柱体、锥体、台体的体积PPT教学课件
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人教版高中数学必修2第一章第3节《柱体、椎体、台体的体积》ppt参考课件
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
最新中小学教学课件
14
谢谢欣赏！
2019/8/11
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15
棱锥体积
探究:棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 1．即棱锥的体积： 3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面 面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 1． 3
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
棱台（圆台）的体积公式
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
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棱锥体积
探究:棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
的 1．即棱锥的体积： 3
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面 面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于
底面面积乘高的 1． 3
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
棱台（圆台）的体积公式
V 1 (S SS S)h 3
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件
故B1F＝ 82－22＝2 15， 所以S梯形BB1C1C＝12×(8＋4)×2 15＝12 15， 故四棱台的侧面积S侧＝4×12 15＝48 15， 所以S表＝48 15＋4×4＋8×8＝80＋48 15.]
[规律方法] 空间几何体表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展 开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
柱体、棱体、台体的表面积与侧面积
(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的
平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12 2π
B．12π
C．8 2π
D．10π
(2)已知某圆锥的底面半径为 8，高为 6，则该圆锥的表面积为________.
S 圆柱侧＝2πrl
r′＝r ←――――
S
圆台侧＝π(r′＋r)l
r′＝0 ――――→
S 圆锥侧＝πrl.
(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？ [提示] 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： V＝Sh←S′――＝――S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′――＝―→0 V＝13Sh.
(3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8 的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________cm2.
(1)B (2)144π (3)80＋48 15 [(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得 的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2 2 ，底面圆的直径为2 2 ，所 以该圆柱的表面积为2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π.
祖暅原理与几何体的体积ppt课件
【概念生成】 1.祖暅原理 (1) “幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果 被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积 总相等, 那么这两个几 何体的体积一定 相等” . (2) 作用: 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积 相等.
2.柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S ′ 、S分别表示上、下底面的面积,h表示高, r ′ 和r 分别表示上、下底面 圆的半径,R表示球的半径.
(1)利用转换底面以便于找到几何体的高,从而求出几何体的体积. (2)利用等体积法可求点到平面的距离.
【定向训练】
如 图 所 示 , 已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1 , 且AA1⊥底面ABC,则三棱
锥B1-ABC1的体积为
.
【解析】三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1 的高为 , 底面积为 , 故其体积为
【定向训练】 若一圆柱与圆锥的高相等, 且轴截面面积也相等, 那么圆柱与圆锥的体积之
比为 ( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选D.设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r , 高都为h,由已知得2Rh=rh,
所以r=2R.
故V柱∶V锥=πR2h∶ πr2h= .
探究点二 等体积法的应用 【典例2】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,求 三棱锥A-DED1的体积.
1.若一个球的表面积为4 π , 则这个球的体积是 ( )
【解析】选B.设球的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1,于是 V= πR3= .
2.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图
圆柱圆锥圆台体积和表面积.ppt
1
1
A.4
B.2
3 C. 6
3 D. 4
[答案] D
[解析]
三棱锥B1－ABC的高h＝3，底面积S＝S△ABC＝
3 4
×12＝ 43，
则VB1－ABC＝13Sh＝13×
43×3＝
3 4.
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那
么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A．1
1 B.2
3
3
C. 2
D.4
例题解析
命题方向 多面体与旋转体的面积
【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
命题方向 多面体的体积
[例 2] 长方体相邻三个面的面积分别为 2、3、6 求它的
体积．
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有
据条件得到
1 2
πl2＝2π，解得母线长l＝2,2πr＝πl＝2π，r＝1所以
该圆锥的体积为：V圆锥＝13Sh＝13×
22－12π＝
3 3 π.
[点评] 本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开 图．审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在 展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记 牢，属于中低档题．
[解析]
三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面积之比为4:9.连接 A1B、BC1和AC1，把棱台分为三个棱锥B－A1B1C1，C1－ ABC，A1－ABC1.则这三个棱锥体积之比为________．
[答案] 4:9:6
[解析] 如图，设三棱锥B－A1B1C1，C1－ABC，A1－ ABC1体积分别为V1、V2、V3，又设棱台的高为h，上、下底面 积分别为S1、S2.依题意，得
《柱体锥体台体的表面积和体积》课件
如果台体的上下底面是圆形，则可以将上下底面的半径作为变量代入公式计算。
如果台体的上下底面是其他形状，则需要根据具体形状计算面积，再代入公式计算 体积。
04
特殊形状的表面积和体积
球体的表面积和体积
球体的表面积计算公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为球体的半径。
球体的体积计算公式
球体表面积和体积的应用
《柱体锥体台体的表面积和体积》 课件
• 柱体的表面积和体积 • 锥体的表面积和体积 • 台体的表面积和体积 • 特殊形状的表面积和体积 • 实际应用与问题解决
01
柱体的表面积和体积
柱体的定义和性质
定义
柱体是一个三维图形，由一个矩 形或圆形底面和垂直于底面的侧 面构成。
性质
柱体的侧面是平行且等长的多边 形或圆环，其表面积和体积的计 算方法与底面的形状有关。
柱体的表面积计算
01
02
03
公式
柱体的表面积 = 底面积 + 侧面积
底面积
矩形底面 = 长 × 宽，圆 形底面 = π × 半径^2
侧面积
矩形侧面 = 高 × 长，圆 形侧面 = 高 × 2π × 半径
柱体的体积计算
公式
柱体的体积 = 底面积 × 高
底面积
矩形底面 = 长 × 宽， 圆形底面 = π × 半径 ^2
锥体的表面积计算
侧面面积计算公式为
01
$S_{侧面} = pi r l$，其中$r$为底面半径，$l$为侧面高。
底面面积计算公式为
02
$S_{底面} = pi r^2$。
锥体的总表面积计算公式为
03
$S_{总} = S_{侧面} + S_{底面}$。
如果台体的上下底面是其他形状，则需要根据具体形状计算面积，再代入公式计算 体积。
04
特殊形状的表面积和体积
球体的表面积和体积
球体的表面积计算公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为球体的半径。
球体的体积计算公式
球体表面积和体积的应用
《柱体锥体台体的表面积和体积》 课件
• 柱体的表面积和体积 • 锥体的表面积和体积 • 台体的表面积和体积 • 特殊形状的表面积和体积 • 实际应用与问题解决
01
柱体的表面积和体积
柱体的定义和性质
定义
柱体是一个三维图形，由一个矩 形或圆形底面和垂直于底面的侧 面构成。
性质
柱体的侧面是平行且等长的多边 形或圆环，其表面积和体积的计 算方法与底面的形状有关。
柱体的表面积计算
01
02
03
公式
柱体的表面积 = 底面积 + 侧面积
底面积
矩形底面 = 长 × 宽，圆 形底面 = π × 半径^2
侧面积
矩形侧面 = 高 × 长，圆 形侧面 = 高 × 2π × 半径
柱体的体积计算
公式
柱体的体积 = 底面积 × 高
底面积
矩形底面 = 长 × 宽， 圆形底面 = π × 半径 ^2
锥体的表面积计算
侧面面积计算公式为
01
$S_{侧面} = pi r l$，其中$r$为底面半径，$l$为侧面高。
底面面积计算公式为
02
$S_{底面} = pi r^2$。
锥体的总表面积计算公式为
03
$S_{总} = S_{侧面} + S_{底面}$。
1[2].3.2_柱体、锥体、台体的体积
![1[2].3.2_柱体、锥体、台体的体积](https://img.taocdn.com/s3/m/761eb12b4b73f242336c5f63.png)
D′
S′
C′
B′
h
S
D
V = VP − ABCD − VP − A′B′C ′D′
A
1 = ( S ′ + S ′S + S )h B 3 其中S ′, S 分别为上、下底面面积, h为圆台(棱台)高.
C
知识小结
柱体、锥体、 柱体、锥体、台体的体积
柱体 V = Sh
S = S'
1 台体 V = (S′ + S′S + S)h 3
C
). B.2 : 3
A1
C1
C.3 : 4
D.4 : 5
B1
1 F 解 : 设S∆ABC = S , 则S∆A1B1C1 = S , A C 4 E 1 1 1 7 VA1B1C1 − ABC = ( S + S ⋅ S + S )h = Sh, B 3 4 4 12 1 1 VA1B1C1 −CEF = Sh,∴VAB1 − ABEF = VA1B1C1 − ABC − VA1B1C1 −CEF = Sh. 4 3 ∴VA1B1C1 −CEF : VAB1 − ABEF = 3 : 4.
一般棱柱体积也是： 一般棱柱体积也是：
V = Sh
其中S为底面面积， 为棱柱的高 为棱柱的高. 其中 为底面面积，h为棱柱的高. 为底面面积
祖暅原理 祖暅原理：夹在两平行平面之间的两个几何 原理：
体 ， 被平行于这连个平面的任一平面所截 ， 被平行于这连个平面的任一平面所截， 如果截面的面积都相等， 如果截面的面积都相等 ， 则两个几何体的体 积相等。 积相等。
解 : (1)如果方案一.仓库的底面直径变成16m.则仓库的体积 1 1 16 2 256 V1 = Sh = × π × ( ) × 4 = π (m3 ). 3 3 2 3 如果按方案二.仓库的高变成8m.则仓库的体积 1 1 12 2 288 V2 = Sh = × π × ( ) × 8 = π (m3 ). 3 3 2 3
S′
C′
B′
h
S
D
V = VP − ABCD − VP − A′B′C ′D′
A
1 = ( S ′ + S ′S + S )h B 3 其中S ′, S 分别为上、下底面面积, h为圆台(棱台)高.
C
知识小结
柱体、锥体、 柱体、锥体、台体的体积
柱体 V = Sh
S = S'
1 台体 V = (S′ + S′S + S)h 3
C
). B.2 : 3
A1
C1
C.3 : 4
D.4 : 5
B1
1 F 解 : 设S∆ABC = S , 则S∆A1B1C1 = S , A C 4 E 1 1 1 7 VA1B1C1 − ABC = ( S + S ⋅ S + S )h = Sh, B 3 4 4 12 1 1 VA1B1C1 −CEF = Sh,∴VAB1 − ABEF = VA1B1C1 − ABC − VA1B1C1 −CEF = Sh. 4 3 ∴VA1B1C1 −CEF : VAB1 − ABEF = 3 : 4.
一般棱柱体积也是： 一般棱柱体积也是：
V = Sh
其中S为底面面积， 为棱柱的高 为棱柱的高. 其中 为底面面积，h为棱柱的高. 为底面面积
祖暅原理 祖暅原理：夹在两平行平面之间的两个几何 原理：
体 ， 被平行于这连个平面的任一平面所截 ， 被平行于这连个平面的任一平面所截， 如果截面的面积都相等， 如果截面的面积都相等 ， 则两个几何体的体 积相等。 积相等。
解 : (1)如果方案一.仓库的底面直径变成16m.则仓库的体积 1 1 16 2 256 V1 = Sh = × π × ( ) × 4 = π (m3 ). 3 3 2 3 如果按方案二.仓库的高变成8m.则仓库的体积 1 1 12 2 288 V2 = Sh = × π × ( ) × 8 = π (m3 ). 3 3 2 3
柱体、锥体、台体的表面积与体积 课件
|素养提升|
1．多面体的侧面积 (1)对于正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积求解也可以用“一个 侧面的面积”ד面数”来解，不一定非要用公式求解． (2)不规则的多面体求侧面积时，要把每个侧面的面积解出来， 再相加． (3)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积的关系：
S正棱柱侧＝ch′ 令―c― ′→＝c S正棱台侧＝12c＋c′h′ 令―c′―→＝0
[例 2] (2016·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥
的体积为( )
11 A.6 B.3
1 C.2
D．1
【解析】 通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥 P－ ABC，通过侧视图得高 h＝1，底面积 S＝12×1×1＝12，所以体积 V ＝13Sh＝13×12×1＝16.
【答案】 A
【答案】 C
方法归纳
求组合体表面积与体积时应注意的问题 (1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应 怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先 弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减． (2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面”(和外界直接 接触的面)与“体积”(几何体所占空间的大小)的定义，以确保不重 复、不遗漏．
答案：92
课堂探究 互动讲练
类型一 空间几何体的表面积
[例 1] (2016·全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，
粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．18＋36 5 B．54＋18 5
C．90
D．81
【解析】 由三视图知该几何体是平行六面体，且底面是边长 为 3 的正方形，侧棱长为 3 5，所以该几何体的表面积为 S＝2×3×6 ＋2×3×3＋2×3×3 5＝54＋18 5.
柱体锥体台体的表面积与体积
侧面积表面积03表面积01平截面02斜截面平截面$n\pi r^{2}h$斜截面$\frac{1}{3}\pi rh^{2}$体积$n\pi r^{2}h + \frac{2}{3}\pi rh^{2}$底面积侧面积表面积侧面积表面积底面积1 2 3体积公式适用范围注意事项体积公式01适用范围02注意事项03圆台表面积计算公式$S$$r$$l$圆台的表面积圆锥台表面积计算公式$S=1/2l(r₁+r₂)+πr ₁r₂$圆锥台表面积圆锥台母线长度圆锥台底面半径圆锥台顶面半径$S$$r₁$$r₂$$l$圆锥台的表面积$V$：圆台体积$r ₂$：圆台底面半径圆台体积计算公式：²+r ₂²)$$：圆台顶面半径010203040506圆台的体积圆锥台体积计算公式$V$$h$$r$ $r₁$ $l$圆锥台的体积圆柱的表面积圆柱的侧面积加上上下底面的面积，公式为$2\p i r h+2\p i r^{2}$，其中$r$为底面半径，$h$为高。
体积为底面积乘高，公式为$\pi r^{2}h$。
圆锥的表面积圆锥的侧面积加上底面的面积，公式为$\pi rl + \pi r^{2}$，其中$r$为底面半径，$l$为母线长。
体积为$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，其中$h$为高。
圆台的表面积圆台的侧面积加上两个圆底面的面积，公式为$\pi(r_{1}+r_{2})l +\pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$，其中$r_{1}$、$r_{2}$分别为圆台的上下底面半径，$l$为圆台的母线长。
体积为$\frac{1}{3}\pih(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}r_{2})$，其中$h$为高。
旋转体的表面积与体积平行投影柱体锥体台体的表面积与体积平行投影柱体的表面积平行投影台体的表面积组合体的表面积组合体的体积组合体的表面积与体积面积和体积的计算有助于了解其特性。
北师大版必修二 球的表面积和体积PPT课件
高为2R.
V球
4R3
3
V圆柱 R 2 2R 2 R 3
RO
2
V球
V 圆柱 3
(2)
S球4R2
S 圆 柱 2 R 侧 2 R 4 R 2
S球S圆柱侧
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13
讨论
长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，若 它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积 是——
分析：长方体内接于球，则由球和长 方体都是中心对称图形可知，它们中 心重合，则长方体对角线与球的直径 相等。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别
为49 c m 2 和400 c m 2，求球的表面积。
答案：2500 c m 2
最新课件
26
3、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 __2_ 倍.
4、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来 的__4_倍. 5、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_1_:_2__2_
4 .长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3，
5， 15，求它的外接球表面积 .
长方体对角线
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l 2 a2 b2 c229
半径为3的球的体积是(
A．9π
B．81π
) C．27π
D．36π
[答案] D
[解析] V＝43π×33＝36π.
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30
半径为 2的球的表面积等于________． [答案] 8π [解析] S＝4π×( 2)2＝8π.
3
32 6
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7
例题讲解
(变式1)把钢球（直径是5cm）放入一个正方体 的有盖纸盒中,至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
课件2：11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11.1.6
祖暅原理与几何体的体积
课标阐释
1.理解柱体、锥体和台体体积公式的推导,利用
“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题.
2.了解球的体积公式,会计算球的体积.
3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的
体积.
4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系,
了解求几何体体积的几种技巧.
思维脉络
激趣诱思
3
10 3
O'D'= ×20=
6
3
3
(cm),OD= ×30=5 3(cm),
6
所以棱台的高 h=O'O= '2 -(-'')2 =
13 3
3
2
- 5 3-
10 3
3
2
=4 3(cm).
3
(cm).
由棱台的体积公式,可得棱台的体积为
ℎ
V= (S 上+S 下+ 上·下)
3
4 3
=
3
×
π
所以第二种方法可使铁筒体积最大.
变式训练 1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC,AB=4
cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,则剩余部分的体积为
【答案】24
【解析】由题图可知所求的体积 V=-1 1 1 − -1 1 1
微思考
求三棱锥的体积时有什么技巧?
提示：因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以
更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.
微判断
(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.(
)
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.(
祖暅原理与几何体的体积
课标阐释
1.理解柱体、锥体和台体体积公式的推导,利用
“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题.
2.了解球的体积公式,会计算球的体积.
3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的
体积.
4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系,
了解求几何体体积的几种技巧.
思维脉络
激趣诱思
3
10 3
O'D'= ×20=
6
3
3
(cm),OD= ×30=5 3(cm),
6
所以棱台的高 h=O'O= '2 -(-'')2 =
13 3
3
2
- 5 3-
10 3
3
2
=4 3(cm).
3
(cm).
由棱台的体积公式,可得棱台的体积为
ℎ
V= (S 上+S 下+ 上·下)
3
4 3
=
3
×
π
所以第二种方法可使铁筒体积最大.
变式训练 1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC,AB=4
cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,则剩余部分的体积为
【答案】24
【解析】由题图可知所求的体积 V=-1 1 1 − -1 1 1
微思考
求三棱锥的体积时有什么技巧?
提示：因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以
更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.
微判断
(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.(
)
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.(
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
祖暅原理的证明
• 祖暅原理的证明需要用到积分和微积分的基本定理，通过 构造一个适当的密度函数，并利用微积分的基本定理进行 推导，最终得出结论。
祖暅原理的应用
• 祖暅原理在数学、物理和工程等 领域有广泛的应用，例如在计算 几何、流体动力学、材料科学等 领域中，可以利用祖暅原理来求 解一些复杂的问题。
锥体体积公式的推导
推导过程
首先，利用祖暅原理将锥体分割成无 数个小的三棱锥。然后，利用三棱锥 的体积公式计算每个三棱锥的体积。 最后，将这些三棱锥的体积相加，得 到锥体的总体积。
注意事项
在推导过程中，需要注意每个三棱锥 的高和底面半径的取值范围，以及在 求和时对每个三棱锥的高和底面半径 进行积分。
方法：通过祖暅原理（也称为积分原理 ）将柱体分割成无数个小的长方体，然 后求和它们的体积。
3. 将所有小长方体的体积相加得到柱体 的总体积。
2. 计算每个小长方体的体积。
步骤 1. 将柱体分割成无数个小的长方体。
03 锥体的体积
锥体的定义与性质
锥体的定义
锥体是一个三维几何体，由一个顶点 与一个封闭的曲面组成，其中顶点与 曲面上任意一点连线的长度都相等。
祖暅原理与柱体、锥 体、球体的体积
目录
CONTENTS
• 祖暅原理介绍 • 柱体的体积 • 锥体的体积 • 球体的体积 • 祖暅原理与柱体、锥体、球体体积的关
系
01 祖暅原理介绍
祖暅原理的内容
• 祖暅原理是数学中的一个重要定理，它指出对于一 个非退化的线段，如果线段上任意点的密度与该点 到线段垂直投影的距离成反比，则线段上各点的密 度之和等于该线段上任意两点的距离与它们到线段 垂直投影的距离乘积之和。
详细描述
柱体、锥体、台体的表面积和体积 课件
柱体、锥体、台体的表面积与体积
[知识提炼Байду номын сангаас梳理]
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面 体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是 展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积：S 底＝πr2 圆
侧面积：S 侧＝2πrl 柱
表面积：S＝2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝πr2 圆 侧面积：S 侧＝2πrl 锥 表面积：S＝πrl＋πr2
所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π. 答案：A
[迁移探究 1] (变换条件，改变问法) 将典例 2 中 第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”，求该圆锥的侧面积．
解：设圆锥的底面半径为 r，则高 h＝r，母线 l＝PB
＝ 2r.
[变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，求圆 台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于 扇环的圆心角是 180°，则 c＝π·SA＝2π×10，解得 SA＝ 20(cm)．
同理可得 SB＝40(cm)， 所以 AB＝SB－SA＝20(cm)． 所以 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝ π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝ 1 100π(cm2)．
2＋5 则 S 底＝ 2 ×4＝14，高 h＝4. 所以 V 四棱柱＝S 底·h＝56.
归纳升华 1．求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面 积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求 的量转化到轴截面内求． 2．求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图 形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点．
[知识提炼Байду номын сангаас梳理]
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面 体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是 展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积：S 底＝πr2 圆
侧面积：S 侧＝2πrl 柱
表面积：S＝2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝πr2 圆 侧面积：S 侧＝2πrl 锥 表面积：S＝πrl＋πr2
所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π. 答案：A
[迁移探究 1] (变换条件，改变问法) 将典例 2 中 第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”，求该圆锥的侧面积．
解：设圆锥的底面半径为 r，则高 h＝r，母线 l＝PB
＝ 2r.
[变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，求圆 台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于 扇环的圆心角是 180°，则 c＝π·SA＝2π×10，解得 SA＝ 20(cm)．
同理可得 SB＝40(cm)， 所以 AB＝SB－SA＝20(cm)． 所以 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝ π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝ 1 100π(cm2)．
2＋5 则 S 底＝ 2 ×4＝14，高 h＝4. 所以 V 四棱柱＝S 底·h＝56.
归纳升华 1．求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面 积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求 的量转化到轴截面内求． 2．求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图 形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点．
省级优质课件柱锥台表面积体积
1 sh 3
台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S
S为底面面积， h为锥体高
S 0 1 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为1，E,F分别为线段AA1,C1B上的点，则 三棱锥D-ED1F的体积为____________。
包含什么数学思想：
侧面展开
h'
S侧
1 c c h 2
2014年5月12日星期一11时12分37秒 云在漫步
h'
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：
c`
c`=c
c`=0
c
S正棱柱侧 ch'
S 正棱台侧
1 c'c h' 2
S 正棱锥侧
1 ch ' 2
2014年5月12日星期一11时12分37秒
云在漫步
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧 2 Rh
RO
h
O
2 R
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆锥侧 Rl
2 R
扇形
l
R
S圆台侧 (r R)l
x
扇环
l
r
R
思考: 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间
的联系与区别
S圆柱侧 2 Rh
R
O
S圆台侧 (r R)l
例3.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下 由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1, V2, V3, V4, 上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何 体均为多面体,则V1, V2, V3, V4,大小关系为
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分 层 作 业
难
返 首 页
自 主 预
∴圆锥的体积 V＝13Sh＝13π×42×4＝634π，故选 A.
当 堂 达
习
标
• 探 新
(2)V＝13(S＋ SS′＋S′)h＝13×(2＋ 2×4＋4)×3＝6＋2 2.
• 固 双
知
基
故选 B.]
合 作 探
(3)V 三棱锥 A1-ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12a2·a＝16a3.
•
攻
重 难
答：这堆螺帽大约有252个。
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
1．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为( )
•
探
固
新 知
A．48 6
B．64
C．16
D．96
双 基
合
B [设正方体的棱长为 a，则 6a2＝96，∴a＝4.
作
探
∴其体积 V＝a3＝43＝64.故选 B.]
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
2．圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则其体积为( )
标
•
•
探 新
A．15π
B．30
C．12π
D．36π
固 双
知
基
合
C [设圆锥的高为 h，如图，则 h＝ 52－32＝4.
作
探 究 •
所以其体积 V＝13Sh＝13×π×32×4＝12π.故选 C.]
柱体的体积公式 V＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
标 •
探
固
新 知
锥体的体积公式 V＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)；
双 基
合
作 探 究
台体的体积公式 V＝13(S′＋ S′S＋S)h.
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
例3、有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽重5.8kg，
堂
预
达
习 •
V Sh（S为底面面积，h为高）．
标 •
探
固
新
双
知
基
合
作
探
究 •
一般棱柱体积也是：
攻
重
V Sh
课 时 分 层 作 业
难
其中S为底面面积，h为棱柱的高． 返
首
页
将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，
自那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱当
主 预
柱的体积有什么关系？
堂 达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
基
3
2
合
作
1
探
究
•
攻
重
3
课
时
分
1
2
层 作
业
难
返 首 页
2、锥体体积
自 主
1
当 堂
预 习
经过探究得知，棱锥是同底等高的棱柱体积的 ．3
达 标
• 探
即棱锥的体积：
• 固
新
双
知
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高）
基
合
3
作
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
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圆锥体积
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
基
合
圆锥的体积公式：
作 探 究 • 攻
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高）
3
1
重 难
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的3 ．
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自 柱体的体积计算公式： V柱体=sh
当
主
堂
预 习 • 探 新
锥体的体积计算公式:
V锥体=
1 sh 3
达 标 • 固 双
自
A．18＋6 2
B．6＋2 2
当
主
堂
预
C．24
D．18
达
习
标
• 探
(3)如图 1-3-1 所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，过顶点 B，D，
• 固
新
双
知 A1 截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为________．
基
合 作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
返
首
图 1-3-1
已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm,高为10mm，
自
问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）？
当
主
堂
预 解： V Sh r 2h
达
习
标
• 探 新 知
=
3 4
122
6
10
3.14
10 2
2
10
•
O
固
双
基
合
=2956 mm3 2.956 cm3
作
探 究
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252
1.3.2 柱体、锥体、台体的体积
空间几何体的体积
自
当
主 预
体积:几何体所占空间的大小
堂 达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
基
正方体的体积=棱长3
合 作 探 究 • 攻 重
课
时
分
长方体的体积=长×宽×高
层 作
业
难
返 首 页
1、柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们
自
当
主
的体积公式可以统一为：
Hale Waihona Puke 知基（其中S为底面积,h为高）
•合
作
练习：三棱锥P-ABC的高为6,底
探 究
面是边长为2的等边三角形,则三
• 攻
棱锥P-ABC的体积为__2____3.
重
难
P
课
时
分
层
作
A
业
2020/10/16
返
B
首
7
页
3、台体体积
自 主 预 习 • 探 新 知
合 作 探 究 • 攻 重 难
2020/10/16
当 堂 达 标 • 固 双 基
课 时 分 层 作 业
返
首
8
页
台体体积
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
基
合
作 探
棱台（圆台）的体积公式
究 • 攻
V 1 (S S S S )h
重
3
课 时 分 层 作 业
难
其中S ，S 分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．
返
首
页
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
自
当
主
堂
预
上底扩大
页
自
当
主 预 习
(1)A (2)B (3)56a3 [(1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，
堂 达 标
•
•
探 新
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
固 双
知
基
∴2r＝ l2＋l2，即 l＝ 2r，
合 作
由题意得，侧面积 S 侧＝πr·l＝ 2πr2＝16 2π，
课
探
时
究
∴r＝4.
•
攻 重
∴l＝4 2，高 h＝ l2－r2＝4.
课 时
究
分
• 攻 重
故剩余部分的体积 V＝V 正方体－V 三棱锥 A1-ABD＝a3－a63＝56a3.
层 作 业
难
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自 主
[规律方法] 求几何体体积的常用方法
当 堂
预
达
习 •
(1)公式法：直接代入公式求解．
标 •
探
固
新
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积 双
习
上底缩小
达
标
•
•
探
固
新
双
知
S
V Sh
合
作探S为底面面积，h
究 为锥体高
•
攻
重
S
V 1 (S S S S )h S
3
S分别为上、下底面面积， h 为台体高
0 V 1 Sh 基
3
S为底面面积，h为课时 柱体高 分
层 作 业
难
返 首 页
自 2.柱体、锥体、台体的体积公式
当
主
堂
预
达
习 •
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
3.(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 2π，则圆锥
达
习
标
• 探
的体积是(
)
• 固
新
双
知
A．634π
B．1238π
基
合
C．64π
作
探
究
•
攻