，1），P （0，﹣1），则AQ →=(0，−1)，AP →=(0，−3)，所以AQ →=13AP →，此时λ=13；若Q （0，﹣1），P （0，1），则AQ →=(0，−3)，AP →=(0，−1)，所以AQ →=3AP →，此时λ＝3；②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx +2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），又A （0，2），所以AP →=(x 1，y 1−2)，AQ →=(x 2，y 2−2)，因为AQ →=λAP →，所以{x 2=λx 1y 2−2=λ(y 1−2)，故λ=x 2x 1， 由（1）可知，x 1+x 2=−8k 1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2， 所以(x 1x 2)2x 1x 2=(−8k 1+2k 2)261+2k 2， 则x 1x 2+2+x 2x 1=32k 23(1+2k 2)，即λ+1λ=103−163(1+2k 2)＜103， 因为k 2＞32，故3（1+2k 2）＞12，103−163(1+2k 2)＞2， 所以λ+1λ∈(2，103)， 因为λ+1λ＞2(λ≠1)，由λ+1λ＜103，可得λ2−103λ+259＜169，即−43＜λ−53＜43，所以13＜λ＜3，综上所述，实数λ的取值范围为[13，1)∪(1，3]．。
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广东省珠海市2020-2021学年高二上学期期末考试
数学试题
时间：120分钟满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“∀x∈[2，+∞)，x2≥4”的否定是
A.∀x∈[2，+∞)，x2<4
B.∀x∈(∞，2)，x2≥4
C.∃x0∈[2，+∞)，x02<4
D.∃x0∈[2，+∞)，x02≥4
2.已知{a n}为等比数列，a3=3，a15=27，则a9的值为
A.-9
B.9或-9
C.8
D.9
3.若a、b、c是任意实数，则
A.若a>b，则ac>bc
B.若a b
c c
>，则a>b
C.若a3>b3且ab>0，则11
a b
< D.若a2>b2且ab>0，则
11
a b
<
4.关于x的不等式x2-x-5>3x的解集是
A.{x|x≥5或x≤-1}
B.{x|x>5或x<-1}
C.{x|-1<x<5}
D.{x|-1≤x≤5}
5.已知xy满足约束条件
20
10
10
x y
x y
x y
-≤
-+≥
+-≥
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，则z=2x+y的最小值为
A.4
B.2
C.1
D.1 3
6.设x∈R，则“|x-2|<1”是“x2+x-6<0”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.若椭圆
22
1
4
x y
m
+=上一点到两焦点的距离之和为m-3，则m的值为
A.1
B.7
C.9
D.7或9
8.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每
天减半，问两鼠在第几天相遇?
A.第2天
B.第3天
C.第4天
D.第5天
9.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点，F为抛物线的焦点，点B坐标为(3，2)，则|PB|+|PF|的最小值为
A.4
B.3
C.22
D.13
10.经过点P(1，1)作直线l交椭圆
22
1
32
x y
+=于M，N两点，且P为MN的中点，则直线l的斜率为
A.－2
3
B.
2
3
C.－
3
2
D.
3
2
11.如图，在△ABC中，B=45°，AC=8，D是BC边上一点，DC=5，DA=7，则AB的长为
A.42
B.43
C.8
D.46
12.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3，AA1=4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为
A.4
3
B.
5
3
C.2
D.
25
9
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.在△ABC中，如果(a+c)(a-c)=b(b-c)，则A= 。
14.已知x<0，则x+9
4x
的最大值是。
15.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内到两个定点A，B 距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点P的轨迹是圆，若两定点A，B的距离为3，动点P满足|PA|=2|PB，则点P的轨迹围成区域的面积为。
16.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1= 。
17.抛物线x 2
=2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p= 。
18.已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=a n +2，若1223111110092019
n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+≤，则n 的最大值为 。
19.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，若A+C=180°，AB=6，BC=4，CD=5，AD=5，则四边形ABCD 面积是 。
20.已知F 1，F 2分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率为 。
三、解答题：本题共5小题，每小题满分为10分，共50分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21.在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(2c-a)cosB-bcosA=0。
(1)求角B 的值；
(2)若a=4，7ABC 的面积。
22.在各项均不相等的等差数列{a n }中，a 1=1，且a 1，a 2，a 5成等比数列，数列{b n }的前n 项和S n =2n+1
-2。
(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；
(2)设c n =2n a +log 2b n ，求数列{c n }的前n 项和T n 。
23.如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形PD=AB=2，E 为PC 中点。
(1)求证：DE ⊥平面PCB ；
(2)求二面角E-BD-P 的余弦值。
24.已知f(x)=ax 2
+(1-a)x-1，g(x)=a(1-x)-2，a ∈R 。
(1)解关于x 的不等式f(x)>0；
(2)若f(x)≥g(x)对任意的x ∈[-1，1]恒成立，求实数a 的范围。
25.给定椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，称圆心在原点O 22a b +的圆是椭圆C 的“伴随圆”，若椭圆C 的右焦点为20)，其短轴上一个端点到F 3
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点P(2a ，2
b )作椭圆C 的“伴随圆”C'的动弦MN ，过点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)分别作“伴随圆”C'的切线，设两切线交于点Q ，证明：点Q 的轨迹是直线，并求该直线的方程。
广东省珠海市2020-2021学年高二上学期期末考试
数学试题参考答案。