热传导问题

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网

上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的

资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参

考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规

则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员 (打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

非均匀介质等效热传导系数的均匀化计算

摘要

本问题是一个利用已知某些小块物体的热导率（常数）来计算由这些小块物体组成的（各处热传导系数不同的）非均匀物体的（以常数表示的）等效热传导率。我们主要是利用放置完成前后的热传导效率相同列等式计算。

问题一, 将任意两个小正方体的两个面紧挨在一起并列放置，求所得长方体等效热传导系数。那么我们可以选用两个小正方体紧挨在一起的面为例计算。利用傅里叶定律，推倒得出热传导效率与温度差、传导系数和正方体大小的关系。利用放置完成前后的热传导效率相同列等式计算。最终得到结果: 由两个小方块组成的长方体的等效热传导系数2

12112k k k k M += 问题二，将N 小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（1*N 形式），求所得长方体等效热传导系数。那么我们可以选用小正方体紧挨在一起的面为例计算。本问题与问题一本质上是相同的，也是利用放置完成前后的热传导效率相同列等式计算。最终得到结果: 由n 个小方块组成的长方体的等效热传导系数是：n

k k k kn k nk M +++=......21212 问题三，2N 小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（2*N 形式），求所得长方体等效热传导系数。此时我们可以设定把2N 个小正方体分别依次两两紧挨在一起并列放置成1*N 形式的长方体（与问题二相同），传热稳定后再将这两个长方体排列在一起，成为一个2*N 形式的大长方体。我们还是选用小正方体紧挨在一起的面为例计算。问题三的计算方法与问题而相似，同样是利用利用放置完成前后的热传导效率相同列等式计算。得到：2*N 形式的大长方体的热传导系数：32

31323132M M M M M +=

关键词 热传导 傅里叶定律

一问题复述

物体或系统内各点间的温度差存在是产生热传导的必要条件，由热传导方式引起的传热速率（称为导热速率）决定于物体内温度的分布情况。热传导的机理较复杂，1822年，法国数学家Fourier对导热数据和实践经验的提炼，将导热规律总结为傅立叶定律。即通过等温面的导热速率与温度梯度及传热面积成正比,导热系数通常由实验测定，它表征物质导热能力的大小。一个实际问题是，如果已知实验测得某些小块物体的热导率（为常数），如何计算由这些小块物体组成的（各处热传导系数不同的）非均匀物体的（以常数表示的）等效热传导率。

抽象出的数学建模问题如下：

如果已知N个大小相同而热传导系数不同的小正方体，每个小正方体的导热系数分别为常数k1,k2,…,kN, 请就以下问题讨论并建立数学模型：

将任意两个小正方体的两个面紧挨在一起并列放置，请合理给出所得长方体的等效热传导系数（可以任意两个相对的表面之间的计算为例）。

将N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（1*N形式），请建立模型合理给出所得长方体等效热传导系数计算方法（可以任意两个相对的表面之间的计算为例），并给出算例结果。

2N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（2*N形式），请建立模型给出所得长方体的等效热传导系数的计算结果（可以任意两个相对的表面之间的计算为例）。并讨论一般的强烈非均匀介质物体的等效热传导系数的计算方法

二问题的分析

1，问题一, 将任意两个小正方体的两个面紧挨在一起并列放置，求所得长方体等效热传导系数。那么我们可以选用两个小正方体紧挨在一起的面为例计算。

2，问题二，将N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（1*N形式），求所得长方体等效热传导系数。那么我们可以选用小正方体紧挨在一起的面为例计算。

3，问题三，2N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（2*N形式），求所得长方体等效热传导系数。此时我们可以设定把2N个小正方体分别依次两两紧挨在一起并列放置成1*N形式的长方体（与问题二相同），传热稳定后再将这两个长方体排列在一起，成为一个2*N形式的大长方体。我们还是选用小正方体紧挨在一起的面为例计算。

三模型假设

1，假设两个小正方体除接触面外其他边缘处的热损忽略。

2，假设是一维稳定导热，即小方块的温度变化仅沿垂直于接触面的水平方向变化。 3，假设小方块间的热传导都是稳定的。

4，假设小方块面与面之间接触良好，即接触的两表面温度相同。

5，假设小方块都是一个一个依次放置的。

四符号说明

s 表示小方块的各个面的面积 t 温度

q 表示导热速率 b 表示小方块的边长

t ∆ 表示温度差 1M 两个小正方体连在一起时的热导系数 2M 表示N 个小正方体连在一起时的热导系数

3M 表示2N 个小正方体连在一起时的热导系数

31M 表示第三问中N →1个小正方体连在一起时的热导系数

32M 表示第三问中N N 21→+个小正方体连在一起时的热导系数

五 建立数学模型

图一

2t 如右图一所示（竖直方向为y 轴，表示

时间t ；水平方向为x 轴，表示平壁的厚度即小正方体的边长），是一个稳定的一维平壁热传导，已知小方块的材质均匀，热导系数为k

（常数），两壁面的温度分别为1t 和2t ，且

21t t >，即小方块内的温度仅沿垂直于壁面的x 方向变化。

由傅里叶定律得： dx

dt ks

q -= （这里的‘-’热量是由温度高的地方传向温度低的地方）