第4章点的运动和刚体基本运动习题解答080814

第四章 点的运动和刚体基本运动

本章要点 一、点的运动

1 点运动位置的确定的三种方法 ⅰ）矢量法：)(t r r =；

ⅱ）直角坐标法：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =； ⅲ）弧坐标法（轨迹已知）：)(t s s =. 2 点的速度与加速度的矢量表示

速度 t d d r v =， 加速度 22t

d d t d d r

v a ＝=

. 3 点的速度与加速度的直角坐标表示 速度在各坐标轴上的投影为

t x v d d =

x ， t y v d d =y ， t

z

v d d =z . 速度的大小和方向余弦为

⎪

⎭

⎪

⎬⎫===++=v v v v v v v v v v z y x 2z

2y 2x )，cos(，)，cos(，)，cos(k v j v i v

加速度在各坐标轴上的投影为

222222d d d d d d d d d d d d dt

z t v a ，t y t v a ，t x t v a z z y y x x ====== 加速度的大小和方向余弦分别为

⎪

⎭

⎪

⎬⎫===++=a a a a a a a a a a z y x 2z

2y 2x )，cos(，)，cos(，)，cos(k a j a i a

4 点的速度与加速度的弧坐标表示

点的速度 τv t

d s

d =

， 切向加速度 ττa 22t

d s

d t d d ==v τ；

法向加速度 n a ρ

v 2

n =，

其中τ为切线单位矢量，指向弧坐标增加的方向；n 表示主法线正向的单位矢量，指向曲率中心（即指向曲线凹的一方）。 全加速度为 n τa a a

+=

全加速度a 的大小和它与法线间夹角的正切分别为

2

n 2τa a a +=，()n

τ

tg a a =

n a,

解题要领：

1 确定动点，根据题意是选择矢量法、直角坐标法还是弧坐标法，三种方法各有所长.

2 从点的运动方程出发求点的速度和加速度是对时间的求导运算；反之，也可以从加速度出发求速度和运动方程，或从速度出发求运动方程，这是积分运算，但结果都不唯一 ，积分常数需要用初始条件来确定。

3 从直角坐标形式的运动方程出发计算切向加速度、法向加速度、曲率半径、弧坐标的过程

点的速度：222z y x v v v v ++=

， 点的加速度： 2

22z y x a a a a ++=，

切向加速度： t

d d t v =

a ， 法向加速度：2

t 2n a a a -=， 曲率半径：n

2

a v =ρ， 弧坐标：⎰=t t v s 0d .

二、刚体的平移

刚体在运动过程中，其上任意一条直线始终平行于它的初始位置，刚体的这种运动称为平移。具有性质：刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度和加速度也相同。刚体的平移问题可以归结为点的运动问题. 三、刚体的定轴转动 1 刚体定轴转动的整体描述

转动方程 )(t ϕϕ=， 角速度 t

d d ϕω=

， 角加速度 22t

d d t d d ϕωα==

. 匀速转动（ω为常量），则 t ωϕϕ+=0，

匀变速转动（α为常量），则t αωω+=0，2

002

1t t αωϕϕ++=. 2 角速度和角加速度的矢量表示

k ωω=， k αα=，

其中k 为沿转动轴方向的单位矢量。 3 转动刚体上各点的速度和加速度

距转轴距离为R 的点的速度为 R ωv =，

切向加速度： αR a =t ， 法向加速度： 22

n ωR R

v a == 全加速度a 的大小： 42ωα+=R a

加速度a 的方向： 2

2

n

τtg ω

αR ω

R αa a =

==

β.

用矢积表示刚体上各点的速度和加速度

点的速度 r ωv ⨯= ，

切向加速度r αa ⨯=τ， 法向加速度 v ωa ⨯=n .

解题要领

1 利用三角函数关系写出转动方程，对时间求导一次得到角速度，求导两次得到角加速度方程，角速度或角加速度为正，表明其转向是与角度增加的方向一致；角速度和角加速度同号（异号）表明刚体作加（减）速转动。

2 定轴转动刚体上点的切向和法向加速度的计算公式是点作曲线运动时的特例，不可混淆。

第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答

4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5

π

ϕ=

rad ，并且当运动开始时，角

0=ϕ，求尺上D 点的运动方程和轨迹。

解： 已知t πϕ2.0=，故点D 的运动方程为

mm 2.0cos 200D t x π=

mm

2.0sin 100D t y π=

消去时间t 得到点D 的轨迹方程为

题 4-1图

1100

2002

222=+D

D y x （椭圆） 4-2 图示AB 杆长l ，以t ωϕ=的规律绕B 点转动，ω为常量。

而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。求A 点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为ϕsin l s x += ，ϕcos l y -=，即

()t l b a x ωsin ++= t l y ωc o s -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为：

2

2

22()1()x a y b l l

-+=+.（椭圆）

4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。 解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++=

+t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套

A 的速度和加速度为

2

2

d d l x x

v t x v A +-==， 32

20d d x l

v t v a A A -==，

负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。

4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ωϕ=，其中ω为常量。试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。 解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得

2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-⋅⋅

其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式 可以得到 0cos 222B 2

B =-+-R e t ey y ω， 解出

2

)

(4)cos 2(cos 2222B R e t e t e y --+=ωω

题4-2图

题4-4图

题4-3图