第4章点的运动和刚体基本运动习题解答080814

第四章 点的运动和刚体基本运动本章要点 一、点的运动1 点运动位置的确定的三种方法 ⅰ）矢量法：)(t r r =；ⅱ）直角坐标法：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =； ⅲ）弧坐标法（轨迹已知）：)(t s s =. 2 点的速度与加速度的矢量表示速度 t d d r v =， 加速度 22td d t d d rv a ＝=. 3 点的速度与加速度的直角坐标表示 速度在各坐标轴上的投影为t x v d d =x ， t y v d d =y ， tzv d d =z . 速度的大小和方向余弦为⎪⎭⎪⎬⎫===++=v v v v v v v v v v z y x 2z2y 2x )，cos(，)，cos(，)，cos(k v j v i v加速度在各坐标轴上的投影为222222d d d d d d d d d d d d dtz t v a ，t y t v a ，t x t v a z z y y x x ====== 加速度的大小和方向余弦分别为⎪⎭⎪⎬⎫===++=a a a a a a a a a a z y x 2z2y 2x )，cos(，)，cos(，)，cos(k a j a i a4 点的速度与加速度的弧坐标表示点的速度 τv td sd =， 切向加速度 ττa 22td sd t d d ==v τ；法向加速度 n a ρv 2n =，其中τ为切线单位矢量，指向弧坐标增加的方向；n 表示主法线正向的单位矢量，指向曲率中心（即指向曲线凹的一方）。

全加速度为 n τa a a+=全加速度a 的大小和它与法线间夹角的正切分别为2n 2τa a a +=，()nτtg a a =n a,解题要领：1 确定动点，根据题意是选择矢量法、直角坐标法还是弧坐标法，三种方法各有所长.2 从点的运动方程出发求点的速度和加速度是对时间的求导运算；反之，也可以从加速度出发求速度和运动方程，或从速度出发求运动方程，这是积分运算，但结果都不唯一 ，积分常数需要用初始条件来确定。

3 从直角坐标形式的运动方程出发计算切向加速度、法向加速度、曲率半径、弧坐标的过程点的速度：222z y x v v v v ++=， 点的加速度： 222z y x a a a a ++=，切向加速度： td d t v =a ， 法向加速度：2t 2n a a a -=， 曲率半径：n2a v =ρ， 弧坐标：⎰=t t v s 0d .二、刚体的平移刚体在运动过程中，其上任意一条直线始终平行于它的初始位置，刚体的这种运动称为平移。

具有性质：刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度和加速度也相同。

刚体的平移问题可以归结为点的运动问题. 三、刚体的定轴转动 1 刚体定轴转动的整体描述转动方程 )(t ϕϕ=， 角速度 td d ϕω=， 角加速度 22td d t d d ϕωα==. 匀速转动（ω为常量），则 t ωϕϕ+=0，匀变速转动（α为常量），则t αωω+=0，20021t t αωϕϕ++=. 2 角速度和角加速度的矢量表示k ωω=， k αα=，其中k 为沿转动轴方向的单位矢量。

3 转动刚体上各点的速度和加速度距转轴距离为R 的点的速度为 R ωv =，切向加速度： αR a =t ， 法向加速度： 22n ωR Rv a == 全加速度a 的大小： 42ωα+=R a加速度a 的方向： 22nτtg ωαR ωR αa a ===β.用矢积表示刚体上各点的速度和加速度点的速度 r ωv ⨯= ，切向加速度r αa ⨯=τ， 法向加速度 v ωa ⨯=n .解题要领1 利用三角函数关系写出转动方程，对时间求导一次得到角速度，求导两次得到角加速度方程，角速度或角加速度为正，表明其转向是与角度增加的方向一致；角速度和角加速度同号（异号）表明刚体作加（减）速转动。

2 定轴转动刚体上点的切向和法向加速度的计算公式是点作曲线运动时的特例，不可混淆。

第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。

杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5πϕ=rad ，并且当运动开始时，角0=ϕ，求尺上D 点的运动方程和轨迹。

解： 已知t πϕ2.0=，故点D 的运动方程为mm 2.0cos 200D t x π=mm2.0sin 100D t y π=消去时间t 得到点D 的轨迹方程为题 4-1图11002002222=+DD y x （椭圆） 4-2 图示AB 杆长l ，以t ωϕ=的规律绕B 点转动，ω为常量。

而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。

求A 点的轨迹。

解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为ϕsin l s x += ，ϕcos l y -=，即()t l b a x ωsin ++= t l y ωc o s -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为：2222()1()x a y b l l-+=+.（椭圆）4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。

设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。

求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。

解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++=+t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套A 的速度和加速度为22d d l x xv t x v A +-==， 3220d d x lv t v a A A -==，负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。

4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。

设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ωϕ=，其中ω为常量。

试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。

解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-⋅⋅其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式 可以得到 0cos 222B 2B =-+-R e t ey y ω， 解出2)(4)cos 2(cos 2222B R e t e t e y --+=ωω题4-2图题4-4图题4-3图t e R t e ωω222sin cos -+= )sin 22sin (sin d d 222te R te t e t y v B B ωωωω-+-==))sin (4sin sin 2cos (cos d d 2322222222t e R te e R t e t e t v a B B ωωωωωω-+-+-==. 4-5 若将题4-4中的顶杆换成平底的物块M ，其余条件不变。

试求物块上B 点的运动方程、速度和加速度。

解：由右图所示t e R y B ωcos +=，t e dtdy v BB ωωsin -==， t e dtdv a BB ωωcos 2==. 4-6 图示a 、b 、c 三种机构，已知机构尺寸h 和杆OA 与铅直线的夹角t ωϕ=，其中ω为常量，分析并比较它们的运动：1）穿过小环M 的杆OA 绕O 轴转动，同时拨动小环沿水平导杆滑动，求小环的速度和加速度。

2）绕O 轴转动的杆OA ，推动物块M 沿水平面滑动，求物块M 上一点的速度和加速度。

3）杆OA 绕O 轴转动时，通过套在杆上的套筒M 带动杆MN 沿水平轨道运动，求MN 上一点的速度和加速度。

a) b) c)题 4-6图解：经分析图a)、b) 、c) 中M 点速度和加速度相同。

以O 为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴。

对图在a)、 b) 、c) 中M 点都有题4-5图t h h x ωϕtg tg ⋅=⋅=， t h x v ωω2c o s == ， tt h x a ωωω32cos sin 2== . 4-7 图示滑道连杆机构。

已知10.BO =m ；10.OA =m ，滑道连杆BC 绕轴B 按t 10=ϕ的规律转动（ϕ以rad 计）。

试求滑块A 的速度和加速度。

解： 如右图所示。

以B 为极点和BO 为极轴建立极坐标系，则A 点的运动方程为 ()t OA 10cos 2⋅⋅=ρ ， t 10=ϕ.A 点的速度为()t OA dt d v 10sin 20⋅⋅-==ρρ，()t OA dtd v 10cos 20⋅⋅==ϕρϕ， s m 220222==+=OA v v v ϕρ.A 点的加速度为()t OA tt a 10cos 400)d d (d d 222⋅⋅-=-=ϕρρρ，()t OA tt a 10sin 4)d d (d d 12⋅⋅-==ϕρρϕ. s m 4022=+=ϕρa a a .也可以用直角坐标法求解，并求出A 点地切向和法向加速度。

4-8 如图所示，一直杆以t 0ωϕ=绕其固定端O 转动，其中0ω为常量。

沿此杆有一滑块以匀速0v 滑动。

设运动开始时，杆在水平位置，滑块在O 点，试求滑块的轨迹（以极坐标表示）。

解： 以O 为极点，水平方向为极轴，点M 的运动方程为t v 0=ρ， t 0ωϕ=消去时间t ，得到滑块以极坐标表示的轨迹方程为ϕωρ0v =.4-9 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为题4-7图题4-8图()m 32sintx π=()m 34sin4ty π+=，设0=t 时，0=s ；坐标s 的起点和0=t 时点的位置一致，s 的正方向相当于x 增大的方向。

试求轨迹的直角坐标方程)( x f y =、点沿轨迹运动的方程)( g t s =、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。

解：由运动方程消去t ，得轨迹方程：42+=x y ，（22<<-x ）0=t 时，由 t ty x s d 3cos203d d d 22ππ⋅⋅=+=，积分得点的运动方程t s 3s i n 472.4π=； 点的速度和加速度在轨迹切线上的投影为：()m 3cos 683.4tsv π== ， t va t 3sin 904.4π-== ()2m . 4-10 点沿平面曲线轨迹x e y =向x 、y 增大的方向运动，其中x 、y 的单位皆为m ，速度大小为常量m/s 12=v 。

求动点经过m 1=y 处时，其速度和加速度在坐标轴上的投影。

解：点的切向加速度和法向加速度为0==dt dv a t ， ρ2v a n =；式中 y y '''+=232)1(ρ， x e x y y ==d d ， xe xy y ==22d d 当1=y 时， 0=x ，1=y，1=y有22=ρ， oy 45arctan '==θ，2362==ρv a n s m∴ 当m 1=y 时点的速度和加速度在坐标轴上的投影为：2x y v v m s === 2s m 3622-=-=n x a a ，2m 3622==n y a a4-11 如图所示，曲柄CB 以等角速度0ω绕C 轴转动，其转动方程为t 0ωϕ=。