圆的对称性

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圆的对称性

温故知新:

1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点

A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD

1、圆的对称性

(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论:

平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。

【例1】如图,AB、AC、BC是⊙O的弦,∠AOC=∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗?为什么?

【例2】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,以C为圆心,

DE的度数.

CA为半径的圆交AB于点D,交BC与点E.求⌒

AD、⌒

【例3】如图,在同圆中,若⌒

AB=2⌒

CD,则AB与2CD的大小关系是( ) .

A. AB>2CD

B. AB<2CD

C. AB=2CD

D. 不能确定

【例4】如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离为3厘米,求⊙O的半径.

【例5】如图,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm,水深GF=1cm,若水面上升1cm(EG=1cm),则此时水面宽AB为多少?

【例6】有一座弧形的拱桥,桥下水面的宽度AB 为7.2米,拱顶高出水面CD ,长为2.4米,现有一艘宽3米,船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗?

课堂练习

1.如图,在⊙O 中,AB ︵=AC ︵,∠AOB =122°,则∠AOC 的度数为( )

A .122°

B .120°

C .61°

D .58°

2.下列结论中,正确的是( )

A .同一条弦所对的两条弧一定是等弧

B .等弧所对的圆心角相等

C .相等的圆心角所对的弧相等

D .长度相等的两条弧是等弧

3.如图,在⊙O 中,若C 是AB ︵的中点,∠A =50°,则∠BOC 等于( )

A .40°

B .45°

C .50°

D .60°

4.如图,已知BD 是⊙O 的直径,点A ,C 在⊙O 上,AB ︵=BC ︵,∠AOB =

60°,则∠COD 的度数是________.

5.如图,AB 是⊙O 的直径,BC ︵=CD ︵=DE ︵,∠BOC =40°,则∠AOE =

________°.

6.在⊙O 中,若弦AB 的长恰好等于半径,则弦AB 所对的圆心角的度数为________.

7.如图,在⊙O 中,AB ,CD 是两条直径,弦CE ∥AB ,EC ︵的度数是40°,求∠BOD

的度数.

8.已知:如图,在⊙O 中,弦AB 的长为8,圆心O 到AB 的距离为3.

(1)求⊙O 的半径;

(2)若P 是AB 上的一动点,试求OP 的最大值和最小值.

9.如图,已知在以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于点C ,D.

(1)求证:AC =BD ;

(2)若大圆的半径R =10,小圆的半径r =8,且圆心O 到直线AB 的距离为6,求AC 的长.

10.如图,已知在⊙O 中,AB 是弦,半径OC ⊥AB ,垂足为D.要使四边形OACB 为菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是( )

A .AD =BD

B .OD =CD

C .∠CA

D =∠CBD

D .∠OCA =∠OCB

11.如图,AB 是⊙O 的弦,AB 的长为8,P 是⊙O 上一个动点(不与

点A,B重合),过点O作OC⊥AP于点C,OD⊥PB于点D,则CD的长为________.

12.如图,AB是⊙O的直径,AB=4,M是OA的中点,过点M的直

线与⊙O交于C,D两点.若∠CMA=45°,则弦CD的长为________.

13.已知:如图,∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=3 cm,BC=10 cm,以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E,F两点,求:

(1)圆心O到AQ的距离;

(2)线段EF的长.

14.如图,某地有一座圆弧形拱桥,圆心为O,桥下水面宽度AB为7.2 m,过点O作OC⊥AB于点D,交圆弧于点C,CD=2.4 m.现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥,则此货船能否顺利通过这座拱桥?

15.如图,AB,CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,试求PA+PC的最小值.

课后练习

1.圆是轴对称图形,____________都是它的对称轴,因此圆有________条对称轴.

2.如图,已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ,则下列结论中不一定正确的

是( )

A .CE =DE

B .AE =OE

C.BC ︵=BD ︵ D .△OCE ≌△ODE

3.在⊙O 中,非直径的弦AB =8 cm ,OC ⊥AB 于点C ,则AC 的长为( )

A .3 cm

B .4 cm

C .5 cm

D .6 cm

4.如图,AB 是⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5,AB =8,

则CD 的长是( )

A .2

B .3

C .4

D .5

5.如图,⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ,且CE =2,DE =8,则AB 的长为( )

A .2

B .4

C .6

D .8

6.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点.若BC =6,AB =10,

OD ⊥BC 于点D ,则OD 的长为________.

7.如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,已知CD =6,EB =1,

则⊙O 的半径为________.

8.如图是一个古代车轮的碎片,小明为求其外圆半径,连接外圆上的两点A ,B ,外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD =10 cm ,AB =60 cm ,则这个车轮的外圆半径是________cm .

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