第四章-多分辨率分析与正交小波变换
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波变换是一种数学函数，通常用于信号处理和图像压缩中。
它具有许多优点，如压缩性、局部性和适应性等。
多分辨率分析则是正交小波变换的一种应用，它可以将信号或图像分解成不同的频率成分，从而实现多尺度分析。
正交小波变换的研究从上世纪80年代开始，迄今为止已经取得了长足的进展。
从最早的基于Gabor函数的小波变换，到后来的Daubechies小波和其他各种小波基函数的研究，正交小波变换的应用范围不断扩大。
在实际应用中，正交小波变换可以帮助我们更好地理解信号和图像的频率特性。
在音频信号处理中，正交小波变换可以将音频信号分解成不同的频带，从而实现音频信号的压缩和去噪。
在图像处理中，正交小波变换可以将图像分解成不同的空间频率，从而实现图像的压缩和增强。
多分辨率分析是正交小波变换的一个重要应用领域。
它基于信号或图像的不同频率成分具有不同的分辨率，即不同的细节程度。
利用多分辨率分析，我们可以对信号或图像进行多尺度分析，从而更好地理解它们的结构和特征。
多分辨率分析通常包括两个步骤：分解和重构。
分解是指将信号或图像分解成不同的频率成分，而重构是指根据这些频率成分重建原始信号或图像。
分解和重构的过程通过一系列滤波器实现，这些滤波器通常被称为分析滤波器和合成滤波器。
多分辨率分析的一个重要应用是图像压缩。
通过将图像分解成不同的频率子带，我们可以根据不同子带的重要性进行有损或无损的压缩。
多分辨率分析还可以用于图像增强、图像分割和图像检索等领域。
正交小波基与多分辨分析
THANKS
正交小波基由尺度函数和小波函数生 成，通过平移和伸缩可以得到不同尺 度的小波基。
正交小波基的性质
正交性
正交小波基具有正交性，即不同 尺度、不同位置的小波基在内积 运算下为零，这使得小波分析具 有良好的稳定性和精度。
紧支集性
正交小波基具有紧支集性，即小 波基只在有限的区间内有非零值 ，这使得小波变换具有快速算法 。
正交小波基的应用
01
02
03
信号处理
正交小波基可以用于信号 的分解和重构，实现信号 的时频分析和滤波。
图像处理
正交小波基可以用于图像 的压缩、去噪和增强，提 高图像处理的效果和效率。
其他领域
正交小波基还可以应用于 数值分析、流体动力学等 领域，为相关问题提供有 效的数值计算方法。
02 多分辨分析
多分辨分析的定义
定义
多分辨分析是一种对函数空间进行分 解的方法，通过在不同尺度上逐步逼 近原始函数，实现对复杂信号的精细 描述。
尺度空间
逼近性质
在多分辨分析中，函数在不同尺度上 的逼近性质决定了其分解的精度和稳 定性。
多分辨分析将函数空间分解为一系列 嵌套的子空间，每个子空间对应不同 的尺度。
多分辨分析的性质
逼近和表示能力
正交小波基能够提供对信号的逼近和 表示，使得在多分辨分析中能够更好 地理解和处理信号。
多分辨分析与正交小波基的相互影响
多分辨分析对正交小波基的影响
多分辨分析的需求推动了正交小波基的发展，促进了其理论和应用研究的深入。
正交小波基对多分辨分析的影响
正交小波基的特性和性质决定了多分辨分析的特性和性质，为多分辨分析提供 了丰富的工具和手段。
正交小波基与多分辨分析的结合应用
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究正交小波变换是一种基于小波函数的信号分析方法，通过将信号分解成多个不同尺度和频率的小波系数，能够提供更好的时频分辨率和局部特征描述能力。
在实际应用中，使用不同的小波函数可以获得不同的分析效果，因此正交小波的多分辨分析研究是一个重要的课题。
多分辨分析是正交小波变换的基本概念之一，它描述了信号在不同尺度下的分布特征。
在正交小波变换中，信号可以通过级数展开的形式表示为不同尺度和频率的小波函数的线性组合。
多分辨分析通过对小波函数进行尺度和平移变换，将信号分解成不同维度的小波系数。
通过选择适当的小波基函数，可以在不同分辨率下对信号进行分析，从而提取信号的时频信息。
在正交小波的多分辨分析研究中，需要考虑的一个关键问题是小波基函数的选择。
小波基函数的选择直接影响到小波系数的精确度和特征提取能力。
目前常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些小波基函数具有不同的频域和尺度特性，可以在不同应用中选择合适的小波基函数。
另一个重要的研究方向是正交小波的多分辨分析算法的优化。
正交小波的多分辨分析算法包括离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）。
DWT是将信号分解成低频和高频部分，而CWT则是将信号连续地分解成不同尺度和频率的小波系数。
这些算法在计算效率和精度方面存在一定的差异。
目前的研究主要集中在改进DWT和CWT的计算效率，以满足实时信号处理和大规模数据分析的需求。
正交小波的多分辨分析在图像处理、语音识别、生物医学信号处理等领域具有广泛的应用。
在图像处理中，正交小波的多分辨分析可以实现图像的压缩、去噪和边缘检测等功能。
在语音识别中，正交小波的多分辨分析可以提取语音的时频特征，用于语音识别和语音合成。
在生物医学信号处理中，正交小波的多分辨分析可以用于心电图分析、脑电图分析等。
小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
其他领域
正交小波变换还广泛应用于金 融、医学、地球物理等领域的 数据分析和处理。
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都是小波分析中的重要概念，共同构成了小波 分析的基础。
多分辨分析为正交小波变换提供了理论框架，正交 小波变换是多分辨分析的具体实现。
正交小波变换可以看作是多分辨分析的一种特例， 其中尺度函数和小波函数都是正交的。
正交小波变换的应用场景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ01
02
03
04
信号处理
正交小波变换在信号处理中主 要用于信号去噪、压缩和特征 提取等。
图像处理
正交小波变换在图像处理中主 要用于图像压缩、去噪、增强 和特征提取等。
数据压缩
正交小波变换可用于数据压缩 领域，特别是对于非平稳信号 和图像数据的压缩，具有较好 的压缩效果和重建精度。
多分辨分析与正交小波变换的区别
02
01
03
多分辨分析主要关注的是函数在不同尺度上的表示， 而正交小波变换更注重在不同尺度上的细节信息。
正交小波变换具有更好的灵活性和适应性，可以针对 特定问题设计特定的小波函数和尺度函数。
正交小波变换在信号处理、图像处理等领域的应用更 为广泛，而多分辨分析更多用于理论分析。
正交小波变换的算法与实现
算法
正交小波变换的算法主要包括一维离散正交小波变换和二维离散正交小波变换。一维离散正交小波变换的算法包 括Mallat算法和CWT算法等，而二维离散正交小波变换的算法主要基于图像分块处理。
实现
正交小波变换的实现通常需要使用数字信号处理库或图像处理库，如Python的PyWavelets库或OpenCV库等。
小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
• 多分辨分析概述 • 正交小波变换原理 • 多分辨分析与正交小波变换的关系 • 正交小波变换的实现方法 • 正交小波变换的实例分析
01
多分辨分析概述
定义与特点
定义
多分辨分析是从小尺度到大尺度逼近 研究对象的一种分析方法，它能够同 时揭示研究对象在不同尺度上的特征 。
多分辨分析在信号处理中能够提 供更加准确和全面的信息，有助 于更好地理解和分析信号。
多分辨分析的历史与发展
1 2 3
历史回顾
多分辨分析的思想起源于20世纪80年代，随着 小波理论的不断发展，多分辨分析逐渐成为研究 热点。
当前研究
目前，多分辨分析在理论和应用方面都取得了重 要进展，广泛应用于图像处理、信号处理、数值 计算等领域。
模式识别
正交小波变换可以用于特征提取和 模式分类等任务。
03
02
图像处理
正交小波变换可以用于图像的压缩、 去噪、增强等处理。
数值分析
正交小波变换可以用于求解偏微分 方程、积分方程等数学问题。
04
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都基于多尺度分析思想
多分辨分析和小波变换都是从不同尺度上分析信号，能够捕捉到 信号在不同尺度上的特征。
优点
连续小波变换能够更好地适应信号的突变和非线性特性， 能够更准确地描述信号的局部特征。
缺点
连续小波变换的计算复杂度较高，需要更多的计算资源和 时间，同时对于非连续信号的处理也存在一定的困难。
基于滤波器的小波变换
01 02
定义
基于滤波器的小波变换是一种通过设计特定的滤波器来实现小波变换的 方法，通过滤波器对信号进行卷积操作，可以得到不同尺度上的小波系 数。
第四章 多分辨率分与正交小波变换
| H1() |2 | H1( ) |2 2
H
0
()H
1
(
)
H
0
(
)
H1
(
)
0
前两个式子是设计H0（ω）， H1（ω）的 主要依据，第三个式子给出了H0（ω）与
H1（ωH）1(之)间的e内 j在 H联0系(。 )
它在时域中的表达式为：h1k (1)k h0(1k)
(t
)
W0
,
则
(
t 2
)
W1，
且1k (t)
1 2
(
t 2
k
) kZ
W1中的任意函数f(t)均可以表示为 (t k ) kZ
的线性组合。
我们设D1f(t)代表f(t) 在W1上的投影，有
D1 f (t) dk(1)1k (t)
d
(1) k
为：
j
2 2
(2 j t
k ),
j, k
Z
比较二进小波的函数形式。
k
,n
(t)
2
k
2
(2k
t
n),
k
,
n
Z
4.2.3 尺度函数和小波函数的性质
Possion公式，其表现了正交归一性在频域 的表现：
1.设f(t-k),k∈Z是一组正交归一的函数集合：
f (t k1) f (t k2 )dt (k1 k2 ) k1k2
k
j
0
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究正交小波的多分辨分析是一个重要的研究领域，它涉及到信号处理、图像处理、数据压缩等多个领域。
在这里，我们将简要介绍正交小波的多分辨分析的相关知识。
一、正交小波的基本概念正交小波是一种基于小波变换的信号处理方法，其核心思想是通过对信号进行分解和重构，提取出信号的局部信息，从而实现信号的压缩和去噪等功能。
正交小波的基本概念包括小波函数、小波系数以及小波分解和重构等。
小波函数是描述小波形状和变换的数学函数，有多种形式，例如Haar小波、Daubechies小波、Symlets小波等。
小波系数指的是信号在小波基函数下的投影系数，通过小波变换可以将信号分解成多个子带，并得到每个子带的小波系数，各个子带之间的关系可以用小波滤波器组来描述。
正交小波的多分辨分析是指将信号分解成多个尺度，每个尺度对应一组小波系数，从而对信号的不同频率和尺度信息进行描述。
多分辨分析的基本思想是通过不同的低通滤波器和高通滤波器对信号进行分解，并得到多个分辨率的信号，从而提取出不同尺度的信号特征。
正交小波的多分辨分析是一种层次结构，从高到低依次是：原始信号、尺度为1的近似系数、尺度为2的近似系数、尺度为4的近似系数，等等。
每个层次都包含了一个近似系数和若干个细节系数，细节系数反映了信号在不同尺度上微小的变化。
三、正交小波的应用正交小波的应用非常广泛，包括信号压缩、图像处理、声音合成和分析、时频分析等多个领域。
其中，正交小波在图像处理中的应用较为广泛，可用于图像的去噪、增强、压缩等操作，以及图像的边缘检测、纹理分析等任务。
总之，正交小波的多分辨分析是一种强大的信号处理方法，具有高效性、可压缩性等特点，已经成为现代信号处理的重要工具。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种特殊的小波函数，其具有正交性质，能够用于信号的多分辨分析。
多分辨分析是一种信号处理方法，可以将信号进行不同尺度的分解和重构，从而获取信号的更多细节信息。
正交小波的多分辨分析研究，主要包括正交小波的构造和性质、多尺度分解与重构方法、正交小波的应用等方面。
正交小波的构造是正交小波多分辨分析研究的重要内容。
正交小波是通过特定的算法和公式来构造的，常见的正交小波有Haar小波、Daubechies小波、Coiflet小波等。
这些正交小波具有不同的性质和应用场景，可以根据具体需求选择合适的正交小波进行多分辨分析。
多尺度分解与重构方法是正交小波多分辨分析的核心内容。
多尺度分解是将信号分解成不同尺度的子信号，通过正交小波的低通滤波器和高通滤波器对信号进行滤波，得到低频子信号和高频子信号。
多尺度重构则是将这些子信号进行逆变换，得到重构的信号。
多尺度分解与重构方法可以通过迭代的方式，实现对信号的多层分解和重构，从而获得不同尺度的信号细节。
正交小波的应用广泛，包括信号压缩、图像处理、音频处理等领域。
正交小波多分辨分析可以提取信号的局部特征，减小信号的冗余，从而实现信号的压缩和存储。
在图像处理中，正交小波可以提取图像的边缘、纹理等特征，实现图像的去噪、增强等操作。
在音频处理中，正交小波可以提取音频的频谱特征，实现音乐合成、音频识别等应用。
正交小波的多分辨分析是一种强大的信号处理方法，具有广泛的应用前景。
随着研究的深入和发展，正交小波的构造和性质、多尺度分解与重构方法、正交小波的应用等方面将会得到更好的理论支持和实际应用。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种特殊的信号分析工具，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分，可
以应用于图像处理、数据压缩、模式识别等领域。
多分辨分析是正交小波的基本理论之一，是研究正交小波性质、特点及应用的重要方向。
多分辨分析是指在不同分辨率下对信号进行分解和重构的过程。
在小波分析中，信号
可以被分解成不同频率的成分，每个频率成分对应一个尺度。
多分辨分析的目的是通过不
同尺度的分析，得到信号的局部和整体特征，实现信号的多尺度分析。
在多分辨分析中，正交小波起到了重要的作用。
正交小波是一种特殊的小波函数集合，具有正交、紧支集和尺度层次性的特点。
通过正交小波的分解，可以将信号分解成多个不
同尺度和频率的成分，得到信号的各种特征信息。
正交小波的分解和重构过程可以通过滤
波器组来实现，不同的小波系数对应着不同频率成分的能量。
多分辨分析的研究内容主要包括正交小波基函数的选择、多分辨框架的构建和多尺度
分析方法的研究。
正交小波基函数的选择是多分辨分析的关键，不同的小波函数在信号分
解中具有不同的性能。
研究者通过对不同小波函数的分析比较，选择合适的正交小波基函数，以实现信号的有效分析和特征提取。
多尺度分析方法是指在不同尺度上对信号进行分析和重构的方法。
常用的多尺度分析
方法有小波变换、小波包变换等。
小波变换是正交小波多尺度分析的基本方法，通过正交
小波基函数的分解和重构，实现信号的多尺度分析。
小波包变换是小波变换的一种扩展方法，更加灵活和精细。
小波变换与多分辨率分析课件
有效地去除信号中的噪声。
02
小波变换在信号压缩中的应用
小波变换可以将信号分解为近似分量和细节分量，通过去除细节分量，
可以实现信号的压缩。
03
小波变换在信号恢复中的应用
小波变换可以捕捉到信号中的突变部分，通过逆变换，可以恢复出原始
信号。
多分辨率分析在图像处理中的实验演示
多分辨率分析在图像去噪中的应用
领域也有广泛的应用。
算法复杂度
小波变换的算法复杂度相对 较低，容易实现，而多分辨 率分析的算法复杂度较高， 实现相对困难。
小波变换与多分辨率分析的未来展望
01
应用领域拓展
02
算法优化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
结合其他技术
小波变换和多分辨率分析在信号处理、 图像处理、数据压缩等领域已经得到 广泛应用，未来随着技术的不断发展， 它们的应用领域将会更加广泛。
小波变换的应用
小波变换在图像处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、去噪、
01
重建等。
02
小波变换在音频处理中也得到了广泛应用，例如音频压缩、去
噪、特征提取等。
小波变换还被广泛应用于信号处理、数字水印、雷达信号处理
03
等领域。
02
多分辨率分析基
多分辨率分析的定 义
定义概述
多分辨率分析是信号处理中的一种重要技术，它通过在不同尺度上分析信号，能够同时获得信号的时间和频率信息。
定义背景
随着信号处理技术的发展，人们逐渐认识到仅通过傅里叶分析无法完全揭示信号的时频特性，因此需要一种更全面的 分析方法。
定义目的 多分辨率分析旨在提供一种框架，将信号分解成不同尺度的成分，以便更精细地描述信号的时频特性。
02-多分辨率信号分解理论：小波变换
一个多分辨率信号分解理论：小波表示摘要：多分辨率表示对于分析图像信号内容十分有效，我们研究了在一给定分辨率下逼近信号算子的性能。
显示出在分辨率12+j 和j 2下逼近信号的信息不同，通过在小波标准正交基2L 上分解这一信号可以将其提取。
小波标准正交基是一系列函数，它由扩大和转化唯一函数）（x ψ来构建。
这一分解定义了一个正交多尺度表示叫做小波表示。
它由金字塔算法来计算，其基于正交镜像滤波器的卷积。
对于图像，小波表示区分了几种空间定位。
我们研究这一表示在数据压缩，图像编码，结构辨别及分形分析上的应用。
关键词-编码，分形，多分辨率金字塔，正交镜像滤波器，结构辨别，小波变换 1. 引言在计算机视觉方面，很难由图像像素的灰度强度来直接分析一个图像的信息内容。
的确，这一数值依赖于照明条件。
更为重要的是图像强度的局部变化。
邻居的大小即对比计算处必须被采用于我们要分析的物体大小。
这一尺寸为测量图像局部变化定义了参考分辨率。
总的来说，我们想要识别的结构具有差异很大的尺寸。
因此，定义分析图像的优先或最优分辨率是不可能的。
一些研究人员发明了图像比对算法用来处理不同分辨率下的图像。
为这一目的，一种算法可以识别图像信息至一系列在不同分辨率下显现的细节。
给定一个提高分辨率的序列j r ，在分辨率j r 下的图像细节被定义为它的分辨率j r 下逼近与低分辨率1-j r 下逼近之间的信息差别。
多分辨率分解使得我们可以获得图像的尺度不变性演绎。
图像尺度随着场景与相机光学中心间的距离而变化。
当图像尺寸修改时，我们对于图像的演绎不应该变化。
多分辨率分解可以满足局部尺度不变性如果分辨率参量j r 的序列以指数形式变化。
我们假设存在分辨率一步R ∈α对于所有整数j ，j j r α=。
如果相机靠近场景时间为α，则每一物体被投影到一个2α的区域比相机焦平面更大。
即每一物体以α倍大的分辨率度量。
因此，新图片在分辨率j α下细节与先前在分辨率1+j α下图像细节相一致。
正交小波基与多分辨分析
具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
2021/4/22
5
正交小波
且对任意
f
(t
)
S 2
m
有
f
(t)
nZ
f
(2
m
n)
sin 2m
2m
(t
(t
2m n) 2m n)
记S
2m
在S 2m1
中的正交补为V2m
，则
V2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m或 2m1}
R
d j,k
f (t), j,k (t)
f (t)2 j/2 (2 j t k)dt
§4 正交小波基与多分辨分析
正交小波 多分辨分析 小波函数和小波空间 信号空间L2(R)的分解 双尺度方程 标准正交小波基的构造 滤波器系数h(k)和g(k)的性质 Mallat快速算法 紧支集正交小波的性质
2021/4/22
1
正交小波
定义：
j
设有允许小波 (t)，记 j,k (t) 22 (2 j t k)，其中
2021/4/22
图4-1
13
双尺度方程
双尺度方程描述了两个相邻尺度空间V
j和V
j
1函数、相邻尺度空间V
j
1和W
的基函数
j
j1,k , j,k和 j,k之间的内在联系。
由于V0 V1，W0 V1，所以(t)， (t)也属于V1空间，可以用 1,k(t)来线性表示
小波变换的多分辨率分析原理与应用
小波变换的多分辨率分析原理与应用引言：小波变换是一种在信号处理和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将信号分解成不同频率的子信号，以实现对信号的多分辨率分析。
本文将介绍小波变换的原理和应用，并探讨其在信号处理和图像处理中的潜在价值。
一、小波变换的原理小波变换是一种基于窗函数的变换方法，它通过将信号与一组基函数进行卷积运算，得到信号在不同尺度和频率上的分解系数。
小波基函数是一种具有有限长度的波形，它可以在时间和频域上进行调整，以适应不同尺度和频率的信号特性。
小波变换的核心思想是多分辨率分析，即将信号分解成不同尺度的子信号。
通过对信号进行连续缩放和平移操作，小波变换可以捕捉到信号在不同频率上的细节信息。
与傅里叶变换相比，小波变换可以提供更好的时频局部化特性，能够更准确地描述信号的瞬时特征。
二、小波变换的应用1. 信号处理小波变换在信号处理中有广泛的应用。
通过对信号进行小波变换，可以实现信号的降噪、压缩和特征提取等操作。
由于小波基函数具有时频局部化的特性，它可以有效地消除信号中的噪声，并提取出信号的重要特征。
因此，在语音识别、图像处理和生物医学信号处理等领域，小波变换被广泛应用于信号的预处理和特征提取。
2. 图像处理小波变换在图像处理中也有重要的应用。
通过对图像进行小波变换，可以实现图像的去噪、边缘检测和纹理分析等操作。
由于小波基函数具有多尺度分析的能力，它可以捕捉到图像中不同尺度上的细节信息。
因此，在图像压缩、图像增强和图像分割等领域，小波变换被广泛应用于图像的处理和分析。
3. 数据压缩小波变换在数据压缩中有着重要的应用。
通过对信号或图像进行小波变换，可以将其表示为一组小波系数。
由于小波系数具有稀疏性，即大部分系数都接近于零，可以通过对系数进行适当的量化和编码，实现对信号或图像的高效压缩。
因此，在音频压缩、图像压缩和视频压缩等领域，小波变换被广泛应用于数据的压缩和传输。
结论：小波变换是一种强大的信号处理和图像处理工具，它通过多分辨率分析实现对信号的精确描述和处理。
小波变换与多分辨率分析
j,k
x
范围变窄，x有较小
➢随j增加 V j 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数
包含在子空间中。
哈尔尺度函数
考虑单位高度、单位宽度的 尺度函数：
x
1 0
0 x 1 其它
V0展开函数都属于V1， V0是V1的一个子空间。
5.2 多分辨率展开
多分辨率分析是指满足下列性质的一系列子空间{Vj}, j Z
与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部 变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化， 最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应 时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。
5.1 背景
为什么需要多分辨率分析？ 如果物体的尺寸很小或对比度不高 高分辨率 如果物体尺寸很大获对比度很强 低分辨率 通常物体尺寸有大有小，或对比有强有弱同时存在
j
的展开函数的加权和。
1
j,k x an j1,n x
n
其中 j1,n x 2 j1/2 2 j1 x n
an改写成h (n)
j,k x h n 2 j1/2 2 j1 x n
n
j，k置0
x h n 22x n
给定一个基本函数 (x) ,则 (x) 的伸缩和平移公式 可记为：
a,b (x) (ax b)
5.2 多分辨率展开
函数的伸缩和平移
例：给定函数
(
x)
sin(x)
0
0 ≤ x 2
其它
则2, (x)的波形如下图所示
函数的伸缩和平移
5.2 多分辨率展开
序列展开
信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开 函数的线性组合。
1.一致单调性： V0 V1 V2
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究正交小波的多分辨分析是一种信号处理技术，它可以将信号分解成多个不同频率的子信号，并对每个子信号进行独立的分析和处理。
正交小波变换是现代信号处理的重要工具，在图像处理、音频压缩、数据压缩等领域有广泛的应用。
在多尺度分析中，常用的方法是通过卷积运算来实现。
卷积运算可以将信号与一个特定的函数进行相乘，从而实现对信号的模糊处理。
通过改变卷积函数的尺度，可以得到不同尺度的模糊信号。
多尺度分析的关键是选择合适的卷积函数，常用的选择包括高斯函数、哈尔函数等。
小波变换是在多尺度分析的基础上进行的，它将信号分解为不同频率的子信号。
小波变换的核心是选择合适的小波函数。
常用的小波函数有哈尔小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
小波函数具有良好的局部性质，可以在时域和频域上同时表达信号的时频特性。
在实际应用中，正交小波的多分辨分析可以用于信号去噪、图像压缩、边缘检测等领域。
在信号去噪方面，正交小波变换可以将信号分解为不同尺度的子信号，并对每个子信号进行去噪处理。
在图像压缩方面，正交小波变换可以将图像分解为不同频率的子图像，并对每个子图像进行压缩处理。
在边缘检测方面，正交小波变换可以提取图像中的边缘信息，并进行分析和处理。
正交小波的多分辨分析是一种有效的信号处理技术，具有良好的时频局部性和多分辨特性。
它在许多领域的应用已经得到了广泛的认可和应用。
正交小波的多分辨分析也存在一些问题，如计算复杂性较高、选取合适的小波函数等。
未来的研究可以进一步改进正交小波的多分辨分析算法，使其更适用于实际应用。
小波变换和多分辨率概念
每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。
而该小波的basis 函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。
缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。
还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。
小波展开的近似形式是这样：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。
和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。
我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。
但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。
首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。
那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。
但是，母小波并非唯一的原始基。
在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。
它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。
可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。
其中是母小波，是父小波。
需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。
但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。
引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。
说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？wavelet function背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。
第四章 多分辨率分析与正交小波变换1
第四章 多分辨率分析与正交小波变换据第三章，构造正交基的一般方法为，在离散框架的基础上，取1,20=∆=τa 则()n t t m mn m -=--22)(2,ψψ； Z n m ∈, （4.1）问题：（1） 按上式离散得到的系列n m ,ψ能否构成一个正交基？ （2） 如何构造这样的母函数)(t ψ？ 解决方法：多分辨率分析4.1 几种正交小波基（1）Haar 小波数学家A.Haar 于1910年提出的Haar 系()),(22)(2,Z n m n t h t h m m n m ∈-=--是由母函数生成的。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=其它12112/101)(x x t h （4.2）特点：同一尺度m 上，函数集合Z n n m t h ∈)}({,中任意两个函数的支集不相交；同一尺度上的基函数相互正交；不同尺度间的基函数正交；n m h ,构成了)(2R L 空间上的完备标准正交基； Haar 系的函数时域不连续，光滑性差； 频域随ω的衰减速度仅为ω1，频域局部性差。
实际应用受限制，但结构简单，常用于理论研究。
（2）Littlewood-Paley 小波)sin 2(sin 1)(t t tt πππψ-= （4.3）其傅里叶变换为⎩⎨⎧≤≤=ψ，其他02,1)(πωπω （4.4）将式（4.3）的)(t ψ按照式（4.1）进行平移和伸缩得到的Z n n m t ∈)}({,ψ是)(2R L 空间上的完备正交基，称之为Littlewood-Paley 正交小波基。
特点：时域衰减速度仅为t1，局部性差； 频域局部性好；实际应用也受到限制。
（3）Meyer 小波Meyer 小波的小波函数ψ和尺度函数φ都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∉≤≤-≤≤-=ψ--]3π8,3π2[,03π83π4)),1π23(2πcos(e π)2(3π43π2)),1π23(2πsin(e π)2()(2/2/12/2/1ωωωνωωνωωωj j （4.5）其中，)(x v (Meyer 小波的辅助函数)为一任意连续可导函数，且满足⎩⎨⎧≤≥=0011)(x x x v ，， 1)1()(=-+x v x v (4.6) 若取)(x v 一阶连续可导：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<≤=11102sin 00)(2x x xx x v π （4.7）则)(x v 与)(ωψ的波形如图4.3所示。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种在信号处理和数据压缩领域中广泛应用的数学工具。
多分辨分析是利
用正交小波的特性，将信号分解成不同频率的子信号的过程。
本文将介绍正交小波的概念、多分辨分析的原理以及相关的研究进展。
正交小波是一组具有正交性质的函数，可以用于将信号进行分解和重构。
正交小波的
定义要求每个波形函数在[-∞, +∞]范围内的积分等于0，并且每个波形函数与其他波形
函数的积分等于0。
这样的性质使得正交小波能够对信号进行有效的分解和重构。
多分辨分析是一种利用正交小波进行信号分解的方法。
该方法通过将信号从高频到低
频分解成不同频率的子信号，从而提供了多尺度的信号分析能力。
在每个尺度上，信号的
细节部分和近似部分可以被提取出来。
这种分解过程可以重复多次，从而实现更高分辨率
的频域分析。
在多分辨分析中，常用的正交小波包括哈尔小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些正交小波具有不同的性质，适用于不同类型的信号。
近年来，多分辨分析在信号处理、图像处理和数据压缩等领域得到了广泛的应用。
它
可以用于信号降噪、图像压缩、特征提取等任务。
研究者们致力于开发新的正交小波函数，研究多分辨分析的理论和算法，并探索其在各个领域的应用。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种数学分析工具，广泛应用于信号处理、图像压缩、模式识别等领域。
它的研究主要包括小波函数的构造、多分辨分析以及应用方向。
小波函数的构造是正交小波研究的基础和核心。
小波函数是在时域和频域上具有一定
特点的函数，能够将信号在不同时间和频率上进行分解和重构。
目前常用的小波函数有Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
研究者通过选择不同的小波函数，可以得
到适合不同应用领域的正交小波。
多分辨分析是指将信号分解为不同频率的组成部分，并对不同频率的分量进行不同程
度的细节描述。
正交小波的多分辨分析利用小波函数的特点，在不同尺度的分辨率上进行
信号的分解与重构。
通过多尺度分解，可以获得信号在不同频率上的能量分布，从而更好
地理解信号的特征。
多分辨分析的核心是建立一种层次结构，用于描述信号的不同频率分量。
研究者通过小波变换、小波包分解等方法，可以得到不同层次的频率分量和信号的近
似部分，进而实现信号的分析和处理。
正交小波的多分辨分析在信号处理领域有广泛的应用。
它可以应用于信号的去噪、压缩、特征提取等方面。
在信号去噪中，正交小波多分辨分析可以提取信号的主要频率分量，并去除噪声对信号的干扰。
在图像压缩中，正交小波多分辨分析可以将图像的不同频率分
量进行编码和压缩，从而实现图像的高效存储和传输。
在模式识别中，正交小波多分辨分
析可以提取图像的纹理特征，用于图像分类和目标检测。
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本章主要内容 ➢多分辨率分析 ➢尺度函数和小波函数 ➢二尺度方程及多分辨率滤波器组 ➢二进正交小波变换的Mallat算法
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
4.1 多分辨率分析
➢ 定义：多分辨率分析（Multiresolution Analysis, MRA）是用小波函数的二进伸缩 和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂 的表现形式，它重点处理整个函数集，而 非侧重处理作为个体的函数。
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
补充：直和
➢ 设E是线性空间，L1，L2，…，Ln是E的子 空间，如果任一元素x∈E可以惟一表示成 x=x1+x2+…+xn,其中xk ∈ Lk(k=1,2,…,n),则 称E是L1，L2，…，Ln的直和，记为：
n
EL1 L2 Ln或 E Lk k1
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
➢ 基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj 表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波 空间。
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
性质
➢ 尺度空间Vj具有以下递归嵌套关系：
V 1 V 0 V 1
➢ 将Vj，Vj－1相关联的关键性质是：
若f(t)Vj,则f(2t)及所有 f(t的 k)、
➢ 所以1k(t)kZ必是V1中的正交归一基。
➢ 因 示此为V11中k(的t)任kZ 意的函线数性，组如合P。1f(即t)，据可以表
P1f(t)
x(1) k
1k(t)
k
➢ 权重为：x k ( 1 )P 1 ( t)1 ,k (t)f (t)1 ,k (t)
➢ 我们称P1f(t)为f(t)在V1处的平滑逼近，也就
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
➢ 在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把 平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级 逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通 平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐 级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这 就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼 近待分析函数f(t)。
Vj L2(R)
➢ 当j－>+∞，j2Vj－> 0，即空间最终剖分到空 集为止。
➢ 这种剖分方式使得空间Vj与空间Wj正交，各 个Wj之间也正交，即：
V j W j;W j W j',jj'
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
这种函数空间的部分有如下特性：
➢ （1）位移不变性：函数的时移不 改变其所属空间，即如果f(t)∈Vj， 则f(t-k)∈Vj。
则φ（t/2） ∈V1，而且，如果
是V 中(t) 0 0k kZ
的正交归(t),1k'(t)
1 ( t k) 1 ( t k')dt
22
22
1 2
(2t
k)( t
2
k' )dt,当t'
t 2
(t'k)(t'k')dt'
(t t')
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
f(2tk)都属Vj于 1。
➢ 2.小波空间Wj是Vj，Vj+1之间的差，即
➢
Vj1Wj Vj ，它捕捉Vj+1逼近Vj时丢
失的信息。
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
比喻
➢ 类似于人的视觉系统。例如：人在观察某 一目标时，不妨设他所处的分辨率为j（或 2j），观察目标所获得的信息是Vj，当他走 近目标，即分辨率增加到j-1（或2j-1），他 观察目标所获得的信息为Vj-1，应该比分辨 率j下获得的信息更加丰富，即 Vj Vj1 ，分 辨率越高，距离越近；反之，则相反。
第四章 多分辨率分 析与正交小波变换
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
概述
➢ 多分辨率是小波分析中的最重要 的概念之一，它从函数空间的高 度研究函数的多分辨率表示—将 一个函数表示为一个低频成分与 不同分辨率下的高频成分。更重 要的是，多分辨率能够提供一种 构造小波的统一框架，并且能够 提供函数分解与重构的快速算法。
是f(t)在分辨率j=1下的概貌，
x
( k
1
)
称为f(t)在
分辨率j=1下的离散逼近。
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
➢ （3）如果在子空间W0中能找到一个带通函
数 (t) ，其整数位移的集合(tk)kZ构成
W0中的正交归一基，我们根据二尺度的伸
缩性，可得
(t)
W0
,则
(
t) 2
W1，
且1k (t)
➢ 我们把空间做逐级二分解产生一组逐级包 含的子空间：
,V 0 V 1 W 1 ,V 1 V 2 W 2 , ,V j V j 1 W j 1 ,
➢ j是从-∞到+∞的整数，j值越小空间越大。 ➢ 如，当j＝4时，
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
➢ 空间的剖分是完整的，即当j－>-∞，Vj－>L2 （R），包含整个平方可积的实变函数空间。
➢ （2）二尺度伸缩性：即f(t)∈Vj， 则f(t/2)∈Vj+1, f(2t)∈Vj-1。
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
各空间内的结构做进一步分析：
➢ （ 整1数）移设位V集0中合有低(t 通k平)k滑Z是函V数0中φ（的t正）交，归它一的
基。我们称为尺度函数，所以有：
(t k),(t k') (kk')
式中，(t k) 0k(t)
(0k(t)为j 0时的 jk(t)
1
j
(2j t k))
22
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
➢ V0中的任意函数f(t)均可表示为(tk)kZ
的线性组合，我们设P0f(t)代表f(t)在V0
上的投影，则有：P0f(t)xk0(t)0k(t)
k
➢
x
( k
0
)
是线性组合的权重，其求法如下：
x k ( 0 )P 0 f( t)0 , k ( t)f ( t)0 , k ( t)
➢ 我们称P0f(t)为f(t)在V0处的平滑逼近，
也就是f(t)在j=0下的概貌，x
( k
0
)
称为f(t)
在分辨率j=0下的离散逼近。
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
➢ （2）根据二尺度伸缩性，如果φ（t） ∈V0，
1 2
(
t 2
k) kZ
➢ W1中的任意函数f(t)均可以表示为(tk)kZ
的线性组合。
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
➢ 我们设D1f(t)代表f(t) 在W1上的投影，有
D1f(t) dk(1)1k(t)