立体几何的动态问题翻折问题

立体几何的动态问题之二

———翻折问题

立体几何动态问题的基本类型：

点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等

一、面动问题（翻折问题）：

（一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论

.DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即

五结论：

1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；

折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角；

3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现：

（一）翻折过程中的范围与最值问题

1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中，AD=AB=2，

CD=CB= 5,且AD AB ⊥，

现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ∆，则在'A BD ∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ .

解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A

运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以3

tan '3

A C

B ∠=

。 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误

1

2

进行分析，找出错误的原因。 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是

D

A

B

E C

D

A

B

C

4) ''D H DH

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕翻折形成两个同底的圆锥E

C

A.(

,)63

ππ B. (,]62

ππ C. (,]32

ππ D. 2(

,)3

3

ππ

分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。

方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理：

222254cos 243

FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==-，有321

44CH ≤≤

11cos ,22CFH ⎡⎤

∴∠∈-⎢⎥⎣⎦

异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,]

32ππ 方法三：向量基底法：

111

()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC

=+==+

111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ⎡⎤

<>=

<>∈-⎢⎥⎣⎦

方法四：建系：

3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成

A CD '∆，所成二面角A CD

B '--的平面角为α，则 （ B ）

A. A DB α'∠≤

B. A DB α'∠≥

C. A CB α'∠≥

D. A CB α'∠≤

方法一：特殊值

方法二：定义法作出二面角，在进行比较。

方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。

4、（14年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程

E F

B

D

C

A H

中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，则x 的取值范围是( A )

A ．(0，3] B.

⎝⎛⎦

⎤22，2 C ．(3，2 3] D ．(2，4] 方法一：利用特殊确定极端值

方法二：在DAB ∆中利用余弦定理转化为BDA ∠的函数求解。

方法三：取BC 的中点E,连接EA,ED 在DEA ∆中利用两边之和大于第三边求解。

（二）翻折之后的求值问题

5、（2016届丽水一模13）已知正方形ABCD ，E 是边AB 的中点，将ADE △沿DE 折起至DE A '，如图所示，若A CD '为正三角形，则ED 与平面DC A '所成角的余弦值是

6、（2016届温州一模8）如图，在矩形ABCD 中，

2AB =，4AD =，点E 在线段AD 上且3AE =，现分别沿,BE CE 将,ABE DCE ∆∆翻折，

使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D EC B --的余弦值为 ( D ) A ．45 B ．56 C ．67 D ．78

三、课后练习

1、（2012年浙江10）已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。将ABD ∆沿矩形的对角线BD

所

⇒

B

在的直线进行翻折，在翻折过程中（ B ） A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直. B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直. C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.

D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直

2（2009年浙江17）如图，在长方形ABCD 中，AB=2,BC=1,E 为DC 的中点，F 为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC,在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB,K 为垂足，设AK=t,则t 的取值范围是__1

(,1)2

_____.

3、（16年浙江六校联考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为正方形边上的动点， 现将△ADE 所在平面沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射 影H 在直线AE 上，当E 从点D 运动到C ，再从C 运动到B ， 则点H 所形成轨迹的长度为___π___.

4、（2010年浙江19改编）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在

线段AB ，AD 上，432

====FD AF EB AE ．沿直线EF 将AEF ∆翻折成EF A '∆，使平面EF A '⊥平面BEF ．点N M ,分别在线段BC

FD ,上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，则线段FM 的长为________

5、（16届金华十校一模17）如图，在矩形ABCD 中，已知AB =2，AD =4，

点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE =1，BF =3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上. (Ⅰ)求证: CD ⊥BE ;

A M F

E D C

B N

'

A D A

C

B E

A B B D

C A'