《概率论与数理统计》习题及答案__第一章

《概率论与数理统计》习题及答案

第 一 章

1.写出下列随机试验得样本空间及下列事件中得样本点:

(1)掷一颗骰子,记录出现得点数、 ‘出现奇数点’;

(2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数、 ‘两次点数之与为10’,‘第一次得点数,比第二次得点数大2’;

(3)一个口袋中有5只外形完全相同得球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,‘球得最小号码为1’;

(4)将两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,‘甲盒中至少有一球’;

(5)记录在一段时间内,通过某桥得汽车流量,‘通过汽车不足5台’,‘通过得汽车不少于3台’。

解 (1)其中‘出现点’,

。

(2)

};

;

。

(3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =

(4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- ,其中‘’表示空盒;

。

(5)。

2.设就是随机试验得三个事件,试用表示下列事件:

(1)仅发生;

(2)中至少有两个发生;

(3)中不多于两个发生;

(4)中恰有两个发生;

(5)中至多有一个发生。

解(1)

(2)或;

(3)或;

(4);

(5)或;

3.一个工人生产了三件产品,以表示第件产品就是正品,试用表示下列事件:(1)没有一件产品就是次品;(2)至少有一件产品就是次品;(3)恰有一件产品就是次品;(4)至少有两件产品不就是次品。

解(1);(2);(3);(4)。

4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同得概率。

解设‘任取一电话号码后四个数字全不相同’,则

5.一批晶体管共40只,其中3只就是坏得,今从中任取5只,求

(1)5只全就是好得得概率;

(2)5只中有两只坏得得概率。

解(1)设‘5只全就是好得’,则

;

(2)设‘5只中有两只坏得’,则

、

6.袋中有编号为1到10得10个球,今从袋中任取3个球,求

(1)3个球得最小号码为5得概率;

(2)3个球得最大号码为5得概率、

解(1)设‘最小号码为5’,则

;

(2)设‘最大号码为5’,则

、

7.(1)教室里有个学生,求她们得生日都不相同得概率;

(2)房间里有四个人,求至少两个人得生日在同一个月得概率、

解(1)设‘她们得生日都不相同’,则

;

(2)设‘至少有两个人得生日在同一个月’,则

;

或

、

8.设一个人得生日在星期几就是等可能得,求6个人得生日都集中在一个星期中得某两天,但不就是都在同一天得概率、

解设‘生日集中在一星期中得某两天,但不在同一天’,则

、？？？？为什么

9.将等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE得概率就是多少？

解1设‘恰好排成SCIENCE’

将7个字母排成一列得一种排法瞧作基本事件,所有得排法:

字母在7个位置中占两个位置,共有种占法,字母在余下得5个位置中占两个位置,共有种占法,字母剩下得3个位置上全排列得方法共3！种,故基本事件总数为,而中得基本事件只有一个,故

;

解2七个字母中有两个,两个,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素得全排列。一般地,设有个元素,其中第一种元素有个,第二种元素有个…,第种元素有个,将这个元素排成一排称为不尽相异元素得全排列。不同得排列总数为

,

对于本题有

、

10.从等个数字中,任意选出不同得三个数字,试求下列事件得概率:‘三个数字中不含0与5’,‘三个数字中不含0或5’,‘三个数字中含0但不含5’、解、

,

或

,

、

11.将双大小各不相同得鞋子随机地分成堆,每堆两只,求事件‘每堆各成一双’得概率、

解双鞋子随机地分成堆属分组问题,不同得分法共‘每堆各成一双’共有种情况,故

12.设事件与互不相容,,求与

解

因为不相容,所以,于就是

13.若且,求、

解

由得

14.设事件及得概率分别为,求及

解

U

=+-=+--+ P A B P A P B P AB P A P B P A P AB

()()()()()1()()()

、

15.设,且仅发生一个得概率为0、5,求都发生得概率。

解1由题意有

,

所以

、

解2仅发生一个可表示为,故

所以

、

16.设,求与、

解,

所以

,

故

;

、

所以

17.设,试证明

[证] 因为,所以

()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-U

故

、 证毕、

18.对任意三事件,试证

、

[证]

、 证毕、

19.设就是三个事件,且,,求至少有一个发生得概率。

解 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+U U 因为 ,所以,于就是

20.随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在园内任何区域得概率与区域得面积成正比,求原点与该点得连线与轴得夹角小于得概率、

解:半圆域如图

设‘原点与该点连线与轴夹角小于’

由几何概率得定义

,求它们可以构成三角形得概率、 ,又三段得长分别为,则,不等式构成平面域、 ,所以 发生

不等式确定得子域,所以 、