孙训方材料力学07应力状态强度理论剖析

由切应力互等定理可知 xy yx
材料力学
应力状态和强度理论
化简以上两个平衡方程得
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
上式反映了平面应力状态下，一点处的应力状态
材料力学
图解法
应力状态和强度理论
应力圆
将斜截面应力计算公式改写为
x
y
2
x
y
2
cos 2
主应力与主平面
2
可见，A1 、B1 两点代表
的截面上切应力为零，
则此截面称为主平面。
O
B1
C
朱平面上的正应力称为
主应力 。
1
A1
材料力学
1
3
2
O
B1
C
1
应力状态和强度理论
2
在弹性力学中可以证明，受
力物体内一点处无论是什么
应力状态，必定存在三个垂
直的主应力面和相应的三个
主应力。
ห้องสมุดไป่ตู้A1
对于一点处三个相互垂直 的主应力，按照惯例代数 值的大小顺序为：
( yxdAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
材料力学
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
t
应力状态和强度理论
e
dA
dAcos α
a
f
dAsin
Ft 0 dA ( xydAcos ) cos ( xdAcos )sin
( yxdAsin )sin ( ydAsin ) cos 0
2 1
3 2
3 1
材料力学
应力状态和强度理论
理由：
一、需要强度校核的危险点应力形式多种多样
材料力学
应力状态和强度理论
观察
低碳钢和铸铁的拉伸实验
低碳钢
12
铸铁
材料力学
低碳钢和铸铁的扭转实验
应力状态和强度理论
低碳钢
铸铁
材料力学
应力状态和强度理论
理由：
一、需要强度校核的危险点应力形式多种多样
二、试件破坏不只在横截面，有时也在斜截面发
应力状态——过同一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态。
材料力学
应力状态和强度理论
如何描述一点的应力状态？
单元体
dz dx
dy
单元体的性质： ➢ 单元体的体积为无穷小； ➢ 平行面上，应力均布； ➢ 平行面上，应力相等。
单元体及其各面上的应力来描述一 点的应力状态。
材料力学
空间应力状态
y
n
e
x
yx x
O x
E
D
2
B
20
CF A
xy
f a
y
D′
x
材料力学
应力状态和强度理论
说明
（1）点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力必对应于应 力圆上某一点的坐标。
（2）夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上 对应两截面夹角的两倍，两者的转向一致。
A
B
B
A
2
O
C
材料力学
应力状态和强度理论
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
把上面两式等号两边平方，然后相加消去，得
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 xy
材料力学
应力状态和强度理论
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 xy
式中x、y 、xy 为已知量，上式是一个以、为变量的 圆方程。任意斜截面上的应力 、 在 - 直角坐标系内的轨
材料力学
应力状态和强度理论
材料力学
应力状态和强度理论
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 应力状态概述 §7-2 平面应力状态的应力分析·主应力 §7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系 §7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 *§7-7 莫尔强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
1 2 3
材料力学
2
O B1
应力状态和强度理论
C
A1
1
主应力数值
OA1
OC CA1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
max
1
OB1
OC
CB1
平面应力状态
单轴
应力状态和强度理论
y
y
z
z
yz
zy
yx xy
zx xz
x x
x
z
y
yy
y yx yx
xy xy x x x
y
x
x
y yx
xy
x
纯剪
材料力学
为什么要研究应力状态？
应力状态和强度理论
FP
A’
S平面
C’
B
C
A
x1
A
x1
3 B 3
2
x2
x2 C 2
材料力学
应力状态和强度理论
应力状态和强度理论
斜截面上的应力
1、截面法—沿斜截面 e-f 将单元体截开，留下左边部分的单 元体eaf 作为研究对象
e
x
a
y
yx
x xy
f
n
x
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
材料力学 y
e
x
a
yx
x xy
f
n
x
2、符号的确定
应力状态和强度理论
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
（1）由x轴转到外法线n，逆时针转时 为正； （2）正应力仍规定拉应力 为正； （3）切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转 为正。
2
材料力学
应力状态和强度理论
应力状态
提问 什么是应力状态？
如何描述一点的应力状态？
为什么要研究一点的应力状态？
3
材料力学
什么是应力状态？
应力状态和强度理论
l/2
l/2
Mz
FQ
材料力学
应力状态和强度理论
结论
同一面上不同点的应力各不相同
材料力学
F
应力状态和强度理论
F
F
F
结论
同一点不同方向面上的应力各不相同。
（3）量取 OB= y BD′= yx 得D′点
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点
（5）以C为圆心、 CD 为半径作圆—该圆就是单元体的应力圆
材料力学
应力圆的应用
应力状态和强度理论
1、求单元体上任一截面上的应力
由应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE，
圆周上 E 点的坐标就为斜截面上的正应力 和切应力。
迹是一个圆。
圆心坐标
C(
x
y
,0)
2
圆的半径
R
(
x
2
y
)2
2 xy
此圆—称为应力圆或莫尔圆
材料力学
y
y yx
应力圆作法
x
x
x
Ｏ
xy
y
应力状态和强度理论
（1）建立 - 坐标系，选定比例尺
材料力学 y
y yx
应力状态和强度理论
D
x
x
xO
B
xy
C
A
y
D′
（2）量取 OA= x
x
AD = xy 得D点
生破坏
三、复杂应力状态下不可能通过实验测定材料极
限应力
结 论 为什么要研究应力状态？
材料力学
应力状态和强度理论
§7-2 平面应力状态的应力分析·主应力
平面应力状态分析的方法：
解析法 图解法
15
材料力学
解析法
y
y yx xy
x
x
z
平面应力状态的普遍形式
应力状态和强度理论
y yx x xy
材料力学
材料力学
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx y f t
应力状态和强度理论 e
dA
dAcos α
a
f
dAsin
3、任意斜截面上的应力
dA—斜截面的面积 ,
dAcos —a-e的面积，dAsin —a-f 的面积
对研究对象列 n 和 t 方向的平衡方程
Fn 0 dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos