2018-2019学年北京市各区初三上学期期末考试试卷分类汇编-几何综合
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷.doc
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷【一】选择题〔共8小题,每题4分,总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根2、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、3、假设如图是某个几何体的三视图,那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥4、小丁去看某场电影,只剩下如下图的六个空座位供他选择,座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个,那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、5、如图,△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,假设C1为OC的中点,AB=4,那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、86、点A〔x1,y1〕,B〔x2,y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点,假设x1<0<x2,那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1<0<y2B、y2<0<y1C、y1<y2<0D、y2<y1<07、如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2,那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、28、如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点,连接DE,BE,过E作EF⊥BD于F,设AE=x,图1中某条线段的长为y,假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE【二】填空题〔共4小题,每题4分,总分值16分〕9、如图,扇形的半径为3cm,圆心角为120°,那么扇形的面积为cm2、〔结果保留π〕10、在某一时刻,测得一根高为2m的竹竿的影长为1m,同时测得一栋建筑物的影长为12m,那么这栋建筑物的高度为m、11、如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2,4〕,B〔1,1〕,那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为、12、对于正整数n,定义F〔n〕=,其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如:F〔6〕=62=36,F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕,F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如:F1〔123〕=F〔123〕=10,F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求:F2〔4〕=,F2018〔4〕=;〔2〕假设F3m〔4〕=89,那么正整数m的最小值是、【三】解答题〔共13小题,总分值72分〕13、计算:〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、14、如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,BE⊥AC于E,求证:△ACD∽△BCE、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根,求代数式的值、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0,3〕,B〔2,3〕,求平移后的抛物线的表达式、17、如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A,B两点,A点的横坐标为2,AC⊥x轴于点C,连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式;〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点,且满足△OPC与△ABC的面积相等,请直接写出点P的坐标、18、如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E、〔1〕求线段CD的长;〔2〕求cos∠ABE的值、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1,x2、〔1〕求m的取值范围;〔2〕假设x2<0,且>﹣1,求整数m的值、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,据调查显示,每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数,且1≤x≤10〕;质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控,此工厂每天只生产一个档次的产品,当生产质量档次为x的产品时,当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式;〔2〕工厂为获得最大利润,应选择生产哪个档次的产品?并求出当天利润的最大值、21、如图,四边形ABCD是平行四边形,点A,B,C在⊙O上,AD与⊙O相切,射线AO交BC 于点E,交⊙O于点F、点P在射线AO上,且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证:直线PC是⊙O的切线;〔2〕假设AB=,AD=2,求线段PC的长、22、阅读下面材料:小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图,图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1,他发现一个有趣的问题:对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段,都可以在点阵中找到一点构造垂直,进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答:〔1〕如图1,A,B,C是点阵中的三个点,请在点阵中找到点D,作出线段CD,使得CD⊥AB;〔2〕如图2,线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值,小明在点阵中找到了点E,连接AE,恰好满足AE⊥CD于点F,再作出点阵中的其它线段,就可以构造相似三角形,经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算:OC=;tan∠AOD=;解决问题:如图3,计算:tan∠AOD=、23、在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象经过点A〔1,4〕、B〔m,n〕、〔1〕求代数式mn的值;〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B,求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值;〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点,且该交点在直线y=x的下方,结合函数图象,求a的取值范围、24、如图1,在△ABC中,BC=4,以线段AB为边作△ABD,使得AD=BD,连接DC,再以DC为边作△CDE,使得DC=DE,∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2,当∠ABC=45°且α=90°时,用等式表示线段AD,DE之间的数量关系;〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段EF,连接BF,AF、①假设α=90°,依题意补全图3,求线段AF的长;②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、25、在平面直角坐标系xOy中,设点P〔x1,y1〕,Q〔x2,y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积:假设|x1﹣x2|的最大值为m,|y1﹣y2|的最大值为n,那么S=mn为图形W的测度面积、例如,假设图形W是半径为1的⊙O,当P,Q分别是⊙O与x轴的交点时,如图1,|x1﹣x2|取得最大值,且最大值m=2;当P,Q分别是⊙O与y轴的交点时,如图2,|y1﹣y2|取得最大值,且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1、①如图3,当点A,B在坐标轴上时,它的测度面积S=;②如图4,当AB⊥x轴时,它的测度面积S=;〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD,那么此图形的测度面积S的最大值为;〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围、2018-2018学年北京市海淀区九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔共8小题,每题4分,总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根考点:根的判别式、分析:求出b2﹣4ac的值,再进行判断即可、解答:解:x2﹣3x﹣5=0,△=b2﹣4ac=〔﹣3〕2﹣4×1×〔﹣5〕=29>0,所以方程有两个不相等的实数根,应选A、点评:此题考查了一元二次方程的根的判别式的应用,注意:一元二次方程ax2+bx+c=0〔a、b、c为常数,a≠0〕①当b2﹣4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根,②当b2﹣4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根,③当b2﹣4ac<0时,一元二次方程没有实数根、2、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、考点:锐角三角函数的定义、分析:直接根据三角函数的定义求解即可、解答:解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,∴sinA==、应选A、点评:此题考查的是锐角三角函数的定义,比较简单,用到的知识点:正弦函数的定义:我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA、即sinA=∠A的对边:斜边=a:C、3、假设如图是某个几何体的三视图,那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥考点:由三视图判断几何体、分析:由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状、解答:解:主视图和左视图都是等腰三角形,那么此几何体为锥体,由俯视图为圆,可得此几何体为圆锥、应选:D、点评:此题考查的知识点是三视图,如果有两个视图为三角形,该几何体一定是锥,如果有两个矩形,该几何体一定柱,其底面由第三个视图的形状决定、4、小丁去看某场电影,只剩下如下图的六个空座位供他选择,座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个,那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、考点:概率公式、分析:由六个空座位供他选择,座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号,直接利用概率公式求解即可求得答案、解答:解:∵六个空座位供他选择,座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号,∴抽到的座位号是偶数的概率是:=、应选C、点评:此题考查了概率公式的应用、用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比、5、如图,△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,假设C1为OC的中点,AB=4,那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、8考点:位似变换、专题:计算题、分析:根据位似变换的性质得到=,B1C1∥BC,再利用平行线分线段成比例定理得到=,所以=,然后把OC1=OC,AB=4代入计算即可、解答:解:∵C1为OC的中点,∴OC1=OC,∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形,∴=,B1C1∥BC,∴=,∴=,即=∴A1B1=2、应选B、点评:此题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心、注意:①两个图形必须是相似形;②对应点的连线都经过同一点;③对应边平行、6、点A〔x1,y1〕,B〔x2,y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点,假设x1<0<x2,那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1<0<y2B、y2<0<y1C、y1<y2<0D、y2<y1<0考点:反比例函数图象上点的坐标特征、专题:计算题、分析:根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣,y2=﹣,然后利用x1<0<x2即可得到y1与y2的大小、解答:解:∵A〔x1,y1〕,B〔x2,y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点,∴y1=﹣,y2=﹣,∵x1<0<x2,∴y2<0<y1、应选B、点评:此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数y=〔k为常数,k≠0〕的图象是双曲线,图象上的点〔x,y〕的横纵坐标的积是定值k,即xy=k、7、如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,OD⊥AC于D,过点O作OE∥AC交半圆O于点E,过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2,那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、2考点:垂径定理;全等三角形的判定与性质、分析:根据垂径定理求出AD,证△ADO≌△OFE,推出OF=AD,即可求出答案、解答:解:∵OD⊥AC,AC=2,∴AD=CD=1,∵OD⊥AC,EF⊥AB,∴∠ADO=∠OFE=90°,∵OE∥AC,∴∠DOE=∠ADO=90°,∴∠DAO+∠DOA=90°,∠DOA+∠EF=90°,∴∠DAO=∠EOF,在△ADO和△OFE中,,∴△ADO≌△OFE〔AAS〕,∴OF=AD=1,应选C、点评:此题考查了全等三角形的性质和判定,垂径定理的应用,解此题的关键是求出△ADO ≌△OFE和求出AD的长,注意:垂直于弦的直径平分这条弦、8、如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点,连接DE,BE,过E作EF⊥BD于F,设AE=x,图1中某条线段的长为y,假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE考点:动点问题的函数图象、分析:作BN⊥AC,垂足为N,FM⊥AC,垂足为M,DG⊥AC,垂足为G,分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论、解答:解:作BN⊥AC,垂足为N,FM⊥AC,垂足为M,DG⊥AC,垂足为G、由垂线段最短可知:当点E与点M重合时,即AE<时,FE有最小值,与函数图象不符,故A错误;由垂线段最短可知:当点E与点G重合时,即AEd>时,DE有最小值,故B正确;∵CE=AC﹣AE,CE随着AE的增大而减小,故C错误;由垂线段最短可知:当点E与点N重合时,即AE<时,BE有最小值,与函数图象不符,故D错误;应选:B、点评:此题主要考查的是动点问题的函数图象,根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键、【二】填空题〔共4小题,每题4分,总分值16分〕9、如图,扇形的半径为3cm,圆心角为120°,那么扇形的面积为3πcm2、〔结果保留π〕考点:扇形面积的计算、专题:压轴题、分析:知道扇形半径,圆心角,运用扇形面积公式就能求出、解答:解:由S=知S=×π×32=3πcm2、点评:此题主要考查扇形面积的计算,知道扇形面积计算公式S=、10、在某一时刻,测得一根高为2m的竹竿的影长为1m,同时测得一栋建筑物的影长为12m,那么这栋建筑物的高度为24m、考点:相似三角形的应用、分析:根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解、解答:解:设这栋建筑物的高度为xm,由题意得,=,解得x=24,即这栋建筑物的高度为24m、故答案为:24、点评:此题考查了相似三角形的应用,熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键、11、如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2,4〕,B〔1,1〕,那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2,x2=1、考点:二次函数的性质、专题:数形结合、分析:根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为,,于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解、解答:解:∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2,4〕,B〔1,1〕,∴方程组的解为,,即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2,x2=1、故答案为x1=﹣2,x2=1、点评:此题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣,〕,对称轴直线x=﹣、也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题、12、对于正整数n,定义F〔n〕=,其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如:F〔6〕=62=36,F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕,F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如:F1〔123〕=F〔123〕=10,F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求:F2〔4〕=37,F2018〔4〕=26;〔2〕假设F3m〔4〕=89,那么正整数m的最小值是6、考点:规律型:数字的变化类、专题:新定义、分析:通过观察前8个数据,可以得出规律,这些数字7个一个循环,根据这些规律计算即可、解答:解:〔1〕F2〔4〕=F〔F1〔4〕〕=F〔16〕=12+62=37;F1〔4〕=F〔4〕=16,F2〔4〕=37,F3〔4〕=58,F4〔4〕=89,F5〔4〕=145,F6〔4〕=26,F7〔4〕=40,F8〔4〕=16,通过观察发现,这些数字7个一个循环,2018是7的287倍余6,因此F2018〔4〕=26;〔2〕由〔1〕知,这些数字7个一个循环,F4〔4〕=89=F18〔4〕,因此3m=18,所以m=6、故答案为:〔1〕37,26;〔2〕6、点评:此题属于数字变化类的规律探究题,通过观察前几个数据可以得出规律,熟练找出变化规律是解题的关键、【三】解答题〔共13小题,总分值72分〕13、计算:〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值、专题:计算题、分析:原式第一项利用乘方的意义计算,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用零指数幂法那么计算,最后一项利用负指数幂法那么计算即可、解答:解:原式=﹣1+﹣1+2=、点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法那么是解此题的关键、14、如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,BE⊥AC于E,求证:△ACD∽△BCE、考点:相似三角形的判定、专题:证明题、分析:根据等腰三角形的性质,由AB=AC,D是BC中点得到AD⊥BC,易得∠ADC=∠BEC=90°,再加上公共角,于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论、解答:证明:∵AB=AC,D是BC中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠ADC=∠BEC,而∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE、点评:此题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相似、也考查了等腰三角形的性质、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根,求代数式的值、考点:一元二次方程的解、专题:计算题、分析:把x=m代入方程得到m2﹣2=3m,原式分子利用平方差公式化简,将m2﹣2=3m代入计算即可求出值、解答:解:把x=m代入方程得:m2﹣3m﹣2=0,即m2﹣2=3m,那么原式===3、点评:此题考查了一元二次方程的解,熟练掌握运算法那么是解此题的关键、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0,3〕,B〔2,3〕,求平移后的抛物线的表达式、考点:二次函数图象与几何变换、专题:计算题、分析:由于抛物线平移前后二次项系数不变,那么可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c,然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组,解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式、解答:解:设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c,把点A〔0,3〕,B〔2,3〕分别代入得,解得,所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3、点评:此题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式、17、如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A,B两点,A点的横坐标为2,AC⊥x轴于点C,连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式;〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点,且满足△OPC与△ABC的面积相等,请直接写出点P的坐标、考点:反比例函数与一次函数的交点问题、分析:〔1〕把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标,代入反比例函数解析式可求得k,可求得反比例函数解析式;〔2〕由条件可求得B、C的坐标,可先求得△ABC的面积,再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标、解答:解:〔1〕把x=2代入y=2x中,得y=2×2=4,∴点A坐标为〔2,4〕,∵点A在反比例函数y=的图象上,∴k=2×4=8,∴反比例函数的解析式为y=;〔2〕∵AC⊥OC,∴OC=2,∵A、B关于原点对称,∴B点坐标为〔﹣2,﹣4〕,∴B到OC的距离为4,∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8,∴S△OPC=8,设P点坐标为〔x,〕,那么P到OC的距离为||,∴×||×2=8,解得x=1或﹣1,∴P点坐标为〔1,8〕或〔﹣1,﹣8〕、点评:此题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题,在〔1〕中求得A点坐标、在〔2〕中求得P点到OC的距离是解题的关键、18、如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E、〔1〕求线段CD的长;〔2〕求cos∠ABE的值、考点:解直角三角形;勾股定理、专题:计算题、分析:〔1〕在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==,那么可计算出AB=10,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5;〔2〕在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6,在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC,那么S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,于是可计算出BE=,然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解、解答:解:〔1〕在△ABC中,∵∠ACB=90°,∴sinA==,而BC=8,∴AB=10,∵D是AB中点,∴CD=AB=5;〔2〕在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=8,∴AC==6,∵D是AB中点,∴BD=5,S△BDC=S△ADC,∴S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,∴BE==,在Rt△BDE中,cos∠DBE===,即cos∠ABE的值为、点评:此题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由元素求未知元素的过程就是解直角三角形、也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1,x2、〔1〕求m的取值范围;〔2〕假设x2<0,且>﹣1,求整数m的值、考点:根的判别式;根与系数的关系、专题:计算题、分析:〔1〕由二次项系数不为0,且根的判别式大于0,求出m的范围即可;〔2〕利用求根公式表示出方程的解,根据题意确定出m的范围,找出整数m的值即可、解答:解:〔1〕由得:m≠0且△=〔m+2〕2﹣8m=〔m﹣2〕2>0,那么m的范围为m≠0且m≠2;〔2〕方程解得:x=,即x=1或x=,∵x2<0,∴x2=<0,即m<0,∵>﹣1,∴>﹣1,即m>﹣2,∵m≠0且m≠2,∴﹣2<m<0,∵m为整数,∴m=﹣1、点评:此题考查了根的判别式,一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,据调查显示,每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数,且1≤x≤10〕;质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控,此工厂每天只生产一个档次的产品,当生产质量档次为x的产品时,当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式;〔2〕工厂为获得最大利润,应选择生产哪个档次的产品?并求出当天利润的最大值、考点:二次函数的应用、分析:〔1〕根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式;〔2〕由〔1〕的解析式转化为顶点式,由二次函数的性质就可以求出结论、解答:解:〔1〕由题意,得y=〔100﹣5x〕〔2x+4〕,y=﹣10x2+180x+400〔1≤x≤10的整数〕;答:y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400;〔2〕∵y=﹣10x2+180x+400,∴y=﹣10〔x﹣9〕2+1210、∵1≤x≤10的整数,∴x=9时,y最大=1210、答:工厂为获得最大利润,应选择生产9档次的产品,当天利润的最大值为1210万元、点评:此题考查了总利润=单件利润×销售量的运用,二次函数的解析式的运用,顶点式的运用,解答时求出函数的解析式是关键、21、如图,四边形ABCD是平行四边形,点A,B,C在⊙O上,AD与⊙O相切,射线AO交BC 于点E,交⊙O于点F、点P在射线AO上,且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证:直线PC是⊙O的切线;〔2〕假设AB=,AD=2,求线段PC的长、考点:切线的判定;勾股定理;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质、分析:〔1〕首先连接OC,由AD与⊙O相切,可得FA⊥AD,四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,然后由垂径定理可证得F是的中点,BE=CE,∠OEC=90°,又由∠PCB=2∠BAF,即可求得∠OCE+∠PCB=90°,继而证得直线PC是⊙O的切线;〔2〕首先由勾股定理可求得AE的长,然后设⊙O的半径为r,那么OC=OA=r,OE=3﹣r,那么可求得半径长,易得△OCE∽△CPE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得线段PC的长、解答:〔1〕证明:连接OC、∵AD与⊙O相切于点A,∴FA⊥AD、∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴FA⊥BC、∵FA经过圆心O,∴F是的中点,BE=CE,∠OEC=90°,∴∠COF=2∠BAF、∵∠PCB=2∠BAF,∴∠PCB=∠COF、∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°,∴∠OCE+∠PCB=90°、∴OC⊥PC、∵点C在⊙O上,∴直线PC是⊙O的切线、〔2〕解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=2、∴BE=CE=1、在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=,∴、设⊙O的半径为r,那么OC=OA=r,OE=3﹣r、在Rt△OCE中,∠OEC=90°,∴OC2=OE2+CE2、∴r2=〔3﹣r〕2+1、解得,∵∠COE=∠PCE,∠OEC=∠CEP=90°、∴△OCE∽△CPE,∴、∴、∴、点评:此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质、此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用、22、阅读下面材料:小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图,图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1,他发现一个有趣的问题:对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段,都可以在点阵中找到一点构造垂直,进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答:〔1〕如图1,A,B,C是点阵中的三个点,请在点阵中找到点D,作出线段CD,使得CD⊥AB;〔2〕如图2,线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值,小明在点阵中找到了点E,连接AE,恰好满足AE⊥CD于点F,再作出点阵中的其它线段,就可以构造相似三角形,经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算:OC=;tan∠AOD=5;解决问题:如图3,计算:tan∠AOD=、考点:相似形综合题、分析:〔1〕用三角板过C作AB的垂线,从而找到D的位置;〔2〕连接AC、DB、AD、DE、由△ACO∽△DBO求得CO的长,由等腰直角三角形的性质可以求出AF,DF的长,从而求出OF的长,在Rt△AFO中,根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值;〔3〕如图,连接AE、BF,那么AF=,AB=,由△AOE∽△BOF,可以求出AO=,在Rt△AOF中,可以求出OF=,故可求得tan∠AOD、解答:解:〔1〕如下图:线段CD即为所求、〔2〕如图2所示连接AC、DB、AD、∵AD=DE=2,∴AE=2、∵CD⊥AE,∴DF=AF=、∵AC∥BD,∴△ACO∽△DBO、∴CO:DO=2:3、∴CO=、∴DO=、∴OF=、tan∠AOD=、〔3〕如图3所示:根据图形可知:BF=2,AE=5、由勾股定理可知:AF==,AB==、∵FB∥AE,∴△AOE∽△BOF、∴AO:OB=AE:FB=5:2、∴AO=、在Rt△AOF中,OF==、∴tan∠AOD=、点评:此题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义,根据点阵图构造相似三角形是解题的关键、23、在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象经过点A〔1,4〕、B〔m,n〕、〔1〕求代数式mn的值;〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B,求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值;〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点,且该交点在直线y=x的下方,结合函数图象,求a的取值范围、考点:反比例函数综合题;代数式求值;反比例函数与一次函数的交点问题;二次函数的性质、专题:综合题;数形结合;分类讨论、分析:〔1〕只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题;〔2〕将点B的坐标代入y=〔x﹣1〕2得到n=m2﹣2m+1,先将代数式变形为mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n,然后只需将m2﹣2m+1用n代替,即可解决问题;〔3〕可先求出直线y=x与反比例函数y=交点C和D的坐标,然后分a>0和a<0两种情况讨论,先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值,再结合图象,利用二次函数的性质〔|a|越大,抛物线的开口越小〕就可解决问题、解答:解:〔1〕∵反比例函数y=的图象经过点A〔1,4〕、B〔m,n〕,∴k=mn=1×4=4,即代数式mn的值为4;〔2〕∵二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B,∴n=〔m﹣1〕2=m2﹣2m+1,∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8,即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8;〔3〕设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D,解,得:或,∴点C〔﹣2,﹣2〕,点D〔2,2〕、①假设a>0,如图1,当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点D时,有a〔2﹣1〕2=2,解得:a=2、∵|a|越大,抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小,∴结合图象可得:满足条件的a的范围是0<a<2;②假设a<0,如图2,当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点C时,有a〔﹣2﹣1〕2=﹣2,解得:a=﹣、∵|a|越大,抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小,∴结合图象可得:满足条件的a的范围是a<﹣、综上所述:满足条件的a的范围是0<a<2或a<﹣、点评:此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识,另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查,运用整体思想是解决第〔2〕小题的关键,考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第〔3〕小题的关键、24、如图1,在△ABC中,BC=4,以线段AB为边作△ABD,使得AD=BD,连接DC,再以DC 为边作△CDE,使得DC=DE,∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2,当∠ABC=45°且α=90°时,用等式表示线段AD,DE之间的数量关系;〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段EF,连接BF,AF、①假设α=90°,依题意补全图3,求线段AF的长;②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、考点:几何变换综合题、分析:〔1〕根据等腰直角三角形的性质得出即可;〔2〕①设DE与BC相交于点H,连接AE,交BC于点G,根据SAS推出△ADE≌△BDC,根据全等三角形的性质得出AE=BC,∠AED=∠BCD、求出∠AFE=45°,解直角三角形求出即可;②过E作EM⊥AF于M,根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME=,AM=FM,解直角三角形求出FM即可、解答:解:〔1〕AD+DE=4,理由是:如图1,∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°,AD=BD,DC=DE,∴AD+DE=BC=4;〔2〕①补全图形,如图2,设DE与BC相交于点H,连接AE,交BC于点G,∵∠ADB=∠CDE=90°,∴∠ADE=∠BDC,在△ADE与△BDC中,,∴△ADE≌△BDC,∴AE=BC,∠AED=∠BCD、∵DE与BC相交于点H,∴∠GHE=∠DHC,∴∠EGH=∠EDC=90°,∵线段CB沿着射线CE的方向平移,得到线段EF,∴EF=CB=4,EF∥CB,∴AE=EF,∵CB∥EF,∴∠AEF=∠EGH=90°,∵AE=EF,∠AEF=90°,∴∠AFE=45°,∴AF==4;②如图2,过E作EM⊥AF于M,∵由①知:AE=EF=BC,∴∠AEM=∠FME=,AM=FM,∴AF=2FM=EF×sin=8sin、点评:此题考查了全等三角形的性质和判定,解直角三角形,等腰三角形的性质,平移的性质的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键,综合性比较强,难度偏大、25、在平面直角坐标系xOy中,设点P〔x1,y1〕,Q〔x2,y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积:假设|x1﹣x2|的最大值为m,|y1﹣y2|的最大值为n,那么S=mn为图形W的测度面积、例如,假设图形W是半径为1的⊙O,当P,Q分别是⊙O与x轴的交点时,如图1,|x1﹣x2|取得最大值,且最大值m=2;当P,Q分别是⊙O与y轴的交点时,如图2,|y1﹣y2|取得最大值,且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1、①如图3,当点A,B在坐标轴上时,它的测度面积S=1;②如图4,当AB⊥x轴时,它的测度面积S=1;〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD,那么此图形的测度面积S的最大值为2;〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围、考点:圆的综合题、分析:〔1〕由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可;②利用等腰直角三角形的性质求出AC,AB,利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可;〔2〕先确定正方形有最大测度面积S时的图形,即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解、〔3〕分两种情况当A,B或B,C都在x轴上时,当顶点A,C都不在x轴上时分别求解即可、解答:解:〔1〕①如图3,。
北京市西城区九年级数学2018-2019学年上学期期末试卷(带答案解析)
;
②将抛物线 C1 向右平移使它经过点 F,此时得到的抛物线记为 C2,直接写出抛物线 C2 的
表达式.
24.
(6 分)如图,AB 是⊙O 的直径,△ABC 内接于⊙O.点 D 在⊙O 上,BD 平分∠ABC
交 AC 于点 E,DF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F.
(1)求证:FD 是⊙O 的切线;
23.
(6 分)如图,直线 l:y=﹣2x+m 与 x 轴交于点 A(﹣2,0)
,抛物线 C1:y=x2+4x+3
与 x 轴的一个交点为 B(点 B 在点 A 的左侧),过点 B 作 BD 垂直 x 轴交直线 l 于点 D.
(1)求 m 的值和点 B 的坐标;
(2)将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°,点 B,D 的对应点分别为点 E,F.
(x﹣4)
(2)
(x+2)>0 的解集为
②不等式(x﹣9)
(x﹣8)
(x﹣7)2>0 的解集为
.
.
26.
(6 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y=ax2﹣4ax+3a.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)当 a>0 时,设抛物线与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧)
,顶点为 C,若△ABC
A.
(3,5)
B.
(1,5)
【考点】H3:二次函数的性质.
)
C.
(3,1)
D.
(﹣1,5)
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【解答】解:因为 y=3(x﹣1)2+5 是抛物线的顶点式,
根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(1,5)
.
【精品初三期末试卷】2018-2019学年北京市西城区初三第一学期期末数学试卷+答案
北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷九年级数学2019.1一、选择题(本题共16分,每小题2分) 1. 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,如果AC =3,AB =5,那么sin B 等于( ).A .35B . 45C . 34D . 432.点1(1,)A y ,2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点,那么1y ,2y 的大小关系是( ).A .12y y >B .12y y =C .12y y <D .不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是( ). A .(4,5)-,开口向上 B .(4,5)-,开口向下 C .(4,5)--,开口向上 D .(4,5)--,开口向下4.圆心角为60︒,且半径为12的扇形的面积等于( ).A .48πB .24πC .4πD .2π 5.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,如果∠ACD =34°,那么∠BAD 等于( ). A .34° B .46° C .56° D .66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点,那么m 的取值范围是( ).A .m ≤4B .<4mC . m ≥4-D .>4m -7.如图,点P 在△ABC 的边AC 上,如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ,那么以下添加的条件中,不.正确的是( ). A .∠ABP =∠C B .∠APB =∠ABCC .2AB AP AC =⋅D .AB ACBP CB=8.如图,抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =, 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4,那么 该方程的另一个根为( ).A .4-B .2-C .1D . 3二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图,在△ABC 中,D ,E 两点分别在AB ,AC 边上,DE ∥BC ,如果23=DB AD ,AC =10,那么EC = .11. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,第一象限内的点(,)P x y 与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上,PC ⊥y 轴于点C ,PD ⊥x 轴于点D ,那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图,直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于(1,0)A -,(2,3)B -两点,那么当12y y >时,x 的取值范围是 .13. 如图,⊙O 的半径等于4,如果弦AB 所对的圆心角等于120︒,那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就,大家纷纷点赞“厉害了,我的国!”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家,世界前十座斜拉桥中,中国占七座,其中苏通长江大桥(如图1所示)主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中,两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布,大桥主跨BD 的中点为E ,最长的斜拉索CE 长577 m ,记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α,那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ,与x 轴交于A ,B 两点,其中点B 的坐标为(4,0)B ,抛物线的对称轴交x 轴于点D ,CE ∥AB ,并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论:①0a >;②0b >;③420a b c ++<;④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图,⊙O 的半径为3,A ,P 两点在⊙O 上,点B 在⊙O 内,4tan 3APB ∠=,AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ,那么OB 的长为 .三、解答题(本题共68分,第17-20题每小题5分,第21、22题每小题6分,第23、24题每小题5分,第25、26题每小题6分,第27、28题每小题7分)17.计算:22sin30cos 45tan60︒+︒-︒.18.如图,AB ∥CD ,AC 与BD 的交点为E ,∠ABE=∠ACB .(1)求证:△ABE ∽△ACB ;(2)如果AB=6,AE=4,求AC ,CD 的长.19.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线1C :22y x x =-+.(1)补全表格:抛物线顶点坐标 与x 轴交点坐标 与y 轴交点坐标22y x x =-+(1,1)(0,0)(2)将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ,请画出抛物线1C ,2C ,并直接回答:抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍.20.在△ABC 中,AB=AC=2,45BAC ∠=︒.将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度(0<α<180)得到△ADE ,B ,C 两点的对应点分别为点D ,E ,BD ,CE 所在直线交于点F . (1)当△ABC 旋转到图1位置时,∠CAD = (用α的代数式表示),BFC ∠的 度数为 ︒;(2)当α=45时,在图2中画出△ADE ,并求此时点A 到直线BE 的距离.21.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出,在不考虑空气阻力的条件下,小球的飞行高度h (m )与它的飞行时间t (s )满足二次函数关系,t 与h 的几组对应值如下表所示.t (s )0 0.5 1 1.5 2 … h (m )0 8.75 15 18.75 20…(1)求h 与t 之间的函数关系式(不要求写t 的取值范围); (2)求小球飞行3 s 时的高度;(3)问:小球的飞行高度能否达到22 m ?请说明理由.22.如图,在平面直角坐标系xOy 中,双曲线k y x =(k ≠0)与直线12y x =的交点为(,1)A a -,(2,)B b 两点,双曲线上一点P 的横坐标为1,直线P A ,PB 与x 轴的交点分别为点M ,N ,连接AN . (1)直接写出a ,k 的值;(2)求证:PM=PN ,PM PN ⊥.图1 图223.如图,线段BC 长为13,以C 为顶点,CB 为一边的α∠满足5cos 13α=.锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上,且 满足4sin 5A =.求△ABC 的高BD 及AB 边的长,并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边.(图中提供的单位长度供补全图形使用)24.如图,AB 是半圆的直径,过圆心O 作AB 的垂线,与弦AC 的延长线交于点D ,点E 在OD上,=DCE B ∠∠.(1)求证:CE 是半圆的切线;(2)若CD=10,2tan 3B =,求半圆的半径.25.已知抛物线G :221y x ax a =-+-(a 为常数). (1)当3a =时,用配方法求抛物线G 的顶点坐标; (2)若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q .①分别用含a 的代数式表示p ,q ;②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ; ③由①②可得,顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化,但点P 总落在 的图象上. A .一次函数 B .反比例函数 C .二次函数(3)小明想进一步对(2)中的问题进行如下改编:将(2)中的抛物线G 改为抛物 线H :22y x ax N =-+(a 为常数),其中N 为含a 的代数式,从而使这个新抛物线H 满足:无论a 取何值,它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式: (用含a 的代数式表示),它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+(k ,b 为常数,k ≠0)中,k= ,b= .26.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线M :2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -,且顶点坐标为(0,1)B .(1)求抛物线M 的函数表达式;(2)设(,0)F t 为x 轴正半轴...上一点,将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M . ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ;②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时,结合函数的图象,求t 的取值范围.27.如图1,在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,∠OAB =30°,点C 在线段OB 上,OC =2BC ,AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°.将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度(90°<α<180°)得到△OC D '',C ,D 两点的对应点分别为点C ',D ',连接AC ',BD ',取AC '的中点M ,连接OM . (1)如图2,当C D ''∥AB 时,α= °,此时OM 和BD '之间的位置关系为 ; (2)画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系,并加以证明.28.在平面直角坐标系xOy 中,A ,B 两点的坐标分别为(2,2)A ,(2,2)B -.对于给定的线段AB 及点P ,Q ,给出如下定义:若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部(不含边界),则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点. (1)已知点(4,1)P -.①在1(1,1)Q -,2(1,1)Q 两点中,是点P 关于线段AB 的内称点的是____________; ②若点M 在直线1y x =-上,且点M 是点P 关于线段AB 的内称点,求点M 的横坐标M x 的取值范围;(2)已知点(3,3)C ,⊙C 的半径为r ,点(4,0)D ,若点E 是点D 关于线段AB 的内称点,且满足直线DE 与⊙C 相切,求半径r 的取值范围.北京市西城区2018—2019学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准一、选择题(本题共16分,每小题2分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACABCCDB二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.(0,3). 10.4. 11.4.12.-1<x <2. 13.2.14.1154cos α(或2CE ·cos α). 15.②④. 16.1.三、解答题(本题共68分,第17—20题每小题5分,第21、22题每小题6分,第23、24题每小题5分,第25、26题每小题6分,第27、28题每小题7分) 17.解:2sin30°+cos 245°-tan60°.2122()322=⨯+-(3分)1132=+-(4分)332=-.(5分) 18.(1)证明:如图.∵∠ABE =∠ACB ,∠A =∠A , ∴△ABE ∽△ACB .(2分) (2)解:由(1)得AB AEAC AB=.(3分) ∴AB 2=AC ·AE . ∵AB =6,AE =4,∴29AB AC AE==.(4分) ∵AB ∥CD ,∴△CDE ∽△ABE .∴CD CE AB AE=.∴()651542AB CE AB AC AECDAE AE⋅⋅-⨯====.(5分)19.解:(1)(0,0),(2,0).(2分)(2)画图见图.(4分)2倍.(5分)20.解:(1)α-45°,45.(2分)(2)画图如图.(3分)连接BE,设AC与BE交于点G.由题意可知,∠BAC=∠CAE=45°,AB=AC=AE=2.∴∠BAE=90°,AG⊥BE,BG=EG.∴点A到直线BE的距离即为线段AG的长.(4分)∴2222BE ABAG===.(5分)∴当α=45°时,点A到直线BE的距离为2.21.解:(1)∵t=0时,h=0,∴设h与t的函数关系式为h=at2+bt(a≠0).(1分)∵t=1时,h=15;t=2时,h=20,∴15,4220.a ba b+=⎧⎨+=⎩(2分)解得5,20.ab=-⎧⎨=⎩(3分)∴h 与t 之间的函数关系式为h =-5t 2+20t .(4分)(2)小球飞行3秒时,t =3(s ),此时h =-5×32+20×3=15(m ).(5分)答:此时小球的高度为15m .(3)方法一:设t (s )时,小球的飞行高度达到22m .则-5t 2+20t =22.即5t 2-20t +22=0.∵Δ=(-20)2-4×5×22<0,∴此方程无实数根.所以小球的飞行高度不能达到22m .(6分)方法二:∵h =-5t 2+20t =-5(t -2)2+20,∴小球飞行的最大高度为20m .∵22>20,∴小球的飞行高度不能达到22m .(6分)22.解:(1)a =-2,k =2.(2分)(2)证明:∵双曲线2y x=上一点P 的横坐标为1. ∴点P 的坐标为P (1,2).(3分)∴直线PA ,PB 的函数表达式分别为y =x +1,y =-x +3.∴直线PA ,PB 与x 轴的交点坐标分别为M (-1,0),N (3,0). ∴22PM =,22PN =,MN =4.(4分)∴PM =PN ,(5分)PM 2+PN 2=MN 2.∴∠MPN =90°.∴PM ⊥PN .(6分)说明:其他正确的解法相应给分.23.解:如图,作BD ⊥l 于点D .(1分)∴Rt △CBD 中,∠CDB =90°,BC =13,5cos cos 13C α==, ∴5cos 13513CD BC C =⋅=⨯=,(2分) 222213512BD BC CD =-=-=.(3分) 在Rt △ABD 中,∠ADB =90°,BD =12,4sin 5A =,∴12154sin 5BD AB A===.(4分) 1294tan 3BD AD A ===. 作图:以点D 为圆心,9为半径作弧与射线l 交于点A ,连接AB .(5分)24.(1)证明:如图,连接OC .∵AB 是半圆的直径,AC 是半圆的弦,∴∠ACB =90°.(1分)∵点D 在弦AC 的延长线上,∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE +∠BCE =90°.∵OC =OB ,∴∠BCO =∠B .∵∠DCE =∠B ,∴∠BCO +∠BCE =90°,即∠OCE =90°.(2分)∴CE ⊥OC .∴CE 是半圆的切线.(3分)(2)解:设半圆的半径长为r .在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,2tan 3B =, 设AC =2k ,则BC =3k ,2213AB AC BC k =+=. ∴2sin 1313AC B AB ==. ∵OD ⊥AB ,∴∠D +∠A =90°.∵AB 是半圆的直径.∴∠ACB =90°,∠B +∠A =90°.∴∠D =∠B . ∴2sin sin 1313D B ==. 在Rt △AOD 中,∠AOD =90°,2sin 1313D =,又∵CD =10, ∴132132(210)13OA k AD k ==+. ∴13k =4(2k +10).解得k =8.经检验,k =8是原方程的解. ∴134132r k ==.(5分) 25.解:(1)当a =3时,抛物线G 为y =x 2-6x +2.∴y =x 2-6x +2=x 2-2×3x +32-32+2=(x -3)2-7.(1分)此时抛物线G 的顶点坐标为(3,-7).(2分)(2)①y =x 2-2ax +a -1=(x 2-2ax +a 2)-a 2+a -1=(x -a )2-a 2+a -1.∵抛物线G 的顶点坐标为P (p ,q ),∴2, 1.p a q a a =⎧⎨=-+-⎩(3分) ②由①得q =-p 2+p -1.(4分)③C .(5分)(3)答案不唯一,如新抛物线H 的函数表达式为y =x 2-2ax +a 2+a ,k =1,b =0.(6分)26.解:(1)∵抛物线M 的顶点坐标为B (0,1),∴设抛物线M 的函数表达式为y =ax 2+1.(1分)∵抛物线M 经过点A (-1,0),∴a ×(-1)2+1=0.解得a =-1.(2分)∴抛物线M 的函数表达式为y =-x 2+1.(3分)(2)①B 1(2t ,-1).(4分)②由题意可知抛物线M 1的顶点B 1的坐标为B 1(2t ,-1),二次项系数为1,∴抛物线M 1的函数表达式为y =(x -2t )2-1(t >0).当抛物线M 1经过点A (-1,0)时(如图),(-1-2t )2-1=0.解得t 1=-1,t 2=0.当抛物线M 1经过点B (0,1)时(如图),(2t )2-1=1. 解得22t =±.结合图象分析,因为t >0,所以当抛物线M 1与线段AB 有公共点时,t 的取值范围是202t <≤.(6分)27.解:(1)150.(1分)OM ⊥BD ′.(2分)(2)OM ⊥BD ′,32OM BD '=. 证明:如图,取AO 的中点E ,连接ME ,延长MO 交BD ′于点N .∵E ,M 分别为AO ,AC ′的中点,∴EM ∥OC ′,2OC EM '=. ∴∠OEM +∠AOC ′=180°.∵∠AOB =∠C ′OD ′=90°,∴∠BOD ′+∠AOC ′=180°.∴∠OEM =∠BOD ′.①(3分)∵∠OAB =∠OC ′D ′=30°, ∴3232AOEO AO OB OB OC EM OC OD OD ===='''', 即EO EM OB OD ='.②(4分) 由①②得△EOM ∽△OBD ′.(5分)∴∠1=∠2,322OM EO AO BD OB OB ===',即32OM BD '=.(6分) ∵点N 是MO 的延长线与BD ′的交点,∠AOB =90°,∴∠1+∠3=180°-∠AOB =90°.∴∠2+∠3=90°.∴OM ⊥BD ′.(7分)说明:其他正确的解法相应给分.28.解:(1)①Q 1.(见图)(1分)②如图,点P (4,-1)关于AB 所在直线的对称点为P ′(0,-1),(2分)此时点P ′恰好在直线y =x -1上.∵点M 是点P 关于线段AB 的内称点,∴点M 关于AB 所在直线的对称点M ′落在△ABP 的内部(不含边界).又∵点M 在直线y =x -1上,∴点M 应在线段P ′G 上(点G 为线段AB 与直线y =x -1的交点),且不与两个端点P ′,G 重合. ∴0<x M <2.(3分)(2)如图.∵点E 是点D 关于线段AB 的内称点,∴点E 关于AB 所在直线的对称点E ′应在△ABD 的内部(不含边界).∵点D 关于AB 所在直线的对称点为原点O ,∴点E 应在△ABO 的内部(不含边界).(4分)∵A (2,2),C (3,3),D (4,0), 可得2AC =,22AD =,10CD =.∴AC 2+AD 2=CD 2.∴∠CAD =90°.∴AC ⊥AD .此时直线DA 与以AC 为半径的⊙C 相切,半径2AC =.(5分)当直线DE 与以CD 为半径的⊙C 相切,D 为切点时,⊙C 的半径最大,最大值为10. ∴符合题意的⊙C 的半径r 的取值范围是210r <≤.(7分)。
2018-2019学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷解析版
2018-2019学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共16.0分)1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是中心对称图形的是A.B.C. D.【答案】D【解析】解:A 、不是中心对称图形,本选项错误; B 、不是中心对称图形,本选项错误; C 、不是中心对称图形,本选项错误; D 、是中心对称图形,本选项正确. 故选:D .根据中心对称图形的概念求解即可.本题考查了中心对称图形的概念 中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.2. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则 的值是A.B.C. D.【答案】A【解析】解:由图可得,直角三角形的斜边长 , ,故选:A .锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做 的正弦,即 的对边除以斜边.本题主要考查了锐角三角函数的定义,我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做 的正弦,记作 .3. 反比例函数的图象位于A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限【答案】B【解析】解: 反比例函数中 , 此函数的图象位于一、三象限. 故选:B .直接根据反比例函数的性质进行解答即可.本题考查的是反比例函数的性质,即反比例函数的图象是双曲线;当时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内y随x的增大而减小.4.如图,点A、B、C都在上,若,则的度数为A.B.C.D.【答案】C【解析】解:,.故选:C.根据圆周角定理,由,即可推出结果.本题主要考查圆周角定理,关键在于运用数形结合的思想进行认真分析.5.在平面直角坐标系xoy中,各顶点的坐标分别为:,,,以原点O为位似中心,相似比为2,将放大,若B点的对应点的坐标为,则A点的对应点坐标为A.B.C.D.【答案】A【解析】解:如图所示:相似比为2,,故选:A.利用位似图形的性质得出对应点坐标,进而得出答案.此题主要考查了位似变换,根据图形变换的性质得出对应点坐标是解题关键.6.如图,在平行四边形ABCD中,点E在DC边上,连接AE,交BD于点F,若DE::1,则的面积与的面积之比为A. 3:4B. 9:16C. 9:1D. 3:1【答案】B【解析】解:四边形ABCD是平行四边形,,,∽ ,::1,::4,.故选:B.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题.本题考查平行四边形的性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.7.将抛物线绕原点O旋转,则旋转后的抛物线的解析式为A. B. C. D.【答案】D【解析】解:抛物线的顶点坐标为,点关于原点O的对称点的坐标为,此时旋转后抛物线的开口方向相反,所以旋转后的抛物线的解析式为.故选:D.先确定抛物线线的顶点坐标为,再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点变换后所得对应点的坐标为,然后利用顶点式写出旋转后抛物线.本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.8.当n为400时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为,所以大豆发芽的概率是;随着试验时大豆的粒数的增加,大豆发芽的频率总在附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计大豆发芽的概率是;若大豆粒数n为4000,估计大豆发芽的粒数大约为3800粒.其中推断合理的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解:当时,发芽的大豆粒数为382,发芽的频率为,所以大豆发芽的概率大约是,此推断错误;根据上表当每批粒数足够大时,频率逐渐接近于,所以估计大豆发芽的概率是,此推断正确;若n为4000,估计大豆发芽的粒数大约为粒,此结论正确.故选:D.根据表中信息,当每批粒数足够大时,频率逐渐接近于,由于试验次数较多,可以用频率估计概率.本题主要考查利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为:频率所求情况数与总情况数之比.二、填空题(本大题共8小题,共16.0分)9.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新,标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列大桥全长近汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式为______【答案】【解析】解:大桥全长近55km,汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式为,故答案为:.依据行程问题中的关系:时间路程速度,即可得到汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系式.本题主要考查了函数关系式,用来表示函数关系的等式叫做函数解析式,也称为函数关系式.10.如图,身高米的小丽在阳光下的影长为2米,在同一时刻,一棵大树的影长为8米,则这棵树的高度为______米【答案】【解析】解:同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似,,,米.故答案为.在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.本题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.11.请你写出一个二次函数,其图象满足条件:开口向下;与y轴的交点坐标为此二次函数的解析式可以是______.【答案】答案不唯一【解析】解:设二次函数的解析式为.抛物线开口向下,.抛物线与y轴的交点坐标为,.取,时,二次函数的解析式为.故答案为:答案不唯一.根据二次函数的性质可得出,利用二次函数图象上点的坐标特征可得出,取,即可得出结论.本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征,利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征,找出,是解题的关键.12.如图,AB为的直径,弦于点E,已知,,则的半径为______.【答案】5【解析】解:连接OD,于点E,直径AB过O,,,由勾股定理得:,即的半径为5.故答案为:5.连接OD,根据垂径定理求出DE,根据勾股定理求出OD即可.本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键.13.如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC夹角为,AB的长为18cm,BD的长为9cm,则的长为______cm.【答案】【解析】解:,,,的长.故答案为.利用弧长公式计算即可.本题考查弧长公式:为扇形的圆心角,r为扇形的半径,解题的关键是记住弧长公式,属于中考常考题型.14.如图,是由绕点O顺时针旋转后得到的图形,若点D恰好落在AB上,且,则的度数是______.【答案】【解析】解:的度数为,由旋转可得,,中,,,中,,由旋转可得,,故答案为:.先根据的度数和的度数,可得的度数,再根据中,,可得的度数,进而得出中的度数,可得的度数.本题考查旋转的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用旋转的性质解答.15.如图,以等边的一边AB为直径的半圆O交AC于点D,交BC于点E,若,则阴影部分的面积是______.【答案】【解析】解:如图,连接OD,OE,DE.是等边三角形,,,,都是等边三角形,,,是等边三角形,,弓形DE与弓形BE的面积相等,,是等边三角形,,阴故答案为.如图,连接OD,OE,证明阴即可解决问题.本题考查圆周角定理,扇形的面积公式,三角形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.16.如图,在中,,将绕顶点C逆时针旋转得到,M是BC的中点,N是的中点,连接MN,若,,则线段MN的最大值为______.【答案】6【解析】解:连接CN.在中,,,,,,,,,的最大值为6,故答案为6.连接根据直角三角形斜边中线的性质求出,利用三角形的三边关系即可解决问题.本题考查旋转的性质,直角三角形斜边中线的性质,三角形的三边关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.三、计算题(本大题共2小题,共10.0分)17.计算:【答案】解:.【解析】依据、、角的各种三角函数值,代入计算即可.本题主要考查了特殊角的三角函数值,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.18.如图,在中,点D在AB边上,,求证: ∽ ;若,求AC的长.【答案】解:,,∽解: ∽,,,,.【解析】根据相似三角形的判定即可求出答案.根据相似三角形的性质即可求出答案.本题考查相似三角形,解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定,本题属于基础题型.四、解答题(本大题共10小题,共58.0分)19.下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程已知:平行四边形ABCD.求作:,垂足为点E.作法:如图,分别以点A和点B为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点;作直线PQ,交AB于点O;以点O为圆心,OA长为半径做圆,交线段BC于点E;连接AE.所以线段AE就是所求作的高.根据小明设计的尺规作图过程使用直尺和圆规,补全图形;保留作图痕迹完成下面的证明证明:,______,为线段AB的垂直平分线.为AB中点.为直径,与线段BC交于点E,____________填推理的依据.【答案】BQ90 直径所对的圆周角是直角【解析】解:图形如图所示:理由:连接AQ,BQ,AP,BP.,,为线段AB的垂直平分线,为AB中点,为直径,与线段BC交于点E,直径所对的圆周角是直角,.故答案为:BQ,90,直径所对的圆周角是直角.根据要求画出图形即可解决问题;只要证明即可解决问题;本题考查线段垂直平分线的性质,作图复杂作图等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.20.京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式京剧表演中,经常用脸谱象征人物的性格,品质,甚至角色和命运如红脸代表忠心耿直,黑脸代表强悍勇猛现有三张不透明的卡片,其中两张卡片的正面图案为“红脸”,另外一张卡片的正面图案为“黑脸”,卡片除正面图案不同外,其余均相同,将这三张卡片背面向上洗匀,从中随机抽取一张,记录图案后放回,重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法,求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率图案为“红脸”的两张卡片分别记为、,图案为“黑脸”的卡片记为【答案】解:画树状图为:由树状图可知,所有可能出现的结果共有9种,其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种,所以两张都是“红脸”,答:抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是.【解析】根据题意画出树状图,求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数,再根据概率公式计算即可.此题主要考查了概率的求法用到的知识点为数状图和概率,概率所求情况数与总情况数之比,关键是根据题意画出树状图.21.已知二次函数自变量x的部分取值及对应的函数值y如表所示:求此二次函数的表达式.【答案】解:当时,;当时,,二次函数图象的对称轴为直线,即.将,,代入,得:,解得:,此二次函数的表达式为.【解析】由当和时y值相等,利用二次函数的性质即可求出二次函数图象的对称轴;根据表格中的数据找出点的坐标,再利用待定系数法即可求出二次函数表达式.本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式,解题的关键是:利用二次函数图象的对称性找出二次函数图象的对称轴;根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数表达式.22.如图,一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于,B两点,与x轴交于点C.求a,k的值及点B的坐标;若点P在x轴上,且,直接写出点P的坐标.【答案】解:把点代入,得,把代入反比例函数;反比例函数的表达式为联立两个函数的表达式得解得或点B的坐标为;当时,得点设点P的坐标为,解得,点或.【解析】利用点A在上求a,进而代入反比例函数求k,然后联立方程求出交点,设出点P坐标表示三角形面积,求出P点坐标.本题是一次函数和反比例函数综合题,考查利用方程思想求函数解析式,通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达.23.某广场有一个小型喷泉,水流从垂直于地面的水管OA喷出,OA长为米水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上,某方向上抛物线路径的形状如图所示,落点B到O的距离为3米建立平面直角坐标系,水流喷出的高度米与水平距离米之间近似满足函数关系.求y与x之间的函数关系式;求水流喷出的最大高度.【答案】解:由题意可得,抛物线经过点和,把上述两个点坐标代入二次函数表达式得:,解得:,则函数表达式为:;,故函数有最大值,当时,y取得最大值,此时,答:水流喷出的最大高度为2米.【解析】由题意可得,抛物线经过点和,把上述两个点坐标代入二次函数表达式,即可求解;,故当时,y取得最大值.本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用,要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.24.如图,已知中,,E为AB上一点,以AE为直径作与BC相切于点D,连接ED并延长交AC的延长线于点F.求证:;若,,求BE的长.【答案】证明:连接OD,切于点D,,,又,,,,,,;∽ ,,,,即,.【解析】连接OD,根据切线的性质得到,根据平行线的判定定理得到,求得,根据等腰三角形的性质得到,等量代换得到,于是得到结论;根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.本题考查了切线的性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.25.有这样一个问题:探究函数的图象与性质小彤根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下面是小彤探究的过程,请补充完整:函数的自变量x的取值范围是______;则的值为;如图所示,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出了图象的一部分,请根据剩余的点补全此函数的图象;观察图象,写出该函数的一条性质______;若函数的图象上有三个点、、,且,则、、之间的大小关系为______;【答案】当时y随x的增大而减小答案不唯一【解析】解:,;当时,;如图所示:由图象可得,当时,y随x的增大而减小答案不唯一;由图象可得,当时,;当时,.、、之间的大小关系为.故答案为:;;当时,y随x的增大而减小;.依据函数表达式中分母不等于0,即可得到自变量x的取值范围;把代入函数解析式,即可得到m的值;依据各点的坐标描点连线,即可得到函数图象;依据函数图象,即可得到函数的增减性;依据函数图象,即可得到当时,;当时,.本题主要考查了反比例函数的图象与性质,用描点法画反比例函数的图象,步骤:列表---描点---连线连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线.26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的表达式为,线段AB的两个端点分别为,.若抛物线经过原点,求出m的值;求抛物线顶点C的坐标用含有m的代数式表示;若抛物线与线段AB恰有一个公共点,结合函数图象,求出m的取值范围.【答案】解:抛物线经过原点,,解得,;,顶点C的坐标为;由顶点C的坐标可知,抛物线的顶点C在直线上移动.当抛物线过点A时,或1;当抛物线过点B时,或5.所以时,抛物线与线段AB有两个公共点,不符合题意.结合函数的图象可知,m的取值范围为且.【解析】将,代入,得到关于m的方程,解方程即可求出m的值;利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式,进而求出顶点C的坐标;由所求顶点C的坐标可知,抛物线的顶点C在直线上移动分别求出抛物线过点A、点B时,m的值,画出此时函数的图象,结合图象即可求出m的取值范围.本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,直线与抛物线的位置关系,提现了转化思想和数形结合思想的应用.27.如图,M为正方形ABCD内一点,点N在AD边上,且,点E为MN的中点,点P为DE的中点,连接MP并延长到点F,使得,连接DF.依题意补全图形;求证:;连接AM,用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明.【答案】解:如右图所示;点P为线段DE的中点,在和中,≌ ,,为MN的中点,,,,;结论:,证明:连接AF,由可知: ≌ ,,,,在正方形ABCD中,,,又,,又,,,在和中,,≌ ,,,,为等腰直角三角形,又,.【解析】根据题意可以画出完整的图形;由,点E为MN的中点可知,要证明,只要证明即可,要证明,只要证明 ≌ 即可,然后根据题目中的条件和全等三角形的判定即可证明结论成立;首先写出线段PM和AM的数量关系,然后根据题意作出合适的辅助线,利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质即可证明结论成立.本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以原点为圆心,1为半径的,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M到的“圆距离”,记作记线段AB为图形M,其中,,求;记函数的图象为图形M,且,直接写出k的取值范围;记为图形M,其中,,,且,直接写出t的值.【答案】解:如下图所示由题意得:点A、点B关于y轴对称,则:,即:;如下图所示,当时,过点O作,交圆于点Q,由题意得:,即:,则,,即:,则,点N的坐标为,把点N的坐标代入直线表达式得:,解得:,而,故:;当时,如下图所示,过点O作交于点D,过点E作x轴的垂线交于点G、交CD于点N,则,,,即:,,由题意得:,,则:,,,解得:,当时,同理可得:,当时,,即当时,t的值为0或或.【解析】如下图所示,由题意得:点A、点B关于y轴对称,即可求解;如下图所示,当时,过点O作,交圆于点Q,则:,则,即可求解;分、、三种情况,求解即可.本题为圆的综合题,属于阅读理解型题目,关键是通过正确画图,确定图形间的位置关系.。
2018-2019北京西城区九年级初三数学第一学期期末考试试题含答案
ECB2019 年北京市西城区初三期末数学试卷数 学一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分) 第 1—8 题均有四个选项,符合题意的选项只.有.一个. 1. 抛物线 y = 3(x -1)2 + 5 的顶点坐标是A .(3,5)B . (1,5)C .(3,1)D .(-1,5) 2. 如果4x =3y ,那么下列结论正确的是A . x = yB . x = yC .x = 4 D . x = 4, y 3 4 4 3y 3 3. 如图,圆的两条弦 AB ,CD 相交于点 E ,且AD = C B ,∠A =40︒,则∠CEB 的度数为AA . 50︒B .80︒ DC . 70︒D .90︒ 4. 下列关于二次函数 y = 2x 2 的说法正确的是A . 它的图象经过点(-1,-2)B . 它的图象的对称轴是直线x = 2C . 当x < 0 时,y 随 x 的增大而减小D . 当x = 0 时,y 有最大值为 05. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于点 D .若 BC =24,cos B = 12,则 AD 的长为A13 A .12 B .10 BDCC .6D .5FD OB6. 如图,△ABC 的内切圆O 与 AB ,BC ,CA 分别相切于点D ,E ,F ,且 AD = 2,BC = 5 ,则△ABC 的周长为 AA .16B .14C .12D .10 CE7. 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容:题目测量铁塔顶端到地面的高度FF测量目标示意图ADAD αHβB C EBCE相关数据CD = 10m ,=45︒, =50︒设铁塔顶端到地面的高度FE 为x m ,根据以上条件,可以列出的方程为A . x = (x -10) tan 50︒B . x = (x -10) cos50︒C . x -10 = x tan 50︒D .x = (x +10)sin 50︒ 8. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点(-2,0),且对称轴为直线x = 1,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论:① ac > 0 ;②16a + 4b + c = 0 ;③若m > n > 0 ,则 x = 1+ m时的函数值大于x = 1 - n 时的函数值;④点(-在此抛物线上.其中正确结论的序号是 c , 0) 一定2aA .①②B .②③C .②④D .③④D EAOByOxBA二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分) 9. 如图所示的网格是正方形网格,点 A ,O ,B都在格点上, tan ∠AOB 的值为 .10. 请写出一个开口向下,且与 y 轴的交点坐标为(0, 2) 的抛物线的表达式: .11. 如图,在△ABC 中,点 D ,E 分别在 AB ,AC 上,且 DE ∥BC .若AD = 2, AB = 3 , DE = 4 ,则BC 的长为 .ABC12. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为 200°,且它的喷灌区域是一个扇形.若它能喷灌的扇形草坪面积为5 平方米,则这个扇形的半径是米.13. 如图,抛物线 y = ax 2 + bx 与直线 y = mx + n 相交于点 A (-3, -6) ,B (1,-2) ,则关于x 的方程ax 2 + bx = mx + n 的解为 .AOD 14. 如图,舞台地面上有一段以点 O 为圆心的 AB ,某同学要站在 AB的中点 C 的位置上.于是他想:只要从点 OAB出发,沿着与弦AB 垂直的方向走到 AB 上,O就能找到 AB 的中点C .老师肯定了他的想法.(1) 请按照这位同学的想法,在图中画出点 C ;(2) 这位同学确定点C 所用方法的依据是 .15. 如图,矩形纸片 ABCD 中, AB > AD ,E ,F 分别是 AB ,DC 的中点,将矩形 ABCD 沿 EF 所在直线对折,若 A E B 得到的两个小矩形都和矩形 ABCD 相似,则用等式表示 AB 与 AD 的数量关系为FC.16. 如图,O 的半径是 5,点 A 在O 上.P 是O 所在平面内一点,且 AP = 2 ,过点 P 作直线 l ,使 l ⊥PA . (1) 点 O 到直线 l 距离的最大值为 ; (2) 若 M ,N 是直线 l 与O 的公共点,则当线段 MN 的长度最大时,OP 的长 为.三、解答题(本题共 68 分,第 17-22 题,每小题 5 分,第 23-26 题, 每小题 6 分,第 27,28 题,每小题 7 分)解答应写出文字说明、演 算步骤或证明过程.17.计算: 4sin 30︒ -2 cos 45︒ + tan 2 60︒ .18.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,∠B=∠ACB,点E,F 分别在AB,BC 上,且∠EFB=∠D.(1)求证:△EFB∽△CDA;(2)若AB=20,AD=5,BF=4,求EB 的长.A DEB F C19.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示:x …-3 -2 -1 0 1 …y …0 -3 -4 -3 0 …(1)求这个二次函数的表达式;(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;(3)当-4 <x <-2 时,直接写出y 的取值范围.y1O 1 x2 yO x20.如图,四边形 ABCD 内接于 O ,OC =4,AC = 4 .(1) 求点 O 到 AC 的距离; (2) 求∠ADC 的度数.A21. 一名同学推铅球,铅球出手后行进过程中离地面的高度 y (单位:m ) 与水平距离 x ( 单位: m ) 近似满足函数关系 y = - 1 x 2 + 2x + c ,其图象如图所示.已知铅球落地时的水平距离12 3 为 10m . (1) 求铅球出手时离地面的高度;(2) 在铅球行进过程中,当它离地面的高度为11m 时,求此时12铅球的水平距离.DCOB122. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC ,BD 交于点 O ,以 OC ,OD 为邻边作平行四边形 OCED ,连接 OE .(1) 求证:四边形 OBCE 是平行四边形;(2) 连接 BE 交 AC 于点 F . 若 AB =2,∠AOB =60°,求 BF 的长.ADEBC23.如图,直线 l : y = -2x + m 与 x 轴交于点 A (-2,0),抛物线C : y = x 2 + 4x + 3 与 x 轴的一个交点为 B (点 B 在点 A 的左侧),过点 B 作 BD 垂直 x 轴交直线 l 于点 D . (1) 求 m 的值和点 B 的坐标; (2) 将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°,点 B ,D 的对应点分别为点 E ,F .①点 F 的坐标为 ;②将抛物线C 1 向右平移使它经过点 F ,此时得到的抛物线记为C 2 ,直接写出抛物线C 2 的表达式.yDB A O xO24.如图,AB 是O 的直径,△ABC 内接于O .点 D 在O 上,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 E ,DF ⊥BC 交 BC 的延长线于点 F . (1) 求证:FD 是O 的切线;(2) 若BD = 8 , sin ∠DBF = 3,求 DE 的长.5AF25.小明利用函数与不等式的关系,对形如( x - x 1 )( x - x 2 )( x - x n ) > 0(n 为正整数)的不等式的解法进行了探究. (1) 下面是小明的探究过程,请.补.充.完.整.:①对于不等式x - 3 > 0 ,观察函数 y = x - 3 的图象可以得到如下表格:由表格可知不等式x - 3 > 0 的解集为x > 3. ②对于不等式( x - 3)( x - 1) > 0 ,观察函数 y = ( x - 3)( x -1) 的图象可以得到如下表格: DOBE Cx 的范围x > 3x < 3y 的符号+ -x 的范围 x > 31 < x < 3x < 1y 的符号+ -+由表格可知不等式( x - 3)( x - 1) > 0 的解集为.③对于不等式( x - 3)( x - 1)( x + 1) > 0 ,请根据已描出的点画出函数 y = ( x - 3)( x - 1)( x + 1) 的图象;y-1 O 13 x观察函数 y = ( x - 3)( x - 1)( x + 1) 的图象补全下面的表格:x 的范围 x > 31 < x < 3-1 < x < 1x < -1y 的符号+-由表格可知不等式( x - 3)( x - 1)( x + 1) > 0 的解集为.小明将上述探究过程总结如下:对于解形如( x - x 1 )( x - x 2 )( x - x n ) > 0(n 为正整数)的不等式,先将x 1 ,x 2 ,x n 按从大到小的顺序排列, 再划分 x 的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中 y 的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集.(2) 请你参考小明的方法,解决下列问题:①不等式( x - 6)( x - 4)( x - 2)( x + 2) > 0 的解集为. ②不等式( x - 9)( x - 8)( x - 7)2> 0 的解集为.y 5 4 3 2 1–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5 x26.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y =ax2 - 4ax + 3a .(1)求抛物线的对称轴;(2)当a > 0 时,设抛物线与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 左侧),顶点为C,若△ABC 为等边三角形,求a 的值;(3)过T (0,t )(其中-1 ≤t ≤ 2 )且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M,N 两点. 若对于满足条件的任意t 值,线段MN 的长都不小于1,结合函数图象,直接写出a 的取值范围.2 A27.如图,在△ABC 中,AB =AC .△ADE ∽△ABC ,连接 BD ,CE . (1)判断 BD 与 CE 的数量关系,并证明你的结论;(2)若 AB =2,AD = 2 ,∠BAC =105°,∠CAD =30°.①BD 的 长 为 ;②点 P ,Q 分别为 BC ,DE 的中点,连接 PQ ,写出求 PQ 长的思路.EDBCylDC1 O1Ex28.在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P 和图形 W ,如果以 P 为端点的任.意.一条射.线.与图形 W 最多只有一个公共点,那么称点 P 独立于图形 W .(1)如图 1,已知点 A ( -2 ,0),以原点 O 为圆心,OA 长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 B .在 P 1(0,4),P 2(0,1),P (3 0,-3 ),P (4 4,0)这四个点中,独立于的点是 ;图1图2(2)如图 2,已知点 C ( -3 ,0),D (0,3),E (3,0),点 P是直线 l : y = 2x + 8 上的一个动点.若点 P 独立于折线CD -DE ,求点 P 的横坐标 x p 的取值范围;y1 AOBx1yHK1 OT1xLNM(3)如图 3,⊙H 是以点 H (0,4)为圆心,半径为 1 的圆. 点 T (0,t )在 y 轴上且 t > -3 ,以点 T 为中心的正方形KLMN 的顶点 K 的坐标为(0, t + 3 ),将正方形 KLMN 在 x轴及 x 轴上方的部分记为图形 W .若⊙H 上的所有点都独立于图形 W ,直接写出 t 的取值范围.图32 CO2019 年北京市西城区初三年级数学期末考试试卷答案2019.1一、选择题(本题共 16 分,每小题 2 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BABCDBAC二、填空题(本题共 16 分,每小题 2 分)9. 1210. y = -x 2 + 2 (答案不唯一) 11.6 12.3 13.x 1 = -3 , x 2 = 114.(1) AB(2)垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的两条弧15. AB = 2 AD16.(1)7; (2) 三、解答题(本题共 68 分,第 17~22 题,每小题 5 分,第 23~26 题, 每小题 6 分,第 27,28 题,每小题 7 分)解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 4sin 30︒ - 2 cos 45︒ + tan 2 60︒原式= 4 ⨯ 1 - ⨯ 2 + 2 2= 2 -1 + 3 = 43)221(y1O 1x18.(1)∵AB =AC∴∠B =∠ACB ∵AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB ∴∠B =∠DAC ∵∠D =∠EFB ∴△EFB ∽△CDA (2)∵△EFB ∽△CDA∴ BE = BF AC AD∵AB =AC =20,AD =5,BF =4 ∴BE =1619.(1)由二次函数对称性可知,二次函数顶点为(-1,-4)设二次函数解析式为 y = a ( x + 1)2- 4 将(1,0)带入解析式得:a =1∴ y = x 2 + 2x - 3(2)如图;(3) -3 < y < 5OC 2 - MC 220.(1)作 OM ⊥AC 于 M∵OM ⊥AC ,AC = 4∴AM =MC = 2 ∵OC =4∴OM = = 2 (2)连接 OA∵OM =MC ,∠OMC =90° ∴∠MOC =∠MCO =45° ∵OA =OC ∴∠OAM =45° ∴∠AOC =90° ∴∠B =45°∵∠D +∠B =180°∴∠D =135°21.(1)将(10,0)带入 y = - 1x 2 + 2 x + c 得: c = 5∴高度为5.3 12 3 3(2)将 y = 11 带入 y = - 1 x 2 + 2 x + 5 得: 11 = - 1 x 2 + 2 x + 512 12 3 3 12 12 3 3整理得: x 2 - 8x - 9 = 0解得: x 1 = 9, x 2 = -1 (舍去) ∴水平距离为 9m.222OF22.(1)∵四边形 ABCD 为矩形∴OA =OB =OC =OD∵四边形 OCED 为平行四边形 ∴四边形 OCED 为菱形 ∴CE ∥OD ,CE =OD ∵OD =OB∴CE ∥OB ,CE =OB∴四边形 OBCE 为平行四边形(2)过 F 作 FM ⊥BC 于 M ,过 O 作 ON ⊥BC 于 N∵FM ⊥BC ,ON ⊥BC∴ON ∥FM A D∵AO =OC E∴ON = 12AB =1BNMC∵OF =FC∴FM = 12ON = 12∵∠AOB =60°,OA =OB∴∠OAB =60°,∠ACB =30° 在 Rt △ABC 中: ∵AB =2,∠ACB =30°∴BC = 2 在 Rt △CFM 中:3BM 2 +FM 2yDE FB A O x∵∠ACB=30°,FM=12∴CM=32∴BM=BC-CM=∴BF= =23.(1)将A(-2,0)代入y =-2x +m 得:m=-4.在y =x2 + 4x + 3 中,令y=0 得:0 =(x+ 3)(x + 1)解得:x1=-3, x2=-1∵点B 在点A 的左侧∴B(-3,0)(2)①如图F(0,1)②y1=x2 + 2 2x + 1或y =x2 - 2 2x + 124.(1)连接OD∵BD 平分∠ABC∴∠ABD=∠DBF∵OB=OD∴∠ABD=∠ODB∴∠DBF=∠ODB∵∠DBF+∠BDF=90°∴∠ODB+∠BDF=90°∴∠ODF=90°3 3271∴FD 是O 的切线(2)连接AD∵AB 是直径∴∠ADE=90°∵BD 平分∠ABC∴∠DBF=∠ABD在Rt△ABD 中,BD=8∵sin ∠ABD = sin ∠DBF =35∴AD=6∵∠DAC=∠DBC3∴sin∠DAC=sin∠DBC =53在Rt△ADE 中,AD=6,sin∠DAC =59∴DE=225.(1)②x > 3 或x <1;③如图y-1 O13xx 的范围x > 3 1 <x < 3 -1 <x < 1 x <-1 y 的符号+ - + -⎨ ⎩-1 < x < 1或x > 3(2)① x < -2 或2 < x < 4 或x > 6② x < 8 或x > 9 且x ≠ 726.(1)x = - b 2a = - -4a = 2 2a (2)y = ax 2 - 4ax + 3a = a ( x -1)( x - 3) ∴ A (1,0), B (3,0) ,C (2,-a ) ∵a > 0 ∴-a < 0 ∵△ABC 为等边三角形,∴ C (2, - 3 )∴ -a = -∴ a =(3)a ≤ - 8 或a ≥ 4 3 327.(1)BD =CE .证明:∵AB =AC ,△ADE ∽△ABC , ∴AD =AE ,∠BAC =∠DAE .∵∠BAC+∠CAD =∠DAE+∠CAD , ∴∠BAD =∠CAE . 在△ABD 和△ACE 中,⎧ AB = AC ⎪∠BAD = ∠CAE ⎪ AD = AE 33 y5 4 32 1 –5 –4 –3 –2 –1 O–1 –2–3 –4 –5 3 ( ,2)2B 4 5 x( 2 ,-1) C3A 1 2 32 MQA∴△ABD ≌△ACE (SAS )∴BD =CE . (2)① 2②连接AP 、AQ . E∵AB =AC ,AD =AE ,P 、Q 分别为 BC 、DE 的中点,∴AP ⊥BC ,AQ ⊥DE . D∵∠BAC =∠DAE =105°, BP C∴∠BAP =∠CAP = 1∠BAC =52.5°,2 ∠DAQ = 1∠DAE =52.5°.2在Rt △ABP 中,AP =AB ·cos ∠BAP =2 cos52.5°;在Rt △ADQ 中,AQ =AD ·cos ∠DAQ = 2 cos52.5°.∵∠PAQ =∠CAP+∠DAQ+∠CAD =52.5°+52.5°+30°=135°, 作 QM ⊥PA 的延长线于 M ,∴∠MAQ =45°.∴MQ =MA =2 AQ .2∵MP =MA +AP ,在Rt △PMQ 中, PQ =即可求出 PQ .5 MQ 2 + MP 22 2 2⎩⎩ 28.(1)P 2,P 3.(2)由 C ( -3 ,0),D (0,3),E (3,0)可得:直线 CD 的解析式 y = x + 3 ;直线 DE 的解析式 y = - x + 3 .⎧ y = 2x + 8 由⎨ y = x + 3 ⎧ y = 2x + 8 ,可得直线 l 与直线 CD 交点横坐标 x = -5 ; x = - 5由⎨ y = - x + 3 ,可得直线 l 与直线 DE 交点横坐标 3 .∴ x < -5 或 x > - 5. pp 3(3) -3 < t < 1 - 或1 + < t < 7 - .。
《试卷3份集锦》北京市某中学2018-2019年九年级上学期期末学业水平测试数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.如图,点D 在以AC 为直径的⊙O 上,如果∠BDC =20°,那么∠ACB 的度数为( )A .20°B .40°C .60°D .70°【答案】D 【分析】由AC 为⊙O 的直径,可得∠ABC =90°,根据圆周角定理即可求得答案.【详解】∵AC 为⊙O 的直径,∴∠ABC =90°,∵∠BAC =∠BDC =20°,∴9070ACB BAC ∠=︒-∠=︒.故选:D .【点睛】本题考查了圆周角定理,正确理解直径所对的圆周角是直角,同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键.2.下列四对图形中,是相似图形的是( )A .任意两个三角形B .任意两个等腰三角形C .任意两个直角三角形D .任意两个等边三角形 【答案】D【分析】根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,对题中条件一一分析,排除错误答案.【详解】解:A 、任意两个三角形,形状不确定,不一定是相似图形,故A 错误;B 、任意两个等腰三角形,形状不确定,不一定是相似图形,故B 错误;C 、任意两个直角三角形,直角边的长度不确定,不一定是相似图形,故C 错误;D 、任意两个等边三角形,形状相同,但大小不一定相同,符合相似形的定义,故D 正确; 故选:D.【点睛】本题考查的是相似形的识别,关键要联系实际,根据相似图形的定义得出.3.已知3x =4y (x ≠0),则下列比例式成立的是( )【解析】根据比例的基本性质:内项之积等于外项之积,逐项判断即可.【详解】A 、由3x =4y 得4x =3y ,故本选项错误; B 、由3y =4x得3x =4y ,故本选项正确; C 、由3y =4x 得xy =12,故本选项错误; D 、由x y =34得4x =3y ,故本选项错误; 故选:B .【点睛】本题考查了比例的基本性质,熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键.4.下列由几何图形组合的图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A .B .C .D . 【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案.【详解】解:A 、既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项符合题意;B 、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故本选项不符合题意;C 、是中心对称图形,但不是轴对称图形,故本选项不符合题意;D 、是中心对称图形,但不是轴对称图形,故本选项不符合题意.故选:A .【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义,属于应知应会题型,熟知二者的概念是解题关键. 5.如图,⊙O 的半径为5,△ABC 是⊙O 的内接三角形,连接OB 、OC .若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦BC 的长为()【分析】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ,由垂径定理可得BC=2BD ,又由圆周角定理,可求得∠BOC 的度数,然后根据等腰三角形的性质,求得∠OBC 的度数,利用余弦函数,即可求得答案.【详解】过点O 作OD ⊥BC 于D ,则BC=2BD ,∵△ABC 内接于⊙O ,∠BAC 与∠BOC 互补,∴∠BOC=2∠A ,∠BOC+∠A=180°,∴∠BOC=120°,∵OB=OC ,∴∠OBC=∠OCB=(180°-∠BOC )=30°,∵⊙O 的半径为5,∴BD=OB •cos ∠OBC=353522⨯=, ∴BC=53,故选C .【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等,添加辅助线构造直角三角形进行解题是关键.6.在下面的计算程序中,若输入x 的值为1,则输出结果为( ).A .2B .6C .42D .12【答案】C【分析】根据程序框图,计算(1)x x +,直至计算结果大于等于10即可.【详解】当1x =时,(1)122x x +=⨯=,继续运行程序,当2x =时,(1)236x x +=⨯=,继续运行程序,当6x =时,(1)6742x x +=⨯=,输出结果为42,本题考查利用程序框图计算代数式的值,按照程序运算的规则进行计算是解题的关键.7.下列图形中,不是轴对称图形的是()A.B.C.D.【答案】A【分析】根据轴对称图形概念进行解答即可.【详解】解:A、不是轴对称图形,符合题意;B、是轴对称图形,不合题意;C、是轴对称图形,不合题意;D、是轴对称图形,不合题意;故选:A.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴;轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形叫做轴对称图形.8.如图,矩形EFGO的两边在坐标轴上,点O为平面直角坐标系的原点,以y轴上的某一点为位似中心,作位似图形ABCD,且点B,F的坐标分别为(﹣4,4),(2,1),则位似中心的坐标为()A.(0,3)B.(0,2.5)C.(0,2)D.(0,1.5)【答案】C【解析】如图,连接BF交y轴于P,∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形,点B,F的坐标分别为(-4,4),(2,1),∴点C的坐标为(0,4),点G的坐标为(0,1),∴12 GP GFPC BC==,∴GP=1,PC=2,∴点P的坐标为(0,2),故选C.【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质,掌握如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心是解题的关键.9.一个口袋中有红球、白球共10个,这些球除颜色外都相同,将口袋中的球搅拌均匀,从中随机模出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸了100次球,发现有80次摸到红球,则口袋中红球的个数大约有()A.8个B.7个C.3个D.2个【答案】A【分析】根据利用频率估计概率可估计摸到红球的概率,即可求出红球的个数.【详解】解:∵共摸了100次球,发现有80次摸到红球,∴摸到红球的概率估计为0.80,∴口袋中红球的个数大约10×0.80=8(个),故选:A.【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识,属于常考题型,掌握计算的方法是关键.10.某中学篮球队12名队员的年龄情况如下:则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( )A.15,16 B.15,15 C.15,15.5 D.16,15【答案】C【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得.【详解】解:∵这组数据中15出现5次,次数最多,∴众数为15岁,∴中位数为(1516)2+÷=15.5岁,故选:C.【点睛】本题考查众数与中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错;众数是一组数据中出现次数最多的数.11.下列二次根式中,是最简二次根式的是()A.12B.11C.27D.3a【答案】B【分析】根据最简二次根式概念即可解题.【详解】解:A. 12=22,错误,B. 11是最简二次根式,正确,C. 27=33,错误,D. 3a=a a,错误,故选B.【点睛】本题考查了最简二次根式的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.12.如图,某停车场人口的栏杆,从水平位置AB绕点O旋转到A'B′的位置已知AO=4m,若栏杆的旋转角∠AOA′=50°时,栏杆A端升高的高度是()A.4sin50︒B.4sin50°C.4cos50︒D.4cos50°【答案】B【分析】过点A'作AO的垂线,则垂线段为高度h,可知AO= A'O,则高度h= A'O×sin50°,即为答案B. 【详解】解:栏杆A端升高的高度=AO•sin∠AOA′=4×sin50°,故选:B.二、填空题(本题包括8个小题)13.如果△ABC∽△DEF,且△ABC的三边长分别为4、5、6,△DEF的最短边长为12,那么△DEF的周长等于_____.【答案】1【分析】根据题意求出△ABC的周长,根据相似三角形的性质列式计算即可.【详解】解:设△DEF的周长别为x,△ABC的三边长分别为4、5、6,∴△ABC的周长=4+5+6=15,∵△ABC∽△DEF,∴415 12x=,解得,x=1,故答案为1.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键.14.小刚要测量一旗杆的高度,他发现旗杆的影子恰好落在一栋楼上,如图,此时测得地面上的影长为8米,楼面上的影长为2米.同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则旗杆的高度为_______米.【答案】1【分析】直接利用已知构造三角形,利用同一时刻,实际物体与影长成比例进而得出答案.【详解】如图所示:由题意可得,DE=2米,BE=CD=8米,∵同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,∴1 82 AB,解得:AB=4,故旗杆的高度AC为1米.故答案为:1.【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用,正确构造三角形是解题关键.15.抛物线y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示,则当y <0时,x 的取值范围是_____.【答案】x <﹣1或x >1.【分析】利用二次函数的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0),然后写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可.【详解】∵抛物线的对称轴为直线1x =,而抛物线与x 轴的一个交点坐标为(-1,0),∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0),∴当0y <时,x 的取值范围为1x <-或3x >.故答案为:1x <-或3x >.【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.16.如图,在△ABC 中,中线BF 、CE 交于点G ,且CE ⊥BF ,如果5AG =,6BF =,那么线段CE 的长是______.【答案】92【分析】根据题意得到点G 是△ABC 的重心,根据重心的性质得到DG=12AD ,CG=23CE ,BG=23BF ,D 是BC 的中点,由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BC=5,再根据勾股定理求出GC 即可解答..【详解】解:延长AG 交BC 于D 点,∵中线BF 、CE 交于点G ,∵△ABC 的两条中线AD 、CE 交于点G ,∴点G 是△ABC 的重心,D 是BC 的中点,∴AG=23AD ,CG=23CE ,BG=23BF , ∵5AG =,6BF =,∴52DG =,4BG =. ∵CE ⊥BF ,即∠BGC=90°,∴BC=2DG=5,在Rt△BGC 中,CG=2222=54=3BC BG --,∴3922CG CG ==, 故答案为:92. 【点睛】 本题考查的是三角形的重心的概念和性质,三角形的重心是三角形三条中线的交点,且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.理解三角形重心的性质是解题的关键.17.在ABC ∆中,90C ∠=︒,8AB =,3cos 4A =,则AC 的长是__________. 【答案】1【分析】根据∠A 的余弦值列出比例式即可求出AC 的长.【详解】解:在Rt △ABC 中,3cos 4AC A AB ==,8AB = ∴AC=338644AB =⨯= 故答案为1.此题考查是已知一个角的余弦值,求直角三角形的边长,掌握余弦的定义是解决此题的关键. 18.如图,123l l l ,如果2AB =,4BC =,3DE =,那么DF =___________.【答案】1【分析】由于l 1∥l 2∥l 3,根据平行线分线段成比例得到AB DE AC DF =,然后把数值代入求出DF . 【详解】解:∵l 1∥l 2∥l 3,∴ AB DE AC DF=, 即2324DF=+ , ∴DE=1.故答案为:1【点睛】本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.三、解答题(本题包括8个小题)19.如图①,在ABC ∆与ADE ∆中,AB AC =,AD AE =.(1)BD 与CE 的数量关系是:BD ______CE .(2)把图①中的ABC ∆绕点A 旋转一定的角度,得到如图②所示的图形.①求证:BD CE =.②若延长DB 交EC 于点F ,则DFE ∠与DAE ∠的数量关系是什么?并说明理由.的取值范围.【答案】(1)=;(2)①详见解析;②DFE DAE ∠=∠,理由详见解析;(3)313BD .【分析】(1)根据线段的和差定义即可解决问题;(2)①②只要证明DAB EAC ∆∆≌,即可解决问题;(3)由三角形的三边关系即可解决问题【详解】解:(1)=(2)①证明:由旋转的性质,得DAE BAC ∠=∠.∴DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠,即DAB EAC ∠=∠.∵AB AC =,AD AE =,∴DAB EAC ∆∆≌.∴BD CE =.②DFE DAE ∠=∠.理由:∵DAB EAC ∆∆≌,∴ADB AEC ∠=∠.∵AOD EOF ∠=∠,∴180180ADB AOD AEC EOF ︒-∠-∠=︒-∠-∠,∴DFE DAE ∠=∠.(3)313BD .【点睛】本题考查了三角形全等的证明和三角形三边之间的关系,注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握 20.周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱,猕猴桃成熟上市后,她记录了15天的销售数量和销售单价,其中销售单价y (元/千克)与时间第x 天(x 为整数)的数量关系如图所示,日销量P (千克)与时间第x 天(x 为整数)的部分对应值如下表所示:(1)求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)从你学过的函数中,选择合适的函数类型刻画P 随x 的变化规律,请直接写出P 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;(3)求出销售额W 在哪一天达到最大,最大销售额是多少元?【答案】(1)14y x =-+;(2)20300,(110)1001500,(1015)x x p x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩(x 取整数);(3)第10天销售额达到最大,最大销售额是4500元 【分析】(1)是分段函数,利用待定系数法可得y 与x 的函数关系式;(2)从表格中的数据上看,是成一次函数,且也是分段函数,同理可得p 与x 的函数关系式; (3)根据销售额=销量×销售单价,列函数关系式,并配方可得结论.【详解】解:(1)① 当15x ≤≤时,设y kx b =+(0k ≠),把点(0,14),(5,9)代入y kx b =+, 得1495b k b =⎧⎨=+⎩ ,解得:114k b =-⎧⎨=⎩, ∴14y x =-+;②当515x <≤时,9y = ,∴14,(15)9(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨<≤⎩,(x 取整数); (2)∴20300,(110)1001500,(1015)x x p x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩(x 取整数); (3)设销售额为W 元,①当15x ≤≤时,2(14)(20300)20204200W x x x x =-++=--+=2120()42052x -++, ∴当1x =时,2120(1)420541602W =-++=最大值; ②当510x <≤时,9(20300)1802700W x x =+=+,∴当10x =时,=18010+2700=4500W ⨯最大值;③当1015x <≤时,9(1001500)90013500W x x =-+=-+,∴当11x =时,=90011135003600W -⨯+=最大值,综上所述:第10天销售额达到最大,最大销售额是4500元;【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.21.如图,某小区规划在一个长16m ,宽9m 的矩形场地ABCD 上,修建同样宽的小路,使其中两条与AB 平行,另一条与AD 平行,其余部分种草,若草坪部分总面积为112m 2,求小路的宽.【答案】小路的宽为2m.【解析】如果设小路的宽度为xm,那么整个草坪的长为(2﹣2x)m,宽为(9﹣x)m,根据题意即可得出方程.【详解】设小路的宽度为xm,那么整个草坪的长为(2﹣2x)m,宽为(9﹣x)m.根据题意得:(2﹣2x)(9﹣x)=222解得:x2=2,x2=2.∵2>9,∴x=2不符合题意,舍去,∴x=2.答:小路的宽为2m.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,弄清“整个草坪的长和宽”是解决本题的关键.22.已知二次函数y=(x-1)2+n的部分点坐标如下表所示:(1)求该二次函数解析式;(2)完成上表,并在平面直角坐标系中画出函数图象【答案】(1)y=(x-1)2+1;(2)填表见解析,图象见解析.【分析】(1)将(2,2)代入y=(x-1)2+n求得n的值即可得解;(2)再由函数解析式计算出表格内各项,然后再画出函数图象即可.【详解】(1)∵二次函数y=(x-1)2+n,当x=2时,y=2,∴2=(2-1)2+n,解得n=1,∴该二次函数的解析式为y=(x-1)2+1.(2)填表得x ⋯⋯-1 0 1 2 3 ⋯⋯y ⋯⋯ 5 2 1 2 5 ⋯⋯画出函数图象如图:【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象与性质,二次函数图象上点的坐标特征,正确求出函数解析式是解题的关键.23.如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在⊙O 上,∠DAB=45°,BC ∥AD ,CD ∥AB .(1)判断直线CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O 的半径为1,求图中阴影部分的面积(结果保留π).【答案】(1)直线CD 与⊙O 相切(1)231312424ππ-⨯=- 【解析】(1)直线CD 与⊙O 相切.如图,连接OD .∵OA=OD ,∠DAB=45°,∴∠ODA=45°,∴∠AOD=90°.∵CD ∥AB ,∴∠ODC=∠AOD=90°,即OD ⊥CD .又∵点D 在⊙O 上,直线CD 与⊙O 相切.(1)∵BC ∥AD ,CD ∥AB ,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴CD=AB=1.∴S 梯形OBCD=()?(12)13222OB CD OD ++⨯==, ∴图中阴影部分的面积为S 梯形OBCD -S 扇形OBD= 231312424ππ-⨯=- 24.小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象,下表与下图是他所完成的部分表格与图象,求该二次函数的解析式,并补全表格与图象.【答案】245y x x =-++,(4,1),(1,0)【详解】分析:利用待定系数法、描点法即可解决问题;本题解析:设二次函数的解析式y=ax²+bx+c . 把(-1,0)(0,1),(2,9)代得到05429a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴二次数解析式y=-x +4x+1.当x=4时,y=1,当y=0时,x=-1或1.25.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB ,BC 各为多少米?【答案】羊圈的边长AB ,BC 分别是20米、20米.【解析】试题分析:设AB 的长度为x 米,则BC 的长度为(100﹣4x )米;然后根据矩形的面积公式列出方程.试题解析:设AB 的长度为x 米,则BC 的长度为(100﹣4x )米. 根据题意得 (100﹣4x )x=400, 解得 x 1=20,x 2=1. 则100﹣4x=20或100﹣4x=2. ∵2>21, ∴x 2=1舍去. 即AB=20,BC=20 考点:一元二次方程的应用.26.如图,某中学准备在校园里利用院墙的一段再用40米长的篱笆围三面,形成一个矩形花园ABCD (院墙MN 长25米).(1)设AB x =米,则BC =___________米;(2)若矩形花园的面积为150平方米,求篱笆AB 的长.【答案】(1)402x -;(2)15米【分析】(1)根据题意知道BC 的长度=篱笆总长-2AB 列出式子即可;(2)根据(1)中的代数式列出方程,解方程即可.【详解】解:(1)()402x -,(2)根据题意得方程:()402150x x -=,解得:15=x ,215x =,当15=x 时,4023025x -=>(不合题意,舍去),当215x =时,4021025x -=<(符合题意).答:花园面积为150米2时,篱笆AB 长为15米.【点睛】本题主要考察列代数式、一元二次方程的应用,注意篱笆只围三面有一面是墙.27.如图1,抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于点A(- 4,0)和点B ,交y 轴于点C(0,4).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图2,设点Q 是线段AC 上的一动点,作DQ ⊥x 轴,交抛物线于点D ,当△ADC 面积有最大值时,在抛物线对称轴上找一点M ,使DM+AM 的值最小,求出此时M 的坐标;(3)点Q 在直线AC 上的运动过程中,是否存在点Q ,使△BQC 为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】 (1)2y 34x x =--+;(2)点M 的坐标为M(32-,5);(3)存在,Q(342,3442+)或(34-2,344-2)或(-3,1)或(177-66,). 【分析】(1)将A(- 4,0)、C(0,4)代入y=﹣x 2+bx+c 中即可得;(2)直线AC 的解析式为:4AC y x =+,表达出DQ 的长度,及△ADC 的面积,根据二次函数的性质得出△ADC 面积的最大值,从而得出D 点坐标,作点D 关于对称轴对称的点,确定点M ,使DM+AM 的值最小;(3)△BQC 为等腰三角形,则表达出三边,并对三边进行分类讨论,计算得出Q 点的坐标即可.【详解】解:(1)将A(- 4,0)、C(0,4)代入y=﹣x 2+bx+c 中得16404b c c --+=⎧⎨=⎩,解得3,4b c =-= , ∴2y 34x x =--+,(2)直线AC 的解析式为:4AC y x =+设Q(m ,m+4) ,则 D(m ,234m m --+)DQ=(234m m --+)- (m+4)= 24m m -- 2214-m 42(2)82ADC S m m ∆=⨯-=-++() 当m=-2时,面积有最大值此时点D 的坐标为D(-2,6),D 点关于对称轴32x =-对称的点D 1(-1,6) 直线AD 1的解析式为:128AD y x =+ 当32x =-时,32()852M y =⨯-+= 所以,点M 的坐标为M(32-,5) (3)∵4AC y x =+,∴设Q(t,t+4),由2340x x --+=得14x =-,21x =,∴B(1,0),∴BC ==QC ==BQ ==,△BQC 为等腰三角形①当BC=QC =1t =2t =∴Q(2,42+)或(-2,4-2);②当BQ=QC =176t =-, ∴Q(17766-,);③当BQ=BC =,解得t=-3,∴Q(-3,1);综上所述,若△BQC 为等腰三角形,则,4+或(,或(-3,1)或(177-66,). 【点睛】本题考查二次函数与最短路径,面积最大值,动点存在性等几何的综合应用,难度较大,解题的关键是能够灵活运用二次函数的性质及几何知识.九年级上学期期末数学试卷一、选择题(本题包括10个小题,每小题只有一个选项符合题意)1.若△ABC 与△DEF 相似,相似比为2:3,则这两个三角形的面积比为( )A .2:3B .3:2C .4:9D .9:4 【答案】C【分析】由△ABC 与△DEF 相似,相似比为2:3,根据相似三角形的性质,即可求得答案.【详解】∵△ABC 与△DEF 相似,相似比为2:3,∴这两个三角形的面积比为4:1.故选C .【点睛】此题考查了相似三角形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.2.将二次函数2y x 4x 1=--化为()2y x h k =-+的形式,结果为( )A .()2y x 25=++B .()2y x 25=+-C .()2y x 25=-+D .()2y x 25=-- 【答案】D【分析】化22414441y x x x x =--=-+--,再根据完全平方公式分解因式即可.【详解】∵22414441y x x x x =--=-+--∴2(2)5y x =--故选D.【点睛】 解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式:,注意当二次项系数为1时,常数项等于一次项系数一半的平方.3.由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示,从正面看这个几何体得到的平面图形是( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】根据题意,由题目的结构特点,依据题目的已知条件,正视图是有两行,第一行两个,第二行三个且右对齐,从而得出答案.即可得到题目的结论.【详解】从正面看到的平面图形是:,故选A.【点睛】此题主要考查的是简单的组合体的三视图等有关知识,题目比较简单,通过考查,了解学生对简单的组合体的三视图等知识的掌握程度.熟练掌握简单的组合体的三视图是解决本题的关键.4.从﹣1,0,1,2,3这五个数中,任意选一个数记为m,能使关于x的不等式组222x mx m-≤⎧⎨-≤⎩有解,并且使一元二次方程(m﹣1)x2+2mx+m+2=0有实数根的数m的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据一元一次不等式组可求出m的范围,根据判别式即可求出答案.【详解】解:∵222 x mx m-≤⎧⎨-≤⎩∴2﹣2m≤x≤2+m,由题意可知:2﹣2m≤2+m,∴m≥0,∵由于一元二次方程(m﹣1)x2+2mx+m+2=0有实数根,∴△=4m2﹣4(m﹣1)(m+2)=8﹣4m≥0,∴m≤2,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m的取值范围为:0≤m≤2且m≠1,∴m=0或2故选:B.【点睛】本题考查不等式组的解法以及一元二次方程,解题的关键是熟练运用根的判别式.5.如图,AB为O的直径,点C在O上,若AB=4,=22AC,则O到AC的距离为( )A .1B .2C .2D .22【答案】C【分析】连接OC ,BC,过点O 作OD ⊥AC 于D ,可得OD//BC ,利用平行线段成比例可知12AD AO AC AB == 和AD=122AC =,利用勾股定理,可得222AD OD OA ,列出方程222(2)2OD +=, 即可求出OD 的长.【详解】解:连接OC ,BC,过点O 作OD ⊥AC 于D , ∴∠ADO=90°,∵AB 为O 的直径,AB=4,=22AC ,∴∠ACB=90°,OA=OC=122AB =, ∴OD//BC,∴12AD AO AC AB ==, ∴AD=122AC =在t R ADO ∆中,222AD OD OA ,∴2222)2OD +=, 解得2; 故选C. 【点睛】本题主要考查了平行线段成比例,勾股定理,掌握平行线段成比例,勾股定理是解题的关键. 6.下列条件中,一定能判断两个等腰三角形相似的是( ) A .都含有一个40°的内角 B .都含有一个50°的内角 C .都含有一个60°的内角 D .都含有一个70°的内角【答案】C【解析】试题解析:因为A,B,D 给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角,所以不对应,则不能判定两个等腰三角形相似;故A ,B ,D 错误;C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形,所有的等边三角形相似,故C 正确. 故选C.7有意义的条件是( )A .2x ≠-B .2x >-C .2x ≥-D .0x ≠【答案】B【分析】根据二次根式和分式成立的条件得到关于x 的不等式,求解即可.【详解】解:由题意得20x +≥, 解得2x ->. 故选:B 【点睛】本题考查了代数式有意义的条件,一般情况下,若代数式有意义,则分式的分母不等于1,二次根式被开方数大于等于1.8.从﹣1,0,1三个数中任取两个不同的数作为点的坐标,则该点在坐标轴上的概率为( ) A .13B .12C .23D .34【答案】C【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出刚好在坐标轴上的点个数,即可求出所求的概率. 【详解】解:根据题意列表如下:所有等可能的情况有6种,其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种, 所以该点在坐标轴上的概率=4263=; 故选:C . 【点睛】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ,再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ,然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率.也考查了点的坐标特征. 9.如图,菱形ABCD 与等边△AEF 的边长相等,且E 、F 分别在BC 、CD ,则∠BAD 的度数是( )A.80°B.90°C.100°D.120°【答案】C【解析】试题分析:根据菱形的性质推出∠B=∠D,AD∥BC,根据平行线的性质得出∠DAB+∠B=180°,根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=60°,AF=AD,根据等边对等角得出∠B=∠AEB,∠D=∠AFD,设∠BAE=∠FAD=x,根据三角形的内角和定理得出方程x+2(180°﹣60°﹣2x)=180°,求出方程的解即可求出答案.解:∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AD∥BC,∴∠DAB+∠B=180°,∵△AEF是等边三角形,AE=AB,∴∠AEF=∠AFE=60°,AF=AD,∴∠B=∠AEB,∠D=∠AFD,由三角形的内角和定理得:∠BAE=∠FAD,设∠BAE=∠FAD=x,则∠D=∠AFD=180°﹣∠EAF﹣(∠BAE+∠FAD)=180°﹣60°﹣2x,∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°,∴x+2(180°﹣60°﹣2x)=180°,解得:x=20°,∴∠BAD=2×20°+60°=100°,故选C.考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.10.某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的宽为x米,根据题意可列方程为()A.x(x﹣12)=200 B.2x+2(x﹣12)=200C.x(x+12)=200 D.2x+2(x+12)=200【解析】解:∵宽为x,长为x+12,∴x(x+12)=1.故选C.11.如图,一个游戏转盘中,红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒,90︒,210︒.让转盘自由转动,指针停止后落在黄色区域的概率是()A.16B.14C.13D.712【答案】B【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例,这个比例即为所求的概率.【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°,所以黄区域所占的面积比例为901= 3604,即转动圆盘一次,指针停在黄区域的概率是14,故选B.【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中,考查学生对简单几何概型的掌握情况,既避免了单纯依靠公式机械计算的做法,又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用,体现了数学学科的基础性.用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比.12.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.【详解】(1)是轴对称图形,不是中心对称图形.不符合题意;(2)不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;(3)是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;(4)是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形关键是要寻找对称中心,图形旋转180°后与原图重合.二、填空题(本题包括8个小题)13.正六边形的中心角为_____;当它的半径为1时,边心距为_____.【答案】60°3 2【分析】首先根据题意作出图形,然后可得△AOB是等边三角形,然后由三角函数的性质,求得OH的长即可得答案.【详解】如图所示:∵六边形ABCDE是正六边形,∴∠AOB=3606=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=OB=AB=1,作OM⊥AB于点M,∵OA=1,∠OAB=60°,∴OM=OA•sin60°=1×32=32.【点睛】本题考查正多边形和圆及解直角三角形,正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角;正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距;熟记特殊角的三角函数值及三角函数的定义是解题关键.14.方程(x﹣3)(x+2)=0的根是_____.【答案】x=3或x=﹣1.【解析】由乘法法则知,(x﹣3)(x+1)=0,则x-3=0或x+1=0,解这两个一元一次方程可求出x的值. 【详解】∵(x﹣3)(x+1)=0,∴x-3=0或x+1=0,∴x=3或x=﹣1.故答案为:x=3或x=﹣1. 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想). 15.若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1=0的一个根,则6m 2﹣9m +2020的值为_____. 【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案. 【详解】解:由题意可知:2m 2﹣3m ﹣1=0, ∴2m 2﹣3m =1,∴原式=3(2m 2﹣3m )+2020=3+2020=1. 故答案为:1. 【点睛】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义,本题属于基础题型. 16.若关于x 的方程21(1)7a a x +--=0是一元二次方程,则a =____.【答案】﹣1.【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值. 【详解】解:∵关于x 的方程(a ﹣1)xa2+1﹣7=0是一元二次方程, ∴a 2+1=2,且a ﹣1≠0, 解得,a =﹣1. 故答案为﹣1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax 2+bx+c=0(且a ≠0).17.如图,菱形的ABCD 边长为4,60DAB ∠=︒,E 为BC 的中点,在对角线AC 上存在一点P ,使PBE ∆的周长最小,则PBE ∆的周长的最小值为__________.。
2018-2019学年九年级上册期末试卷2019学年北京市丰台答案
丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习初三数学参考答案一、选择题(本题共16分,每小题2分)二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.56; 10. 3︰2; 11. 2m >即可; 12. 70; 13.4; 14. (1,4)-; 15. 3.12; 16.不正确; EF GH 、平分的不是弧AM 、弧BM 所对的弦.三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题6分,第27,28题,每小题7分)17. 解: 1122+⨯原式. ...............…........3分11+ ...…….................4分……......................5分 18. 解:(1)-1; ...............…..........2分(2)略. .................…..........5分 19. 解:(1)证明:∵∠ADE =∠ACB , ∠A =∠A ,∴△ADE ∽△ACB . .................…..........2分(2)由(1)知△ADE ∽△ACB ,∴AD AE AC AB=. ∵点E 是AC 的中点,设AE =x , ∴22AC AE x ==. ∵AD =8,AB =10, ∴8210x x =.解得x =.∴AE =. .................…..........5分20.解:(1)由题意,得A (2,2) . ∵反比例函数xky =的图象经过点A , ∴4k =.∴反比例函数的表达式4y x=. .................…..........2分(2)040k k <≤≤<或-4. .................…..........5分21. 解:(1)54;.................…..........4分 (2)略. .................….......... 5分 22. 解:(1)略; ........................... 2分(2)略.....................................5分 23. 解:作图正确. ........…....... ........... 1分(1)证明:连接AF .∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AFB =90°.∵AB = AE , ∴∠BAE =2∠BAF .∵BD 是⊙O 的切线, ∴∠ABD =90°.∵∠BAF +∠ABF =90°,∠EBD +∠ABF =90°, ∴∠BAF =∠EBD .∴∠BAE =2∠EBD . .....................….......... 3分(2)过点E 作EH ⊥BD 于H .∵∠BAF =∠EBD .∴sin sin BAF EBD ∠=∠.在Rt △ABF 中, ∵AB = 5,∴BF =.∴2BE BF ==.在Rt △EBH 中,∴sin 2EH BE EBH =⋅∠=.∴BH=4. ∵EH ∥AB ,H∴EH DH AB DB=. ∴254DH DH =+,解得83DH =.∴203BD BH HD =+=. .....................….........6分 24. 解:(1)1;....................................2分 (2)设直线的表达式为1(0)y kx b k =+≠. ∵点(3,5)和(6,3)在直线上,∴直线的表达式为1273y x =-+.设抛物线的表达式为22()y a x h k =-+.∵顶点(6,1),点(3,4)在抛物线上,∴抛物线的表达式为221(6)13y x =-+.∴212217[(6)1]33y y x x -=-+--+217(5)33x =--+.∴在5月销售这种多肉植物,单株获利最大. .............................6分25.解:(1)2.8;.........................2分(2)略. .........................4分 (3)3.3. ........................6分26.解:(1)∵抛物线23y ax bx a =++过点A (-1,0), ∴30a b a -+=. ∴4b a =.∴抛物线解析式可化为243y ax ax a =++. ∴抛物线的对称轴为422ax a=-=-. .........................2分 (2)由题意,得B (0,4),C (-2,2)∵抛物线243y ax ax a =++过点A (-1,0)且抛物线的对称轴为2x =-,由抛物线的对称性可知,抛物线也一定经过A 的对称点(-3,0).①0a >时,如图1,将0x =代入抛物线得3y a =,∵抛物线与线段BC 有交点, ∴34a ≥,解得43a ≥. ②0a <时,如图2, 将2x =-代入抛物线 得y a =-,∵抛物线与线段BC 有交点, ∴2a -≥,解得2a ≤-.综上所述,423a a ≥≤-或..........................6分27. 解:(1)60°; .........................1分(2)1; .........................2分(3)11AF BF n =-. .........................3分 证明:延长FE 至G ,使FG =FB . 连接GB ,GC .由(1)知,∠BFG=60°. ∴△BFG 为等边三角形.∴BF =BG ,∠FBG=∠FGB=60°. ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC ,∠ABC=60°. ∴∠ABF=∠CBG . ∴△ABF ≌△CBG .∴∠BF A=∠BGC=120°. ∴∠FGC=60°. ∴∠FGC=∠BFG . ∴FB ∥CG . ∴AF AD FG DC =. ∵1AD AC n =, ∴11AF FG n =-. ∴11AF BF n =-. .........................7分 28. 解:(1) ①D 、F ; .........................2分②若直线EF 上存在点T (m ,n )是⊙O 的“等径点”, 则点T 满足02OT ≤≤.CAE BD F图1图2如图,以O为圆心,OF为半径作圆,设该圆与直线EF的另一个交点为A.在Rt△EOF中,2OE OF==,∴∠EFO=60°.∵OA=OF,∴△AFO为等边三角形.∴过A作AB⊥x轴于B.∴FB=OB=1.∴21m-≤≤-..........................5分(2)2r≥..........................7分。
2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编-代数综合题(含详细解析)
2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编-代数综合题(含详细解析)2019.11.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线 y =mx 2-4mx +4m -2 的顶点为M. (1)顶点M 的坐标为_______ __;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN ∥y 轴且MN = 2. ①点N 的坐标为_____________;②过点N 作y 轴的垂线l ,若直线l 与抛物线交于P 、Q 两点,该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,结合函数图象,求m 的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2+3y ax bx a =+过点A (-1,0). (1)求抛物线的对称轴;(2)直线4y x =+与y 轴交于点B ,与该抛物线对称轴交于点C ,如果该抛物线与线段BC 有交点,结合函数的图象,求a 的取值范围.3.在平面直角坐标系中,已知抛物线G :224844y x ax a =-+-,(1,0),(,0)A N n -.(1)当1a =时,①求抛物线G 与x 轴的交点坐标;②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点,求n 的取值范围;(2)若存在实数a ,使得抛物线G 与线段AN 有两个交点,结合图象,直接写出n 的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22y ax ax c =++(其中a 、c 为常数,且a <0)与x 轴交于点A ()3,0-,与y 轴交于点B ,此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4. (1)求抛物线的表达式; (2)求CAB ∠的正切值;(3)如果点P 是x 轴上的一点,且ABP CAO ∠=∠,直接写出点P 的坐标.5.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ,(点A 在点B 的左侧),且AB =2.(1)求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a 的代数式表示);(2)若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y 轴的交点在(0,-1)和(0,0)之间,求a 的取值范围;(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A ,B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点,结合函数的图象,直接写出a 的取值范围.6.在平面直角坐标系xOy 中,点()4,2A --,将点A 向右平移6个单位长度,得到点B. (1)直接写出点B 的坐标;(2)若抛物线2y x bx c =-++经过点A ,B ,求抛物线的表达式;(3)若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线2y x =+上移动,当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时,求抛物线顶点横坐标t 的取值范围.7.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22y x mx n =-++经过点A (0,2),B (3,4-). (1)求该抛物线的函数表达式及对称轴;(2)设点B 关于原点的对称点为C ,点D 是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A ,B 之间的部分为图象G (包含A ,B 两点),如果直线CD 与图象G 有两个公共点,结合函数的图象,直接写出点D 纵坐标t 的取值范围.8.在平面直角坐标系中xoy 中,抛物线()()02212≠--+=a x a ax y 与y 轴交于点C ,当a=1时,该抛物线与x 轴的两个交点为A ,B (点A 在点B 左侧). (1)求点A ,B ,C 的坐标;(2)若该抛物线与线段AB 总有两个公共点,结合函数的图像,求a 得取值范围.9.在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线a ax ax y 342+-=. (1)求抛物线的对称轴;(2)当a >0 时,设抛物线与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 左侧),顶点为C ,若△ABC 为等边三角形,求a 的值;(3)过T (0,t )(其中21≤≤-t )且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M ,N 两点. 若对于满足条件的任意t 值,线段 MN 的长都不小于1,结合函数图象,直接写出a 的取值范围.10.已知抛物线()m x m x y -+-+-=652. (1)求证:该抛物线与x 轴总有交点;(2)若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5,求m 得取值范围;(3)设抛物线()m x m x y -+-+-=652与y 轴交于点M ,若抛物线与x 轴的一个交点关于直线x y -=的对称点恰好是点M ,求m 的值.11.在平面直角坐标系xoy 中,抛物线c bx x y ++-=2经过点A ,B ,C ,已知A (-1,0)C (0,3). (1)求抛物线的表达式;(2)如图1,P 为线段BC 上一点,过点P 作y 轴平行线,交抛物线于点D ,当BCD ∆的面积最大时,求点P 的坐标;(3)如图2,抛物线顶点为E ,x EF ⊥轴于F 点,N 是线段EF 上一动点,M (m ,0)是x 轴上一动点,若090=∠MNC ,直接写出实数m 的取值范围.12.在平面直角坐标系xoy 中,抛物线的表达式为m m mx x y 224222+-+-=,线段AB 的两个端点分别为A (1,2)B (3,2).(1)若抛物线经过原点,求出m 的值;(2)求抛物线顶点C的坐标(用含有m的代数式表示);(3)若抛物线与线段AB恰有一个公共点,结合函数图像,求出m的取值范围.13.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过(1,0),且与y轴交于点C. (1)直接写出点C的坐标;(2)求a,b的数量关系;(3)点D(t,3)是抛物线y=ax2+bx+3上一点(点D不与点C重合).①当t=3时,求抛物线的表达式;②当3<CD<4时,求a的取值范围.参考答案1(2019.1+++昌平+++初三上+++期末)(1)M(2,-2)(2)①N(2,0)或N(2,-4)②12<m≤1或1-≤m<12-2(2019.1+++丰台+++初三上+++期末)(1)∵抛物线23y ax bx a =++过点A (-1,0) ∴30a b a -+= ∴4b a = ∴抛物线解析式可化为243y ax ax a =++ ∴抛物线的对称轴为422ax a=-=- (2)由题意,得B (0,4),C (-2,2)∵抛物线243y ax ax a =++过点A (-1,0)且抛物线的对称轴为2x =- 由抛物线的对称性可知,抛物线也一定经过A 的对称点(-3,0) ①0a >时,如图1将0x =代入抛物线得3y a = ∵抛物线与线段BC 有交点 ∴34a ≥,解得43a ≥②0a <时,如图2 将2x =-代入抛物线,得y a =- ∵抛物线与线段BC 有交点 ∴2a -≥,解得2a ≤-综上所述,423a a ≥≤-或3(2019.1+++海淀+++初三上+++期末)(1)①当1a =时,248y x x =- 当0y =时,2480x x -= 解得10x =,22x =∴抛物线G 与x 轴的交点坐标为()00,,()20, ②当0n =时,抛物线G 与线段AN 有一个交点当2n =时,抛物线G 与线段AN 有两个交点,结合图象可得02n ≤< (2)3n ≤-或1n ≥4(2019.1+++怀柔+++初三上+++期末)(1)由题意得,抛物线22y ax ax c =++的对称轴是直线212ax a=-=-由于抛物线顶点C 到x 轴的距离为4,因此顶点C 的坐标是()1,4- 可设此抛物线的表达式是()214y a x =++由于此抛物线与x 轴的交点A 的坐标是()3,0-,可得1a =-因此,抛物线的表达式是223y x x =--+ (2)点B 的坐标是()0,3联结BC .∵218AB =,22BC =,220AC =,得222AB BC AC += ∴△ABC 为直角三角形,90ABC ∠= 所以1tan 3BC CAB AB ∠==即CAB ∠的正切值等于13(3)点p 的坐标是(1,0)5(2019.1+++通州+++初三上+++期末) (1)对称轴为直线422ax a-=-= ∵AB =2,点A 在点B 的左侧 ∴A ()10,,B ()30, 把A (1,0)代入()240y ax ax m a =-+≠中 ∴3m a =(2)∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在(0,-1)和(0,0)之间 ∴0a < 当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点(0,-1)时,可得13a =- ∴a 的取值范围是103a -<< (3)32a -<-≤或2<3a ≤6(2019.1+++房山+++初三上+++期末) (1)()2,2B -(2)抛物线2y x bx c =-++过点,A B∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩ 解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线表达式为226y x x =--+(3)抛物线2y x bx c =-++顶点在直线2y x =+上 ∴抛物线顶点坐标为(),2t t +∴抛物线表达式可化为()22y x t t =--++()()2解得123,4t t =-=-∴43t -≤<-把()2,2B -代入表达式可得()2222t t --++=- 解得340,5t t ==∴05<≤t综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t7(2019.1+++门头沟+++初三上+++期末)(1)∵点A ,B 在抛物线y =2x 2+mx +n 上 ∴22,4233.n m n =⎧⎨-=⨯++⎩解得4,2.m n =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的表达式为y =-2x 2+4x +2 ∴抛物线的对称轴为x =1 (2)43≤t <48(2019.1+++朝阳+++初三上+++期末)(1)当a=1时,抛物线为22--=x x y ()20-∴,C 令022=--x x 解得2121=-=x x , ∵点A 在点B 左侧 ∴A (-1,0),B (2,0)(2)①若抛物线开口向上,如图1,抛物线经过点A ,B , 此时A 的值最小,可求得a=1所有1≥a②若抛物线开口向下,如图2,当点B 为抛物线顶点 时,抛物线与x 轴只有一个公共点,可求得21-=a ,所以 21-<a综上所述,A 的取值范围为1≥a 或21-<a9(2019.1+++西城+++初三上+++期末) (1)2242=--=-=aa ab x (2)()()31342--=+-=x x a a ax ax y()()()a -20,30,1,,,C B A ∴ 0>a 0<-∴a∵ABC ∆为等边三角形 ()32-∴,C3-=-∴a 3=∴a(2)38-≤a 或34≥a10(2019.1+++大兴+++初三上+++期末) (1)证明:()222454670b acm m m ∆=-=(-)+(-)=-≥所以方程总有两个实数根(2)由(1)()27m ∆=-,根据求根公式可知,方程的两根为:52m x -=-即1216x x m =-=-+,由题意,有365 <-m < + 13 < m ∴<(3)令 x = 0, y =6m -+ ∴M (0,6m -+)由(2)可知抛物线与x 轴的交点为(-1,0)和(6m -+,0) 它们关于直线y x =-的对称点分别为(0 , 1)和(0, 6m -) 由题意,可得:6166m m m -+=-+=-或 56m m ∴==或11(2019.1+++顺义+++初三上+++期末)无答案12(2019.1+++东城+++初三上+++期末)无答案 26.解:(1)∵抛物线经过原点,2120220, 1.2m m m m ∴=-+∴==分(2)222(2)2y x mx m m =--++22()2x m m =--+所以,顶点C 的坐标为(,2)m m ……………………4分(3)由顶点C 的坐标可知,抛物线的顶点C 在直线y=2x 上移动. 当抛物线过点A 时,m=2或1; 当抛物线过点B 时,m=2或5.所以m=2时,抛物线与线段AB 有两个公共点,不符合题意.结合函数的图象可知,m 的取值范围为15m ≤≤且2m ≠…………………6分13(2019.1+++平谷+++初三上+++期末)无答案。
【精品初三数学】2019北京初三数学期末分类汇编-几何综合+答案
如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,D 为AC 上一点(与点A ,C 不重合),连接BD ,过点A 作AE ⊥BD 的 延长线于E(1)①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ,并用文字描述 圆心O 的位置②连接OE ,求证:点E 在⊙O 上(2)①延长线段BD 至点F ,使EF =AE ,连接CF ,根据题 意补全图形②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系,并证明 2 丰台如图,△ABC 是等边三角形,D ,E 分别是AC ,BC 边上的点,且AD = CE ,连接BD ,AE 相交于点F (1)∠BFE 的度数是(2)如果21=AC AD ,那么=BF AF (3)如果nAC AD 1=时,请用含n 的式子表示AF ,BF 的数量关系,并证明ABC DEADBF已知在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =α,直线l 经过点A (不经过点B 或点C ),点C 关于直线l 的对称点为点D ,连接BD ,CD(1)如图1 ①求证:点,,B C D 在以点A 为圆心,AB 为半径的圆上 ②直接写出∠BDC 的度数(用含α的式子表示)为___________(2)如图2,当α=60°时,过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ,求证:AE =BD(3)如图3,当α=90°时,记直线l 与CD 的交点为F ,连接BF .将直线l 绕点A 旋转,当线段BF 的长取得最大值时,直接写出tan FBC ∠的值4 怀柔在菱形ABCD 中,∠ADC=60°,BD 是一条对角线,点P 在边CD 上(与点C ,D 不重合),连接AP ,平移ADP ∆,使点D 移动到点C ,得到BCQ ∆,在BD 上取一点H ,使HQ=HD ,连接HQ ,AH ,PH (1) 依题意补全图1 (2)判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数,并加以证明 (3)若141AHQ ∠=︒,菱形ABCD 的边长为1,请写出求DP 长的思路(可以不写出计算结果.........)BBA BCDPA BCD如图1,在正方形ABCD 中,点F 在边BC 上,过点F 作EF ⊥BC ,且FE =FC (CE <CB ),连接CE 、AE ,点G 是AE 的中 点,连接FG(1)用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________(2)将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转,使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上,点G 仍是AE 的中点,连接FG 、DF①在图2中,依据题意补全图形 ②求证:DF =6 燕山正方形ABCD 中,将边AB 所在直线绕点A 逆时针旋转一个角度α得到直线AM ,过点C 作CE ⊥AM ,垂足为E ,连接BE(1) 当045α︒<<︒时,设AM 交BC 于点F① 如图1,若α=35°,则∠BCE = ° ② 如图2,用等式表示线段AE ,BE ,CE 之间的数量关系,并证明 (2) 当4590α︒<<︒时(如图3),请直接用等式表示线段AE ,BE ,CE 之间的数量关系图2图1F 35°MBC DAEF AB EMC DαAB EMCD如图,Rt △ ABC 中,∠ACB =90°,AD 平分∠BAC , 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 的延长线于点F ,交AB 于点G ,交AC 于点H(1)依题意补全图形8 门头沟如图,在△ABC 中,AC = BC ,∠ACB = 90°,D 是线段AC 延长线上一点,连接BD ,过点A 作AE ⊥BD 于E (1)求证:∠CAE =∠CBD(2)将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后,所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ,连接CE ① 依题意补全图形② 用等式表示线段EF ,CE ,BE 之间的数量关系,并证明AABCDEM 是正方形ABCD 的边AB 上一动点(不与A ,B 重合)MC BP ⊥,垂足为P ,将CPB ∠绕点P 旋转,得到''PB C ∠,当射线'PC 经过点D 时,射线'PB 与BC 交于点N (1)依题意补全图形 (2)求证:CPD ∽∆∆BPN(3)在点M 的运动过程中,图中是否存在与BM 始终相等的线段?若存在,请写出这条线段并证明,若不存在,请说明理由10 西城如图,在△ABC 中,AB =AC .△ADE ∽△ABC ,连接BD ,CE (1)判断BD 与CE 的数量关系,并证明你的结论 (2)若AB =2,AD =22,∠BAC =105°,∠CAD =30° ①BD 的长为②点P ,Q 分别为BC ,DE 的中点,连接PQ ,写出求PQ 长的思路如图,在ABC Rt ∆中,BC AB ABC ==∠,090,点E 为线段AB 上一动点(不与点A ,B 重合),连接CE ,将ACE ∠的两边CE ,CA 分别绕点C 顺时针旋转090,得到射线''CA CE ,,过点A 作AB 的垂线AD ,分别交射线''CA CE ,于点F ,G(1)依题意补全图形(2)若α=∠ACE ,求AFC ∠的大小(用含α的式子表示) (3)用等式表示线段AE ,AF ,与BC 之间的数量关系,并证明 12 东城如图,M 为正方形ABCD 内一点,点N 在AD 边上,且MB MN BMN 2900==∠,,点E 为MN 的中点,点P 为DE 的中点,连接MP 并延长到点F ,使得PF=PM ,连接DF (1)依题意补全图形 (2)求证:DF=BM(3)连接AM ,用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明如图,正方形ABCD ,将边CD 绕点C 顺时针旋转60°,得到线段CE ,连接DE ,AE ,BD 交于点F (1)求∠AFB 的度数 (2)求证:BF=EF(3)连接CF ,直接用等式表示线段AB ,CF ,EF 的数量关系14 石景山在Rt △ABC 中,90ACB ∠=︒,2AC =,BC =,过点B 作直线l ∥AC ,将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A B C '',直线CA ',CB '分别交直线l 于点D E ,.(1)当点A ',D 首次重合时,①请在图1中,补全旋转后的图形; ②直接写出A CB '∠的度数; (2)如图2,若CD AB ⊥,求线段DE 的长;(3)求线段DE 长度的最小值.1(2019.1+++昌平+++初三上+++期末)(1)①圆心O 的位置在线段AB 的中点,正确画出图②∵AE ⊥BD ∴△AEB 为直角三角形 ∵点O 为线段AB 的中点 ∴OE =OA =OB =r ∴点E 在⊙O 上 (2)①补全图形=ABEA证明如下: ∵AC =BC ,∠ACB =90° ∴∠BAC =∠CBA = 45° ∵»»BCBC = ∴∠BEC =∠BAC = 45° ∵AE ⊥BD ∴∠BEA =90° ∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF =180°-∠CEB =135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ∴△CEA ≌△CEF ∴CF =CA ∵在等腰t ∆R ACB中,=AB∴=AB2(2019.1+++丰台+++初三上+++期末) (1)60° (2)1 (3)11AF BF n =- 证明:延长FE 至G ,使FG =FB 连接GB ,GC由(1)知,∠BFG=60° ∴△BFG 为等边三角形 ∴BF =BG ,∠FBG=∠FGB=60° ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ,∠ABC=60°∴∠ABF=∠CBG ∴△ABF ≌△CBG∴∠BFA=∠BGC=120° ∴∠FGC=60° ∴∠FGC=∠BFG ∴FB ∥CG∴AF AD FG DC = ∵1AD AC n = ∴11AF FG n =- ∴11AF BF n =-3(2019.1+++海淀+++初三上+++期末) (1)①证明:连接AD ,如图1∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴AC AD = ∵AB AC = ∴AB AC AD ==∴点B C D ,,在以A 为圆心,AB 为半径的圆上CAE BD FlD A 图1②12α (2)证法一: 证明:连接CE ,如图2 ∵=60α°∴1302BDC α∠==° ∵DE BD ⊥ ∴90CDE ∠=°60BDC -∠=° ∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴EC ED = ∴CDE △是等边三角形∴CD CE =,60DCE ∠=° ∵AB AC =,60BAC ∠=° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB =,60ACB ∠=° ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠,BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ ∴ACE BCD △≌△ ∴AE BD = 证法二:证明:连接AD ,如图2 ∵点C 与点D 关于直线l 对称∴AD AC AE CD =,⊥ ∴12DAE DAC ∠=∠∵12DBC DAC ∠=∠∴DBC DAE ∠=∠∵AE CD ⊥,BD DE ⊥∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°∴BDC DEA ∠=∠ ∵60AB AC BAC =∠=,° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB AD == ∴BCD △≌ADE △ ∴AE BD = (3)134(2019.1+++怀柔+++初三上+++期末) (1)补全图形,如图所示(2)AH 与PH 的数量关系:AH =PH ,∠AHP =120° 证明:如图,由平移可知,PQ=DC ∵四边形ABCD 是菱形,∠ADC=60° ∴AD=DC ,∠ADB =∠BDQ =30° ∴AD=PQ∵HQ=HD ∴∠HQD =∠HDQ =30° ∴∠ADB =∠DQH ,∠D HQ=120°∴△ADH ≌△PQH ∴AH =PH ,∠A HD =∠P HQ ∴∠A HD+∠DHP =∠P HQ+∠DHP图2∴∠A HP=∠D HQ ∵∠D HQ=120° ∴∠A HP=120° (3)求解思路如下:由∠A HQ=141°,∠B HQ=60°解得∠A HB=81°a.在△ABH 中,由∠A HB=81°,∠A BD=30°,解得∠BA H=69°b.在△AHP 中,由∠A HP=120°,AH=PH ,解得∠PA H=30°c.在△ADB 中,由∠A DB=∠A BD= 30°,解得∠BAD =120° 由a 、b 、c 可得∠DAP =21°在△DAP 中,由∠A DP= 60°,∠DAP =21°,AD=1,可解△DAP ,从而求得DP 长5(2019.1+++通州+++初三上+++期末) (1)BF =(2)①依据题意补全图形 ②证明:如图,连接BF 、GB ∵四边形ABCD 是正方形∴AD =AB ,90ABC BAD ∠=∠=︒,AC 平分BAD ∠ ∴45BAC DAC ∠=∠=︒.在△ADF 和△ABF 中 AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△ADF ≌△ABF ∴DF BF = ∵EF ⊥AC ,90ABC ∠=︒,点G 是AE 的中点 ∴AG EG BG FG === ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心,AG 长为半径的圆上∵»»BFBF =,45BAC ∠=︒ ∴290BGF BAC ∠=∠=︒ ∴△BGF 是等腰直角三角形∴BF =∴DF =6(2019.1+++燕山+++初三上+++期末)(1) ① ∠BCE =35° ② AE =CEBE 证明:过点B 作BG ⊥BE ,交AM 于点G∴∠GBE =∠GBC +∠2=90° ∵正方形ABCD ∴AB =BC ,∠ABC =∠1+∠GBC =90° ∴∠1=∠2A BCDP HQ∵∠ABC =∠CEA =90°,∠4=∠5 ∴△ABF ∽△CEF∴∠α=∠3 ∴在△ABG 和△CBE 中 ∠1=∠2,AB =BC ,∠α=∠3∴△ABG ≌△CBE ∴AG =CE ,BG =BE ∵在△BEG 中,∠GBE =90°,BG =BE ∴GE =2BE ∴AE =AG +GE =CE +2BE (2) AE +CE =2BE7(2019.1+++房山+++初三上+++期末) (1)补全图形如图分(2)证明:∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD ∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°, ∠AHE =∠CHF ∴∠CFH =∠CAD ∴∠BAD =∠CFH , 即∠BAD =∠BFG(3)猜想: 222AB FD FB += 证明:连接AF∵EF 为AD 的垂直平分线 ∴AF=FD ,∠ ∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ∵AD 是角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ∴∠CAF =∠B ∴∠BAF =∠BAC +∠CAF =∠BAC +∠B =90° ∴222AB AF FB += ∴222+=AB FD FB8(2019.1+++门头沟+++初三上+++期末) (1)证明:如图1,∵ ∠ACB = 90°,AE ⊥BD ∴ ∠ACB =∠AEB = 90° 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠CAE =∠CBD (2)① 补全图形如图2HG FEDABC图1②2=+EF CE BE证明:在AE上截取AM,使AM=BE又∵AC=CB,∠CAE =∠CBD ∴△ACM≌△BCE∴CM=CE,∠ACM=∠BCE 又∵∠ACB =∠ACM+∠MCB=90°∴∠MCE=∠BCE+∠MCB=90°∴2.=ME CE又∵射线AE绕点A顺时针旋转45°,后得到AF,且∠AEF=90°∴EF=AE=AM+ME=BE+2CE9(2019.1+++朝阳+++初三上+++期末)10(2019.1+++西城+++初三上+++期末)11(2019.1+++大兴+++初三上+++期末)(1)补全的图形如图所示(2)解:由题意可知,∠ECF=∠ACG=90°∴∠FCG=∠ACE=α∵过点A作AB的垂线AD ∴∠BAD=90°∵AB=BC,∠ABC=90°∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45° ∴∠AFC =α+45°(3)AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += 由(2)可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF ,∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF ∴AE =FG 在Rt △ACG 中∴AG =∴AE AF +=∵AC = ∴2AE AF BC +=12(2019.1+++东城+++初三上+++期末)无答案27.解:(1)…………………………………………………………1分(2)∵点P 为线段DE 的中点 ∴DP =EP在△MPE 和△FPD 中 MP FP MPE FPD EP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE ≌△FPD (SAS )…………………………………………………………2分 ∴DF =ME∵E 为MN 的中点 ∴MN =2ME ∵MN =2MB∴MB =ME=D F .…………………………………………………………3分(3)结论:AM = …………………………………………………………4分 连接AF由(2)可知:△MPE ≌△FPD ∴∠DFP =∠EMP. ∴DF ∥ME.∴∠FDN =∠MND.在正方形ABCD 中,AD =AB ,∠BAD =90° 又∵∠BMN =90°∴∠MBA +∠MNA =180° 又∵∠MNA +∠MND =180° ∴∠MBA =∠MND∴∠FDN =∠MBA …………………………………………………………5分 在△FAD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△F AD ≌△MAB (SAS ) ∴∠FAD =∠MAB FA =MA∴∠FAM=∠DAB =90°∴△FAM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分 ∴FM =又∵FM =2PM∴ AM = …………………………………………………………7分13(2019.1+++平谷+++初三上+++期末)。
北京市各区2018届九年级上期末数学试卷分类汇编:几何综合(数学试卷 新课标人教版)
几何综合1.(昌平18期末27)已知,△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,点D 为BC 边上的一点.(1)以点C 为旋转中心,将△ACD 逆时针旋转90°,得到△BCE ,请你画出旋转后的图形;(2)延长AD 交BE 于点F ,求证:AF ⊥BE ;(3)若,BF=1,连接CF ,则CF 的长度为 .27.(1)补全图形…………………… 2分(2)证明:∵ΔCBE 由ΔCAD 旋转得到,∴ΔCBE ≌ΔCAD ,……………… 3分∴∠CBE =∠CAD ,∠BCE =∠ACD =90°,……………4分∴∠CBE +∠E =∠CAD +∠E ,∴∠BCE =∠AFE =90°,∴AF ⊥BE .……………………………………5分(37分2.(朝阳18期末25)△ACB 中,∠C =90°,以点A 为中心,分别将线段AB ,AC 逆时针旋转60°得到线段AD ,AE ,连接DE ,延长DE 交CB 于点F .(1)如图1,若∠B =30°,∠CFE 的度数为 ;(2)如图2,当30°<∠B <60°时,①依题意补全图2;②猜想CF 与AC 的数量关系,并加以证明.图1 图23.(西城18期末27)如图1,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,点C在线段OB 上,OC=2BC,AO边上的一点D满足∠OCD=30°.将△OCD绕点O逆时针旋转α度(90°<α<180°)得到△OC D'',C,D两点的对应点分别为点C',D',连接AC',BD',取AC'的中点M,连接OM.(1)如图2,当C D''∥AB时,α=°,此时OM 和BD'之间的位置关系为;(2)画图探究线段OM和BD'之间的位置关系和数量关系,并加以证明.4.(丰台18期末27)如图,∠BAD=90°,AB=AD,CB=CD,一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转,角两边与BA,DA交于点M,N,与BA,DA延长线交于点E,F,连接AC.(1)在∠FCE旋转的过程中,当∠FCA=∠ECA时,如图1,求证:AE=AF;(2)在∠FCE旋转的过程中,当∠FCA≠∠ECA时,如图2,如果∠B=30°,CB=2,用等式表示线段AE,AF之间的数量关系,并证明.图1 图227.解:(1)证明:∵AB=AD ,BC=CD ,AC=AC ,∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°,可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分又∵∠FCA =∠ECA ,∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分其他方法相应给分.(2)过点C 作CG ⊥AB 于点G ,求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°,∴∠ACF +∠F =45°.又∵∠ACF +∠ACE =45°,∴∠F =∠ACE .∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴ACAF AE AC =,即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AFAE . ……7分5.(怀柔18期末27)在等腰△ABC 中,AB =AC ,将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD ,使BD ⊥AC 于H ,连结AD 并延长交BC 的延长线于点P .(1)依题意补全图形;(2)若∠BAC =2α,求∠BDA 的大小(用含α的式子表示);(3)小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E ,从而用等式表示线段DP 与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.27.解:(1)如图……………………………………………1分(2) ∵∠BAC =2α,∠AHB =90°∴∠ABH =90°-2α …………………………………………………………………………… 2分∵BA =BD∴∠BDA =45°+α………………………………………………………………………………3分(3)补全图形,如图………………4分证明过程如下:∵D 关于BC 的对称点为E ,且DE 交BP 于G∴DE ⊥BP ,DG =GE ,∠DBP =∠EBP ,BD =BE ;…………………………………………5分∵AB=AC ,∠BAC=2α∴∠ABC=90°-α由(2)知∠ABH =90°-2α∠DBP =90°-α-(90°-2α)=α∴∠DBP =∠EBP =α∴∠BDE =2α∵AB =BD∴△ABC ≌△BDE ………………………………………………………………………………6分∴BC =DE∴∠DPB =∠ADB -∠DBP =45°+α-α=45° ∴DP DG =21, ∴DPDE =2, ∴DP BC =2, ∴BC =2DP .………………………………………………………………………………7分6.(平谷18期末27)如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB=AC .在平面内任取一点D ,连结AD (AD <AB ),将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ,连结DE ,CE ,BD .(1)请根据题意补全图1;(2)猜测BD 和CE 的数量关系并证明;(3)作射线BD ,CE 交于点P ,把△ADE 绕点A 旋转,当∠EAC =90°,AB =2,AD =1时,补全图形,直接写出PB 的长.27.解:(1)如图 (1)B 图1 B 备用图(2)BD 和CE 的数量是:BD =CE ; (2)∵∠DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE =90°,∴∠DAB=∠CAE . (3)∵AD=AE ,AB=AC ,∴△ABD ≌△ACE .∴BD =CE . (4)(3)PB (7)7.(密云18期末27)如图,已知Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC=BC ,D 是线段AB 上的一点(不与A 、B 重合). 过点B 作BE ⊥CD ,垂足为E.将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒,得到线段CF ,连结EF.设BCE ∠度数为α.(1)①补全图形; ②试用含α的代数式表示CDA ∠.(2)若2EF AB = ,求α的大小. (3)直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系.27.(1)①补全图形.……………………………..1分②45α︒+ ……………………………..3分(2)在FCE ∆和ACB ∆中,45CFE CAB ∠=∠=︒ ,90FCE ACB ∠=∠=︒∴ FCE ∆∽ ACB ∆∴CF EF AC AB =EF AB =∴CF AC = ………………………………..5分 连结FA.90,ECB 90FCA ACE ACE ∠=︒-∠∠=︒-∠∴ECB FCA ∠=∠=α在Rt CFA ∆中,90CFA ∠=︒,cos FCA ∠= ∴30FCA ∠=︒即30α=︒. ………………………………6分(3)22222AB CF BE =+ …………………………………………8分8.(石景山18期末27)在正方形ABCD中,点P在射线AC上,作点P关于直线CD的对称点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP.(1)当点P在线段AC上时,如图1.①依题意补全图1;②若EQ=BP,则∠PBE的度数为,并证明;(2)当点P在线段AC的延长线上时,如图2.若EQ=BP,正方形ABCD的边长为1,请写出求BE长的思路.(可以不写出计算结果)27.(本小题满分7分)(1)解:①正确作图………………………1分②45°………………………2分连接PD,PE易证△CPD≌△CPB∴DP=BP,∠CDP=∠CBP∵P、Q关于直线CD对称∴EQ=EP∵EQ=BP∴DP=EP∴∠C D P=∠D E P………………………………………………3分∵∠CEP+∠DEP=180°∴∠CEP+∠CBP=180°∵∠BCD=90°∴∠BPE=90°∵BP=EP∴∠PBE=45°.…………………………………………………………4分(2)解:连接PD,PE易证△CPD≌△CPB∴DP=BP,∠1=∠2∵P、Q关于直线CD对称,∴EQ=EP,∠3=∠4∵EQ=BP,∴DP=EP∴∠3=∠1,∴∠3=∠2∴∠5=∠BCE=90°∵BP=EP,∴∠PEB=45°∴∠3=∠4=22.5°,在△BCE中,已知∠4=22.5°,BC=1,可求BE长.……………7分9.(东城18期末27)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=B为圆心,'⊥,使点P'落在直线BC的P为B上的动点,连接PC,作P C PC'=BP ,AP'.上方,且满足:P C PC(1)求∠BAC的度数,并证明△AP C'∽△BPC;(2)若点P在AB上时,①在图2中画出△AP’C;②连接BP',求BP'的长;图1 图2(3)点P在运动过程中,BP'是否有最大值或最小值?若有,请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数;若没有,请说明理由.备用图10.(顺义18期末27)综合实践课上,某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上(所有横线都平行,且相邻两条平行线的距离为1),使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上,发现这样能求出三角形的边长.(1)如图1,已知等腰直角三角形纸片△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长,则AB= ;(2)如图2,已知直角三角形纸片△DEF,∠DEF=90°,EF=2DE,求出DF的长;(3)在(2)的条件下,若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G,直接写出EG的长.27.(1)AB ;……………………….2分(2)解:过点E 作横线的垂线,交l 1,l 2于点M ,N ,……………………………..….3分∴∠DME =∠EDF = 90°,∵∠DEF =90°,∴∠2+∠3=90°,∵∠1+∠3=90°,∴∠1=∠2,∴△DME ∽△ENF ,………….…….4分 ∴DM ME DE EN NF EF==, ∵EF =2DE , ∴12DM ME DE EN NF EF ===, ∵ME =2,EN =3,∴NF =4,DM =1.5,根据勾股定理得DE =2.5,EF =5,DF =……………………….5分 (3)EG=2.5.…………………………………………………………..…….7分11.(门头沟18期末27)如图1有两条长度相等的相交线段AB 、CD ,它们相交的锐角中有一个角为60°,为了探究AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系,小亮进行了如下尝试:(1)在其他条件不变的情况下使得AD BC ∥,如图2,将线段AB 沿AD 方向平移AD 的长度,得到线段DE ,然后联结BE ,进而利用所学知识得到AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系:____________________;(直接写出结果)(2)根据小亮的经验,请对图27-1的情况(AD 与CB 不平行)进行尝试,写出AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系,并进行证明;图1 图2(3)综合(1)、(2)的证明结果,请写出完整的结论: __________________________.27.(本小题满分7分)(1) AD CB AB += ……………………………………………1分(2)补全图形正确 ………………………………………2分结论:AD CB AB +>………………………………………3分理由:如图:将线段AB 沿AD 方向平移AD 的长度,得到线段DE ,联结BE 、CE ,且可得AB DE ∥且AB DE =∴四边形A 、B 、E 、D 是平行四边形………………………4分∴AD BE =∵AB CD =∴DE CD =∵AB DE ∥,60AOD ∠=︒∴DCE △是等边三角形……………………………………5分∴CE AB =由于AD 与CB 不平行,所以C 、B 、E 构成三角形∴BE CB CE +>……………………………………………6分∴AD CB AB +>(3)AD CB AB +≥ …………………………………………7分12.(通州18期末24)如图1,在矩形ABCD 中,点E 为AD 边中点,点F 为BC 边中点;点G ,H 为AB 边三等分点,I ,J 为CD 边三等分点.小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点,如图2,图3所示.那么,图2中四边形GKLH 的面积与图3中四边形KPOL 的面积相等吗?(1)小瑞的探究过程如下在图2中,小瑞发现, ABCD G KLH S S _______=;在图3中,小瑞对四边形KPOL 面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整: 设a S DEP =△,b S AKG =△∵AF EC ∥∴DAK DEP ∽△△,且相似比为2:1,得到a S DAK 4=△∵BI GD ∥∴ABM AGK ∽△△,且相似比为3:1,得到b S ABM 9=△又∵ABCD DAG S b a S 614=+=△,ABCD ABF S a b S 419=+=△ ∴a b b a S ABCD 436624+=+=∴b a ____=,b S ABCD _____=,b S KPOL _____=∴ABCD KPO L S S _____=,则G KLH KPO L S S ____(填写“>”,“<”或“=”)(2)小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD 对边上的点.则ABCD ANML S S _____=.13.(海淀18期末28)在△ABC 中,∠A =90°,AB =AC .(1)如图1,△ABC 的角平分线BD ,CE 交于点Q ,请判断“QB =”是否正确:_______(填“是”或“否”);(2)点P 是△ABC 所在平面内的一点,连接P A ,PB ,且PB =A .①如图2,点P 在△ABC 内,∠ABP =30°,求∠P AB 的大小;②如图3,点P 在△ABC 外,连接PC ,设∠APC =α,∠BPC =β,用等式表示α,β之间的数量关系,并证明你的结论.图1 图2图3 28.解:(1)否. ………………1分(2)① 作PD ⊥AB 于D ,则∠PDB =∠PDA =90°,∵ ∠ABP =30°,∴ 12PD BP =. ………………2分∵ PB =,∴ 2PD PA =.∴ sin 2PD PAB PA ∠==. 由∠P AB 是锐角,得∠P AB =45°. ………………3分 另证:作点P 关于直线AB 的对称点'P ,连接',',B P P A P P ,则',',','P B A P B A P A B P A B B PB P A P A P∠=∠∠=∠==. ∵∠ABP =30°,∴'60P BP ∠=︒.∴△'P BP 是等边三角形.∴'P P BP =.∵PB =,∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+.∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒,证明如下: ………………4分作AD ⊥AP ,并取AD =AP ,连接DC ,DP .∴ ∠DAP =90°.∵ ∠BAC =90°,∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP ,即 ∠BAP =∠CAD .∵ AB =AC ,AD =AP ,∴ △BAP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2,PB =CD . ………………5分∵ ∠DAP =90°,AD =AP ,∴ PD =,∠ADP =∠APD =45°.∵ PB =,∴ PD =PB =CD .∴ ∠DCP =∠DPC .∵ ∠APC =α,∠BPC =β, ∴ 45DPC α∠=+︒,12αβ∠=∠=-. ∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒. ∴ 45αβ+=︒. ………………7分。
2018-2019学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷与答案
2018-2019学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷一、选择题(本题共16分,每小题3分第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.(3分)抛物线y=3(x﹣1)2+5的顶点坐标是()A.(3,5)B.(1,5)C.(3,1)D.(﹣1,5)2.(3分)如果4x=3y,那么下列结论正确的是()A.=B.=C.=D.x=4,y=3 3.(3分)如图,圆的两条弦AB,CD相交于点E,且=,∠A=40°,则∠CEB的度数为()A.50°B.80°C.70°D.90°4.(3分)下列关于二次函数y=2x2的说法正确的是()A.它的图象经过点(﹣1,﹣2)B.它的图象的对称轴是直线x=2C.当x<0时,y随x的增大而减小D.当x=0时,y有最大值为05.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若BC=24,cos B=,则AD 的长为()A.12B.10C.6D.56.(3分)如图,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,BC=5,则△ABC的周长为()A.16B.14C.12D.107.(3分)下表是小红填写的实践活动报告的部分内容:8点(﹣,A.①②B.②③C.②④D.③④二、填空题(本题共16分,每小题3分)9.(3分)如图所示的网格是正方形网格,点A,O,B都在格点上,tan∠AOB的值为.10.(3分)请写出一个开口向下,且与y轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式:.11.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE∥BC.若AD=2,AB =3,DE=4,则BC的长为.12.(3分)草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°,且它的喷灌区域是一个扇形.若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米,则这个扇形的半径是米.13.(3分)如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(﹣3,﹣6),B(1,﹣2),则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为.14.(3分)如图,舞台的面上有一段以点O为圆心的,某同学要站在的中点C的位置上.于是他想:只要从点O出发,沿着与弦AB垂直的方向走到上,就能找到的中点C.老师肯定了他的想法.(1)请按照这位同学的想法,在图中画出点C;(2)这位同学确定点C所用方法的依据是.15.(3分)如图,矩形纸片ABCD中,AB>AD,E,F分别是AB,DC的中点,将矩形ABCD 沿EF所在直线对折,若得到的两个小矩形都和矩形ABCD相似,则用等式表示AB与AD的数量关系为.16.(3分)如图,⊙O的半径是5,点A在⊙O上.P是⊙O所在平面内一点,且AP=2,过点P作直线l,使l⊥P A.(1)点O到直线l距离的最大值为;(2)若M,N是直线l与⊙O的公共点,则当线段MN的长度最大时,OP的长为.三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)计算:4sin30°﹣cos45°+tan260°.18.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACB,点E,F分别在AB,BC 上,且∠EFB=∠D.(1)求证:△EFB∽△CDA;(2)若AB=20,AD=5,BF=4,求EB的长.19.(5分)已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示:(1)求这个二次函数的表达式;(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;(3)当﹣4<x<﹣2时,直接写出y的取值范围.20.(5分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,OC=4,AC=4.(1)求点O到AC的距离;(2)求∠ADC的度数.21.(5分)一名同学推铅球,铅球出手后行进过程中离的面的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=﹣x2+x+c,其图象如图所示.已知铅球落的时的水平距离为10m.(1)求铅球出手时离的面的高度;(2)在铅球行进过程中,当它离的面的高度为m时,求此时铅球的水平距离.22.(5分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,以OC,OD为邻边作平行四边形OCED,连接OE.(1)求证:四边形OBCE是平行四边形;(2)连接BE交AC于点F.若AB=2,∠AOB=60°,求BF的长.23.(6分)如图,直线l:y=﹣2x+m与x轴交于点A(﹣2,0),抛物线C1:y=x2+4x+3与x轴的一个交点为B(点B在点A的左侧),过点B作BD垂直x轴交直线l于点D.(1)求m的值和点B的坐标;(2)将△ABD绕点A顺时针旋转90°,点B,D的对应点分别为点E,F.①点F的坐标为;②将抛物线C1向右平移使它经过点F,此时得到的抛物线记为C2,直接写出抛物线C2的表达式.24.(6分)如图,AB是⊙O的直径,△ABC内接于⊙O.点D在⊙O上,BD平分∠ABC 交AC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F.(1)求证:FD是⊙O的切线;(2)若BD=8,sin∠DBF=,求DE的长.25.(6分)小明利用函数与不等式的关系,对形如(x﹣x1)(x﹣x2)…(x﹣x n)>0(n为正整数)的不等式的解法进行了探究.(1)下面是小明的探究过程,请补充完整:①对于不等式x﹣3>0,观察函数y=x﹣3的图象可以得到如表格:由表格可知不等式x﹣3>0的解集为x>3.②对于不等式(x﹣3)(x﹣1)>0,观察函数y=(x﹣3)(x﹣1)的图象可以得到如表表格:的不等式的解集.(2)请你参考小明的方法,解决下列问题:①不等式(x﹣6)(x﹣4)(x﹣2)(x+2)>0的解集为.②不等式(x﹣9)(x﹣8)(x﹣7)2>0的解集为.26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+3a.(1)求抛物线的对称轴;(2)当a>0时,设抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),顶点为C,若△ABC为等边三角形,求a的值;(3)过T(0,t)(其中﹣1≤t≤2)且垂直y轴的直线l与抛物线交于M,N两点.若对于满足条件的任意t值,线段MN的长都不小于1,结合函数图象,直接写出a的取值范围.27.(7分)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE∽△ABC,连接BD,CE.(1)判断BD与CE的数量关系,并证明你的结论;(2)若AB=2,AD=2,∠BAC=105°,∠CAD=30°.①BD的长为;②点P,Q分别为BC,DE的中点,连接PQ,写出求PQ长的思路.28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,对于点P和图形W,如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点,那么称点P独立于图形W.(1)如图1,已知点A(﹣2,0),以原点O为圆心,OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B.在P1(0,4),P2(0,1),P3(0,﹣3),P4(4,0)这四个点中,独立于的点是;(2)如图2,已知点C(﹣3,0),D(0,3),E(3,0),点P是直线l:y=2x+8上的一个动点.若点P独立于折线CD﹣DE,求点P的横坐标x p的取值范围;(3)如图3,⊙H是以点H(0,4)为圆心,半径为1的圆.点T(0,t)在y轴上且t >﹣3,以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为(0,t+3),将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W.若⊙H上的所有点都独立于图形W,直接写出t的取值范围.2018-2019学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共16分,每小题3分第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.【解答】解:因为y=3(x﹣1)2+5是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(1,5).故选:B.2.【解答】解:A.若=,等式两边同时乘以12得:4x=3y,A项正确,B.若=,等式两边同时乘以12得:3x=4y,B项错误,C.若=,等式两边同时乘以3y得:3x=4y,C项错误,D.若x=4,y=3,则3x=4y,D项错误,故选:A.3.【解答】解:∵=,∴∠A=∠C=40°,∴∠CEB=∠A+∠C=80°,故选:B.4.【解答】解:A、当x=﹣1时,y=2×(﹣1)2=2≠﹣2,故此选项错误;B、它的图象的对称轴是直线x=0,故此选项错误;C、当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大,故此选项正确;D、当x=0时,y有最小值是0,故此选项错误;故选:C.5.【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,∴BD=BC=12.在直角△ABD中,∵cos B==,∴AB=13,∴AD===5.故选:D.6.【解答】解:∵△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∴AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,∵BE+CE=BC=5,∴BD+CF=BC=5,∴△ABC的周长=2+2+5+5=14,故选:B.7.【解答】解:过D作DH⊥EF于H,则四边形DCEH是矩形,∴HE=CD=10,CE=DH,∴FH=x﹣10,∵∠FDH=α=45°,∴DH=FH=x﹣10,∴CE=x﹣10,∵tanβ=tan50°==,∴x=(x﹣10)tan 50°,故选:A.8.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线交y轴的正半轴,∴c>0,∴ac<0,故①错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(﹣2,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(4,0),∴16a+4b+c=0,故②正确;∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n,∵若m>n>0,∴1+m>1+n,∴x=1+m时的函数值小于x=1﹣n时的函数值,故③错误;∵抛物线的对称轴为﹣=1,∴b=﹣2a,∴抛物线为y=ax2﹣2ax+c,∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣2,0),∴4a+4a+c=0,即8a+c=0,∴c=﹣8a,∴﹣=4,∵点(﹣2,0)的对称点是(4,0),∴点(﹣,0)一定在此抛物线上,故④正确,故选:C.二、填空题(本题共16分,每小题3分)9.【解答】解:如图,连接AB.在直角△AOB中,∵∠OBA=90°,AB=2,OB=4,∴tan∠AOB===.故答案为.10.【解答】解:因为抛物线的开口向下,则可设a=﹣1,又因为抛物线与y轴的交点坐标为(0,2),则可设顶点为(0,2),所以此时抛物线的解析式为y=﹣x2+2.故答案为y=﹣x2+2.11.【解答】解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴=,即=,∴BC=6.故答案为:6.12.【解答】解:∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形,面积为5π平方米,圆心角为200°,∴它能喷灌的草坪的面积为:=5πm2.解得:R=3故答案为:3.13.【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(﹣3,﹣6),B(1,﹣2),∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x1=﹣3,x2=1.故答案为x1=﹣3,x2=1.14.【解答】解:(1)如图所示,点C即为所求.(2)这位同学确定点C所用方法的依据是:垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的两条弧,故答案为:垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的两条弧.15.【解答】解:由于AB>AD,E,F分别是AB,DC的中点,∴矩形AEFD≌矩形BEFC,∵两个小矩形都和矩形ABCD相似,∴矩形AEFD∽矩形ABCD,∴,∴AB2=AD2,∴AB=AD,故答案为:AB=AD.16.【解答】解:(1)如图1,∵l⊥P A,∴当点P在圆外且O,A,P三点共线时,点O到直线l距离的最大,最大值为AO+AP=5+2=7;(2)如图2,∵M,N是直线l与⊙O的公共点,当线段MN的长度最大时,线段MN是⊙O的直径,∵l⊥P A,∴∠APO=90°,∵AP=2,OA=5,∴OP==,故答案为:7,.三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.【解答】解:原式=4×﹣×+()2=2﹣1+3=4.18.【解答】解:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠B=∠DAC,∵∠D=∠EFB,∴△EFB∽△CDA;(2)∵△EFB∽△CDA,∴,∵AB=AC=20,AD=5,BF=4,∴BE=16.19.【解答】解:(1)由题意可得二次函数的顶点坐标为(﹣1,﹣4),设二次函数的解析式为:y=a(x+1)2﹣4,把点(0,﹣3)代入y=a(x+1)2﹣4,得a=1,故抛物线解析式为y=(x+1)2﹣4,即y=x2+2x﹣3;(2)如图所示:(3)∵y=(x+1)2﹣4,∴当x=﹣4时,y=(﹣4+1)2﹣4=5,当x=﹣2时,y=﹣3,又对称轴为x=﹣1,∴当﹣4<x<﹣2时,y的取值范围是﹣3<y<5.20.【解答】解:(1)作OM⊥AC于M,∵AC=4,∴AM=CM=2,∵OC=4,∴OM==2;(2)连接OA,∵OM=MC,∠OMC=90°,∴∠MOC=∠MCO=45°,∵OA=OC,∴∠OAM=45°,∴∠AOC=90°,∴∠B=45°,∵∠D+∠B=180°,∴∠D=135°.21.【解答】解:(1)根据题意,将(10,0)代入y=﹣x2+x+c,得:﹣×102+×10+c=0,解得c=,即铅球出手时离的面的高度m;(2)将y=代入﹣x2+x+=,整理,得:x2﹣8x﹣9=0,解得:x1=9,x2=﹣1(舍),∴此时铅球的水平距离为9m.22.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵四边形OCED是平行四边形,∴四边形OCED为菱形,∴CE∥OB,CE=OB,∴四边形OBCE为平行四边形;(2)解:过F作FM⊥BC于M,过O作ON⊥BC于N,∵FM⊥BC,ON⊥BC,∴ON∥FM,∵AO=OC,∴ON=AB=1,∵OF=FC,∴FM=ON=,∵∠AOB=60°,OA=OB,∴∠OAB=60°,∠ACB=30°,在Rt△ABC中:∵AB=2,∠ACB=30°,∴BC=2,∵∠ACB=30°,FM=,∴CM=,∴BM=BC﹣CM=,∴BF==.23.【解答】解:(1)将A(﹣2,0)代入y=﹣2x+m,得:0=﹣2×(﹣2)+m,解得:m=﹣4.当y=0时,有x2+4x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=﹣1,又∵点B在点A的左侧,∴点B的坐标为(﹣3,0).(2)当x=﹣3时,y=﹣2x﹣4=2,∴点D的坐标为(﹣3,2),∴BD=2,AB=1.①依照题意画出图形,则EF=BD=2,OF=AE=AB=1,又∵点A的坐标为(﹣2,0),∴点F在y轴正半轴上,∴点F的坐标为(0,1).②∵y=x2+4x+3=(x+2)2﹣1,∴设平移后得到的抛物线C2的表达式为y=(x+m)2﹣1.将F(0,1)代入y=(x+m)2﹣1,得:1=(0+m)2﹣1,解得:m1=,m2=﹣,∴抛物线C2的表达式为y=(x﹣)2﹣1或y=(x+)2﹣1,即y=x2﹣2x+1或y=x2+2x+1.24.【解答】解:(1)连接OD,∵BD平分∠ABC交AC于点E,∴∠ABD=∠DBF,∵OB=OD,∴∠ABD=∠ODB,∴∠DBF=∠ODB,∵∠DBF+∠BDF=90°,∴∠ODB+∠BDF=90°,∴∠ODF=90°,∴FD是⊙O的切线;(2)连接AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,∵BD平分∠ABC交AC于点E,∴∠DBF=∠ABD,在Rt△ABD中,BD=8,∵sin∠ABD=sin∠DBF=,∴AD=6,∵∠DAC=∠DBC,∴sin∠DAE=sin∠DBC=,在Rt△ADE中,sin∠DAC=,∴DE=.25.【解答】解:(1)②由表格可知不等式(x﹣3)(x﹣1)>0的解集为x>3或x<1,故答案为:x>3或x<1;③当﹣1<x<1时,(x﹣3)(x﹣1)(x+1)>0,当x<﹣1时,(x﹣3)(x﹣1)(x+1)<0,由表格可知不等式(x﹣3)(x﹣1)(x+1)>0的解集为x>3或﹣1<x<1,故答案为:+,﹣,x>3或﹣1<x<1;(2)①不等式(x﹣6)(x﹣4)(x﹣2)(x+2)>0的解集为x>6或2<x<4或x<﹣2,故答案为:x>6或2<x<4或x<﹣2;②不等式(x﹣9)(x﹣8)(x﹣7)2>0的解集为x>9或x<8且x≠7,故答案为:x>9或x<8且x≠726.【解答】解:(1)∵y=ax2﹣4ax+3a=a(x﹣2)2﹣a,∴抛物线的对称轴为直线x=2.(2)依照题意,画出图形,如图1所示.当y=0时,ax2﹣4ax+3a=0,即a(x﹣1)(x﹣3)=0,解得:x1=1,x2=3.由(1)可知,顶点C的坐标为(2,﹣a).∵a>0,∴﹣a<0.∵△ABC为等边三角形,∴点C的坐标为(2,﹣),∴﹣a=﹣,∴a=.(3)分两种情况考虑,如图2所示:①当a>0时,a(﹣1)×(﹣3)≤﹣1,解得:a≥;②当a<0时,a(﹣1)×(﹣3)≥2,解得:a≤﹣.27.【解答】解:(1)结论:BD=CE,理由:∵△ADE∽△ABC,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠BAD=∠CAE,在△ABD与△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE;(2)①如图1中,作DH⊥BA交BA的延长线于H.∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°,∴∠DAH=45°,∵∠H=90°,AD=2,∴AH=DH=2,在Rt△BDH中,BD===2,故答案为2.(2)如图2中,连接PQ,AQ,AP,作QH⊥P A交P A的延长线于H.在Rt△ABP中,AP=AB•sin37.5°,在Rt△AQD中,AQ=AD•sin37.5°,在Rt△AHQ中,根据∠HAQ=45°,可得AH=HQ=AQ,求出HQ,PH,根据PQ=计算即可.28.【解答】解:(1)由题意可知:在P1(0,4),P2(0,1),P3(0,﹣3),P4(4,0)这四个点中,独立于的点是P2,P3.故答案为P2,P3.(2)∵C(﹣3,0),D(0,3),E(3,0),∴直线CD的解析式为y=x+3,直线DE的解析式为y=﹣x+3,由,解得,可得直线l与直线CD的交点的横坐标为﹣5,由,解得,可得直线l与直线DE的交点的横坐标为﹣,∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为:x P<﹣5或x P>﹣.(3)如图3﹣1中,当直线KN与⊙H相切于点E时,连接EH,则EH=EK=1,HK=,∴OT=KT+HK﹣OH=3+﹣4=﹣1,∴T(0,1﹣),此时t=1﹣,∴当﹣3<t<1﹣时,⊙H上的所有点都独立于图形W.如图3﹣2中,当线段KN与⊙H相切于点E时,连接EH.OT=OH+KH﹣KT=4+﹣3=1+,∴T(0,1+),此时t=1+,如图3﹣3中,当线段MN与⊙H相切于点E时,连接EH.OT=OM+TM=4﹣+3=7﹣,∴T(0,7﹣),此时t=7﹣,∴当1+<t<7﹣时,⊙H上的所有点都独立于图形W.综上所述,满足条件的t的值为﹣3<t<1﹣或1+<t<7﹣.单词的词性变化动词变为名词cleaner seller player surferjumper speaker traveler teacherfarmer diver driver, writerRunner winner robberVisitor inventor conductor inspector(检查员)cross——crossing wash——washingpark——parking pack——packing(包装)。
2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编-新定义综合题(含详细解析)
2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编--新定义综合题(含详细解析)2019.1 1. 在平面直角坐标系xOy 中,给出如下定义:若点P 在图形M 上,点Q 在图形N 上,如果PQ 两点 间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M ,N 的“近距离”,记为d (M ,N ).特别地,当图形M 与图形N 有公共点时,d (M ,N )=0 已知A (-4,0),B (0,4),C (-2,0)(1)d (点A ,点B )=________,d (点A ,线段BC )=________; (2)⊙O 半径为r ,① 当r = 1时,求 ⊙O 与线段AB 的“近距离”d (⊙O ,线段AB ); ② 若d (⊙O ,△ABC )=1,则r =___________;(3)D 为x 轴上一点,⊙D 的半径为1,点B 关于x 轴的对称点为点B',⊙D 与∠BAB'的“近距离”d (⊙D ,∠BA B')<1,请直接写出圆心D 的横坐标 m 的取值范围.2.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ,给出如下定义:若⊙C 上存在一个点M ,使得PM = MC ,则称点P 为⊙C 的“等径点”.已知点D )3121(,,E )320(,,F )02(, . (1)当⊙O 的半径为1时,①在点D ,E ,F 中,⊙O 的“等径点”是 ;②作直线EF ,若直线EF 上的点T (m ,n )是⊙O 的“等径点”,求m 的取值范围;(2)过点E 作EG ⊥EF 交x 轴于点G ,若△EFG 上的所有点都是某个圆的“等径点”,求这个圆的半径r 的取值范围;3.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(0,)A a 和点(0)B b ,,给出如下定义:以AB 为边,按照逆时针方向排列A ,B ,C ,D 四个顶点,作正方形ABCD ,则称正方形ABCD 为点A ,B 的逆序正方形.例如,当4a =-,3b =时,点A ,B 的逆序正方形如图1所示(1)图1中点C 的坐标为_____;(2)改变图1中的点A 的位置,其余条件不变,则点C 的坐标不变(填“横”或“纵”),它的值为_____; (3)已知正方形ABCD 为点A ,B 的逆序正方形①判断:结论“点C 落在x 轴上,则点D 落在第一象限内”______(填“正确”或“错误”),若结论正确,请说明理由;若结论错误,请在图2中画出一个反例;②⊙T 的圆心为(,0)T t ,半径为1.若4a =,0b >,且点C 恰好落在⊙T 上,直接写出t 的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy 中,点A (x ,0),B (x ,y ),若线段AB 上存在一点Q 满足12QA QB =,则称点Q是线段AB的“倍分点”.(1)若点A(1,0),AB=3,点Q是线段AB的“倍分点”.①求点Q的坐标;②若点A关于直线y= x的对称点为A′,当点B在第一象限时,求' QA QB;(2)⊙T的圆心T(0,t),半径为2,点Q在直线y x=上,⊙T上存在点B,使点Q是线段AB的“倍分点”,直接写出t的取值范围.5.在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,点P与圆心C不重合,给出如下定义:若在⊙C上存在一点M,使30MPC∠=︒,则称点P为⊙C的特征点;(1)当⊙O的半径为1时,如图1.①在点P 1(-1,0),P 2(1,P 3(3,0)中,⊙O 的特征点是______________; ②点P在直线y b =+上,若点P 为⊙O 的特征点,求b 的取值范围;(2)如图2,⊙C 的圆心在x 轴上,半径为2,点A (-2,0),B (0,.若线段AB 上的所有点都是⊙C 的特征点,直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.6.对于平面直角坐标系xOy 中的点P ,Q 和图形G ,给出如下定义:点P ,Q 都在图形G 上,且将点P 的横坐标与纵坐标互换后得到点Q ,则称点P ,Q 是图形G 的一对“关联点”.例如,点P (1,2)和点Q (2,1)是直线3y x =-+的一对关联点.(3) ⊙T 的半径为3,点M ,N 是⊙T 的一对关联点,且点M 的坐标为(1,m )(m >1),请直接写出m 的取值范围.7.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (1,2),B (3,2),连接AB . 若对于平面内一点P ,线段AB 上都存在点Q ,使得PQ ≤1,则称点P 是线段AB 的“临近点” .(1)在点C (0,2),D (2,32),E (4,1)中,线段AB 的“临近点”是__________; (2)若点M (m ,n)在直线2y x =+上,且是线段AB 的“临近点”,求m 的取值范围; (3)若直线y x b =+上存在线段AB 的“临近点”,求b 的取值范围.8.对于平面直角坐标系xOy 中的⊙C 和点P ,给出如下定义:如果在⊙C 上存在一个动点Q ,使得△PCQ是以CQ 为底的等腰三角形,且满足底角∠PCQ ≤60°,那么就称点P 为⊙C 的“关联点”. (1)当⊙O 的半径为2时,① 在点P 1(2-,0),P 2(1,1-),P 3(0,3)中,⊙O 的“关联点”是 ;② 如果点P在射线y =-(x ≥0)上,且P 是⊙O 的“关联点”,求点P 的横坐标m 的取值范围; (2)⊙C 的圆心C 在x 轴上,半径为4,直线22y x =+与两坐标轴交于A 和B ,如果线段AB 上的点都是⊙C 的“关联点”,直接写出圆心C 的横坐标n 的取值范围.9.在平面直角坐标系中xoy 中,点P 和图形W 的中间点的定义如下:Q 是图形W 上一点,若M 为线段PQ 的中点,则称M 为点P 和图形W 的中间点,C (-2,3),D (1,3),E (1,0)F (-2,0). (1)点A (2,0),①点A 和原点的中间点的坐标为_____;xyOxyO②求点A 和线段CD 的中间点的横坐标m 的取值范围;(2)点B 为直线x y 2=上一点,在四边形CDEF 的边上存在点B 和四边形CDEF 的中间点,直接写出点B 的横坐标n 的取值范围.10.在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P 和图形W ,如果以P 为端点的任意一条射线与图形W 最多只有一个公共点,那么称点P 独立于图形W.(1)如图1,已知点A (2,0),以原点O 为圆心,OA 长为半径画弧交x 轴正半轴于点 B .在()()()()0,43-01,0401P P P P ,,这四个点中,独立于的点是 ;(2)如图2,已知点C (-3 ,0),D (0,3),E (3,0),点P 是直线l :82+=x y 上的一个动点,若点P 独立于折线CD -DE ,求点P 的横坐标P x 的取值范围;(3)如图3,⊙H 是以点H (0,4)为圆心,半径为1的圆,点()t T ,0在y 轴上且 t >-3 ,以点T 为中心的正方形KLMN 的顶点K 的坐标为(0,3+t ),将正方形KLMN 在x 轴及x 轴上方的部分记为图形 W .若⊙H 上的所有点都独立于图形W ,直接写出t 的取值范围.11.对于平面内任意一个角的“夹线圆”,给出如下定义:如果一个圆与这个角的两边都相切,则称这个圆为这个角的“夹线圆”,例如:在平面直角坐标系xoy 中,以点(1,1)为圆心,1为半径的圆是x 轴与y 轴所构成的直角的“夹线圆”.(1)下列各点中,可以作为x 轴与y 轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点有_____;A (2,2),B (3,1),C (-1,0),D (1,-1)(2)若P ⊙为y 轴和直线l :x y 33=所构成的锐角的“夹线圆”,且P ⊙的半径为1,求出点P 的坐标;(3)若⊙Q 为x 轴和直线3233+-=x y 所构成的锐角的“夹线圆”,且⊙Q 的半径为21≤≤r ,直接写出点Q 横坐标Q x 的取值范围.12.对于在平面直角坐标系xoy 中的图形M 及以原点为圆心,1为半径的⊙O ,给出如下定义:P 为图形M 上任意一点,Q 为⊙O 上任意一点,如果P ,Q 两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M 到⊙O 的“圆距离”,记作()O M d ⋅.(1)记线段AB 为图形M ,其中A (-1,2)B (1,2),求()O M d ⋅;(2)记函数()04>+=k kx y 的图像为图形M ,且()1≥⋅O M d ,直接写出k 的取值范围;(3)记CDE ∆为图形M ,其中()232--,t C ,()232-+,t D ,()4,t E ,且()1=⋅O M d ,直接写出t 的值.13.顺次连接平面直角坐标系xOy 中,任意的三个点P ,Q ,G .如果∠PQG =90°,那么称∠PQG 为“黄金角”已知:点A (0,3),B (2,3),C (3,4),D (4,3).(1)在A ,B ,C ,D 四个点中能够围成“黄金角”的点是 ;(2)当()P 时,直线3y kx =+ (0)k ≠与以OP 为直径的圆交于点Q (点Q 与点O ,P 不重合),当∠OQP 是“黄金角”时,求k 的取值范围;(3)当(),0P t时,以OP为直径的圆与△BCD的任一边交于点Q,当∠OQP是“黄金角”时,求t的取值范围.参考答案1(2019.1+++昌平+++初三上+++期末)(1)2或(2)①过程略,答案为115(3)6-<m<42(2019.1+++丰台+++初三上+++期末) (1) ①D 、F②若直线EF 上存在点T (m ,n )是⊙O 的“等径点” 则点T 满足02OT ≤≤如图,以O 为圆心,OF 为半径作圆,设该圆与直线EF 的另一个交点为A 在Rt △EOF中,2OE OF == ∴∠EFO=60° ∵OA=OF ∴△AFO 为等边三角形 ∴过A 作AB ⊥x 轴于B ∴FB=OB=1 ∴21m -≤≤- (2)2r ≥3(2019.1+++海淀+++初三上+++期末) (1)图1中点C 的坐标为() 13 -,(2)改变图1中的点A 的位置,其余条件不变,则点C 的纵坐标不变,它的值为3(3)①判断:结论“点C 落在x 轴上,则点D 落在第一象限内.”错误 反例如图所示:②34t <≤4(2019.1+++怀柔+++初三上+++期末)(1)∵A (1,0),AB =3 ∴B (1,3)或B (1,-3) ∵12QA QB =∴Q (1,1)或Q (1,-1) (2)点A (1,0)关于直线y = x 的对称点为A′(0,1) ∴Q A =Q A′ ∴QB A Q '21= (3)-4≤t ≤45(2019.1+++通州+++初三上+++期末) (1) P 1,P 2.②当0b >时,设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ,与y 轴交于点E ,与x 轴交于点F∴E (0,b ),F(3,0),OC ⊥EF∴3tan OF FEO OE b ∠=== ∴30FEO ∠=︒∵1sin 2OC FEO OE ∠== ∴212b = ∴4b =当0b <时,由对称性可知:4b =- ∴b 的取值范围是44b -≤≤ (2)∴m 的取值范围为22m -<≤6(2019.1+++燕山+++初三上+++期末) (1) 答案不唯一,如:(2,3),(3,2)(2) ∵抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x = ∴121b-=⨯, 解得2b =-, ∵抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C (0,1-) ∴1c =-∴抛物线的解析式为221y x x =-- 由关联点定义得,点A ,B 关于直线y x =对称 又∵直线AB 与x 轴交于点D (1,0) ∴直线AB 的解析式为1y x =-+ 代入抛物线的解析式221y x x =--中,并整理,得220x x --= 解得,11x =-,22x = ∴A ,B 两点坐标为(-1,2)和(2,-1) (3) m 的取值范围为11m -≤≤+7(2019.1+++房山+++初三上+++期末) (1)C 、D (2)如图,设3y x =-易知M (0,2) ∴m≥0易知N 的纵坐标为1,∴ ∴(3)当直线y x b =+当直线y x b =+∴2+332-≤b8(2019.1+++门头沟+++初三上+++期末) (1)① P1 (2)P2② 由题意可知⊙O 的“关联点”所围成的区域是以O 为圆心,半径分别为1和2的圆环内部(包含2,不包含1) 设:射线y =-(x≥0)与该圆环交于点P1和点P2,由题意易得P1,0),P20)<(2)-<3-, 1<n≤3.9(2019.1+++朝阳+++初三上+++期末) (1)①(1,0)②如图,点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段''D C ,题意可得,'C 为AC 的中点,'D 为AD 的中点,可求点横坐标'C的横坐标为0,点'D 的横坐标为23,所以230≤≤m(2)点B 的横坐标的取值问题为023≤≤-n 或31≤≤n10(2019.1+++西城+++初三上+++期末) (1)32P P ,(2)由C (-3.0),D (0,3)E (3,0)可得直线CD :y=x+3 直线DE :y=-x+3由⎩⎨⎧+=+=382x y x y 可得直线l 与直线CD 的交点横坐标为x=-5由⎩⎨⎧+-=+=382x y x y 可得直线l 与直线DE 的交点横坐标35-=x5-<∴P x 或35->p x(3)213-<<-t 或2721-<<+t11(2019.1+++大兴+++初三上+++期末) (1)A , D(2)如图:过P 点作P A ⊥y 轴于点A ,PB ⊥l 于B ,连∵点B 为直线y x =上一点 ∴设B 点坐标为(x , 设直线y x =与x 轴夹角为α t a n 3α=∴直线 l 与x 轴的夹角为30° ∴∠AOB =60° 又∴OP 平分∠AOB ∴∠AOP =30° 又∵AP =1 ∴P 点坐标为( 同理,当P 点在第三象限时,P 点坐标为(1,- (3)24810Q Q -x x ≤≤≤≤+12(2019.1+++东城+++初三上+++期末)无答案 28.解:(1)∵A (﹣1,2),B (1,2) ∴H (0,2)∴d (M -O )=1…………………………………………………2分 (2)∴0k <≤………………………………………………4分12330,7t t t ===()分13(2019.1+++平谷+++初三上+++期末)无答案。
2018-2019学年北京市各区九年级(上)期末数学试卷6套附答案解析
2018-2019学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共16.0分)1.抛物线y=(x-1)2+3的顶点坐标是()A. (1,3)B. (−1,3)C. (1,−3)D. (3,−1)2.如图,在平面直角坐标系xOy中,点P(4,3),OP与x轴正半轴的夹角为α,则tanα的值为()A. 35B. 45C. 34D. 433.方程x2-x+3=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根4.如图,一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C,当B,C,A'在一条直线上时,三角板ABC的旋转角度为()A. 150∘B. 120∘C. 60∘D. 30∘5.如图,在平面直角坐标系xOy中,B是反比例函数y=2x(x>0)的图象上的一点,则矩形OABC的面积为()A. 1B. 2C. 3D. 46.如图,在△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC于点D,E,若AD:AB=2:3,则△ADE和△ABC的面积之比等于()A. 2:3B. 4:9C. 4:5D. √2:√37.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=54cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为()A. (54√3+10)cmB. (54√2+10)cmC. 64 cmD. 54cm8.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其解析式中的二次项系数一定小于1的是()A. y1B. y2C. y3D. y4二、填空题(本大题共8小题,共16.0分)9.方程x2-3x=0的根为______.10.半径为2且圆心角为90°的扇形面积为______.11.已知抛物线的对称轴是x=n,若该抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则n的值为______.12.在同一平面直角坐标系xOy中,若函数y=x与y=k(k≠0)的图象有两个交点,则kx的取值范围是______.13.如图,在平面直角坐标系xOy中,有两点A(2,4),B(4,0),以原点O为位似中心,把△OAB缩小得到△OA'B'.若B'的坐标为(2,0),则点A'的坐标为______.14.已知(-1,y1),(2,y2)是反比例函数图象上两个点的坐标,且y1>y2,请写出一个符合条件的反比例函数的解析式______.15.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,0),判断在M,N,P,Q四点中,满足到点O和点A的距离都小于2的点是______.16. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,P 是直线y =2上的一个动点,⊙P 的半径为1,直线OQ 切⊙P 于点Q ,则线段OQ 的最小值为______.三、计算题(本大题共2小题,共10.0分)17. 计算:cos45°-2sin30°+(-2)0.18. 已知x =n 是关于x 的一元二次方程mx 2-4x -5=0的一个根,若mn 2-4n +m =6,求m 的值.四、解答题(本大题共10小题,共58.0分)19. 如图,AD 与BC 交于O 点,∠A =∠C ,AO =4,CO =2,CD =3,求AB 的长.20. 近视镜镜片的焦距y (单位:米)是镜片的度数x (单位:度)的函数,下表记录了一组数据:x (单位:度) … 100 250 400 500 … y (单位:米) … 1.00 0.40 0.25 0.20 …(1)在下列函数中,符合上述表格中所给数据的是______; A .y =1100x ;B .y =100x;C .y =-1200x +32;D .y =x 240000−13800x +198(2)利用(1)中的结论计算:当镜片的度数为200度时,镜片的焦距约为______21.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.已知:如图1,⊙O及⊙O上一点P.求作:过点P的⊙O的切线.作法:如图2,①作射线OP;②在直线OP外任取一点A,以点A为圆心,AP为半径作⊙A,与射线OP交于另一点B;③连接并延长BA与⊙A交于点C;④作直线PC;则直线PC即为所求.根据小元设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明:证明:∵BC是⊙A的直径,∴∠BPC=90°(______)(填推理的依据).∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线(______)(填推理的依据).22.2018年10月23日,港珠澳大桥正式开通,成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛,来衔接桥梁和海底隧道,西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米,点C是与西人工岛相连的大桥上的一点,A,B,C在一条直线上.如图,一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行,到达P点时观测两个人工岛,分别测得PA,PB与观光船航向PD的夹角∠DPA=18°,∠DPB=53°,求此时观光船到大桥AC段的距离PD的参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.33,sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33.23. 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线y =12x 与双曲线y =kx 的一个交点是A (2,a ).(1)求k 的值;(2)设点P (m ,n )是双曲线y =kx 上不同于A 的一点,直线PA 与x 轴交于点B (b ,0).①若m =1,求b 的值;②若PB =2AB ,结合图象,直接写出b 的值.24.如图,A,B,C为⊙O上的定点.连接AB,AC,M为AB上的一个动点,连接CM,将射线MC绕点M顺时针旋转90°,交⊙O于点D,连接BD.若AB=6cm,AC=2cm,记A,M两点间距离为xcm,B,D两点间的距离为ycm.小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东探究的过程,请补充完整:(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表,补全表格:x/cm00.250.47123456y/cm 1.430.660 1.31 2.59 2.76______ 1.660(2)在平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;(3)结合画出的函数图象,解决问题:当BD=AC时,AM的长度约为______cm.25.如图,AB是⊙O的弦,半径OE⊥AB,P为AB的延长线上一点,PC与⊙O相切于点C,CE与AB交于点F.(1)求证:PC=PF;,求FB的长.(2)连接OB,BC,若OB∥PC,BC=3√2,tan P=3426.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线G:y=4x2-8ax+4a2-4,A(-1,0),N(n,0).(1)当a=1时,①求抛物线G与x轴的交点坐标;②若抛物线G与线段AN只有一个交点,求n的取值范围;(2)若存在实数a,使得抛物线G与线段AN有两个交点,结合图象,直接写出n 的取值范围.27.已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,直线l经过点A(不经过点B或点C),点C关于直线l的对称点为点D,连接BD,CD.(1)如图1,①求证:点B,C,D在以点A为圆心,AB为半径的圆上.②直接写出∠BDC的度数(用含α的式子表示)为______.(2)如图2,当α=60°时,过点D作BD的垂线与直线l交于点E,求证:AE=BD;(3)如图3,当α=90°时,记直线l与CD的交点为F,连接BF.将直线l绕点A 旋转,当线段BF的长取得最大值时,直接写出tan∠FBC的值.28.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,a)和点B(b,0),给出如下定义:以AB为边,按照逆时针方向排列A,B,C,D四个顶点,作正方形ABCD,则称正方形ABCD为点A,B的逆序正方形.例如,当a=-4,b=3时,点A,B的逆序正方形如图1所示.(1)图1中点C的坐标为______;(2)改变图1中的点A的位置,其余条件不变,则点C的______坐标不变(填“横”或“纵”),它的值为______;(3)已知正方形ABCD为点A,B的逆序正方形.①判断:结论“点C落在x轴上,则点D落在第一象限内.”______(填“正确”或“错误”),若结论正确,请说明理由;若结论错误,请在图2中画出一个反例;②⊙T的圆心为T(t,0),半径为1.若a=4,b>0,且点C恰好落在⊙T上,直接写出t的取值范围答案和解析1.【答案】A【解析】解:抛物线y=(x-1)2+3的顶点坐标是(1,3).故选:A.根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.本题考查了二次函数的性质,主要是利用顶点式解析式写顶点的方法,需熟记.2.【答案】C【解析】解:过P作PN⊥x轴于N,PM⊥y轴于M,则∠PMO=∠PNO=90°,∵x轴⊥y轴,∴∠MON=∠PMO=∠PNO=90°,∴四边形MONP是矩形,∴PM=ON,PN=OM,∵P(4,3),∴ON=PM=4,PN=3,∴tanα==,故选:C.过P作PN⊥x轴于N,PM⊥y轴于M,根据点P的坐标求出PN和ON,解直角三角形求出即可.本题考查了点的坐标和解直角三角形,能求出PN和ON的长是解此题的关键.3.【答案】C【解析】解:∵a=1,b=-1,c=3,∴△=b2-4ac=(-1)2-4×1×3=-11<0,所以方程没有实数根.故选:C.把a=1,b=-1,c=3代入△=b2-4ac进行计算,然后根据计算结果判断方程根的情况.本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程没有实数根.4.【答案】A【解析】解:∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C,∴BC与B'C是对应边,∴旋转角∠BCB'=180°-30°=150°.故选:A.直接利用旋转的性质得出对应边,再根据三角板的内角的度数得出答案.此题主要考查了旋转的性质,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,正确得出对应边是解题关键.5.【答案】B【解析】解:∵点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴矩形OABC的面积S=|k|=2,故选:B.因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积S是个定值,即S=|k|.本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|.6.【答案】B【解析】解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴=()2=.故选:B.由DE∥BC,利用“两直线平行,同位角相等”可得出∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,进而可得出△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论.本题考查了相似三角形的判定与性质,牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.7.【答案】C【解析】解:如图所示,过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,则Rt△ACE中,AE=AC=×54=27(cm),同理可得,BF=27cm,又∵点A与B之间的距离为10cm,∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm),故选:C.过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,则可得AE和BF的长,依据端点A与B之间的距离为10cm,即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.本题主要考查了特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.8.【答案】A【解析】解:由图象可知:抛物线y1的顶点为(-2,-2),与y轴的交点为(0,1),根据待定系数法求得y1=抛物线y2的顶点为(0,-1),与x轴的一个交点为(1,0),根据待定系数法求得y2=x2-1;抛物线y3的顶点为(1,1),与y轴的交点为(0,2),根据待定系数法求得y3=(x-1)2+1;抛物线y4的顶点为(1,-3),与y轴的交点为(0,-1),根据待定系数法求得y4=2(x-1)2-3;综上,解析式中的二次项系数一定小于1的是y1故选:A.由图象的点的坐标,根据待定系数法求得解析式即可判定.本题考查了二次函数的图象,二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式,根据点的坐标求得解析式是解题的关键.9.【答案】x1=0,x2=3【解析】解:因式分解得,x(x-3)=0,解得,x1=0,x2=3.故答案为:x1=0,x2=3.根据所给方程的系数特点,可以对左边的多项式提取公因式,进行因式分解,然后解得原方程的解.本题考查了解一元二次方程的方法,当方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.10.【答案】π【解析】解:扇形的面积是=π,故答案为π.根据扇形面积公式求出即可.11.【答案】2【解析】解:∵抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,∴抛物线的对称轴为直线=2.即n的值为2.故答案为2.利用抛物线与x轴的交点为对称轴,从而得到抛物线的对称轴方程.本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.也考查了二次函数的性质.12.【答案】k>0【解析】解:联立两解析式得:,消去y得:x2-k=0,∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点,∴△=b2-4ac=4k>0,即k>0.故k的取值范围是k>0.故答案为:k>0.联立两函数解析式,消去y得到关于x的一元二次方程,由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的范围.此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,以及反比例函数的图象与性质,熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键.13.【答案】(1,2)【解析】解:点B的坐标为(4,0),以原点O为位似中心,把△OAB缩小得到△OA'B',B'的坐标为(2,0),∴以原点O为位似中心,把△OAB缩小,得到△OA'B',∵点A的坐标为(2,4),∴点A'的坐标为(2×,4×),即(1,2),故答案为:(1,2).根据位似变换的性质,坐标与图形性质计算.本题考查的是位似变换,坐标与图形性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.14.【答案】y=-2,答案不唯一x【解析】解:∵(-1,y1),(2,y2)是反比例函数图象上两个点的坐标,且y1>y2,∴函数图象的分支在二四象限,则k<0.故答案为:y=-,答案不唯一.先根据题意判断出k的符号,再写出符合条件的解析式即可.此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质,解决此题的关键是确定k的符号.15.【答案】点M与点N【解析】解:如图,分别以点O和点A为圆心,2为半径画圆,可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N,故答案为:点M与点N.分别以点O和点A为圆心,2为半径画圆,即可得到满足到点O和点A的距本题主要考查了点与圆的位置关系以及点的坐标,解题时注意:当点在圆内时,点到圆心的距离小于圆的半径.16.【答案】√3 【解析】 解:连接PQ 、OP ,如图,∵直线OQ 切⊙P 于点Q ,∴PQ ⊥OQ ,在Rt △OPQ 中,OQ==,当OP 最小时,OQ 最小,当OP ⊥直线y=2时,OP 有最小值2,∴OQ 的最小值为=. 故答案为. 连接PQ 、OP ,如图,根据切线的性质得PQ ⊥OQ ,再利用勾股定理得到OQ=,利用垂线段最短,当OP 最小时,OQ 最小,然后求出OP 的最小值,从而得到OQ 的最小值.本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理.17.【答案】解:原式=√22-2×12+1=√22-1+1=√22. 【解析】原式利用特殊角的三角函数值,以及零指数幂法则计算即可求出值. 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.18.【答案】解:把x =n 代入方程得:mn 2-4n -5=0,即mn 2-4n =5,代入已知等式得:5+m =6,解得:m =1.【解析】把x=n 代入方程求出mn 2-4n 的值,代入已知等式求出m 的值即可.此题考查了一元二次方程的解,以及一元二次方程的定义,熟练掌握运算法则是解本题的关键.19.【答案】解:∵∠A=∠C,∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,∴AB CD =AOCO,即AB3=42,∴AB=6.【解析】由∠A=∠C,∠AOB=∠COD可得出△AOB∽△COD,利用相似三角形的性质可得出=,代入AO=4,CO=2,CD=3即可求出AB的长.本题考查了相似三角形的判定与性质,牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键.20.【答案】B12【解析】解:(1)根据表格数据可得,100×1=250×0.4=400×0.25=500×0.2=100,所以近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例,所以y关于x的函数关系式是y=.故选:B.(2)将x=200代入y=,得y==.故答案为.(1)根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例,依此即可求解;(2)将x=200代入(1)中的解析式,求出y即可.本题考查了反比例函数的应用,求函数值,正确求出函数的解析式是解题的关键.21.【答案】圆周角定理切线的判定【解析】解:(1)补全图形如图所示,则直线PC即为所求;(2)证明:∵BC是⊙A的直径,∴∠BPC=90°(圆周角定理),∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线(切线的判定).故答案为:圆周角定理,切线的判定.(1)根据题意作出图形即可;(2)根据圆周角定理得到∠BPC=90°,根据切线的判定定理即可得到结论.本题考查了切线的判定,圆周角定理,正确的作出图形是解题的关键.22.【答案】解:设PD的长为x千米,DA的长为y千米,在Rt△PAD中,tan∠DPA=DA,DP,即tan18°=yx∴y=0.33x,,在Rt△PDB中,tan∠DPB=BDPD即tan53°=y+5.6,x∴y+5.6=1.33x,∴0.33x+5.6=1.33x,解得x=5.6,答:此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米.【解析】设PD的长为x千米,DA的长为y千米,在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°=,即y=0.33x,同样在Rt△PDB中得到y+5.6=1.33x,所以0.33x+5.6=1.33x,然后解方程求出x即可.本题考查了解直角三角形的应用:根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.23.【答案】解:(1)∵直线y =12x 与双曲线y =kx 的一个交点是A (2,a ),∴a =12×2=1, ∴A (2,1),∴k =2×1=2; (2)①若m =1,则P (1,n ),∵点P (1,n )是双曲线y =k x 上不同于A 的一点, ∴n =k =2,∴P (1,2),∵A (2,1),则直线PA 的解析式为y =-x +3,∵直线PA 与x 轴交于点B (b ,0),∴0=-b +3,∴b =3;②如图1,当P 在第一象限时,∵PB =2AB ,A (2,1),∴P 点的纵坐标时2,代入y =2x 求得x =1,∴P (1,2),由①可知,此时b =3;如图2,当P 在第,三象限时,∵PB =2AB ,A (2,1),∴P 点的纵坐标时-2,代入y =2x 求得x =-1,∴P (-1,-2),∵A (2,1)则直线PA 的解析式为y =x -1,∴b =1,综上,b 的值为3或1.【解析】(1)由直线解析式求得A (2,1),然后代入双曲线y=中,即可求得k 的值; (2)①根据系数k 的几何意义即可求得n 的值,得到P 的坐标,继而求得直线PA 的解析式,代入B (b ,0)即可求得b 的值;②分两种情况讨论求得即可. 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,熟练掌握待定系数法是解题的关键.24.【答案】2.41 1.38或4.62解:(1)描出后图象后,x=4时,测得y=2.41(答案不唯一),故答案是2.41;(2)图象如下图所示:当x=4时,测量得:y=2.41;(3)当BD=AC时,y=2,即图中点A、B的位置,从图中测量可得:x A=1.38,x B=4.62,故:答案为:1.38或4.62(本题答案不唯一).(1)描出图象后,测量x=4时,y的值,即可求解;(2)描点即可;(3)当BD=AC时,即:y=2,即图中点A、B的位置,即可求解.本题考查的函数的作图,主要通过描点的方法作图,再根据题意测量出相应的长度.25.【答案】解:(1)连接OC,∵PC是⊙O的切线,∴∠OCP=90°,∵OE=OC,∴∠E=∠OCE,∵OE⊥AB,∴∠E+∠EFA=∠OCE+∠FCP=90°,∴∠EFA=∠FCP,∵∠EFA=∠CFP,∴∠CFP=∠FCP,∴PC=PF;(2)过点B作BG⊥PC于点G,∵OB∥PC,∴∠COB=90°,∵OB=OC,BC=3√2,∵BG ⊥PC ,∴四边形OBGC 是正方形,∴OB =CG =BG =3,∵tan P =34,∴BG PG =34,∴PG =4,∴由勾股定理可知:PB =5,∵PF =PC =7,∴FB =PF -PB =7-5=2.【解析】(1)连接OC ,根据切线的性质以及OE ⊥AB ,可知∠E+∠EFA=∠OCE+∠FCP=90°,从而可知∠EFA=∠FCP ,由对顶角的性质可知∠CFP=∠FCP ,所以PC=PF ; (2)过点B 作BG ⊥PC 于点G ,由于OB ∥PC ,且OB=OC ,BC=3,从而可知OB=3,易证四边形OBGC 是正方形,所以OB=CG=BG=3,所以,所以PG=4,由勾股定理可知:PB=5,所以FB=PF-PB=7-5=2.本题考查圆的综合问题,涉及勾股定理,等腰三角形的判定,正方形的判定,锐角三角函数的定义等知识,需要学生灵活运用所学知识.26.【答案】解:(1)①把a =1代入二次函数表达式得:y =4x 2-8x -1,令y =0,即4x 2-8x -1=0,解得:1±√52, 即抛物线G 与x 轴的交点坐标为:(1+√52,0)、(1-√52,0); ②抛物线G 与线段AN 只有一个交点,则x =-1时,y ≥0(已经成立),x =n 时,y <0,且n >-1,4n 2-8n -1<0,解得:-1-√52<n <−1+√52即:-1<n <−1+√52; (2)由②知,抛物线G 与线段AN 有两个交点,则x =-1时,y ≥0,x =n 时,y ≥0,即:{4+8a +4a 2−4≥0n 2−2an +a 2−1≥0,解得:{a ≥0或a ≤−2n ≤a −1或n ≥a +1, 即:n 的取值范围为:n ≤a -1或n ≥a +1.【解析】②抛物线G与线段AN只有一个交点,则x=-1时,y≥0(已经成立),x=n时,y <0,且n>-1,即可求解;(2)由②知,抛物线G与线段AN有两个交点,则x=-1时,y≥0,x=n时,y≥0,即可求解.本题考查的是二次函数的综合运用,其核心是利用二次函数解不等式,本题难度较大.27.【答案】1α2【解析】证明:(1)①如图1,连接DA,并延长DA交BC于点M,∵点C关于直线l的对称点为点D,∴AD=AC,且AB=AC,∴AD=AB=AC,∴点B,C,D在以点A为圆心,AB为半径的圆上②∵AD=AB=AC∴∠ADB=∠ABD,∠ADC=∠ACD,∵∠BAM=∠ADB+∠ABD,∠MAC=∠ADC+∠ACD,∴∠BAM=2∠ADB,∠MAC=2∠ADC,∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=故答案为:α(2)如图2,连接CE,∵∠BAC=60°,AB=AC∴△ABC是等边三角形∴BC=AC,∠ACB=60°,∵∠BDC=∴∠BDC=30°,∵BD⊥DE,∴∠CDE=60°,∵点C关于直线l的对称点为点D,∴DE=CE,且∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形,∴CD=CE=DE,∠DCE=60°=∠ACB,∴∠BCD=∠ACE,且AC=BC,CD=CE,∴△BCD≌△ACE(SAS)∴BD=AE,(3)如图3,取AC的中点O,连接OB,OF,BF,∵在△BOF中,BO+OF≥BC∴当点O,点B,点F三点共线时,BF最长,如图,过点O作OH⊥BC,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴BC=AC,∠ACB=45°,且OH⊥BC,∴∠COH=∠HCO=45°,∴OH=HC,∴OC=HC,∵点O是AC中点,∴AC=2HC,∴BC=4HC,∴BH=BC-HC=3HC∴tan∠FBC==(1)①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB,即可证点B,C,D在以点A为圆心,AB为半径的圆上;②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC,可求∠BDC的度数;(2)连接CE,由题意可证△ABC,△DCE是等边三角形,可得AC=BC,∠DCE=60°=∠ACB,CD=CE,根据“SAS”可证△BCD≌△ACE,可得AE=BD;(3)取AC的中点O,连接OB,OF,BF,由三角形的三边关系可得,当点O,点B,点F三点共线时,BF最长,根据等腰三角形的性质和勾股定理可求,OH=HC,BH=3HC,即可求tan∠FBC的值.本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理,三角形的三边关系,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.28.【答案】(-1,3)纵 3 错误【解析】解:(1)如图1,过点C作CE垂直x轴,垂足为E,∴∠CEB=∠BOE=90°,∴∠CBE+∠BCE=90°,∵正方形ABCD,∴BC=AB,∠ABC=90°,∴∠CBO+∠ABO=90°,∴∠BCE=∠ABO,∴△BCE≌△ABO(AAS),∴BE=AO=4,CE=BO=3,∴C(-1,3),故答案为(-1,3);(2)∵△BCE≌△ABO,∴CE=BO=3,∴改变图1中的点A的位置,其余条件不变时,点C的纵坐标总是3,故答案为:不变,3;(3)①错误反例如图2;点C在x轴上,当点D在第三象限;②如图1,若a=4,b>0时,∵△BCE≌△ABO,∴CE=BO=b,BE=OA=4,∴点C(b-4,b),∴点C在直线y=x+4上,(-4<x),作直线y=x+4,交坐标轴与M,N两点,作圆T与直线相切于点H,如图3,y=x+4,当x=0时,y=4,当y=4时,x=-4,∴M(0,4),N(-4,0),∴OM=ON,∴∠ONH=45°,∵MN与圆T相切,TH=1,∴TH⊥MN,TN==,此时点T(-4+,0),当T在点N左侧时,TN=1,此时点T(-5,0),综上所述t的取值范围是-5<t≤-4+.(1)过点C作CE垂直x轴,垂足为E,证明△BCE≌△ABO即可;(2)运用全等分析CE不变即可;(3)①举个反例即可;②先分析点C的轨迹,在分析圆T与其有交点即可;此题主要考查圆的综合问题,会构造全等三角形分析问题,会分析点的运动轨迹并运用切线求出直线与圆有交点的条件是解题的关键.2018-2019学年北京市昌平区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共16.0分)29.某几何体的三视图如图,则该几何体是()A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 三棱柱30.已知∠A为锐角,且sin A=√3,那么∠A等于()2A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘31.“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡,主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用.瓦当上的图案设计优美,字体行云流水,极富变化,是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.32.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,如果∠ACD=34°,那么∠BAD等于()A. 34∘B. 46∘C. 56∘D. 66∘33.如图,点A、B、C、D、O都在方格纸上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为()A. 30∘B. 45∘C. 90∘D. 135∘34.若函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有交点,则m的取值范围是()A. m>1B. m<1C. m≤1D. m=135.二次函数y=x2-2x,若点A(-1,y1),B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是()A. y1<y2B. y1=y2C. y1>y2D. 不能确定36.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表:温度t/℃…-5-32…植物高度增长量h/mm…344641…科学家推测出h(mm)与t之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.已知温度越适合,植物高度增长量越大,由此可以推测最适合这种植物生长的温度为()A. −2℃B. −1℃C. 0℃D. 1℃二、填空题(本大题共8小题,共16.0分)37.若反比例函数y=k的图象经过点(-1,2),则k的值是______.x38.请写出一个过点(0,1)的函数的表达式______.39.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,点P,点Q是抛物线与x轴的两个交点,若点P的坐标为(-1,0),则点Q的坐标为______.40.在平面直角坐标系xOy中,若点B(-1,2)与点A关于原点O中心对称,则点A的坐标为______.41.如图,正方形ABCD内接于⊙O,E是劣弧CD上一动点,则∠AEB=______°.42.圆心角为60°的扇形的半径为3cm,则这个扇形的弧长是______cm.43.如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,C是优弧AB上的一个动点,若∠P=40°,则∠ACB=______°.44.如图,点P是等边三角形ABC内一点,将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ,连接AP,BP,BQ,PQ,若∠PBQ=40°,下列结论:①△ACP≌△BCQ;②∠APB=100°;③∠BPQ=50°,其中一定成立的是______(填序号).三、解答题(本大题共12小题,共68.0分)tan45°.45.计算:2cos30°-tan60°+sin30°+12,AC=2,求AB的长.46.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=1247.已知:二次函数的表达式y=x2-2x-3.(1)用配方法将其化为y=a(x-h)2+k的形式;(2)画出这个二次函数的图象,并写出该函数的一条性质.48.尺规作图:如图,AD为⊙O的直径.(1)求作:⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求:不写作法,保留作图痕迹);(2)已知连接DF,⊙O的半径为4,求DF的长.小明的做法如下,请你帮助他完成解答过程.在⊙O中,连接OF.∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴AB⏜=BC⏜=CD⏜=DE⏜=EF⏜=AF⏜∴∠AOF=60°∴∠ADF=12∠AOF=30°______(填推理的依据)∵AD为⊙O直径∴∠AFD=90°∵cos30°=DFAD =√3 2∴DF=______.49.港珠澳大桥,从2009年开工建造,于2018年10月24日正式通车.其全长55公里,连接港珠澳三地,集桥、岛、隧于一体,是世界上最长的跨海大桥.如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图,为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度,先测出斜拉索底端C到桥塔的距离(CD的长)约为100米,又在C点测得A点的仰角为30°,测得B点的俯角为20°,求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离(AB 的长).(已知√3≈1.73,tan20°≈0.36,结果精确到0.1)50.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD于点E,BF∥OC,连接BC和CF,CF交AB于点G.(1)求证:∠OCF=∠BCD;,求⊙O半径的长.(2)若CD=4,tan∠OCF=1251.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x+b的图象与x轴的交点为A(2,0),的图象交于点C(-1,m).与y轴的交点为B,直线AB与反比例函数y=kx(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)点P是这个反比例函数图象上的点,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,连接OP,BP,当S△ABM=2S△OMP时,请直接写出点P的坐标.52.如图,△ABC内接于⊙O,过点C作BC的垂线交⊙O于D,点E在BC的延长线上,且∠DEC=∠BAC.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AC∥DE,当AB=8,CE=2时,求⊙O直径的长.53.有这样一个问题:如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=m,BD=n,求△ABC的面积(用含m,n的式子表示).小冬根据学习几何的经验,先从特殊情况开始探究:解:如图,令AD=3,BD=4,设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x.根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根据勾股定理得,(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12所以S△ABC=12AC⋅BC=12(x+3)(x+4)=12(x2+7x+12)=12×(12+12)=12请你参考小冬的做法.解决以下问题:(1)当AD=5,BD=7时,求△ABC的面积;(2)当AD=m,BD=n时,直接写出求△ABC的面积(用含m,n的式子表示)为______.54.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-4mx+4m-2的顶点为M.(1)顶点M的坐标为______.(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若MN∥y轴且MN=2.①点N的坐标为______;②过点N作y轴的垂线l,若直线l与抛物线交于P、Q两点,该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,结合函数图象,求m的取值范围.55.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为AC上一点(与点A,C不重合),连接BD,过点A作AE⊥BD的延长线于E.(1)①在图中作出△ABC的外接圆⊙O,并用文字描述圆心O的位置;②连接OE,求证:点E在⊙O上;(2)①延长线段BD至点F,使EF=AE,连接CF,根据题意补全图形;②用等式表示线段CF与AB的数量关系,并证明.56.在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:若点P在图形M上,点Q在图形N上,如果PQ两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N的“近距离”,记为d(M,N).特别地,当图形M与图形N有公共点时,d(M,N)=0.已知A(-4,0),B(0,4),C(-2,0),(1)d(点A,点B)=______,d(点A,线段BC)=______;(2)⊙O半径为r,①当r=1时,求⊙O与线段AB的“近距离”d(⊙O,线段AB);②若d(⊙O,△ABC)=1,则r=______.(3)D为x轴上一点,⊙D的半径为1,点B关于x轴的对称点为点B',⊙D与∠BAB'的“近距离”d(⊙D,∠BAB')<1,请直接写出圆心D的横坐标m的取值范围.。
北京市朝阳区2018-2019学年初三九年级上学期数学期末试题
北京市朝阳区2018~2019学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准2019.1一、选择题(本题共16分,每小题2分)二、填空题(本题共16分,每小题2分)三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题6分,第27,28题,每小题7分) 17.(1)证明:∵∠DBC =∠A ,∠BCD =∠ACB ,∴△BDC ∽△ABC . ………………………………………………………………2分(2)解:∵△BDC ∽△ABC , ∴BC DCAC BC=. ………………………………………………………………4分 ∵BC =4,AC =8,∴CD =2. ………………………………………………………………5分18.(1)解:∵点A (-2,1)在反比例函数my x=的图象上, ∴212m =-⨯=-.……………………………………………………2分∴反比例函数的表达式为2y x=-. ∵点B (1,n )在反比例函数2y x=-的图象上,∴221n -==-. …………………………………………………………………………4分 (2)2x <-或01x <<. ……………………………………………………………………5分19.(1)0.7; ………………………………………………………………………………………………2分 (2)解:40000.50.7400030.35000⨯⨯+⨯⨯=. ……………………………………………4分答:该商场每天大致需要支出5000元奖品费用.(3)36. ……………………………………………………………………………………5分20.解:(1)由题意,得△22(21)4(1)450k k k =+--=+>.……………………………………2分解得54k >-. ……………………………………………………………………………3分(2)∵k 为负整数,∴1k =-. ……………………………………………………………………………4分则方程为20x x -=.解得10x =,21x =. ………………………………………………………………5分21.解:如图,过点O 作OC ⊥AB ,交AB 于点C ,交⊙O 于点D ,连接OA .…………………1分由题意可知,OA =OD =5,CD =8.……………………………2分 ∴OC =3.∴AC4==.………………………4分∴AB =2AC =8. …………………………………………5分答:这个孔道的直径为8mm .22.解:(1)如图所示;……………1分(2)该图象可能为抛物线,猜想该函数为二次函数.…………………………………………………2分 ∵图象经过原点,∴设二次函数的表达式为()20y ax bx x =+≥.选取(20,1)和(10,0.3)代入表达式,得400201,100100.3.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,5001.100a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴二次函数的表达式为()2110500100y x x x =+≥.………………………………………………3分代入各点检验,只有(25,1.6)略有误差,其它点均满足所求表达式.…………………………4分(3)∵当x =100时,y =21<40,∴汽车已超速行驶. ………………………………………………………………………………5分23.(1)答:CD 与⊙O 相切. ……………………………1分证明:如图1,连接OC .∵ FD 是CE 的垂直平分线,∴ DC =DE . ………………………………2分∴ ∠E =∠DCE .∵ OA =OC ,∴ ∠A =∠OCA .又∵在Rt △ABE 中,∠B =90°,∴ ∠A +∠E =90°.∴∠OCA +∠DCE =90°.∴ OC ⊥CD .………………………………3分∴ CD 与⊙O 相切.(2)解:如图2,连接BC .∵ AB 是⊙O 直径,∴ ∠ACB =90°. …………………………4分∴ △ACB ∽△ABE . ……………………5分∴ AC AB AB AE =. ∵ AC ·AE =12,∴ 212AB =.∴ AB =∴ OA = ……………………………………………………………………………6分 24.解:(1)∵ 当x =2时,2210x x +-= -2 <0,当x =3时,2210x x +-= 5 >0, ……………………………………………………2分∴方程另一个根在2和3之间. ……………………………………………………3分(2)∵ 方程220x x c ++=有一个根在0和1之间, ∴0,120c c >⎧⎨++<⎩或0,120.c c <⎧⎨++>⎩ ………………………………………………5分解得30c -<<. ………………………………………………6分25.(1)补全图形如图所示;…………………………………………………………………………1分(2)证明:由旋转可得∠BPN =∠CPD .……………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BCD =90°.∴∠PCD +∠BCP =90°.图1 图2∵BP ⊥MC ,∴∠CPB =90°.∴∠PBC +∠PCB =90°.∴∠PBC =∠PCD .∴△PBN ∽△PCD .………………………………3分(3)答:BM =BN .………………………………4分证明:∵BP ⊥CM ,∠MBC =90°,∴∠MBP =∠MCB .∴△MPB ∽△BPC . ∴BM PB BC PC=..………………………………………………………………………………………5分 由(2)可知△PBN ∽△PCD . ∴PB BN PC CD=. ∴BM BN BC CD =. ∵BC =CD ,∴BM =BN .……………………………………………………………………………………………6分26.(1)如图所示;………………………………………………………………………………1分(2)小于,大于; ………………………………………………3分(3)证明:如图,BM 与⊙O 相交于点C ,连接AC .…………4分∵∠ACB =∠M +∠A ,∴∠ACB >∠M .………………………………………………5分(4)答:当过点F ,H 的圆与DE 相切时,切点即为所求的点P .…………………………………6分27.(1)解:当1a =时,抛物线为22y x x =--.∴点C 的坐标为(0,-2).………………………………………………………………………1分令220x x --=.解得11x =-, 22x =.∵点A 在点B 左侧,∴点A ,B 的坐标分别为(-1,0),(2,0).……………………………………………………………3分(2)①若抛物线开口向上,如图1,抛物线经过点A ,B ,此时a 的值最小,可求得a =1,所以1a ≥.…………………5分图1图2 ②若抛物线开口向下, 如图2,当点B 为抛物线的顶点时,抛物线与x 轴只有一个公共点,可求得12a =-, 所以a <12-. ………………………………………………………………………………7分 综上所述,a 的取值范围为1a ≥或12a <-. 28.(1)①(1,0); ……………………………………………………………………………………2分②如图,点A 和线段CD 的中间点所组成的图形是线段C ’D ’,由题意可知,C ’为AC 的中点,D ’为AD 的中点.可求点C ’的横坐标为0,点D ’的横坐标为32. 所以302m ≤≤.……………………………5分 (2)点B 的横坐标的取值范围为302n -≤≤或13n ≤≤.………………………7分说明:各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.祝各位老师寒假愉快!。
2018-2019学年最新北京市初三数学上学期期末模拟试题有答案-精编试题
九年级第一学期期末学业水平调研数学本试卷共8页,共三道大题,28道小题,满分100分。
考试时间120分钟。
一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个... 1.抛物线()212y x =-+的对称轴是A .1x =-B .1x =C .2x =-D .2x =2.在△ABC 中,∠C =90°.若AB =3,BC =1,则sin A 的值为A .13B.CD .33.如图,线段BD ,CE 相交于点A ,DE ∥BC .若AB =4,AD =2,DE =1.5, 则BC 的长为 A .1 B .2 C .3D .44.如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°,得到△ADE .若点D 在线段BC 的延长线上,则B ∠的大小为 A .30° B .40° C .50°D .60°5.如图,△OAB ∽△OCD ,OA:OC =3:2,∠A =α,∠C =β,△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 和2S ,△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ,则下列等式一定成立的是 A .32OB CD= B .32αβ= C .1232S S =D .1232C C =6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 从(3,4)出发,绕点O 顺时针旋转一周,则点A 不.经过 A .点M B .点N C .点PEB C DADECBAD OA BCD .点Q7.如图,反比例函数k y x=的图象经过点A (4,1),当1y <时,x 的取值范围是A .0x <或4x >B .04x <<C .4x <D .4x >8.两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ,小兰从点C 出发,以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ,两人的运动路线如图1所示,其中AC =DB .两人同时开始运动,直到都停止运动时游戏结束,其间他们与点C 的距离y 与时间x (单位:秒)的对应关系如图2所示.则下列说法正确的是图1 图2A .小红的运动路程比小兰的长B .两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C .当小红运动到点D 的时候,小兰已经经过了点D D .在4.84秒时,两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.方程220x x -=的根为.10.已知∠A 为锐角,且tan A A 的大小是°.11.若一个反比例函数图象的每一支上,y 随x 的增大而减小,则此反比例函数表达式可以是.(写出一个即可)12.如图,抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =,点P ,点Q 是抛物线与xC D AO B轴的两个交点,若点P 的坐标为(4,0),则点Q 的坐标为.13.若一个扇形的圆心角为60°,面积为6π,则这个扇形的半径为.14.如图,AB 是⊙O 的直径,PA ,PC 分别与⊙O 相切于点A ,点C ,若∠P =60°,PA=AB 的长为.15.在同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离.如图,在一个路口,一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处,小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶.设小张距大巴车尾x m ,若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ,红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ,若小张能看到整个红灯,则x 的最小值为.停止线交通信号灯16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.请回答:该尺规作图的依据是.三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算:2sin 30°2cos 45-°18.已知1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根,求(2)1m m +的值.19.如图,在△ABC 中,∠B 为锐角, AB=AC =5,sin 35C =,求BC 的长. B A20.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.轮船到达目的地后开始卸货,记平均卸货速度为v (单位:吨/天),卸货天数为t . (1)直接写出v 关于t 的函数表达式:v=;(不需写自变量的取值范围) (2)如果船上的货物5天卸载完毕,那么平均每天要卸载多少吨?21.如图,在△ABC 中,∠B =90°,AB =4,BC =2,以AC 为边作△ACE ,∠ACE =90°,AC=CE ,延长BC 至点D ,使CD =5,连接DE .求证:△ABC ∽△CED .22.古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究:如图(图1中BAC∠为锐角,图2中BAC ∠为直角,图3中BAC ∠为钝角).EB C DAAB B' C' CAB B'(C')C B C' B' CA在△ABC 的边BC 上取B ',C '两点,使AB B AC C BAC ''∠∠∠==,则ABC △∽B BA '△∽C AC '△,()ABB BAB'=,()AC C CAC'=,进而可得22AB AC +=;(用BB CC BC '',,表示)若AB=4,AC=3,BC=6,则B C ''=. 23.如图,函数ky x=(0x <)与y ax b =+的图象交于点A (-1,n )和点B (-2,1). (1)求k ,a ,b 的值; (2)直线x m =与ky x=(0x <)的图象交于点P ,与1y x =-+的图象交于点Q ,当90PAQ ∠>︒时,直接写出m 的取值范围.24.如图,A ,B ,C 三点在⊙O 上,直径BD 平分∠ABC ,过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ,在BC 的延长线上取一点F ,使得EF =DE . (1)求证:DF 是⊙O 的切线;(2)连接AF 交DE 于点M ,若 AD =4,DE =5,求DM 的长.图1 图2 图325.如图,在△ABC 中,90ABC ∠=︒,40C ∠=°,点D 是线段BC 上的动点,将线段AD绕点A 顺时针旋转50°至AD ',连接BD '.已知AB =2cm ,设BD 为x cm,B D '为y cm .小明根据学习函数的经验,对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究,下面是小明的探究过程,请补充完整.(说明:解答中所填数值均保留一位小数) (1)通过取点、画图、测量,得到了x 与y 的几组值,如下表:图象.(3)结合画出的函数图象,解决问题:线段BD '的长度的最小值约为__________cm ;若BD '≥BD ,则BD 的长度x 的取值范围是_____________.26.已知二次函数243y ax ax a =-+.D'B D CA(1)该二次函数图象的对称轴是x =;(2)若该二次函数的图象开口向下,当14x ≤≤时,y 的最大值是2,求当14x ≤≤时,y 的最小值;(3)若对于该抛物线上的两点11() P x y ,,22() Q x y ,,当1+1t x t ≤≤,25x ≥时,均满足12y y ≥,请结合图象,直接写出t 的最大值.27.对于⊙C 与⊙C 上的一点A ,若平面内的点P 满足:射线..AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合),且12PAQA≤≤,则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”. 已知点O 为坐标原点,⊙O 的半径为1,点A (-1,0).(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”,且点P 在x 轴上,请写出一个符合条件的点P 的坐标________;(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”,且满足1tan 2BAO ∠=,求点B 的纵坐标t的取值范围;(3)直线y b +与x 轴交于点M ,与y 轴交于点N ,若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”,直接写出b 的取值范围是_____________________________.28.在△ABC 中,∠A =90°,AB =AC .(1)如图1,△ABC 的角平分线BD ,CE 交于点Q,请判断“QB =”是否正确:________(填“是”或“否”);(2)点P 是△ABC 所在平面内的一点,连接PA ,PB ,且PB=PA .①如图2,点P 在△ABC 内,∠ABP =30°,求∠PAB 的大小;②如图3,点P 在△ABC 外,连接PC ,设∠APC =α,∠BPC =β,用等式表示α,β之间的数量关系,并证明你的结论.PPEDQB CAB CAB CA图1 图2 图3数学参考答案及评分标准一、选择题(本题共16分,每小题2分)二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.0或2 10.60 11.1y x=(答案不唯一) 12.(2-,0) 13.6 14.2 15.1016.三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;或:直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,直角三角形两个锐角互余; 或:直径所对的圆周角为直角,1sin 2A =,A ∠为锐角,30A ∠=︒.三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)17.解:原式 = 12222⨯-⨯+………………3分= 1= 15分18.解:∵1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根,∴2120m m --=. ∴221m m +=. ………………3分 ∴2(2)211m m m m =++=. ………………5分19.解:作AD ⊥BC 于点D ,∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵ AC=5,3sin 5C =, ∴sin 3AD AC C =⋅=. ………………2分 ∴在Rt △ACD中,4CD ==. ………………3分∵ AB=, ∴在Rt △ABD中,3BD ==. ………………4分∴7BC BD CD =+=. ………………5分 20.解:(1)240t. ………………3分 (2)由题意,当5t =时,24048v t==. ………………5分答:平均每天要卸载48吨. 21.证明:∵∠B=90°,AB=4,BC=2,∴AC ==∵ CE=AC ,∴CE =∵ CD=5, ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵∠B=90°,∠ACE=90°,∴∠BAC+∠BCA=90°,∠BCA+∠DCE=90°.∴∠BAC=∠DCE.BEB C DA∴△ABC ∽△CED. ………………5分 22.BC ,BC ,()BC BB CC ''+………………3分116………………5分 23.解:(1)∵函数ky x=(0x <)的图象经过点B (-2, 1), ∴12k=-,得2k =-. ………………1分 ∵函数ky x=(0x <)的图象还经过点A (-1,n ), ∴221n -==-,点A 的坐标为(-1,2). ………………2分 ∵函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ,∴2,2 1.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩………………4分(2)20m -<<且1m ≠-. ………………6分24.(1)证明:∵ BD 平分∠ABC , ∴∠ABD=∠CBD. ∵ DE ∥AB , ∴∠ABD=∠BDE.∴∠CBD=∠BDE. ………………1分 ∵ ED=EF ,∴∠EDF=∠EFD. ∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°, ∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.∴ OD ⊥DF. ………………2分∵OD 是半径,∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分(2)解:连接DC , ∵ BD 是⊙O 的直径, ∴∠BAD=∠BCD=90°. ∵∠ABD=∠CBD ,BD=BD , ∴△ABD ≌△CBD. ∴ CD=AD=4,AB=BC. ∵ DE=5,∴3CE ==,EF=DE=5. ∵∠CBD=∠BDE , ∴ BE=DE=5.∴10BF BE EF =+=,8BC BE EC =+=.∴ AB=8. ………………5分 ∵ DE ∥AB , ∴△ABF ∽△MEF. ∴AB BFME EF=. ∴ ME=4.∴1DM DE EM =-=. ………………6分25.(1)0.9. ………………1分 (2)如右图所示. ………………3分 (3)0.7,………………4分00.9x ≤≤. ………………6分112O26.解:(1)2.………………1分(2)∵该二次函数的图象开口向下,且对称轴为直线2x =, ∴当2x =时,y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴4832a a a -+=.∴2a =-,2286y x x =-+-. ………………3分 ∵当12x ≤≤时,y 随x 的增大而增大, ∴当1x =时,y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵当24x ≤≤时,y 随x 的增大而减小, ∴当4x =时,y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴当14x ≤≤时,y 的最小值为6-. ………………4分 (3)4. ………………6分 27.解:(1)(2,0)(答案不唯一). ………………1分(2)如图,在x 轴上方作射线AM ,与⊙O 交于M ,且使得1tan 2OAM ∠=,并在AM 上取点N ,使AM=MN ,并由对称性,将MN 关于x 轴对称,得M N '',则由题意,线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B.作MH ⊥x 轴于H ,连接MC ,∴∠MHA=90°,即∠OAM+∠AMH=90°. ∵ AC 是⊙O 的直径,∴∠AMC=90°,即∠AMH+∠HMC=90°.∴∠OAM=∠HMC.∴1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =,则2AH y =,12CH y =, ∴522AC AH CH y =+==,解得45y =,即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =,A 为(-1,0),可得点N 的纵坐标为85, 故在线段MN 上,点B 的纵坐标t 满足:4855t ≤≤. ……………3分 由对称性,在线段M N ''上,点B 的纵坐标t 满足:8455t -≤≤-.……………4分 ∴点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤. (3)41b -≤≤-或14b ≤≤………………7分28.解:(1)否. ………………1分(2)①作PD ⊥AB 于D ,则∠PDB=∠PDA=90°, ∵∠ABP=30°, ∴12PD BP =. ………………2分∵PB =,∴PD =.∴sin 2PD PAB PA ∠==.B由∠PAB 是锐角,得∠PAB=45°. ………………3分 另证:作点P 关于直线AB 的对称点'P ,连接',','BP P A PP ,则',',','P B A P B A P A B P A B B P B P A P A P∠=∠∠=∠==. ∵∠ABP=30°, ∴'60P BP ∠=︒. ∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP =.∵PB =,∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分②45αβ+=︒,证明如下:………………4分 作AD ⊥AP ,并取AD=AP ,连接DC ,DP. ∴∠DAP=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP, 即∠BAP=∠CAD.∵ AB=AC ,AD=AP , ∴△BAP ≌△CAD.∴∠1=∠2,PB=CD. ………………5分 ∵∠DAP=90°,AD=AP ,∴PD =,∠ADP=∠APD=45°.∵PB =, ∴ PD=PB=CD.BBC∴∠DCP=∠DPC.∵∠APC =α,∠BPC =β,∴45DPC α∠=+︒,12αβ∠=∠=-. ∴31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.∴45αβ+=︒. ………………7分。
2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编-几何综合题(含详细解析)
2018-2019学年度北京市各区初三上学期期末数学考试分类汇编-几何综合题(含详细解析)2019.11.如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,D 为AC 上一点(与点A ,C 不重合),连接BD ,过点A 作AE ⊥BD的延长线于E.(1)①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ,并用文字描述圆心O 的位置;②连接OE ,求证:点E 在⊙O 上.(2)①延长线段BD 至点F ,使EF =AE ,连接CF ,根据题意补全图形;②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系,并证明.2.如图,△ABC 是等边三角形,D ,E 分别是AC ,BC 边上的点,且AD = CE ,连接BD ,AE 相交于点F (1)∠BFE 的度数是 ;(2)如果21=AC AD ,那么=BF AF ; (3)如果nAC AD 1=时,请用含n 的式子表示AF ,BF 的数量关系,并证明.3.已知在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =α,直线l 经过点A (不经过点B 或点C ),点C 关于直线l 的对称点为点D ,ABC D EADBF连接BD ,CD.(1)如图1,①求证:点,,B C D 在以点A 为圆心,AB 为半径的圆上; ②直接写出∠BDC 的度数(用含α的式子表示)为___________;(2)如图2,当α=60°时,过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ,求证:AE =BD ;(3)如图3,当α=90°时,记直线l 与CD 的交点为F ,连接BF .将直线l 绕点A 旋转,当线段BF 的长取得最大值时,直接写出tan FBC ∠的值.4.在菱形ABCD 中,∠ADC=60°,BD 是一条对角线,点P 在边CD 上(与点C ,D 不重合),连接AP ,平移ADP ∆,使点D 移动到点C ,得到BCQ ∆,在BD 上取一点H ,使HQ=HD ,连接HQ ,AH ,PH. (1) 依题意补全图1;(2)判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数,并加以证明;(3)若141AHQ ∠=︒,菱形ABCD 的边长为1,请写出求DP 长的思路(可以不写出计算结果.........).5.如图1,在正方形ABCD 中,点F 在边BC 上,过点F 作EF ⊥BC ,且FE =FC (CE <CB ),连接CE 、AE ,点G 是AE 的中点,连接FG.BBA BCDPA BCD(1)用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________;(2)将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转,使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上,点G仍是AE 的中点,连接FG 、DF. ①在图2中,依据题意补全图形; ②求证:DF =.6.正方形ABCD 中,将边AB 所在直线绕点A 逆时针旋转一个角度α得到直线AM ,过点C 作CE ⊥AM ,垂足为E ,连接BE.(1) 当045α︒<<︒时,设AM 交BC 于点F ; ① 如图1,若α=35°,则∠BCE = ° ;② 如图2,用等式表示线段AE ,BE ,CE 之间的数量关系,并证明;(2) 当4590α︒<<︒时(如图3),请直接用等式表示线段AE ,BE ,CE 之间的数量关系.7.如图,Rt △ ABC 中,∠ACB =90°,AD 平分∠BAC , 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 的延长线于点F ,交AB 于点G ,交AC 于点H.(1)依题意补全图形;图2图1F 35°MBC DAEF AB EMC DαAB EMCD A(2)求证:∠BAD =∠BFG ;(3)试猜想AB ,FB 和FD 之间的数量关系并进行证明.8.如图,在△ABC 中,AC = BC ,∠ACB = 90°,D 是线段AC 延长线上一点,连接BD ,过点A 作AE ⊥BD 于E (1)求证:∠CAE =∠CBD ;(2)将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后,所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ,连接CE. ① 依题意补全图形;② 用等式表示线段EF ,CE ,BE 之间的数量关系,并证明;9.M 是正方形ABCD 的边AB 上一动点(不与A ,B 重合)MC BP ⊥,垂足为P ,将CPB ∠绕点P 旋转,得到''PB C ∠,当射线'PC 经过点D 时,射线'PB 与BC 交于点N.ABCDE(2)求证:CPD ∽∆∆BPN ;(3)在点M 的运动过程中,图中是否存在与BM 始终相等的线段?若存在,请写出这条线段并证明,若不存在,请说明理由.10.如图,在△ABC 中,AB =AC .△ADE ∽△ABC ,连接BD ,CE. (1)判断BD 与CE 的数量关系,并证明你的结论;(2)若AB =2,AD =22,∠BAC =105°,∠CAD =30°. ①BD 的长为 ; ②点P ,Q 分别为BC ,DE 的中点,连接PQ ,写出求PQ 长的思路;11.如图,在ABC Rt ∆中,BC AB ABC ==∠,090,点E 为线段AB 上一动点(不与点A ,B 重合),连接CE ,将ACE ∠的两边CE ,CA 分别绕点C 顺时针旋转090,得到射线''CA CE ,,过点A 作AB 的垂线AD ,分别交射线''CA CE ,于点F ,G.(2)若α=∠ACE ,求AFC ∠的大小(用含α的式子表示); (3)用等式表示线段AE ,AF ,与BC 之间的数量关系,并证明.12.如图,M 为正方形ABCD 内一点,点N 在AD 边上,且MB MN BMN 2900==∠,,点E 为MN 的中点,点P 为DE 的中点,连接MP 并延长到点F ,使得PF=PM ,连接DF. (1)依题意补全图形; (2)求证:DF=BM ;(3)连接AM ,用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明.13.如图,正方形ABCD ,将边CD 绕点C 顺时针旋转60°,得到线段CE ,连接DE ,AE ,BD 交于点F . (1)求∠AFB 的度数; (2)求证:BF=EF ;(3)连接CF ,直接用等式表示线段AB ,CF ,EF 的数量关系.E参考答案1(2019.1+++昌平+++初三上+++期末)(1)①圆心O的位置在线段AB的中点,正确画出图②∵AE⊥BD ∴△AEB为直角三角形∵点O为线段AB的中点∴OE=OA=OB=r ∴点E在⊙O上(2)①补全图形=AB证明如下: ∵AC =BC ,∠ACB =90° ∴∠BAC =∠CBA = 45° ∵BC BC = ∴∠BEC =∠BAC = 45° ∵AE ⊥BD ∴∠BEA =90° ∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF =180°-∠CEB =135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ∴△CEA ≌△CEF ∴CF =CA ∵在等腰t ∆R ACB 中,=AB∴=AB2(2019.1+++丰台+++初三上+++期末)(1)60° (2)1 (3)11AF BF n =- 证明:延长FE 至G ,使FG =FB 连接GB ,GC由(1)知,∠BFG=60° ∴△BFG 为等边三角形∴BF =BG ,∠FBG=∠FGB=60° ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ,∠ABC=60° ∴∠ABF=∠CBG∴△ABF ≌△CBG∴∠BF A=∠BGC=120° ∴∠FGC=60° ∴∠FGC=∠BFG ∴FB ∥CG ∴AF AD FG DC = ∵1AD AC n = ∴11AF FG n =- ∴11AF BF n =-3(2019.1+++海淀+++初三上+++期末) (1)①证明:连接AD ,如图1CAE BD FD∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴AC AD = ∵AB AC = ∴AB AC AD ==∴点B C D ,,在以A 为圆心,AB 为半径的圆上 ②12α (2)证法一: 证明:连接CE ,如图2 ∵=60α°∴1302BDC α∠==° ∵DE BD ⊥ ∴90CDE ∠=°60BDC -∠=° ∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴EC ED = ∴CDE △是等边三角形∴CD CE =,60DCE ∠=° ∵AB AC =,60BAC ∠=° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB =,60ACB ∠=° ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠,BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ ∴ACE BCD △≌△ ∴AE BD = 证法二:证明:连接AD ,如图2 ∵点C 与点D 关于直线l 对称∴AD AC AE CD =,⊥ ∴12DAE DAC ∠=∠∵12DBC DAC ∠=∠∴DBC DAE ∠=∠∵AE CD ⊥,BD DE ⊥∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°∴BDC DEA ∠=∠ ∵60AB AC BAC =∠=,° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB AD == ∴BCD △≌ADE △ ∴AE BD = (3)134(2019.1+++怀柔+++初三上+++期末) (1)补全图形,如图所示(2)AH 与PH 的数量关系:AH =PH ,∠AHP =120° 证明:如图,由平移可知,PQ=DC ∵四边形ABCD 是菱形,∠ADC=60° ∴AD=DC ,∠ADB =∠BDQ =30° ∴AD=PQ图2∵HQ=HD ∴∠HQD =∠HDQ =30° ∴∠ADB =∠DQH ,∠DHQ=120°∴△ADH ≌△PQH ∴AH =PH ,∠AHD =∠PHQ ∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP ∴∠AHP=∠DHQ ∵∠DHQ=120° ∴∠AHP=120° (3)求解思路如下:由∠AHQ=141°,∠BHQ=60°解得∠AHB=81°a.在△ABH 中,由∠AHB=81°,∠ABD=30°,解得∠BAH=69°b.在△AHP 中,由∠AHP=120°,AH=PH ,解得∠P AH=30°c.在△ADB 中,由∠ADB=∠ABD= 30°,解得∠BAD=120° 由a 、b 、c 可得∠DAP=21°在△DAP 中,由∠ADP= 60°,∠DAP=21°,AD=1,可解△DAP ,从而求得DP 长5(2019.1+++通州+++初三上+++期末) (1)BF =(2)①依据题意补全图形 ②证明:如图,连接BF 、GB ∵四边形ABCD 是正方形∴AD =AB ,90ABC BAD ∠=∠=︒,AC 平分BAD ∠ ∴45BAC DAC ∠=∠=︒.在△ADF 和△ABF 中 AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△ADF ≌△ABF ∴DF BF = ∵EF ⊥AC ,90ABC ∠=︒,点G 是AE 的中点 ∴AG EG BG FG === ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心,AG 长为半径的圆上 ∵BF BF =,45BAC ∠=︒ ∴290BGF BAC ∠=∠=︒ ∴△BGF 是等腰直角三角形∴BF =∴DF =6(2019.1+++燕山+++初三上+++期末)(1) ① ∠BCE =35° ② AE =CE证明:过点B 作BG ⊥BE ,交AM 于点G ∴∠GBE =∠GBC +∠2=90° ∵正方形ABCDA BCDP HQ∴AB =BC ,∠ABC =∠1+∠GBC =90° ∴∠1=∠2 ∵∠ABC =∠CEA =90°,∠4=∠5 ∴△ABF ∽△CEF∴∠α=∠3 ∴在△ABG 和△CBE 中 ∠1=∠2,AB =BC ,∠α=∠3∴△ABG ≌△CBE ∴AG =CE ,BG =BE ∵在△BEG 中,∠GBE =90°,BG =BE ∴GEBE ∴AE =AG +GE =CEBE (2) AE +CEBE7(2019.1+++房山+++初三上+++期末) (1)补全图形如图分(2)证明:∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD ∵FE ⊥AD , ∠ACF∴∠CFH =∠CAD ∴∠BAD =∠CFH , (3)猜想: 222AB FD FB += 证明:连接AF∵EF 为AD 的垂直平分线 ∴AF=FD ,∠ ∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ∵AD 是角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ∴∠CAF =∠B ∴∠BAF =∠BAC +∠CAF =∠BAC +∠B =90° ∴222AB AF FB += ∴222+=AB FD FB8(2019.1+++门头沟+++初三上+++期末) (1)证明:如图1,∵ ∠ACB = 90°,AE ⊥BD ∴ ∠ACB =∠AEB = 90° 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠CAE =∠CBD②EF BE=+证明:在AE上截取AM,使AM=BE又∵AC=CB,∠CAE =∠CBD ∴△ACM≌△BCE∴CM=CE,∠ACM=∠BCE 又∵∠ACB =∠ACM+∠MCB=90°∴∠MCE=∠BCE+∠MCB=90°∴.ME=又∵射线AE绕点A顺时针旋转45°,后得到AF,且∠AEF=90°∴EF=AE=AM+ME=BE9(2019.1+++朝阳+++初三上+++期末)10(2019.1+++西城+++初三上+++期末)11(2019.1+++大兴+++初三上+++期末)(1)补全的图形如图所示 (2)解:由题意可知,∠ECF=∠ACG=90° ∴∠FCG=∠ACE=α∵过点A 作AB 的垂线AD ∴∠BAD=90° ∵AB=BC,∠ABC =90° ∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45°∴∠AFC =α+45°(3)AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += 由(2)可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF ,∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF∴AE =FG 在Rt △ACG 中 ∴AG =∴AE AF += ∵AC = ∴2AE AF BC +=12(2019.1+++东城+++初三上+++期末)无答案(2)∵点P 为线段DE 的中点 ∴DP =EP在△MPE 和△FPD 中 MP FP MPE FPD EP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE ≌△FPD (SAS )…………………………………………………………2分 ∴DF =ME ∵E 为MN 的中点 ∴MN =2ME ∵MN =2MB∴MB =ME=D F .…………………………………………………………3分(3)结论:AM = …………………………………………………………4分 连接AF由(2)可知:△MPE ≌△FPD ∴∠DFP =∠EMP . ∴DF ∥ME. ∴∠FDN =∠MND.在正方形ABCD 中,AD =AB ,∠BAD =90° 又∵∠BMN =90°∴∠MBA +∠MNA =180° 又∵∠MNA +∠MND =180° ∴∠MBA =∠MND∴∠FDN =∠MBA …………………………………………………………5分 在△F AD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△F AD ≌△MAB (SAS ) ∴∠F AD =∠MAB F A =MA∴∠F AM =∠DAB =90°∴△F AM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分∴FM = 又∵FM =2PM∴AM = …………………………………………………………7分13(2019.1+++平谷+++初三上+++期末)。
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如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,D 为AC 上一点(与点A ,C 不重合),连接BD ,过点A 作AE ⊥BD 的 延长线于E(1)①在图中作出△ABC 的外接圆⊙O ,并用文字描述 圆心O 的位置②连接OE ,求证:点E 在⊙O 上(2)①延长线段BD 至点F ,使EF =AE ,连接CF ,根据题 意补全图形②用等式表示线段CF 与AB 的数量关系,并证明 2如图,△ABC 是等边三角形,D ,E 分别是AC ,BC 边上的点,且AD = CE ,连接BD ,AE 相交于点F (1)∠BFE 的度数是(2)如果21=AC AD ,那么=BF AF (3)如果nAC AD 1=时,请用含n 的式子表示AF ,BF 的数量关系,并证明ABC DEADBF已知在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =α,直线l 经过点A (不经过点B 或点C ),点C 关于直线l 的对称点为点D ,连接BD ,CD(1)如图1 ①求证:点,,B C D 在以点A 为圆心,AB 为半径的圆上 ②直接写出∠BDC 的度数(用含α的式子表示)为___________(2)如图2,当α=60°时,过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ,求证:AE =BD(3)如图3,当α=90°时,记直线l 与CD 的交点为F ,连接BF .将直线l 绕点A 旋转,当线段BF 的长取得最大值时,直接写出tan FBC ∠的值4在菱形ABCD 中,∠ADC=60°,BD 是一条对角线,点P 在边CD 上(与点C ,D 不重合),连接AP ,平移ADP ∆,使点D 移动到点C ,得到BCQ ∆,在BD 上取一点H ,使HQ=HD ,连接HQ ,AH ,PH (1) 依题意补全图1 (2)判断AH 与PH 的数量关系及∠AHP 的度数,并加以证明 (3)若141AHQ ∠=︒,菱形ABCD 的边长为1,请写出求DP 长的思路(可以不写出计算结果.........)BBA BCDPA BCD如图1,在正方形ABCD 中,点F 在边BC 上,过点F 作EF ⊥BC ,且FE =FC (CE <CB ),连接CE 、AE ,点G 是AE 的中 点,连接FG(1)用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________(2)将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转,使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的对角线AC 上,点G 仍是AE 的中点,连接FG 、DF①在图2中,依据题意补全图形 ②求证:DF =6正方形ABCD 中,将边AB 所在直线绕点A 逆时针旋转一个角度α得到直线AM ,过点C 作CE ⊥AM ,垂足为E ,连接BE(1) 当045α︒<<︒时,设AM 交BC 于点F① 如图1,若α=35°,则∠BCE = ° ② 如图2,用等式表示线段AE ,BE ,CE 之间的数量关系,并证明 (2) 当4590α︒<<︒时(如图3),请直接用等式表示线段AE ,BE ,CE 之间的数量关系图2图1F 35°MBC DAEF AB EMC DαAB EMCD如图,Rt △ ABC 中,∠ACB =90°,AD 平分∠BAC , 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ,交BC 的延长线于点F ,交AB 于点G ,交AC 于点H(1)依题意补全图形8如图,在△ABC 中,AC = BC ,∠ACB = 90°,D 是线段AC 延长线上一点,连接BD ,过点A 作AE ⊥BD 于E (1)求证:∠CAE =∠CBD(2)将射线AE 绕点A 顺时针旋转45°后,所得的射线与线段BD 的延长线交于点F ,连接CE ① 依题意补全图形② 用等式表示线段EF ,CE ,BE 之间的数量关系,并证明AABCDEM 是正方形ABCD 的边AB 上一动点(不与A ,B 重合)MC BP ⊥,垂足为P ,将CP B ∠绕点P 旋转,得到''PB C ∠,当射线'PC 经过点D 时,射线'PB 与BC 交于点N (1)依题意补全图形 (2)求证:CPD ∽∆∆BPN(3)在点M 的运动过程中,图中是否存在与BM 始终相等的线段?若存在,请写出这条线段并证明,若不存在,请说明理由10如图,在△ABC 中,AB =AC .△ADE ∽△ABC ,连接BD ,CE (1)判断BD 与CE 的数量关系,并证明你的结论(2)若AB =2,AD =22,∠BAC =105°,∠CAD =30° ①BD 的长为②点P ,Q 分别为BC ,DE 的中点,连接PQ ,写出求PQ 长的思路如图,在ABC Rt ∆中,BC AB ABC ==∠,090,点E 为线段AB 上一动点(不与点A ,B 重合),连接CE ,将AC E ∠的两边CE ,CA 分别绕点C 顺时针旋转090,得到射线''CA CE ,,过点A 作AB 的垂线AD ,分别交射线''CA CE ,于点F ,G(1)依题意补全图形(2)若α=∠ACE ,求AFC ∠的大小(用含α的式子表示) (3)用等式表示线段AE ,AF ,与BC 之间的数量关系,并证明12如图,M 为正方形ABCD 内一点,点N 在AD 边上,且MB MN BMN 2900==∠,,点E 为MN 的中点,点P 为DE 的中点,连接MP 并延长到点F ,使得PF=PM ,连接DF (1)依题意补全图形 (2)求证:DF=BM(3)连接AM ,用等式表示线段PM 和AM 的数量关系并证明如图,正方形ABCD,将边CD绕点C顺时针旋转60°,得到线段CE,连接DE,AE,BD交于点F(1)求∠AFB的度数(2)求证:BF=EFAB,CF,EF的数量关系E答案1(2019.1+++昌平+++初三上+++期末)(1)①圆心O 的位置在线段AB 的中点,正确画出图②∵AE ⊥BD ∴△AEB 为直角三角形 ∵点O 为线段AB 的中点 ∴OE =OA =OB =r ∴点E 在⊙O 上 (2)①补全图形=AB证明如下: ∵AC =BC ,∠ACB =90° ∴∠BAC =∠CBA = 45° ∵BC BC =∴∠BEC =∠BAC = 45° ∵AE ⊥BD ∴∠BEA =90° ∴∠CEA =90°+ 45°= 135° ∵∠CEF =180°-∠CEB =135° ∴∠CEA =∠CEF ∵AE =EF ,∠CEA =∠CEF ,CE =C E ∴△CEA ≌△CEF ∴CF =CA ∵在等腰t ∆R ACB中,=AB∴=AB2(2019.1+++丰台+++初三上+++期末) (1)60° (2)1 (3)11AF BF n =- 证明:延长FE 至G ,使FG =FB 连接GB ,GC由(1)知,∠BFG=60° ∴△BFG 为等边三角形 ∴BF =BG ,∠FBG=∠FGB=60° ∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=BC ,∠ABC=60° ∴∠ABF=∠CBG ∴△ABF ≌△CBG ∴∠BFA=∠BGC=120° ∴∠FGC=60° ∴∠FGC=∠BFG ∴FB ∥CG ∴AF AD FG DC = ∵1AD AC n = ∴11AF FG n =- ∴11AF BF n =-CAE BD F3(2019.1+++海淀+++初三上+++期末) (1)①证明:连接AD ,如图1∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴AC AD = ∵AB AC = ∴AB AC AD ==∴点B C D ,,在以A 为圆心,AB 为半径的圆上 ②12α(2)证法一: 证明:连接CE ,如图2 ∵=60α°∴1302BDC α∠==° ∵DE BD ⊥ ∴90CDE ∠=°60BDC -∠=° ∵点C 与点D 关于直线l 对称 ∴EC ED = ∴CDE △是等边三角形∴CD CE =,60DCE ∠=° ∵AB AC =,60BAC ∠=° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB =,60ACB ∠=° ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠,BCD ACB ACD ∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ ∴ACE BCD △≌△ ∴AE BD = 证法二:证明:连接AD ,如图2 ∵点C 与点D 关于直线l 对称∴AD AC AE CD =,⊥ ∴12DAE DAC ∠=∠∵12DBC DAC ∠=∠∴DBC DAE ∠=∠∵AE CD ⊥,BD DE ⊥∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°∴BDC DEA ∠=∠ ∵60AB AC BAC =∠=,° ∴ABC △是等边三角形 ∴CA CB AD == ∴BCD △≌ADE △ ∴AE BD = (3)134(2019.1+++怀柔+++初三上+++期末) (1)补全图形,如图所示图2lD A 图1lEDCBA图2(2)AH 与PH 的数量关系:AH =PH ,∠AHP =120° 证明:如图,由平移可知,PQ=DC ∵四边形ABCD 是菱形,∠ADC=60° ∴AD=DC ,∠ADB =∠BDQ =30° ∴AD=PQ∵HQ=HD ∴∠HQD =∠HDQ =30° ∴∠ADB =∠DQH ,∠D HQ=120°∴△ADH ≌△PQH ∴AH =PH ,∠A HD =∠P HQ ∴∠A HD+∠DHP =∠P HQ+∠DHP ∴∠A HP=∠D HQ ∵∠D HQ=120° ∴∠A HP=120° (3)求解思路如下:由∠A HQ=141°,∠B HQ=60°解得∠A HB=81°a.在△ABH 中,由∠A HB=81°,∠A BD=30°,解得∠BA H=69°b.在△AHP 中,由∠A HP=120°,AH=PH ,解得∠PA H=30°c.在△ADB 中,由∠A DB=∠A BD= 30°,解得∠BAD =120° 由a 、b 、c 可得∠DAP =21°在△DAP 中,由∠A DP= 60°,∠DAP =21°,AD=1,可解△DAP ,从而求得DP 长5(2019.1+++通州+++初三上+++期末) (1)BF =(2)①依据题意补全图形 ②证明:如图,连接BF 、GB ∵四边形ABCD 是正方形∴AD =AB ,90ABC BAD ∠=∠=︒,AC 平分BAD ∠ ∴45BAC DAC ∠=∠=︒.在△ADF 和△ABF 中 AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△ADF ≌△ABF ∴DF BF = ∵EF ⊥AC ,90ABC ∠=︒,点G 是AE 的中点 ∴AG EG BG FG === ∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心,AG 长为半径的圆上 ∵BF BF =,45BAC ∠=︒ ∴290BGF BAC ∠=∠=︒A BCDP HQ∴△BGF 是等腰直角三角形∴BF =∴DF =6(2019.1+++燕山+++初三上+++期末)(1) ① ∠BCE =35° ② AE =CEBE 证明:过点B 作BG ⊥BE ,交AM 于点G∴∠GBE =∠GBC +∠2=90° ∵正方形ABCD ∴AB =BC ,∠ABC =∠1+∠GBC =90° ∴∠1=∠2 ∵∠ABC =∠CEA =90°,∠4=∠5 ∴△ABF ∽△CEF∴∠α=∠3 ∴在△ABG 和△CBE 中 ∠1=∠2,AB =BC ,∠α=∠3∴△ABG ≌△CBE ∴AG =CE ,BG =BE ∵在△BEG 中,∠GBE =90°,BG =BE ∴GEBE ∴AE =AG +GE =CEBE (2) AE +CE7(2019.1+++房山+++初三上+++期末) (1)补全图形如图分(2)证明:∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD ∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°∴∠CFH =∠CAD ∴∠BAD =∠CFH , 即∠(3)猜想: 222AB FD FB += 证明:连接AF∵EF 为AD 的垂直平分线 ∴AF=FD ,∠ ∴∠DAC +∠CAF =∠B +∠BAD ∵AD 是角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ∴∠CAF =∠B ∴∠BAF =∠BAC +∠CAF =∠BAC +∠B =90° ∴222AB AF FB += ∴222+=AB FD FB8(2019.1+++门头沟+++初三上+++期末)(1)证明:如图1,∵∠ACB = 90°,AE⊥BD ∴∠ACB =∠AEB = 90°又∵∠1=∠2 ∴∠CAE =∠CBD(2)①补全图形如图2②EF BE =+证明:在AE上截取AM,使AM=BE又∵AC=CB,∠CAE =∠CBD ∴△ACM≌△BCE∴CM=CE,∠ACM=∠BCE 又∵∠ACB =∠ACM+∠MCB=90°∴∠MCE=∠BCE+∠MCB=90°∴.ME=又∵射线AE绕点A顺时针旋转45°,后得到AF,且∠AEF=90°∴EF=AE=AM+ME=BE9(2019.1+++朝阳+++初三上+++期末)图2 图110(2019.1+++西城+++初三上+++期末)11(2019.1+++大兴+++初三上+++期末) (1)补全的图形如图所示 (2)解:由题意可知,∠ECF=∠ACG=90° ∴∠FCG=∠ACE=α∵过点A 作AB 的垂线AD ∴∠BAD=90° ∵AB=BC,∠ABC =90° ∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45° ∴∠AFC =α+45°(3)AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += 由(2)可知∠DAC=∠AGC=45° ∴CA=CG ∵∠ACE =∠GCF ,∠CAE =∠CGF ∴△ACE ≌△GCF ∴AE =FG 在Rt △ACG 中∴AG =∴AE AF +=∵AC = ∴2AE AF BC +=12(2019.1+++东城+++初三上+++期末)无答案27.解:(1)…………………………………………………………1分(2)∵点P为线段DE 的中点 ∴DP =EP在△MPE 和△FPD 中MP FP MPE FPD EP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE ≌△FPD (SAS )…………………………………………………………2分 ∴DF =ME ∵E 为MN 的中点 ∴MN =2ME ∵MN =2MB∴MB =ME =D F .…………………………………………………………3分(3)结论:AM …………………………………………………………4分 连接AF由(2)可知:△MPE ≌△FPD ∴∠DFP =∠EMP. ∴DF ∥ME. ∴∠FDN =∠MND.在正方形ABCD 中,AD =AB ,∠BAD =90° 又∵∠BMN =90°∴∠MBA +∠MNA =180°又∵∠MNA +∠MND =180° ∴∠MBA =∠MND∴∠FDN =∠MBA …………………………………………………………5分 在△FAD 和△MAB 中 FD MB FDA MBA DA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△F AD ≌△MAB (SAS ) ∴∠FAD =∠MAB FA =MA∴∠FAM =∠DAB =90°∴△FAM 为等腰直角三角形…………………………………………………………6分∴FM = 又∵FM =2PM∴AM = …………………………………………………………7分13(2019.1+++平谷+++初三上+++期末)。