4.2 理想流体的运动微分方程讲解
理想流体的运动微分方程
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
流体力学01-理想流体运动微分方程建立与应用
流体力学01-理想流体运动微分方程建立与应用18世纪，在机械工业的推动下，经典力学在微积分支撑下进入建立系统理论体系和广泛应用的时代。
这期间基于微积分连续可微函数概念和质点系力学理论的结合，构成了经典连续介质力学体系。
基于质点系概念的连续介质假设，是力学引进微积分建立理论体系的基础。
01故事的引子1738年瑞士科学家伯努利(Daniel Bernoulli, 1700-1782年，如图1所示），如将质点动能定理沿着同微元流管两截面建立，导出一元流机械能守恒方程，即著名的理想流体定常流动能量方程（后称为伯努利方程）。
图2 瑞士流体力学家欧拉图1 瑞士科学家伯努利1757年瑞士数学家欧拉，(Leonhard Euler, 1707-1783年，如图2所示）将这方程推广至可压缩流动。
对于理想不可压缩流体的定常流动，在质量力为重力作用下，沿同一条流线上的单位重量流体质点的总机械能守恒（单位重量流体质点的位置势能、压强势能和动能之和不变）。
其中，z为流体质点的位置；p为流体质点的压强；V为流体质点的速度；γ为流体容重；g为重力加速度；C为常数。
在不计质量力的条件下（空气的质量密度小，可以忽略重力的影响），此时沿同一条流线单位质量流体质点的压强势能和动能之和不变。
伯努利方程的发现，正确地回答了机翼上翼面吸力对升力的贡献。
后来的风洞试验表明：对于翼型而言，上翼面吸力的贡献约占翼型总升力的60%-70%。
1752年法国科学家达朗贝尔，(Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783年，如图3所示在发表的“流体阻尼的一种新理论” 一文中，首次用流体力学的微分方程表示场，提出了任意三维物体理想流体定常绕流无阻力的达朗贝尔佯谬。
1753年欧拉提出了连续介质假设，1755年提出描述流体运动的空间点法（即欧拉方法），并基于连续介质假设和理想流体模型，利用牛顿第二定理建立了理想流体运动微分方程。
流体运动的连续性方程、34理性流体运动微分方程及其积分、35伯努利方程-PPT精品文档
连续性微分方 m m m d x d y dz x y z t 程的一般形式 ( u ) ( u ) ( u ) y x z 0 t x y z 或 ( u )0 t
C
105.0 0
2
解：如图，取基准、计算断面，列出断面1，2总流伯努利方程
计算点选在液面上，即有 2 v 1 1 p 0， 0 1 p 2 2g Z1=120-105=15m Z2=hc=1.2m
令v2=vc
2 2 1 . 0 v v c c 15 0 0 1 . 2 0 0 . 1 2 g 2 g
考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用
时，应对上式进行修正：
u 2gh
式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。
三、实际流体恒定总流的伯努利方程
2 2 p u p u 1 1 2 2 z z h 1 2 w g 2 g g 2 g
工程流体力学课件
杨庆华 制作
Copyright2019西南交通大学土木工程学院流体力学教研室
第三章 流体动力学基础
• §3–1 描述流体运动的方法
•
• •
§3–2 流体运动的一些基本概念
§3–3 流体运动的连续性方程 §3–4 理想流体的运动微分方程及其积分
•
•
§3–5 伯努利方程
§3–6 动量方程
2
符号说明：
符号
物理意义
单位重流体的位能
几何意义
位置水头
流体动力学基础和方程讲解
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
水力学 第四章 理想流体动力学和平面势流
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
流体力学中的三大基本方程资料
d x 1 p fx dt x
同理可得y,z方向上的：
d x x x x x 1 p x y z fx dt t x y z x d y y y y y 1 p x y z fy dt t x y z y d z z z z z 1 p x y z fz dt t x y z z
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0 t
（x） （y） （z） 0 x y z div( ) 0
⑷二维平面流动： x
x
y y
0
2.理想流体的运动方程
3.4.1---欧拉运动微分方程
理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。 1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
dxdydz f
f x dxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
p dx pM p x 2
p dx pN p x 2
X方向上质点所受表面力合力： p （pM pN）dydz dxdydz x
流体力学中的分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 o x，y，z 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
理想流体的运动微分方程
(2)几何意义 图示能量分布图：
p1 r z1 v1
2
p2 r
2g
z2
v2
2
2g
其中：z为单位重量流体所具有 的位能，又称几何压头或位压头；
v
2
为单位重量流体所具有 的静压能，又称静压头，是单位 r 重量流体的压力能产生的流体柱 的高度；
急变流：不符合缓变流条件的流动为急变流。
（2）理想流体稳定流动总流的柏努利方程
现在讨论如何把微小流束柏努利方程应用于总流的 缓变流断面，从而建立理想流体总流的柏努利方程。
在任一微小流束上某一断面的流体质点具有的单位 重量流体机械能为：
e z
p
u
2
2g
以 d G u d A 的重量流量通过微小流束有效断面的 流体总能量为：
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
1.3.4.2欧拉运动微分方程的求解
欧拉运动微分方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速 度之间的关系，它是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩及不 可压缩理想流体的稳定流动都是适用的。 一般情况下，作用在流体上的单位质量力X、Y、Z是已知的，对
理想流体动力学 欧拉运动微分方程
k tlldt kt ll
l dk k tlll k dt t 由 2出去的动量 由1进来的动量
单位时间内从 1 进来的动量
v (v n ) d
1
n
控制面的外法线单位矢量
单位时间内从 2出去的动量
dk v (v n)d v (v n )d v (v n )d dt 2 1
定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和
压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。
理想流体动力 学
？讨论：
实际流动中总水头线不是水平线，单位重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？
理想流体动力 学
伯努利方程的应用：
一、小孔口出流
求流量
截面Ⅰ：z1 h p1 p0
U1 0
截面Ⅱ：z2 0 p2 p0 , U2 U ? Ⅰ,Ⅱ截面列伯氏方程：
v y 1 p vx vy vz Y t x y z y v y v y v y
（4-2）
v z v z v z v z 1 p vx vy vz Z t x y z z
矢量
dv 1 F p dt
即为理想流体的 欧拉运动微分方程式。
(通用常数)
3.对于理想、不可压缩流体、在重力作用 下的定常无旋运动
V2 z C 2g p
(通用常数)
理想流体动力 学
§４-３伯努利积分式及其应用
——欧拉方程在定常运动沿流线的积分
一、推导过程： 假设条件： （１）理想不可压缩，质量力有势； （２）定常运动； （３）沿流线积分。
理想流体动力 学
p0 p0 U 2 h 0 0 2g
理想流体运动微分方程
理想流体运动微分方程是一种描述理想流体运动的重要工具，它由许多参数组合而成，可以用来描述流体的位置、速度、压力和温度等物理量。
这种方程可以用于分析流体的运动，从而更好地理解流体的性质。
理想流体运动微分方程的主要参数包括动量方程、能量方程和物质守恒方程。
动量方程描述了流体的运动，即流体的加速度、动量和能量。
能量方程描述了流体的能量，即流体的温度、压力和功率。
物质守恒方程描述了物质的守恒，即流体中各种物质的变化。
理想流体运动微分方程在实际应用中非常重要，它可以用来分析流体的运动，从而对流体的性质有更深入的了解。
例如，它可以用来分析和计算流体的流量、速度、压力和温度等物理量。
它还可以用来研究和计算流体的热传导和热扩散等热力学性质。
此外，它还可以用于计算流体的流变性能，从而更好地了解流体的流变特性。
“让我们体会一下流体的美，让它们去探索它们的未知领域。
”——爱因斯坦理想流体运动微分方程在实际应用中可以用来分析和计算各种流体的运动特性，例如水、空气、液体和气体等。
例如，它可以用来计算气体的声速、空气的声压等。
它还可以用来研究和计算流体的粘性、密度、粘度等流变特性。
此外，它还可以用来研究流体的流动结构，比如涡旋结构、涡流结构等。
“每一个人都应该为自己的行为负责，而不是为自己的梦想负责。
”——马克思理想流体运动微分方程也可以用来研究和计算流体的结构性能，比如流体的抗压强度、稳定性和抗冲击性等。
它还可以用来研究流体的热物理性质，比如流体的温度场、压力场和温度分布等。
此外，它还可以用来研究流体的电磁特性，比如流体的电阻率、电导率和磁导率等。
“让我们一起探索未知的流体世界，让它们去发掘它们的奥秘！”——爱迪生理想流体运动微分方程对于科学家们来说是一种重要的研究工具，它可以帮助我们更好地理解流体的性质，从而更好地利用流体的物理量。
它可以用来分析流体的运动，从而更好地理解流体的动力学特性。
它还可以用来研究和计算流体的流变性能，从而更好地了解流体的流变特性。
第四章理想流体动力学
5
平行六面体，顶点为 Ax, y,z 处的速度 是 vx, y,z ，压强为 px, y,z 。六面体平均密
度为 ，作用在六面体上的力有表面力和质量 力。
以y方向为例进行受力分析： 1. y方向的表面力 由于讨论的流体是理想流体,作用在流体表 面上的力只有法向力,其方向为内法线方向。
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。
对于定常无旋运动，括号中的函数还不 随时间变化，因此它在整个流场为常数：
U p v2 C(通用常数) 2
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
16
U p v2 C(通用常数) 2
对于理想、不可压缩流体，在重力作用下
的定常、无旋运动，上式写为：
第四章 理想流体动力学
1
第四章 理想流体动力学
(Ideal fluid dynamics)
§4-1 欧拉运动微分方程式 §4-2 拉格朗日积分式 §4-3 伯努利积分式及其应用 §4-4 伯努利方程几何意义和能量意义 §4-5 动量定理及动量矩定理
第四章 理想流体动力学
2
重点：伯努利积分式及其应 用、伯努利方程的几何意义和能 量意义、动量定理及动量矩定理
⑵常数性质不同。拉格朗日积分中的常数 在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利 积分常数只在同一根流线上不变，不同流线取 值不同，称为流线常数。或者说拉格朗日积分 在整个空间成立，而伯努利积分只在同一条流 线上成立。
当流动定常且无旋时，两个积分式等同。
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
第二项：
12
vx t
vx
vx x
vy
第4章流体动力学基本方程
h ——单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的 机械能损失，称为元流的水头损失，m。
' w
1 2
1 2
注意： 1. 无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2. 粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3. 测压管水头线可升、可降、可水平。 4. 总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。
五、粘性总流的伯努利方程
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gdQ ( z 2 hw )gdQ g 2 g g 2 g
2 2
Байду номын сангаас
表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。
由连续性方程 dQ v 1dA1 v 2 dA2 ，上式可写作
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gv 1 dA1 ( z 2 hw )gv 2 dA2 g 2 g g 2 g
p Hp z g
—测压管水头
p u2 H z —总水头 g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理 想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速 度水头之和即总水头为一常数。 对于有旋流动，同 一流线上各点的总水 头相同，见左图。
p z g
——单位重量流体的势能 ——单位重量流体具有的机械能
p v2 z g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想 流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、 动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和 不变，即单位重量流体的机械能守恒。 因此，伯努利方程又称为能量方程。
2019/3/6
理想流体动力学基本方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
运动微分方程-理想流体流动
du1 L P 2 2 g P u1 ( u1 ) 1 2 d 1 U U LU 3LU
du1 L P 2 2 g P u1 ( u1 ) 1 2 d 1 U U LU 3LU
准数形式的动量传递方程为：
du1 (e y ) 1 2 1 EuP u1 ( u1 ) 1 d 1 Fr Re 3 Re
(2)准数形式的能量传递方程
采用同样方法对能量传递方程无量纲化，可得准数形式 的能量传递方程：
dT1 1 2T1 d 1 Re Pr
普朗特（Prandtl）准数为： 流体的热扩散系数为：
v cP Pr a k k cP
1.3.5.3 相似原理 相似原理包括以下三方面的内容： (1)两个相似系统，它们的同名准数必定相等。 (2)属于同一系统的各准数之间存在着一定的函数关系，这些 函数关系将由描述现象的微分方程式决定。
作用在控制体 中流体合外力
质量力
表面力
dux 2u x 2u x 2u x P Fbx ( 2 2 2 ) d x x y z u x u y u z 2 u ( ) u 3 x x y z 3 x x 2u y 2u y 2u y P Fby ( 2 2 2 ) d y x y z u x u y u z 2 u ( ) u 3 y x y z 3 y y du y duz P 2u z 2u z 2u z Fbz ( 2 2 2 ) d z x y z u x u y u z 2 u ( ) u 3 z x y z 3 z z
热传导过程服从傅里叶定律。
流体力学中的三大基本方程讲解
运动方程：
x y z 0 x y z
x x x x 1 p 2 x 2 x 2 x x y z fx ( 2 2 2) t x y z x x y z
y
（ dt）dxdydz dxdydz dtdxdydz t t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxdydz / dt dxdydz t t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
（x） （y） （z） 0 t x y z
a
在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d x p dxdydz dxdydz f x dxdydz dt x
单位体积流体的运动微分方程：
d x p fx dt x
单位质量流体的运动微分方程：
质量为m微团以v运动具有mv22动能若用重量mg除之得v22g理想不可压缩流体在重力场中作稳定流动时沿流线or无旋流场中流束运动时单位重量流体的位能压力能和动能之和是常数即机械能是守恒的且它们之间可以相互转换
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
欲求Q，须 求
1 层流： max 2
紊流：
0 82 max
谢
谢
！
dxdydz f
f x dxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
p dx pM p x 2
4.2 理想流体的运动微分方程
4.2 理想流体的运动微分方程理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。
实际流体有粘性，粘性流体。
1. Enler 运动微分方程H G图 4-3 理想流体的作用力取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为),,,(t z y x p 。
作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x向分别为z y x x p p d d )d 21(∂∂-和z y xx p p d d )2d (∂∂+-。
按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下：z y x a z y xx p p x x p p z y x X d d d d d )]2d ()2d [(d d d x ρρ=∂∂+-∂∂-+列出y 、z 向力平衡方程。
整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂-==∂∂-==∂∂-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1zzy y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为tua x p X d d 1i i i i ==∂∂-ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式tp d d 1ua G ==∇-ρ(4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。
式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。
4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。
理想流体的运动微分方程
理想流体的运动微分⽅程你刚刚更新第四节在流动的理想流体中，取出⼀个微元平⾏六⾯体的微团，它的各边长度分别为d、d和d，如图3-2所⽰。
由于是理想流体，没有黏性，运动时不产⽣内摩擦⼒，所以作⽤在流体微团上的外⼒只有质量⼒和压强。
该压强与静压强⼀样，垂直向内，作⽤在流体微团的表⾯上。
假设六⾯体形⼼的坐标为、、，压强为。
先分析⽅向的运动，在垂直于轴的左右两个平⾯中⼼点上的压强各等于，由于是微元⾯积，所以这些压强可以作为各表⾯上的平均压强。
设在六⾯体形⼼上的单位质量的质量⼒分量为、、和，则作⽤在微元平⾏六⾯体的流体微团上的质量⼒在轴⽅向的分量为⼜流体微团的加速度在轴上的投影为，则根据⽜顿第⼆定律得轴⽅向的运动微分⽅程将上式各项除以流体微团的流体质量，化简后得：]同理：这就是理想流体的运动微分⽅程。
对于静⽌的流体，，则由上式可以直接得出流体平衡微分⽅程，即欧拉平衡微分⽅程式。
因此欧拉平衡微分⽅程只是欧拉运动微分⽅程的⼀个特例。
如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分⽅程写成如下形式你刚刚更新第五节理想流体微元流束的伯努利（Bernoulli）⽅程⼀．理想流体微元流束的伯努利⽅程理想流体的运动微分⽅程只有在少数特殊情况下才能求解。
在下列⼏个假定条件下：(1)不可压缩理想流体的定常流动；(2)沿同⼀微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量⼒只有重⼒。
即可求得理想流体微元流束的伯努利⽅程。
根据欧拉运动微分⽅程和流线微分⽅程可以推导出或上式称为理想流体微元流束的伯努利⽅程。
该⽅程的适⽤范围是：理想不可压缩均质流体在重⼒作⽤下作定常流动，并沿同⼀流线（或微元流束）。
若1、2为同⼀条流线（或微元流束）上的任意两点，则上式也可写成，在特殊情况下，绝对静⽌流体，可以得到静⼒学基本⽅程。
⼆．⽅程的物理意义和⼏何意义1．物理意义第⼀项z表⽰单位重量流体所具有的位势能；第⼆项表⽰单位重量流体的压强势能；第三项表⽰单位重量流体具有的动能位势能、压强势能和动能之和称为机械能。
4-5第4讲 理想流体运动微分方程及其积分
p du u u u u u v w x dt t x y z p dv v v v v Y u v w y dt t x y z p dw w w w w Z u v w z dt t x y z X
V12 p1 V22 p2 z1 z2 2 g g 2 g g
（3-22）
即单位重量流体的机械能是守恒的（总水头是不变的） ， （3-21）式的物理意义就是机械能守 恒，故又称为能量方程。 2 ·
V2
流线
V1
1 ·
z1
z2
基准线
图 3-12 沿流线上机械能守恒
注意 1：伯努利方程的使用条件如下： (1) 流体为理想流体 (2) 流动为定常流动 (3) 流体是不可压缩的 (4) 只有重力场，质量力只有重力 (5) 沿一条流线。 沿不同的流线，常数的值一般是不相同的。 注意 2：伯努利方程表示，沿一条流线单位质量流体的位能、压能和动能之和为常数。 这是机械能守恒在流体力学中的体现，也是伯努利方程的物理意义。 注意 3：对于水流而言，如果某点的压强低于水的汽化压强，则会产生气泡，发生了汽 化现象，此时方程（3-21）就不再适用了。 有几个常用的名称介绍如下：
V12 p1 V2 p z1 2 2 z2 2 g g 2 g g
有
V 2 gy 0 g (h y ) 2 g g 2 g g
化简后得到水流速度与液面高度的关系为
V 2 gh
（3-24）
例3-2 设水流以速度 V 在封闭管道中匀速流动如图 3-15 所示， 试求水流速度 V 与两管 （直管与折管）中液面高度差∆h 的关系。 ∆h h1
（3）根据牛顿第二定律列方程
微元流体在表面力和质量力的作用下运动，其三个加速度分量分别为 由牛顿第二运动定律，沿 x 方向的运动方程为
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4.2 理想流体的运动微分方程理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。
实际流体有粘性，粘性流体。
1. Enler 运动微分方程H G图 4-3 理想流体的作用力取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为),,,(t z y x p 。
作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x向分别为z y x x p p d d )d 21(∂∂-和z y xx p p d d )2d (∂∂+-。
按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下：z y x a z y xx p p x x p p z y x X d d d d d )]2d ()2d [(d d d x ρρ=∂∂+-∂∂-+列出y 、z 向力平衡方程。
整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂-==∂∂-==∂∂-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1zzy y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为tua x p X d d 1i i i i ==∂∂-ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式tp d d 1ua G ==∇-ρ(4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。
式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。
4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。
Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。
一 运动微分方程在流线上的积分形式在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1）对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有)d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ∂∂+∂∂+∂∂-++ρz tuy t u x t u d d d z y x ∂∂+∂∂+∂∂= t u tut u t u t u t u d d d z z y y x x ∂∂+∂∂+∂∂=z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）引入力势函数),,,(t z y x U ，则有t tUU z Z y Y x X d d d d d ∂∂-=++ （4.3-3） 注意到t tpz z p y y p x x p p d d d d d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=（4.3-4） 另外由标量速度关系式 2z 2y2x 2u u u u ++=可求 z z y y x x 2z 2y 2x 2d d d )2(d )2(d u u u u u u u u u u ++=++= （4.3-4） 将以上三式代入式（4.3-2），则有)2(d d 1d 1d d 2u t t p p t t U U =∂∂+-∂∂-ρρ或者t t f t tpt U u p U d )(d )1()2(d d 1d 2=∂∂-∂∂=--ρρ （4.3-5） 积分上式则有)(2d 2t F u p U =--⎰ρ （4.3-6）式中 ⎰=t t f t F d )()(如果密度ρ不是压力的函数，则有)(22t F u p U =--ρ （4.3-7）对于定常流=)(t F const ，则有c u pU =--22ρ (4.3-8)如果质量力只有重力，即g Z o Y X -===,，则⎰+-=-=1d c gz z g U将上式代入式(4.3-8)，则有022c u p gz -=---ρ (4.3-9)或者022c gu pz =++γ (4.3-10) 式(4.3-10)即是Bernoulli 方程的常见形式。
对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成gu p z g u p z 2222222111++=++γγ (4.3-11)对于静止流体，o u =则有0c pz =+γ(4.3-12)γγ2211p z p z +=+(4.3-13)上两式即是流体静力学的基本方程。
二 其他形式的Bernoulli 方程 1实际流体微小流面的Bernoulli 方程图 4-4 实际流体微流束的Bernoulli 方程Bernoulli 方程是在无粘性流体质点沿流线运动或微流束运动条件下导出的。
实际流体有粘性，流体内部存在摩擦力。
为克服这种阻力，流体在运动中要消耗能量，使单位重量的液体沿流过的路程的能量不断减少。
参看图4-4，假定流体从断面1-1流向断面2-2，设断面（1-1）—（2-2）之间的单位重量的流体能量损失―水头损失(Water head loss )为f h ，则有f 2222211122h gu p z g u p z +++=++γγ (4.3-16)其中f h 为流体从断面(1-1)流向断面(2-2)水头损失，由于流体在流动过程中总能量是不断减少的，如果0f <h ，则表明流体的流动是从断面(2-2)流向断面(1-1)。
式(4.3-16)两边同乘重度γ，则有f 2222211122p u z p u z p ∆+++=++ργργ (4.3-17)其中f f h p γ=∆为)22()11(---之间的压力损失。
2 实际总流的Bernoulli 方程2图 4-5 总流的Bernoulli 方程总流由无数微束构成，而每一微束都包含一条或多线流线，称之微流管，这样总流就是含有若干条微流管的流管。
因而用一条真实的管道代替假想的抽象的流管，就得出实际总流的Bernoulli 方程。
参看图4-5，在总流中取微流束，根据已有结论则有f2222211122h g u p z g u p z +++=++γγ如果单位时间通过微流束断面(1-1)和(2-2)的流体重量为Q r d （N/s ）。
以Q r d 乘上式两侧各项，然后对总流断面1A 和2A 作积分，则得出总流的能量（功率）关系式如下⎰⎰+++=++21d )2(d )2(22222111A f A Q h u p z Q u p z γγγγ (4.3-18) 现讨论上式中的各积分项：1) ⎰+1d )(1A Q pz γγ为单位时间内通过过流断面的A 的势能和（位置能和压力能之和），该积分不易求出。
但是可以取过流断面为一维缓变流：即0,0x z y ≠==u u u ，并且流向基本与x 轴相符和（图4-6）。
缓变流的流线接近于直线，流线的曲率和彼此的夹角很小，过流断面近于平面（图4-6）。
这种流动的直线和向心加速度都很小，故惯性力可以不计。
因而缓变流压力分布规律符合重力场流体静力学基本规律，即0c pz =+γ故有Q pz Q p z Q p z A A )(d )(d )(212211γγγγγγ+=+=+⎰⎰ (4.3-19)2) ⎰Q gu d 221γ为单位时间内流过过流断面的动能。
由于过流断面各点速度u 不同A u gA u gQ u gAA332)(2d 2d 2γγγ≠=⎰⎰，又很难简单求出，因此采用平均速度u 代替点速度u ，可用系数α加以修正，即取Au Au Au gA u gAA3333)(d )(2d 2⎰⎰==γγα则有 A u gA u gA33)(2d 2γαγ=⎰(4.3-20)3) ⎰AQ h d f γ为因阻力损失的能量。
因不了解f h 和u 的关系难以积分，为简化，假定f h 为常量，即Q h Q h Affd γγ=⎰ (4.3-21)将式(4.3-19)~(4.3-21)代入式(4.3-18)整理，则有f 22222211112)(2)(h gu p z gu p z +++=++αγαγ(4.3-22)在紊流中，一般10.1~05.1=α，因而在工程上可取1≈α。
3 Bernoulli 方程的物理意义参看式(4.3-10)，其中z 称位置水头，表示流线上的点或微小流束的断面相对基准面的位置高度，对于单位重量的流体)1(N G =，z 表示流体的位置能。
γp—称压力水头，是压力的液柱高度表示，它表示单位重量液体的压力能。
因1=⋅=V G γ，故γ1=V ，液体的压力能为γppV =。
gu 22—称速度水头，为单位重量的液体的动能。
液体的动能221mu T =，则有)1(2221222====G g u g u G g mgu T 。
Bernoulli 方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相转换，但总和不变。
Bernoulli 方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或表现形式。
式(4.3-22)为不可压缩粘性流体在重力场中作定常流时的总流Bernoulli 方程，是工程流体力学中很重要的方程。
在使用时必须注意：（1）对于水平管道，通常取轴线为重力零势位，即021==z z ；对于倾斜放置的管道，则取某过流断面的形心为重力零势位，这时有h z z ==21,0或0,21==z h z 。
对于不变管径u u u ==21；对于渐变管径，可利用连续方程2211u A u A =求出1u 与2u 的关系；21,p p 为两形心处的压力，它们的相互关系可根据静压基本方程导出。
(2) 对于无粘性流体，式(4.3-22)则变形为gu p z gu p z 2)(2)(2222221111αγαγ++=++(4.3-23)其中121==αα时，与理想流体微小流束的Bernouli 方程是十分相近的，唯一的差别是u 和u 的差别。
（3）在两过流断面有能量输入或输出的情况下式(4.3-22)可改写为f 22222211112)(2)(h gu p z E gu p z +++=±++αγαγ(4.3-24)其中E 为以高度形式表示的能量或功率，输入能量（泵和风机）时取“＋”号，输出能量（水轮机）取“－”号。
(4) 21,p p 可为绝对压力，也可为相对压力，两者必须一致，在工程上取相对压力比较方便。