高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习

高考数学内切球和外接球问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .

解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为π

27.

例2、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.

解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是3

2所以球的半径为3.故该球的体积为π3

4.

2、求长方体的外接球的有关问题

例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.

例2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.

A. 16π

B. 20π

C. 24π

D. 32π

解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.

3.求多面体的外接球的有关问题

例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于

底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱

柱的体积为9

8，底面周长为３，则这个球的体积为

.

解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有

2

63,1,2936,384x x x h h =⎧⎧

=⎪⎪

∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩．

∴正六棱柱的底面圆的半径

1

2r =

，球心到底面的距离

32d =

.∴外接球的半径221R r d =+=.

43V π

∴=

球.

小结 本题是运用公式2

2

2

R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

二、构造法(补形法)

1、构造正方体

例1 、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.

解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD 3=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9π.

例2、 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为

3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.

设其外接球的半径为R ，则有

()()()()

2

2

2

2

23

3

3

9

R =

++=.∴

29

4R =

.

故其外接球的表面积2

49S R ππ==.

小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直

径.设其外接球的半径为R ，则有222

2R a b c =++.

出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为

，则体对角线长为

，几何体的外接球直径为

体对角线长 即

例3、在四面体

中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该

四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解：

因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长

所以：四面体外接球的直径为的长 即：

所以

球的表面积为

例4、 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

（ ）

A. 3π

B. 4π

C. 33π

D. 6π

解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A BDE -满足条件，即

AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==133 A. (如图2)

例5、在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0

DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.

A

D

图