孙训方材料力学07应力状态强度理论剖析
孙训方材料力学第五版1课后习题答案
第七章应力状态和强度理论7-17-27-37-47-57-67-77-87-97-107-117-127-137-1(7-3) 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。
由于实用的原因，图中的角限于范围内。
作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。
现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。
为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？解：按正应力强度条件求得的荷载以表示：按切应力强度条件求得的荷载以表示，则即：当时，，，时，，，时，，时，，由、随而变化的曲线图中得出，当时，杆件承受的荷载最大，。
若按胶合缝的达到的同时，亦达到的条件计算则即：，则故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载。
返回7-2(7-7)试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。
解：=由应力圆得返回7-3(7-8)各单元体面上的应力如图所示。
试利用应力圆的几何关系求：（1）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
解：（a），，，，（b），，，，（c）, , ,（d），，，，，返回7-4(7-9) 各单元体如图所示。
试利用应力圆的几何关系求：（1）主应力的数值；（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
解：（a），，，（b），，，（c），，，（d），，，返回7-5(7-10)已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。
试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。
解：由已知按比例作图中A，B两点，作AB的垂直平分线交轴于点C，以C 为圆心，CA或CB为半径作圆，得（或由得半径）（1）主应力（2）主方向角（3）两截面间夹角：返回7-6(7-13) 在一块钢板上先画上直径的圆，然后在板上加上应力，如图所示。
材料力学 孙训方
材料力学孙训方材料力学是研究物质在受力作用下产生形变和破坏的学科，是力学的一个重要分支。
材料力学主要研究的对象是材料，包括金属、塑料、陶瓷、复合材料等各种类型的材料。
材料力学研究的内容主要有拉伸、压缩、剪切、弯曲等力学性能以及材料的破坏机理等方面。
拉伸是材料中最常见的受力情况之一。
当外部力作用于材料上时，会产生拉伸力，使材料发生形变。
拉伸的目的是研究材料在正应力作用下的性能，如弹性模量、屈服强度和断裂强度等。
拉伸试验可以通过测量材料的长度和直径的变化来计算形变和应力，从而得到应力-应变曲线，从中可以推导出材料的性能指标。
压缩是材料受力的另一种情况。
当外部力作用于材料上时，会产生压缩力，使材料发生压缩形变。
压缩试验可以测量材料在正应力作用下的性能，如弹性模量和抗压强度等。
与拉伸试验类似，压缩试验也可以得到应力-应变曲线来分析材料的性能。
剪切是材料在受到平行于其截面方向的两个相对方向的力作用下发生的形变。
剪切力会使材料发生剪切变形，从而产生剪应力。
材料的剪切性能可以通过剪切试验来研究，常用的剪切试验方法有剪切强度试验和剪切模量试验。
弯曲是材料受到外力使其产生弯曲现象。
弯曲试验可以测量材料在受到弯矩作用下的性能，如抗弯强度和弹性模量等。
弯曲试验可以通过测量材料的挠度和应力来计算材料的性能参数。
材料破坏机理的研究是材料力学中的重要内容之一。
材料在受到外力作用时，可能会发生破坏，如断裂、塑性变形、蠕变等。
破坏机理的研究可以帮助我们了解材料的强度极限和在不同应力条件下的变形行为。
材料力学是工程领域中不可或缺的学科，广泛应用于材料的设计、加工和使用过程中。
通过对材料力学的研究，可以更好地理解材料的力学性能，为制造各类产品提供科学依据，提高产品的性能和可靠性。
材料力学第七章应力状态和强度理论
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y
x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2
x
y
2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c
x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2
40
x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )
C
C
C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
材料力学应力状态分析强度理论
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。
孙训方材料力学07应力状态强度理论剖析
材料力学
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx y f t
应力状态和强度理论 e
dA
dAcos α
a
f
dAsin
3、任意斜截面上的应力
dA—斜截面的面积 ,
dAcos —a-e的面积，dAsin —a-f 的面积
对研究对象列 n 和 t 方向的平衡方程
Fn 0 dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos
迹是一个圆。
圆心坐标
C(
x
y
,0)
2
圆的半径
R
(
x
2
y
)2
2 xy
此圆—称为应力圆或莫尔圆
材料力学
y
y yx
应力圆作法
x
x
x
Ｏ
xy
y
应力状态和强度理论
（1）建立 - 坐标系，选定比例尺
材料力学 y
y yx
应力状态和强度理论
D
x
x
xO
B
xy
C
A
y
D′
（2）量取 OA= x
x
AD = xy 得D点
2
材料力学
应力状态和强度理论
应力状态
提问 什么是应力状态？
如何描述一点的应力状态？
为什么要研究一点的应力状态？
3
材料力学
什么是应力状态？
应力状态和强度理论
l/2
l/2
Mz
FQ
材料力学
应力状态和强度理论
结论
同一面上不同点的应力各不相同
材料力学
F
应力状态和强度理论
F
【孙训方】材料力学第7章应力状态和强度理论.pdf
W 03D
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03D
D
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D V D 03D W D 03D V 03D V V 03D
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F V 03D V V 03D D $
G V 03D V 03D V D $
03D 03D
VD
)V $
FRV D
d >V @
)V
>V @$
FRV D
WD
)W $
VLQ D
d
>W @
>V @ )W
>V @$
VLQ D
D $
)V >V @$ )W f
D $ )V >V @$ )W >V @$
D $ )V >V @$ )W >V @$
) $
材料力学第07章应力状态与应变状态分析
以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 20 )] R sin( 2 20 )
( R cos 20 ) sin 2 ( R cos 20 )cos 2
2
cos2
xy
sin 2
同理：
x
y
2
sin 2
xy
cos2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
0
x
y
sin202 xycos200
由此得两个驻点：
01、（
01
2
）和两个极值：
tg20
2 xy x
y
y
mm
ax in
x
y ±（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力 ！
y
O
x
七、主单元体、主平面、主应力：
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
A
材料力学 第七章 应力状态和强度理论
y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
材料力学第5版(孙训方编)第七章详解
由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以
2为参变量的求 斜截面上应力，的公式：
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
2
y
sin 2
x
cos 2
12
第七章 应力状态和强度理论
Ⅱ. 应力圆
为便于求得， ，也为了便于直观地了解平面应力
状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力 圆(莫尔圆)(Mohr’s circle for stresses)来表示。
7
第七章 应力状态和强度理论
(a)
(b) (c)
对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横 截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立 体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面 应力状态。
8
第七章 应力状态和强度理论
平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先 分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的 应力。
6
第七章 应力状态和强度理论
§7-2 平面应力状态的应力分析·主应力
平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不 同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对 平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应 力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪 切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面 上的应力”)。受拉压时和圆截面 杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出： 一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处 的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根 据从该点处取出的微小正六面体── 单元体的三对相互 垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状 态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力 来表示。
材料力学孙训方
材料力学孙训方
材料力学是材料科学与工程的重要基础学科，它研究材料的力学性能和行为规律。
孙训方教授是我国在材料力学领域的知名专家，他在这一领域有着丰富的研究经验和深厚的理论功底。
本文将从材料力学的基本概念、研究对象、研究方法以及未来发展趋势等方面对孙训方教授的学术贡献进行介绍。
首先，材料力学是研究材料的内部结构和外部受力情况之间的相互作用关系。
它主要包括静力学、动力学和弹性力学等内容，通过对材料的力学行为进行分析和研究，可以揭示材料的力学性能，为材料的设计、制备和应用提供理论指导。
其次，孙训方教授在材料力学领域的研究对象主要集中在金属材料、复合材料和高分子材料等方面。
他通过对这些材料的微观结构和宏观性能进行深入研究，揭示了材料的力学行为规律，为材料的性能优化和应用提供了重要的理论支撑。
此外，孙训方教授在材料力学研究中采用了多种研究方法，包括理论分析、数值模拟和实验测试等手段。
他不仅在理论研究方面取得了丰硕成果，还在材料试验和数值模拟方面开展了大量工作，为材料力学的研究方法提供了新的思路和途径。
最后，随着科学技术的不断发展，材料力学领域也在不断拓展和深化。
未来，孙训方教授将继续致力于材料力学的研究，推动材料力学理论的创新和应用技术的发展，为我国材料科学与工程事业的发展做出新的贡献。
综上所述，孙训方教授在材料力学领域的学术贡献是不可忽视的，他的研究成果为材料科学与工程的发展做出了重要贡献。
相信在他的领导下，材料力学领域的研究将会取得更加显著的成就，为我国材料科学与工程的发展注入新的活力。
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-应力状态和强度理论(圣才出品)
一、应力状态概述（见表7-1-1） 表7-1-1 应力状态概述主要内容
二、平面应力状态的应力分析·主应力（见表7-1-2）
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表7-1-2 主应力主要内容
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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
三、空间应力状态的概念 对于受力物体内一点处的应力状态，最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力 和切应力，这种应力状态为一般的空间应力状态。在一般的空间应力状态中，有9个应力分 量，分别为正应力σx、σy、σz和切应力τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy，其中τxy＝τyx、τxz＝τzx、 τyz＝τzy。 四、应力与应变间的关系（见表7-1-3）
τA＝M2/Wp＝16×78.6/（π×0.023）Pa＝50MPa
σA＝M1/Wz＝32×39.3/（π×0.023）Pa＝50MPa
A 点单元体如图 7-2-2（d）所示。
图 7-2-2（d）
7-2 有一拉伸试样，横截面为 40mm×5mm 的矩形。在与轴线成 α＝45°角的面上 切应力 τ＝150MPa 时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力 F 的数值。
B
=
FS 2Iz
( h2 4
−
y2)
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
材料力学第七章应力状态分析
sin 2α + τ xy cos 2α
(**)
(*) 2 + (**) 2
(σ α −
σ x +σ y
2
) + (τ α ) = (
2 2
σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy
(7 - 6)
In a given problem, σx, σy, τxy are the three constants, σα,, τα are the variables. This equation is an expression for a circle of radius
σ x −α y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
(7-1)
τα =
sin 2α + τ xy cos 2α
3. Principle Stresses in Two-dimensional Problems To find the plane for a maximum or a minimum normal stress, let σ x −α y dσ α = −2[ sin 2α + τ xy cos 2α ] = 0 = −2τ α 2 dα 2τ xy tg 2α1 = − σ x −σ y
σ'=
σ x +σ y
(7 - 5)
∴τ max = ±
min
σ1 − σ 2
2
Example 7-1 For the state of stress shown in the figure, (a) find the stresses acting on the inclined plane with θ=-22.5°; (b) find the principle stresses and shown their sense on a properly oriented element; and (c) find the maximum shear stresses with the associated normal stresses and show the results on a properly oriented element. Solution: For original state of stress σx=3 Mpa σy=1 MPa τxy= -2 Mpa (a) From Eq.(7-1)
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
材料力学-07-应力分析和强度理论
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
1.斜截面上的应力 1.斜截面上的应力
y
σx
a
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
13
§7-2 平面应力状态 平面应力状态--解析法 平面应力状态 解析法： 解析法
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 − 1 2
单元体
单元体——构件内的点的代表物， 单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的 ——构件内的点的代表物 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 无限小的几何体。 常用的是正六面体。 单元体的性质—— 平行面上，应力均布； 单元体的性质——1) 平行面上，应力均布； —— 2) 平行面上，应力相等。 平行面上，应力相等。
2 2
σy
τ xy
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
σx
= 9.02 MPa
τα =
σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2
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应力状态和强度理论
材料力学
应力状态和强度理论
第七章 应力状态和强度理论
§7-1 应力状态概述 §7-2 平面应力状态的应力分析·主应力 §7-3 空间应力状态的概念 §7-4 应力与应变间的关系 §7-5 空间应力状态下的应变能密度 §7-6 强度理论及其相当应力 *§7-7 莫尔强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
迹是一个圆。
圆心坐标
C(
x
y
,0)
2
圆的半径
R
(
x
2
y
)2
2 xy
此圆—称为应力圆或莫尔圆
材料力学
y
y yx
应力圆作法
x
ห้องสมุดไป่ตู้
x
x
Ｏ
xy
y
应力状态和强度理论
（1）建立 - 坐标系，选定比例尺
材料力学 y
y yx
应力状态和强度理论
D
x
x
xO
B
xy
C
A
y
D′
（2）量取 OA= x
x
AD = xy 得D点
应力状态和强度理论
斜截面上的应力
1、截面法—沿斜截面 e-f 将单元体截开，留下左边部分的单 元体eaf 作为研究对象
e
x
a
y
yx
x xy
f
n
x
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
材料力学 y
e
x
a
yx
x xy
f
n
x
2、符号的确定
应力状态和强度理论
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
（1）由x轴转到外法线n，逆时针转时 为正； （2）正应力仍规定拉应力 为正； （3）切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转 为正。
1 2 3
材料力学
2
O B1
应力状态和强度理论
C
A1
1
主应力数值
OA1
OC CA1
x
2
y
(
x
2
y )2
2 xy
max
1
OB1
OC
CB1
( yxdAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
材料力学
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
t
应力状态和强度理论
e
dA
dAcos α
a
f
dAsin
Ft 0 dA ( xydAcos ) cos ( xdAcos )sin
( yxdAsin )sin ( ydAsin ) cos 0
由切应力互等定理可知 xy yx
材料力学
应力状态和强度理论
化简以上两个平衡方程得
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
上式反映了平面应力状态下，一点处的应力状态
材料力学
图解法
应力状态和强度理论
应力圆
将斜截面应力计算公式改写为
x
y
2
x
y
2
cos 2
2 1
3 2
3 1
材料力学
应力状态和强度理论
理由：
一、需要强度校核的危险点应力形式多种多样
材料力学
应力状态和强度理论
观察
低碳钢和铸铁的拉伸实验
低碳钢
12
铸铁
材料力学
低碳钢和铸铁的扭转实验
应力状态和强度理论
低碳钢
铸铁
材料力学
应力状态和强度理论
理由：
一、需要强度校核的危险点应力形式多种多样
二、试件破坏不只在横截面，有时也在斜截面发
（3）量取 OB= y BD′= yx 得D′点
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点
（5）以C为圆心、 CD 为半径作圆—该圆就是单元体的应力圆
材料力学
应力圆的应用
应力状态和强度理论
1、求单元体上任一截面上的应力
由应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE，
圆周上 E 点的坐标就为斜截面上的正应力 和切应力。
平面应力状态
单轴
应力状态和强度理论
y
y
z
z
yz
zy
yx xy
zx xz
x x
x
z
y
yy
y yx yx
xy xy x x x
y
x
x
y yx
xy
x
纯剪
材料力学
为什么要研究应力状态？
应力状态和强度理论
FP
A’
S平面
C’
B
C
A
x1
A
x1
3 B 3
2
x2
x2 C 2
材料力学
应力状态和强度理论
主应力与主平面
2
可见，A1 、B1 两点代表
的截面上切应力为零，
则此截面称为主平面。
O
B1
C
朱平面上的正应力称为
主应力 。
1
A1
材料力学
1
3
2
O
B1
C
1
应力状态和强度理论
2
在弹性力学中可以证明，受
力物体内一点处无论是什么
应力状态，必定存在三个垂
直的主应力面和相应的三个
主应力。
A1
对于一点处三个相互垂直 的主应力，按照惯例代数 值的大小顺序为：
2
材料力学
应力状态和强度理论
应力状态
提问 什么是应力状态？
如何描述一点的应力状态？
为什么要研究一点的应力状态？
3
材料力学
什么是应力状态？
应力状态和强度理论
l/2
l/2
Mz
FQ
材料力学
应力状态和强度理论
结论
同一面上不同点的应力各不相同
材料力学
F
应力状态和强度理论
F
F
F
结论
同一点不同方向面上的应力各不相同。
生破坏
三、复杂应力状态下不可能通过实验测定材料极
限应力
结 论 为什么要研究应力状态？
材料力学
应力状态和强度理论
§7-2 平面应力状态的应力分析·主应力
平面应力状态分析的方法：
解析法 图解法
15
材料力学
解析法
y
y yx xy
x
x
z
平面应力状态的普遍形式
应力状态和强度理论
y yx x xy
材料力学
应力状态——过同一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态。
材料力学
应力状态和强度理论
如何描述一点的应力状态？
单元体
dz dx
dy
单元体的性质： ➢ 单元体的体积为无穷小； ➢ 平行面上，应力均布； ➢ 平行面上，应力相等。
单元体及其各面上的应力来描述一 点的应力状态。
材料力学
空间应力状态
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
把上面两式等号两边平方，然后相加消去，得
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 xy
材料力学
应力状态和强度理论
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 xy
式中x、y 、xy 为已知量，上式是一个以、为变量的 圆方程。任意斜截面上的应力 、 在 - 直角坐标系内的轨
材料力学
e
x
xy
α
α n
α
α
ayx y f t
应力状态和强度理论 e
dA
dAcos α
a
f
dAsin
3、任意斜截面上的应力
dA—斜截面的面积 ,
dAcos —a-e的面积，dAsin —a-f 的面积
对研究对象列 n 和 t 方向的平衡方程
Fn 0 dA ( xydAcos )sin ( xdAcos )cos
y
n
e
x
yx x
O x
E
D
2
B
20
CF A
xy
f a
y
D′
x
材料力学
应力状态和强度理论
说明
（1）点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力必对应于应 力圆上某一点的坐标。
（2）夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上 对应两截面夹角的两倍，两者的转向一致。
A
B
B
A
2
O
C
材料力学
应力状态和强度理论