运用公式法(2)[下学期]--北师大版-
八年级数学分解因式 运用公式法北师大版知识精讲
初二数学第二章 分解因式 第3节 运用公式法北师大版知识精讲例1. 把下列各式分解因式 （1）235y x x -（2）222224)(b a b a -+ （3）ab b a 2122-+- （4）22212+-x x解：（1）235y x x -＝))(()(3223y x y x x y x x +-=- （2）222224)(b a b a -+ ＝2222)2()(ab b a -+＝)2)(2(2222ab b a ab b a -+++ ＝22)()(b a b a -+ （3）ab b a 2122-+- ＝1)2(22-+-b ab a ＝1)(2--b a＝（a －b+1）（a －b －1） （4）22212+-x x 22)2(21)44(21-=+-=x x x说明：（1）一个多项式分解因式的一般步骤：先提取公因式，再运用公式法，而且一定要分解至不能再分解为止。
（2）运用公式法分解因式时，应仔细观察分析多项式的特征，只有在待分解的多项式完全符合公式的形式时，才能运用公式将其分解，所以，正确运用公式法分解因式应遵循如下三步：①准确理解公式，②正确选择公式，③灵活运用公式。
专题探索研究专题一、分组分解法在分解因式时，有时为了创造运用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，再进行因式分解。
例1. 将bc ac ab a -+-2分解因式，。
本题分组方法较多，可一、二项结合，也可一、三项结合。
解法1：原式＝a （a －b ）+c （a －b ）＝（a －b ）（a+c ） 解法2：原式＝a （a+c ）－b （a+c ）＝（a －b ）（a+c ）例2. 已知x －2y ＝3，求y x y xy x 634422+-+-的值。
分析：可将所求因式分解求值，分解时注意：五项式分组常为三项、两项，且把符合公式的分一组，所以前三项2244y xy x +-为一组，后两项为另一组。
北师大版数学八年级下册4.3《公式法》教学设计
北师大版数学八年级下册4.3《公式法》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.3《公式法》是学生在学习了二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法等知识后，进一步学习解决实际问题的一种方法。
公式法作为一种解决实际问题的方法，在代数学中占有重要地位。
本节课通过具体实例，让学生掌握公式法的原理和应用，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法、二元一次方程组的解法等知识，具备了一定的数学基础。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，引导学生将所学知识应用于实际问题中。
三. 教学目标1.理解公式法的原理，掌握公式法在解决实际问题中的应用。
2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：公式法的原理和应用。
2.难点：如何引导学生将所学知识应用于实际问题中。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，通过具体实例，引导学生发现公式法的原理，再通过练习巩固所学知识，最后运用所学知识解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关实例，用于引导学生发现公式法的原理。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
3.准备实际问题，用于培养学生运用公式法解决实际问题的能力。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决此类问题。
例如：某商店举行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。
2.呈现（10分钟）呈现实例，引导学生发现公式法的原理。
例如：设商品原价为x元，打折后的价格为y元，根据题意可得：y = 0.8x。
引导学生发现，实际问题中往往存在一定的规律，通过找出规律，可以得到解决实际问题的公式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试用所学知识解决实际问题。
每组选择一个实际问题，运用公式法进行解决。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）呈现练习题，让学生独立完成。
北师大版八年级下册数学《运用公式法》分解因式说课教学课件复习提高
④64x2y2 ＝ (__8_x_y_)2
⑤
1 4
b2
＝
(___12_b_)2
口算
1）(x 5)(x 5) _x_2___2_5_ 2）(3x y)(3x y) _9_x_2__y_2
3) (1 3a)(1 3a) 1_－__9_a_2
(a b)(a b) a2 b2 （整式乘法）
快 乘胜追击 乐
拓
真我风采
展
快乐合作
1、分解因式：
a2(x y) b2( y x)
解：原式 a2(x y) b2(x y) =(x y)(a2 b2) =(x y)(a b)(a b)
返回
2、分解因式：
(x 2)2 16(x 1)2 解：原式 16(x 1)2 (x 2)2
(3)a b2 6a b 9
分解因式：
(1)3am2 3an2 6amn
2 a 2 4b2 4ab
探索交流
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给 出正确的结果.
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2 (x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
分解到不能再分解为止. 你能彻底分解下面的因式吗？
分解因式 x2-16 m2-2mn+n2 2x2-4x+2
请将这三个多项式分解因式, 并说明各自运用了什么方法
例5 把下列各式分解因式
⑴ x(x+6)+9
⑵ y（y+4）- 4（y+1）
= x2+6x+9
= y2+4y-4y-4
=（x+3）2
= y2-4 =（y+2）（y-2）
思考1 这个多项式是不是最简多项式。如果不是，该如何
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法， 让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特 点，恰当的分组是分组分解法的关键 .
初中数学八年级下第二章分解因式23运用公式法2教案
北师大版初中数学八年级（下）第二章分解因式2.3运用公式法（2）教案一、学情分析：认知基础：学生的知识储备中对于乘法公式的运用还是比较熟练的，但在能力上，对于公式的变形问题可能会处理不当。
二、教材处理中的问题与思考：1、教材采用直接将乘法公式逆过来应用，这种呈现新知方式，不适于学习基础较为困难的学生，如何让学生更好地理解整式乘法与因式分解之间的关系？2、对于形式上与完全平方公式相近的式子与完全平方公式的区别，进一步牢记公式有什么特点？三、教学设计：（一）教学目标：1、知识与技能：会用完全平方公式法（直接用公式不超过两次）分解因式。
2、过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3、情感、态度与价值观：培养学生的整体意识，以及逆向应用公式的能力。
（二）教学重点：掌握公式的形式和特点并能正确运用。
（三）教学难点：将多项式适当变形后运用公式分解因式。
（四）教学过程：创设问题情境，导入新课：某小区规划在边长为a米的正方形场地上，修建两条宽为b米的通路，其余组织学生观察并思考：（1）先求出甬道面积，ab+ab-b2，然后不难求出草地的面积为a2-2ab+b2（2）将两条甬道运用平移法，移到边沿，不难求出种草的面积为(a-b)2。
● 2、尝试发现、探索新知：探索：由上面的问题，可以求出a 2-2ab+b 2=(a-b)2即：a 2±2ab+b 2=(a ±b)2实际上，这也是乘法公式中的完全平方公式的逆变形所得到的分解因式的方法。
组织学生观察，讨论这类式子的共同特点：x 2+14x+49 216364x x -+ a 4+2a 2b 2+b 4 (m+n)2-6(m+n)+9 总结这类式子的共同特点：（1）公式的左边是一个三项式；（2）在这个三项式中前后两项是两数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数的积的2倍，符号可正可负。
北师大版八年级数学下册4.3《公式法》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对公式法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“公式法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式、平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与公式法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示完全平方公式的应用和基本原理。
北师大版八年级数学下册4.3《公式法》教案
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学下册第四章第三节《公式法》。教学内容主要包括以下方面：
1.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²、a² - 2ab + b² = (a - b)²；
2.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)；
2.教学难点
-理解并记忆各种公式的结构，尤其是立方和与立方差公式的应用。
平方差公式因式分解[下学期]北师大版
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运用公式法
反过来Байду номын сангаас
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
如果把乘法公式反过来，就可以用来把 某些多项式分解因式。这种分解因式的方法
叫做运用公式法。
运用公式法因式分解——平方差公式
a 2 b2 (a b)(a b)
因式分解： 4 x 2 y 2 4x2 y 2 (2x)2 y 2
(2x y)(2x y)
在利用平方差公式因式分解时，关键是找出进行平方差 的两数是何数的平方，再把它们的和与差相乘。
公式。
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人不是独立不倚的存在，连绵而下的遗传、血缘使人与这个世界的前前后后充满了联系。在信仰隐退的时代，敬鬼神的多了起来。庄重的举止，使自己的心得到妥帖的安顿。你看他们上香的动作、跪拜的双膝、礼佛的眼神，还有卜筮时倾听回应的双儿，不须有谁教会他们。这些举止让人看到虔 诚，自己放在了一个卑微的位置里。不过，生活中这样的举止毕竟太少，无任何敬畏、禁忌，轻浮、放荡、粗野把更多时间与空间充塞了。在这个越来越娱乐化的世界里，戏说正在迅速肢解着庄重，使人分不清是真或伪介入了我们的启蒙教育。历史被戏说，意味着真实的藏匿，子虚乌有的东西 成了历史主线上的重要情节。编造的效果是这么富有视觉魅力，恩怨与情仇，离奇与刺激，像一把无形的钩子，不消费力就把视线勾了过去。真
北师大八年级数学下运用公式法(2)学案
2.3运用公式法（2）课型：新授 学生姓名：_________[目标导航]1.学习目标（1）经历通过整式乘法的完全平方公式等逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展逆向思维能力和推理能力。
（2）会用公式法分解因式。
（3）在逆用乘法公式的过程中，了解换元的思想方法2.学习重点：会逆用完全平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。
3.学习难点：熟练逆用完全平方公式、十字相乘法对多项式进行因式分解。
[课前导学]1.课前预习：阅读课本P57—P58并完成课前检测。
2.课前检测(1) 分解因式： ①24224916.0n m b a - ②224)32(x y x -- ③)()(3x y y x -+-(2) ①222(________)2520(______)=++q pq ； ②22)(________________94=+-x x ； ③________________)2)(3(=++x x ； ④_________________)2)(1(=--x x ； (3) 默写平方差公式：____________ ______________________________________ ； =++))((b x a x ___________________________________________________________；3.课前学记（课前学习疑难点、教学要求建议）[课堂研讨]1.新知探究(1)新课引入：①填空：（a+b ）（a-b ） = ； a 2–b 2= ；（a+b ）2= ； (a-b)2 = ；a 2+2ab+b 2= ； a 2-2ab+ b 2= ．②结论：形如：______________________和____________________的式子称为完全平方式。
③填空：（x+a ）（x+b ） = ； （a x+b ）（c x+d ） = ； x 2+(a+b)x+ ab = ； ac x 2+(ad+bc)x+bd= ； （x-a ）（x-b ） = ； （a x-b ）（c x-d ） = ； x 2-(a+b)x+ ab = ； ac x 2-(ad+bc)x+bd= ；通过上面的填空谈谈你的收获：_______________________________________________________； ④结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做______________________；(2)新课讲解①例1 把下列完全平方式分解因式：49142++x 9)(6)(2++-+n m n m②例2 逆用乘法公式分解因式：232++x x 122--x x③例3 把下列各式分解因式22363ay axy ax ++ xy y x 4422+-- a ax ax -+-3222.学习过关（1）下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：① 412+-x x ( ) ② 13922+-ab b a ( ) ③ 229341n mn m ++ ( ) ④ 251036--x x ( ) （2）把下列各式分解因式：① 223612y xy x +- ② 422492416bb a a ++③ 222y x xy --- ④ 2)(9)(124y x y x -+--（3）运用“十字相乘法”把下列各式分解因式：① 322--x x ② 2522++x x ③ 2)(3)(2++++b a b a．[课外拓展]1.课后记（收获、体会、困惑）2.分层作业（班级：_____________，学生姓名：____________）A 必做题（限时10分钟，实际完成时间：_______分钟）（1）把下列各式分解因式① 1222+-xy y x ② 24129t t +- ③ 412++y y④ 6480252+-m m ⑤2241y xy x ++ ⑥ 4422+-ab b a（2） 把下列各式分解因式① 9)(6)(2++++y x y x ② 22)()(2c b c b a a +++- ③ 32244y y x xy --④ 322a a a -+- ⑤4524+-x x ⑥ 22252y xy x +-B 选做题（1）已知多项式12x 与一个单项式和一个整式的完全平方，请你找出一个满足条件的单项式．（2）把下列式子分解因式：①ax+bx+2a+2b. ②a 2－ab －4b+4a.③ab －5a+3b －15.C 思考题（1）若(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k 是完全平方式，求K 的值。
八年级数学下册 第二章 2.3运用公式法学案(2)(无答案) 北师大版
§2.3运用公式法（2）【学习目标】1． 会用完全平方公式分解因式2． 综合运用分解因式的方法分解因式【学习重点】1．熟练掌握完全平方公式分解因式【学前准备】1．什么是分解因式? 我们已经学习了哪些因式分解的方法?2．把下列各式分解因式：① x a ax 222- ② 42-a③ a a -34 ④ x x 335-【师生探究合作交流】1．请你写出完全平方公式．这个公式倒过来可以写成: 222b ab a ++= 222b ab a +-=2．观察()2222b ab a b a ++=+与()2222b a b ab a +=++的不同点是什么？ 发现：①第一个等式的左边()2b a +表示相乘关系； 第二个等式的左边222b ab a ++表示一个多项式。
②第一个等式表示把整式乘积形式转化成多项式形式；第二个等式是把多项式形式转化成整式乘积的形式。
因此，前者是多项式的乘法运算，而后者是分解因式。
3．完全平方式的特点：形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子都称为完全平方式。
其特点是：（1）公式中的字母a,b 可以用单项式或多项式代替.（2）能运用完全平方公式分解的多项式必须是三项式,其中首末两项是两个数的完全平方,且这两项符号相同,而中间的一项是首项与末项乘积的2倍4．把下列各式分解因式：（1） 962++x x （2） ()()25102+---n m n m 解：（1）962++x x =22332+⨯+x x =（ 2)（2）()()25102+---n m n m =(52)(2⨯--n m )+( 2) =（ 2)（3） a ax ax 412+- （4） 2422-+-y y5．把下列各式分解因式：（注意方法，观察结果是否不能再分解了）（1） 1224+-x x （2） 222121y x xy ---【议一议】1．两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1．随堂练习【课堂小结】1． 用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处：【今日作业】1． 课后习题2.5第1，2【拓展与延伸】1．课本复习题写P63．第11。
《公式法》第2课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《公式法》教学设计第2课时一、教学目标1.能够理解并熟练运用完全平方公式分解因式，体会转化思想．2.能够综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式．3.经历通过整式乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力．4.通过对平方差公式特点的辨析过程，培养观察、理解、概括和应用能力、语言表达能力．二、教学重难点重点：理解并熟练运用平方差公式分解因式．难点：能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式．三、教学用具多媒体等．四、教学过程设计【探究】教师活动：通过观察具体的式子，体验这些多项式所具有的完全平方式的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的完全平方式公式.计算下列各式:(1)(x+2)2= ________ ,(2)(2x+1)2= ________，(3)(x-3)2= ________ ,(4)(3x-1)2= ________，预设：（1）x2+4x+4；（2）4x2+4x+1(3)x2-6x+9；(4)9x2-6x+1根据上面算式填空:(1) x2+4x+4=_____________,(2)4x2+4x+1=_____________,(3)x2-6x+9=_______________，(4)9x2-6x+1=_____________.预设：（1）(x+2)2；（2）(2x+1)2;(3)(x-3)2;(4)(3x-1)2.提问：你有什么发现呢？预设：前四个形如(a±b)2=a2±2ab+b2，是整式的乘法，后两个形如a2±2ab+b2=(a±b)2，是因式分解，而且它们是左右调换的.【归纳】完全平方公式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.通常我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法.【想一想】能用完全平方公式分解因式的多项式的特点？预设：(1)是三项式(或可以看成三项)；(2)有两个同号的数或式的平方；(3)中间是这两个数的积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.【做一做】观察下面的拼图过程，验证完全平方和公式是否正确？预设：a2+2ab+b2=(a+b)2)，是正确的.提问：你能验证完全平方差公式吗？以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容: 教科书第103页习题4.5 第2、3、4题.。
北师大版初中八年级下册数学课件 《公式法》因式分解PPT(第1课时)
强化训练
2. 证明：任意两奇数的平方差能被8整除. 证明：设任何奇数为2m＋1,2n＋1(m,n是整数） 则(2m＋1) ²-(2n＋1) ² ＝（2m＋1＋2n+1）（2m-2n） ＝4(m-n)(m+n＋1) 可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可， 若m,n都是奇数或偶数，则m-n为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)能被8整除， 若m,n都为一奇一偶，则m+n+1为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)也能被8整除， 所以，任意的两个奇数的平方差能被8整除.
解：∵b²+2ab=c²+2ac， ∴b²－c²+2ab－2ac=0， ∴（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0， （b－c）（b+c+2a）=0． ∵a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a＞0， ∴b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形式 2.公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
强化训练
1.已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a²c²－b²c²＝a4-b4，是判断∆ABC的形状. 解：a²c²-b²c²=a4-b4， a²c²-b²c²-a4+b4=0， c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0 (a²-b²)(c²-a²-b²)=0 (a＋b) (a-b)(c²-a²-b²)=0 其中a＋b≠0， ∴a-b=0或c²-a²-b²=0 ∴a²＋b²=c²或a＝b. ∆ABC是直角三角形,或∆ABC是等腰直角三角形.
2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 课件2024-2025学北师大版九年级数学
例2 如图，某公司计划用 长的材料沿墙建造矩形仓库，仓库的一边靠墙.已知墙长 ，设矩形的宽 为 .
（1） 当已知矩形 的边长分别为3和1时，小明是这样研究的：设所求矩形 的两边长分别是 和 ，由题意得方程组 消去 化简得 . ， 此方程_______. 满足要求的矩形 _________（填“不存在”或“存在”）.
无解
不存在
（在满足要求的矩形B.若存在，求出矩形 的长和宽；若不存在，请说明理由.
1. 用公式法解一元二次方程 时，首先要确定 ， ， 的值，下列叙述中正确的是( )A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
D
2. 一元二次方程 根的判别式的值为( )A. B. C. D.
A
3. 下列关于 的一元二次方程中有实数根的是( )A. B. C. D.
1.用公式法解下列一元二次方程：
（1） .解： ＝____， ＝_____， ＝_____. ______________________=_____ . ________=______，即 ____， _ _____.
2
-3
-2
25
2
（2） .解： ____， _____， ____. ___________________=____. _______，即 ____.
1. 在正方形铁片上，截去 宽的一条长方形铁片，余下的面积是 ，则原来的正方形铁片的面积是( )A. B. C. D.
B
2. 直角三角形两直角边长的和为7，面积为6，则斜边长为____.
5
公式法
1.2
51.2
51.22 2 51.2 1.2 1.22
=（51.2-1.2）²
探究新知
整式乘法的完全平方公式
2 (a b ) a 2 2ab b 2
因式分解的完全平方公式
2 (a b ) a 2 2ab b 2
a 2 2ab b 2 (a b )2 a 2 2ab b 2 (a b )2
当k取何值时， 100x²+kxy+49y² 是一个完全平方式？
活学活用 变式训练
2.已知多项式x²+1与一个单项式的和是一个多项 式的平方，请你添加一个满足条件的单项式。 (1)x² +2x +1 (3) 1+ x²
1 4 x + _____ 4
2
(2)x² -2x +1
1 2 1 x 2
因式分解的平方差公式
2
因式分解的完全平方公式
a b (a b )(a b )
2 2
a 2ab b (a b )
2 2 2
2 2
a 2ab b (a b )
根据因式分解和整式乘法的关系，如果把乘法公 式反过来，就可以利用乘法公式（如平方差公式 、完全平方公式）把某些多项式因式分解，这种 因式分解的方法叫做公式法。
合作交流：
（1）用自己的语言叙述因式分解的完全平方公式. （2）观察蓝色区域里的多项式，具备什么特征 的多项式才能运用完全平方公式进行因式分解？
探究新知
（1）用自己的语言叙述因式分解的完全平方公式.
a 2ab b (a b )
2 2
2 2
2
北师大版八年级下册数学第四章 因式分解第3节《公式法(2)》参考教案
4.3.2 公式法（二）●教学目标（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.●教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.●教学方法观察—发现—运用法●教具准备投影片两张第一张（记作§4.3.2 A）第二张（记作§4.3.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.投影（§4.3.2 A）项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.［生］（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；（3）是；（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一.（6）是.2.例题讲解［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m +n）+9.［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax 2+6axy+3ay 2=3a （x 2+2xy+y 2）=3a （x+y ）2（2）－x 2－4y 2+4xy=－（x 2－4xy+4y 2）=－［x 2－2·x·2y+（2y ）2］=－（x －2y ）2Ⅲ.课堂练习a.随堂练习1.解：（1）是完全平方式x 2－x+41=x 2－2·x·21+（21）2=（x －21）2 （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.（3）是完全平方式41m 2+3 m n+9n 2 =（21 m ）2＋2×21 m×3n+（3n ）2 =（21 m +3n ）2 （4）不是完全平方式2.解：（1）x 2－12xy+36y 2=x 2－2·x·6y+（6y ）2=（x －6y ）2;（2）16a 4+24a 2b 2+9b 4=（4a 2）2+2·4a 2·3b 2+（3b 2）2=（4a2+3b2）2（3）－2xy－x2－y2=－（x2+2xy+y2）=－（x+y）2;（4）4－12（x－y）+9（x－y）2=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2=（2－3x+3y）2b.补充练习投影片（§4.3.2 B）这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.Ⅴ.课后作业习题4.51.解：（1）x 2y 2－2xy+1=（xy －1）2;（2）9－12t+4t 2=（3－2t ）2;（3）y 2+y+41=（y+21）2; （4）25m 2－80 m +64=（5 m －8）2;（5）42x +xy+y 2=（2x +y ）2; （6）a 2b 2－4ab+4=（ab －2）22.解：（1）（x+y ）2+6（x+y ）+9=［（x+y ）+3］2=（x+y+3）2;（2）a 2－2a （b+c ）+（b+c ）2=［a －（b+c ）］2=（a －b －c ）2;（3）4xy 2－4x 2y －y 3=y （4xy －4x 2－y 2）=－y（4x2－4xy+y2）=－y（2x－y）2;（4）－a+2a2－a3=－（a－2a2+a3）=－a（1－2a+a2）=－a（1－a）2.3.解：设两个奇数分别为x、x－2,得x2－（x－2）2=［x+（x－2）］［x－（x－2）］=（x+x－2）（x－x+2）=2（2x－2）=4（x－1）因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除.Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a3b－4a2b2+ab3=ab（4a2－4ab+b2）=ab（2a－b）2●板书设计参考练习把下列各式分解因式1.－4xy－4x2－y2;2.3ab2+6a2b+3a3;3.（s+t）2－10（s+t）+25;4.0.25a2b2－abc+c2;5.x2y－6xy+9y;6.2x3y2－16x2y+32x;7.16x5+8x3y2+xy4参考答案：解：1.－4xy－4x2－y2=－（4x2+4xy+y2）=－（2x+y）2;2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;5.x2y－6xy+9y=y（x2－6x+9）=y（x－3）2;6.2x3y2－16x2y+32x=2x（x2y2－8xy+16）=2x（xy－4）2;7.16x5+8x3y2+xy4=x（16x4+8x2y2+y4）=x（4x2+y2）2.。
专题2-4 用公式法求解一元二次方程-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题2.4 用公式法求解一元二次方程-重难点题型【北师大版】【题型1 用公式法解一元二次方程】【例1】（2021春•淮北月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，则x=−b±√b2−4ac2a=5±√292，即x1=5+√292，x2=5−√292．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．【变式1-1】（2020秋•朝阳区期中）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，∴x =−b±√△2a =1±√136， ∴x 1=1+√136，x 2=1−√136． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【变式1-2】（2020春•江干区期末）解下列一元二次方程：34x 2−2x −12=0（公式法）．【分析】整理后利用公式法求解可得． 【解答】解：整理，得：3x 2﹣8x ﹣2＝0， ∵a ＝3，b ＝﹣8，c ＝﹣2，∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0， 则x =8±2√226=4±√223，即x 1=4+√223，x 2=4−√223． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1-3】（2020秋•达川区期末）解方程：3x 2﹣4√3x +2＝0（用公式法解）． 【分析】先求出b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：3x 2﹣4√3x +2＝0， ∵a ＝3，b ＝﹣4√3，c ＝2，∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣4√3）2﹣4×3×2＝24， ∴x =4√3±√242×3=2√3±√63，则x 1=2√3+√63，x 2=2√3−√63． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x =−b±√b 2−4ac2a是解题的关键． 【题型2 求根公式的应用】【例2】（2020秋•和平区期中）若一元二次方程x 2+bx +4＝0的两个实数根中较小的一个根是m （m ≠0），则b +√b 2−16=（ ） A ．mB ．﹣mC ．2mD ．﹣2m【分析】根据公式得出−b−√b 2−162=m ，求出即可．【解答】解：∵x 2+bx +4＝0的两个实数根中较小的一个根是m ， ∴−b−√b 2−162=m ，解得：b +√b 2−16=−2m ， 故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．【变式2-1】（2020•福州模拟）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为x 1=−b+√b 2+42，x 2=−b−√b 2+42，下列判断一定正确的是（ ） A ．a ＝﹣1 B ．c ＝1 C ．ac ＝﹣1 D ．ca=−1【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x 1=−b+√b 2−4ac 2a ，x 2=−b−√b 2−4ac2a ，∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为x 1=−b+√b 2+42，x 2=−b−√b 2+42， ∴x 1+x 2＝﹣b =−b a ，x 1•x 2=ca =−1， ∴当b ≠0时，a ＝1，c ＝﹣1，则ac ＝﹣1， 故选：D ．【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．【变式2-2】（2020秋•宜兴市校级月考）已知a 是一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个实数根中较小的根， （1）求a 2﹣4a +2013的值； （2）化简求值：√a 2−2a+1a−1−1−2a+a 2a−1．【分析】（1）将a 代入方程确定出a 2﹣4a 的值，代入原式计算即可得到结果； （2）根据a 的范围化简原式即可得到结果．【解答】解：（1）将x ＝a 代入方程得：a 2﹣4a ＝﹣2， 则原式＝﹣2+2013＝2011； （2）方程解得：a =4−2√22=2−√2， ∴a ﹣1＜0，则原式=−a−1a−1−（a ﹣1）＝﹣1﹣a +1＝﹣a =√2−2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：在一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，若各项的系数之和为零，即a +b +c ＝0，则有一根为1，另一根为ca．证明：设方程的两根为x 1，x 2，由a +b +c ＝0， 知b ＝﹣（a +c ），∵x =−b±√b 2−4ac 2a =(a+c)±√(a+c)2−4ac 2a =(a+c)±(a−c)2a∴x 1＝1，x 2=ca ．（1）若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的各项系数满足a ﹣b +c ＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；（2）已知方程（ac ﹣bc ）x 2+（bc ﹣ab ）x +（ab ﹣ac ）＝0（abc ≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：2b =1a+1c．【分析】（1）由a ﹣b +c ＝0，可得出b ＝a +c ，结合给定材料可猜测方程的两根中有一根为﹣1，另一根为−ca．利用求根公式结合给定材料中的证明过程即可证明猜测成立；（2）将方程系数相加即可得知“ac ﹣bc +bc ﹣ab +ab ﹣ac ＝0”，满足给定材料的条件，由此得出方程的两根分别为1和ab−ac ac−bc，由题意可知ab−ac ac−bc=1，整理变形后即可得出结论．【解答】解：（1）有一根为﹣1，另一根为−c a． 证明：设方程的两根为x 1，x 2，由a ﹣b +c ＝0， 知b ＝a +c ，∵x =−b±√b 2−4ac 2a =−(a+c)±√[−(a+c)]2−4ac 2a =−(a+c)±(a−c)2a， ∴x 1＝﹣1，x 2=−ca ．（2）证明：∵ac ﹣bc +bc ﹣ab +ab ﹣ac ＝0，∴方程（ac ﹣bc ）x 2+（bc ﹣ab ）x +（ab ﹣ac ）＝0（abc ≠0）的两根分别为1和ab−ac ac−bc．∵方程（ac ﹣bc ）x 2+（bc ﹣ab ）x +（ab ﹣ac ）＝0（abc ≠0）有两个相等的实数根， ∴ab−ac ac−bc=1，即ab ﹣ac ＝ac ﹣bc ，∴ab +bc ＝2ac ． ∵abc ≠0， ∴1a +1c=2b．【点评】本题考查了根与系数的关系以及求根公式，解题的关键：（1）利用求根公式表示出x ；（2）将方程系数相加得出方程的两个分别为1和ab−ac ac−bc．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据求根公式表示出方程的解是关键．【题型3 应用根的判别式判断方程根的情况】【例3】（2021•河南模拟）下列关于x 的方程有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2﹣2x +2＝0B ．x （x ﹣2）＝﹣1C ．（x ﹣k ）（x +k ）＝2x +1D ．x 2+1＝0【分析】利用根的判别式△＝b 2﹣4ac 逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论． 【解答】解：A 、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴一元二次方程x 2﹣2x +2＝0没有实数根； B 、方程变形为x 2﹣2x +1＝0， ∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x （x ﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根； C 、方程变形为x 2﹣2x ﹣k 2﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k 2﹣1）＝8+4k 2＞0，∴一元二次方程（x ﹣k ）（x +k ）＝2x +1有两个不相等的实数根； D 、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0， ∴一元二次方程x 2+1＝0没有实数根． 故选：C ．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 【变式3-1】（2021•滨城区一模）关于x 的一元二次方程x 2+（﹣k +2）x ﹣4+k ＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【分析】根据根的判别式△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4＞0即可作出判断．【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝k2﹣4k+4+16﹣4k＝k2﹣8k+20＝k2﹣8k+16+4＝（k﹣4）2+4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．【变式3-2】（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，所以b2＞0，﹣4k＞0，因为△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，所以△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．【变式3-3】（2021春•鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b ＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．【解答】解：△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，∴△＜0，∴方程没有实数根．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．【题型4 已知方程根的情况求字母系数的值或范围】【例4】（2021•菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．【解答】解：当k ﹣1≠0，即k ≠1时，此方程为一元二次方程． ∵关于x 的方程（k ﹣1）2x 2+（2k +1）x +1＝0有实数根， ∴△＝（2k +1）2﹣4×（k ﹣1）2×1＝12k ﹣3≥0， 解得k ≥14；当k ﹣1＝0，即k ＝1时，方程为3x +1＝0，显然有解； 综上，k 的取值范围是k ≥14， 故选：D ．【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．【变式4-1】（2021•广安）关于x 的一元二次方程（a +2）x 2﹣3x +1＝0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤14且a ≠﹣2B ．a ≤14C ．a ＜14且a ≠﹣2D ．a ＜14【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a +2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（a +2）x 2﹣3x +1＝0有实数根， ∴△≥0且a +2≠0，∴（﹣3）2﹣4（a +2）×1≥0且a +2≠0， 解得：a ≤14且a ≠﹣2， 故选：A ．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式4-2】（2021春•台江区校级月考）若关于x 的方程x 2−√m x +n ＝0有两个相等的实根，则m n= ．【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△＝0即可得到关于m 、n 的方程，进而即可求得m n的值．【解答】解：∵关于x 的方x 2−√m x +n ＝0有两个相等的实根， ∴△＝（−√m ）2﹣4n ∴m ＝4n ， ∴m n=4．故答案为：4．【点评】本题考查的是根的判别式，根据题意得出关于m 、n 的方程是解答此题的关键．【变式4-3】（2021•海门市模拟）关于x 的方程x 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值都等于n ，则n ＝ ．【分析】根据题意得到△＝b 2﹣4c ＝0，求得c =b 24，把原方程可表示为x 2+bx +b24=0，根据x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值相等，得到m 2+bm +b 24=（m +2）2+b （m +2）+b24，解得b ＝﹣2m ﹣2，把x ＝m 代入x 2+bx +c ＝即可得到结论．【解答】解：∵方程x 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4c ＝0，∴c =b 24，∴原方程可表示为：x 2+bx +b24=0，∵x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值相等，∴m 2+bm +b 24=（m +2）2+b （m +2）+b24，∴b ＝﹣2m ﹣2，∴x 2+bx +c ＝x 2+（﹣2m ﹣2）x +(2m+2)24， 当x ＝m 时，x 2+bx +c ＝m 2+（﹣2m ﹣2）m +(2m+2)24=m 2﹣2m 2﹣2m +m 2+2m +1＝1， 故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，代数式的求值，正确的理解题意是解题的关键． 【题型5 根的判别式的综合应用】【例5】（2021•海淀区二模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +2m ﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．【分析】（1）计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m﹣4）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，∴x=−b±√b2−4ac2a=m±|m−4|2．∴x1＝m﹣2，x2＝2．∵此方程有一个根小于1．∴m﹣2＜1．∴m＜3．【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．【变式5-1】（2021春•萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．【解答】（1）证明：当k≠0时，∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，∴△＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∴△＝（2k﹣3）2≥0，当k ＝0时，3x ﹣3＝0，解得x ＝1．∴无论k 取何值，方程都有实根；（2）把x ＝﹣1代入方程得k +4k ﹣3+3k ﹣3＝0，解得k =34．故k 的值34；（3）解：kx 2﹣（4k ﹣3）x +3k ﹣3＝0，∴a ＝k ，b ＝﹣（4k ﹣3），c ＝3k ﹣3，∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x =−b±√b 2−4ac 2a =(4k−3)±√(2k−3)22k ， ∴此方程的两个根分别为x 1＝1，x 2＝3−3k ，∵方程的两个实根均为正整数，∴k ＝﹣3，k ＝﹣1，k ＝3．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．【变式5-2】（2021•广东模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +2）x +2k ＝0．（1）若x ＝1是这个方程的一个根，求k 的值和它的另一根；（2）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【分析】（1）把x ＝1代入已知方程，列出关于k 的新方程，通过解新方程来求k 的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根；（2）根据根的判别式的符号进行论证；（3）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．【解答】解：（1）把x ＝1代入x 2﹣（k +2）x +2k ＝0，得1﹣k ﹣2+2k ＝0，解得k ＝1．设方程的另一根为t ，则t＝2k＝2．即k的值为1，方程的另一根为2；（2）∵△＝（k﹣2）2≥0，∴对于任意实数k，原方程一定有实数根；（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0此方程的两根为x1＝k，x2＝2若x1≠x2，则x1＝5，此等腰三角形的三边分别为5，5，2，周长为12．若x1＝x2＝2，等腰三角形的三边分别为2，2，5，不存在此三角形，所以，这个等腰三角形的周长为12．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．【变式5-3】（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．【解答】（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）∵△ABC为等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一个为5．①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能构成三角形．该三角形的周长为4+4+5＝13．②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，∴原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5＝14．综上所述，该三角形的周长是13或14．【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）题需要分类讨论，以防漏解．【题型6 根的判别式中新定义问题】【例6】（2021•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，∵△＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式6-1】（2020春•瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b={a2−b(a≤b)b2−a(a＞b)，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜154B．t＞154C．t＜−174D．t＞−174【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x﹣3成立时；②当2x+1＞2x﹣3成立时；进行讨论即可求解．【解答】解：①当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b时不成立；②当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3，所以a＞b时成立；则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0，该一元二次方程有两个不相等的实数根，△＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0；解得：t＞−17 4．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．【变式6-2】（2021春•瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△√32得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14有两个相等的实数根，求实数a的值．【分析】（1）利用新定义得到﹣2△√32=−2×√32+√32，然后进行二次根式的混合运算；（2）先利用新定义把方程化为（a+1）x2+（a+1）x+14=0，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）×14=0，然后解不等式和方程可得到a的值．【解答】解：（1）﹣2△√32=−2×√32+√32=−2×4√2+4√2=−4√2；（2）∵a△x＝ax+x，∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，∴关于x的方程x△（a△x）=−14化为x（ax+x）+ax+x=−14，整理得（a+1）x2+（a+1）x+14=0，∵方程有两个相等的实数根，∴a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）×14=0，解得a＝0，即a的值为0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式6-3】（2020春•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0必有实数根；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．【分析】（1）只要证明△≥0即可解决问题．（2）当x＝﹣1时，有a−√2c+b＝0，即a+b=√2c，由2a+2b+√2c＝12，即2（a+b）+√2c＝12，推出c＝2√2，推出a2+b2＝c2＝4，a+b＝4，由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab＝4，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：△=(√2c)2−4ab=2c2−4ab，∵a2+b2＝c2，∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（2）解：当x＝﹣1时，有a−√2c+b=0，即a+b=√2c，∵四边形ACDE的周长是12，∴2a+2b+√2c=12，即2(a+b)+√2c=12，∴c=2√2，∴a2+b2＝c2＝8，又∵a+b＝4，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，即16＝8+2ab，∴ab＝4，∴S△ABC=12ab=2．【点评】本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。
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2 2
例1:下列各多项式是不是完全平 方式?若是,请找出相应的a和b.
31 4 xy x
4
2
2 2xy x
4
2
1x
2
12x 36
2
y
2
2
4y
2
2
m 3mn 9n
(5)a b 6a b 9
把以下三个多项式分解因式
(5)a b 6a b 9
2
1x 12x 36 2 2 2 2xy x y
2
1、分解因式
2
2 a
(1)3am 3an 6amn
2
2
4b 4ab
2
2、随堂练习
习题2.5
； https:///u/2727945170 卖片的微信号
yrh92zub
是手机啊！为毛是手机啊!笄筱玦买不起道具吗？金瓶梅也比手机好吧！慕容凌娢差点一口老血喷出来。要不是旁边的张祁潭拉住她，她估计又栽 下去了。骚年我知道你是穿越过来的，但你也不能时时刻刻都强调你网瘾少年的属性吧……你这样对得起笄筱玦辛辛苦苦给你YY出来的特写吗？ “你跑的真快……”慕容凌娢尴尬的翻进窗户。“请问两位是在回来的路上顺便拯救了地球吗？”韩哲轩头也不抬继续打游戏。“拯救地球倒是 没有，不过我呢，凭一人之里拯救了一个可怜的路痴……”张祁潭悄悄走到韩哲轩身后，趁其不备准备抽他的手机。“死了……”韩哲轩不动声 色的关上手机，瞥了眼张祁潭停顿在半空中的手，毫不掩藏眼神中的得意。“你坑我。”张祁潭面目表情，显然有些不悦。“怎么可能。”韩哲 轩脸上带着笑意，“像我这种文能挂机喷队友，武能越塔抢人头的奇才，有必要坑你吗？就算要坑，也不会但坑你一个。”“韩哲轩，我嫌弃 你。”慕容凌娢终于忍不住了，“你让我们在醉影楼等你，不会就是因为这儿的网速快吧！”“这儿的网确实不错，不过我是真的有事情向你们 澄清。”“说。”“等下先……让我找找草稿。”韩哲轩翻找着手机里的备忘录。“难得啊，他说谎话居然会打草稿……”张祁潭在慕容凌娢耳 边小声说道。“……”看了张祁潭也是深受韩哲轩虚假信息的毒害。“好了，我要开始了。”韩哲轩一本正经地翻着手机，认认真真念了出来， “尊敬的晴穿会会员你们好，我韩哲轩在此向你们表示真诚的歉意。由于我所得消息的偏差，导致你们夜探郭宅无功而返……”“还差点被抓 到。”张祁潭补充道。“经查实，真正的玉玺还在皇宫中，郭府中的只是赝品……在长达一分钟的面壁思过后，我下定决心要痛改前非，以后绝 对不会出现这样的失误，还望两位会员原谅，并且赐予本人好评。”（古风一言）人生若只如初见，何事秋风悲画扇。第115章 废话“好评是什 么鬼……”张祁潭其实压根就没想着要给好评。“晴穿会总部刚搞出来的幺蛾子，说是为了提高情抱处人员的工作效率。如果得不到一定量的好 评，那就拿不到晴穿会总部定期下方的福利。”韩哲轩拿出一个笔记本，翻到崭新的一页，“就在这上面签个名就好了。穿越之前的真 名。”“如果我不签呢？”就韩哲轩这种不负责任＋偷奸耍滑的态度，慕容凌娢怎么可能签字。“你可以试试。”韩哲轩温和的一笑，掏出一柄 匕首放在桌子上。“夭寿啊啊啊啊！”慕容凌娢一把抱住张祁潭，不停摇晃她，“这家伙有凶器！不签就撕票啊啊啊啊！”“啊啊啊，那你抱我 干什么！”张祁潭嘴上这样说，但也死死拽住了慕容凌娢。她们两个就这样互相牵制这，谁都想拿对方但肉盾，所以谁也躲不了。“我
第二章 分解因式
运用公式法(2)
回顾与练习:
(1)3x 4 y x 2 y
2
2
25a x
3
2
5a y
3
2
想一想:
以前学过两个乘法公式
a b = a 2ab b 2 2 2 a b = a 2ab b
2 2
2
把两个公式反过来就得到:
a 2ab b = a b
2 2
2
a 2ab b = a b
2 2
2
a 2 ab b 形如 2 2 a 2ab b 的式子称为完全平方式. 由分解因式与整式乘法的关系 可以看出,如果把乘法公式反 过来,那么就可以把某些多项 式分解因式,这种分解因式的 方法叫做运用公式法.