高中数学常见的10类基本不等式问题汇总

例题 1： 若实数 a, b 满足 2a 2b 1 ，则 a b 的最大值是
．
解析wenku.baidu.com很明显，和为定，根据和定积最大法则可得： 2 a 2b
2a 2b 2 1
2a b 2 2
ab
2，
2
4
当且仅当 a b 1 时取等号。
变式：函数 y ax 1( a 0, a 1) 的图象恒过定点 A，若点在直线 mx ny 1上，则 mn 的最大值为 ______。
解法 1： 将 x2
x
化简可得
3x 1
x2
x 3x 1
x
1 1
x 3
0 ，观察分母，很明显可以得到积为定值，
x
根据积定和最小的法则可得： x 1 2 x 1 2 ，当且仅当 x 1
x
x
x
x 1时取等号。故而可得分式的
分母 x 1 3 5 x
1
1
0
x135
x
x x 2 1 3x max
1 ，因此可得： a
2
ab ab
2
2 ，其中 a,b 0, 11 ab
，当且仅当 a b 时等号成
（ 1）积定和最小：若 ab 是定值，那么当且仅当
a
b 时， a b min
2 ab 。其中 a, b
0,
（ 2）和定积最大：若 a b 是定值，那么当且仅当 a b 时， ab max
2
a b ，其中 a,b R 。 2
1 因此可得： a
1
。
5
5
解题思路：根据 f x
mfx m 0 ，对所求内容进行乘除化简即可。
m
例题 4：若两个正实数 x、y 满足 1 4 1 ，且不等式 x y ＜ m2 3m 有解，则实数 m 的取值范围是
。
xy
4
14
14
y
解析： 由题意可得
1 ，左边乘以
1可得： x
xy
xy
4
xy 14 4 xy
高中数学常见的 10 类基本不等式问题汇总
一、 基本不等式的基础形式
1． a2 b2 2ab ，其中 a,b R ，当且仅当 a b 时等号成立。
2． a b 2 ab ，其中 a,b 0, ，当且仅当 a b 时等号成立。
3．常考不等式：
a2 b2 2
立。 二、常见问题及其处理办法 问题 1：基本不等式与最值 解题思路：
4 min
m 1，故而可得 m
, 1 4, 。
变式： 若 x 0 ， y 0 ，且 1
2
2 ，则 4x 3 y 的最小值为 __________．
2x y x y
解析： 由 2x y
2x y
4x 3 y ，化简题干条件可得
1
4
2 乘以所求内容可得：
2x y 2x 2 y
4x 3y
1 2x y
4 2x 2y
2，
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
x0 亦即 y 3 时取等号。此时可得
2
4 x 3 y min
9
。
2
问题 3：方程中的基本不等式 解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。 例题 5：（ 2015·湖南高考）若实数 a， b 满足 1＋ 2＝ ab，则 ab 的最小值为 __________．
ab
解析： 由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：
1 2 12 22
ab
2
，当且
ab
a b ab
12
仅当
ab
b 2 a 时取等号，化简后可得：
1
a 24
ab 2 2 ，此时
5
b 24
变式： 若 lg(3x)＋ lgy＝ lg( x＋ y＋ 1)，则 xy 的最小值为 __________ ．
x2
1 x2
1 2 x2
2 ，当且仅当 x 2
1
x 2 1 x 1 时取等号，此时可
x2
x2
x2
1
得x
0。
x2
例题 3： 若对任意
x>0
，
x2
＋
x 3x
＋
1
≤a
恒成立，则
a 的取值范围是 ________．
解析： 分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。
x2
x 3x 1
a
a
x x2 3x 1 max
解 析 ： 很 明 显 ， 积 为 定 ， 根 据 积 定 和 最 小 法 则 可 得 ： 2x
2x
1 2x 2
x
1时取等号。
变式： 已知 x
2 ，则 x
1 的最小值为
。
x2
1 2x 2
2
2x
1 2x 2
1，当且 仅当
解 析 ： 由 题 意 可 得 x 2 0, x 2
1
1 ， 明显， 积为 定，根据和定积最大 法则可 得：
2
4x 3y
1
4
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
，化简后可得：
2
4x 3y
2x 2y 2x y
4 2x y 2x 2y
2
41 2x 2y
，很明显
2x y
4 2x y
中二者积为定值，根据积定和最
2x 2y
小法则可得 2x 2 y 4 2x y
2x 2 y 4 2x y 2
2x 2 y 4 2x y 4 ，当且仅当
1
。
5
5
解法 2： 将 x2
x
化简可得
3x 1
x2
x 3x 1
x
1 1
x 3
0 ，令 f x
x
x 1 x 0 ，这是一个对 x
勾函数，故而可得 f x
1 x
f1
2 。故而分母 x 1 3 f x
3 5 ，代入分式函数取倒数
x
x
可得 0
1
1
x135
x
问题 2： “1”的代换
x x2 1 3 x max
解析： 由题意可得函数图像恒过定点 A 1,1 ，将点 A 1,1 代入直线方程 mx ny 1 中可得 m n 1 ，明
显，和为定，根据和定积最大法则可得：
2
mn m n
1 ，当且仅当 m
n
1
时取等号。
2
4
2
例题 2： 已知函数 f x
2x
1 2 x 2 ，则 f x 取最小值时对应的
x的值为 __________ ．
，化简可得：
1
xy 14 4 xy
11
y
4x ，很明显
y
4x
中积为定值，根据积定和最小的法则可得：
4x y
4x y
y
4x
2
y 4x
y 2 ，当且仅当
4x 1
4x y
4x y
4x y
x2
y14
时取等号。 故而可得 x
4。
y8
4 xy
不等式 x
y ＜ m2
3m 有解，亦即
2
m
3m
4
y x
4 ，亦即 m2 3m 4 0 ，解得 m 4 或者