流体力学的基本方程
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体力学中的方程与数学模型
流体力学中的方程与数学模型在流体力学中，方程与数学模型扮演着至关重要的角色。
流体力学是研究流体运动规律的科学，涉及空气、水、油等各种流体的性质、运动和力学。
通过建立数学模型和方程，我们可以更好地理解和预测流体的行为，为工程和科学领域提供有力支持。
一、流体力学的基本方程在研究流体力学中，最基本的方程包括质量守恒方程、动量方程和能量方程。
质量守恒方程描述了流体内部质量的变化和流动过程中质量的流动规律；动量方程则可以揭示流体受到的外力、内部粘性和惯性力的平衡关系；能量方程则描述了流体内部能量的传递和转化过程。
这些方程是流体力学研究的基础，通过它们我们可以定量地描述和分析流体的运动状态。
二、纳维-斯托克斯方程在流体力学中，纳维-斯托克斯方程是一组描述流体运动规律的基本方程。
它由质量守恒方程和动量方程组成，可以描述流体的运动状态和力学性质。
在实际应用中，纳维-斯托克斯方程通常会结合流体的黏性特性以及边界条件进行求解，从而得到流体在不同情况下的运动规律。
三、雷诺数和流体动力学在流体力学中，雷诺数是一个重要的无量纲参数，用于描述流体的惯性力和粘性力之间的相对重要性。
当雷诺数较大时，惯性力占主导地位，流体呈现湍流状态；而当雷诺数较小时，粘性力占主导地位，流体呈现层流状态。
通过控制雷诺数，我们可以探索不同流体状态下的运动特性和动力学行为。
四、数学模型在流体力学中的应用数学模型在流体力学中扮演着至关重要的角色，它可以将流体力学方程转化为数学方程，并通过数值计算和模拟来研究流体的运动规律和特性。
数学模型可以帮助工程师和科学家们更好地设计流体系统、预测流体行为以及优化流体流动过程。
通过数学模型，我们可以深入理解流体力学中复杂的现象和规律，为实际工程和科学问题提供解决方案。
总结：在流体力学中，方程与数学模型是不可或缺的工具，它们为我们理解和研究流体的运动规律提供了重要的理论基础。
通过建立数学模型和求解流体力学方程，我们可以揭示流体的行为特性、预测流体的运动状态，并为实际工程和科学应用提供支持和指导。
《流体力学》流体力学基本方程
2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
5
16 October 2021
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
12
16 October 2021
2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0
流体力学-第二章 基本方程
h
0
xy
z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
0
uy
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：
z
流出质量=
h
0
uy
z
x
h
0
uy
z
x
O
x u u x
x
y
u
h y
x
Chen Haishan NIM NUIST
流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 ＝柱体内质量的增加）
pnx nx pxx ny pyx nz pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy
pnz
nx pxz
ny pyz
nz pzz
Chen Haishan
NIM NUIST
z
pzz
z
pzx
pz pzy
pxz
px
pxx
pxy
pyy
pyx
py
P Pnz n
Pny
y Pnx o
Chen Haishan NIM NUIST
通过体积分，作用于体积为 的流体块上的质量力：
Fd =作用于流体的质量力
Chen Haishan NIM NUIST
② 表面力
表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之 间的接触面上所受到的相互作用力。
如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面 上的摩擦力等。
x y
n n
cosn, cosn,
x y
nxn n y n
z n cosn, z nzn
Chen Haishan NIM NUIST
流体力学三大基本方程公式
流体力学三大基本方程公式流体力学是研究流体（液体和气体）行为的一门学科，而其中的三大基本方程就像是流体世界里的三位“大神”，每一个都有自己的风格和特点。
今天我们就来轻松聊聊这三大基本方程，看看它们是如何影响我们日常生活的。
1. 连续方程1.1 理论基础连续方程说的就是流体在流动时质量是守恒的，也就是说流体不会凭空消失或者出现。
这就好比你在喝饮料，吸管里的液体不管你怎么吸，它的总量始终不变。
你想，假如你吸得太快，吸管里液体都没了，那饮料可就喝不到了，真是要命！1.2 实际应用在现实生活中，这个方程的应用可广泛了。
比如，水管里流动的水，流量是一定的。
如果管道变窄，水速就会变快，简直就像是高速公路上的汽车，车道窄了，车速得加快才能不堵车。
你可以想象一下，如果这条“水路”被堵了，后果可就不堪设想，真是“水深火热”啊。
2. 纳维斯托克斯方程2.1 理论基础说到纳维斯托克斯方程，这可是流体力学里的“超级英雄”。
它描述了流体的运动，考虑了粘性、压力、速度等多个因素，就像一位全能运动员，无论是短跑、游泳，还是足球，样样精通！这个方程让我们能够预测流体的流动，简直就像是给流体穿上了“预测未来”的眼镜。
2.2 实际应用说到实际应用，纳维斯托克斯方程可是在天气预报、飞机设计等领域大显身手。
在气象学中，气象学家利用这个方程来模拟风暴、降雨等自然现象，真的是“未雨绸缪”，让我们提前做好准备。
想象一下，若是没有它，我们可能在大雨来临时还在悠哉悠哉地喝着茶，结果被“浇”了个透心凉。
3. 伯努利方程3.1 理论基础最后我们得提提伯努利方程，它可是流体动力学的明星。
简单来说，伯努利方程告诉我们，流体的压力和速度之间有着“爱恨交织”的关系。
流速快的地方，压力就低；流速慢的地方，压力就高。
这就像是你在一个热闹的派对上，越往外挤，周围的人越少，反而显得格外“安静”。
3.2 实际应用伯努利方程的应用那可是多得数不胜数，尤其是在飞行器设计上。
流体力学中的三大基本方程
vy 和 dxdydz y
v z dxdydz z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
（ ） （ ） （ ） d x d y d z x y z x y z
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
2 2 g
：单位重量流体所具有的动能；
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
y y y y x y z y
运动方程：
y x z 0 x y z
2 y 2
2 2 2 1 p z z z z z z z f ( ) x y z z 2 2 2 t x y z z x y z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
流体质点加速度
dx x x x x ax x y z dt t x y z dy y y y y ay x y z dt t x y z dz z z z z az x y z dt t x y z
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
流体力学基本方程
连续方程两边同时除以 0U0 L0 整理 得
L0 * *vi*
U0t0 t*
xi*
0
（3-2）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
运动方程两边同时除以
U
2 0
L0
整理得
L0 U0t0
vi* t*Βιβλιοθήκη v*jvi* x*j
L0 g0 U02
g*
p0
0U02
1
*
p* xi*
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第二节 平行定常流动
不可压缩平行流动是流动问题中最简 单的情况，它只有一个速度分量不为零， 所有流体质点均沿一个方向流动，即vy= vz=0，且vx沿x轴方向不变化。
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第二节 平行定常流动
当质量力只考虑重力且y轴竖直向上 时，N-S方程（2-28）简化为
* *
2vi* x*jx*j
（3-3）
式中由特征量组成了几个重要的无量纲参 数，即
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
L0 U0t0
St，称为斯特劳哈尔（Strouhal）数
U0 Fr，称为弗劳德（Froude）数 g0 L0
p0 Eu，称为欧拉（Eular）数
0U
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
在基本方程中，若各种物理量均以相 应的具有某种特征的同类物理量度量，则 有量纲的物理量均变为无量纲的物理量， 有量纲的方程组就可以表示为无量纲的方 程组。
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第一节 黏性流动的近似和无量纲参数
各物理量的无量纲量为
水力学三大方程
水力学三大方程指的是连续性方程、动量方程和能量方程。
这三大方程是描述流体力学过程的基本方程，也是水力学研究和应用的基础。
连续性方程
连续性方程也称为质量守恒方程，它表述了流体在运动过程中质量守恒的基本原理。
连续性方程的数学表达式为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
其中，ρ表示流体密度，t表示时间，u表示流体的速度，∇表示偏微分算符。
这个方程的物理含义是：任何一段流体管道中的质量流量都相等，即在单位时间内通过截面积相同的两个截面的流体质量相等。
动量方程
动量方程是描述流体运动动力学过程的方程，它表述了流体的动量守恒原理。
动量方程的数学表达式为：
ρ(∂u/∂t + u·∇u) = -∇p + ∇·τ+ ρg
其中，p表示流体的压力，τ表示流体的应力张量，g表示重力加速度。
这个方程的物理含义是：流体的动量随时间和空间的变化而改变，动量的变化量等于受到的力的作用量。
能量方程
能量方程描述了流体运动过程中能量守恒的基本原理。
能量方程的数学表达式为：
ρCv(∂T/∂t + u·∇T) = -p∇·u + ∇·(k∇T) + Q
其中，T表示流体的温度，Cv表示比热容，k表示导热系数，Q表示单位时间单位体积内的热源项。
这个方程的物理含义是：流体在运动过程中受到的压力和内能的变化，以及受到的热量和能量的变化，都会影响流体的温度和温度的变化。
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学基本方程
微分形式的能量方程
D Dt
1 e u u dv u pn ds u fdv n qds 2 V S V S Fra bibliotek
第二雷诺输运定理
高斯定理
D Dt
S
V
e u u dv
1 2
duy 1 p yy 1 xy zy fy x dt y z
duz 1 pzz 1 xz yz fz dt z x z
2.3
能量方程
积分形式的能量守恒方程
任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为 n
1 系统总能量， e u u dv，
单位质量流体的动能 1 u u 2 Wp pnv dS W t t dS 表面力作功功率， S S
2.2
动量守恒定理
微分形式的动量方程
D udv pn ds fdv V S V Dt
D udv Dt V
Du dv Dt V
n σ ds σ dv
S
pn n σ
Du dv σ dv fdv Dt V V V
2.3
能量方程
微分形式的能量方程
v2 v2 1 1 e1 v e1 f v v khT t 2 2
或写为：
2 d v 1 1 e1 f v v khT dt 2
流体力学基本方程
ρQv
ρ v2A
∫ 1ρ dQ u 2 = α 1 ρ Q v 2
A2
2
α
=
∫
1 2
ρ
dQ u 2
=
∫
1 2
ρ
u
3 dAΒιβλιοθήκη 1 ρ Qv21 ρ v3A
2
2
16
江苏大学
Jiangsu University
第三节 连续性方程
∑ 质量守恒方程 Q厂 = Q用户
一、三维连续性方程
vx
−
∂vx ∂x
dx 2
vx
速度。
加速度=当地加速度+迁移加速度
5
江苏大学
Jiangsu University
用欧拉法求其它物理量N对时间的变化率时
dN = ∂N + (vv ⋅ ∇)N dt ∂t
∇ = iv
∂
+ vj
∂
+
v k
∂
∂x ∂y ∂z
全导数=当地导数+迁移导数 ∇ ：微分算子
四、系统与控制体
6
江苏大学
Jiangsu University
其中a、b、c、t为拉格朗日变量。
vv = ∂ rv ∂t
av = ∂ 2rv ∂t2
2
江苏大学
Jiangsu University
二、欧拉法 欧拉法研究的是各空间上流体运动参数随时间的变化，把全部空间点上的 流动情况综合起来，就得到整个流场的运动情况。
场：如果在空间中的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，这个空 间就称为这个物理量的场。如：数量场（温度场、密度场、电位场）、矢 量场（力场、速度场）。
21
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 o x ， y ， z 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
单位体积流体的运动微分方程：
d p x fx d t x
⑵几何意义：
z ：单位重量流体的位置水头； （距离某一基准面的高度） P/r : 单位重量流体的压力水头，或静压头； （具有的压力势能与一段液柱高度相 当）
2 : 单位重量流体具有的动压头or速度水头,速度压头。 2g
物理中：质量为m以速度v垂直向上抛能达到的 最高高度为v2/2g
三者之和为单位重量流体的总水头。
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
3.2 伯努利方程的应用
①
可求解流动中的流体v、 P及过某一截面的流量；
以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
②
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。
皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
流体力学中的流体动力学方程
流体力学中的流体动力学方程流体力学是研究流体运动规律和性质的学科，它在能源、环境、航空航天等领域有着广泛的应用。
流体动力学方程是流体力学的基础，它描述了流体在运动过程中的物理现象和力学特性。
本文将介绍流体动力学方程的基本原理和常见的流体动力学方程。
一、连续性方程连续性方程是描述流体质点质量守恒的基本方程。
它表明流体在运动过程中，质量的流入等于流出。
连续性方程可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·表示散度运算符。
二、动量守恒方程动量守恒方程描述了流体质点在运动过程中动量的变化。
根据牛顿第二定律，动量守恒方程可以表示为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p是流体的压力，τ是动态粘性应力张量，g是重力加速度。
三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体内能和外界能量转化的方程。
根据热力学第一定律，能量守恒方程可以表示为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + q其中，E是单位质量的总能量，v是流体的速度矢量，k是热传导率，T是温度，q是单位质量的内部热源。
四、状态方程流体力学中的状态方程描述了流体在热力学过程中的状态特性。
流体的状态方程通常表示为：p = ρRT其中，p是流体的压力，ρ是流体的密度，R是特定流体的气体常数，T是温度。
综上所述，流体动力学方程包括连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和状态方程。
这些方程是建立在质点假设和牛顿力学基础上的，可以描述流体在运动过程中的物理现象和运动规律。
通过求解这些方程，可以得到流体的运动速度、压力分布等信息，为解决实际问题提供了重要的理论基础。
在实际应用中，为了解决流体动力学方程的复杂性，常常采用数值模拟等方法进行求解。
数值模拟可以通过离散化方程、引入数值格式和数值算法，得到流体在离散网格上的解。
流体力学的三个基本方程
流体力学的三个基本方程
1. 质量守恒方程：
质量守恒方程是基于质量守恒定律的表达式，描述了流体中质量的变化。
它可以表示为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示散度运算符。
2. 动量守恒方程：
动量守恒方程是基于牛顿第二定律的表达式，描述了流体中动量的变化。
它可以表示为：
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg.
其中，p是流体的压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
∂v/∂t表示对时间的速度偏导数，v·∇v表示速度矢量的梯度运
算，∇·τ表示应力张量的散度。
3. 能量守恒方程：
能量守恒方程描述了流体中能量的变化。
它可以表示为：
∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -p∇·v + ∇·(k∇T) +
ρv·g + Q.
其中，e是单位质量的内能，T是流体的温度，k是热传导系数，Q是单位质量的热源或耗散。
∂(ρe)/∂t表示对时间的内能偏导数，∇·(ρev)表示内能流的散度，p∇·v表示压力功的散度，
∇·(k∇T)表示热传导的散度，ρv·g表示重力功的散度。
这三个基本方程是流体力学的核心方程，通过它们可以描述流
体在各种条件下的运动、变形和能量转换。
它们是流体力学研究和
工程应用的基础。
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z
(vz)dxdydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
微元六面体内密度变化引起 的每秒的流体质量的变化量：
tCVdvt dxdydz
故 ： tdx d x (v x y ) dd x z d y (v y y ) d d x z d z (v z y ) dd x z 0 dydz
t
xkuku
——单位体积的流体控制体的质量变化率 ——单位体积的流体控制体的质量净流出量
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
1.定常流动 0
t
xk
uk 0
Duk 0
Dt xk
t xk
uk0
2.不可压缩流体
D 0
Dt
uk 0 xk
注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。
左面微元面积流 入的流体质量：
右面微元面积流出 的流体质量：
( xd 2)xv(x vxxd 2)d x ydz ( xd 2)xv (x vxxd 2)d x ydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
D D ttuk xk 0 但
0
xk
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const
在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
2
1
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
3.有源、汇ห้องสมุดไป่ตู้连续方程
t xk
ukQ
4. 积分形式的连续方程
d
cvt
V c vund A0
第二章 流体力学的基本方程
§2.3 能量方程
D D (t)tu d
D u d Dt
一、总能量方程的推导
D D t e t 1 2 u u d A t u p n d t A u f d A t n q dA
由雷诺输运公式的 简化形式得，
系统的能量转换及守恒定理（热力学第一定律）： 在流动过程中，流体系统的能量增加量等于外界对其做功及传入热量
之和。 控制体的能量转换及守恒定理：
控制体能量的净加入量等于控制体内流体能量的变化量
第二章 流体力学的基本方程
§2.3 能量方程
一、总能量方程的推导
任取流动系统，体积τ(t) ，外表面A (t) ，
第二章 流体力学的基本方程
§2.3 能量方程
D D (t)tu d
D u d Dt
一、总能量方程的推导
D D e 1 2 u t u d A u p n d u A f d A n q dA
利用高斯公式得， A u p n d A A u n d A A n u d s u d
注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体
积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积τ(t)
利用高斯公式得，
D D u d t d f d
D D u t f d 0
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
D D u t f d 0
u0 或
t
张量形式：
t xk
uk0
或
Du0
Dt
Duk 0
Dt xk
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
从欧拉系下出发， 控制体的质量净流入量 = 控制体内流体质量的变化量
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
控制体的选取: 边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。 x轴方向流体质量的流进和流出
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
系统的动量定理： 系统的动量: 作用在系统上的质量力:
Dk
F
Dt
k u d (t)
fd
(t )
作用在系统上的表面力:
A(t) pndA
由动量定理得积分形式的动量方程:
D D ( t)t u d A ( t)p n d A ( t) f d
t r 1 2 r ( r 2 V r ) r s 1 i ( n V s) ir s n 1 i ( n V ) 0
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
三、连续方程的物理意义
Duk 0
Dt xk
t xk
uk0
1 D
Dt
uk
u
xk
——流体系统的相对密度变化率 ——流体系统的相对体积变化率
x轴方向流体 的净流出量：
y轴方向流体的 净流出量：
( xd 2)x v (x v x xd 2)d x y(d z xd 2)x v (x v x xd 2)d x ydz ( v x xd xvx xd)d xyd x(zvx)dxdydz
y
(vy
)dx
dydz
z轴方向流体的 净流出量：
D D t te 1 2 u u d D D e 1 2 t u u d
注意：在使用输运公式后，随时间变化的系统的体积τ(t)已经被 初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了。
D D e 1 2 u t u d A u p n d u A f d A n q dA
t x (v x ) y (v y ) z(v z) 0
t xk
uk0
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
2.正交曲线坐标系下的连续方程
控制体的选取: 边长为ds1，ds2，ds3的微元平行六面体。
d 1 h 1 s d 1d q 2 h s 2 d 2d q 3 h s 3 d 3 q
上 述 积 分 的 积 分 区 域 τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积
分恒等于零，只有被积函 数等于零，
D u f
u D u tu f t
张量形式:
D Dujtxiijfj
或 u tjui u xij xiijfj
守恒形式:
u u u f 或 t
λ和μ在流场中 均匀时：
D D j u t x p j x j u x k k 2 x u i 2 jfj
不可压缩流体：
D Dju t xpj 2 xu i2j fj
理想流体：
Duj
Dt
p xj
fj
第二章 流体力学的基本方程
§2.3 能量方程
方程建立的理论依据：能量转换及守恒定理
§2.1 连续方程
一、连续方程推导方法之一
从拉格朗日系下出发， 流体系统的质量保持不变。
取一个流体系统，其体积为τ(t) ,
流体系统的质量为：M d (t)
故 ： DM D d0
DtDt(t)
由雷诺输运定理， t u d D D tu d 0
注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体
定常流动：
cvundA0
不可压缩流体： cvundA0
第二章 流体力学的基本方程
Duk 0
Dt xk
t xk
uk0
§2.2 动量方程
方程建立的理论依据：牛顿第二定理或动量定理
系统的牛顿第二定理： 在流动过程中，流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。
系统的动量定理： 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
D pnnD u
D (t)tu d
d Dt
将应力张量代入得：
由雷诺输运公式的 简化形式得，
D D ( t)t u d A n ( t) d A ( t) f d D D u d t A n d A f d
方程右边表示单位体积流体所受的力： 第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力； 第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
三、N-S方程
本构方程： ij pij is jk k2s ij
故：
代入动量方 程 后 得 N-S 方程： 矢量形式：
ij
xi
xi
pijijsk
kxuij
uj xi
p xj xj
uxkk
xi
xuij
uj xi
D D j u x p tj x j u x k k x i x u i j u x i j fj
D u p u 2 S f Dt
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
2.正交曲线坐标系下的连续方程
笛卡尔坐标系： (u x) (u y) (u z) 0
t x y z
圆柱坐标系： 球坐标系：
t 1 r r (rr ) V r (V ) z (V z ) 0
积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积τ(t)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
一、连续方程推导方法之一
t u d D D tu d 0
上 述 积 分 的 积 分 区 域 τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积 分恒等于零，只有被积函 数等于零，
A n q d s A q d
得：
D D e 1 2 u t u u u f q d 0