专题03 数列与集合新定义解答题(第三篇)(解析版)-备战2020高考黄金15题系列之数学压轴题(北京专版)

专题3 数列与集合新定义解答题

1．（2020·北京首都师大二附高三模拟）已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，

112{|,n n T x x x x q x q -==+++…,1,2,}i x M i n ∈=…．

（Ⅰ）当2q

，2n =时，用列举法表示集合T ；

（Ⅰ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…，且集合A 满足下列条件：

①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；

②

100

1

12020i

i a

==∑．

证明：（Ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （Ⅰ）

100

2

1

i

i a

=∑为一个定值（不必求出此定值）；

（Ⅰ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，112n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，

1,2,,i n =⋯，若n n b c <，则s t <． 【解析】（Ⅰ）解：当2q

，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}．

{}3,4,5,6T =．

（Ⅰ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}， 又1{A a =，2a ，⋯，100}

a M ，i a A ∀∈，201i a M -∈，

必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <，201i j a a +≠矛盾．

因此有201i a A -∈．

（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-．

∴100100100

2

2

1

1

1

(201)4024040100791940i

i i i i i a a a ===--=-=∑∑∑．

100100

22

2221

1

200201(4001)

(201)

122006

i

i

i i a a ==⨯⨯++-=++⋯⋯+=

∑∑，

∴100

21

1200201(4001)

(

791940)26

i i a =⨯⨯+=+∑为定值．

（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，

n ．n n a b <，

21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+⋯+-+-21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+⋯+-- 2

1

(1)(1)n n q q q q

--=-++⋯+-1

11(1)1n n q q q q

---=---10=-<．

s t ∴<．

【押题点】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式，数列与集合的新定义及其综合运用 2．（2020·北京西城区一模）设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯，其中121001205a a a ≤<<<≤，且对于

任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈ （1）请写出一个满足条件的集合A ；

（2）证明：任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉； （3）若100205a =，求满足条件的集合A 的个数． 【解析】（1）答案不唯一．如{1,2,3,,100}A =；

（2）假设存在一个0{101,102,

,200}x ∈使得0x A ∈，

令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1， 由题意，得100s a a A +∈，

由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,

,200}x ∈，x A ∉．

（3）设集合{201,202,,205}A 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，

由题意，得12100200m a a a -<<

<≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<，

由（2）知，100100m a b -=≤． 假设100b m >-，则1000b m -+>． 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，

因为100100100100200m b m a a --+++=≤

，

所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤

， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，

所以100100m a m --≤

， 又因为121001m a a a -<<

<≤，i a ∈N ，

所以(1100)i a i i m =-≤≤．

任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-， 以下证明集合0A 符合题意：

对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤． 若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，

所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈． 故集合0A 符合题意，

所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个．

【押题点】数列与集合的新定义，数列中的推理，反证法

3．（2020·北京十五中高三一模）设有限数列12:,,,()n A a a a n *⋅⋅⋅∈N ，定义集合{}

i j M a a |i j n =+<1≤≤为数列A 的伴随集合．

（Ⅰ）已知有限数列:1,0,1,2P -和数列:1,3,9,27Q ．分别写出P 和Q 的伴随集合； （Ⅰ）已知有限等比数列2:2,2,,2()n A n *∈N ，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ； （Ⅰ）已知有限等差数列122019:,,

,A a a a ，判断507

0,

,3100

是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由． 【解析】（Ⅰ）数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}4,10,12,28,30,36． （Ⅰ）先证明对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+≤<≤≤<≤． 假设()1,1i j k l a a a a i j n k l n +=+≤<≤≤<≤．

当i k =且j l ≠，因为i j k l a a a a +=+，则j l a a =，即22j l =， 所以j l =，与j l ≠矛盾．

同理，当i k ≠且j l =时，也不成立．