变化的电磁场之无限长通电螺线管磁场变化时的感生电场解读

{范例12.4} 无限长通电螺线管磁场变化时的 感生电场和电动势
(1)在半径为R的无限长螺线管内部的磁场B随时间作线性变化， dB/dt是大于零的常量，求管内外的感生电场E和环中的感生电动 势。感生电场随两者之间距离的变化规律是什么？(2)如果用一 根长为2L(L < R)的导体棒跨接在管的两端，求两端的感生电动 势。电动势随棒长变化的规律是什么？最大电动势是多少？ E [解析](1)法拉第电磁感 B E d s dS Ñ L E R E E t 应定律的积分形式为 S r 如图所示，由 取一逆时针的电场线作为 O B 于磁场的对称 闭合回路，回路方向与电 E E E 性，变化磁场 场强度的方向相同，因此 所激发的感生 E 1 B 可得 E d s E d s 2 π rE 电场的电场线 蜒 E dS L L 2πr S t 在管内外都是 与螺线管同轴 根据右手螺旋法则，回路所包围面积的方向垂直 屏幕向外，dB/dt垂直屏幕向里，两者方向相反。 的同心圆。
d E d s
设棒到圆心O的距离为a， d a dB ds 2 dt 则a = a dB 2 dt
2L
2 dt
ds cos
ds aL
0
dB dt
L R 2 L2
dB . dt
{范例12.4} 无限长通电螺线管磁场变化时的 感生电场和电动势
这时，棒与半径的夹角是45°，OAC的面 积最大，感生电动势也最大，最大值为
导体棒跨接在线圈两端的感生电 动势随棒的长度先增加后减小。
当棒太长或太短时，棒与两个半径 围成的三角形面积小，所以电动势 小；当三角形变成直角三角形时， 面积最大，因而电动势最大。
R E r O B E E
E
E
当r > R时，只有螺线 管内有磁场，因此
可得感 生电场
R 2 dB E 2r dt
回路中的 2 πrE πR 2 dB 管内外感 电动势为 dt 生电场和 电动势都 可见：管外的感生电场强度与两者之间 连续。 的距离成反比，回路中电动势为常量。
B 2 dB d S π R , t dt S
R dB πR 2 d B E , dt 2 dt
螺线管内的感生电场强度随距 离直线增加，螺线管外的感生 电场强度随距离反比例地减小。
螺线管内环路中的感生电动势随 距离的平方规律增加，螺线管外 环路中的感生电动势是常量。
{范例12.4} 无限长通电螺线管磁场变化时的 感生电场和电动势
(2)如果用一根长为2L(L < R)的导体棒跨接在管的两端， 求两端的感生电动势。电动势随棒长变化的规律是什么？ 最大电动势是多少？ E [解析](2)如图所示，通过感生电场 C 2L θ P s A 可求导体棒AC两端的感生电动势。 rds a θ R 设AP长为s，在棒离圆心r处 O 取一线元ds，感应电动势为 o r dB B
直接根据电场感应定律也可求AC两端的感生电动势。 在三角形OAC中，OA和OC与场强方向垂直，感 E 应电动势为零。所以棒两端的感应电动势为 C O A C 2L θ P s rds E ds AC E ds E ds E ds Ñ a θ L A C O R 根据环路定理可得 O B dB dB 2 2 dB L R L o AC dS B dS aL
{范例12.4} 无限长通电螺线管磁场变化时的 感生电场和电动势 E
E 1 B dS 2πr t S
当r < R时， B dS B dS dB dS dB πr 2 t t dt dt S S S 由于 E r d B d B 回路中的 2 可得感 E 2 πrE πr 2 d t 电动势为 dt 生电场 E 可见：管内的感生电场强度与距离成正 当r→R时 比，回路中电动势与包围的面积成正比。
S
A
t
dt
S
dt
dt
AC两端的感生电动势与棒的位置有关， 也就是与长度L有关，对L求导得
d AC L dB ( R 2 L2 L ) dL R 2 L2 dt
令dεAC/dL = 0，得
L R 2/2
R 2 dB ( AC )m . 2 dt
R 2 2L2 dB R 2 L2 dt