相似三角形的面积与周长
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AD AB 求证： k A' D ' A' B '
证明∵ΔABC∽ΔA'B'C‘
A
A/
B ∴∠B=∠B’,又∵∠ADB=∠ A ' D ' B' AD AB k ∴ ΔADB∽ΔA ' D ' B' ∴ A' D' A' B'
D
C
B/
D/ C/
相似三角形对应高线的比等于相似比。 相似三角形对应角平分线的比，对应中线的比， 都等于相似比.
A
E B
F C
AE:EB=2:3
11、如图，S□ABCD=2008cm2，点E是平行四边形
1 ABCD的边AB的延长线上一点，且 BE 4 AB ，那
么 S△BEF =？
D
C
F A B E
14.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零 件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
27.2.３
相似三角形的周长与面积
对应边的比相等， 1.相似三角形有什么性质？ 对应角相等.
2.三角形中，除了角和边这两种元素 外，还有哪几种特殊的线段？
高线
角平分线
中线
相似三角形的对应边上高线有什么关系？ 已知 ： ΔABC∽ΔA'B'C' AD BC于D， A ' D ' B 'C '于D ' ，
A
D O B
E
C
思考题 8.如图:在△ABC中EF∥GH∥BC,且E、F是 １：３：５ AB的三等份点,则S1:S2:S3=
9、如图，△ABC,DE//BC,且△ADE的面积 等于梯形BCED的面积,则△ADE与△ABC的 A 相似比是_______ 1：√2
D B
E C
10.如图，是一块三角形钢板，工人师傅要把它切 割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切 割 出的三角形与梯形的面积之比为4：5，那么该 怎么切割呢？
已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k. ABC 求证: =k2 A´B´C´ A
s s
A’
D´ C D 证明： 如图AD和A´D´分别是BC，B´C´边上的高。 ∵△ABC ∽△A′B′C′,且相似比为k B
AD BC k ∴ D C 1 BC AD ABC的面积 BC AD 2 k k k2 ∴ A BC的面积 1 BC A D BC A D 2
看一看：
在4×4正方形网格中
A 2 √10 B
Δ ABC与Δ A´B´C´有什么关系？ （相似） 为什么？
C
√2
算一算：
Δ ABC与Δ A´B´C´的相似比 是多少？ 2 Δ ABC与Δ A´B´C´的周长比 是多少? 2 面积比是多少？ 2
A’ √2 B’ √5 C’ 1
想一想：
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比 有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
5.一个四边形的各边长扩大为原来的4倍，那么这个 16 四边形的面积扩大为原来的___倍。
6.如图，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ， １：２ ＡＣ的中点，则Ｃ ：Ｃ ＝
△ＤＥＦ △ＡＢＣ
Ｓ△ＤＥＦ：Ｓ△ＡＢＣ
=
１：４
能力提高
7、在△ABC中，若点D、E分别是AB、 AC的中点，则各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？
B’
C’
对应角相等
相 似 三 角 形 的 性 质
对应边成比例
对应高 对应中线 对应角平分线 周长
的比等于相似比
面积比等于相似比的平方
1、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A´D´分别是对应 边BC、B´C´上的高，若BC＝8cm,B´C´＝6cm,AD＝ 4cm,则A´D´等于（ C ） A 16cm B 12 cm C 3 cm D 6 cm 2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应 角平分线的比为（ D ） A 7∶3 B 49∶9 C 9∶49 D 3∶7 3.一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，那么周长扩 大为原来的__倍，面积扩大为原来的_ 25_ 倍。 _ 5 4.如果一个三角形面积扩大为原来的9倍，那么边长 ３ 扩大为原来的________倍。
（１）设ＰＮ＝y,PQ=x,确定y与x的函数关系？ (2)当为何值时，矩形ＰＱＭＮ的来自百度文库积最大？
A
P B Q
E
N
D M
C
1. 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比,对 应中线的比，对应周长的比都等于相似比. (相似三角形对应线段的比等于相似比) 2.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
解：设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以
AE AD 80–x
A P Q E N
=
=
PN BC x
B
D M
C
因此
80
120
，得 x=48（毫米）。答：-------。
15.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 毫米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零件，使正 方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，
ΔA’B’C’的周长
=k
A
A’
B
∴
C
AB BC AC k AB BC AC
B’
C’
证明：∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k
（相似三角形的对应边成比例）
∴AB=kA´B´,BC=kB´C´,AC=kA´C´ ∴
ABC的周长 AB BC AC kA B kBC kAC k ABC的周长 A B BC AC A B BC AC
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？ 已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k.
求证:
ΔABC的周长 ΔA’B’C’的周长
=k
sABC sA´B´C´
A’ B’
=k2
A
B
C’
C
已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k. 求证: ΔABC的周长
证明∵ΔABC∽ΔA'B'C‘
A
A/
B ∴∠B=∠B’,又∵∠ADB=∠ A ' D ' B' AD AB k ∴ ΔADB∽ΔA ' D ' B' ∴ A' D' A' B'
D
C
B/
D/ C/
相似三角形对应高线的比等于相似比。 相似三角形对应角平分线的比，对应中线的比， 都等于相似比.
A
E B
F C
AE:EB=2:3
11、如图，S□ABCD=2008cm2，点E是平行四边形
1 ABCD的边AB的延长线上一点，且 BE 4 AB ，那
么 S△BEF =？
D
C
F A B E
14.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零 件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
27.2.３
相似三角形的周长与面积
对应边的比相等， 1.相似三角形有什么性质？ 对应角相等.
2.三角形中，除了角和边这两种元素 外，还有哪几种特殊的线段？
高线
角平分线
中线
相似三角形的对应边上高线有什么关系？ 已知 ： ΔABC∽ΔA'B'C' AD BC于D， A ' D ' B 'C '于D ' ，
A
D O B
E
C
思考题 8.如图:在△ABC中EF∥GH∥BC,且E、F是 １：３：５ AB的三等份点,则S1:S2:S3=
9、如图，△ABC,DE//BC,且△ADE的面积 等于梯形BCED的面积,则△ADE与△ABC的 A 相似比是_______ 1：√2
D B
E C
10.如图，是一块三角形钢板，工人师傅要把它切 割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切 割 出的三角形与梯形的面积之比为4：5，那么该 怎么切割呢？
已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k. ABC 求证: =k2 A´B´C´ A
s s
A’
D´ C D 证明： 如图AD和A´D´分别是BC，B´C´边上的高。 ∵△ABC ∽△A′B′C′,且相似比为k B
AD BC k ∴ D C 1 BC AD ABC的面积 BC AD 2 k k k2 ∴ A BC的面积 1 BC A D BC A D 2
看一看：
在4×4正方形网格中
A 2 √10 B
Δ ABC与Δ A´B´C´有什么关系？ （相似） 为什么？
C
√2
算一算：
Δ ABC与Δ A´B´C´的相似比 是多少？ 2 Δ ABC与Δ A´B´C´的周长比 是多少? 2 面积比是多少？ 2
A’ √2 B’ √5 C’ 1
想一想：
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比 有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
5.一个四边形的各边长扩大为原来的4倍，那么这个 16 四边形的面积扩大为原来的___倍。
6.如图，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ， １：２ ＡＣ的中点，则Ｃ ：Ｃ ＝
△ＤＥＦ △ＡＢＣ
Ｓ△ＤＥＦ：Ｓ△ＡＢＣ
=
１：４
能力提高
7、在△ABC中，若点D、E分别是AB、 AC的中点，则各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？
B’
C’
对应角相等
相 似 三 角 形 的 性 质
对应边成比例
对应高 对应中线 对应角平分线 周长
的比等于相似比
面积比等于相似比的平方
1、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A´D´分别是对应 边BC、B´C´上的高，若BC＝8cm,B´C´＝6cm,AD＝ 4cm,则A´D´等于（ C ） A 16cm B 12 cm C 3 cm D 6 cm 2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应 角平分线的比为（ D ） A 7∶3 B 49∶9 C 9∶49 D 3∶7 3.一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，那么周长扩 大为原来的__倍，面积扩大为原来的_ 25_ 倍。 _ 5 4.如果一个三角形面积扩大为原来的9倍，那么边长 ３ 扩大为原来的________倍。
（１）设ＰＮ＝y,PQ=x,确定y与x的函数关系？ (2)当为何值时，矩形ＰＱＭＮ的来自百度文库积最大？
A
P B Q
E
N
D M
C
1. 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比,对 应中线的比，对应周长的比都等于相似比. (相似三角形对应线段的比等于相似比) 2.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
解：设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以
AE AD 80–x
A P Q E N
=
=
PN BC x
B
D M
C
因此
80
120
，得 x=48（毫米）。答：-------。
15.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 毫米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零件，使正 方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，
ΔA’B’C’的周长
=k
A
A’
B
∴
C
AB BC AC k AB BC AC
B’
C’
证明：∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k
（相似三角形的对应边成比例）
∴AB=kA´B´,BC=kB´C´,AC=kA´C´ ∴
ABC的周长 AB BC AC kA B kBC kAC k ABC的周长 A B BC AC A B BC AC
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？ 已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k.
求证:
ΔABC的周长 ΔA’B’C’的周长
=k
sABC sA´B´C´
A’ B’
=k2
A
B
C’
C
已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k. 求证: ΔABC的周长