三角函数的简单模型

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某港口的水深 y(m)是时间 t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有 关时间与水深的数据：
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出的曲线如图 1－6－2 所示，经拟合，该曲线可近似地看
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【自主解答】 列表如下：
t
π －6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
2t＋π3
0
π 2
π
3π 2
2π
sin2t＋π3
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
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Fra Baidu bibliotek
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(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3 ，得 s＝4sin
π 3 ＝2
3，所以小球开始振动时
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【解】 (1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如
图)，
由图知，可设 f(t)＝Acos ωt＋b，并且周期 T＝12，
∴ω＝2Tπ＝21π2 ＝π6 .
由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5；
由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.
∴A＝0.5，b＝1.∴y＝12cos
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三角函数模型在物理学中的应用
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3 ，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作 出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？
的位移是 2 3 cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－4 cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
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1．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多个学科的知识才能 解决，其中最重要的是：(1)熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助 于解决此类问题；(2)由于应用题的背景比较新颖，情景比较陌生，所以解题的 关键是读懂题目，理解题意，弄清每个词语的含义，领会每一个词语的数学意 义，再结合相关学科的知识理解问题，从而解决问题．
5 时都可以)进港，而下午的 17 时(即 13 时到 17 时之间)离港，在港内停留的时 间最长为 16 h.
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1．本题中没有明确函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线． 2．此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角 不等式对实际问题进行预测判断．由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要 注意认真审题从中抽取基本的数学关系．
成正弦型函数 y＝Asin ωt＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出 y＝Asin ωt＋b 的表达式；
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(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于 4.5 m 时是安全的，
如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为 7 m，那么该船在什么时间段能够安
全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间
π 6 t＋1.
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(2)由题知，当 y>1 时才可对冲浪爱好者开放， ∴12cos π6 t＋1>1，∴cos π6 t>0， ∴2kπ－π2 <π6 t<2kπ＋π2 (k∈Z)， 即 12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．① ∵0≤t≤24，故可令①中 k 分别取 0，1，2， 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间， 有 6 个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午 9：00 至下午 15：00.
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单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s(厘米)和时间 t(秒)的
函数关系为 s＝3sinπ2 t＋π3 ，那么单摆来回摆的振幅为________厘米，一次所
需的时间为________秒． 【解析】 因为 s＝3sinπ2 t＋π3 ， 所以振幅为 A＝3(厘米)，周期 T＝2ππ＝4(秒)． 2 【答案】 3 4
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(2)令 10sinπ8 x－5π 4 ＋20＝15，得 sinπ8 x－5π 4 ＝－12， 而 x∈[4，16]，所以 x＝236. 令 10sinπ8 x－5π 4 ＋20＝25，得 sinπ8 x－5π 4 ＝12， 而 x∈[4，16]，所以 x＝334. 故该细菌能存活的最长时间为334－236＝83小时．
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【解】 (1)函数 h＝3sin2t＋π4 ，0≤t≤π的图象如图所示．
(2)令 t＝0，得 h＝322，所以小球开始振动时的位移为322 cm.
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(3)结合图象可知，最高点和最低点的坐标分别是π8 ，3，5π 8 ，－3，所 以小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 3 cm 和－3 cm.
2．在计算中，对于复杂的数据可借助计算器辅助计算． 3．要善于运用数形结合的思想方法来解实际应用题，如根据已知数据描出 散点图，由图联想所求函数的解析式．
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[再练一题] 2．弹簧挂着的小球做上下振动，它在 t s 时相对于平衡位置(就是静止时的 位置)的高度 h cm 由函数关系式 h＝3sin2t＋π4 确定． (1)以 t 为横坐标，h 为纵坐标，作出函数的图象(0≤t≤π)； (2)求小球开始振动(即 t＝0)时的位移； (3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移； (4)经过多少时间小球往复振动一次？ (5)每秒钟小球能往复振动多少次？
阶
阶
段
段
一
三
1.6 三角函数模型的简单应用
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
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1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模 型解决一些简单的实际问题．(重点)
2．实际问题抽象为三角函数模型．
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[基础·初探] 教材整理 三角函数的实际应用
阅读教材 P60～P64 所有内容，完成下列问题． 1．三角函数可以作为描述现实世界中__周__期___现象的一种数学模型． 2．y＝|sin x|是以_π__为周期的波浪形曲线． 3．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．
(忽略进出港所用的时间)?
【精彩点拨】 (1)从拟合曲线可知：函数
y＝Asin ωt＋b 的周期；由 t＝0 时的函数值，t
＝3 时取得的最大值，进而可求得 ω、A、b 的
值．
(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值
不小于 4.5＋7＝11.5(m)的时段．
图 1－6－2
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【自主解答】 (1)从拟合曲线可知：函数 y＝Asin ωt＋b 在一个周期内由
(1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式(其中 t 以年初以来的月为计量 单位)；
(2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量. 【导学号：00680027】
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图 1－6－1
【精彩点拨】 可设 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)来求解．
【自主解答】 (1)设动物种群数量 y 关于 t 的解析式为
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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[小组合作型] 三角函数模型简单的实际应用
如图 1－6－1，某动物种群数量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，
∴取 φ＝－π2 ，∴y＝100sinπ6 t－π2 ＋800. (2)当 t＝2 时，y＝100sinπ6 ×2－π2 ＋800＝750， 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.
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1．本例中，在审题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语 言”这个过程就是数学建模过程．
最大变到最小需 9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为 12 h，因
此2ωπ＝12，ω＝π6 .
又∵当 t＝0 时，y＝10；当 t＝3 时，ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3，
π ∴所求函数的表达式为 y＝3sin 6 t＋10(0≤t≤24)．
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(2)由于船的吃水深度为 7 m，船底与海底的距离不少于 4.5 m，故在船舶航 π
2．能够迅速地建立数学模型是解决实际问题的一项重要的基本技能．这个 过程并不神秘，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形 式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．
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[再练一题] 1 ． 已 知 某 地 一 天 从 4 ～ 16 时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 y ＝ 10sinπ8 x－5π 4 ＋20，x∈[4，16]． (1)求该地这一段时间内温度的最大温差； (2)若有一种细菌在 15 ℃到 25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细 菌最多能生存多长时间？ 【解】 (1)当 x＝14 时函数取最大值，此时最高温度为 30 ℃，当 x＝6 时 函数取最小值，此时最低温度为 10 ℃，所以最大温差为 30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
行时，水深 y 应大于或等于 7＋4.5＝11.5(m)．令 y＝3sin 6 t＋10≥11.5， 可得 sin π6 t≥12，∴2kπ＋π6 ≤π6 t≤2kπ＋5π 6 (k∈Z)， ∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)． 取 k＝0，则 1≤t≤5，取 k＝1，则 13≤t≤17； 而取 k＝2 时，25≤t≤29(不合题意，舍)． 从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨 1 时(1 时到
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[再练一题] 3．已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：时)的函数， 记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据.
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)根据以上数据，求函数 y＝f(t)的函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结 论，判断一天内上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有多少时间可供冲浪爱好者进 行运动？
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[构建·体系]
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1．如图 1－6－3 所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是
y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则－ A＋A＋ b＝b＝ 90700，0，
解得 A＝100，b＝800.
又周期 T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2Tπ＝π6 ，
∴y＝100sinπ6 t＋φ＋800.
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又当 t＝6 时，y＝900， ∴900＝100sinπ6 ×6＋φ＋800，
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【精彩点拨】 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数 y＝Asin(ωx ＋φ)表示物体振动的位移 y 随时间 x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡
位置的最大距离，T＝2ωπ为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝T1为
频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
(4)由图可知周期 T＝π，即经过π s 小球往复振动一次． (5)f＝T1＝π1 ，即每秒钟小球能往复振动π1 次．
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[探究共研型]
数据拟合问题
探究 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 【提示】 (1)根据原始数据给出散点图． (2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟 合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和 管理提供依据．