运筹学例题解析
运筹学习题解答
运筹学习题解答EX11、某铜⼚轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进⾏切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是⼀样的。
问应如何切割可使所⽤的原铜板为最少？解：本问题是⼀个套材下料问题，⽤穷举法找到所有可能切割的⽅式并建⽴数学模型：minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10S.T.3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 ≥110xi≥0 （i=1，2…..10）⽤LINGO编程：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10;3*x1+2*x2+2*x3+x4+x5+x6>=75;x2+2*x4+x6+3*x7+2*x8+x9>=50;x3+3*x5+x6+2*x8+3*x9+4*x10>=110;得出结果：Global optimal solution found.Objective value: 63.33333Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostX1 18.33333 0.000000X2 0.000000 0.5555556E-01X3 0.000000 0.1111111X4 0.000000 0.1111111X5 20.00000 0.000000X6 0.000000 0.1666667X7 0.000000 0.1666667X8 25.00000 0.000000X9 0.000000 0.5555556E-01X10 0.000000 0.1111111Row Slack or Surplus Dual Price1 63.33333 -1.0000002 0.000000 -0.33333333 0.000000 -0.27777784 0.000000 -0.2222222结论：最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。
运筹学实例 含解析
案例1. 工程项目选择问题某承包企业在同一时期内有八项工程可供选择投标。
其中有五项住宅工程，三项工业车间。
由于这些工程要求同时施工，而企业又没有能力同时承担，企业应根据自身的能力，分析这两类工程的盈利水平，作出正确的投标方案。
有关数据见下表：表1 可供选择投标工程的有关数据统计工程类型 预期利润/元 抹灰量/m 2混凝土量/ m 3砌筑量/ m 3住宅每项 50011 25 000 280 4 200 工业车间每项 80 000480 880 1 800 企业尚有能力108 0003 68013 800试建立此问题的数学模型。
解：设承包商承包X 1项住宅工程，X 2项工业车间工程可获利最高，依题意可建立如下整数模型：目标是获利最高，故得目标函数为21X 80000X 50011z Max +=根据企业工程量能力限制与项目本身特性，有约束：利用WinSQB 建立模型求解：1080002X 4801X 25000≤+3680X 880X 28021≤+13800X 1800X 420021≤+为整数，；，2121X X 3X 5X ≤≤综上，承包商对2项住宅工程，3项车间工程进行投标，可获利最大，目标函数Max z=340022 元。
案例2. 生产计划问题某厂生产四种产品。
每种产品要经过A，B两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成A工序，以A1 ，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，以B1 ，B2，B3 表示。
产品D可在A，B任何一种规格的设备上加工。
产品E可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工。
产品F可在A2及B2 ，B3上加工。
产品G可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1 ，B2设备上加工。
已知生产单件产品的设备工时，原材料费，及产品单价，各种设备有效台时如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大？设设产品设备有效台时1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B357647109812111068108601110000400070004000原料费（元/件）单价（元/件）0.251.250.352.000.502.800.42.4解：设Xia(b)j为i产品在a(b)j设备上的加工数量,i=1,2,3,4;j=1,2,3，得变量列表设备产品设备有效台时Ta(b)j1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B3X1a1X1a2X1b1X1b2X1b3X2a1X2a2X2b1X3b2X3b3X3a1X3a2X3b1X3b2X3b3X4a1X4a2X4b1X4b2X4b3601110000400070004000原料费Ci （元/件） 单价Pi （元/件） 0.25 1.25 0.352.00 0.50 2.80 0.4 2.4其中，令X 3a 1，X 3b 1，X 3b 2，X 3b 3，X 4b 3=0 可建立数学模型如下： 目标函数: ∑∑==-=4121)](*[Maxi j iaj Ci Pi X z=1.00*（X 1a 1+X 1a 2）+1.65*（X 2a 1+X 2a 2）+2.30* X 3a 2+2.00*（ X 4a 1+X 4a 2）约束条件：利用WinSQB 求解（X1~X4，X5~X8,X9~X12,X13~X17,X18~X20分别表示各行变量）：4,3,2,1X21j 31==∑∑==i X j ibjiaj2,1T X 41iaj=<=∑=j Taj i iaj 3,2,141=<=∑=j TbjT Xi ibj ibj2,1;4,3,2,10X iaj ==>=j i 且为整数32,1;4,3,2,10X ibj ，且为整数==>=j i 0X X X X X 4b33b33b23b13a1=====综上，最优生产计划如下：设备产品1 2 3 4A1 A2 B1 B2 B3774235004004008732875目标函数zMax=3495，即最大利润为3495案例3. 高校教职工聘任问题 （建摸）由校方确定的各级决策目标为：P 1 要求教师有一定的学术水平。
运筹学例题解析word精品
(一)线性规划建模与求解B.样题: 活力公司准备在 5小时内生产甲、乙两种产品。
甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。
又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量 的3倍。
已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为 3百元和1百元。
请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大？要求：1、建立该问题的线性规划模型。
2、用图解法求出最优解和最大销售利润值， 并写出解的判断依据。
如果不存在最优解，也请说明理由。
解: 1、(1)设定决策变量：设甲、乙两种产品分别生产 X]、X 2单位 _____________max z=2 X 1+X 2 _________________________________12X 1 亠X 2 乞5 s.t X 2 _3X !X,X 2 _01所示，其中可行域用阴影部分 目标函数只须画出其中一条等值线，求解过程如下：1•各个约束条件的边界及其方向如图 1中直线和箭头所示，其中阴影部分为可 行域，由直线相交可得其顶点 A(5,0)、 B(1,3)和 0(0,0)。
2. 画出目标函数的一条等值线 CD :2x 什X 2=0，它沿法线向上平移，目标函数 值z 越来越大。
3. 当目标函数平移到线段 AB 时时，z ⑵目标函数：.(3)约束条件如下:2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图 标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向， 顶点用大写英文字母标记。
-2 -1X 2> 3 X 4 B(1,3)3图1X25；A(5,O)T Max z 。
1MaX 2结论：本题解的情形是：无穷多最优解，理由:目标函数等值线z=2 X1+X2与约束条件2 X]+x?w 5的边界平行。
甲、乙两种产品的最优产量分别为(5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于_5_百元。
(二)图论问题的建模与求解样题A.正考样题(最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13)某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。
运筹学例题及解答
运筹学例题及解答一、市场对I、II两种产品的需求量为：产品I在1-4月每月需10000件，5-9月每月需30000件,10-12月每月需100000件；产品II在3-9月每月需15000件，其它月份每月需50000件。
某厂生产这两种产品成本为：产品I在1-5月内生产每件5元，6-12月内生产每件4.50元；产品II在1-5月内生产每件8元，6-12月内生产每件7元。
该厂每月生产两种产品能力总和应不超过120000件。
产品I容积每件0.2立方米，产品II容积每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米，要求：(a)说明上述问题无可行解；(b)若该厂仓库不足时，可从外厂借。
若占用本厂每月每平方米库容需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少。
解： (a) 10-12月份需求总计：100000X3+50000X3=450000件，这三个月最多生产120000X3=360000件，所以10月初需要（450000-360000=90000件）的库存，超过该厂最大库存容量，所以无解。
••（b）考虑到生产成本，库存费用和生产费用和生产能力，该厂10-12月份需求的不足只需在7-9月份生产出来库存就行，则设xi第i个月生产的产品1的数量，yi第i个月生产的产品2的数量，zi，wi分别为第i个月末1，2的库存数s1i，s2i分别为用于第i+1个月库存的原有及租借的仓库容量m3，可建立模型：Lingo 程序为 MODEL: sets: row/1..16/:;!这里n 为控制参数; col/1..7/:; AZ(row,col):b,x; endsetsdata:12111277777787887898998910910109101110111110111211min (4.57)( 1.5)30000150003000015000300001500030000150003000015000.i i i i i i z x y s s x z y w x z z y w w x z z y w w x z z y w w x z z y w w st x z ===+++-=→-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+-=→+-=+∑∑1211121100005000120000(712)0.20.415000(712)0i i i i i i iy w x z i z w s s s i ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨=→+=⎪⎪+≤≤≤⎪+=+⎪⎪≤≤≤⎪⎪⎩变量都大于等于b=1.754167,1.737500,1.737500,1.770833,1.770833,1.762500,1.7 62500,1.667500,1.609167,1.609167,1.650833,1.650833,1.659167 ,1.659167,1.396667,1.380000,1.380000,1.438333,1.438333,1.41 3333,1.413333,1.658333,1.633333,1.633333,1.658333,1.658333, 1.658333,1.658333,1.546667,1.513333,1.513333,1.555000,1.555 000,1.546667,1.546667,1.538333,1.496667,1.496667,1.480000,1 .480000,1.505000,1.505000,1.562500,1.545833,1.545833,1.5791 67,1.579167,1.570833,1.570833,1.645833,1.604167,1.604167,1. 637500,1.637500,1.637500,1.637500,1.670833,1.645833,1.64583 3,1.645833,1.645833,1.654167,1.654167,1.454167,1.420833,1.4 20833,1.412500,1.412500,1.420833,1.420833,1.463333,1.480000 ,1.480000,1.421667,1.421667,1.430000,1.430000,1.682500,1.69 0833,1.690833,1.699167,1.699167,1.690833,1.690833,1.466667, 1.483333,1.483333,1.475000,1.475000,1.466667,1.466667,1.508 333,1.500000,1.500000,1.466667,1.466667,1.475000,1.475000,1 .552500,1.535833,1.535833,1.569167,1.569167,1.560833,1.5608 33,1.542500,1.509167,1.509167,1.550833,1.550833,1.542500, 1.542500;enddatamax=@sum(AZ(i,j): b(i,j)*x(i,j));@for(col(j): @sum(row(i):x(i,j))<=2);@for(col(j): @sum(row(i):x(i,j))>=1);@sum(AZ(i,j):x(i,j))=8;@for(row(i): @sum(col(j):x(i,j))=1);@for(AZ(i,j): @bin(x(i,j)));运行结果：Rows= 32 Vars= 112 No. integer vars= 112 ( all are linear)Nonzeros= 591 Constraint nonz= 448( 448 are +- 1) Density=0.163Smallest and largest elements in abs value= 1.00000 8.00000No. < : 7 No. =: 17 No. > : 7, Obj=MAX, GUBs <= 16Single cols= 0。
运筹学习题解答（5篇材料）
运筹学习题解答（5篇材料）第一篇：运筹学习题解答3.3写出下列线性规划问题的对偶问题，再写出对偶问题的对偶，并验证其即为原问题对偶。
本题没有单纯形法。
5.3 没有答案第二篇：电磁场习题解答1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。
(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a和b（b>a），每单位长度上电荷：内柱为τ而外柱为-τ。
解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l半径为r（a<r<b）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。
对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得ρρ⎰D⋅dS=τlsρ考虑到此问题中的电通量均为er即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是2πlrD=τlρρτρτρ即 D=er，E=er2πε0r2πr由此可得 U=⎰baρρbE⋅dr=⎰ρρττber⋅erdr=lna2πεr2πε0a01—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为2cm，内外导体间电介质的击穿场强为200kV/cm。
内导体的半径为a，其值可以自由选定但有一最佳值。
因为a太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E会超过介质的击穿场强。
另一方面，由于E的最大值Em总是在内导体的表面上，当a 很小时，其表面的E必定很大。
试问a为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。
（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够电磁场习题解答第 1 页脱离它的分子而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。
某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。
解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为τ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为E=而内外导体之间的电压为U=⎰Edr=⎰abττ，Emax=2πεr2πεaττbdr=lna2πεr2πεab或U=aEmaxln()badUb=Emax[ln()+-1]=0daabb-1=0，a==0.736cm aeb5Umax=aEmaxln=0.736⨯2⨯10=1.47⨯10(V)a即ln1—3—3、两种介质分界面为平面，已知ε1=4ε0，ε2=2ε0，且分界面一侧的电场强度E1=100V/m，其方向与分界面的法线成450的角，求分界面另一侧的电场强度E2的值。
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
[讲解]运筹学应用例题
![[讲解]运筹学应用例题](https://img.taocdn.com/s3/m/b6f6113a182e453610661ed9ad51f01dc28157b8.png)
线性规划在工商管理中的应用一、人力资源分配的问题例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班；并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？例2 一家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示：为了保证售货员充分休息，要求售货员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货员的休息日期，既能满足工作需要，又使配备的售货员的人数最少？二、生产计划问题例3 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。
该公司有甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机械加工和装配三道工序。
甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须由本厂铸造才能保证质量。
有关情况如下表所示，公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机械加工12000小时和装配10000小时。
为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各应生产多少件？甲、乙两种产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外包协作？三、套裁下料问题例4 某工厂要做100套钢架，每套钢架需要长度分别为2.9米、2.1米、和1.5米的圆钢各一根。
已知原料每根长7.4米，问应如何下料，可使所用原料最省？四、配料问题例5某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如下表所示：问该厂应如何安排生产，才能使利润最大？五、投资问题例6某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资：项目A：从第一年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定每年最大投资额不能超过80万元；项目D：第二年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定每年最大投资额不能超过100万元。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题摘要：一、运筹学最大流问题的基本概念二、最大流问题的求解方法三、最大流问题例题详解四、总结与展望正文：一、运筹学最大流问题的基本概念运筹学最大流问题是一种在网络中寻找最大流量的问题。
给定一个有向图G(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为vs；仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为vt；其余点称为中间点。
对于G 中的每一条边(vi,vj)，相应地给一个数cji（cji 0），称为边(vi,vj) 的容量。
最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。
二、最大流问题的求解方法求解最大流问题的方法主要有两种：一种是基于图论的方法，如Ford-Fulkerson 算法；另一种是基于线性规划的方法，如Maximum Flow Problem with Linear Programming。
1.Ford-Fulkerson 算法Ford-Fulkerson 算法是一种基于图论的贪心算法，用于求解最大流问题。
它通过不断寻找增广链并扩充流量来逐步改进解，直至找不到增广链为止。
算法步骤如下：(1) 初始化流量为零；(2) 对于所有中间点i，找到所有出边(i,j) 中容量最大的边，将流量沿该边增加到最大容量；(3) 重复步骤(2)，直至找不到增广链；(4) 得到的流量即为最大流量。
2.Maximum Flow Problem with Linear ProgrammingMaximum Flow Problem with Linear Programming 是一种基于线性规划的方法，用于求解最大流问题。
它将最大流问题转化为线性规划问题，并采用线性规划求解器求解。
具体步骤如下：(1) 将有向图G 转换为网络；(2) 设定变量：设置容量变量cji 和流量变量fij；(3) 建立目标函数：目标是求解最大流量，即求max {∑fij}；(4) 建立约束条件：流量平衡约束、容量约束和流量非负约束；(5) 采用线性规划求解器求解线性规划问题，得到最大流量。
运筹学精彩试题及问题详解
一、填空题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。
2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错4、如果某一整数规划： MaxZ=X 1+X 2X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X1≤1 和 X1≥2 。
5、在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是： 从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解 。
6. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D和B 的关系为 D 包含 B7. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：（1）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1003/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X i =b i 不符合整数要求，INT （b i ）是不超过b i 的最大整数，则构造两个约束条件：Xi ≥INT （b i ）＋1 和 Xi ≤INT （b i ） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。
11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T （2）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛611401102二、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X 1+4X 2 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤81,X 2≥02）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3y1+4y2+2y3≥4 y1,y2≥02)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。
运筹学基础章节习题详解
章节习题详解第1章导论1．区别决策中的定性分析和定量分析，试各举出两例。
答：决策中的定性分析是决策人员根据自己的主观经验和感受到的感觉或知识对决策问题作出的分析和决策，在许多情况下这种做法是合适的。
例1 在评定“三好生”的条件中，评价一个学生是否热爱中国共产党，尊敬师长，团结同学，热爱劳动等属于定性分析，它依赖于评价者对被评价者的感知、喜好而定。
在“德”、“智”、“体”这三个条件中规定“德”占30%、“智”占40%、“体”占30%，这种比例是决策者们通过协商和主观意识得出的，它也属于定性分析的范畴。
决策中的定量分析是借助于某些正规的计量方法去作出决策的方法，它主要依赖于决策者从客观实际获得的数据和招待所采用的数学方法。
例2 在普通高等学校录取新生时，通常按该生的入学考试成绩是否够某档分数线而定，这就是一种典型的定量分析方法。
另外，在评价一个学生某一学期的学习属于“优秀”、“良好”、“一般”、“差”中的哪一类时，往往根据该生的各科成绩的总和属于哪一个档次，或者将各科成绩加权平均后视其平均值属于哪一个档次而定。
这也是一种典型的定量分析方法。
2．构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？答：运用运筹学进行决策过程的几个步骤是：1．观察待决策问题所处的环境；2．分析和定义待决策的问题；3．拟定模型；4．选择输入资料；5．提出解并验证它的合理性；6．实施最优解。
3．简述运筹学的优点与不足之处。
答：运用运筹学处理决策问题有以下优点：（1）快速显示对有关问题寻求可行解时所需的数据方面的差距；（2）由于运筹学处理决策问题时一般先考察某种情况，然后评价由结局变化所产生的结果，所以不会造成各种损失和过大的费用；（3）使我们在众多方案中选择最优方案；（4）可以在建模后利用计算机求解；（5）通过处理那些构思得很好的问题，运筹学的运用就可以使管理部门腾出时间去处理那些构思得不好的问题，而这些问题常常要依赖于足够的主观经验才能解决的；（6）某些复杂的运筹学问题，可以通过计算机及其软件予以解决。
运筹学大m法例题详解(一)
运筹学大m法例题详解(一)运筹学大M法例题详解引言运筹学大M法是运筹学中的一种重要的数学优化方法，通过最大化或最小化目标函数，求解出最优解。
在本篇文章中，我们将详细解释运筹学大M法，并通过列举实际例题，帮助读者理解和应用该方法。
运筹学大M法概述运筹学大M法是一种线性规划的求解方法，它将约束条件进行适当的转换，引入辅助变量和松弛变量，构建新的目标函数，从而使得问题转化为一个标准的线性规划模型。
运筹学大M法应用步骤使用运筹学大M法求解问题的步骤如下：1.确定目标函数：将实际问题转化为数学模型，明确最大化或最小化的目标。
2.确定约束条件：将问题中的约束条件转化为线性等式或不等式，并求解出约束条件。
3.引入松弛变量：对于≤型约束条件，引入松弛变量，将其转化为等式；对于≥型约束条件，引入松弛变量，将其转化为不等式。
4.引入辅助变量：对于≥型约束条件，引入辅助变量，将其转化为等式。
5.构建新的目标函数：通过引入辅助变量，将约束条件和目标函数进行组合，构建新的目标函数。
6.添加大M项：在新的目标函数中，对于≥型和等式型约束条件，添加大M项。
7.求解最优解：利用线性规划方法，对新的目标函数进行求解，得到最优解。
运筹学大M法例题实例•例题1：某公司需要生产A、B两种产品，其中产品A每个单位利润为300元，产品B每个单位利润为500元，但同时也受到生产能力的限制。
生产A产品每小时需要2个工人，B产品每小时需要3个工人。
每小时可用的工人数量不超过60人。
现在需要制定生产计划，使得利润最大化。
解答步骤： - 确定目标函数：最大化利润，记为Z = 300A +500B。
- 确定约束条件：工人数量不超过60人，即2A + 3B ≤ 60。
- 引入松弛变量：引入松弛变量S1，转化为等式：2A + 3B + S1 = 60。
- 构建新的目标函数：利润最大化，引入辅助变量M，构建新的目标函数：Z’ = 300A + 500B + MS1。
运筹学例题解析
运筹学例题解析(共6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。
甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。
又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。
已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。
请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大要求：1、建立该问题的线性规划模型。
2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。
如果不存在最优解，也请说明理由。
解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1、x2单位 。
(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。
甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。
（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。
但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。
试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。
已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。
要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
解：（1）建立图论——最短路问题模型。
①设点Vi 表示第i年年初，虚设一个点V6，表示第五年年底；②弧(Vi , Vj)表示第i年初购进一台设备一直使用到第j年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(Vi , Vj)上的权数表示第i年初购进一台设备，一直使用到第j年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。
运筹学两阶段法例题详解
运筹学两阶段法例题详解《运筹学两阶段法例题详解》在运筹学中，两阶段法是一种常用的决策方法，经常应用于实际问题的求解过程中。
本文将通过一个例题来详细讲解运筹学中的两阶段法。
某电子产品制造公司面临一项决策，即在两个不同的工厂生产产品，并决定将产品分配给两个不同的市场。
公司的目标是最大化利润。
根据公司的研究，每个工厂每天的生产能力分别为50个和40个产品，每个市场每天的需求量分别为30个和60个产品。
此外，公司还计算出了每个工厂向每个市场供应一个产品的成本和每个市场购买一个产品的收入。
第一阶段，根据公司的研究，我们首先需要计算每个工厂分别向每个市场供应的最优数量。
我们设两个变量x1和x2分别表示第一个工厂向第一个市场和第二个市场供应的产品数量，y1和y2分别表示第二个工厂向第一个市场和第二个市场供应的产品数量。
此时我们可以建立如下两个目标函数：最大化每个工厂向每个市场供应的利润，即：Maximize Z1 = (100 - 10) * x1 + (120 - 8) * y1 + (100 - 12) * x2 + (120 - 10) * y2最大化每个市场购买的产品的总收入，即：Maximize Z2 = (30 - 10) * x1 + (60 - 8) * y1 + (30 - 12) * x2 + (60 - 10) * y2同时，我们还需要考虑一些约束条件：第一个工厂和第二个工厂的生产能力不能超过其限制，即：x1 + y1 <= 50x2 + y2 <= 40每个市场的需求量必须得到满足，即：x1 + x2 >= 30y1 + y2 >= 60所有变量的取值都必须大于等于0，即：x1, y1, x2, y2 >= 0第二阶段，我们需要根据第一阶段计算出的最优解来确定在两个市场中分配产品的最优策略。
比如，如果第一阶段计算出的最优解是x1 = 20，x2 = 10，y1 = 10，y2 = 30，那么我们可以得知第一个市场应该分配给第二个工厂生产的产品，而第二个市场应该分配给第一个工厂生产的产品。
运筹学大m法例题详解
运筹学大m法例题详解一、标题解释大M法是运筹学中常用的一种优化方法，主要用于求解线性规划问题。
大M法是通过引入一个乘常数向量M，将原问题转化为标准型，从而更容易求解。
M中的每个元素M(i,j)称为大M元素，对应于原问题中约束条件中的右侧元素。
二、实例分析【例题1】求以下线性规划问题的最优解：Maxz=3x+4ys.t.x+y-6<=03x-y-3M(1,1)<=0x-y-M(2,2)<=0x,y>=0解：1.将目标函数和第一个约束条件转化为标准型：Maxz=3x+4y=3(M(1,1)+M(2,2))x+4(M(2,2)-M(1,1))y+6M(1,2)2.将第二个约束条件转化为标准型：3x-y-M(1,1)<=0(其中M(1,1)=M(2,2)+3*z')-y-M(2,2)<=0(其中z'为约束条件的等式右侧向量在第一个约束下的元素个数)将第二个约束中的-y变为-z*x+M(2,2)+z*y（此处需要乘上大M元素和系数z'），再将M进行转置。
注意在加M之前要处理一些元素（即上三角部分的元素和下三角部分非负的元素），这是因为在大M法中要求矩阵的对称部分必须是正定的。
处理完之后得到一个新的矩阵A和向量b。
3.对A和b进行求解，得到最优解x*和y*。
【例题2】求以下非线性规划问题的最优解：Minf(x,y)=x^2+y^2+x*ys.t.x+y-6<=0(这里假设目标函数中x和y的系数都是正数，即f(x,y)是凸函数)x>=0y>=0解：将目标函数转化为标准型：Minz=x^2+y^2*z'(z为权重系数)得$x=M^(-1)*(z\timesy-b')$$y=(6/y^2)-z\times(6/y^2)$，其中$M$为$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{z_1}&\frac{6}{z_2}\\\frac{6}{z_1}&\frac{z_2}{y}\\\end{matrix}\right.$矩阵的逆矩阵，$b'$为约束条件的等式右侧向量在目标函数下标为$j$的元素的权重。
《管理运筹学》第三版案例题解
《管理运筹学》案例题解案例1：北方化工厂月生产计划安排解：设每月生产产品i （i=1，2，3，4，5）的数量为X i ，价格为P 1i ，Y j 为原材料j 的数量，价格为P 2j ，a ij 为产品i 中原材料j 所需的数量百分比，则：510.6j i ij i Y X a ==∑总成本：TC=∑=1512j j j P Y总销售收入为：511i i i TI X P ==∑目标函数为：MAX TP （总利润）=TI-TC 约束条件为：1030248002151⨯⨯⨯≤∑=j j Y X 1+X 3=0.7∑=51i i XX 2≤0.05∑=51i i XX 3+X 4≤X 1 Y 3≤4000 X i ≥0,i=1,2,3,4,5 应用计算工具求解得到： X 1=19639.94kg X 2=0kg X 3=7855.97kg X 4=11783.96kg X 5=0kg最优解为：348286.39元案例2：石华建设监理工程师配置问题解：设X i 表示工地i 在标准施工期需要配备的监理工程师，Y j 表示工地j 在高峰施工期需要配备的监理工程师。
约束条件为： X 1≥5 X 2≥4 X 3≥4 X 4≥3 X 5≥3 X 6≥2 X 7≥2 Y 1+Y 2≥14 Y 2+Y 3≥13 Y 3+Y 4≥11 Y 4+Y 5≥10 Y 5+Y 6≥9 Y 6+Y 7≥7 Y 7+Y 1≥14Y j ≥ X i （i=j ，i=1,2,…,7） 总成本Y 为：Y=∑=+71)12/353/7(i i i Y X解得X 1=5；X 2=4；X 3=4；X 4=3；X 5=3；X 6=2；X 7=2；1Y =9；2Y =5；3Y =8；4Y =3；5Y =7；6Y =2；7Y =5; 总成本Y=167.案例3：北方印染公司应如何合理使用技术培训费解：变量的设置如下表所示，其中X ij为第i类培训方式在第j年培训的人数：第一年第二年第三年1.高中生升初级工X11X12X132.高中生升中级工X213.高中生升高级工X314.初级工升中级工X41X42X435.初级工升高级工X51X526.中级工升高级工X61X62X63则每年年底培养出来的初级工、中级工和高级工人数分别为：第一年底第二年底第三年底初级工X11X12X13中级工X41X42X21 +X43高级工X61X51 +X62X31 +X52+X63则第一年的成本TC1为：1000X11+3000X21+3000X31+2800X41+2000X51+3600 X61≤550000；第二年的成本TC2为：1000X12+3000X21+2000X31+2800X42+（3200 X51+2000X52）+3600X62≤450000；第三年的成本TC3为：1000X13+1000X21+4000X31+2800X43+3200 X52+3600X63≤500000；总成本TC= TC1 +TC2 +TC3≤1500000;其他约束条件为：X41 +X42 +X43+X51 +X52≤226；X61+X62 +X63≤560；X1j≤90 （j=1，2，3）；X21 +X41≤80；X21 +X42≤80；X 21 +X 43≤80； X 31 +X 51+X 61≤80； X 31 +X 51+X 52+X 62≤80； X 31 +X 52+X 63≤80；以下计算因培训而增加的产值Max TO=(X 11+ X 12+ X 13) + 4(X 41 +X 42 +X 21 +X 43) +5.5(X 61 +X 51 +X 62 +X 31 +X 52+X 63); 利用计算机求解：X 11=38；X 41=80；X 42=59；X 43=77；X 61=80；X 62=79；X 63=79；其余变量都为0； TO=2211案例4：光明制造厂经营报告书设直径4.76、6、8、10和12的钢管的需求量分别是1x ,x 2,3x ,4x ,5x 。
运筹学线性规划习题解析
第一章 线性规划
6、某皮革厂生产甲、乙两种皮带，生产甲、乙 皮带每条可获利分别为4元、3元。但生产一条 甲皮带是生产一条乙皮带所需工时的2倍，如果 全部生产乙皮带，该厂每天可生产1000条，但 皮革供应只够日产800条（甲、乙两种皮带合计 ），甲、乙皮带所用皮扣（一条一扣）每天分 别只能供应400个、700个。问如何安排生产， 可使该厂获利最大？
第一章 线性规划
13、已知线性规划问题 max S=max(x1+x2-x3) ax1+9x2+7x3+9x4+x5=1 5x1+bx2-7x3 +x5=-3 xi ≥0( i =1,2…,5) a , b为任意常数 X0=（9,0,7,0,6）T是其变量的一组值。能否判定： （1）X0一定不是基础解； （2）X0一定不是可行解； 对 （3）X0一定不是基可行解； （4）X0一定不是最优解； （5）X0一定不是基最优解。
解：设生产A、B两种产品分别为x1、x2单位
（1）在现有原料条件下，如何组织生产才能使利润最大 max S=max(7x1+5x2) x1+2x2≤28 4x1 + x2 ≤42 x1，x2≥0
（1）在现有原料条件下，如何组织生产才能使 利润最大
图解：
x2
42
4x1+x2=42
K1=-4 k2=-1/2
4x1+x2=42 X1+2x2=28 解得：x1=8,x2=10
k=-7/5 14
X1+2x2=28
10.5 28
x1
பைடு நூலகம்2）如果原料甲增加到42吨，原最优解是否改变？
图解：
x2
42
运筹学习题习题解答
第一章线性规划问题及单纯型解法习题解答：1、将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
解：1）在约束条件(1)式两边同时乘以-1，得-4x1+x2-2x3+x4=2 (4)令x4=x'4-x"4，且x'4，x"4≥0。
在(4)式中加入人工变量x5，在(2)式中加入松弛变量x6，在(3)式中减去剩余变量x7同时加上人工变量x8；把目标函数变为max Z’=3x1-4x2+2x3-5(x'4-x"4）-M x5+0x6+0x7-M x8。
则线性规划问题的标准形为初始单纯形表为下表（其中M为充分大的正数）：2）在上述问题2）的约束条件中加入人工变量x1，x2，…，x n得：初始单纯形表如下表所示：2、分别用单纯法中的大M法和两阶段法求解下述线性规划问题，并指出属哪一类解：解：（1）大M法在上述约束条件中分别减去剩余变量x4，x5，再分别加上人工变量x6，x7得：列出单纯形表如下表所示：由上表知：线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。
（2）两阶段法第一阶段数学模型为：第一阶段单纯形表间下表所示：上述线性规划问题最优解，且标函数的最优值为0。
第二阶段单纯形表为下表所示：由上表知：原线性规划问题的最优解为，且标函数的值为7，且存在非基变量检验数σ3=0，故线性规划问题有无穷多最优解。
3、下表是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。
表中无人工变量，a1，a2，a3，d，c1，c2为待定常数。
试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x1，换出变量为x6。
解：（1）上表中解为唯一最优解时，必有d>0，c1<0，c2<0。
（2）上表中解为最优解，但存在无穷多最优解，必有d>0，c1<0，c2=0或d>0，c1=0，c2<0。
运筹学解析与答案
则它等价于
这里称 为松弛变量。同理，不等式： 等价于
此时称yi为剩余变量。
（2）若所给问题是求目标函数的极大，即max f(x)= ,则由等式
minf(x)=max (f(x) )
可把它变为求极小问题，但要注意：此时新旧问题的最优解相同，但目标函数最优值反号。
（3）若某决策变量无非负限制条件，比如xi，则可令
不妨又设bi≥0, i=1,2,…,m,从而
x0=(b1，b2，…,bm，0，…，0 )T
是LP的基本可行解。将
代入目标函数f(x)=cTx就有
=
=
记 （对应于基本可行解 的目标函数值）， （用非基变量 表示的目标函数式中 的相反数），则原LP问题变为：
称这种形式为线性规划LP问题的典式。换言之，典式就是用非基变量来表示目标函数和基变量。
D B
O A
其中箭头指示着参数h（即目标函数值）的递增方向，
min f=f (4,1 )=4+1=3,在B点（4，1）取得；
max f=f (1,4 )=1+4=3,在C点（1，4）取得。
例6约束条件为： ，目标函数f =2x1+ x2
解此时可行域D无界，如图阴影部分：
n
B
A
正法线方向即梯度方向n={2，1 }。其中箭头指示着f的递增方向，从而
1.2线性规划LP模型
所谓线性规划问题，即在一组线性等式或不等式的约束之下，求一个线性函数的最大值或最小值。线性规划问题的一般形式为
s.t.:
(LP)
其中函数z=c1x1+c2x2+---+cnxn为目标函数
限制条件（1）---（m）为约束条件
运筹学试题讲解
习题讲解一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X ）1. 无孤立点的图一定是连通图。
2. 对于线性规划的原题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
5．用单纯形求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0>j σ对应的变量都可以被选作换入变量。
6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
7. 度为0的点称为悬挂点。
8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
10. 任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
一、判断题（对的打√，错的打X. 共计10分，答在下面的表格中）1、单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
2、单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
3、对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
4、应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0<i x ，且i x所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
5、用位势法计算检验数时，每一行（或列）的位势的值是唯一的，所以每一个空格的检验数是唯一的。
6、动态规划的最短路问题也可以用图论中求最短路问题的方法求解。
7、图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何形状无关。
8、 动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
9、在画网络计划图时，允许有多个起点和多个终点。
10、因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
一、 判断题（每题1分，共15分）（ ）1、 若线性规划问题存在两个不同的最优解，则必然有无穷多个最优解。
运筹学习题讲解(答案见另外word)
运筹学习题讲解
7. 求下图所示的网络最小费用最大流问题，每条弧旁边的 数字为（bij，cij）。
v2 (1,4) (2,2) x (3,5) (1,1) v1 (4,2) (1,3) v3 (4,3) (3,3) v4 (2,5) y
运筹学习题讲解
4. 用匈牙利法求解下述指派问题，已知效率矩阵为：
15 18 21 24 19 23 22 18 26 17 16 19 19 21 23 17
运筹学习题讲解
5. 某工厂生产三种产品，各种产品重量与利润的关系如下 表所示。现将此三种产品运往市场销售，运输能力总重量 不超过8吨，要求利润最大，采用动态规划方法求解，试 写出动态规划模型。
运筹学习题讲解
1. 写出如下线性规划问题的对偶问题：
maxz x1 2 x 2 x 3 x1 x 2 x 3 2 x x x 1 1 2 3 s.t . 2 x1 x 2 x 3 2 x1 0, x 2 0, x 3无 限 制
种类 重量（吨/件） 利润（元/件)
1 2 3
3 5 4
80 180 130
运筹学习题讲解
6. 某物流公司新购进4辆车，准备配发给甲、乙、丙3个 货栈，这3个货栈将得到的车辆数与收益的关系如下表所 示，试做出使总收益最大的分配方案。
0 甲 乙 丙 30 50 60 1 42 60 71 2 57 70 82 3 67 81 94 4 76 92 94
并利用弱对偶性说明z的最大值不大于1。
运筹学习题讲解
2. 已知线性规划问题
m axz 2 x1 x2 5 x3 6 x4 2 x1 x3 x4 8 s.t . 2 x1 2 x 2 x3 2 x4 12 x 0, i 1,2,3,4 i
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(一)线性规划建模与求解B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。
甲、乙两种产品每生产1单位分别消耗2小时、1小时。
又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。
已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。
请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大要求：1、建立该问题的线性规划模型。
2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。
如果不存在最优解，也请说明理由。
解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1、x 2单位 。
(2)目标函数： max z=2 x 1+x 2(3)约束条件如下：12211225..3,0+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩x x s t x x x x2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线，结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线z=2 x 1+x 2与约束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。
甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。
（二）图论问题的建模与求解样题A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。
但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。
试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。
已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。
要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
解：（1）建立图论——最短路问题模型。
①设点V i 表示第i 年年初，虚设一个点V 6，表示第五年年底；②弧(V i , V j )表示第i 年初购进一台设备一直使用到第j 年初(即第i-1年年底)再卖掉并获得残值收入；③弧(V i , V j )上的权数表示第i 年初购进一台设备，一直使用到第j 年初所需支付的购买、维修及抵扣残值收入以后的全部费用（单位：万元）。
例如：弧(V 1, V 4)上的费用权数30=11+(5+6+8)-3=27(万元)。
模型如图2所示：（2）用Dijkstra 法求解从V 1到V 6的最短路。
给起点V 1标号（0,v 1）；={v 1} ; J={v 2,v 3,v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 2]、[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6]} s 12=l 1+b 12=0+8=8;s 13=l 1+b 13=0+16=16;s 14=l 1+b 14=0+27=27; s 15=l 1+b 15=0+41=41;s 16=l 1+b 16=0+59=59∵min{s 12,s 13,s 14,s 15,s 16}=min{8,16,27,41,59}=8= s 12=l 2 ∴给v 2标号（8,v 1） ={v 1,v 2} J={ v 3,v 4,v 5,v 6}弧集合{[v 1,v 3] 、[v 1,v 4] 、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[ v 2,v 3]、[v 2,v 4]、[v 2,v 5]、[v 2,v 6]} s 23=l 2+b 23=8+8=16;s 24=l 2+b 24=8+16=24;s 25=l 2+b 25=8+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49 ∵min{s 13,s 14,s 15,s 16,s 23,s 24,s 25,s 26}=min{16,27,41,59,16,24,35,49}=16= s 13或s 23=l 3 ， ∴任选一个s 13，选择给v 3标号（16, v 1）。
={v 1,v 2,v 3} J={v 4,v 5,v 6} 弧集合{[v 1,v 4]、[v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 4]、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、[v 3,v 4]、[v 3,v 5] 、[v 3,v 6] }s 34=l 3+b 34=16+9=25; s 35=l 3+b 35=16+27=35;s 26=l 2+b 26=8+41=49∵min{s 14,s 15,s 16,s 24,s 25,s 26,s 34,s 35,s 36}=min{27,41,59,24,35,49,25,35,49}=24=s 24=l 4 ∴给v 4标号（24,v 2）={v 1,v 2,v 3,v 4} J={v 5,v 6} 弧集合{ [v 1,v 5] 、[v 1,v 6] 、[v 2,v 5] 、[v 2,v 6]、 [v 3,v 5] 、[v 3,v 6]、[v 4,v 5] 、[v 4,v 6 } s 45=l 4+b 45=24+9=33; s 46=l 4+b 46=24+17=41∵min{s 15,s 16,s 25,s 26,s 35,s 36,s 45,s 46}=min{41,59,35,49,35,49,33,41}=33=s 45=l 5 ∴给v 5标号（33,v 4）={v 1,v 2,v 3,v 4,v 5} J={v 6} 弧集合{ [v 1,v 6]、[v 2,v 6]、[v 3,v 6]、[v 4,v 6]、[v 5,v 6] } s 56=l 5+b 56=33+10=43 ∵min{s 16,s 26,s 36,s 46,s 56}=min{59,49,49,41,43}=41=s 46=l 6 ∴表114224v v 2v v v 1198 8 v 15图给v 6标号（41,v 4）={Φ} J={Φ} 计算终止。
由终点v 6标号反向追踪，可得到v 1到v 6的最短路：v 1→v 2→v 4→v 6,长度为l 6=41,即5年内该设备的最小总支出金额为41万元。
B.考题复习知识点：1.最短路问题求解的基本思想请查阅课本或其他参考书籍，自行简答总结。
2.掌握用上述“Dijkstra 标号法”求解的步骤和处理方法，考试时书写格式请参照本样题。
3.掌握最短路确定的反向追踪方法和最短距离。
考试题比此题计算量小。
4.掌握图论问题建模的程序，会说明图论模型各组分（弧或边、节点、权数）的实际涵义。
（三）动态规划——“复合系统工作可靠性问题”建模和求解）A ．正考样题及其解答：某厂设计一种电子设备，由三种元件D 1、D 2、D 3组成。
已知这三种元件的单位价格、单位重量和可靠性如表4，要求在设计中所使用元件的费用不超过105元，重量不超过21克。
问应如何设计使设备的可靠性达到最大。
解：（1）建立动态规划模型①按元件的种类数划分阶段，k ＝1,2,3。
每阶段阶段第k 种元件并联几个。
②状态变量x k 表示第k 阶段初尚未使用的费用；状态变量y k 表示第k 阶段初剩余的可增加重量。
显然x 1=105,y 1=21,x k >0,y k >0 。
③决策变量u k 表示第k 阶段元件D k 并联的个数。
允许决策集合：c k 表示第k 种元件的单位费用；w k 表示第k 种元件的单位重量； ④状态转移方程：x k+1＝ x k -c k ·u k ； y k+1＝y k -w k ·u k 。
⑤阶段指标函数d k (u k )表示元件D k 正常工作的概率 ；最优指标函数f k (x k ,y k )表示从元件D k 到元件D 3 正常运行的最大概率。
⑥逆序解法的基本方程如下： （2）用逆序解法求解 ①第3阶段，k=3②第2阶段，k=2 ③第1阶段，k=13333333]]⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑kkkkj=k+1j=k+1kkkkkkkx -c y -w 1≤u ≤min([ ],[,k =1,2c w D (x , y )=u x y1≤u ≤min([ ],[c w k u k k k d (u )=1-(1-p )[]111(,)444f (,)max ()(,) k=3,2,1(,)1+++∈⎧=⋅⎪⎨=⎪⎩k k k k k k k k k k k k u D x y x y d u f x y f x y []33333f (,)=max ()⎛⎫ ⎪⎝⎭=x y d u 3333u xy 1≤u ≤=min [ ],[]2051-(1-0.5)22223222222205f (,)max [](,)--⎡⎤=⋅--⎣⎦x y f x c u y w u 222u x y 1≤u ≤min([ ],[])1541-(1-0.8)11121111201554f (,)max[](30,3)----⎡⎤=⋅--⎣⎦x y f x u y u 1111u x y 1≤u ≤min([ ],[])3031-(1-0.9)④由于x 1=105,y 1=21,故问题为求出f 1(105,21)即可。
而∴状态转移图如下：结论：求得u *1=1, u *2=2,u *3=2为最优方案，即D 1、 D 2、 D 3三种元件分别并联1个、2 个和2个。
总费用为100元，总重量为21克，可靠性为。
B.正考复习知识点：1.会按照样题解答那样分六步建立动态规划模型。
文字说明方面：准确说明各种变量的实际涵义；数学表达方面：能正确、规范地写出逆序解法的基本方程，阶段变量必须逆着写取值，明确边界条件；在建模时对取值明确的状态变量应该说明其具体值；会以规范的集合语言写出允许决策集合的具体形式；具体写出状态转移方程函数形式；写出阶段指标函数的数学表达式。
考试题目比此题的计算量要小，而且未必会考两个状态的情形。
2.比照样题中的解答步骤来书写答题过程，会绘制“状态转移图”并以此得出结论，会得出全过程最优指标函数值并给出依据。
3.清华大学教材编写组编写《运筹学》第三版237-238页例8计算过程可以参考（但f k (s k )中x k 的范围有错，请按照课件第四章50-53张例来改正，答题格式也须参照后者。
（四）线性目标规划或运输问题的建模和求解A.正考样题——非标准运输问题的建模与“表上作业法求解”[]121110520152154222f (105,21)max [](10530,213) =max 0.9(75,18),0.99(45,15)----⎡⎤=⋅--⎣⎦f u u f f u 1≤u ≤min([ ],[])3031≤u ≤1-(1-0.9)[]23227520185333f (75,18)max [](7515,184) =max 0.8(60,14),0.96(45,10),0.992(30,6)--⎡⎤=⋅--⎣⎦f u u f f f 222u 1≤u ≤min([ ],[])1541≤u ≤31-(1-0.8)[]2322452015533136014f (45,15)max [](4515,154) =max 0.8(30,11)0.8(30,11)(60,14)max []max (0.5,0.75)0.--=⎡⎤=⋅--⎣⎦====f u u f f f 222333u 1≤u ≤min([ ],[])154u u 1≤u ≤21≤u ≤min([ ],[])2051-(1-0.8)1-(1-0.5)75345103306330114510050750753060505301105========f f f (,)max []max(.,.).(,)max []max(.).(,)max []max(.)333333333u 1≤u ≤21≤u ≤min([ ],[])205u u =11≤u ≤min([ ],[])205u u =11≤u ≤min([ ],[])2051-(1-0.5)1-(1-0.5)1-(1-0.5)05=.23f (45,15)0.8(30,11)0.80.50.4==⨯=f []2f (75,18)=max 0.80.75,0.960.75,0.9920.50.72⨯⨯⨯=[]1f (105,21)=max 0.90.72,0.990.40.648⨯⨯=有三个发电站产地B 1，B 2，B 3需要从两个煤矿A 1，A 2购买煤炭，各自的产量、需求量以及每万吨煤炭的运价（千元）如表5所示。