2017年重庆中考数学材料阅读24题练习题

2017年重庆中考材料阅读练习题

1、2017届南开（融侨）中学九上入学

24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：

（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把abc的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc=213时，则：213 F u r 36(333

36243

+=)。数字111经过三次“F”运算得，经过++=36) F u r243(33

213

四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得。（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字是c，个位上的数字是d，如果可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd为例即可）。

2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一

23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。根据以上阅读材料，回答下列问题：

（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；

（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。

3、2017届南开（融侨）中学九上期末

25．如果关于x的一元二次方程20

ax bx c

++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．

（1）方程2430x x -+=立根方程，方程2230x x --=立根方程；(请填“是”或“不是”)

（2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x

=上时，一元二次方程240mx x n ++=是

立根方程；

（3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。

4、2017届一中九上月考三

24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得a n b =，即a bn =．例

如：若整数a 能被7

整除，则一定存在整数n ，使得7

a

n =，即7a n =．

（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，21352203-⨯=，因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律．

（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．

5、2017届南开（融侨）中学九下入学

25、进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一。对于任意一个用n (10)n ≤进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~(1)n -进行记数，特点是逢n 进一。我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：

五进制数()25

2342535469=⨯+⨯+=，记作()523469=， 七进制数()

27

1361737676=⨯+⨯+=，记作()713676=

（1）请将以下两个数转化为十进制：()5

331= ，()7

46= ； （2）若一个正数可以用七进制表示为()7abc ，也可以用五进制表示为()5cba ，请求出这个数并用十进制表示。

6、2017届南开（融侨）中学九下入学

7、2017届八中学九下入学

24．一个多位数整数，a 代表这个整数分出来的左边数，b 代表这个整数分出来的右边数，其中a ，b 两部分数位相同，若a 2

b

+正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数， 例如：357满足

37

52

+=,233241满足

2341

322

+= (1)写出一个三也平衡数和一个六位平衡数，并证明任意一个六位平衡数一定能被3整除；

(2)若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为3的倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数。

8、2017届八中学九下周考三

24．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：（x、y 是正整数，且x y

≤），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）。例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为152433

⨯<⨯<⨯，所以3+3是6的最佳分解，所以F(6)=3×3=9．

(1)求证：对任意一个正整数m，总有F(2m)2。

(2)设两位正整数（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t'十位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之和，数t'个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t'9，且F(t)能被2整除，求两位正整数t．

9、2017届巴蜀九下月考一 23、（10分）材料阅读： 将分式225

3

x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式。

解：由分母为3x +，可设()()2

253x x x x a b +-=+++

则由()()()()2

222533333x

x x x a b x ax x a x a x a b +-=+++=+++=++++

对于任意x ，上述等式均成立，3235a a b +=⎧∴⎨

+=-⎩，解得1

2

a b =-⎧⎨

=-⎩ ()()()()2312312522

133333

x x x x x x x x x x x x +--+-+-∴==-=--

+++++ 这样，分式225

3

x x x +-+就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）

的形式。

（1）将分式236

1

x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）

的形式；

（2）将分式42225

1

x x x --+-+拆分成整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的

形式。