人教版高中数学直接证明与间接证明3(理)

§2.2.2反证法
【学情分析】：
前面我们学习了两种直接证明问题的方法——综合法和分析法。

在以前的学习中，学生已经接触过用反证法证明数学命题，本节课进一步熟悉运用反证法证明某些直接证明较难解决的数学问题。

【教学目标】：
（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解间接证明的方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点
（2）过程与方法：能够运用反证法证明数学问题
（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯
【教学重点】：
了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。

【教学难点】：
运用反证法证明数学问题。

【教学过程设计】：
教学环节教学活动
设计意图
一、提出问题
问题1、任找370个人，他们中生日有没有相同的呢？
问题2、将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至
少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？
思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法
的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步骤？
从实际生活的例子出发，使学生对
反证法的基本方法和步骤有一个更
深刻的认识。

二、反证法定义
1：反证法的概念：
假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法．
2：反证法的基本步骤：1）:假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2）:从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：需分成很多类进行讨论；3）：结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；4）：结论为“唯一”类命题；
三、应用
例1、已知直线,a b和平面α，如果,
a b
αα
⊄⊂，且
||
a b，求证||
aα。

解析：让学生理解反证
法的严密性和合理性；
证明：因为||
a b,
所以经过直线a , b 确定一个
平面β。

因为aα
⊄，而aβ
⊂，
所以α与β是两个不同的平面．
因为bα
⊂，且bβ
⊂，
所以b
αβ=
I.
下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直
线a 与平面α有公共点P，则P b
αβ
∈=
I，即点P是直
直观了解反证法的证明过程。

否定
结论，推出矛盾。

提醒学生：使用
反证法进行证明的关键是在正确的
推理下得出矛盾。

这个矛盾可以是
与已知条件矛盾，或与假设矛盾，
或与定义、公理、定理、事实矛盾
等。

进上步熟悉反证法的证题思路及步
骤。

引导学生结合思考题和例题归纳
出反证法所适用的题型特点和一般
步骤。

培养学生的归纳能力。

线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推
出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假
定不正确，于是原证不等利
例2、求证：2不是有理数
解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反
证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，
任一有理数都可以写成形如m n
（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．
证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，
存在互质的正整数,m n ，使得2m n =
，从而有2m n =, 因此，222m n =，
所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从
而有
2242k n =，即
222n k =
所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．
点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题
的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推
理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确
的一种方法。

四、 归纳 1. 通过思考题和例题，我们发现反证法适用于什么样的题
目？
（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件
推出结论的线索不够清晰；
（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，
而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。

2. 归纳一下反证法的证题一般步骤：
（1）否定命题的结论；
（2）进行合逻辑的推理；
（3）导出任何一种矛盾；
（4）肯定原命题的结论。

五、 练习 巩固
1. P91.练习1.2
2. 补充： 用反证法证明 （1）如果012,2
12≠-+>x x x 那么. （2）求证：过直线外一点，有且只有一条直线和这条直
线平行。

通过讲评可以及时发现学生解题中存在的问题，予以更正。

1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根,则a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
A. 假设a 、b 、c 都是偶数
B. 假设a 、b 、c 都不是偶数
C. 假设a 、b 、c 至多有两个是偶数
D. 假设a 、b 、c 至多有两个是偶数
答案：B
解：反证法的假设，恰好与结论相反，“至少有一个”的否定是“一个也没有”。

选B 。

2．用反证法证明命题“若整数n 的立方是偶数，则n 也是偶数”如下：假设n 是奇数，则n=2k+1(k ∈Z)，33(21)n k =+=_____________________________________，这与已知3n 是偶数矛盾，所以n 是偶数。

答案：32
2(463)1k k k +++
解：和的立方公式展开 333232(21)812612(463)1n k k k k k k k =+=+++=+++
答案为322(463)1k k k +++。

3．已知平面α和不在这个平面内的直线a 都垂直于平面β，求证：直线
a ∥平面α。

证明：假设a 不平行α，则a 与α必有公共点，设为点A ，过点A 在平
面α内作直线c ⊥b ，由α⊥β知，c ⊥β，而a ⊥β，则a ∥c 。

这与a 、
c 相交于点A 相矛盾，因此，假设错误，即a ∥α。

4. 已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+
>+。

（1）证明：函数()f x ∞在(-1,+)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负根。

证明：（1）令2133()1111
x x g x x x x -+-===-+++ 23'()(1)
g x x =+Q 当x≠-1 时'()0g x > ∴在(1,)-+∞上g(x)为增函数。

∵a>1时，x a 在(,)-∞+∞上为增函数，∴()f x ∞在(-1,+)上为增函数。

（2）设存在≠00x <0 (x -1)，满足0()0f x =，则021
x -+00x x 0x a =-,且0<a <1 所以00221x x -<<+0x 10<-<1,即2
，与假设矛盾，故方程f(x)=0没有负根。

5．设222,,,2,2a b c R a b c a b c ∈++=++=且满足。

证明：a,b,c 都是不大于
43的非负数。

证明：假设结论不正确，可设403c c <>
或
（1）若c<0，由222212()2a b c a b c a b c ++=++=++故
即22222222()2()a b c ab bc ac a b c c a b ++=++-+=+又得 ∵c<0，由上式可得(a+b)<0，从而a+b+c<0与题设a+b+c=2矛盾。

（2）若43
c >。

又由222()2()2(2)42a b c c a b c c c c -+=+=-=- ∴22()430a b c c -=-<。

这是不可能的，因此43
c >也是不可能的。

综合两种情况知必有403c ≤≤。

同理可证40,3
a b ≤≤ 6. 求证：抛物线12
12-=x y 上不存在关于直线y+x=0对称的两点。

证明：假设抛物线上存在关于直线y+x=0对称的两点A(a,b)和B(-b,-a)，（b a -≠，且a,b ∈R ），则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=--=1)(2112122b a a b ，两式相减得))((21b a b a a b -+=+, 由于b a -≠，则b a b a b a +==-≠+2,1)(21,0即所以，代入12
12-=a b 得 04242,02222<-=⨯-=∆=++因b b ，故方程无实根，
这与b 为实数相矛盾，故抛物线1212-=x y 上不存在关于直线y+x=0对称的两点。