2015高考数学解题思维策略第3讲 数学思维的严密性
高中数学解题思维训练
第二讲 数学思维反思性训练
1. 概述 数学思维的反思性表现在思维活 动中善于提出独立见解，精细地检查 思维过程，不盲从、不轻信。在解决 问题时能不断地验证所拟定的假设， 获得独特的解决问题的方法，它和创 造性思维密切相关。 通过本讲训练，加强学生思维的 严密性培养他们的创造性思维。
养成验算的习惯，可以有效地 增强思维反思性。 如：在解无理方程、无理不等 式；对数方程、对数不等式时，由 于变形后方程或不等式两端代数式 的定义域可能会发生变化，这样就 有可能产生增根或失根，因此必须 进行检验，舍弃增根，找回失根。
小资料： 《怎样解题》
G.波利亚
第一：你必须弄清问题 弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满 足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余 的？或者是矛盾的？把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？ 第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅 助问题，你应该最终得出一个求解的计划。 拟订计划： 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问 题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或 相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你 能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应 该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述 它？回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更 容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你 能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知 数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你 能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数 据，或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中 的所有必要的概念？ 第三：实现你的计划 实现计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看 出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？ 第四：验证所得的解 回顾：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你 能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？
2015高考数学解答题答题技巧
2015年高考数学解答题答题技巧平时做解答题就要多总结方法，可是书面的也总结了许多，在这儿我主要讲考试。
我们做这些解答题的时候必须严格按照演绎推理的方式科学逻辑地进行解答和表述，可以说这里已经没有“投机取巧”的机会，但仍然有一些让我们“多拿几分”，“夺取高分”的策略哦。
1.缺步解答如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”，你可以在实战中运用分析一下。
2.跳步答题解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论.如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向;如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。
由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底，这就是跳步解答.也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持卷面的工整.若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答的方法。
3.退步解答“以退求进”是一个重要的解题策略.对于一个较一般的问题，如果你一时不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论.总之，退到一个你能够解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决.为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。
4.逆向解答对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证.如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。
数学思维逻辑推理——解题思路与策略
数学思维逻辑推理——解题思路与策略数学作为一门学科，不仅仅是一种工具，更是一种思维方式和逻辑推理的体现。
在解题过程中，正确的思路和策略是至关重要的。
本文将介绍数学解题的思路和策略，帮助读者提升数学思维能力。
一、数学思维的特点数学思维有一些独特的特点，包括抽象思维、推理思维、逻辑思维和创造性思维。
首先是抽象思维，数学中的概念和理论往往是抽象的，需要我们通过具体的例子和实际情境来加深理解。
其次是推理思维，数学中的证明和推理是重要的环节，需要我们运用逻辑规律和数学定理进行推导和证明。
再次是逻辑思维，数学要求我们善于分析问题，找到问题的本质，并运用逻辑关系进行推理，解决问题。
最后是创造性思维，数学不仅是一门死板的学科，也需要我们善于发现问题背后的规律和套路，运用创造性的思维方法解决问题。
二、解题思路与策略在解题过程中，我们可以运用一些思路和策略来帮助我们更好地解决问题。
下面将介绍一些常用的解题思路与策略。
1. 分析问题解题的第一步是仔细阅读题目，理解题意并分析问题。
首先要确定问题中给出的已知条件，然后找到问题的关键点和要求。
2. 查找问题的规律有些问题可能存在规律，可以通过观察并总结规律来解题。
我们可以通过构造实例或者画图来辅助理解问题的规律。
3. 利用已知条件根据问题中给出的已知条件，我们可以利用代数方法、几何方法或者其他数学方法来进行推导和计算。
运用已知条件是解题的关键一步。
4. 逆向推理有时候，我们可以通过逆向思维来解决问题。
即从问题的要求出发，倒推回已知条件，找到符合条件的解。
5. 使用数学定理和公式数学中有很多定理和公式可以帮助我们解决问题。
在解题过程中，要熟练掌握并合理运用各类数学定理和公式。
6. 灵活运用逻辑推理逻辑推理在解题过程中起着重要的作用。
通过分析问题的逻辑关系，运用条件推理、假设推理等方法，帮助我们解决复杂的数学问题。
7. 多方位思考有时候，从不同的角度思考问题，换一种思路可能会得出不同的答案。
高中数学如何提高思维严密性
高中数学如何提高思维严密性思想是行动的指南，要重视学生思维严密性的培养，首先要注重对思维严密性的解读，提高学生对思维严密性的认识。
下面小编跟大家聊聊关于高中数学如何提高思维严密性，欢迎大家阅读!1高中数学如何提高思维严密性首先要注重提高学生对思维严密性的认识思想是行动的指南，要重视学生思维严密性的培养，首先要注重对思维严密性的解读，提高学生对思维严密性的认识.很多学生表达问题不全面、解题经常出现错误，认为是“粗心”，只要下次认真就行.学生这种认识是一个误区，如果不及时给予纠正，学生这种“粗心”永远也改不了.教师针对学生表达问题不全面、解题经常出现错误，一定要及时分析清楚.让学生明确错误的根本原因在于基础知识、基本技能掌握不好、不牢所致，是思维不严密所致.这样提高学生对思维严密性的认识，有利于学生重视自身思维严密性的培养.在学生的倾听和表达中培养思维严密性学生的思维是内在的过程，看不见、摸不着.教师要经常让学生表达来反映他们的内在思维过程、方式、严密性.当一个学生在表达时，要求其余学生认真倾听，边听别人的意见，边对照自己的想法，并及时对他人的表达进行评价，哪些地方讲得好?哪些地方讲得不足?让学生互相比较，互相交流，最后教师再进行点评，表扬闪光点，分析错误的原因.这样，有利于学生发现自身思维过程、方式、严密性上的不足;有利于学生发现自身表达不完整、不严密的地方;有利于学生明白认识事物、解决问题要考虑各个方面、各个环节;有利于学生掌握认识事物、解决问题的思维方法;有利于培养学生的思维严密性.在概念、定义教学中培养思维严密性数学概念、定义是数学最基础的知识，也是思维严密性的基础.教师注重数学概念、定义教学，就是要对概念、定义逐字、逐句解读，尤其是关键字句的解读，并通过举正、反两方面的例子说明，帮助学生掌握概念的内涵与外延，让学生正确理解数学概念、定义.例如绝对值概念教学.绝对值在教材上有几何意义和代数意义两种定义.教师教学时，应遵循学生的认知规律，从实例出发，数形结合，阐明绝对值的几何意义，归纳出任何数的绝对值是一个非负数，并且也慢慢地让学生领悟绝对值的代数意义，即正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.2数学思维锻炼联想性思维的培养“联想思维是一种表现想象力的思维，是发散思维的显著标志”。
高中数学解题思维策略.2
.)((),(25的虚部）表z z I z I += 又.3,9,2)(max 2max =-∴=-∴≤i z i z z I数学思维的反思性一、概述数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。
在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。
本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。
二、思维训练实例(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。
例1 已知bxax x f +=)(，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。
错误解法 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②①②×2－①得 156≤≤a③①×2－②得 32338-≤≤-b ④③+④得.343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的。
当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f 解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。
只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
例2 证明勾股定理：已知在ABC ∆中，︒=∠90C ，求证.222b a c += 错误证法 在ABC Rt ∆中，,cos ,sin cbA c a A ==而1cos sin 22=+A A ， 1)()(22=+∴cbc a ，即.222b a c += 错误分析 在现行的中学体系中，1cos sin 22=+A A 这个公式本身是从勾股定理推出来的。
精品 2014-2015年 高中数学解题思维策略
x2 y2 x2
3 2 1 9 x 3 x ( x 3) 2 , 2 2 2
当 x 3 时， x 2 y 2 取最大值，最大值为
9 2
这种解法由于忽略了 y 2 0 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要 注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽 条件，既要注意主要的已知条件， 又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。
1 1 1 1 . 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，因此，原式等于 1 问题 1 n(n 1) n n 1 2 2 3 n n 1 n 1
这个方程指明两个数的和为 2 ， 这两个数的积为 3 。 由此联想到韦达定理，
x 、 y 是一元二次方程 t 2 2t 3 0 的两个根， x 1 x 3 所以 或 .可见，联想可使问题变得简单。 y 3 y 1
1
高中数学
（3）善于将问题进行转化 数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。 可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重 要的思维方法。 那么怎样转化呢？概括地讲， 就是把复杂问题转化成简单问题， 把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具 体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 1 1 1 1 例如，已知 , (abc 0, a b c 0) , a b c abc 求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：
高考备考中的数学思维与解题思路
高考备考中的数学思维与解题思路数学作为高考的一门重要科目，对于学生来说是一个备考难点，它需要学生具备一定的数学思维和解题思路。
本文将从数学思维的培养以及解题思路的提升两个方面进行探讨。
一、数学思维的培养1. 培养逻辑思维：数学题目往往需要进行逻辑推理和思维判断。
在备考过程中，学生可以多做一些逻辑思维训练题，如数列推理、逻辑谜题等，提升自己的逻辑思维能力。
2. 培养几何思维：几何问题在高考中占有重要的比重。
学生可以通过多做几何题目，培养对图形的敏感性和空间想象能力。
同时，可以通过拓展阅读相关的几何知识，了解几何背后的数学原理，提高几何思维的掌握程度。
3. 培养抽象思维：数学题目常常涉及到抽象的概念和问题。
学生可以通过研究数学中的定义、定理和公式，理解其中的思想和推理方式，逐渐培养自己的抽象思维能力。
二、解题思路的提升1. 理清问题：在解题过程中，首先要仔细阅读题目，理解问题的要求和条件。
可以在纸上画图或列式，将问题形象化，帮助理清思路。
2. 掌握基本方法：学生要熟练掌握数学的基本解题方法和公式，包括代数运算、方程式求解、函数图像分析等。
通过反复训练，掌握这些基本方法，提高解题的效率和准确性。
3. 培养思维习惯：在解题过程中，培养一些良好的思维习惯是非常重要的。
例如，学会归纳总结问题，寻找问题的突破点，提炼问题的关键信息等。
通过良好的思维习惯，可以更好地解决数学问题。
4. 勤加练习：数学题目需要不断的练习和实践才能够掌握。
学生可以通过做大量的题目，加深对于解题思路的理解和掌握。
同时，可以参加一些数学竞赛或习题讲评，学习他人的解题思路和方法，丰富自己的解题经验。
总结起来，数学思维的培养和解题思路的提升是高考备考中非常重要的内容。
通过培养逻辑思维、几何思维和抽象思维，学生可以提升自己的数学思维能力。
同时，通过理清问题、熟练掌握基本方法、培养思维习惯和勤加练习，学生可以提高解题的准确性和效率。
希望广大考生能够重视数学思维和解题思路的培养，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。
高考数学解题的思维策略
高考数学解题的思维策略《解密数学思维的内核》数学问题解决的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，g.波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。
这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解决问题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是实现问题解决的过程。
它包括一系列基础知识和基本技能的灵活运用，以及思维过程的具体表达。
它是解决问题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学问题解决能力为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，为了进一步提高探索的有效性，我们必须掌握一些解决问题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这种理解，常用的问题解决策略有：熟悉、简化、可视化、专业化、泛化、整合、间接等。
1、熟悉策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般来说，对主题的熟悉程度取决于对主题本身结构的理解和理解。
从结构分析来看，任何解决方案都包含两个方面：条件和结论（或问题）。
因此，为了将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，我们可以更加努力地改变条件、结论（或问题）及其联系方式。
常见的方法有：（一）、充分联想回忆基本知识和题型：波利亚认为，在解决问题之前，我们应该充分联想和回忆与原始问题相同或相似的知识点和问题类型，并充分利用类似问题中的方法、方法和结论，从而解决存在的问题。
提高数学思维的严密性——不等式错例分析
ｆ ３
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＞ ０
两 组 字 值 均 不 满 足 ｛ － ４ ａ ４ － ｃ ￣ ＜ 。 ≤ － ５ １ ， 因 此 一 ７ ３ ） ≤ Ｉ ＞ ± 旦 或 ＜ 二 旦 这 ２ ６ 中的左右等号均不能成立 ， 故２ ６ 、 一 ７ 不是要求的最
一
０ ≤９ ｎ ≤２ ７ ， 一 ７ ≤一 Ｃ ≤一 １ ， 即一 ７ ≤９ ａ — ｃ ≤２ ６ ， 而 ｆ （ ３ ） ： ９ ｎ ｃ ，
・ ．
．
３ ） 的最大值是２ ６ ， 最小值是一 ７ 。 错因分析 ： 在一 ７ ≤， （ ３ ） ≤２ ６ 中， 当且仅 当０ ＝ ３ ， ｃ ＝ １ 时， 右等号成立 ； 当且仅 当ａ ＝ Ｏ ， ｃ ＝ ７ 时， 左 等号成立 ，
考点聚焦
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■ 刘 元 飞
在中学数学 中，思维的严密性表现为思维过程 服从于严格 的逻辑规 则 ， 考察 问题时严格 、 准确 ， 进 行运算和推理 时精确无误。数学是一 门具有高度抽 象性和精 密逻辑性 的科学 ，论证 的严密性是数学的 根本 特点之一 。 但是 ， 由于认知水平 和心理特征等因 素的影 响 ， 中学生的思维过程常常 出现不严密现象 ， 主要表现在概念模糊 、 判断错误 、 推理错误等方面。 不等式 的求解是 中学数学中的重点 内容 ，也是 历年高考 中的热点 内容 ， 然而 由于初学“ 解一元一次 不等式” 时， 对不等式的概念 、 基本性质和 同解 变形 如果掌握 不好及忽视隐含条件致使求解 出错 的现象 时有发生。本文拟通过实例分类 剖析不等式求解 中 的常见错误 ， 以帮助学生提高认识 ， 辨清疑点 。
值 。究其原因 ， 是将ｎ 、 ｃ 的范 围扩大了。 正确解答 ： 由 Ｉ ） ＝ ｃ ， ２ ） ＝ ４ ａ — ｃ ， ３ ） ＝ ９ Ⅱ 一 ｃ ， 可设 ３ ） ＝ ， （ １ ） ＋ ） ， 贝 ４ ， （ ｎ 一 ｃ － ｊ ） ＋ ｎ （ ４ ｎ — ｃ ） ＝
浅谈高中数学学习中严密性思维的培养
浅谈高中数学学习中严密性思维的培养-中学数学论文浅谈高中数学学习中严密性思维的培养杨原明（西安交通大学苏州附属中学，江苏苏州215021）摘要：数学是一门具有高度抽象性、发散思考性、严谨逻辑性的学科。
在学习数学的过程中，不仅要得到精确的计算结果，还必须保证每一步计算的合理性以及计算之间的连贯性。
本文紧扣高中生数学学习情况与教材的大纲内容，结合高中数学教学中的具体例题进行分析，旨在突出严密性思维对于高中数学学习的重要性，并为数学严密性思维的培养提出合理的建议。
关键词：数学学习；严密性思维；思维培养与升华中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-05-0168-01 一、高中生思维严密性欠缺的表现方面（一）习题整体意识把握模糊看完数学习题后，能够清楚的知道题目问的是什么，类似习题是如何解答的，关键已知条件是哪些，解题的步骤是怎样划分的，哪些数据需要代入进行计算，得到的答案是否需要检验。
高中生在遇到一些较难的数学习题时，对习题的整体分析能力不强，很难把握住解题的关键点，容易陷入思维混乱。
盲目的计算，没有严密的逻辑推理，两种本应有联系的数据是抓破头皮也找不到中间点，只好模糊的强扯关系，或是直接跳过得到答案。
这种现象经常出现在解答题和证明题当中，这说明高中生在解题上没有对习题整体把握的好习惯。
（二）套用大概数字进行反计算高中生在一些数学选择题和填空题上，由于找不到思路，不知道该如何解答习题，常常会将选择题中选项一一试证，或者是找接近答案的数字代入反计算，符合题目已知条件就认定此数字是正确答案。
这种解题习惯虽然偶尔碰对，但却是实实在在的反映出高中生解题的不严谨，学习习惯上有侥幸心里。
没有具备严密性的思维，就不能认真的剖析题目，解题的过程就会出现混乱，得到的答案也不敢确定。
（三）图形抽象思维不连贯图形抽象思维的不连贯，指的是在图形类试题中，高中生看图往往是看的见自己想找到的几何图形，却无法将相邻、部分重合、虚线自构的几何图形联系在一起，没有用严密的思维去面对整个图形和分析各部分图形。
高中数学解题的思维策略总结及分享
高中数学解题的思维策略总结及分享老师在对学生进行教学过程中，需要对学生数学思维进行培养，而解题思维作为重要的数学思维，自然也是教师关注重点，本文将以北师大版教材为例，对高中数学解题思维策略进行总结，期望能够与业界同仁进行分享。
标签：严密性思维；数学解题思维；高中数学；定势思维一、注重对学生发散性思维的培养北师大版教材是经过精神编制的，其中的教学内容安排以及难度安排较为合理，能够对学生发散性思维培养形成良好辅助，所以老师要对该教材展开深度研究，要按照教学大纲以及高中生数学培养标准，对学生解题思维能力培养方案进行制定，以便对学生展开系统、详细的知识点讲解，确保学生知识点盲点能够被扫清，以达到对学生数学知识学习效率进行强化的目的。
同时因为一道题目中，会有多种解题方式，所以在对学生进行解题思维培养时，也会达到良好效果。
以北师大版必修五3.2《解不等式》一课的教学为例。
在进行本课教学时，筆者利用数学题“一题多解”的特点，利用1<|x3-1|<6这一题，对学生展开了发散性思维的培养。
首先，笔者按照学生综合情况对其展开了科学分组，并要求学生以小组为单位，对本题解题方式进行研究。
其次老师要邀请学生上台对小组研究结果进行展示，并请其他小组学生对其进行评价，确保学生可以通过这种方式，相互启发、相互辅助，进而不断学生发散性思维的发展。
最后要对学生发言进行总结，要对学生所得到的问题解题思路利弊进行客观分析，并要注意对学生自尊的保护，要在保证不损害学生学习积极性的前提下，对学生思路进行适当点拨，进而使学生可以在老师的辅助下，准确得到相应的解题结果。
二、改变学生定势思维模式从心理学层面而言，个体在开展某项活动之前，事先做好准备的心理状态便是“定势”。
而高中生在进行数学问题解答过程中，很有可能会受到定势影响的影响，可能会因为长期思维模式与解题模式的左右，而出现一种无意识的解题习惯，会对学生解题思维养成形成直接阻碍。
高中数学与思维的严密性
高中数学与思维的严密性作者：刘高峰来源：《课程教育研究·上》2013年第04期【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）04-0148-01培养学生逻辑思维能力是高中数学教学的首要任务。
而思维的严密性是良好思维品质的一个重要方面，高中数学中经常遇到学生错误解题的思维缺陷，本文谨以一些实例说明思维的严密性在高中数学教学中的重要性。
例：已知集合{1，a，x}={a2，a，ax}，求x、a。
错解：令1=a■x=ax或1=axx=a■分别解得a=1x∈R或a=±1x=0正确的思维不仅考虑到两组等集合中的元素分别相等，而且集合中的元素满足无序性和互异性，将所得结果作检验只有a=-1，x=0。
例：判断y=x2+（x+1）0的奇偶性。
错解：∵（x+1）0=1∴y=x2+1，f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x）∴y=x2+（x+1）0是偶函数。
正确的思维首先判断函数的定义域是否关于原点对称，事实上x≠-1，函数既非奇函数也非偶函数。
例：求y=sin x■（30■≤X≤60■）的最小值。
错解：∵ 30■≤X≤60■ ，∴ sin x？酆■？刍0∴ sin x+■≥■=2 ，得y的最小值为2。
正确的思维是对“均值定理”中“一正、二定、三相等”三方面条件逐步检验，事实上，在给定的范围内sin x 与■ 不存在相等的情况，因而当用函数单调性解之，得ymin=■ 。
例：一数列的前几项和为sn=2n2+3n+1 ，求其通项公式。
错解：∵ sn=2n2+3n+1 ，∴ sn=2（n-1）2+3（n-1）+1∴ an=sn-sn-1=4n+1正确的思维应当考虑到sn-1 存在的条件为n≥2 ，故只有当n≥2 时，an=4n+1 ， a1=s1=6不符合上述公式。
例：若loga2？酆logb2 ，比较a与b的大小。
错解：loga2？酆logb2 ，∴ ■？酆■ ，∴ logab？酆logba ，得b？酆a？酆0 。
数学思维逻辑推理——解题思路与策略
数学思维逻辑推理——解题思路与策略数学是一门需要思考和推理的学科，解题过程往往需要一定的思维逻辑和策略。
本文将介绍一些解题的思路和策略，帮助读者提高数学解题能力。
1. 审题与理解在解题之前，首先要仔细审题并全面理解题目的意思。
这包括理解题干中给出的条件、目标和限制等。
同时，需要辨别出问题要求的具体解答形式，例如是否需要一个具体的数值、一个等式或者一个推理过程。
只有充分理解题目，才能更好地制定解题方案。
2. 抽象与建模数学解题往往需要将实际问题抽象为数学模型，通过建立数学关系来解决问题。
在进行抽象和建模时，要注意根据问题的特点选择合适的数学工具和方法。
例如，对于几何问题，可以使用几何定理和公式；对于代数问题，可以使用方程或不等式等。
3. 分析与归纳分析是解题过程中非常重要的一步，它要求学生对问题进行逐步分解和归纳。
通过将整个问题分解为较小的子问题，可以更好地理解问题的结构和关系，进而找到解题的线索。
此外，归纳也往往能帮助学生发现问题的共性和规律，从而进一步提炼解题策略。
4. 推理与推导推理和推导是数学思维的核心能力，解题过程中必不可缺的一环。
通过推理和推导，可以从已知条件出发，探索出未知结论，并最终进一步解决问题。
推理和推导的合理运用需要理性思考和逻辑思维，常用的方法包括逆否、假设、反证和归谬法等。
5. 反思与验证在解题完成后，要进行反思和验证。
反思是对解题过程的总结和思考，可以从解题思路、方法和策略等方面检查自己的解题过程是否合理、顺利。
验证是在解答完毕后再次检查答案的正确性和合理性，可以通过代入法、逻辑推理和推导等方法进行自我检验。
总结：数学思维逻辑推理在数学学习和解题中至关重要。
通过审题与理解、抽象与建模、分析与归纳、推理与推导以及反思与验证等步骤，可以更好地解决数学问题。
此外，每位学生都可以根据自己的特点和实际情况，探索适合自己的解题方法和策略，提高数学解题能力。
要坚持练习和探索，在解决实际问题的过程中培养数学思维逻辑推理能力，从而在数学学习中取得更好的成绩。
数学解题思维方法
数学解题思维方法数学解题是一种很重要的思维能力，它要求我们用逻辑思维、分析能力和创造力来解决问题。
以下是一些常见的数学解题思维方法：1.分析问题：首先要仔细阅读题目，理解题目中所给出的信息。
然后分析问题的关键点，确定解题方向。
可以用图表、表格等形式来总结已知条件。
2.约束条件：有些数学问题可能会有一些约束条件，比如范围限制、条件限制等。
要从这些限制中提取有用信息，以确定问题的范围。
3.利用已知条件：将已知条件转化为数学符号和方程，以帮助我们解决问题。
有时需要进行一些变量的定义、假设或引入一些辅助线、点等来简化问题。
4.分解问题：将复杂的问题分解成几个简单的子问题，然后分别解决。
这样有助于我们理清思路，逐步推进解决问题的过程。
5.利用模型和公式：在解决数学问题时，可以根据问题的特点选择合适的模型和公式。
模型和公式是通过对类似问题的研究总结的，使用它们可以大大简化问题的解决过程。
6.探索和试错：有时候，我们需要探索一些可能的解决方案，并通过试错的方法来验证它们的可行性。
这需要我们具备一定的胆量和耐心，同时灵活运用已有的知识和技巧。
7.归纳和演绎：数学解题是一种归纳和演绎的过程。
在解决问题的过程中，我们会发现一些规律或者模式，然后通过归纳来得到结论。
基于这些结论，我们可以进行演绎，进而解决更复杂的问题。
8.沟通和合作：数学解题并不是一个孤立的活动，我们可以与他人进行讨论和合作，从中获得新的思路和解题方法。
借助他人的智慧和经验，我们可以更快速地解决问题，同时也能提高自己的解题能力。
除了这些常见的解题思维方法，还有一些其他的方法，比如逆向思维、类比思维等。
所有这些方法都有一个共同的特点，那就是需要我们灵活运用已有的数学知识和技巧，结合逻辑推理和创造性思维，进行问题求解。
通过不断练习和思考，我们可以提高自己的解题能力，不仅在数学上，也在生活中获得更好的解决问题的能力。
高考数学试题的解题的思维策略
高考数学试题的解题的思维策略1.解题思维策略的概念及意义所谓数学解题的思维策略，就是在发现和运数学知识、方法、思想、技巧，解决数学问题的过程中所采取的总体思路，是解题中带有原则性的思想方法，是为了实现解题目标而采取的方针．运用它，能提高解题的效率、增强解题的艺术、培养创新能力．2.研究解题思维策略的必要性“学习数学就意味着解题”．而学生在解题中缺少的又往往是解题的思维策略，我们经常可以看到这样的现象，有的学生虽然已经具备了足够的数学知识、掌握了相应的数学方法，但他们仍然不知如何运用，仍然不能有效地解决问题，造成这样的情况的原因实际上是学生对解题缺少思维策略，以至不假思索地采取某种方法或解题途径、或总是在各种可能的解题途径与方法之间徘徊不定，而对自己在干什么，为什么这样干缺乏明确的认识；或在沿着某一解题途径走下去时，往往不能对自己目前的处境作出清醒的评估，并由此作出调整（是继续走下去，还是另寻他途），而却却是“一条道上走到黑”，“不撞南墙不回头”，直至最终陷入僵局．因此，研究如何增强数学的解题策略意识就显得很有必要．教师要在解题教学中重视解题的思维策略的教学，用解题的思维策略去提醒学生“不要只埋头走路，要抬头看路”，“还要常回头看看”．看到：数学解题思维策略是以全局性的指导意义而有别于具体的解题的思想、方法和技巧；它是解题思路、思想转化为解题操作的桥梁，是从主体面对问题的把握和处理过程中通过观察弄清问题本质，抓住问题特征，进行广泛联想，凭借已有知识经验，作出直观判断，选择总体思路或入手的方向原则，它层次高，适用广，它从一个新的层面上体现了选择的智慧和组合的艺术．它远比一般的思想、方法技巧的传授教学要难的多，学生要理解、掌握和运用它更需要有一个相当长的过程，但一旦掌握就是质的飞跃，也将受益终身，因此，需要教师作出不懈的努力．同时，我们又应看到：数学界与数学教育界正在探索创立中国数学教育学派之路，拥有十几亿人口，有几千年教育史的中国，理应有能力创立具有中国特色的数学教育的思想体系．这一艰巨任务是一大系统工程，是需要教材编写、教学研究、课堂教学、考试评价，师资培训等方面的专家、学者和教师的研究协作的事业，生动的实践需要有理论的指导，宏伟的理论需要有实践的支撑．新的教学思想应由实践中来，上升为理论，再反回去指导实践．数学解题的思维策略的研究与教学，正是体现了这一充满活力的认识过程，它是建立具有中国特色的数学教育思想体系的重要组成部分．3.解题思维策略实施的途径实施解题的思维策略就是明确解决问题的总体方向，它主要体现在思维起点和方法的选择两个方面，能否实施合适的思维策略与观察问题的角度及联想范围的广狭、深浅、经验等方面有关．下面结合实际，具体谈谈解题策略的操作问题．3.1 存细审题，快速分辩，择优确定解题方法是实施解题策略的前提解题的第一步工作是审题，弄清解题目标，并根据题情实施相应的解题策略，许多时候常因题情不清、方法不当而导致解题失败．因此，仔细审题，快速分辩，择优确定解题方法是实施解题策略的前提．例１ 已知椭圆1162422=+y x ，直线l ：1812=+y x ．Ｐ是l 上一点，射线OP 交椭圆于Ｒ，又点Ｑ在OP Ｐ在l 上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考压轴题)解题的策略分析：本题是求动点Ｑ),(y x 的轨迹方程，即找到关于y x ,的等式，可以用一般法来解，即设点Ｑ),(y x ，Ｑ),(Q Q y x ，Ｒ),(R R y x ，再布立方程组来解．但必须看到这里有y x ,，Q Q y x ,，R R y x ,六个末知量，这样，所立的方程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别的方法？从条件2OR OP OQ =⋅知，这是一个与长度与角度有关的问题，故可用参数法求解比较简单．但不要就此停步，再看是否还有别的方法？的确，用极坐标法来解将会显得更简捷．在分辩了方法间的优劣之后，策略层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题，它关系到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题，这是一个学生用极坐标法来解时常常难以选择．这里考虑到OR OP OQ ,,都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即不用统一式而用互化式．这样，分辩清了，方法、运算和要运用的知识也就自然择优而定了．解：以原点为极点，OX 轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为 2222222sin cos a b a b ρθθ=+＝22483sin 2cos θθ+ ， 直线极坐标方程为 243sin 2cos ρθθ=+ ． 因点Ｑ，Ｒ，Ｐ在同一射线上，故可设它们的坐标分别为12(,),(,),(,)ρθρθρθ，则由题意得 2122483sin 2cos ρθθ=+ ，22243sin 2cos ρθθ=+ ． 由条件 2OR OP OQ =⋅ ，即 2221(0)ρρρρ∙=≠，将上两式代入得： 243sin 2cos ρθθ∙+＝22483sin 2cos θθ+ ． 即 226sin 4cos (0)3sin 2cos θθρρθθ+=≠+ ， 两边同乘以ρ，即化为直角坐标方程 222346x y x y +=+ ，整理得 22(1)(1)15523x y --+=，由0ρ≠知,x y 不同时为０． 且长轴与x 轴平行的椭圆，并去掉原点．3.2 抓题眼，看特征，捕捉有用的特征信息是实行快速解题策略的突破口：在许多数学问题中,无论是题设、结论，还是整体结构、数值、图象都表现出或隐含着某种“特征”.解题时,若能善于观察和捕捉这些特征,常会使我们在一开始解题时就找准思维起点，再加上科学思维和合理运算、推理.常能缩短解题长度,例2 （2000)(x f ＝d cx bx ax +++23的图象如图，则 （ （Ａ）∈b （-∞，0） （B ）∈b （0，1） （C ）∈b （1，2） （D ）∈b （2，+∞）解题的策略分析：由图象过特殊点的特征，可得以下式子：⑴)0(f =0， 即 d =0；⑵)1(f =0， 即 a +b +c +d =0；⑶)2(f =0， 即 8a +4b +2c +d =0；⑷)(x f ＝cx bx ax ++23=);2)(1(--x x ax⑸当∈x （-∞，0）∪（1，2）时，)(x f ＜0，有)1(-f ＜0，即 -a +b -c ＜0⑹当∈x （0，1）∪（2，+∞）时，)(x f ＞0，有)3(f ＞0 ，即 a ＞0 巧妙合理地运用以上式子，即可得到多种简捷解法．如：解法１ 由⑵、⑶，解得b ＝－３a ，又由⑹知a ＞0，∴b ＜０．故选（Ａ）． 解法２ 由⑵＋⑸，解得２b ＜０，∴b ＜０．故选（Ａ）．解法３ 由⑷，比较同次项系数，得b ＝－３a ，又知a ＞0，∴b ＜０．故选（Ａ）．解法４ 由⑷，取特殊函数)(x f ＝(1)(2);x x x --，得b ＝－３，故选（Ａ）． 事实上，很多抽象的数量关系，一旦转化为具体的图象问题，则思路与方法便从图形中直观地显示出来，反之抓住给出的图象的特殊点，特殊位置，常会使我们在一开始解题时就找准思维起点，优化解题，有助于快速解题．例3 在△ABC 中，C sin ＝conBconA B A ++sin sin ，求证：这个三角形是直角三角形． 解题的策略分析：观察条件中等式的特征，可发现Ａ和Ｂ的地位相当，故不可能是直角，因而只要通过在已知等式消去Ａ、Ｂ，来证明Ｃ是直角即可．（这是策略层面的，以下是具体操作）C sin ＝B A B A cos cos sin sin ++＝2cos 2cos 22cos 2sin 2B A B A B A B A -+-+＝2cos 2sin B A B A ++＝2sin 2cos C C ， 即2cos 2sin 2C C ＝2sin 2cos C C ，因 2cos C ≠０，所以 2sin 22C ＝１． 又因 2sin C ＞０，所以 2sin C ＝22， 得 2C ＝4π， 即C ＝2π． 所以△ABC 是直角三角形．多么干净利落，关键是在解题的策略分析中抓住了条件中Ａ、Ｂ的特征，找到了突破口．3.3 以退为进，进退自如，是辩证思维在解题策略中的体现“以退求进”是人们常用的辩证思维方法与思维策略，数学解题中的“退”就是把一个较为复杂的问题“退”到最简单、最原始的问题，把这个最简单最原始的问题想通了、想透了，不仅可以进，而且可以来一个飞跃．华罗庚曾说过：“先足够地退到我们容易看清的地方，认识透了钻深了，然后再上去”．例４ 求证：m n n C C ⋅0＋11-⋅m n n C C ＋…＋k m n k n C C -⋅＋…＋n n n n C C ⋅＝!!)!2(n n n ⋅ ． 思维的策略分析：这是一个组合数的证明题，不少同学对这类问题常望而生畏，不知如何入手．运用“以退求进” 的思维策略就是退一步想，先把k m n k nC C -⋅退回到一个组合问题中，即从n 个不同元素中取出k n -个不同元素的取法种数．k m n knn k C C -=⋅∑0就是当k ＝０，１，２，…，n 时的和，于是我们就将k m n k n nk C C -=⋅∑0退回到它的原始的状态，即从n 个不同白球与n 个不同黑球中任取出n 个球的不同取的种数．则等式右边可变为n n C 2，即从２n 个不同元素中取出n 个不同元素的取法种数．它们之间的等量关系是显然的．3.4 目标导航，灵活转化，是数学家处理问题时惯用的思维策略客观事物在不断地运动变化，事物之间在互相转化．反映在数学上的转化策略就是从已知条件出发，联想已经学过的知识、方法，盯着目标设法实施有效的转化，在条件和结论之间架起一座合理化归的桥梁．事实上，解题的过程就是从题目的条件不断向解题目标变形、靠近的过程．因此，用解题目标给自己的解题思路导航是最为自然不过的，对灵活转化也是最为有效的．但是，缺乏经验的解题者往往会失去目标或者不善于用目标给自己的思路导航．因此，利用目标导航，进行灵活转化是让解题思路来得自然的重要途径．在解题的过程中“聪明的人从结果开始” （波利亚语）．“数学家们也往往不是对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题”（ 匈牙利数学家路莎·彼得语）． 事实上，并非所有的问题只要一审题，就来了正确的思路，许多问题的思路都是对问题的条件和结论的不断转化中化出来的．因此，要学习掌握这种把新问题归结为已经解决的问题是数学家们处理问题时惯用的思维策略，做一个“聪明的人”．例５ 设x ＞０，y ＞０，x ≠y ，且2x －2y ＝3x －3y ．求证： １＜x ＋y ＜34． 思维的策略分析与解答：在条件没有直接的目标式：“x ＋y ”，所以要用转化策略．∵ x －y ＝０，由 （x －y ）（x ＋y ）＝（x －y ）（2x ＋xy ＋2y ）， 得 x ＋y ＝2x ＋xy ＋2y ．将 2x ＋xy ＋2y 配方产生目标 “x ＋y ”．不妨设x ＋y ＝t ，有 t ＝（2)y x +－xy ＝2t －xy ． 即 2t －t ＝xy ．再将 xy 向目标“x ＋y ”转化，自然想到 xy ＜2)2(y x +＝42t （∵x ≠y ）， 于是，有 2t －t ＜42t ，即 ３2t ―４t ＜０，解得０＜t ＜34． 如何证明 t ＞１，则又是一个解题目标．事实上，由x ＞０，y ＞０知，2t －t ＝xy ＞０，即2t ＞t ，而t ＞０，∴ t ＞１．例6 求方程 13++x x －y ＝０的整数解． 思维的策略分析与解答：因为是求整数解（解题目标），所以x 、y 应为整数，由方程可知13++x x 也应是整数． ∵13++x x ＝１＋12+x ， ∴12+x ∈Ｚ 从而，分母1+x 只能是±１，±２，即x ＝０，－２，１，－３，代入原方程可得其整数解是x＝０y＝３x＝－２x＝１x＝－３y＝－１y＝２y＝０这里，解题思路来得自然流畅，正是由于目标导航运用．3.5 “常”·“变”正确定位，是实施灵活解题策略的高明之举一个问题常含有好几个量，这些量是“常量”、“参量”或“变量”，它们的定位往往不是绝对的。
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第三讲 拉分题——巧妙解,分分必争
斜率不存在时，求出点
Q
的坐标为0，2－3
5
5.这是每位考
生都应该能做到的．
高考专题辅导与测试·数学
第十页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
其次，联立直线方程与椭圆方程并设出M，N，Q的坐
标，通过
2 |A Q|2
＝
1 |A M|2
＋
1 |A N|2
，得到
2 x2
＝
1 x 21
＋
1
x
2 2
＝
8 3
.
高考专题辅导与测试·数学
第十五页，编辑于星期五：十点 三分。
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设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由|AC|＝|BD|得，x1－232＋
y1－
832＝x2－232＋y2＋
832，
故 x21－x22＋43(x2－x1)＝y22－y21＋2×
83(y2＋y1)．
而 y22－y21＝34(x21－x22)，代入上式，得
⇒3 分
从而 t＝ 5时，矩形 ABCD 的面积最大，
最大面积为 6.
⇒5
高考专题辅导与测试·数学
第二十三页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
(2)设点M(x，y)，由A (x0，y0)，B(x0，－y0)，
A
1(-3,0)，A
2(3,0)，知直线A
A
1的方程为y
＝
x
y0 0＋3
(x＋3)，①
第十七页，编辑于星期五：十点 三分。
创新方案系列丛书
(3)假设存在直线 l 使其斜率 k 满足|PN|＝2|MQ|，
设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，
2015高考如何来提高数学解题能力
2015高考如何来提高数学解题能力数学在命题方面千变万化，知识点又非常容易综合穿插，所以，对那些不擅长整合知识、对数学概念缺乏理解的同学来讲，难免会感到数学很“难"。
进入11月之后，玖久办公室接到的咨询电话陆续多起来，一些外地的家长都在帮助孩子寻找数学的复习方法和解题思维，希望能够提高孩子的数学学习能力，早日让孩子的数学成绩发生变化。
汇总了一下同学和家长的咨询内容，基本上，问题都集中在这上面：“在数学学科上投入很大精力，很努力，但是到头来，只会做老师讲过的题。
考试的时候，题型稍微一变，马上就答不上来，非常让人着急......”其实，数学是一个简单的学科，因为答案是唯一的，问题又非常明确，比其他学科都容易掌握，分数也更容易提高。
那些认为数学难、遇到新题没思路、做了大量习题，收效却不大的同学其实还是没有抓到数学的学习窍门。
从大的方面讲，是学生不懂得什么是学习?从小的方面讲，是学生缺乏数学学习胃口，没有数学思路。
学习是让我们发现一种内在的存在方式，思路是连接知识与问题之间的过程。
如果你清楚了解这点，你会非常轻松，也会非常有方向。
然后，你就会像阿基米德一样，发现这个世界。
首先，你要培养三项能力：这三项能力对于数学成绩的高低起着关键性的作用，即：1、理解知识，知道知识是从哪里来的，要用到哪里去;2、善于分析，一道题目，能够快速找到可以利用的条件，对应前面的恰当知识;3、精于思维管理，思路灵活并且善于主动式思考，可以快速精准的解决问题。
在形容这个解题能力的时候，曹老师举个很恰当的例子：一道题，给出我们一些条件，又给出我们一个目标。
但是在目标和条件之间，还有一些空，需要我们去填补，怎样填补?用我们解决问题的思想，将自己理解的知识点填充在空白处。
好，这道题你就做的很漂亮。
其实学习和工作一样，跟我们应对生活中的任何问题都一样。
我们可以回想一下，在我们遇到问题的时候，我们是不是都会率先抓住问题的要害(善抓重点的人，问题都处理的高效精准。
高考数学尖子生的解题思维分析1
高考数学尖子生的解题思维分析数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：一、数学思维的变通性 :根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案二、数学思维的反思性 :提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性 :考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性 :对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
第一章数学思维的变通性一、变通性的概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：（1）从题目角度出发，善于观察心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。
观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。
要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
从做题角度上看，就是一切从题目角度出发，题目让干什么，我们做什么。
题目没有提到的，一概先不思考。
只有从解题角度上，需要的知识点，题目没有提到的，我们才思考。
由此，我们可以看出，并不是题目难解，而是我们没有观察出题目的关联性。
（2）从条件入手，善于联想联想是问题转化的桥梁。
稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
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第三讲数学思维的严密性数学解题的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。
这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。
第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
数学解题的技巧为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、熟悉化策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。
从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。
因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。
常用的途径有：（一）、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
（二）、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。
因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
（三）恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。
因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。
二、简单化策略所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。
一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。
因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。
解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。
因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。
2、分类考察讨论：在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。
对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。
3、简单化已知条件：有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。
这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。
这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。
4、恰当分解结论：有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。
三、直观化策略：所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。
（一）、图表直观：有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。
对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。
（二）、图形直观：有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。
这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。
（三）、图象直观：不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。
四、特殊化策略所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径。
五、一般化策略所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。
六、整体化策略所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
七、间接化策略所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题。
数学解题思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：第一阶段是审题。
包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径。
有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。
第三阶段是实施计划。
将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。
第四阶段是检查与总结。
求得最终结果以后，检查并分析结果。
探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。
将新知识和经验加以整理使之系统化。
所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
通过以下探索途径来提高解题能力：（1）研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考。
因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。
（2）清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。
（3）深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位臵，看看能否有重要发现。
（4）尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。
（5）仔细考虑题意是否有其他不同理解。
题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条件？（6）认真研究题目提出的目标。
通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系。
（7）如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元素，以利于解题思路的展开。
以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。
在制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：（1）设法将题目与你会解的某一类题联系起来。
或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法。
（2）记住：题的目标是寻求解答的主要方向。
在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题。
（3）解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。
用这种办法检查解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整。
（4）尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类题）再求其解。
再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代。
（5）分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。
（6）尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。
（7）研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。
（8）改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望”。
（9）万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示。
************************************************************* 附录：波利亚给出了详细的“怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句与建议，来表示思维过程的正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把数学解题看成为问题化归的过程，即最终归结为熟悉的基本问题加以解决。
怎样解题G . 波利亚第一：你必须弄清问题弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把条件的各部分分开。