矩阵的各种运算详解

一、矩阵的线性运算

定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为

注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.

设矩阵记

,

称为矩阵的负矩阵, 显然有

.

由此规定矩阵的减法为

.

定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为

数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.

矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：

设都是同型矩阵，是常数，则

(1)

(2) ;

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.

二、矩阵的相乘

定义3设

矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为

其中，(

记号常读作左乘或右乘.

注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.

若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即

.

矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)：

（1）

（2）

（3）

（4）

注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即

例如, 设则

而

于是且

从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出

或

此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设

则

但

定义4如果两矩阵相乘, 有

则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.

注：对于单位矩阵, 容易证明

或简写成

可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1.

更进一步我们有

命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。

命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价：

（1）

（2）

（3）

（4）

三、线性方程组的矩阵表示

设有线性方程组

若记

则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式：

(2)

其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.

如果是方程组(1)的解, 记列矩阵

则

，

这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式

成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为

将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.

四、矩阵的转置

定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或

). 即若

则

.

矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):

(1)

(2)

(3)

(4)

五、方阵的幂

定义5设方阵, 规定

称为的次幂.

方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：

(1)

(2)

注: 一般地,为自然数

命题3 设均为n阶矩阵，则有为自然数，反之不成立。

六、方阵的行列式

定义7由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵的行列式,记作或

注: 方阵与行列式是两个不同的概念, 阶方阵是个数按一定方式排成的数表,而阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.

方阵的行列式满足以下运算规律(设为阶方阵, 为常数):

(1)

(2)

(3) 进一步

七、对称矩阵

定义8设为阶方阵, 如果即

则称为对称矩阵.

显然，对称矩阵的元素关于主对角线对称. 例如

，均为对称矩阵.

如果则称为反对称矩阵.

八、共轭矩阵

定义9 设为复（数）矩阵, 记

其中表示的共轭复数, 称为A的共轭矩阵.

共轭矩阵满足以下运算规律(设为复矩阵,为复数, 且运算都是可行的):

(1)

(2)

(3)

例题选讲：

矩阵的线性运算

例1 (讲义例1)已知, 求

例2(讲义例2) 已知且求

注:n阶数量矩阵=

例3(讲义例3)若求

例4设，。A是一个矩阵，B是矩阵，因此AB有意义，BA也有意义；但

。

例5设，B=。

（这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零），则

（1）；

（2）；

（3）

例6(讲义例4) 某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,生产甲、乙、丙三种产品, 矩阵A 表示一年中各工厂生产各种产品的数量, 矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元), 矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.

其中, 是第个工厂生产第种产品的数量, 及分别

是第种产品的单位价格及单位利润, 及分别是第个工厂生产三种产品

的总收入及总利润. 则矩阵的元素之间有下列关系:

其中，即