高考数学一轮复习 二项式定理
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(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m 的通项公式，综合考虑．
考法三 形如(a＋b＋c)n 的展开式问题
[例 3] (1)(2019·枣阳模拟)(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2
的系数为
()
A．百度文库0 B．20 C．30
D．60
[解析] (x2＋x＋y)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－r·yr， 令 r＝2，则 T3＝C52(x2＋x)3y2， 又(x2＋x)3 的展开式的通项为 C3k(x2)3－k·xk＝C3kx6－k， 令 6－k＝5，则 k＝1， 所以(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为 C25C13＝30，故选 C. [答案] C
x3 的项为1x·C45(2x)4＝80x3，∴x3 的系数为 40＋80＝120.故选 A.
[答案] A
(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x)8(1＋y)4 的展开式中 x2y2 的
系数是
()
A．56
B．84
C．112
D．168
[解析] 根据(1＋x)8 和(1＋y)4的展开式的通项公式可得，
故选 B.
答案：B
突破点二 二项式系数性质及应用
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
二项式系数的性质
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．
() (2)在(1－x)9 的展开式中，系数最大的项是第 5 项和第 6 项．
()
(3)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋
项的 系数
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等， 与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n 的 展开式中，第 r＋1 项的系数是 Crnan－rbr
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．
()
(2)在(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( )
)
A．6
B．－6
C．24
D．－24
解析：由x＋1x－16＝C06x＋1x6－C16x＋1x5＋C62x＋1x4＋…
－C56x＋1x＋C66，可知只有－C61x＋1x5 的展开式中含有 x5，
所以x＋1x－16 的展开式中含 x5 项的系数为－C05C16＝－6，
(2)(2019·襄阳四中月考)设(x2＋1)(2x＋1)8＝a0＋a1(x＋2) ＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10，则 a0＋a1＋a2＋…＋a10 的值为 ________．
[解析] 在所给的多项式中，令 x＝－1 可得(1＋1)× (－2＋1)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，即 a0＋a1＋a2＋…＋a10＝2.
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第二节 二项式定理
[考纲要求] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
Contents
1 突破点一 二项式的通项公式及应用 2 突破点二 二项式系数性质及应用 3 课时跟踪检测
突破点一 二项式的通项公式及应用
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
a1 的值为 128.
()
答案：(1)× (2)× (3)×
二、填空题
1．若x2－1xn 的展开式中的所有二项式系数之和为 512， 则该展开式中常数项为________． 答案：84
2．已知 m 是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋ a1x＋a0 且 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则 m＝________. 答案：3
1
4
8 的展开式中的有理项共有________项．
2 x
答案：3
研透高考·深化提能
[全析考法]
考法一 形如(a＋b)n 的展开式问题
[例 1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5 的展开式中 x4 的系
数为
()
A．10 B．20 C．40 D．80
[解析] x2＋2x5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr ＝Cr5·2r·x10－3r，令 10－3r＝4，得 r＝2.故展开式中 x4 的系数为 C52·22＝40.
[答案] 2
[易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字 母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系 数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．
考法二 二项式系数或展开式系数的最值问题
求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二 项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n 中 n 的奇偶及二次项系数的性质求解．
[答案] C
(2)(2019·陕西黄陵中学月考)x＋21x6 的展开式中常数项为
()
A．52
B．160
C．－52
D．－160
[解析] x＋21x6 的展开式的通项 Tr＋1＝C6rx6－r21xr＝
12rCr6x6－2r，令 6－2r＝0，得 r＝3，所以展开式中的常数项
是 T4＝123C63＝52，选 A.
[答案] A
[方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第 k＋1 项，再由特定项的特点求出 k 值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出 参数项，再由通项公式写出第 k＋1 项，由特定项得出 k 值， 最后求出其参数．
2.[考法二](x2－2)1＋2x5 的展开式中 x－1 的系数为
A．60
B．50
C．40
D．20
()
解析：由通项公式得展开式中 x－1 的系数为 23C35－22C51＝60.
答案：A
3.[考法二](x＋y)(2x－y)6 的展开式中 x4y3 的系数为 ( )
A．－80
B．－40
破解(a＋b＋c)n 的展开式的特定项的系数题，常用如下技 巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不 能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两 项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．
[集训冲关]
1.[考法一]( 2＋3 3)100 的展开式中，无理数项的个数是( )
即 a＝1，展开式中第 2,4,6 项的系数为负数，第 1,3,5 项的
系数为正数，故各项的系数中最大值为 C25＝10，选 B.
[答案] B
(2)(2019·福州高三期末)设 n 为正整数，x－x23n 的展开式 中仅有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ________．
令 r－2t＝0，得rt＝＝00， 或rt＝＝12， 或rt＝＝24，，
所以2x＋1x－15 的展开式中的常数项为(－1)5C05＋(－1)3C25 ×2C12＋(－1)1C45×22C24＝－161.
[答案] －161
[方法技巧] 三项展开式问题的破解技巧
展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R )的式子求其展开式各项系数
之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(3)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各 项系数之和为 f(1)．
①奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， ②偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
x2y2 的系数为 C28C24＝168.故选 D.
[答案] D
[方法技巧] 求解形如(a＋b)n(c＋d)m 的展开式问题的思路
(1)若 n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个， 如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝ [(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
[例 2] (1)(2019·内蒙古鄂尔多斯模拟)在x－ax5 的展开式中， x3 的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )
A．5
B．10
C．15
D．20
[解析] x－ax5 的展开式的通项 Tr＋1＝C5rx5－r·－axr＝
(－a)rCr5x5－2r，令 5－2r＝3，则 r＝1，所以－a×5＝－5，
[例 1] (1)(2019·郑州一中月考)若二项式x2－2xn 的展开式
的二项式系数之和为 8，则该展开式每一项的系数之和为( )
A．－1
B．1
C．27
D．－27
[解析] 依题意得 2n＝8，解得 n＝3，取 x＝1，得该二
项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.故选 A.
[答案] A
[解析] 依题意得，n＝8，所以展开式的通项 Tr＋1 ＝Cr8x8－r·－x23r＝Cr8x8－4r(－2)r，令 8－4r＝0，解得 r＝2， 所以展开式中的常数项为 T3＝C82(－2)2＝112.
[答案] 112
[方法技巧] 求展开式系数最值的 2 个思路
由于二项展开式中的系数是关于正整数 n 的 式子，可以看作关于 n 的数列，通过判断数 思路一 列单调性的方法从而判断系数的增减性，并
(3)(a＋b)n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
二、填空题
1.1x－
x10 的展开式中 x2 的系数等于________．
答案：45
2.在x2－2x6 的展开式中，常数项为________． 答案：240
3.
x－
考法二 形如(a＋b)n(c＋d)m 的展开式问题
[例 2] (1)(2018·广东一模)x＋1x(1＋2x)5 的展开式中，
x3 的系数为
()
A．120 B．160 C．100 D．80
[解析] x＋1x(1＋2x)5＝x(1＋2x)5＋1x(1＋2x)5，∵x(1＋2x)5 的展开式中含 x3 的项为 x·C52(2x)2＝40x3，1x(1＋2x)5 的展开式中含
C．40
D．80
解析：(2x－y)6 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－y)r，
当 r＝2 时，T3＝240x4y2，当 r＝3 时，T4＝－160x3y3，故 x4y3
的系数为 240－160＝80，故选 D.
答案：D
4.[考法三]在x＋1x－16 的展开式中，含 x5 项的系数为(
A．84
B．85
C．86
D．87
解析：( 2＋3 3)100 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr100( 2)100－r·
3
(
3)r＝C1r002 50－2r
r
×3 3 ，r＝0,1,2，…，100，
所以当 r 是 6 的倍数时，Tr＋1 为有理项，
所以 r＝0,6,12，…，96，共 17 项，
因为展开式共有 101 项，所以展开式中无理项的个数是 101－17＝84.故选 A. 答案：A
3．若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则 a1＋ a2＋a3＋a4＋a5＝________. 答案：2
研透高考·深化提能
[全析考法]
考法一 二项展开式中系数和的问题 赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R )的式子求其
1．二项式定理
二项展开式
公式(a＋b)n＝ Cn0an＋C1nan－1b＋…＋Cnkan－kbk ＋…＋Cnnbn (n∈N *)叫做二项式定理
二项式的通项
Tk＋1＝ Cnkan－kbk 为展开式的第 k＋1 项
2.二项式系数与项的系数
二项式 二项展开式中各项的系数 Crn(r∈{0，1，…，n}) 系数 叫做第 r＋1 项的二项式系数
(2)(2019·太原模拟)2x＋1x－15 的展开式中常数项是________． [解析] 由2x＋1x－15＝－1＋2x＋1x5，则其通项公式为 (－1)5－rCr52x＋1xr(0≤r≤5)，其中2x＋1xr 的通项公式为 2r－tCtrxr－2t(0≤t≤r)．
考法三 形如(a＋b＋c)n 的展开式问题
[例 3] (1)(2019·枣阳模拟)(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2
的系数为
()
A．百度文库0 B．20 C．30
D．60
[解析] (x2＋x＋y)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－r·yr， 令 r＝2，则 T3＝C52(x2＋x)3y2， 又(x2＋x)3 的展开式的通项为 C3k(x2)3－k·xk＝C3kx6－k， 令 6－k＝5，则 k＝1， 所以(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为 C25C13＝30，故选 C. [答案] C
x3 的项为1x·C45(2x)4＝80x3，∴x3 的系数为 40＋80＝120.故选 A.
[答案] A
(2)(2019·陕西两校联考)(1＋x)8(1＋y)4 的展开式中 x2y2 的
系数是
()
A．56
B．84
C．112
D．168
[解析] 根据(1＋x)8 和(1＋y)4的展开式的通项公式可得，
故选 B.
答案：B
突破点二 二项式系数性质及应用
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
二项式系数的性质
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．
() (2)在(1－x)9 的展开式中，系数最大的项是第 5 项和第 6 项．
()
(3)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋
项的 系数
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等， 与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n 的 展开式中，第 r＋1 项的系数是 Crnan－rbr
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．
()
(2)在(a＋b)n 的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b 无关．( )
)
A．6
B．－6
C．24
D．－24
解析：由x＋1x－16＝C06x＋1x6－C16x＋1x5＋C62x＋1x4＋…
－C56x＋1x＋C66，可知只有－C61x＋1x5 的展开式中含有 x5，
所以x＋1x－16 的展开式中含 x5 项的系数为－C05C16＝－6，
(2)(2019·襄阳四中月考)设(x2＋1)(2x＋1)8＝a0＋a1(x＋2) ＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10，则 a0＋a1＋a2＋…＋a10 的值为 ________．
[解析] 在所给的多项式中，令 x＝－1 可得(1＋1)× (－2＋1)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，即 a0＋a1＋a2＋…＋a10＝2.
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第二节 二项式定理
[考纲要求] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
Contents
1 突破点一 二项式的通项公式及应用 2 突破点二 二项式系数性质及应用 3 课时跟踪检测
突破点一 二项式的通项公式及应用
抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
a1 的值为 128.
()
答案：(1)× (2)× (3)×
二、填空题
1．若x2－1xn 的展开式中的所有二项式系数之和为 512， 则该展开式中常数项为________． 答案：84
2．已知 m 是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋ a1x＋a0 且 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则 m＝________. 答案：3
1
4
8 的展开式中的有理项共有________项．
2 x
答案：3
研透高考·深化提能
[全析考法]
考法一 形如(a＋b)n 的展开式问题
[例 1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5 的展开式中 x4 的系
数为
()
A．10 B．20 C．40 D．80
[解析] x2＋2x5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·2xr ＝Cr5·2r·x10－3r，令 10－3r＝4，得 r＝2.故展开式中 x4 的系数为 C52·22＝40.
[答案] 2
[易错提醒] (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字 母前面的数值(包括符号)； (2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系 数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．
考法二 二项式系数或展开式系数的最值问题
求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二 项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n 中 n 的奇偶及二次项系数的性质求解．
[答案] C
(2)(2019·陕西黄陵中学月考)x＋21x6 的展开式中常数项为
()
A．52
B．160
C．－52
D．－160
[解析] x＋21x6 的展开式的通项 Tr＋1＝C6rx6－r21xr＝
12rCr6x6－2r，令 6－2r＝0，得 r＝3，所以展开式中的常数项
是 T4＝123C63＝52，选 A.
[答案] A
[方法技巧] 二项展开式问题的常见类型及解法
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第 k＋1 项，再由特定项的特点求出 k 值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出 参数项，再由通项公式写出第 k＋1 项，由特定项得出 k 值， 最后求出其参数．
2.[考法二](x2－2)1＋2x5 的展开式中 x－1 的系数为
A．60
B．50
C．40
D．20
()
解析：由通项公式得展开式中 x－1 的系数为 23C35－22C51＝60.
答案：A
3.[考法二](x＋y)(2x－y)6 的展开式中 x4y3 的系数为 ( )
A．－80
B．－40
破解(a＋b＋c)n 的展开式的特定项的系数题，常用如下技 巧：若三项能用完全平方公式，那当然比较简单；若三项不 能用完全平方公式，只需根据题目特点，把“三项”当成“两 项”看，再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数．
[集训冲关]
1.[考法一]( 2＋3 3)100 的展开式中，无理数项的个数是( )
即 a＝1，展开式中第 2,4,6 项的系数为负数，第 1,3,5 项的
系数为正数，故各项的系数中最大值为 C25＝10，选 B.
[答案] B
(2)(2019·福州高三期末)设 n 为正整数，x－x23n 的展开式 中仅有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ________．
令 r－2t＝0，得rt＝＝00， 或rt＝＝12， 或rt＝＝24，，
所以2x＋1x－15 的展开式中的常数项为(－1)5C05＋(－1)3C25 ×2C12＋(－1)1C45×22C24＝－161.
[答案] －161
[方法技巧] 三项展开式问题的破解技巧
展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R )的式子求其展开式各项系数
之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(3)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各 项系数之和为 f(1)．
①奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， ②偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
x2y2 的系数为 C28C24＝168.故选 D.
[答案] D
[方法技巧] 求解形如(a＋b)n(c＋d)m 的展开式问题的思路
(1)若 n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个， 如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝ [(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
[例 2] (1)(2019·内蒙古鄂尔多斯模拟)在x－ax5 的展开式中， x3 的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )
A．5
B．10
C．15
D．20
[解析] x－ax5 的展开式的通项 Tr＋1＝C5rx5－r·－axr＝
(－a)rCr5x5－2r，令 5－2r＝3，则 r＝1，所以－a×5＝－5，
[例 1] (1)(2019·郑州一中月考)若二项式x2－2xn 的展开式
的二项式系数之和为 8，则该展开式每一项的系数之和为( )
A．－1
B．1
C．27
D．－27
[解析] 依题意得 2n＝8，解得 n＝3，取 x＝1，得该二
项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.故选 A.
[答案] A
[解析] 依题意得，n＝8，所以展开式的通项 Tr＋1 ＝Cr8x8－r·－x23r＝Cr8x8－4r(－2)r，令 8－4r＝0，解得 r＝2， 所以展开式中的常数项为 T3＝C82(－2)2＝112.
[答案] 112
[方法技巧] 求展开式系数最值的 2 个思路
由于二项展开式中的系数是关于正整数 n 的 式子，可以看作关于 n 的数列，通过判断数 思路一 列单调性的方法从而判断系数的增减性，并
(3)(a＋b)n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
二、填空题
1.1x－
x10 的展开式中 x2 的系数等于________．
答案：45
2.在x2－2x6 的展开式中，常数项为________． 答案：240
3.
x－
考法二 形如(a＋b)n(c＋d)m 的展开式问题
[例 2] (1)(2018·广东一模)x＋1x(1＋2x)5 的展开式中，
x3 的系数为
()
A．120 B．160 C．100 D．80
[解析] x＋1x(1＋2x)5＝x(1＋2x)5＋1x(1＋2x)5，∵x(1＋2x)5 的展开式中含 x3 的项为 x·C52(2x)2＝40x3，1x(1＋2x)5 的展开式中含
C．40
D．80
解析：(2x－y)6 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－y)r，
当 r＝2 时，T3＝240x4y2，当 r＝3 时，T4＝－160x3y3，故 x4y3
的系数为 240－160＝80，故选 D.
答案：D
4.[考法三]在x＋1x－16 的展开式中，含 x5 项的系数为(
A．84
B．85
C．86
D．87
解析：( 2＋3 3)100 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr100( 2)100－r·
3
(
3)r＝C1r002 50－2r
r
×3 3 ，r＝0,1,2，…，100，
所以当 r 是 6 的倍数时，Tr＋1 为有理项，
所以 r＝0,6,12，…，96，共 17 项，
因为展开式共有 101 项，所以展开式中无理项的个数是 101－17＝84.故选 A. 答案：A
3．若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则 a1＋ a2＋a3＋a4＋a5＝________. 答案：2
研透高考·深化提能
[全析考法]
考法一 二项展开式中系数和的问题 赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R )的式子求其
1．二项式定理
二项展开式
公式(a＋b)n＝ Cn0an＋C1nan－1b＋…＋Cnkan－kbk ＋…＋Cnnbn (n∈N *)叫做二项式定理
二项式的通项
Tk＋1＝ Cnkan－kbk 为展开式的第 k＋1 项
2.二项式系数与项的系数
二项式 二项展开式中各项的系数 Crn(r∈{0，1，…，n}) 系数 叫做第 r＋1 项的二项式系数
(2)(2019·太原模拟)2x＋1x－15 的展开式中常数项是________． [解析] 由2x＋1x－15＝－1＋2x＋1x5，则其通项公式为 (－1)5－rCr52x＋1xr(0≤r≤5)，其中2x＋1xr 的通项公式为 2r－tCtrxr－2t(0≤t≤r)．