江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末数学试卷(有解析)
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_18
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.。
【数学】江西省南昌市2019-2020学年高一上学期期末考试试题(解析版)
高一上学期期末考试试题
一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分）
1.若 是第二象限角，则点 P sin, cos 在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为 是第二象限角，所以 sin 0, cos 0 ，
5
A. 5 B. 5
25
2 5
C. 5 D. 5
【答案】A
【解析】
sin
4 3
sin
3
sin
3
5 5,
所以
sin
3
5 5
,故
cos
6
cos
2
3
sin
3
5 5.
故选：A.
8.已知 a sin 29,b cos 52, c tan 50 ，则（ ）
A. a b c B. c a b C. b c a D. c b a
tan
x
1，所以
4
k
x
2
k
，k
Z
．
即函数的定义域为
4
k
, 2
k
k
Z
．
故答案为：
4
k , 2
k
k
Z
．
sin2 cos2
14. 8
8 _____________.
2 【答案】 2
sin2 cos2
【解析】 8
8
cos2
8
sin2
8
cos 4
2 2．
2 故答案为： 2 ．
则
f
12
的值是（
江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)
江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题（5*12=60） 1．下面与角233π终边相同的角是 A ．43π B ．3π C ．53π D ．23π 2．计算sin (－1380°)的值为 A ．1-2B ．12C ．3-D ．3 3．已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．已知cos sin()0απα⋅+<,那么角α是A.第一或第二象限角B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角 5．使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是 A ．3|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．7|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．57|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭6．函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象如图所示，则 A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 7．已知()()()235121(11)521x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，若()2f x =，则x 的值是A ．1-B ．1-或45C ．22±D ． 1-或 22±8．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为A ．10-B ．10C ．10D ．10-9．已知奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，当()0,1x ∈时，函数()2xf x =，则12log 23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=A ．1623-B ．1623C ．2316-D ．231610．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是 A ．其图象关于直线4πx =-对称 B ．其图象关于点14π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 C ．其值域是[]1,3- D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到 11．先把函数()sin()6f x x π=-的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()y g x =的图象，当3(,)44x ππ∈时，函数()g x 的值域为A ．(B ．1(,1]2- C ．( D ．[1,0)- 12．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是 A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)22二、填空题（5*4=20）13．已知tan =2α，则3sin(2)cos()2cos 2ππααα-⋅+= _________．14．函数()2sin(2),0,32f x x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的单调减区间___________ 15．已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____16．对于函数，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值是-1；③该函数的图象关于直线对称；④当且仅时，.其中正确命题的序号是_____(请将所有正确命题的序号都填上)三、解答题17．（本小题满分10分）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度. （1）求这个圆心角所对的弧长； （2）求这个扇形的面积.18．（本小题满分12分）已知函数f （x ）的定义域为A ，函数g （x ）（﹣1≤x ≤0）的值域为B ．（1）求A ∩B ；（2）若C ＝{x |a ≤x ≤2a ﹣1}且C ⊆B ，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）若函数2()3sin 22cos 3.f x x x =++ （I ）求()y f x =的最小正周期；（II ）求()y f x =在x ∈R 时的最小值，并求相应的x 取值集合.20．（本小题满分12分）已知43cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()sin4απ+的值； （2）若()11cos 14αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值.21．（本小题满分12分）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在它的某一个周期内的单调减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．（本小题满分12分）已知定义在上的函数是奇函数．（1）求的值，并判断函数在定义域中的单调性（不用证明）；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案一．选择题二．填空题 13．43 14．5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．2 16．③④ 三．解答题17.∵扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角α=2弧度，∴扇形半径为1sin1r =． （1）这个圆心角所对的弧长为122sin1sin1l r α==⨯=． （2）扇形面积为21121122sin1sin1sin 1S lr ==⨯⨯=．19.（I ）()cos2132sin 246f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,T π∴=.（II ）()()min 2sin 24,2,6f x x f x π⎛⎫=++∴= ⎪⎝⎭()ππ,2x 2k πk Z 62+=-+∈此时 , ()ππx k πk Z ,x {x |x k π,k Z}.33∴=-+∈=-+∈即的取值集合为20.解：（1）由cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得17sin α===，所以sin cos cos sin 444sin πππααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭ 17==（2）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,αβπ+∈，又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+===，所以()sin sin βαβα=+- ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+11111471472=-⨯=， 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=.21.（1）由条件，115212122T πππ=-=， ∴2,ππω= ∴2ω= 又5sin 21,12πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭∴3πϕ=- ∴()f x 的解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，得2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭∴()2sin 43g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭而325,,488636x x πππππ⎡⎤∈∴-≤-≤⎢⎥⎣⎦∴函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12-。
2019学年江西省高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年江西省高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，那么下列结论正确的是（） A． B．C． D．2. （）A ．___________B ．___________C ．___________D ．3. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．4. 下列说法正确的是（）A．B．C．D ．5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（）A．B．C．D ．6. 已知是定义在上的函数，的图象如下图所示，那么不等式的解集是（）A．B．C．D ．7. 函数的最小值和最大值分别为（）A ． -3 ， 1___________B ． -2 ， 2___________C ． -3 ，_________D ． -2 ，8. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度9. 已知是方程两根，且，则为（）A ．___________B ．_________C ．或_________D ．或10. 使函数为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（）A ．_________B ．_________C ．_________D ．11. 若函数在上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．12. 函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题：①“囧函数”的值域为；②“囧函数”在上单调递增；③“囧函数”的图象关于轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点．正确命题的个数为（）A ． 1___________B ． 2______________C ． 3___________D ． 4二、填空题13. ________________________ ．14. 已知角的终边经过点，且，则______________ ．15. ________________________ ．16. 已知函数，则函数的所有零点构成的集合为______________ ．三、解答题17. 设函数的定义域为，关于的不等式的解集为．（1）当时，求；（2）当时，若，求的取值范围．18. 如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数．（1）指出这一时间段的最大用电量及最小用电量；（2）求出的值，写出这段曲线的函数解析式．19. 设为实数，且，试讨论关于的方程的实数解的个数．20. 关于的方程有两个相等的实数根．（1）求实数的取值范围；（2）若，求的值．21. 设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，，求的值．22. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
(9份试卷汇总)2019-2020学年江西省南昌市数学高一(上)期末考试模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．在三棱锥中，平面，，，点M 为内切圆的圆心，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.2．在正三棱锥P ABC -中，4,AB 3PA ==，则侧棱PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ） A ．14B ．154C ．18D ．6383．已知函数()()cos 4f x g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 是周期为π的偶函数，则()g x 可以是（ ） A ．cos xB ．sin xC ．cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭4．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的正弦值为（ ） A ．23B ．33C ．63D ．25．设角的终边经过点，那么（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH:HB=1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为4π，则球O 的表面积为 （ ）A ．92π B ．94π C ．9π D ．18π7．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上，且满足AP ＝2PM ，则()PA PB PC +u u u v u u u v n u u u v等于( ) A ．－43B ．－49C ．4 3D ．4 98．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b 等于 ( ) A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．(－1，－2)D ．(1,2)9．在四棱锥P ABCD -中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点，且90BED ∠=︒，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．163πB ．169π C ．43π D ．π10．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知函数（为自然对数的底数），若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r=( )A ．0B ．BE u u u rC ．AD u u u rD ．CF uuu r二、填空题13．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为__ .14．已知()x 2,1f x 1 1.1xx x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ==，则()a b f c ++的取值范围是_____．15．已知函数()()f x x R ∈，若函数(+2)f x 过点12-（，），那么函数|()|y f x =一定经过点____________ 16．在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为__________．三、解答题17．在ABC V 中，已知4cos 5A =，()310cos A B -=，且A B >． ()1求tan A 的值；()2求证：2A B =．18．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的解析式； （2）当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域. （3）将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，且()g x 为偶函数，求ϕ的值. 19．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．20．设函数()sin(2)()3f x A x x R π=+∈的图像过点7(,2)12P π-. （1）求()f x 的解析式；（2）已知10()21213f απ+=，02πα-<<，求1cos()sin()2sin cos 221sin cos ππαααααα-++-+++的值； （3）若函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称，求函数()y g x =的单调区间.21．已知圆心在x 轴的正半轴上，且半径为2的圆C 被直线3y x =截得的弦长为13. （1）求圆C 的方程； （2）设动直线与圆C 交于,A B 两点，则在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得直线AN与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 22．设圆C 的圆心在x 轴上，并且过()()1,1,1,3A B -两点. (1)求圆C 的方程；(2)设直线y x m =-+与圆C 交于,M N 两点，那么以MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN 的方程；若不能，请说明理由. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D C D D B A A A CD二、填空题 13．6π 14．()1,2 15．()3,2 16．三、解答题 17．（1）34；（2）详略. 18．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[]1,2（3）3πϕ=19．（1）（2）20．（1）()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）713-；（3）单减区间为15(,)()1212k k k z ππππ-+∈， 单增区间为511(,)()1212k k k z ππππ++∈. 21．（1）22(1)4x y -+=（2）当点N 为时，直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，详见解析22．(1) ()22210x y -+= (2) 17y x =-++17y x =-+-2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知圆22:680C x y x +-+=，由直线1y x =-上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.2C.2D.32．若函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()2,3C.()1,3D.9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则hR=( ) A ．32B ．43C ．54D ．24．10名小学生的身高（单位：cm ）分成了甲、乙两组数据，甲组：115，122，105， 111，109；乙组：125，132，115， 121，119.两组数据中相等的数字特征是( ) A.中位数、极差 B.平均数、方差 C.方差、极差D.极差、平均数5．设13cos 6sin 6,22a =+o o22tan171cos70,1tan 172b c -==+o o o，则有( ) A.b c a <<B.c b a <<C.c a b <<D.a c b <<6．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．12-C 3D ．327．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=( ) A.3 B.33±C.32-D.32±8．已知向量(2,3),(,4)a b x ==r r ，若()a a b ⊥-rr r ，则x =（ ）A ．1B ．12C ．2D ．39．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）A.1233π+ B.1233π+C.1236π+D.216π+10．由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）A.42B.31C.33D.421-11．直线与圆相交于M ，N 两点，若，则k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于A ．RB ．{}|,0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅二、填空题13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S 的值是__________. 14．设17sin4a π=，cos 5b π=，7tan 6c π=，用“<”把,,a b c 排序_______. 15．如下图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=22x 与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S ：①先产生两组0～1的均匀随机数，a=RAND （ ），b=RAND （ ）；②做变换，令x=2a ，y=2b ；③产生N 个点（x ，y ），并统计落在阴影内的点（x ，y ）的个数1N ，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1 000时，1N =332，则据此可估计S 的值为____．16．如图所示，已知点()1,1A ，单位圆上半部分上的点B 满足·0OAOB =u u u r u u u r ，则向量OB uuu r的坐标为________．三、解答题17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和02πββαπ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点P 、Q 两点，点P 的纵坐标为55.（Ⅰ)求2sin 2sin cos 21ααα++的值； （Ⅱ)若23OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，求cos β的值.18．设函数()x 22a,x 0f x 1,x 0(x 1)-⎧+≤⎪=⎨>⎪-⎩．()1当x R ∈时，求函数()f x 的零点0x ；()2若a 1=-，当()f x 1>时，求x 的取值范围．19．如图，在ABC ∆中，2AB =，5AC =，3cos 5CAB ∠=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =u u u r u u u r ．（1）设AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，求实数x ，y 的值；（2）若点P 满足 BP u u u r 与 AD u u u r共线， PA PC ⊥u u u v u u u v ，求BP ADu u u v u u u v 的值． 20．集合3{|1,}2A x x R x =<∈+，{|||2,}B x x a x R =-<∈. （1）若2a =，求A B U ；（2）若R B C A =∅I ，求a 的取值范围.21．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cosβ的值． 22．对于任意n ∈*N ，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列：1，q ，2q 是“K 数列”，求实数q 的取值范围；（2）已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项和为n S ，数列{}n S 是“K 数列”，求首项1a 的取值范围；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11232n n S S a +-=，n ∈*N . 设1(1)nn n n c a a λ+=+-，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”. 若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 【参考答案】*** 一、选择题13．10 14．c a b << 15．32816．22⎛- ⎝⎭三、解答题17．（Ⅰ)49-；（Ⅱ)515- 18．（1）()02log x a =--；（2）()()(),10,11,2-∞-⋃⋃.19．（1）12,33x y ==；（2）34或316. 20．（1）{|2x x <-或0}x >；（2）4a ≤-或3a ≥.21．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 22．（1）2q >；（2）11a >-；（3）536λ>.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A.3B.13+C.12+D.42．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.16B.20C.24D.283．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则hR=( ) A ．32B ．43C ．54D ．24．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)(3)f x f x +=-，当(2,0)x ∈-时，()2xf x =-，则(1)(4)f f +等于( )A ．-1B ．12-C ．12D ．15．设函数()f x 满足()()f x f x -=，当0x …时，1()()4x f x =，若函数1()sin 2g x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在1[2-，5]2上的零点个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．36．设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．a b ∥，b α⊂，则a P αB ．a α⊂，b β⊂，αβ∥，则a b ∥C ．a α⊂，b α⊂，a β∥，b β∥，则αβ∥D ．αβ∥，a α⊂，则a β∥7．已知α是第二象限角，(5)P x 为其终边上一点，且2cos x α=，则sin α=（ ） A.24B.54C.74 D.1048．某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（ ）A ．第一季度B ．第二季度C ．第三季度D ．第四季度9．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角()0ααπ≤≤的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A ，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为Q ．记线段BQ 的长为y ，则函数()y f α=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．已知2()sin ()4f x x π=+，若1(lg5),(lg )5a f b f ==，则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=12．在等差数列{}n a 中，()()35710133248a a a a a ++++=，则等差数列{}n a 的前13项的和为（ ） A ．24 B ．39C ．52D ．104二、填空题13．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC AB AA ===，E 为BC的中点，2BC AE =，则异面直线AE 与1A C 所成的角是_______。
2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高一上学期期末数学（理）试题一、单选题1．下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A ．150︒- B ．680°C ．220°D ．320°【答案】C【解析】将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果 【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C 【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题2．下列各组向量中,可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==u r u rB ．12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC ．12(3,5),(6,10)e e ==u r u rD ．12(2,3),(6,9)e e =-=-u r u r【答案】B【解析】若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可 【详解】由题,作为基底的向量不共线,当()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,若//a b r r ,则12120y x x y -=,对于选项A,10e =u r r ,0r与任意向量共线,故A 错误；对于选项B,()2517170⨯--⨯=≠,故1e u r 与2e u u r不共线,故B 正确； 对于选项C,563100⨯-⨯=,故12//e e u r u u r,故C 错误； 对于选项D,()36290-⨯--⨯=,故12//e e u r u u r,故D 错误,故选:B 【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示 3．计算2sin 2105°-1的结果等于（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】D【解析】22sin 1051cos 210cos30-=-==o o o D ． 4．在四边形ABCD 中，若AB DC =u u u r u u u r ，且0AB AD ⋅=uu u r uuu r，则四边形ABCD 是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形【答案】A【解析】根据向量相等可知四边形ABCD 为平行四边形；由数量积为零可知AB AD ⊥，从而得到四边形为矩形. 【详解】AB DC =uu u r uuu rQ ，可知//AB CD 且AB CD = ∴四边形ABCD 为平行四边形 由0AB AD ⋅=uu u r uuu r可知：AB AD ⊥ ∴四边形ABCD 为矩形本题正确选项：A 【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题. 5．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】B【解析】试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--. 【考点】三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．6．已知向量(1,3)a m =--r ,(,2)b m =r ,若a b ⊥r r,则实数m =( )A ．2-B ．3C ．3-或2D ．2-或3【答案】D【解析】若a b ⊥r r ,则0a b ⋅=rr ,求解即可【详解】若a b ⊥r r ,则()()1320a b m m ⋅=-+-⨯=rr ,解得3m =或2m =-, 故选:D 【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示 7．若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】B【解析】根据奇偶性和周期性可得()f x x =,先求得()f x 的单调区间,进而判断选项即可 【详解】由题,()4f x x πωθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,又()f x 是偶函数,所以()42k k Z ππθπ+=+∈,即()4k k Z πθπ=+∈,因为2πθ<,所以当0k =时,4πθ=,所以()f x x =,则令222,πππ-+≤≤∈k x k k Z ,所以,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈,所以,2πππ≤≤+∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减；当0k =时,()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故选:B 【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,考查余弦函数的单调区间8．已知a r ，b r为单位向量，且a b b +=-r r r r ，则a r 在a b +rr 上的投影为（ ）A ．13BC． D【答案】B【解析】a r 由，b r为单位向量，又a b b +=-r r r r ，则22|2|a b a b +=-r r r r ，可得13a b ⋅=r r ，则a b +=r r 1cos ,3a b 〈〉=r r ．又()cos ,3a a b a a b a a b ⋅+〈+〉==+r r r r r r r r r ．则a r 在a b+r r上的投影为cos ,a a a b 〈+〉=r rr r B ．9．若sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．59 B ．59-C ．79D ．79-【答案】A 【解析】由题,22662πππαα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】 由题,225sin 2sin 2cos 212sin 126626639πππππαααα⎛⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭, 故选:A 【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值10．如图，在ABC ∆中，23AD AC =u u u r u u u r ，13BP BD =u u u r u u u r ，若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-【答案】B【解析】∵21,33AD AC BP BD =∴=u u u v u u u v u u u v u u u v 121()393AD AB AC AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v∴2239AP AB BP AB AC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，∴22,,339λλμμ=== 故选B.11．已知1tan161tan16a ︒︒+=-,cos330b ︒=,1cos582c ︒+=则,,a b c 的大小关系为( ) A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】C【解析】化简,,a b c 可得tan61a =︒,cos30b =︒,cos29c =︒,进而比较大小即可 【详解】由题,因为tan 451︒=,所以1tan16tan 45tan16tan 61tan 4511tan161tan 45tan16a +︒︒+︒===︒>︒=-︒-︒︒；()cos330cos 30360cos30b =︒=-︒+︒=︒；221cos5812cos 2912cos 29cos 29222c +︒+︒-︒====︒；由cos y x =的单调性可知1cos29cos30>︒>︒,所以tan 45cos29cos30︒>︒>︒, 即a c b >>, 故选:C 【点睛】本题考查正切的和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查诱导公式的应用,考查三角函数值的比较大小问题12．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.【详解】对于函数，当时，，由，可得，当时，，由，可得，对任意，，对于函数，，，，对于，使得，对任意，总存在，使得成立，，解得，实数的取值范围为，故选B．【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），，.二、填空题13．计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________. 【答案】12【解析】利用诱导公式()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,进而利用和角公式求解即可 【详解】由题,因为()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,所以,原式()1sin17sin 43cos17cos 43cos 4317cos602=-︒︒+︒︒=︒+︒=︒=, 故答案为:12【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用14．若ABCD Y 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________. 【答案】()4,1--【解析】由ABCD Y 可得AB DC =u u u r u u u r,进而求解即可【详解】由题,因为ABCD Y ,所以AB DC =u u u r u u u r,设(),D x y ,所以()4,3AB =uu u r,(),2DC x y =--u u u r , 所以423x y -=⎧⎨-=⎩,即41x y =-⎧⎨=-⎩, 故答案为:()4,1-- 【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示15．若函数()cos ,[0,2]f x x x π=∈与()tan g x x =的图象交于,M N 两点,则||OM ON +=u u u u r u u u r_______.【答案】π【解析】画出()cos f x x =与()tan g x x =图像,可得M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,进而求解即可 【详解】由题,画出()cos f x x =与()tan g x x =的图像,如图所示,则M 与N 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 所以(),0OM ON π+=u u u u r u u u r,所以||OM ON π+=u u u u r u u u r,故答案为:π 【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想16．设A 是平面向量的集合,a r是定向量,对x A ∈r ，定义()()2f x x a x a =-⋅⋅r r r r r ，现给出如下四个向量：()222213002a a a a ⎛====- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r ①，；②，；③，；④，，那么对于任意x y A ∈r u r ，，使()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r 恒成立的向量a r的序号是________(写出满足条件的所有向量a r的序号). 【答案】①③④【解析】根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得. 【详解】对于①，当()00a =r，时，()f x x =r r 满足()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r ；当0a ≠r r，因为()()2f x x a x a =-⋅⋅r r r r r ，()()2f y y a y a =-⋅⋅u r u r r u r r ， 所以()()24()()4()()f x f y x y a y a x a x a y a ⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅r u r r u r r u r r r r r r u r r若使得()()f x f y x y ⋅=⋅r u r r u r 恒成立，则只需21a=r，结合所给向量可知③④符合条件；综上可得答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，建立()()f x f y ⋅r u r的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题17．已知向量(4,3)a =r，(1,2)b =r， （1）设a r 与b r的夹角为θ，求cos θ的值；（2）若a b λ-r r 与2a b +r r平行，求实数λ的值.【答案】; (2) 12λ=- 【解析】(1)根据向量的夹角公式求解即可. (2)根据平行向量的坐标公式求解即可. 【详解】(1) cos 5a b a b θ⋅====⋅r r r r . (2)因为()()()4,31,24,32a b λλλλ-=-=--r r ,()()()4,312,82,29a b ++==r r.又a b λ-r r 与2a b +r r平行即()()4,32//9,8λλ--,所以()()84932032827180λλλλ---=⇒--+= ,解得12λ=-.【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型. 18．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．（1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．【答案】(1) 9-.(2)415+. 【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可. 详解：（Ⅰ）Q 2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos α∴=-------2分于是 sin22sin cos ααα== （Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭Q ,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-， 于是()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦3414535315⎛⎫+⎛⎫=-⋅---⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题. 19．已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+. (1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值; (2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.【答案】（1）当8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 1f x =（2）30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）化简()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令2242x k πππ-=-+,k Z ∈,进而求解即可； （2）令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,结果与[0,]π求交集即可【详解】（1）由题,()22sin 2sin cos 1cos 2sin 22sin 214f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭, 所以当2242x k πππ-=-+,k Z ∈,即8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 12f x =-（2）由（1）,令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,则388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,即()f x 在()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增, 当0k =时,单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当1k =时,单调增区间为711,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 所以在[0,]π中()f x 的单调增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间20．如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ,求λμ+的值(2)若3,2AB BC ==,当1AE BF ⋅=u u u r u u u r 时,求DF 的长【答案】(1)16;(2) 23【解析】【详解】 （1）EF EC CF =+u u u ru u u r u u u r ,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =+u u u r u u u r u u u r ，又∵BC AD =u u u r u u u r ,CD AB =-u u u r u u u r ,∴1132EF AB AD =-+u u u r u u u r u u u r ，111326λμ+=-+=；（2）设(0)DF mDC m =>u u u r u u u r ，则()1CF m DC =-u u u r u u u r ，以AB u u u r ，AD u u u r 为基底，1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又0AB AD ⋅=u u u u r u u u r， ∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得23m =,故DF． 21．已知(sin )a x x =r ,(cos ,cos )b x x =-r ,函数()f x a b =⋅+r r . (1)求函数()f x 图象的对称轴方程;(2)若方程1()3f x =在(0,)π上的解为12,x x ,求()12cos x x -的值. 【答案】（1）5122k x ππ=+,k Z ∈；（2）13 【解析】（1）化简()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令232x k πππ-=+,k Z ∈,进而求解即可； （2）设12x x <,由2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得12526123x x πππ<<<<,且1256x x π+=,则()1211155cos cos cos 266x x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,进而求解即可 【详解】（1）由题,())211sin cos sin 21cos 2sin 2222f x x x x x x x x =-=-+=- sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令232x k πππ-=+,k Z ∈,则对称轴为:5122k x ππ=+,k Z ∈ （2）由题,121sin 2sin 20333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设12x x <,因为2063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12526123x x πππ<<<<, 易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于512x π=对称, 所以1256x x π+=, 所以 ()1211111551cos cos cos 2cos 2sin 2663233x x x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】 本题考查平面向量的数量积,考查正弦型函数的对称性的应用,考查诱导公式的应用 22．已知函数()f x ,若存在实数,(0)m k k ≠,使得等式()()()mf x f x k f x k =++-对于定义域内的任意实数x 均成立,则称函数()f x 为“可平衡”函数,有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.(1)若m =,判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数,并说明理由;(2)若12,m m R ∈且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为2()sin f x x =的“可平衡”数对,当03x π<<时,方程12m m a +=有两个不相等的实根,求实数a 的取值范围.【答案】（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,理由见解析；（2）∅【解析】（1）由“可平衡”()()sin sin x x k x k =++-,整理可得2sin cos x x k =,即可求解；（2）分别将“可平衡”数对代入可得2122cos sin x m x=,221sin m x =,则122cos 241cos 2x m m a x ++==-,则可转化为4cos 22a x a -=+有两个解,进而求解即可 【详解】（1）假设()sin f x x =是“可平衡”函数,则由题意应有:()()sin sinx x k x k=++-,sin cos cos sin sin cos cos sinx x k x k x k x k=++-,2sin cosx x k=,则cos k=,所以2,6k n n Zππ=±∈,所以存在,(0)m k k≠,使得等式()()()mf x f x k f x k=++-对于定义域内的任意实数x均成立,所以()sinf x x=是“可平衡”函数（2）由题,22221sin sin sin2cos22m x x x xππ⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2122cossinxmx=；又222222sin sin sin sin cos14444m x x x x xππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以221sinmx=,所以()22122222cos12cos1cos222cos241sin sin sin1cos21cos22x x x x m m ax x x xx+++ +=+====--, 所以4cos22axa-=+有两个解,因为03xπ<<,cos2y x=单调递减,故4cos22axa-=+不存在两个解,故a的解集为∅【点睛】本题考查和角公式的应用,考查倍角公式的应用,考查新定义的理解,考查运算能力。
江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一第一学期期末考试试题文数学【含解析】
江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一第一学期期末考试试题文数学【含解析】一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分） 1.下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A. 150︒- B. 680°C. 220°D. 320°【答案】C 【解析】 【分析】将2020︒写为360k α+⋅︒()k Z ∈的形式,即可得到结果 【详解】由题,20202205360︒=︒+⨯︒, 故选:C【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题 2.下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A. 12(0,0),(1,2)e e == B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 12(2,3),(6,9)e e =-=-【答案】B 【解析】 【分析】若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可【详解】由题,作为基底的向量不共线,当()11,a x y =,()22,b x y =,若//a b ,则12120y x x y -=, 对于选项A,10e =,0与任意向量共线,故A 错误；对于选项B,()2517170⨯--⨯=≠,故1e 与2e 不共线,故B 正确； 对于选项C,563100⨯-⨯=,故12//e e ,故C 错误； 对于选项D,()36290-⨯--⨯=,故12//e e ,故D 错误, 故选:B【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示 3.计算2sin 2105°-1的结果等于（ ） A. 3-B. 12-C.123【答案】D 【解析】232sin 1051cos 210cos30-=-==．选D ． 4.已知平面四边形ABCD 满足,0AB DC AC BD =⋅=，则四边形ABCD 为（ ） A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的性质得出四边形边的关系再分析即可.【详解】因为AB DC =,故四边形ABCD 的对边,AB DC 平行且相等.故四边形ABCD 为平行四边形.又0AC BD ⋅=故对角线互相垂直.故四边形ABCD 为菱形.故选：C【点睛】本题考查了向量的性质与菱形的判定,属于基础题型. 5.若sin cos 2sin cos αααα+=-，则tan2α=（ ）A. 34-B.34C. 43-D.43【答案】A 【解析】 【分析】分式上下同除以cos α可得tan α,再利用二倍角公式求解tan2α即可. 【详解】由sin cos 2sin cos αααα+=-有tan 12tan 3tan 1ααα+=⇒=-.故22tan 63tan 21tan 194ααα===---. 故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数的方法以及二倍角的正切公式,属于基础题型.6.已知向量(1,3)a m =--,(,2)b m =,若a b ⊥,则实数m =( ) A. 2- B. 3C. 3-或2D. 2-或3【答案】D 【解析】 【分析】若a b ⊥,则0a b ⋅=,求解即可【详解】若a b ⊥,则()()1320a b m m ⋅=-+-⨯=, 解得3m =或2m =-, 故选:D【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示 7.若偶函数()sin()cos()0,||2f x x x πωθωθωθ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π,则( ) A. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性和周期性可得()2f x x =,先求得()f x 的单调区间,进而判断选项即可【详解】由题,()24f x x πωθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为最小正周期为π,所以22πωπ==,又()f x 偶函数,所以()42k k Z ππθπ+=+∈,即()4k k Z πθπ=+∈,因为2πθ<,所以当0k =时,4πθ=,所以()2f x x =,则令222,πππ-+≤≤∈k x k k Z ,所以,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈,所以,2πππ≤≤+∈k x k k Z ,即()f x 在,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减； 当0k =时,()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 故选:B【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,考查余弦函数的单调区间 8.已知||2a =，(2)a b a -⊥，则b 在a 方向上的投影为（ ） A. -4 B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】【详解】分析：首先根据向量垂直，得到其数量积等于零，即(2)0a b a -⋅=，从而求得8a b ⋅=，之后应用向量的投影的定义求得结果.详解：由(2)a b a -⊥，则(2)0a b a -⋅=， 即220a a b -⋅=，又2a =，所以8a b ⋅=， 所以b 在a 方向上的投影为842a b a ⋅==，故选D. 点睛：该题考查的是向量在另一向量方向上的投影问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件是向量的数量积等于零，再者就是向量在另一向量方向上的投影的公式要正确使用. 9.若2sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭值为( )A.59 B. 59-C.79D. 79-【答案】A 【解析】 【分析】由题,22662πππαα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭,进而求解即可 【详解】由题,2225sin 2sin 2cos 212sin 126626639πππππαααα⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭, 故选:A【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值10.如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A. 3-B. 3C. 2D. 2-【答案】B 【解析】∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=- ∴2239AP AB BP AB AC =+=+又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B. 11.已知,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根，则αβ+=（ ）A. 3π-或23πB. 3π-C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理可得tan ,tan αβ的和与积关系, 再根据,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭判断,αβ的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断αβ+的大小即可.【详解】因为tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根可得tan tan 3,αβ+=tan tan 5αβ⋅=.所以tan ,tan αβ均为正数,又,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()tan tan 43tan 31tan tan 15αβαβαβ++===--⋅-又()0,αβπ+∈.故23παβ+=.故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型.12.若不等式24sin 43cos 5x x x m ++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的最小值为（ ） A. 11 B. 5C. 5-D. 11-【答案】B 【解析】 【分析】利用降幂公式化简24sin 3cos 5y x x x =++,再根据其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的范围,利用能成立的性质求解实数m 的最小值即可.【详解】设()24sin 43cos 521cos 223254sin(2)76y x x x x x x π=++=-++=-+.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以[]4sin(2)75,116y x π=-+∈. 又y m ≤有解,故实数m 的最小值为5. 故选：B【点睛】本题主要考查了降幂公式与根据定义域求正弦函数的值域问题,同时也考查了能成立问题求最值的做法.属于中等题型.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.计算:sin17sin223cos17cos43︒︒︒︒+=_________. 【答案】12【解析】 【分析】利用诱导公式()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,进而利用和角公式求解即可【详解】由题,因为()sin 223sin 180sin 43︒=43︒+︒=-︒,所以,原式()1sin17sin 43cos17cos 43cos 4317cos602=-︒︒+︒︒=︒+︒=︒=, 故答案:12【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用14.若ABCD 的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)A B C --,则顶点D 的坐标为________. 【答案】()4,1-- 【解析】 【分析】由ABCD 可得AB DC =,进而求解即可 【详解】由题,因为ABCD ,所以AB DC =, 设(),D x y ,所以()4,3AB =,(),2DC x y =--,所以423x y -=⎧⎨-=⎩,即41x y =-⎧⎨=-⎩,故答案为:()4,1--【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示 15.点M 是ABC ∆所在平面内一点，若3144AM AB AC =+，则:ABM ABC S S ∆∆=_______. 【答案】1:4 【解析】 【分析】画出三角形,根据3144AM AB AC =+可知M 在BC 上且3CM BM =再判断即可. 【详解】如图所示,∵点M 是ABC ∆所在平面内一点,且满足3144AM AB AC =+, ∴点M 在边BC 上且3CM BM =. ∴::1:4ABM ABC S S BM BC ∆∆==. 故答案为：1:4【点睛】本题主要考查了平面向量的共线定理应用,属于基础题型.16.设(sin ,sin )a x x =-，(sin ,1)b x m =+，若函数()f x a b m =⋅+在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个零点，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意有0a b m ⋅+=在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个根.故求得y a b m =⋅+再数形结合,分情况讨论分析即可.【详解】由题0y a b m =⋅+=在区间5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有三个根, 又()2sin 1sin y a b m x m x m =⋅+=-++()()sin 1sin x x m =--,解得sin 1x =或sin x m =.当sin 1x =时,2x π=,只有一个解.故当sin x m =时,有两个解,因为5,66x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故此时112m <<,故m 的范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了正弦型二次复合函数的值域问题,需要根据题意分情况讨论正弦值再根据图像分析正弦函数的取值范围.属于中等题型.三、解答题（本大题共6小题，满分10+12+12+12+12+12=70分） 17.已知向量(4,3)a =，(1,2)b =，（1）设a 与b 的夹角为θ，求cos θ的值； （2）若a b λ-与2a b +平行，求实数λ的值. 【答案】(1)25; (2) 12λ=- 【解析】 【分析】(1)根据向量的夹角公式求解即可. (2)根据平行向量的坐标公式求解即可. 【详解】(1) 22225cos 5554312a b a bθ⋅====⋅+⋅+.(2)因为()()()4,31,24,32a b λλλλ-=-=--,()()()4,312,82,29a b ++==. 又a b λ-与2a b +平行即()()4,32//9,8λλ--,所以()()84932032827180λλλλ---=⇒--+= ,解得12λ=-.【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型. 18.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 3α=．（1）求sin 2α的值；（2）若()3sin 5αβ+=-，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值． 【答案】(1) 429-. (2)4215+. 【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可. 详解： （Ⅰ）2（，）παπ∈，且1sin 3α=，2cos 3α∴=-，-------2分于是 42sin22sin cos 9ααα==-； （Ⅱ）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5αβ+=-，于是()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦ 32241462553⎛+⎛⎫=-⋅--⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+. (1)求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值; (2)求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.【答案】（1）当8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 12f x =（2）30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 （1）化简()2214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令2242x k πππ-=-+,k Z ∈,进而求解即可；（2）令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,结果与[0,]π求交集即可【详解】（1）由题,()22sin 2sin cos 1cos 2sin 22214f x x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭,所以当2242x k πππ-=-+,k Z ∈,即8x k ππ=-+,k Z ∈时,()min 12f x =（2）由（1）,令222242k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,则388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈,即()f x 在()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增, 当0k =时,单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当1k =时,单调增区间为711,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 所以在[0,]π中()f x 的单调增区间为30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间20.如图,在矩形ABCD 中,点E 是BC 边上的中点,点F 在边CD 上(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点,设EF AB AD λμ=+,求λμ+的值(2)若3,2AB BC ==,当1AE BF ⋅=时,求DF 的长 【答案】(1)1623【解析】【详解】（1）EF EC CF =+ ,∵E 是BC 边的中点,点F 是CD 上靠近C 的三等分点,∴1123EF BC CD =+，又∵BC AD =,CD AB =-,∴1132EF AB AD =-+， 111326λμ+=-+=； （2）设(0)DF mDC m =>，则()1CF m DC =-，以AB ，AD 为基底，1122AE AB BC AB AD =+=+ ，()()11BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+ ， 又0AB AD ⋅=，∴()()()221111312122AE BF AB AD m AB AD m AB AD m ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭，解得23m =,故DF 23 21.在ABC ∆中，设BC CA CA AB ⋅=⋅，（1）求证：AB BC =； （2）若2BA BC +=，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BA BC ⋅的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)根据BC CA CA AB ⋅=⋅,利用向量,AB BC 去表达,化简求解即可.(2)由(1)||||AB BC =,再将||2BA BC +=两边平方,再将BA BC ⋅化简成关于cos B 的函数再分析取值范围即可.【详解】(1)因为BC CA CA AB ⋅=⋅,故()()()00BC AB CA BC AB BA BC -⋅=⇔-⋅-= 即()()0BC AB BC AB -⋅+=即22BC AB =.故||||AB BC =.(2)由(1)设||||AB BC a ==,因为||2BA BC +=,故22222+242cos 4BA BC BA BC a a a B +⋅=⇒++=.化简得221cos a B =+. 又22cos 2cos cos 21cos 1cos B BA BC BA BC B a B B B ⋅=⋅⋅===-++. 因为2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故11cos 22B -≤≤.所以131cos 22B ≤+≤,42431cos B ≤≤+. 故 2222,1cos 3B ⎡⎤-∈-⎢⎥+⎣⎦. 即BA BC ⋅22,3⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算,同时也考查了根据角度范围求三角函数范围的问题,属于中等题型.22.已知函数()sin()(,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+><<，最小正周期为π，且点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个最高点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()2(sin 2)f x k x =+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根，求实数k 的取值范围. 【答案】(1) ()2sin(2)3f x x π=+;(2) {}3112k ⎛⎤∈-⋃ ⎥ ⎝⎦ 【解析】【分析】(1)先根据最高点求A ,再根据最小正周期求ω,再代入最高点求ϕ即可.(2)由题意2sin(2)2(sin 2)3k x x π+=+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根.化简得cos 26x k π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再数形结合分析即可.【详解】(1)因为点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭是该函数图像上的一个最高点,故2A =. 又最小正周期为π故22ππωω=⇒=.故()2sin(2)f x x ϕ=+.代入最高点,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭可得sin(2)112πϕ⨯+=,故22623k k πππϕπϕπ+=+⇒=+,因为0ϕπ<<故3πϕ=. 故()2sin(2)3f x x π=+(2)由题2sin(2)2(sin 2)3k x x π+=+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根, 312sin 2c 2os 26x k x x k π⎛⎫⇒+ ⎝==⎪⎭-在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根. 又72,636t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦,且cos y t =在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,在76ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增, 且173cos ,cos 3262ππ==-.又cos 26x k π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有唯一实根 故1k =-或312k ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦.即{}3112k ⎛⎤∈-⋃ ⎥ ⎝⎦.【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数解析式的方法,同时也考查了根据三角函数图像求解零点个数的问题,属于中等题型.。
江西省南昌二中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
江西省南昌二中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,1，2，3，4，5}，B ={x|x 2−x −2≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}2. 下列说法正确的是( )A. 第二象限角比第一象限角大B. 60°角与600°角是终边相同角C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为π33. 已知向量a⃗ ，则a ⃗ +2a ⃗ =( ) A. 4a ⃗ B. 3a⃗ C. 2a⃗ D. a⃗ 4. 若函数f(x)={f(x +2)(x <2)2−x(x ≥2)，则f(−3)的值为( )A. 2B. 8C. 18D. 125. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为两个单位向量，则下列四个命题中正确的是( )A. a ⃗ 与b ⃗ 相等B. 如果a ⃗ 与b ⃗ 平行，则a ⃗ 与b ⃗ 相等C. a ⃗ 与b ⃗ 共线D. .如果a ⃗ 与b ⃗ 平行，那么a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 6. cos32°sin62°−sin32°sin28°=( )A. √32B. −12C. 12D. −√327. 已知减函数y =f(x −1)是定义在R 上的奇函数，则不等式f(1−x)>0的解集为( )A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)8. 已知D 点是△ABC 边BC 的中点，CE ⃗⃗⃗⃗ =2EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的式子表示为( ) A. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 9. 已知cos(α−π4)=−13，则sin(−3π+2α)= ( )A. 79B. −79C. 35D. −3510.函数y=x⋅sinx+cosx的部分图像大致为()A. B.C. D.11.为了求函数f(x)=2x+3x−7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示：x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5f(x)−0.6734−0.28740.12310.5599 1.0246则方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1)可取为A. 1.32B. 1.39C. 1.4D. 1.312.已知函数f(x)=asin x−btan x+4cosπ，且f(−1)=1，则f(1)等于()3A. 3B. −3C. 0D. 4√3−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是______．14.函数y=√x2+x−6的单调减区间为__________．15.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0)的图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(100)=______ ．16.关于函数f(x)=|sinx|+|cosx|，给出下列四个命题：①π为f(x)的一个周期；2②f(x)是奇函数；③f(x)关于直线x=3π对称；4④当x∈[0,2π]时，f(x)∈[1,√2]；]时，f(x)单调递增．⑤当x∈[0,π2其中正确的命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=2x−ax的定义域为(0,1](a为实数)．(1)当a=1时，求函数y=f(x)的值域．(2)求函数y=f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．18.已知(1).求的值;(2).若π2<α<π，且角β终边经过点P(−3,√7)，求1sin(π−α)+1cos(π+α)+2cos(−β−2π)的值．19.已知函数f(x)=2sinx−2√3sin．Ⅰ求f(x)的最小正周期；]上的最小值．Ⅱ求f(x)在区间[0,2π3)的部分图象如20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2图所示．(1)求函数f(x)的解析式；)=1，求α．(2)若锐角αα满足：f(α)−f(α−π6cos4x+sin2x−2sin2xsin2x，x∈R．21.已知函数f(x)=12(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移π个单位长度，得到y=g(x)图象．若对任意x1,x2∈[0,t]，8当x1<x2时，都有f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)成立，求实数t的最大值．22.已知函数f(x)=4x−2x+1a，x∈[−1,2]的最小值为g(a)．(1)若方程f(x)=0有解，求实数a的取值范围；(2)求函数g(a)的解析式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|−1≤x≤2}；∴A∩B={0,1，2}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查交集的运算，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查了终边相同的角、象限角、锐角等基本概念及其意义，属于基础题．举例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角得范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确．解：对于A，120°是第二象限角，420°是第一象限角，120°<420°，故A错误；对于B，600°=360°+240°，与60°终边不同，故B错误；对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或y轴正半轴上的角，故C错误；对于D，分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨慢是逆时针旋转，钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为16×2π=π3，故D正确．故选D．3.答案：B解析：解：由向量a⃗，则a⃗+2a⃗=3a⃗．故选：B．直接由向量的加法计算即可．本题考查了向量的加法及其几何意义，是基础题．4.答案：C解析：本题考查分段函数，属于基础题．根据所给分段函数解析式，可得f(−3)=f(−1)=f(1)=f(3)，由此可解．解：∵f(x)={f(x+2)(x<2)2−x(x≥2)，∴f(−3)=f(−3+2)=f(−1)=f(1)=f(3)=2−3=18．故选C．5.答案：D解析：↵本题考查了命题的真假判断与应用，解答该题的关键是单位向量的定义及两向量相等的条件，同时考查了两向量的数量积公式．a⃗，b⃗ 为两个单位向量，它们的模是单位长度1，方向是任意的，根据两个单位向量的这两条性质，可以判断四个选项的真假．解：因为两向量相等的充要条件是模相等且方向相同，所以A不正确；如果a⃗与b⃗ 平行，则a⃗=b⃗ 或a⃗=−b⃗ ，所以B不正确，D正确；a→与b→不一定共线，所以C不正确.故选D．6.答案：C解析：解：cos32°sin62°−sin32°sin28°=cos32°cos28°−sin32°sin28°=cos(32°+28°)=cos60°=12，故选：C．由条件利用诱导公式，两角和的余弦公式，化简所给的式子，可得结果．本题主要考查诱导公式，两角和的余弦公式，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵y =f(x −1)是奇函数，∴其图象关于原点对称， 则y =f(x)的图象关于(−1,0)对称，即f(−1)=0， ∵y =f(x −1)是减函数，∴y =f(x)也是减函数， ∴f(1−x)>0，即f(1−x)>f(−1)， 由f(x)递减，得1−x <−1，解得x >2， ∴f(1−x)>0的解集为(2,+∞)， 故选B ．由y =f(x −1)的奇偶性、单调性可得f(x)的图象的对称性及单调性，由此可把不等式化为具体不等式求解．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f ”是解题的关键所在．8.答案：D解析：解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：D ．由平行四边形法则得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 从而得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查平面向量基本定理的简单应用．9.答案：A解析：本题主要考查了二倍角公式，和差公式和诱导公式，属于基础题． 将cos(α−π4)=−13展开后平方可得sin2α=−79，由诱导公式可得答案． 解：∵cos(α−π4)=−13， ∴√22cosα+√22sinα=−13，两边平方得：12(1+2sinαcosα)=19，∴sin2α=−79，又sin(−3π+2α)=−sin2α，所以sin(−3π+2α)=79，故选A．10.答案：B解析：本题主要考查函数的图象、函数的奇偶性，属于基础题．利用函数的奇偶性、单调性、函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法，借助排除法能求出结果．解：∵y=xsinx+cosx，设f(x)=xsinx+cosx，则f(−x)=(−x)sin(−x)+cos(−x)=xsinx+cosx=f(x)，∴y=xsinx+cosx是偶函数，故排除A，D，当x=0时，y=0+cos0=1，∵y′=xcosx，∴x>0开始时，函数是增函数，由此排除C．故选B．11.答案：A解析：本题考查二分法求方程的近似解，涉及精确度，属于基础题．由图表可知，函数f(x)=2x+3x−7的零点介于1.3125到1.375之间，方程2x+3x=7的近似解也介于1.3125到1.375之间，结合精确度和选项可得答案．解：由函数零点存在性定理可知，函数f(x)=2x+3x−7的零点介于1.3125到1.375之间，故方程2x+3x=7的近似解也介于1.3125到1.375之间，由于精确到0.1，结合选项可知1.32符合题意，故选A．12.答案：A解析：本题考查函数奇偶性的应用，解题的关键是奇函数性质的灵活运用．设g(x)=aisnx−btanx，则g(x)为奇函数，根据g(−1)=−g(1)可得结果．解：由题意，f(x)=asinx−btanx+2，设g(x)=asinx−btanx，则g(x)为奇函数，由于f(−1)=1，则g(−1)+2=1，则g(−1)=−1，因为g(x)为奇函数，则g(1)=1，则f(1)=g(1)+2=1+2=3．故选A．13.答案：2解析：本题考查弧长公式与扇形的面积公式，考查计算能力，属于基础题．利用扇形的面积公式求出扇形的半径，然后利用扇形弧长公式求弧度数即可．解：因为扇形的弧长l为4，面积S为4，设扇形的半径r为，所以S=12×4×r=4，∴r=2，∴扇形的圆心角的弧度数α=lr =42=2．故答案为2．14.答案：(−∞,−3]．解析：令u=x2+x−6，y=√x2+x−6可以看作有y=√u与u=x2+x−6的复合函数．由x2+ x−6≥0得到x∈(−∞,−3]∪[2,+∞)，∵u=x2+x−6在(−∞,−3]上是减函数，在[2,+∞)上是增函数，而y=√u在(0,+∞)上是增函数．∴y=√u的单调减区间为(−∞,−3]，单调增区间为[2,+∞)．15.答案：2+2√2解析：解：依题意，A=2，T=8，2πω=T∴ω=π4，φ=0∴f(x)=2sinπ4x，函数的周期为8.所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(8)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(100)，=12×[f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(8)]+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)，=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)，=2(sinπ4+sinπ2+sin3π4+sinπ)=2+2√2，故答案为：2+2√2．根据图象把f(x)=Asinωx解出a与ω，然后求出F(x)解析式，通过函数周期，求出函数一个周期内的函数值的和，即可求解．本题考查三角函数的解析式的求法，以及三角函数的周期性的应用，考查计算能力．16.答案：①③④解析：解：①由于f(x+π2)=|sin(x+π2)|+|cos(x+π2)|=|cosx|+|sinx|=f(x)，故π2为f(x)的一个周期，即①正确；②由于f(−x)=|sin(−x)|+|cos(−x)|=|sinx|+|cosx|=f(x)，故f(x)是偶函数，故②错；③由于f(3π2−x)=|sin(3π2−x)|+|cos(3π2−x)|=|cosx|+|sinx|=f(x)，故f(x)关于直线x=3π4对称，故③正确；④当x∈[0,2π]时，f(x)=√1+2|sinxcosx|=√1+|sin2x|，x=π4取最大值且为√2，x=0时，取最小值1，故④正确；⑤当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，由于π4≤x+π4≤3π4，不为单调区间，故⑤错．故答案为：①③④．应用周期函数的定义即可判断①；应用奇偶函数的定义即可判断②；验证f(3π2−x)=f(x)，即可判断③；将f(x)变形为f(x)=√1+|sin2x|，由x的范围即可判断④；根据条件化简f(x)，求出x+π4的范围，即可判断⑤．本题以命题的真假判断为载体，考查三角函数的图象和性质，注意应用定义和性质解题．17.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=2x−1x，任取1≥x1>x2>0，则f(x1)−f(x2)=2(x1−x2)−(1x1−1x2)=(x1−x2)(2+1x1x2)．因为1≥x1>x2>0，所以x1−x2>0，x1x2>0．所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x=1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(−∞,1]．(2)当a≥0时，y=f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x=1时取得最大值2−a；当a<0时，f(x)=2x+−ax，当√−a2≥1，即a∈(−∞,−2]时，y=f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值；当x=1时取得最小值2−a；当√−a2<1，即a∈(−2,0)时，y=f(x)在(0,√−a2]上单调递减，在[√−a2,1]上单调递增，无最大值，当x=√−a2时取得最小值2√−2a．解析：本题主要考查函数单调性，求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．(1)将a的值代入函数解析式，先用定义证明函数在(0,1]上单调递增，求出函数的值域．(2)通过对a的讨论，分a≥0和a<0两种情况，判断出函数在(0,1]上的单调性，求出函数的最值．18.答案：解：，，即，；(2)由(1)得，又π2<α<π，，，又，解得，cosα=−45，又∵角β终边经过点P(−3,√7)，，解析：本题考查三角函数的化简与求值，考查了三角函数的定义、同角三角函数基本关系，以及诱导公式的应用，是中等题．(1)把sinα+cosα=−15的两边平方，求出sinαcosα的值，再利用诱导公式即可得出结果；(2)利用同角三角函数基本关系求出sinα−cosα的值，结合(1)求出sinα、cosα的值；再利用三角函数的定义求出cosβ的值，把1sin(π−α)+1cos(π+α)+2cos(2π+β)用诱导公式化简后代入值计算可得结果．19.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=sinx+√3cosx−√3=2sin(x+π3)−√3，∴f(x)的最小正周期T=2π1=2π；(Ⅱ)∵x∈[0,2π3]，∴x+π3∈[π3,π]，∴sin(x+π3)∈[0,1]，即有：f(x)=2sin(x+π3)−√3∈[−√3,2−√3]，∴可解得f(x)在区间[0,2π3]上的最小值为：−√3．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2sin(x+π3)−√3，由三角函数的周期性及其求法即可得解；(Ⅱ)由x∈[0,2π3]，可求范围x+π3∈[π3,π]，即可求得f(x)的取值范围，即可得解．20.答案：解：(1)由图知，A=2，T=4×(π6+π12)=π，∴ω=2πT=2，∴f(x)=2sin(2x+φ)，由f(π6)=2sin(2×π6+φ)=2⇒2×π6+φ=π2+2kπ，∴φ=π6+2kπ(k∈Z)，又|φ|<π2，∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6)；(2)由f(α)−f(α−π6)=1⇒2sin(2α+π6)−2sin[2(α−π6)+π6]=1，得sin2αcosπ6+cos2αsinπ6−sin2αcosπ6+cos2αsinπ6=12，∴cos2α=12>0，又∵α是锐角，∴2α=π3 ,即α=π6．解析：本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查两角和与差的正弦，考查运算能力，属于中档题．(1)由图易知A=2，T=π，从而可求得ω=2；再利用f(π6)=2，|φ|≤π2即可求得φ的值，从而可得函数f(x)的解析式；(2)由(1)知f(x)=2sin(2x+π6)，于是由f(α)−f(α−π6)=1，可求得cos2α=12，α为锐角，从而可求得α的值．21.答案：(Ⅰ)f(x)=12cos4x+sin2x(1−2sin2x)=12cos4x+sin2xcos2x =12cos4x+12sin4x=√22sin(4x+π4)．∴函数f(x)的最小正周期为π2，最大值是√22．(Ⅱ)因为对任意x1,x2∈[0,t]，当x1<x2时，都有f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)，即f(x1)−g(x1)<f(x2)−g(x2)，记ℎ(x)=f(x)−g(x)，即ℎ(x1)<ℎ(x2)，所以ℎ(x)在[0,t]上是增函数，又g(x)=f(x+π8)=√22sin [4(x+π8)+π4]=√22sin (4x+3π4)．所以．因为ℎ(x)的单调增区间为[kπ2−π8,kπ2+π8]，k∈Z，所以实数t 的最大值为π8．解析：本题主要考查了三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移及构造函数的思想，属于中档题．(Ⅰ)化简函数得f(x)=√22sin(4x +π4)，从而得函数周期和最值；(Ⅱ)由平移得g (x )=√22sin (4x +3π4)，记ℎ(x)=f(x)−g(x)，由条件可得ℎ(x)在[0,t]上是增函数，化简ℎ(x)=sin4x ，利用三角函数的单调性求解即可．22.答案：解：(1)由方程f (x )=0，可转化为方程2x−1=a,x ∈[−1,2]，因为函数y =2x−1，x ∈[−1,2]的值域为[14,2]， 若方程f (x )=0有解，必有a ∈[14,2]， 所以实数a 的取值范围[14,2]．(2)f(x)=4x−2x +1a =(2x )2−2a ·2x ，x ∈[−1,2]令2x =t,t ∈[12,4]，所以上式可化为ℎ(t )=t 2−2at ， 函数ℎ(t )=t 2−2at 为二次函数，开口向上，对称轴t =a 当a ≤12时，ℎ(t )=t 2−2at 在t ∈[12,4]单调递增， 所以ℎ(t )min =ℎ(12)=14−a ，当12<a <4时，ℎ(t )=t 2−2at 在[12,a]单调递减，(a,4]单调递增； 所以ℎ(t )min =ℎ(a )=−a 2当a ≥4时，ℎ(t )=t 2−2at 在t ∈[12,4]单调递减， 所以ℎ(t )min =ℎ(4)=16−8a函数最小值g(a)={14−a,a ≤12−a 2,12<a <416−8a,a ≥4解析：本题考查函数的最小值的求法，本题考查函数的值域，考查函数的单调性，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．属于综合题．(1)利用条件转化为方程2x−1=a,x∈[−1,2]，有解，求出函数y=2x−1的值域，方程f(x)=0有解，必有a∈[14,2]．(2)换元法令2x=t,t∈[12,4]，函数转化为二次函数ℎ(t)=t2−2at，讨论对称轴t=a与区间[12,4]位置关系，得到单调性，求出函数最小值，得到g(a)的解析式．。
江西省南昌市南昌县莲塘第二中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷
数学试卷一、单选题（5*12=60） 1．下面与角233π终边相同的角是 A ．43π B ．3π C ．53π D ．23π 2．计算sin (－1380°)的值为 A ．1-2B ．12C ．3-2D ．323．已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．已知cos sin()0απα⋅+<,那么角α是A.第一或第二象限角B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角 5．使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是 A ．3|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．7|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．57|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭6．函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象如图所示，则 A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D 2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．已知()()()235121(11)521x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，若()2f x =，则x 的值是A ．1-B ．1-或45C ．22±D ． 1-或 22±8．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为 A ．210-B ．210C ．7210D ．7210-9．已知奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，当()0,1x ∈时，函数()2xf x =，则12log 23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=A ．1623-B ．1623C ．2316-D ．231610．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是 A ．其图象关于直线4πx =-对称 B ．其图象关于点14π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 C ．其值域是[]1,3- D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到 11．先把函数()sin()6f x x π=-的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()y g x =的图象，当3(,)44x ππ∈时，函数()g x 的值域为 A．(2-B ．1(,1]2- C．(22-D ．[1,0)- 12．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是 A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)22二、填空题（5*4=20） 13．已知tan =2α，则3sin(2)cos()2cos 2ππααα-⋅+= _________．14．函数()2sin(2),0,32f x x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的单调减区间___________ 15．已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____16．对于函数，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值是-1；③该函数的图象关于直线对称；④当且仅时，.其中正确命题的序号是_____(请将所有正确命题的序号都填上)三、解答题17．（本小题满分10分）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度. （1）求这个圆心角所对的弧长； （2）求这个扇形的面积.18．（本小题满分12分）已知函数f （x ）的定义域为A ，函数g （x ）（﹣1≤x ≤0）的值域为B ． （1）求A ∩B ；（2）若C ＝{x |a ≤x ≤2a ﹣1}且C ⊆B ，求a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）若函数2()322cos 3.f x x x =++ （I ）求()y f x =的最小正周期；（II ）求()y f x =在x ∈R 时的最小值，并求相应的x 取值集合.20．（本小题满分12分）已知43cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()sin4απ+的值； （2）若()11cos 14αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值. 21．（本小题满分12分）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在它的某一个周期内的单调减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．（本小题满分12分）已知定义在上的函数是奇函数．（1）求的值，并判断函数在定义域中的单调性（不用证明）；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．数学参考答案一．选择题 二．填空题 13．43 14．5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．2 16．③④ 三．解答题17.∵扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角α=2弧度，∴扇形半径为1sin1r =． （1）这个圆心角所对的弧长为122sin1sin1l r α==⨯=． （2）扇形面积为21121122sin1sin1sin 1S lr ==⨯⨯=． 19.（I ）()3sin2cos2132sin 246f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,T π∴=.（II ）()()min 2sin 24,2,6f x x f x π⎛⎫=++∴= ⎪⎝⎭题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDDCCADBCDAB()ππ,2x 2k πk Z 62+=-+∈此时 , ()ππx k πk Z ,x {x |x k π,k Z}.33∴=-+∈=-+∈即的取值集合为20.解：（1）由cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得17sin α===，所以sin cos cos sin 444sin πππααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭ 17==（2）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,αβπ+∈，又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+===， 所以()sin sin βαβα=+- ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+11111471472=-⨯=， 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=.21.（1）由条件，115212122T πππ=-=， ∴2,ππω= ∴2ω= 又5sin 21,12πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭∴3πϕ=- ∴()f x 的解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，得2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭∴()2sin 43g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭而325,,488636x x πππππ⎡⎤∈∴-≤-≤⎢⎥⎣⎦∴函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12-。
2019学年江西省高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年江西省高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，那么下列结论正确的是（）A ．B ．___________C ．_________D ．2. 下列函数中，满足“f （ x＋y ）＝f （ x ） f （ y ）”的单调递增函数是（）A ．________________________B ．________C ．_________D ．3. 下列说法正确的是（）A ．________________________B ．C ．___________________________________D ．4. 若直线l过点（－1 ， 2 ），且与直线垂直，则直线l的方程是（）A ． 3x＋2y－1＝0___________________________________B ． 3x＋2y＋7＝0C ． 2x－3y＋5＝0______________________________D ． 2x－3y＋8＝05. 已知函数y＝f （ x ）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x＜0时， f （ x ）的表达式是（）A ．____________________________B ．C ．____________________________D ．6. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A ．若垂直于同一平面，则与平行B ．若平行于同一平面，则与平行C ．若不平行，则在内不存在与平行的直线D ．若不平行，则与不可能垂直于同一平面7. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（）A ．B ．C ．______________D ．8. 已知点 A （ 1 ， 1 ， 1 ），点 B （ 3 ， 3 ， 3 ），点 P 在 x 轴上，且|PA|=|PB| ，则 P 点坐标为（）A ．（ 6 ， 0 ， 0 ）_________B ．（ 0 ， 2 ， 0 ）_________C ．（ 0 ， 0 ，6 ）_________ D ．（ 2 ， 0 ， 0 ）9. 若圆C 1 ：x 2 ＋y 2 ＝1与圆 C 2 ：x 2 ＋y 2 －6x－8y＋m＝0 相外切，则 m ＝（）A ． 21____________________B ． 19____________________________C ． 9____________________________D ．－1110. 三棱锥P－ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC所在的小圆面积为9，则该三棱锥的高的最大值为（）A ． 7________B ． 8_________C ． 8 ． 5_________D ． 911. 若函数y＝log 2 （ x 2 －ax＋3a ）在（ 2 ，＋∞ ）上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．12. 函数的图象形如汉字“囧” ，故称其为“囧函数” ．下列命题：①“囧函数”的值域为；②“囧函数”在上单调递增；③“囧函数”的图象关于轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点．正确命题的个数为（）A ． 1 ______________B ． 2 ______________C ． 3____________________ D ． 4二、填空题13. ______________________________ ．14. 已知点，若点是圆＝0上的动点，的面积的最大值为_________________________________ ．15. 圆台的上、下底面半径分别是 2cm 和3cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180° ，那么圆台的侧面积是____________________________ cm 2 ．16. 已知函数，则函数的所有零点构成的集合为____________________ ．三、解答题17. 设函数的定义域为，关于的不等式的解集为．（1）当时，求；（2）当时，若，求的取值范围．18. 设直线的方程为．（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围．19. 如图所示，在所有棱长都为的三棱柱中，侧棱，点为棱的中点．（ 1 ）求证：∥ 平面；（ 2 ）求四棱锥的体积．20. 设为实数，且，试讨论关于的方程的实数解的个数．21. 已知直线，．圆满足条件：①经过点；②当时，被直线平分；③与直线相切．（1）求圆的方程；（2）对于，求直线与圆相交所得的弦长为整数的弦共有几条．22. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1 ）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_41
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）考生注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3.考生作答时请将答案答在答题卷上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.考试结束时，务必将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知全集，集合，集合，则=（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据交集、补集的定义计算可得.【详解】解: ,故选:【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知，=（，6），且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行有公式，代入数据得到答案.【详解】，=（，6），且则即故答案选A【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.3.设函数，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】【分析】直接根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查指数以及对数的运算，属于基础题.4.已知角的终边过点，，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值．【详解】解：由题意可得，，，，解得，故选：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.函数的图象大致为A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.故答案为D.【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.6.设函数与函数的图象交点坐标为，则所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，判断函数的零点在哪个区间即可．【详解】解：根据题意，设，则，即函数存在零点，即函数与函数图象的交点横坐标所在的区间为．故选：．【点睛】本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题，属于基础题．7.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先和0比较，得到c最小；再与1比较，得到b最大．故选A．考点：指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小．8.已知，那么=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据同角三角函的基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.9.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，因为M是线段AD的中点，所以：，又，所以，，所以.本题选择D选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10.若函数的定义域、值域都是则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合二次函数的性质，函数的对称轴为，结合题意和二次函数的性质可得：，即：，整理可得：，解方程有：或(舍去)，综上可得本题选择A选项11.函数，将其图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x轴向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与的图形沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的解析式，选出正确选项【详解】解：由题意曲线与的图象沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的图形，故的图形沿轴向右平移个单位所得图形对应的函数解析式为，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为故选：．【点睛】本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量的系数不是的情况，平移时要注意平移的大小是针对于系数是来说的，属于中档题．12.黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间上，其基本定义是：，若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求．【详解】解：由题意可知，，故即函数的周期，当时，，则，．故选：．【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解函数值，解题的关键是把所要求解函数的变量利用周期转化到已知区间上，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为____________.【答案】【解析】【分析】由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解的取值集合得答案．【详解】解：解得且，即故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，属于基础题．14.已知向量是平面的一组基底，若，则在基底下的坐标为，那么在基底下的坐标为_____________.【答案】【解析】【分析】设，再根据得到方程组，解得.【详解】解：设，解得故，则在基底下的坐标为.故答案为：【点睛】本题考查向量的基底表示，向量相等的充要条件，属于基础题.15.已知为第三象限角且，则的值为______________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再用二倍角公式及平方关系化简求值.【详解】解：且为第三象限角解得（舍去）或故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题.16.函数的零点个数为_______________.【答案】【解析】【分析】函数的零点个数，令，，转化函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.【详解】解：函数的零点，即方程的解，令，也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点.故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（1）计算（2）化简【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得；（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简可得.【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查指数对数的运算，诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由图可知即可求出，再根据函数的最小正周期求出，又函数过点，代入即可求出从而得到函数解析式；（2）由的取值范围求出的范围，再由余弦函数的性质解答.【详解】解：（1）由图可知，解得解得又函数过点即，解得，，（2）【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式及余弦函数的性质的应用，属于基础题.19.已知集合，函数在区间内有解时，实数a的取值范围记为集合B.（1）若，求集合B及；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据函数在区间内有解时求出参数的取值范围即得到集合，当时带入求出集合，再根据并集的定义计算；（2）可判断集合不为空集，再由集合包含关系得到不等式组解得.【详解】解：函数在区间内有解时，即在区间内有解，因为函数在区间上单调递增，且，则即（1）当时，，（2）因为所以若，解得当时，不符题意，舍去故【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知，，与的夹角是.（1）求；（2）当与的夹角为钝角时，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再根据代入计算可得；（2）依题意可得且，得到不等式解得；【详解】（1），，与的夹角是.（2）与的夹角为钝角且即，即解得解得综上可得【点睛】本题考查向量的数量积的计算，向量夹角求参数的取值范围，属于中档题.21.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：，）【答案】（1）；（2）年；（3）至少还需要年.【解析】【分析】（1）设增长率为，依题意可得解得；（2）设已经植树造林年，则解得；（3）设至少还需要年，则解得.【详解】解：（1）设增长率为，依题意可得所以即，解得（2）设已经植树造林年，则即解得，故已经植树造林年.（3）设至少还需要年，则即即解得故至少还需要年【点睛】本题考查指数型函数模型应用，指数对数的运算，属于基础题.22.已知定义在R上的偶函数和奇函数满足：.（1）求，并证明：；（2）当时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先根据奇偶性构造方程组求出与的解析式，再计算可得；（2）由题意可得，令，则对上恒成立，参变分离再利用基本不等式求出参数的取值范围.【详解】解：（1）因为偶函数和奇函数满足：①.则即②①加②得，从而可得（2）即令，且函数在定义域上单调递增，，对上恒成立，即对上恒成立，令，则当且仅当即时取等号即【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）考生注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域.3.考生作答时请将答案答在答题卷上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.考试结束时，务必将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知全集，集合，集合，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义计算可得.【详解】解: ,故选:【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知，=（，6），且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行有公式，代入数据得到答案.【详解】，=（，6），且则即故答案选A【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.3.设函数，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】直接根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查分段函数求函数值，考查指数以及对数的运算，属于基础题.4.已知角的终边过点，，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值．【详解】解：由题意可得，，，，解得，故选：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.函数的图象大致为A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项.【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x=2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.故答案为D.【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.6.设函数与函数的图象交点坐标为，则所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，判断函数的零点在哪个区间即可．【详解】解：根据题意，设，则，即函数存在零点，即函数与函数图象的交点横坐标所在的区间为．故选：．【点睛】本题考查了根据根的存在性定理判断函数零点的问题，属于基础题．7.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先和0比较，得到c最小；再与1比较，得到b最大．故选A．考点：指数函数、对数函数的单调性的应用，指数式、对数式比较大小．8.已知，那么=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据同角三角函的基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.9.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，因为M是线段AD的中点，所以：，又，所以，，所以.本题选择D选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．10.若函数的定义域、值域都是则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合二次函数的性质，函数的对称轴为，结合题意和二次函数的性质可得：，即：，整理可得：，解方程有：或(舍去)，综上可得本题选择A选项11.函数，将其图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x轴向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此类题的做法一般是通过反变求出原来函数的解析式，由题意可由曲线与的图形沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的解析式，选出正确选项【详解】解：由题意曲线与的图象沿轴向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到的图形，故的图形沿轴向右平移个单位所得图形对应的函数解析式为，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为故选：．【点睛】本题考查有函数的图象平移确定函数的解析式，本题解题的关键是对于变量的系数不是的情况，平移时要注意平移的大小是针对于系数是来说的，属于中档题．12.黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间上，其基本定义是：，若函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，，从而可求得函数的周期，然后结合已知区间上的函数解析式可求．【详解】解：由题意可知，，故即函数的周期，当时，，则，．故选：．【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解函数值，解题的关键是把所要求解函数的变量利用周期转化到已知区间上，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为____________.【答案】【解析】【分析】由对数式的真数大于0，二次根式的被开方数大于等于0，分母不为零，联立不等式组求解的取值集合得答案．【详解】解：解得且，即故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，属于基础题．14.已知向量是平面的一组基底，若，则在基底下的坐标为，那么在基底下的坐标为_____________.【答案】【解析】【分析】设，再根据得到方程组，解得.【详解】解：设，解得故，则在基底下的坐标为.故答案为：【点睛】本题考查向量的基底表示，向量相等的充要条件，属于基础题.15.已知为第三象限角且，则的值为______________.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，再用二倍角公式及平方关系化简求值.【详解】解：且为第三象限角解得（舍去）或故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题.16.函数的零点个数为_______________.【答案】【解析】【分析】函数的零点个数，令，，转化函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.【详解】解：函数的零点，即方程的解，令，也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点.故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（1）计算（2）化简【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得；（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简可得.【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查指数对数的运算，诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由图可知即可求出，再根据函数的最小正周期求出，又函数过点，代入即可求出从而得到函数解析式；（2）由的取值范围求出的范围，再由余弦函数的性质解答.【详解】解：（1）由图可知，解得解得又函数过点即，解得，，（2）【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式及余弦函数的性质的应用，属于基础题.19.已知集合，函数在区间内有解时，实数a 的取值范围记为集合B.（1）若，求集合B及；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据函数在区间内有解时求出参数的取值范围即得到集合，当时带入求出集合，再根据并集的定义计算；（2）可判断集合不为空集，再由集合包含关系得到不等式组解得.【详解】解：函数在区间内有解时，即在区间内有解，因为函数在区间上单调递增，且，则即（1）当时，，（2）因为所以若，解得当时，不符题意，舍去故【点睛】本题考查集合的运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知，，与的夹角是.（1）求；（2）当与的夹角为钝角时，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求出，再根据代入计算可得；（2）依题意可得且，得到不等式解得；【详解】（1），，与的夹角是.（2）与的夹角为钝角且即，即解得解得综上可得【点睛】本题考查向量的数量积的计算，向量夹角求参数的取值范围，属于中档题.21.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：，）【答案】（1）；（2）年；（3）至少还需要年.【解析】【分析】（1）设增长率为，依题意可得解得；（2）设已经植树造林年，则解得；（3）设至少还需要年，则解得.【详解】解：（1）设增长率为，依题意可得所以即，解得（2）设已经植树造林年，则即解得，故已经植树造林年.（3）设至少还需要年，则即即解得故至少还需要年【点睛】本题考查指数型函数模型应用，指数对数的运算，属于基础题.22.已知定义在R上的偶函数和奇函数满足：.（1）求，并证明：；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先根据奇偶性构造方程组求出与的解析式，再计算可得；（2）由题意可得，令，则对上恒成立，参变分离再利用基本不等式求出参数的取值范围.【详解】解：（1）因为偶函数和奇函数满足：①.则即②①加②得，从而可得（2）即令，且函数在定义域上单调递增，，对上恒成立，即对上恒成立，令，则当且仅当即时取等号即【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，不等式恒成立问题，基本不等式的应用，属于难题.。
2019-2020学年江西省高一上学期期末联考数学试题及答案
2 x
，因为
（f 2）＝ln2﹣1＜0，（f 3）＝ln3
2 3
＞0，
又函数 h（x）在（2，3）上的图象是一条连续不断的曲线，
所以函数
h（x）在区间（2，3）内有零点，即
lnx
2 x
0
有解，
函数 f x ln x 与函数 g x 2 的交点的横坐标所在的大致区
x
间（2，3）
故选：B．
【点睛】
4
所以由 0 2kπ x π π 2kπ,(k Z) 得 π 2kπ x 3π 2kπ,(k Z)
4
4
4
因此[a, a] [ π , 3π]a a, a π , a 3π 0 a π ，从而 a 的最
44
44
4
大值为 π ，选 A.
4
点睛：函数 y Asin(x ) B(A 0, 0) 的性质：
f x 1，x 0
∵ f x 2，x=0
，
3x，x 0
∴ f 2 f 2 1 f 1 f 0 2 ，
故选：D
【点睛】
本题考查分段函数的对应法则，考查求值问题，属于基础
题.
3．已知 为第三象限角，且 sin+cos＝2m，sin 2＝m2 ，则 m
的值为（ ）
A． 3
3
B． 3
3
求值，考查计算能力，属于常考题型.
5．若 f x cosx sinx 在a,a是减函数，则 a 的最大值是
A．
4
B．
2
C．
3 4
D．
【答案】A
【解析】【详解】
分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系
确定 a 的最大值.
江西省南昌市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷D卷
江西省南昌市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·河南模拟) 若集合A＝{x|x2＜2 ，B＝{x| }，则A∩B＝（）A . （0，2）B . （，0）C . （0，）D . （－2，0）2. （2分）在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线斜率是0,则AC、AB所在的直线斜率之和为（）A . -B . 0C .D .3. （2分）下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（）A . 0C . 2D . 34. （2分）下列对应是从到的映射，且能构成函数的是（）A . ，，；B . ，，；C . ，，；D . ，，作矩形的外接圆．5. （2分）已知集合，，则（）A . NB . MC .D .6. （2分）已知函数f（x）=loga（x+b）（a，b为常数）的图象如图所示，则函数g（x）=b 在[0，5]上的最大值是（）A .B .C . b47. （2分）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·安徽模拟) 已知，，，则（）A .B .C .D .9. （2分）三个数a=30.5 ， b=0.53 ， c=log0.53的大小顺序为（）A . c＜b＜aB . c＜a＜bC . b＜c＜aD . a＜b＜c10. （2分）(2017·莆田模拟) 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A .B .C .D .11. （2分）下列说法中，正确的是（）A . 幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）B . 当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线C . 若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域内y随x的增大而增大D . 幂函数y=xα ，当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小12. （2分）已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A . 若l⊥α，m⊂α，则l⊥mB . 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC . 若l∥α，m⊂α，则l∥mD . 若l∥α，m∥α，则l∥m二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·山丹期中) 函数的定义域为________.14. （1分）直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A（a，0）和B（0，1）的距离相等，且机器人也始终接触不到直线L：y=x+1，则a的值为________．15. （1分） (2016高一下·衡阳期末) 函数y=log2（2x﹣1）的定义域是________．16. （1分）若三个球的表面积之比是1：2：3，则它们的体积之比是________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高三下·武邑期中) 已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．（1）求k的值；（2）若a，b，c∈R， +b2=k，求b（a+c）的最大值．18. （10分） (2015高二上·西宁期末) 圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，（1）若弦长，求直线AB的倾斜角；（2）若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．19. （10分） (2016高二下·茂名期末) 计算：（1） 0.02 ﹣（﹣）﹣2+25 ﹣3﹣1+（﹣1）0；（2）．20. （10分）(2018·广东模拟) 如图：在五面体中，四边形是正方形，，（1）证明：为直角三角形；（2）已知四边形是等腰梯形，且，，求五面体的体积.21. （10分）(2017·苏州模拟) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形．（1） D是棱B1C1上一点，AC1∥平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1B⊥AC1，求证：平面A1ABB1⊥平面C1CBB1．22. （10分） (2019高二上·德惠期中) 设A ， B分别为双曲线 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4 ，焦点到渐近线的距离为 .（1）求双曲线的方程；（2）已知直线y＝ x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_26
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.本试卷分为试题卷[含选择题和非选择题]和答题卡[含填涂卡和答题框]两大部分.2.考试在答题前，请先将自己的学校、班级、姓名、考号填在答题卡密封线内指定的地方.3.选择题的答案选出后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标涂黑.非选择题请在答题卡指定的地方作答，本试卷上作答无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，B={,n是自然数}，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据交集的概念，可得结果.【详解】由B={,n是自然数}，所以，所以故选：A【点睛】本题考查交集的概念，属基础题.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据终边相同的角的公式，大角化小角，结合该角的三角函数，可得结果.【详解】由所以故选：D【点睛】本题重在考查任意角的三角函数，属基础题.3.如果向量，，那么（）A. 6B. 5C. 4D. 3【解析】【分析】根据向量用坐标运算，以及向量模的计算公式，可得结果.【详解】由，所以所以故选：B【点睛】本题考查向量的模用坐标计算，属基础题.4.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据定义域关于原点对称以及与关系，可知函数的奇偶性，并结合函数特点，可得结果.【详解】由，定义域为又，所以为偶函数，当时，可知其为增函数，故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属基础题.5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】由函数，则，，，由零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是.故选：C【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理，属于基础题.6.已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．7.函数（且）的图像是下列图像中的（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.8.若函数在上是增函数，则a，b的值可能是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】采用排除法，根据复合函数的单调性法则，可得结果.【详解】当，时，则所以在递减，而是增函数，所以在上是减函数故A错当，时，则所以在递减，而是减函数所以在上是增函数所以B对，同理可知：C,D均错故选：B【点睛】本题重在于考查复合函数的单调性，对复合函数单调性，四个字“同增异减”，属基础题.9.在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】假设，根据向量的加法、减法运算，用表示分别出，结合数量积公式以及函数单调性，可得结果.【详解】设，所以又，可知所以化简可得又，，所以则即，又在递增所以故故选：A【点睛】本题重在考查向量用基底如何表示，还考查了数量积用参数表示，并求其范围，属中档题.10.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.11.已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性，周期性，以及函数表达式，可得结果.【详解】由当时，，用取代可知，周期为1所以当时，所以当时，，所以故选：B【点睛】本题考查函数的性质，属基础题.12.已知函数在上的图象有且仅有3个最高点.下面四个结论：①在上的图象有且仅有3个最低点；②在至多有7个零点；③在单调递增；④的取值范围是；正确结论是（）A. ①④B. ②③C. ②④D. ②③④【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合整体法以及排除法，可得结果.【详解】当时，可知由在上的图象有且仅有3个最高点可知，得故④正确，若时，没有3个最低点，故①错如图可知②正确由，所以根据上图可知：在单调递增可知③正确故答案为：D【点睛】本题重在考查正弦型函数的性质，对这种问题要结合相对应的正弦函数的性质，掌握整体法，属难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填写在答题卡中对应的横线上.）13.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____.【答案】【解析】【分析】由弧长公式即可算出结果．【详解】由弧长公式l＝|α|r1，故答案为：．【点睛】本题主要考查了弧长公式，基础题．14.已知函数（且）的图象恒过定点，若幂函数的图象也经过点，则实数t的值为________.【答案】【解析】【分析】根据对数的图像，结合平移的知识，可得点坐标，然后代值计算，可得结果.【详解】函数过定点函数是由经过向右移动1个单位，向上移动单位得到故过定点又的图象经过点所以即故答案为：【点睛】本题重在考查对数型函数过定点问题，掌握对数函数的性质，并且熟练图像的平移，属基础题.15.在直角坐标系中，已知,,若是直角三角形，则实数t的值为________.【答案】1或5【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，可得结果.【详解】由是直角三角形当时，则所以当时，所以即则无解当时，所以即故值为1或5故答案为：1或5【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属基础题.16.已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用数形结合，根据对数函数的概念，可得，然后根据的值域，可得结果.【详解】，根据题意：由的值域是，如图：当时，由可知当时，由所以综上所述：故答案为：【点睛】本题重在于考查分段函数的值域，掌握各段函数的特点，熟练掌握数形结合的思想，属中档题.三、解答题.（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17.已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据交集的概念可知2是的元素，可得，并进行验证，可得结果.（2）根据并集概念，可得之间关系，计算出的元素，可得结果.【详解】（1），经验证不合题意所以（2）中的两根为a，【点睛】本题重在于考查集合交集和并集的概念，属基础题.18.已知点是函数的图象上的一个最高点，且图象上相邻两条对称轴的距离为.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质，可以得出的表达式，然后结合整体法，可得结果.（2）根据（1）的条件，使用整体法，可得结果.【详解】（1）由题可知：，所以，则又所以则，又所以令，，所以令，所以函数的单调递减区间为（2），在值域为函数在的值域为【点睛】本题重在考查正弦型函数的性质，对这种问题要结合相对应的正弦函数的性质，掌握整体法，属中档题.19.在四边形中，，，，.（1）用，表示向量；（2）若点为线段的中点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）采用数形结合，根据三角形法则，可得结果.（2）将分别用，表示，结合数量积公式，可得结果.【详解】（1）根据题意，如图：方法一：所以 ,又所以方法二：，又所以即（2）由点为线段的中点所以.化简可得,又，，所以所以【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，熟练应用向量的加法和减法，属基础题.20.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.（1）求a，b，c，p，q，r的值；（2）你认为谁选择的模型好.【答案】（1），，，，，；（2）乙选择的模型好【解析】【分析】（1）根据带值计算，可得结果.（2）根据（1）的条件，代值计算比较，可得结果.【详解】（1）根据题意：；，，；，，；（2）甲模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54，54，52；乙模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54.7，56.4，57.6实际4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.所以乙选择的模型好【点睛】本题主要考查函数的代值计算，属基础题.21.若是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意都有，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数，可知的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1），因为是奇函数.所以，得；经检验满足题意（2）根据（1）可知化简可得所以可知当时，所以对任意都有所以，即【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.22.设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的ℱ区间.（Ⅰ）判断是否是函数的ℱ区间;（Ⅱ）若是函数（其中）的ℱ区间，求的取值范围;（Ⅲ）设为正实数，若是函数的ℱ区间，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据新定义，即可求出判断，Ⅱ根据新定义和对数函数的性质，即可求出a的取值范围，Ⅲ根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围【详解】（Ⅰ）不是函数的ℱ区间，理由如下：因为对，，所以.所以均有，即不存在，，使得.所以不是函数的ℱ区间（Ⅱ）由是函数（其中）的ℱ区间，可知存在，，使得.所以.因为所以，即.又因为且，所以.（Ⅲ）因为是函数的ℱ区间，所以存在，，使得.所以所以存在，使得不妨设. 又因为，所以.所以.即在区间内存在两个不同的偶数.①当时，区间长度，所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.②当时，有，所以.（i）当时，有即.所以也符合题意.（ii）当时，有即.所以符合题意.（iii）当时，有即此式无解.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了抽象函数问题，以及指数函数、对数函数，余弦函数的性质，考查了运算求解能力，转化与化归思想，属于难题2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.本试卷分为试题卷[含选择题和非选择题]和答题卡[含填涂卡和答题框]两大部分.2.考试在答题前，请先将自己的学校、班级、姓名、考号填在答题卡密封线内指定的地方.3.选择题的答案选出后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标涂黑.非选择题请在答题卡指定的地方作答，本试卷上作答无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，B={,n是自然数}，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的概念，可得结果.【详解】由B={,n是自然数}，所以，所以故选：A【点睛】本题考查交集的概念，属基础题.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据终边相同的角的公式，大角化小角，结合该角的三角函数，可得结果.【详解】由所以故选：D【点睛】本题重在考查任意角的三角函数，属基础题.3.如果向量，，那么（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】根据向量用坐标运算，以及向量模的计算公式，可得结果.【详解】由，所以所以故选：B【点睛】本题考查向量的模用坐标计算，属基础题.4.下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据定义域关于原点对称以及与关系，可知函数的奇偶性，并结合函数特点，可得结果.【详解】由，定义域为又，所以为偶函数，当时，可知其为增函数，故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属基础题.5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】由函数，则，，，由零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是.故选：C【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理，属于基础题.6.已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．7.函数（且）的图像是下列图像中的（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.8.若函数在上是增函数，则a，b的值可能是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】采用排除法，根据复合函数的单调性法则，可得结果.【详解】当，时，则所以在递减，而是增函数，所以在上是减函数故A错当，时，则所以在递减，而是减函数所以在上是增函数所以B对，同理可知：C,D均错故选：B【点睛】本题重在于考查复合函数的单调性，对复合函数单调性，四个字“同增异减”，属基础题.9.在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】假设，根据向量的加法、减法运算，用表示分别出，结合数量积公式以及函数单调性，可得结果.【详解】设，所以又，可知所以化简可得又，，所以则即，又在递增所以故故选：A【点睛】本题重在考查向量用基底如何表示，还考查了数量积用参数表示，并求其范围，属中档题.10.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.11.已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性，周期性，以及函数表达式，可得结果.【详解】由当时，，用取代可知，周期为1所以当时，所以当时，，所以故选：B【点睛】本题考查函数的性质，属基础题.12.已知函数在上的图象有且仅有3个最高点.下面四个结论：①在上的图象有且仅有3个最低点；②在至多有7个零点；③在单调递增；④的取值范围是；正确结论是（）A. ①④B. ②③C. ②④D. ②③④【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合整体法以及排除法，可得结果.【详解】当时，可知由在上的图象有且仅有3个最高点可知，得故④正确，若时，没有3个最低点，故①错如图可知②正确由，所以根据上图可知：在单调递增可知③正确故答案为：D【点睛】本题重在考查正弦型函数的性质，对这种问题要结合相对应的正弦函数的性质，掌握整体法，属难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填写在答题卡中对应的横线上.）13.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____.【答案】【解析】【分析】由弧长公式即可算出结果．【详解】由弧长公式l＝|α|r1，故答案为：．【点睛】本题主要考查了弧长公式，基础题．14.已知函数（且）的图象恒过定点，若幂函数的图象也经过点，则实数t的值为________.【答案】【解析】【分析】根据对数的图像，结合平移的知识，可得点坐标，然后代值计算，可得结果.【详解】函数过定点函数是由经过向右移动1个单位，向上移动单位得到故过定点又的图象经过点所以即故答案为：【点睛】本题重在考查对数型函数过定点问题，掌握对数函数的性质，并且熟练图像的平移，属基础题.15.在直角坐标系中，已知,,若是直角三角形，则实数t的值为________.【答案】1或5【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，可得结果.【详解】由是直角三角形当时，则所以当时，所以即则无解当时，所以即故值为1或5故答案为：1或5【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属基础题.16.已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用数形结合，根据对数函数的概念，可得，然后根据的值域，可得结果.【详解】，根据题意：由的值域是，如图：当时，由可知当时，由所以综上所述：故答案为：【点睛】本题重在于考查分段函数的值域，掌握各段函数的特点，熟练掌握数形结合的思想，属中档题.三、解答题.（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17.已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据交集的概念可知2是的元素，可得，并进行验证，可得结果.（2）根据并集概念，可得之间关系，计算出的元素，可得结果.【详解】（1），经验证不合题意所以（2）中的两根为a，【点睛】本题重在于考查集合交集和并集的概念，属基础题.18.已知点是函数的图象上的一个最高点，且图象上相邻两条对称轴的距离为.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的性质，可以得出的表达式，然后结合整体法，可得结果.（2）根据（1）的条件，使用整体法，可得结果.【详解】（1）由题可知：，所以，则又所以则，又所以令，，所以令，所以函数的单调递减区间为（2），在值域为函数在的值域为【点睛】本题重在考查正弦型函数的性质，对这种问题要结合相对应的正弦函数的性质，掌握整体法，属中档题.19.在四边形中，，，，.（1）用，表示向量；（2）若点为线段的中点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）采用数形结合，根据三角形法则，可得结果.（2）将分别用，表示，结合数量积公式，可得结果.【详解】（1）根据题意，如图：方法一：所以 ,又所以方法二：，又所以即（2）由点为线段的中点所以.化简可得,又，，所以所以【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，熟练应用向量的加法和减法，属基础题.20.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中为患病人数，为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.（1）求a，b，c，p，q，r的值；（2）你认为谁选择的模型好.【答案】（1），，，，，；（2）乙选择的模型好【解析】【分析】（1）根据带值计算，可得结果.（2）根据（1）的条件，代值计算比较，可得结果.【详解】（1）根据题意：；，，；，，；（2）甲模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54，54，52；乙模型预测4月，5月，6月份的患病人数分别为54.7，56.4，57.6实际4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58.所以乙选择的模型好【点睛】本题主要考查函数的代值计算，属基础题.21.若是奇函数.（1）求的值；（2）若对任意都有，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数，可知的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1），因为是奇函数.所以，得；经检验满足题意（2）根据（1）可知化简可得所以可知当时，所以对任意都有所以，即【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.22.设函数定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的ℱ区间.（Ⅰ）判断是否是函数的ℱ区间;（Ⅱ）若是函数（其中）的ℱ区间，求的取值范围;（Ⅲ）设为正实数，若是函数的ℱ区间，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据新定义，即可求出判断，Ⅱ根据新定义和对数函数的性质，即可求出a的取值范围，Ⅲ根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围【详解】（Ⅰ）不是函数的ℱ区间，理由如下：因为对，，所以.所以均有，即不存在，，使得.所以不是函数的ℱ区间（Ⅱ）由是函数（其中）的ℱ区间，可知存在，，使得.所以.因为所以，即.又因为且，所以.（Ⅲ）因为是函数的ℱ区间，所以存在，，使得.所以所以存在，使得不妨设. 又因为，所以.所以.即在区间内存在两个不同的偶数.①当时，区间长度，所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.②当时，有，所以.（i）当时，有即.所以也符合题意.（ii）当时，有即.所以符合题意.（iii）当时，有即此式无解.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了抽象函数问题，以及指数函数、对数函数，余弦函数的性质，考查了运算求解能力，转化与化归思想，属于难题。
〖精选4套试卷〗江西省南昌市2020年高一(上)数学期末调研模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．直线31y x =+的倾斜角为（） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=o ，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ，Q 为PC 的中点，则下列结论错误．．的是（ ）A ．AD PB ⊥B ．PQ DB ⊥C ．平面PBC ⊥平面PBDD ．三棱锥D PBQ -的体积为143．平面直角坐标系xOy 中，角的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O 点逆时针旋转后与单位园交于点B ，则B 的横坐标为（ ） A.B.C.D.4．已知二次函数()f x 的二次项系数为正数，且对任意x R ∈，都有()()4f x f x =-成立，若()()221212f x f x x -<+-，则实数x 的取值范围是( )A.()2,? +∞B.()(),20,2-∞-⋃C.()2,0-D.()(),20,-∞-⋃+∞5．已知函数()1221xx f x x -=⋅+，[]2018,2018x ∈-的值城是[],m n ，则()(f m n += )A ．20182B ．2120182018-C ．2D ．06．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,BC CD 的中点，则异面直线AF 和1D E 所成角的大小为（ ）A.30oB.45oC.60oD.90o7．若一个圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（ ） A ．1B．2C ．3D ． 28．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +⋅=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） A.201820182a =B.10092018323S =⋅- C.数列21{}n a -是等差数列 D.数列{}n a 是等比数列9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A.51296π-B.296C.51224π-D.51210．如图所示的程序框图中，输入2x =，则输出的结果是( )A.1B.2C.3D.411．已知非零单位向量,a b r r 满足a b a b +=-r r r r ，则a r 与b a -r r的夹角是( )A ．6πB ．3πC ．4πD ．34π12．为了得到函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin2y x =图象上所有的点（ ） A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 二、填空题13．已知定义在R 上的偶函数满足：，当时，，则_____．14．函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈,且在区间(2,2)-上sin ,022()1,202x x f x x x π⎧<<⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩,则((2019))f f 的值为_________.15．已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ．16．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin2n n n a a π++-=，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2019S =_________.三、解答题17．已知圆P 过点()()1,0,4,0A B .（1）点()5,2C ，直线l 经过点A 且平行于直线BC ，求直线l 的方程； （2）若圆心P 的纵坐标为2,求圆P 的方程.18．已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，,2,22AB BC AB BC PC ⊥===（1）求直线PA 与平面PBC 所成的角的大小； （2）求二面角B AP C --的正弦值.19．设函数f （x ）=6ln 2x x ++-（）的定义域为A ，集合B={x|2x＞1}． （1）求A ∪B ；（2）若集合{x|a ＜x ＜a+1}是A∩B 的子集，求a 的取值范围．20．如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长2的正方形，E ，F 分别为线段DD 1，BD 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABD 1；（2）AA 12EF 与BC 所成角的正弦值．21．足球，有“世界第一运动的美誉，是全球体育界最具影响力的单项体育运动之一．足球传球是足球运动技术之一，是比赛中组织进攻、组织战术配合和进行射门的主要手段．足球截球也是足球运动技术的一种，是将对方控制或传出的球占为己有，或破坏对方对球的控制的技术，是比赛中由守转攻的主要手段．这两种运动技术都需要球运动员的正确判断和选择．现有甲、乙两队进行足球友谊赛，A 、B 两名运动员是甲队队员，C 是乙队队员，B 在A 的正西方向，A 和B 相距20m ，C 在A 的正北方向，A 和C 相距3．现A 沿北偏西60°方向水平传球，球速为3m/s ，同时B 沿北偏西30°方向以10m/s 的速度前往接球，C 同时也以10m/s 的速度前去截球．假设球与B 、C 都在同一平面运动，且均保持匀速直线运动．（1）若C 沿南偏西60°方向前去截球，试判断B 能否接到球？请说明理由． （2）若C 改变（1）的方向前去截球，试判断C 能否球成功？请说明理由． 22．设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31x y =+的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值范围;（Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值范围.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B B C D D C B C B DC二、填空题 13． 14．2 15． 16．1010 三、解答题17．（1）220x y --=；（2）22525(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 18．（1）30o ；（2）63. 19．（1）[-6，+∞）； （2）[0，1]. 20．（1）证明过程详略（2）15521．（1）能接到；（2）不能接到22．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 1(,1)(1,2)2a ∈U （Ⅲ）{2}[3,)+∞U2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．平面α过正方体ABCD －的顶点A ，α∥平面，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.B. C. D.2．在圆22x y 2x 6y 0+--=内，过点()E 0,1的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．52B ．102C ．152D ．2023．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．7D ．94．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B ACD --的大小为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°5．已知集合 ，则 A ．B ．C ．D ．6．设函数π()sin()cos()0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=>< ⎪⎝⎭+++的最小正周期为π，且()()f x f x =-则（ ）．A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭单调递减7．直线l 绕它与x 轴的交点顺时针旋转3π，得到直线330x y +-=，则直线l 的方程是（ ） A.310x y --= B.330x y --= C.310x y +-= D.310x y --=8．函数f （x ）=2122x xcosx ---的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知{}{}2,|sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则=P Q ⋂（ ） A ．∅B ．{}0C ．{}1,0-D ．{}2-10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π11．若将函数cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z x ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈ 12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ） A ．48里 B ．24里 C ．12里 D ．6里二、填空题13．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.15．过点P(-1,3)，且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为______16．如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为a ，乙加工零件个数的平均数为b ，则a b +=______.三、解答题17．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.18．已知函数()1333x x bf x +-+=+是奇函数．()1求实数b 的值；()2若对任意的[]1,2t ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．19．已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13. （1）求圆的标准方程；（2）若点，点是圆上一点，点是的重心，求点的轨迹方程；（3）设过点的直线与圆交于不同的两点，，以，为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.20．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，13,5AC CD ==，92AD =.（1）求cos C 的值； （2）若cos 45B =,求ABC ∆的面积. 21．如图,在△ABC 中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A 为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ 为圆A 的一条直径.(1)请用,AP AB u u u r u u u r表示BP u u u r,用,AP AC u u u r u u u r 表示CQ uuu r;(2)记∠BAP=θ,求·BP CQ u u u r u u u r的最大值.22．如图，在三棱锥中，分别是的中点，且.（1）证明：； （2）证明：平面平面.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D D D C B A C B CC13．1 14．6米15．203x y y x +-==-或 16．5 三、解答题17．(1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) 12；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由略 18．（1）1b =；（2）(),1-∞． 19．（1）；（2）；（3）略 20．（1）1665（2）126 21．（1）BP AP AB CQ AP AC =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，；（2）22.22．（Ⅰ）详略（Ⅱ）详略2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．若0a >，且1a ≠，则“12a =”是“函数()a f x log x x =-有零点”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．已知002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．2B ．0C ．-2D ．-43．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.16B.20C.24D.284．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．12-C ．1或12-D ．112-或5．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m6．已知数列{}n a 满足：1(2)n a n n =+，则{}n a 的前10项和10S 为A ．1112B ．1124 C ．175132D ．1752647．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A ．B ．C ．D ．8．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U9．已知0a >且1a ≠，函数()()()2360(0)x a x a x f x a x ⎧-+-≤=⎨>⎩，满足对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.()2,3B.(]2,3C.72,3⎛⎫⎪⎝⎭ D.72,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10．将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移3π个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（ ）A ．sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11．为了得到函数y=sin 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C ．向上平行移动个单位长度D ．向下平行移动个单位长度12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30二、填空题13．当曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________．14．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数()22g x x x m =-+如果对[]12,2x ∀∈-，[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x <，则实数m 的取值范围为______．15．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长是底面圆半径的______倍 16．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，则ω＝________. 三、解答题17．已知不等式()210x a x a -++≤的解集为A .(Ⅰ)若2a =，求集合A ；(Ⅱ)若集合A 是集合{}41x x -≤≤的子集，求实数a 的取值范围. 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角()62ππαα<<的顶点是坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点11(,)A x y ，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π，交单位圆O 于点22(,)B x y（1）若135x =，求2x 的值； （2）分别过,A B 向x 轴作垂线，垂足分别为,C D ，记△AOC ，△BOD 的面积分别为12,S S .若122S S =，求角α的大小.19．在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼20-以其优秀的机动能力，强大的作战性能引起举世惊叹.假设一台歼20-战斗机的制造费用为1250百万元.已知飞机的维修费用第一年为1百万元，之后每年比上一年增加1百万元，若用x 表示飞机使用年限(取整数)，则在x 年中(含第x 年)飞机维修费用总和为()x 1x 2+百万元，记飞机在x 年中维修和制造费用的年平均费用为y 百万元，即y (=飞机制造费用+飞机维修费用)÷飞机使用年限．(Ⅰ)求y 关于x 的函数关系式；(Ⅱ)求飞机的使用年限为多少时，年平均费用最低？最低的年平均费用为多少？20．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．21．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆的面积为3，求b ，c . 22．数列{}n a 中，11a =，，.（1）证明：数列{}n b 是等比数列. （2）若，，且，求m n +的值. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B C D D C A D A AC13．53,124⎛⎤⎥⎝⎦ 14．5m >- 15．3 16．34三、解答题17．(Ⅰ) {}12A x x =≤≤ (Ⅱ) []4,1a ∈- 18．（1）343-；（2）4π 19．（Ⅰ）()*1250x 1y x N x 22=++∈； （Ⅱ）使用年限为50年时，年平均费用最低，最低的年平均费用为50.5百万元.20．（1）（2） 21．(1)3A π=(2)=222．（1）见解析（2）9或35或1332019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．点(2,3),(3,2),A B -直线20ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是( ) A.4132a -≤≤ B.12a ≥或43a ≤- C.1423a -≤≤ D.43a ≥或12a ≤- 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若395,81a S ==，则7a =（ ） A ．18 B ．13C ．9D ．73．过点P （0，2）作直线x+my ﹣4＝0的垂线，垂足为Q ，则Q 到直线x+2y ﹣14＝0的距离最小值为（ ） A ．0B ．2C ．5D ．254．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A.15B.25C.40D.605．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角形有两解的为( ) A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝116．在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，2AB =，7AC =，O e 是ABC ∆的外接圆，其中O 是圆心，则AD AO ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．32B ．32-C ．114D ．与外接圆半径有关7．在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，23BC =14BB =，则长方体外接球的表面积为（ ） A.2563π B.643π C.64π D.32π8．将()y f x =的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移4π个单位，所得图象恰与sin()3y x π=+重合，则()f x =（ ） A ．7sin(2)12x π+B ．7sin()212x π+C ．sin(2)12x π+D ．sin()212x π+9．在△ABC 中，若A ＝4π，cosB ＝1010，则sinC 等于( )A ．255B ．－255C ．55D ．－5510．下列函数中，最小值为4的是( ) A.y ＝x ＋4xB.y ＝sinx ＋4sin x(0<x<π) C.y ＝e x ＋4e －xD.y ＝22211x x +++11．已知()f x 是奇函数，且0x < 时，()cos sin 2f x x x =+ ，则当0x > 时，()f x 的表达式是（ ） A.cos sin 2x x +B.cos sin 2x x -+C.cos sin 2x x -D.cos sin 2x x --12．若0,0x y >>，且281x y+=，则xy 有（ ） A.最大值64 B.最小值164C.最小值64D.最小值12二、填空题13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是CD 边上靠近D 的三等分点．若3,2AB BC ==， 2AE BF ⋅=-u u u r u u u r，则AC u u u r __________．14．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________． 15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 满足()()2f x f x +=-，()12f =，则()()20192020f f +=________.16．函数()sin 2y A x πωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭部分图象如图，则函数解析式为y =______.三、解答题17．已知(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r．（1）求()f x 的对称轴方程；（2）求使()1f x ≥成立的x 的取值集合.18．近年来，国产手机因为其炫酷的外观和强大的功能，深受国人喜爱，多次登顶智能手机销售榜首.为了调查本市市民对某款国产手机的满意程度，专卖店的经理策划了一次问卷调查，让顾客对手机的“外观”和“性能”打分，其相关得分情况统计如茎叶图所示，且经理将该款手机上市五个月以来在本市的销量按月份统计如下：月份代码t 1 2 3 45 销售量y （千克）5.65.766.26.5（1）记“外观”得分的平均数以及方差分别为1x ，21s ，“性能”得分的平均数以及方差分别2x ， 22s .若12x x =，求茎叶图中字母m 表示的数；并计算21s 与22s ；（2）根据上表中数据，建立关于的线性回归方程，并预测第6个月该款手机在本市的销售量.附：对于一组数据（,i i t y ）1,2,,i n =L 其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni i i n ii t t y y b t t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt =- 参考数据：()()()552112.3;10.i i i i i t t y y t t ==--=-=∑∑ 19．函数()()2sin 00φ2f x x πωϕω⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，的部分图像如图所示，M 为最高点，该图像与y 轴交于点()F 02，，与x 轴交于点B C 、，且MBC n 的面积为2π．(1)求函数()f x 的解析式； (2)将函数()y f x =的图像向右平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在[]0πx ∈，上的单调递增区间。
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江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列角与α=36°终边相同的角为( )A. 324°B. −324°C. 336°D. −336°2. 如果a ⃗ 与b ⃗ 是一组基底，则下列不能作为基底的是( )A. a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗B. a ⃗ +2b ⃗ 与2a ⃗ +b ⃗C. a ⃗ +b ⃗ 与−a ⃗ −b ⃗D. a ⃗ 与−b ⃗3. 化简sin 235°−12cos10°⋅cos80°的结果为( )A. −2B. −12C. −1D. 14. 已知向量e ⃗ 为单位向量，a ⃗ =(√2,−1)，e⃗ 与a ⃗ 的夹角为150∘，则a ⃗ ⋅e ⃗ =( ) A. √32 B. −√32C. 32D. −325. 若sin α+cos αsin α−cos α=12，则tan 2α等于( )A. −34B. 34C. −43D. 436. 若向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数k =( )A. −1B. 1C. 4D. 07. 函数f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)与函数y =g(x)的图像关于点(π3,0)对称，且g(x)=f (x −π3)，则ω的最小值等于A. 1B. 2C. 3D. 48. 在边长为4的菱形ABCD 中∠BAD =120°，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. 2√3B. −2√3C. −2D. 29. 已知sin(α+π3)=13，则sin(2α−5π6)的值是( )A. −13B. 13C. −79D. 7910. 在ΔABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 23a ⃗ +13b ⃗ B. 13a ⃗ +23b ⃗ C. 13a ⃗ −23b ⃗ D. 23a ⃗ −13b ⃗ 11. 已知tanα，tanβ是方程6x 2−5x +1=0的两个实数根，若α，β∈(0,π)，则α+β=( )A. π4B. 3π4C. 5π4D. π4或5π412. 函数的一个对称中心是( )A. (π3,0)B. (π6,0)C. (−π6,0)D. (−π12,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为______ ．14. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A(0,0)，B(1,1)，C(2,−1)，则点D的坐标为______ ．15. 已知P 是△ABC 内的一点，且满足PA⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，记△ABP 、△BCP 、△ACP 的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1：S 2：S 3= ______ ．16. 已知向量a ⃗ =(sinx,1)，b ⃗ =(t,x)，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ 在区间[0,π2]上是增函数，则实数t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 求与向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,1)夹角相等的单位向量c⃗ 的坐标． 18. 已知．(1)求的值；(2)求的值．19. 已知函数f(x)=2cosxcos(x +π3)．(Ⅰ)求f(π12)的值； (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．20. 如下图，E,F 分别是RtΔABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB =3,AC =6，求AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．21.平面向量a⃗，b⃗ 满足|2a⃗−b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的取值范围______ ．22.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤2,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象经过点,0)对称，求f(x)的解析式．(0,2)，又f(x)的图象关于点(3π4-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查终边相同角的表示，属于基础题．直接利用终边相同角的表示方法求解即可．解：与36°角终边相同的角为36°+k×360°，k∈Z，令k=−1，可得−324°．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查平面向量的基本定理及其应用，平面向量共线的充要条件，属于基础题．根据两个不共线的向量可以作为一组基底即可得结论．【解答】解：由题意知，a⃗与b⃗ 不共线，根据平行四边形法则可知a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ ，a⃗+2b⃗ 与2a⃗+b⃗ ，a⃗与−b⃗ 中的两个向量均不共线，都可以作为基底，而−a⃗−b⃗ =−(a⃗+b⃗ )，两者共线，不能作为基底．3.答案：C解析：解：sin235°−1 2cos10°⋅cos80°=2sin235°−12cos10∘⋅sin10∘=−cos70°cos70∘=−1故选：C．利用二倍角公式，化简可得结论．本题考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：本题主要考查向量的数量积，单位向量，以及向量的模，属于简单题．先求出|a⃗|，然后根据向量的数量积公式计算可得答案．解：∵向量e ⃗ 为单位向量，a ⃗ =(√2,−1)，e ⃗ 和a ⃗ 的夹角为150∘， ∴|a ⃗ |=√3，∴a ⃗ ⋅e ⃗ =|a ⃗ |⋅|e ⃗ |cos150°=√3×1×(−√32)=−32，故选D ．5.答案：B解析：本题主要考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题.由题可得tanα=3，由tan2α=2tanα1−tan 2α可得tan2α的值．解：由题意得，，解得tanα=−3， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=34． 故选B ．6.答案：B解析：解：∵向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−2+2k =0， 解得实数k =1． 故选：B ．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.答案：D解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，利用两角和与差公式化简，结合三角函数的性质求出ω的值． 解：，则，因为函数f(x)与函数y =g(x)的图像关于点(π3,0)对称， 所以，所以即ω=6k −2,k ∈Z ，因为ω>0，所以当k =1时，ω取得最小值4． 故选D ．8.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积的运算及应用，属于容易题． 根据AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，代入求出即可． 解：∵在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD =120°， ∴∠B =60°，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×4×cos120°=−8， ∴则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为：AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB |=−84=−2，故选：C ．9.答案：D解析：解：∵sin(α+π3)=13，∴sin(2α−5π6)=sin[2(α+π3)−3π2]=sin[2(α+π3)+π2]=cos2(α+π3)=1−2sin 2(α+π3)=1−2×(13)2=79， 故选：D ．利用诱导公式、二倍角公式求得sin(2α−5π6)=sin[2(α+π3)−3π2]的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10.答案：A解析：本题主要考查平面向量的基本运算法则，属于基础题． 解：由向量的运算法则可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +13b ⃗ ． 故选A ．11.答案：A解析：【分析】本题主要考查一元二次方程跟与系数的关系，正切的两角和差公式，属于基础题． 根据所给条件求出tanα+tanβ=56，tanαtanβ=16，再由两角和差公式计算，根据计算结果再分析α,β的取值范围即可求解．解：由根与系数之间的关系可得tanα+tanβ=56，tanαtanβ=16， 所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1， 又tanα+tanβ>0，tanαtanβ>0， 所以tanα>0，tanβ>0，又α，β∈(0,π)， 所以α，β∈(0,π2)，故α+β∈(0,π)， 所以α+β=π4． 故选A ．12.答案：D解析： 把函数化为形式，结合正弦函数的对称性求解． 对函数，由，，即对称中心为，由，，即对称轴为【详解】由题意f(x)=12cos2x +√32sin2x =sin(2x +π6)，由2x +π6=kπ得，因此是一个零点，(−π12,0)是一个对称中心．故选D ．13.答案：−12解析：解：cos43°cos77°+sin43°cos167° =cos43°cos77°−sin43°sin77° =cos120° =−12． 故答案为：−12先根据三角函数的诱导公式将cos167°化为−sin77°，再根据两角和的余弦公式可得答案． 本题主要考查三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式．属基础题．14.答案：(1,−2)解析：解：平行四边形ABCD 的三个顶点为A(0,0)，B(1,1)，C(2,−1)， 设点D 的坐标为(x,y)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即(1,1)=(2−x,−1−y)， ∴{2−x =1−1−y =1， 解得{x =1y =−2；∴点D 的坐标为(1,−2)． 故答案为：(1,−2)．根据平行四边形ABCD 中AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用坐标相等列出方程组，即可求出点D 的坐标． 本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题．15.答案：5：1：3解析：解：记△ABC 的面积为S ， ∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴−18PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =38PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +58PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则D 在BC 上，且BD ：CD =5：3， 故PD ：AD =1：9，即以BC 为底时，△BCP 的高是△ABC 的19， ∴S 2=19S ，同理：S 1=59S ，S 3=13S ， ∴S 1：S 2：S 3=5：1：3， 故答案为：5：1：3记△ABC 的面积为S ，由已知可得S 1=59S ，S 2=19S ，S 3=13S ，从而求得S 1：S 2：S 3的值． 本题考查共线向量的意义，两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比，体现了数形结合的数学思想．16.答案：[−1,+∞)解析：解：∵a ⃗ =(sinx,1)，b ⃗ =(t,x)， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =sinx ⋅t +1⋅x =tsinx +x ，由此可得f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =tsinx +x ，在区间[0,π2]上是增函数， ∴f′(x)≥0区间[0,π2]上恒成立，∵对函数f(x)求导数，得f′(x)=tcosx +1， ∴不等式tcosx +1≥0区间[0,π2]上恒成立， 结合在区间[0,π2]上0≤cosx ≤1，可得t ≥−1 即实数t 的取值范围是：[−1,+∞) 故答案为：[−1,+∞)根据平面向量的数量积运算，可得f(x)=tsinx +x 在区间[0,π2]上是增函数．由导数与函数单调性的关系，得不等式 f′(x)≥0即tcosx +1≥0区间[0,π2]上恒成立，结合此时cos x 的值域即可得到实数t 的取值范围． 本题以向量数量积运算为载体，求函数恒成立时实数t 的取值范围，着重考查了运用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等知识，属于中档题．17.答案：解：设c ⃗ =(x,y)，则cos <a ⃗ ,c ⃗ >=cos <b ⃗ ,c ⃗ >(2分)∴{x +2y =2x +y x 2+y 2=1∴{x =√22y =√22或{x =−√22y =−√22(8分) ∴c ⃗ =(√22,√22)，c ⃗ =(−√22,−√22)(10分)解析：设c ⃗ =(x,y)，则cos <a ⃗ ,c ⃗ >=cos <b ⃗ ,c ⃗ >可得{x +2y =2x +y x 2+y 2=1，解方程可求 本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公式18.答案：解：(1)∵已知，又，， ．=−12×17−√32×4√37 ，且α∈(π2,π)，求得舍去)， 或，综上．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数公式，属于基础题．(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin(α−β)的值，再利用二倍角公式求得sin(2α−2β)的值；(2)利用两角和与差的三角函数公式求得cos2α=cos[(α+β)+(α−β)]的值，再利用二倍角公式求得cosα的值．19.答案：解：(Ⅰ)f(x)=2cosxcos(x +π3)=2cosx(12cosx −√32sinx) =cos 2x −√3cosxsinx =12cos2x −√32sin2x +12=sin(π6−2x)+12. ∴f(π12)=12．(Ⅱ)因为f(x)=−sin(2x −π6)+12，故只需求y =sin(2x −π6)的递减区间，所以当2kπ+π2≤2x −π6≤3π2+2kπ(k ∈Z)时f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为[kπ+π3,5π6+kπ],(k ∈Z ).解析：本题考查三角函数的化简及单调性．(Ⅰ)将x 的值代入，利用特殊角即可求值．(Ⅱ)利用两角和的正弦公式展开，再用辅助角公式化简化成y =Asin(ω+φ)，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f(x)的单调增区间．20.答案：10解析：以AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系.则有B (3,0)，C (0,6)，则E (2,2)，F (1,4)，，21.答案：[−19,1]解析：解：设两个向量的夹角为θ，因为|2a ⃗ −b ⃗ |=1，|a ⃗ −2b ⃗ |=1，所以4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=1，a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=1，所以a⃗2=b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ =5a⃗2−14所以5a⃗2−4a⃗2cosθ=1，所以a⃗2=15−4csoθ∈[19,1]，所以5a2−1∈[−49,4]，5a2−14∈[−19,1]，所以a⃗⋅b⃗ ∈[−19,1]；故答案为：[−19,1]．设两个向量的夹角为θ，将已知的等式两边平方，求出两个向量的模相等，将所求用夹角表示，通过三角函数的值域求出向量a⃗的模的平方的范围，进一步求数量积的范围．本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．22.答案：解：根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤2,0≤φ≤π)是R上的偶函数，故φ=π2．由于函数的图象过点(0,2)，可得Asinφ=Asinπ2=2，∴A=2，故函数y=2cosωx，再由f(x)的图象关于点(3π4,0)对称，可得ω⋅3π4=π2+kπ，k∈Z，可解得：ω=4k3+23，k∈Z，∵0<ω≤2，∴ω=23或2．∴f(x)=2sin(23x+π2)或f(x)=2sin(2x+π2).解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．。