二次函数图象与几何变换——详解版

5. 2016年福建莆田中考真题第26题12分
如图，抛物线C1：y
=
2 −√3x
+
2√3x的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．
（1） 将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式．
答案
√3
y=−
x2 + 2√3x
2
解析
∵ ， y
=
−√3x2
+
2√3x
=
−√3(x
√
∴ ， √3
−
x2 + 2√3x = √3(x − 2)
k
整理得 ． ① x2 − kx − 2k = 0
∵ ， P B = 2BD
∴ ， 2k − 1 = 2(x − 2)
整理得x = k + 3 ． ②
2
联立①②，解得k = 9 ．
2
考 点 函数 二次函数 二次函数图象与几何变换 二次函数与面积问题 二次函数与特殊四边形问题 三 角形 三角形基础 三角形面积及等积变换
2 当k < − 1时，请你直接写出k的值，不必说明理由．
答案
9 −
2
解析
． 9
k=− 2
考 点 函数 二次函数 二次函数的图象 二次函数与面积问题 二次函数与特殊四边形问题 三角形 三角 形基础 三角形面积及等积变换
答案 C
解析
抛物线y = 3x2向右平移一个单位得y = 3(x − 2) 2， 再向上平移一个单位得y = 3(x − 2) 2 + 1 ．
考 点 函数 二次函数 二次函数图象与几何变换
3. 2016年四川眉山中考真题第11题3分
若抛物线y
=
2 x
−
2x
+
3不动，将平面直角坐标系xoy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，
−
2 1)
+
√3
∴抛物线C1经过原点O，A(1, √3)和B(2, 0)三点． ∴变换后得到的抛物线经过原点O，(2, 2√3)和(4, 0)三点．
∴变换后得到的抛物线的解析式为y = − √3 x2 + 2√3x ．
2
考 点 函数 二次函数 二次函数的图象 二次函数的Байду номын сангаас质 待定系数法求二次函数解析式
∴抛物线C2的解析式为y = − √3 x2 + 2√3x ．
k
∴O，A，C 三点共线，且顶点C 为(k, ． √3k)
解法一：如图1，∵S△P AC=
，∴ S△ABC
BP //AC
．
过点P 作P D⊥x轴于D，过B作BE⊥AO于E．
依题意得△ABO是边长为2的正三角形，
四边形C EBP是矩形．
∴ ， ． OE = 1 C E = BP = 2k1
（2）
将抛物线C1上的点(x,
变为 y)
(kx,
ky)(|k|
>
1)，变换后得到的抛物线记作C2．抛物线C2的顶点为C ，点P
在抛物线C2
上，满足 ，且 ． S△PAC= S△ABC
∘ ∠AC P = 90
1 当k > 1时，求k的值．
答案 9
2
解析
当k > 1 时，∵抛物线C2经过原点O，(k, 和 √3k) (2k, 0)三点．
过B作BE⊥AO于E．
∵ ， S△P AC= S△ABC ∴ ． P C = BE = √3
∵ ， ∠P C N = ∠C OM = 30∘
∴ ， ． √3 PN =
3 CN =
2
2
∴ ． 3 √3
P [k + ,
(2k − 1)]
22
以下同解法一．
解法三：如图3，过点C
作C
M
轴交 ⊥x
BP
于M
，
则四边形OBMC 为平行四边形．]
则原抛物线图象的解析式应变为（ ）．
A. 2 y = (x − 2) + 3
B. 2 y = (x − 2) + 5
C. 2 y = x −1
D. 2 y = x +4
答案 C
解析
将平面直角坐标系xoy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，相 当于把抛物线向左平移一个单位，再向下平移三个单位， ∵ ， 2
二次函数图象与几何变换
1. 2015~2016学年北京西城区铁二中初三上学期期中第8题3分
将抛物线y
=
2 x
+
1绕原点旋转180∘，所得抛物线的解析式是（
）．
A. 2 y = x −1
B. 2 y = −x + 1
C. 2 y = (x − 1) + 1
D. 2 y = −x − 1
答案 D 解 析 将抛物线y = x2 + 1 绕原点旋转180∘，所得抛物线的解析式是y = −x2 − 1 ． 考 点 函数 二次函数 二次函数图象与几何变换
∴ ， ． C M = OB = 2
∠C M P = 60∘
∴ ． M P = 1
∴ ． BP = 2k − 1
∴ ． 3 √3
P [k + ,
(2k − 1)]
22
以下同解法一．
解法四：如图4，过点C
作C
M
轴于 //x
M
，
过点P 作P N ⊥C M 于N ，过B作BE⊥AO于E
．
∵ ， S△P AC= S△ABC ∴ ． P C = BE = √3
∴ ， ． 1 BD = k −
√3
PD =
(2k − 1)
2
2
∴ ． 3 √3
P [k + ,
(2k − 1)]
22
∴ ．解得 ． √3
√3
32
3
(2k − 1) = −
k + ) + 2√3(k + )
9 k=
3
k
2
2
2
解法二：如图2，过点C 作M N //x轴，交y轴
于M ，
过点P 作P N ⊥M N 于N ，
2. 2015~2016学年北京朝阳区对外经贸附中初三上学期期中第4题3分
抛物线y
=
变为 2
3x
y
=
3(x
−
2 2)
+
1经历的平移过程是（
）．
A. 先向下平移两个单位，再向左平移一个单位
B. 先向上平移两个单位，再向右平移一个单位
C. 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位
D. 先向左平移两个单位，再向下平移一个单位
∵ ， ∠C P N = ∠OC M = 30∘
∴ ， ． √3 CN =
3 PN =
2
2
∴ ． 3 √3
P [k + ,
(2k − 1)]
22
以下同解法一．
解法五：如图1，设P (x, − √3 x2 + 2√3x) ，
k
则 ， ． BD = x − 2 P B = C E = 2k − 1
∵ ， P D = √3BD
．
答案
2 y = 2(x + 2) − 2
解析
抛物线y = 2(x − 1) 2 + 2 向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到
． 2
2
y = 2(x − 1 + 3) + 2 − 4 = 2(x + 2) − 2
故得到抛物线的解析式为y = 2(x + 2) 2 − 2 ．
考 点 函数 二次函数 二次函数图象与几何变换
y = (x − 1) + 2
∴原抛物线图象的解析式应变为y = (x − 1 + 1) 2 + 2 − 3 = x2 − 1 ．
考 点 函数 二次函数 二次函数图象与几何变换
4. 2016年山东泰安中考真题第21题3分
将抛物线y
=
2(x
−
2 1)
+
2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为