第十章压杆稳定
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
第十章 压杆稳定
第 十 章 压杆稳定§10−1 压杆稳定的概念一、压杆稳定性的概念1、下面先以小球为例介绍平衡的的三种状态：如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它能够回到原有的平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡状态，如图10–1a 所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不能够回到原有的平衡位置，但能够在附近新的位置维持平衡，原有的平衡状态称为随遇平衡状态，如图10–1b 所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态，如图10–1c2、压杆稳定性的概念 细长直杆两端受轴向压力作用，向压力作用，杆件处于直线形状下的平衡。
为判断平衡的稳定性，可以加一横向干扰力，使杆件发生微小的弯曲变形（图10–2a ），然后撤消此横向干扰力。
当轴向压力较小时，撤消横向干扰力后杆件能够恢复到原来的直线平衡状态（图10–2b ），则原有的平衡状态是稳定平衡状态；当轴向压力增大到一定值时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到原来的直线平衡状态（图10–2c ），则原有的平衡状态是不稳定平衡状态。
压杆由稳定平衡过度到不稳定平衡时所受轴向压力的临界值称为临界压力，或简称临界力，用F c r 表示。
当F =F c r 时，压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态，称为临界平衡状态，这种状态的特点是：不受横向干扰时，压杆可在直线位置保持平衡；若受微小横向干扰并将干扰撤消后，压杆又可在微弯位置维持平衡，因此临界平衡状态具有两重性。
压杆处于不稳定平衡状态时，称为丧失稳定性，简称为失稳。
显然结构中的受压杆件绝不允许失稳。
图 10−1(b)除压杆外，还有很多其它形式的工程构件同样存在稳定性问题，例如薄壁杆件的扭转与弯曲、薄壁容器承受外压以及薄拱等问题都存在稳定性问题，在图10−3中列举了几种薄壁结构的失稳现象。
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
压杆·稳定性
=
2 ，因为 h＞b ，则 I y
=
hb3 12
＜ bh3 12
=
Iz ，由式（10.3）得
Pcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π2
× (200 ×103
MPa) × ( 1 × 40 mm × (20 12
(2 ×1000 mm)2
mm)3 ) ≈13200
N
= 13.2
kN
10.2.2 临界应力
当压杆受临界压力作用而维持其不稳定直线平衡时，横截面上的压应力仍然可按轴向压
10.3.2 临界应力经验公式与临界应力总图
在工程实际中，常见压杆的柔度λ 往往小于 λp ，即 λ＜λp ，这样的压杆横截面上的应力 已超过材料的比例极限，属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得， 但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等，这里仅介绍直 线公式。把临界应力 σcr 与柔度λ 表示为下列直线关系称为直线公式。
式中，λ 称为压杆的柔度或长细比，为无量纲量，它综合反映了压杆的长度、约束形式及截 面几何性质对临界应力的影响。于是，式（10.4）中的临界应力可以改写为
·219·
材料力学
σ cr
=
π2E λ2
式（10.6）是欧拉公式（10.3）的另一种表达形式，两者并无实质性差别。
（10.6）
10.3 欧拉公式的适用范围·临界应力总图·直线公式
2
≤σ
p
或
λ≥π E σp
（10.7）
令
于是条件式（10.7），可以写成
λP = π
E σp
（10.8）
λ ≥ λp
（10.9）
压杆稳定PPT课件
稳定安全系数 nst3。试求容许荷载 P 的值。
A 2m
C 3m
P
B
h3.5m
D
35
解：1）由平衡条件可得
A
P NCD
2.5
2m
C 3m
D
2）按强度条件确定 [P]
P
B
h3.5m
N CD σ A σ n sπ 4 (D 2 d 2) 3K 40 N
Q
解：一、分析受力
1500
500
取CBD横梁研究
A
N Cr
A
Cr
A 2E 2
2m
46K9N
D
C 3m
P
B
h3.5m
稳定条件
Pcr P
nst
[N]NCr15K6 N nst
[N] [P] 62.5KN
2.5
38Leabharlann 2mC 3mPB
h3.5m
D
[P] = 62.5KN
39
例：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm, 两端为球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定 nst=3,试确定许可荷载Q。
4
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 而是与 受压时变弯 有关。
5
稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将 恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的
平衡是 稳定平衡。
6
P Q
PPcr
P
PPcr
2E cr 2 2. 中 长 杆 ( s p ), 用 经 验 公 式
第十章压杆稳定ppt课件
2E 0.56 S
②s < 时： cr s
临界应力的特点
•它的实质： 象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以 安全因数就是稳定中的应力极限
•同作为常数的比例极限、屈服极限不同，变化 的临界应力依赖压杆自身因素而变
例102 截面为 120mm200mm 的矩形 木柱，长l=7m，材料的弹性模量E = 10GPa，
Fcr
2 EImin
l2
此公式的应用条件：
•理想压杆
•线弹性范围内
•两端为球铰支座
§10-3 不同杆端约束下细长压杆 临界力的欧拉公式
其它端约束情况，分析思路与两端铰支的相同, 并得出了临界力公式
Fcr
2 EImin (l)2
即压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数） l—相当长度
•求临界力有两种途径：实验测定及理论计算。
•实验以及理论计算表明：压杆的临界力，与压杆 两端的支承情况有关，与压杆材料性质有关，与 压杆横截面的几何尺寸形状有关，也与压杆的长 度有关。
压杆一般称为柱，压杆的稳定也称为柱的稳 定，压杆的失稳现象是在纵向力作用下，使 杆产生突然弯曲的，在纵向力作用下的弯曲， 称为纵弯曲。
AB杆 l
1
i
l
1.5 cos30
1.732m
i
I A
D4 d4 4 64 D2 d2
D2 d 2 16mm 4
得
1 1.7 3 2 1 03
16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI
l 2
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42 nst
3
AB杆满足稳定性要求
材料力学第十章压杆稳定
π2
200 103 108 (2 2500 )2
10 4
N
85187N
85.19kN
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr
Fcr A
π2EI
(l)2 A
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr
π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
F
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
π2 200 103 48 10 4 N (2 2500 )2
b z
l h
37860N 37.86kN
y
若 h b 60mm
Iy
Iz
bh3 12
60 4 12
mm
108 10 4 mm
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
1、计算s, p
p
π2E
p
π2 210109 280106
86
查表优质碳钢的 a、b
s
a s
b
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
第十章压杆稳定01
结论 ：要提高压杆的承载能力，就应该提高压杆
的抗弯刚度。
3
研究方法：
在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后， 假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯曲变形， 然后撤去横向力。
二、稳定平衡与不稳定平衡的概念
4
当 F小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其 原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是 稳定平衡。 当 F增大到一定的临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持 弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图 d）， 压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。
压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。
压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。
三、临界压力的概念
临界压力（Fcr）:
中心受压直杆由稳定平衡转化为
不稳定平衡时所受轴向压力的临界值。
5
10-2
一
临界载荷的欧拉公式
两端铰支细长压杆的临界载荷
y
y y y y y
6
y
y
y
y y y
7
y
y y
（欧拉公式）
nst： 稳定安全系数
：稳定许用应力
压杆稳定条件
Fcr F [F ] nst
Fcr nst 工作安全系数 n F
cr nst n
27
二
折减系数法
f
f 称为稳定系数或折减系数。
三 压杆的合理设计
2 EI Fcr ( l ) 2
欧拉公式
Fcr
越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束）
2
轴向拉、压杆的强度条件为
例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢的许用应力[]=196MPa。 按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压 力为 [P] = A[] = 3.92 KN
材料力学 第10章 压杆稳定
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
第十章 压杆稳定
＞ (所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩
（3）计算临界力
查表10—1得μ= 2，因此临界力为
图10.3
二、当截面改为b = h =30mm时
（1）计算压杆的柔度
＞
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
代入欧拉公式，可得
从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
例10.2图10.4所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa，屈服点应力σs=240MPa， ，直径d=40mm，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力：
0.627
0.546
0.462
1.000
0.971
0.932
0.883
0.822
0.751
0.668
0.575
0.470
0.370
0.300
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0.536
0.466
0.401
0.349
0.306
0.272
0.243
0.218
0.197
0.180
（10.6）
式中 是有关的常数，不同材料数值不同。对Q235钢、16锰钢，
对Q235钢：
(MPa)
对16锰钢： (MPa)
2、临界应力总图
综合压杆按照其柔度的不同，可以分为二类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当λ≥λc时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式
第十章：压杆稳定
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面
上的应力为
Fcr π 2 EI σcr A ( l )2 A
压杆稳定
令 i
I 则 A l 令 i
则有
Fcr 2 E I 2E cr 2 2 A ( l ) A ( l i)
σcr
π E
2
2
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
2.其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
l
Fcr
Fcr
l/4 2l l/2 l l
l
0.7l
l
l/4
2 EI Fcr 2 l
Fcr EI ( 2l ) 2
2
0.3l
2 EI Fcr (l / 2) 2
2 EI Fcr (0.7l )2
欧拉公式
π EI Fcr ( l )2
所以连杆的临界压力为134.6kN.
xz面：约束情况为两端固定=0.5，I=Iy，l=0.88m x
F
880
l
z
F
压杆稳定
§10-3 临界应力的欧拉公式
一、临界应力与压杆柔度
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算.
不稳定平衡
稳定平衡
压杆稳定
（2）压杆的平衡状态
F＜ FF ＜ Fcr cr cr. F≥Fcr
稳定的
不稳定的
压杆稳定
稳定问题与强度问题的区别
压杆 强度问题 稳定问题
平衡状态 应力
平衡方程 极限承载能力
直线平衡状态不变
达到限值 变形前的形状、尺寸 实验确定
材料力学-10-压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
表10-1 常用工程材料的a和b数值 （P247）
10.3 长细比与压杆分类
3、粗短杆
——不发生屈曲，而发生屈服
s
对于粗短杆，临界应力即为材料的屈服应力:
cr s
三、 临界应力总图与P、s值的确定
π EI FPcr 2 l
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
3.两端固定
同理
M C 0, M D 0
D
FPcr
C
π EI 2 0.5l
2
π EI FPcr 2 l
2
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
因为
1.3a
l 1 l 2 l 3
π 2 EI l 2
a
(1)
(2)
(3)
又 故
FPcr
FPcr1 FPcr2 FPcr3
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
例题 2
P
c
a\2
已知：图示压杆EI ，且 杆在B支承处不能转动。 求：临界压力。
A
π 2 EI 0.5a 2
第10章 压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
10.3 长细比与压杆分类
一、 临界应力与长细比的概念
欧拉公式应用于线弹性范围
FPcr cr p A
σcr——临界应力(critical stress)； σp——材料的比例极限。 能否在计算临界荷载之前，预先判断压杆是否 发生弹性屈曲？
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定学习目标：1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；2．理解压杆的临界应力总图；3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。
对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。
本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。
第一节压杆稳定的概念在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。
实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。
细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。
这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。
一、问题的提出工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。
例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。
1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。
这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。
因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
二、平衡状态的稳定性压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。
压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。
如图110-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。
当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图)-所示)。
第十章压杆稳定52298精品文档65页
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Plj
PlPj lj
第十章 压杆稳定
§10-1 压杆稳定的概念 §10-2 铰支细长压杆的临界力
其它支承情况下细长压杆的临界力 §10-3 临界应力 欧拉公式的适用范围 §10-4 超过比例极限时压杆的临界力 临 界应力总图 §10-5 压杆稳定的实用计算 稳定条件 §10-6 其他弹性稳定问题简介
1
§10-1 压杆稳定的概念
3
桁架吊索式公路桥
4
塔式吊索式公路桥
5
6
压杆的工程实例
• 千斤鼎
• 发动机连杆
7
• 由于受压杆件失稳后将丧失继续承受原设计载荷的 能力，并且失稳现象又常常是突然发生的，所以结构 中受压构件的失稳常常造成严重的后果，甚至导致整 个结构的倒塌。
• 例如，1907年北美魁比克圣劳伦斯河上一座500多米 长的钢桥在施工修建过程中突然倒塌，1916年再次倒 塌，都是由于其桁架中的受压杆件失稳造成的。
Plj
Plj
Plj
0.5L 0.7L
0.5L
LL
LL
L
L
LL
L
L
==11
=2
=0.5
=0.7
=1
通用公式：= 一个半P波lj 正= (弦2EL曲I)2 线的长度(1系2-2数)
临界力公式：Plj =
2EI L2
2EI 2EI (2L)2 (0.5L)2
压杆稳定专家讲座
固定，长度系数2=0.5，惯性半径
iy
Iy A
hb3 /12 bh
b 40 11.5 mm 12 12
则柔度
2
2l
iy
0.5 2.3 11.5 103
100
27
因为1>2，所以该杆将在xy平面内失稳。该
杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力。
Fc r
2EIz ( 1l ) 2
2Ebh3 /12 ( 1l ) 2
b
a
b
b
满足此条件旳杆件称为中柔度杆或中长压杆。
* < s旳压杆称为小柔度杆或短粗杆，属强度 破坏，其临界应力为极限应力。
32
2. 抛物线公式
cr u a2
式中，a 是与材料力学性能有关旳常数。 例如钢构造设计规范对小柔度杆提出了如下抛 物线型近似公式 ：
cr
f
1
1
c2 Biblioteka ( c ) ；第十章 压杆稳定
§10−1 压杆稳定旳概念 粗短压杆——强度破坏 低碳钢短柱：屈服破坏； 铸铁短柱：断裂破坏；
细长压杆——失稳破坏
s或 b
1
2
桁架构造
3
失稳破坏
4
稳定性：指构件或体系保持其原有平衡状态旳能力。 失 稳：指构件或体系丧失原始平衡状态旳稳定性，
由稳定平衡状态转变为不稳定状态。
两重性——既可在直线状态保持平衡，又可
在微弯状态维持平衡。
临界（压）力：压杆处于临界平衡状态时所受旳
Fcr
轴向压力。
或 使压杆保持直线状态平衡旳最大
轴向压力。
或 使压杆失稳旳最小轴向压力。
9
其他形式旳构件也存在稳定性问题：
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知识点10：压杆稳定
一、弹性平衡稳定性的概念
１．弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。
２．受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。
二、压杆的临界力
１．两端铰支细长压杆欧拉（Euler ）临界力公式为2
2l
EI
F cr π=。
欧拉临界
力公式只适用于小变形、线弹性范围内。
２．在临界状态两端铰支细长压杆的弹性曲线方程为一个半波正弦方程：
x l
C y π
sin
=。
由此利用“形状比较法”可求得不同约束下细长压杆的临界力。
３．杆端约束对临界力的影响：
（１）不同杆端约束的压杆的临界力，可用解压杆的挠曲线近似微分方程或用形状比较法求得。
（２）不同杆端约束细长压杆临界力的欧拉公式为2
2)
(l EI
F cr μπ=，式中μl 称为计算长度（或有效长度），μ称为支座系数（或长度系数）。
当压杆在两个惯性平面内的μ值不同时，计算临界力应取较大的μ值。
（３）几种常见杆端约束的支座系数： ４．临界应力与柔度：
细长压杆的临界应力公式为22λπσE cr =，式中i
l
μλ=称为压杆的柔度，和
压杆的长度、约束情况、截面形状及尺寸相关。
三、压杆的分类与临界应力总图
１．柔度的分界值
P
P E
σπλλ22)(=
； b a s s σλλ-=)(1 式中a ，b 是与材料性质相关的常数，单位为ＭＰa 。
２．压杆的分类
压杆根据其柔度的大小而分类，计算压杆临界应力时应先判断是何类压杆，然后选择相应的临界应力公式。
压杆可分为下列三类：
（１）细长杆（λ≥λP ）：计算临界应力用欧拉公式22λ
πσE
cr =（欧拉双曲线
公式）；
（２）中长杆（λs ＜λ＜λP ）：计算临界应力用经验公式σcr ＝a －b λ（雅辛斯基直线公式）；
（３）粗短杆（λ≤λs ）：计算临界应力用压缩强度公式σcr ＝σs （或σb ）。
３．临界应力总图
临界应力总图如图10－1所示。
四、压杆稳定性的校核
１．进行压杆稳定性的校核时，通常用安全系数法。
在建筑等行业常用折减系数法。
２．工程中，考虑到压杆的初曲率、载荷的偏心、材料的不均匀及失稳破坏的突发性等因素对压杆临界力的影响，因而规定的稳定安全系数大于强度安全系数。
３．对于截面有局部削弱（如油孔等）的压杆，除校核稳定性外，还须对局部削弱处进行强度校核，其计算面积应是扣除孔洞削弱后的实际面积（称为净面积）。
４．压杆的稳定性是对压杆整体而言的，截面的局部削弱，对临界力影响不大，故可不必考虑。
a ．安全系数法
为了保证压杆有足够的稳定性，应使其工作压力小于临界力，或使其工作应力小于临界应力，即
Ｆ＜Ｆcr 或 σ＜σcr
用安全系数来校核压杆稳定性，其稳定性条件为
[]W cr W n F F n ≥=
或 []W cr W n n ≥=σ
σ
式中n W 为压杆实际稳定安全系数，［n W ］为规定的稳定安全系数。
*
b ．折减系数法
用折减系数法进行压杆稳定性校核时，引入稳定性的许用应力[][]
W
cr
W n σσ=，
压杆的稳定条件为：
σ≤［σW ］
［σW ］常用基本许用应力［σ］来表示，即
［σW ］＝ϕ［σ］
式中ϕ为与λ相关且小于等于１的系数，称为折减系数，计算时可查有关手册。
五、提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施可以从改善支承情况、减小压杆长度（或增加中间约束）、选择合理的截面形状、使压杆在各弯曲平面内的柔度相等（等稳定性结构）及合理选择材料等方面考虑。
六、解题思路
计算压杆的临界应力（临界力）时，可按照下列步骤进行：
１．根据压杆的杆端约束情况确定支座系数μ值，计算出该压杆的柔度
i
l
μλ=。
２．将压杆的柔度与压杆分类的界限柔度值λP 和λs 比较，以确定该压杆是何类杆，选取相应的临界应力公式。
３．计算压杆的临界应力（临界力）。
４．注意事项：
（１）切忌不判断压杆的类别，直接用欧拉临界应力公式计算。
（２）当压杆分类的界限柔度值λP 及λs 值未知时，应由材料数据计算出。
（３）计算临界应力时，采用未削弱前的横截面面积和惯性矩。
（４）当压杆在各弯曲平面内的支座系数及惯性矩不同时，应分别计算压杆在各弯曲平面内的柔度，选用较大的柔度计算压杆的临界应力。
（５）当压杆不是粗短杆且又没有局部削弱时，就不需再校核其压缩强度。
七、难题解析
【例1】如图10-1（a ）所示结构，由刚性杆AB 与弹性杆CD 组成。
在铅垂载荷F 作用下，刚性杆AB 在竖直状态保持平衡，试确定载荷F 的临界值。
杆CD 各截面的拉压刚度均为EA 。
图10-1
解：1. 问题分析
使系统发生微偏离，如图10-1（b ）所示。
设杆端A 的水平位移为f ，则由图10-1（b ）可以看出，杆CD 的轴向变形为
2
221245cos 'f
f CC l ==
︒=∆ 根据胡克定律，并考虑上述关系式，得杆CD 的轴力为
l
EAf
l l EA F CD N 4=∆⋅
= （a ）
于是由平衡方程即可确定临界载荷值。
2．临界载荷的确定
在临界载荷作用下，系统可在微偏离状态保持平衡，平衡方程为
045cos 0=-︒=∑Ff l F M
N B
，
将式（a ）代入上式，得临界载荷值为2
4EA F cr =。
【例2】某机器连杆如图10-2所示，截面为工字形，其441042.1mm I y ⨯=，
441042.7mm Iz ⨯=，2552mm A =。
材料为Q275钢，连杆所受的最大轴向压力kN F P 30=，取规定的稳定安全系数[]4=w n 。
试校核压杆的稳定性。
图10-2
解：连杆失稳时，可能在x -y 平面内发生弯曲，这时两端可视为铰支；也可能在x -z 平面内发生弯曲，这时两端可视为固定。
此外，在上述两平面内弯曲时，连杆的有效长度和惯性矩也不同。
故应先计算出这两个弯曲平面内的柔度λ，以确定失稳平面，再进行稳定校核。
1. 柔度计算
在x -y 平面内失稳时，截面以z 轴为中性轴，柔度
65552
/1042.77501/4
1
11
1=⨯⨯=
=
=
A
I l i l z z
z μμλ
在x -z 平面内失稳时，截面以y 轴为中性轴，柔度
57552
/1042.15805.0/4
2
22
2=⨯⨯=
=
=
A
I l i l y y
y μμλ
因y z λλ>，表明连杆在x -y 平面内稳定性较差，故只需校核连杆在此平面内的稳定性。
2. 稳定性校核
由于P 65λλ<=z ，属中长杆，需用经验公式。
现按经验公式算得临界应力为
(MPa)2396500853.027500853.027522cr =⨯-=-=λσ
则临界力为
(kN)9.131105*********cr Pcr =⨯⨯⨯==-A F σ
又工作压力 kN F P 30=
代入公式得 []w n F F n >===
4.430
9
.131P Pcr 故连杆的稳定性足够。