第四章-多分辨率分析与正交小波变换

第四章-多分辨率分析与正交小波变换
➢ 在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把 平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级 逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通 平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐 级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这 就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼 近待分析函数f(t)。
➢ 我们把空间做逐级二分解产生一组逐级包 含的子空间：
,V 0 V 1 W 1 ,V 1 V 2 W 2 , ,V j V j 1 W j 1 ,
➢ j是从-∞到+∞的整数，j值越小空间越大。 ➢ 如，当j＝4时，
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➢ 空间的剖分是完整的，即当j－>-∞，Vj－>L2 （R），包含整个平方可积的实变函数空间。
Vj L2(R)
➢ 当j－>+∞，j2Vj－> 0，即空间最终剖分到空 集为止。
➢ 这种剖分方式使得空间Vj与空间Wj正交，各 个Wj之间也正交，即：
V j W j;W j W j',jj'
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这种函数空间的部分有如下特性：
➢ （1）位移不变性：函数的时移不 改变其所属空间，即如果f(t)∈Vj， 则f(t-k)∈Vj。
x k ( 0 )P 0 f( t)0 , k ( t)f ( t)0 , k ( t)
➢ 我们称P0f(t)为f(t)在V0处的平滑逼近，
也就是f(t)在j=0下的概貌，x
( k
0
)
称为f(t)
在分辨率j=0下的离散逼近。
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➢ （2）根据二尺度伸缩性，如果φ（t） ∈V0，
第四章 多分辨率分 析与正交小波变换
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
概述
➢ 多分辨率是小波分析中的最重要 的概念之一，它从函数空间的高 度研究函数的多分辨率表示—将 一个函数表示为一个低频成分与 不同分辨率下的高频成分。更重 要的是，多分辨率能够提供一种 构造小波的统一框架，并且能够 提供函数分解与重构的快速算法。
是f(t)在分辨率j=1下的概貌，
x
( k
1
)
称为f(t)在
分辨率j=1下的离散逼近。
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➢ （3）如果在子空间W0中能找到一个带通函
数 (t) ，其整数位移的集合(tk)kZ构成
W0中的正交归一基，我们根据二尺度的伸
缩性，可得
(t)
W0
,则
(
t) 2
W1，
且1k (t)
➢ （2）二尺度伸缩性：即f(t)∈Vj， 则f(t/2)∈Vj+1, f(2t)∈Vj-1。
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各空间内的结构做进一步分析：
➢ （ 整1数）移设位V集0中合有低(t 通k平)k滑Z是函V数0中φ（的t正）交，归它一的
基。我们称为尺度函数，所以有：
(t k),(t k') (kk')
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补充：直和
➢ 设E是线性空间，L1，L2，…，Ln是E的子 空间，如果任一元素x∈E可以惟一表示成 x=x1+x2+…+xn,其中xk ∈ Lk(k=1,2,…,n),则 称E是L1，L2，…，Ln的直和，记为：
n
EL1 L2 Ln或 E Lk k1
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➢ 基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj 表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波 空间。
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性质
➢ 尺度空间Vj具有以下递归嵌套关系：
V 1 V 0 V 1
➢ 将Vj，Vj－1相关联的关键性质是：
若f(t)Vj,则f(2t)及所有 f(t的 k)、
则φ（t/2） ∈V1，而且，如果
是V 中(t) 0 0k kZ
的正交归一基，则
1k(t)
1 (t k)
22百度文库
1k (t),1k'(t)
1 ( t k) 1 ( t k')dt
22
22
1 2
(2t
k)( t
2
k' )dt,当t'
t 2
(t'k)(t'k')dt'
(t t')
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1 2
(
t 2
k) kZ
➢ W1中的任意函数f(t)均可以表示为(tk)kZ
的线性组合。
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➢ 我们设D1f(t)代表f(t) 在W1上的投影，有
D1f(t) dk(1)1k(t)
式中，(t k) 0k(t)
(0k(t)为j 0时的 jk(t)
1
j
(2j t k))
22
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➢ V0中的任意函数f(t)均可表示为(tk)kZ
的线性组合，我们设P0f(t)代表f(t)在V0
上的投影，则有：P0f(t)xk0(t)0k(t)
k
➢
x
( k
0
)
是线性组合的权重，其求法如下：
f(2tk)都属Vj于 1。
➢ 2.小波空间Wj是Vj，Vj+1之间的差，即
➢
Vj1Wj Vj ，它捕捉Vj+1逼近Vj时丢
失的信息。
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比喻
➢ 类似于人的视觉系统。例如：人在观察某 一目标时，不妨设他所处的分辨率为j（或 2j），观察目标所获得的信息是Vj，当他走 近目标，即分辨率增加到j-1（或2j-1），他 观察目标所获得的信息为Vj-1，应该比分辨 率j下获得的信息更加丰富，即 Vj Vj1 ，分 辨率越高，距离越近；反之，则相反。
➢ 所以1k(t)kZ必是V1中的正交归一基。
➢ 因 示此为V11中k(的t)任kZ 意的函线数性，组如合P。1f(即t)，据可以表
P1f(t)
x(1) k
1k(t)
k
➢ 权重为：x k ( 1 )P 1 ( t)1 ,k (t)f (t)1 ,k (t)
➢ 我们称P1f(t)为f(t)在V1处的平滑逼近，也就
第四章-多分辨率分析与正交小波变换
本章主要内容 ➢多分辨率分析 ➢尺度函数和小波函数 ➢二尺度方程及多分辨率滤波器组 ➢二进正交小波变换的Mallat算法
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4.1 多分辨率分析
➢ 定义：多分辨率分析（Multiresolution Analysis, MRA）是用小波函数的二进伸缩 和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂 的表现形式，它重点处理整个函数集，而 非侧重处理作为个体的函数。