几何经典模型：相似模型

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模型1：A、8模型

已知∠1＝∠2

结论：△ADE∽△ABC

模型分析

如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．

模型实例

【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：

1

2 OF OE OD

OA OC OB

===．

解答：证法一：如图①，连接DE ．∵D 、E 是中点，∴

1

2

DE BC =．

，DE //BC ∴△EOD ∽△COB （8模型）∴12OE DE OC BC ==．同理：12OF OA =，1

2

OD OB =．

∴1

2

OF OE OD OA OC OB ===．

证法二：如图②，过F 作FG //AC 交BD 于点G ，∵F 是中点，∴1

2

GF BF AD BC ==． ∵AD ＝CD ，∴

1

2

GF AD =．∵FG //AD ，∴△GOF ∽△DOA （8模型） ∴12OF GF OA AD ==．同理12OE OC =，12OD OB =．∴12

OF OE OD OA OC OB ===．

【例2】如图，点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于H ，若

AF DF ＝2，求HF

BG

的值．

解答：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ．

设DF ＝a ，则DF ＝AE ＝a ，AF ＝EB ＝2a ．∵HD //AB ，∴△HFD ∽△BF A

∴

12HD DF HF AB AF FB ===，∴HD ＝1．5a ，13FH BH =，∴FH ＝1

3

BH ∵HD //EB ，∴△DGH ∽△EGB ，∴ 1.5324HG HD a GB EB a ===，∴4

7

BG HB =

∴BG＝4

7

HB，∴

1

7

3

412

7

BH

HF

BG BH

==

练习：

1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．

解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴

1

5 DE AC

=

∵DE//AC，∴

1

5

BE DE

BC AC

==，∴

1

4

BE

BC

=，∴的比是1：4.

2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD

∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；

（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.

3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．

证明：连接DE 交AF 于点G ，则DE//BC ，DE=1

2

BC ，∴G 为AF 中点 ∴12EG BF =，1

2

EG OE DE FC OC BC ===，∴BF=FC ，即点F 是BC 的中点

4．在△ABC 中，AD 是角平分线，求证：

AB AC

BD CD

=

．

方法一：过点C CE//AB 交AD 延长线于点E ，∴∠1=∠3，∴△ABD ∽△ECD ，∴AB BD

CE CD

=

∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE ，∴

AB BD

AC CD

=

方法二：设ABC 中BC 边上的高为h ，则，1

2

ABD S

BD h =

，12

ACD

S CD h = 过D 分别作DEAB ，于E ，DFAC 于F ，则12ABD S AB DE =，1

2

ACD S AC DF =

11221122

ABD ACD BD h AB DE

S S CD h AC DF ==，又∵1=2，∴DE=DF ，∴AB BD

AC CD =

5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点，E 在AB 上，且AE ：EB ＝2:1，求证：CE ⊥AD ．

证明：过点B 做BF//AC ，交CE 延长线于点F ，则∠CBF=90°，△AEC ∽△BEF ∵AE ：EB=2：1，∴BF=

12AC=1

2

BC=CD ，又AC=CB ，∠ACD=∠CBF=90° ∴△ACD ≌△CBF ，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90°

∴∠4=90°，∴CE ⊥AD

以上董明伟录入

模型2 共边共角型

已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD ∽△ABC

D

A

C

B

12

模型分析

上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC 进而可以

得到：AC 2

=AD AB 模型实例

例1 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB =4，AD =2，∠DAC =∠B ，如果△ABD 的面积为15．那么△ACD 的面积为 ．

A

C

D

B

解答：

∵∠DAC =∠B ，∠C =∠C ，∴△ACD ∽△BCA ．∵AB =4，AD =2，