圆的对称性

圆的对称性

温故知新：

1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点

A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD

1、圆的对称性

(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：

平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？

【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，

DE的度数．

CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒

AD、⌒

【例3】如图，在同圆中，若⌒

AB＝2⌒

CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．

A. AB＞2CD

B. AB＜2CD

C. AB＝2CD

D. 不能确定

【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．

【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？

【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？

课堂练习

1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )

A ．122°

B ．120°

C ．61°

D ．58°

2．下列结论中，正确的是( )

A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧

B ．等弧所对的圆心角相等

C ．相等的圆心角所对的弧相等

D ．长度相等的两条弧是等弧

3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )

A ．40°

B ．45°

C ．50°

D ．60°

4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝

60°，则∠COD 的度数是________．

5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝

________°.

6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．

7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD

的度数．

8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.

(1)求⊙O 的半径；

(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．

9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.

(1)求证：AC ＝BD ；

(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．

10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )

A ．AD ＝BD

B ．OD ＝CD

C ．∠CA

D ＝∠CBD

D ．∠OCA ＝∠OCB

11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与

点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．

12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直

线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．

13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：

(1)圆心O到AQ的距离；

(2)线段EF的长．

14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？

15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．

课后练习

1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．

2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的

是( )

A ．CE ＝DE

B ．AE ＝OE

C.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE

3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )

A ．3 cm

B ．4 cm

C ．5 cm

D ．6 cm

4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，

则CD 的长是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

6．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，

OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．

7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，

则⊙O 的半径为________．

8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .