经济类、管理类考研数学基础班课程讲义

《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义导论一、管理类联考数学考试大纲管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力.综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试.数学部分试题涉及的数学知识范围有：(一)算术1．整数(1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、合数2. 分数、小数、百分数3．比与比例4．数轴与绝对值(二)代数1．整式(1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解2．分式及其运算3．函数(1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数4．代数方程(1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组5．不等式(1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式.6. 数列、等差数列、等比数列(三)几何1．平面图形(1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形2．空间几何体(1)长方体(2)柱体(3)球体3．平面解析几何(1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理(1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述(1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率(1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型二、数学基础两种考查题型数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分；第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下：1. 问题求解题型说明联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案.该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明：【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或53x =(E) 不存在 【答案】C2. 条件充分性判断题型说明这类问题是结论明确，反问需要什么数学条件可以推出已给的结论，进一步说明：1)充分性逻辑角度:如果条件A 成立,能推出结论B 成立,即A B ⇒,称A 是B 的充分条件. 集合角度: B A ⊆ (A 是B 的子集)，则A 是B 的充分条件. 2)题目的设计：【题例】 题干(结论) (1)条件一 (2)条件二 3)选项设置【考题范例1】(2012)直线b x y +=是抛物线a x y +=2的切线．(1)b x y +=与a x y +=2有且仅有一个交点． (2)).(2R x a b x x ∈-≥- 【答案】A【考题范例2】(2013) 某单位年终共发了100万元奖金，奖金金额分别是一等奖1.5万元、二等奖1万元、三等奖0.5万元，则该单位至少有100人．(1)得二等奖的人数最多． (2)得三等奖的人数最多． 【答案】B【考题范例3】(2010) 设a 、b 为非负实数,则a b +≤54. (1)ab ≤116. (2)221a b +≤. 【答案】C【考题范例4】(2012)已知,m n 是正整数，则m 是偶数．(1)n m 23+是偶数． (2)2223n m +是偶数． 【答案】D【考题范例5】(2013) 1+=mq p 为质数．(1)m 为正整数，q 为质数． (2),m q 均为质数． 【答案】E4)解题策略永远是从条件推结论，但可以将条件或者结论做等价化简. 解题策略1：如果条件是等号，则直接代入结论判断是否成立; 解题策略2：如果条件是范围，则看条件范围是否落入结论的范围; 解题策略3：可找特殊值证伪，一点即可说明不充分.考点精讲第一章 算术第一节 整数一、 整数及其除法整数包括正整数、负整数和零.两个整数的和、差、积是整数，但两个整数的商不一定是整数. 1、 带余除法,使得,0||r b ≤<成立,且唯一,则称为被除所得的商叫做被除所得的余数.2、整除且,使得成立,则称整除,此时称为的约数(因数),称为的倍数，记为|b a . 3、整除的性质(1) |,||c b b a c a ⇒(2) |,||(),(,)c b c a c ma nb m n Z ⇒+∀∈ 4、整数的分类由带余除法，可根据余数将整数进行分类.例如，整数被2除的余数是0,1，从而可将整数分为两类：2,21()n n n Z +∈，即偶数和奇数；类似的，整数被3除的余数是0,1,2，从而可将整数分为三类：31,31,32()n n n n Z +++∈.5、整除数的特征被2整除的数的特征： 被5整除的数的特征： 被4,25整除的数的特征： 被8,125整除的数的特征： 被3,9整除的数的特征： 被6整除的数的特征：,,a b Z ∀∈0,b ≠,p r Z ∃∈a pb r =+,p r p a b ,r a b ,,a b Z ∀∈0,b ≠p Z ∃∈a pb =b a b a a b被10整除的数的特征： 被12整除的数的特征：【例1】当整数n 被6除时，余数为3，则下列哪项不是6的倍数？（ ）A. 3n -B. 3n +C. 2nD. 3nE. 4n【例2】如果是一个正整数,那么一定有约数( ).A.4B.5C.6D.8E.9【例3】有一个四位数,它被131除余13,被132除余130,则此数的各位数字和为( ).A.22B.23C.24D.25E.26 二、 质数与合数 1、 定义质数：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，则称这个数是质数（素数）. 合数：一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，还有别的正因数，则称这个数是合数.注：由定义知，1既不是质数也不是合数. 2、 质数的性质（1） 最小的质数是2；质数中只有2是偶数，其它都是奇数.（2） 若p 为质数，a 是任一整数，则|p a 或a 与p 互质（a 与p 的最大公因数是1） （3） 设12,,,n a a a 是n 个整数，p 为质数，若12|(,,,)n p a a a ，则p 至少能整除其中一个k a .3、 质数分解定理任何一个大于1的整数，都能分解成若干个质数的乘积，且分解形式是唯一的，即12n a p p p =⋅⋅⋅，其中1a >的整数，12,,,n p p p 均为质数【例4】三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数(素数)，且依次相差6岁，他们的年龄之和为( )岁.A ．21B ．27C ．33D ．39E ．51n 3n n -【例5】设是小于12的不同质数(素数),且,则( ).A. 10B.12C. 14D.15E. 19 【例6】如果,,a b c 为3个连续的奇数，则30a b +=．(1)1020a b c <<<<. (2)b c ,均为质数． 三、 最大公因数与最小公倍数 1、 定义（1） 公因数、最大公因数：设,a b 是两个整数，若整数d 满足|,|d a d b ，则称d 为,a b 的一个公因数（公约数），其中最大的公因数称为,a b 的最大公因数，记为(,)a b .注：若1(,)a b =，则称,a b 是互质的.（2） 公倍数、最小公倍数：设,a b 是两个整数，若整数d 满足|,|a d b d ，则称d 为,a b 的一个公倍数，其中最小的公倍数称为,a b 的最小公倍数，记为[,]a b .2、 性质（1） 若|,|a d b d ，则[,]|a b d . （2） (,)[,]a b a b a b ⋅=⋅（3） 若|a bc ，且1(,)a b =，则|a c .【例7】3018900(,),[,]a b a b ==（1）2100270,a b == （2）140810,a b ==,,a b c 8a b b c c a -+-+-=a b c ++=【例8】两个正整数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的正整数共有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．4E ．5第二节 实数及其运算一、 实数的分类整数有理数实数 分数（有限小数、无限循环小数）无理数（无限不循环小数）1、 实数的运算（1） 加、减、乘、除 （2） 乘方运算n na a a a =⋅⋅⋅，1n na a-=，01a = （3） 开方运算n ma =1n mn maa-==2、 实数的整数部分和小数部分(1) 定义：,[]x R x ∀∈表示不超过x 的最大整数，令{}[]x x x =-，称[]x 是x 的整数部分，{}x 是x 的小数部分.(2) 性质：{}[]x x x =+ 01{}x ≤< 3、 有理数（1） 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成0,(,,)mm n Z n n∈≠的形式.最简分数：若1(,)m n =，称mn为最简分数或既约分数. （2）有理数之间的相互转化分数 小数 小数 分数4、无理数无限不循环小数称为无理数. （1） 无理数与有理数的运算“有”＋、－、×、÷“有”= “有”＋、－“无”= “有”×、÷“无”=注：若是有理,a b 00a a b +=⇒== (2)处理无理数的方法：乘方、配方、有理化【例9】若是最简分数,其中取19~中的整数,,则( ) A. B. C. D.24E.以上结果均不正确【例10】已知为无理数,为有理数,则下列正确的有( )个. ①必为无理数. ②必为无理数.③必为有理数. ④可能为有理数.a b ,a b 1192b a b +=+a b=675645a (1)(3)a a ++2a 2(1)a +2(2)a +(2)(2)a a +-A. 0B.1C. 2D.3E. 4【例11】已知为有理数,c =则( ).A. 2B.3C. 4D.5E. 7 【例12的整数部分为,小数部分为,则( ).A.1 D.1- E.第三节 比和比例一、比、比例的定义 若或,则和为比例外项,和为比例内项,当时,称为和的比例中项,即2b ad =.二、比例的性质 1、比例的基本性质（1）ak a b k b=⇒=⋅（2）,(0)a mam b mb =≠ （3）a cad bc b d=⇒=2、更比定理,,a b c 222a b c ++=αβαβ=::a b c d =a cb d=a d b c ::a b b d =b a da c ab b dc d=⇒= 3、 合、分比定理a c a mbc md b d b na d nc++=⇒=++ 4、 等比定理,(0)a c e a c e k k b d f b d f b d f++===⇒=++≠++【例13】已知非零实数,满足,则( ).A. 0B. 0或8-C. 2-或1D. 1或8-E. 8-【例14】设0a b m >>>,在有意义的条件下则的大小关系为( ).A. B. C.D. E.三、百分比问题1、定义：,即,则称为是的.2、增长率注：a 比b 大%100%%(1%)a b p p a b p b-⇔⨯=⇔=⋅+ b 比a 小%100%%(1%)a b p p b a p a-⇔⨯=⇔=⋅- ,,a b c b c a c a b b a c x a b c+-+-+-===3x =123,,a m a a m I I I b m b b m-+===-+321I I I <<213I I I <<123I I I <<231I I I <<132I I I <<100%%a r b⨯=%a b r =⋅a b %r 100%⨯后来值-原来值增长的百分比=原来值100%⨯原来值-后来值减少的百分比=原来值3、增加并存的恢复问题(1) 设价格为的商品,先提价,在降价后,则变化后的价格为 .(2) 设价格为的商品,先提价,则降价 %,恢复原价.(3) 设价格为的商品,先降价,则提价 %,恢复原价.【例15】某电子产品一月份按原定价的80%出售，能获利20%.二月份由于进价降低，按同样原定价的75%出售，却能获利25%，那么二月份的进价是一月份进价的（ ）（A ）92% （B ）90% （C ）85% （D ）80% （E ）75%【例16】企业的职工人数今年比前年增加了20℅.(1)企业的职工人数去年比前年减少了20℅.(2)企业的职工人数今年比去年增加了50℅【例17】第一季度甲公司的产值比乙公司的产值低20%；第二季度，甲公司的产值比第一季度增长了20%，乙公司的产值比第一季度增长了10%；第二季度甲、乙公司的产值之比是（ ）.A.96：115B.92:115C.48:55D.24:25E.10:11p %r %r p %r p %r A A A【例18】甲、乙、丙三种物品，已知甲与乙的价格之和与丙的价格之比是7:2；乙与丙的价格之和与甲的价格之比为8:3，则甲与丙的价格之和与乙的价格之比是（ ）.A.49:50B.37:50C.37:40D.47:60E.49:60第四节 绝对值一、 绝对值的定义和性质1、 定义和几何意义（1）定义：0||000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩||0x a x a x a x a a x x a ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩（2）几何意义||a 表示点a 到原点的距离.||x a -表示点x 到a 的距离.2、 绝对值的性质（1）非负性：||0a ≥注：非负性的和为零，则每项均为零.（2）对称性：||||,||||a a a b b a =--=- （3）自比性：||||a a a -≤≤-1010||a a a a >⎧=⎨-<⎩，20,000||||20,0a b a b ab a b a b >>⎧⎪+=<⎨⎪-<<⎩ （4）平方、开方性222||||,||a a a a ===（5） 三角不等式： ||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意：取等号的条件.||||||0a b a b ab +=+⇔≥||||||||0a b a b ab +=-⇔≤||||||0a b a b ab -=+⇔≤||||||||0a b a b ab -=-⇔≥【例19】已知2|1|(2)0x y x y -++-=，则log y x =（ ）A. 0B. 1C. -1D. 2E. -2【例20】(410)z x y -=(1) 实数,,x y z满足2(21)20x y x y z -+-+=(2) 实数,,x y z满足224521x xy y y ++=--【例21】若2112||33x x--=成立，则x 的取值范围是（ ）. A. 12x > B. 12x = C. 12x < D. 12x ≥ E.12x ≤【例22】成立.(1)(2) 321x x +-+=-4.5x <-4.53x -≤≤-【例23】等式|27||2||5|m m m -=-+-成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 25m ≤≤B. 2x ≤-或5x ≥C. 25m -<<D. 2x ≤或5x ≥E. 5x ≤-或2x ≥-二、绝对值等式和不等式方法：（1）公式法；（2）零点分段讨论法；（3）平方1、绝对值等式.求解：① 方程无解.② 方程有唯一解.③ 方程有两个解.注：保证绝对值的非负性.2、绝对值不等式（1）解集为：,0,0b a b x a b b ∅≤⎧⎨-<<+>⎩(2)解集为：,0,0,0R b x a b x a b x a b b <⎧⎪≠=⎨⎪>+<->⎩或【例24】方程216x x --=的根为( ).A.或B.或73x = C. 73x =或5x =-D.或E.5x =【例25】方程213x x ++-=无根. x a b -=0b <⇒0b =⇒x a =0b >⇒x a b =±x a b -<x a b ->5x =-1x =5x =3x =3x =-53x =(1) 1x >. (2) 2x ≤-【例26】可以确定||2x y x y+=-. (1)3x y =； （2）13x y =【例27=-x 的取值范围是（ ）A. 0x <B. 2x ≥-C. 20x -≤≤D. 20x -<<E. 20x -≤<【例28】方程2x x a -=有三个不同的解,则实数a 的取值范围是( ).(A) 0a = (B) 0a >或1a <- (C) 1a <- (D) 10a -<< (E) 0a >【例29】实数x 满足13||||222x x -+-<. (1) 21||13x -< (2) 21||11x x -≤+三、绝对值最值问题1、绝对值函数取最值的结论（1）()||||f x x a x b =-+-（2）()||||f x x a x b =---（3）()||||||f x x a x b x c =-+-+-【例30】的最小值为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） （E ）【例31】若关于x 的不等式32x x a -+-<的解集是空集,则实数a 的取值范围是( ).(A) 1a < (B) 1a ≤ (C) 1a > (D) 1a ≥ (E) 1a ≠2、含有绝对值的确定取值范围的问题（1）恒成立、无解()f x a ≥恒成立()f x a ⇔<无解min ()f x a ⇔≥()f x a ≤恒成立()f x a ⇔>无解max ()f x a ⇔≤31()||||44f x x x =---1212-0114()f x a >恒成立()f x a ⇔≤无解min ()f x a ⇔>()f x a <恒成立()f x a ⇔≥无解max ()f x a ⇔<（2）有解设()f x 是绝对值的和或差构成的函数（连续），则()f x a =有解min ()f x a ⇔≤()f x a =无解min ()f x a ⇔>【例32】方程|1||1|x x a -++=无解.(1) 1a = (2) 2a <【例33】不等式24x x S -+-<无解.(1)2S ≤ (2)2S >【例34】方程|4||1|x x a --+=有无穷多解.(1)5a = (2) 5a =-【例35】|53||32|3x x ---=的解集是空集. (1)53x > (2)7563x <<第二章 代数式和函数第一节 整式一、 基本概念1、 代数式的分类单项式 整式有理式 多项式代数式 分式无理式2、一元n 次多项式1110()(0)n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠称为关于x 的一元n 次多项式.多项式相等定理：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，1110()n n n n g x b x b x b x b --=++++，则111100()(),,,n n n n f x g x a b a b a b a b --=⇔====二、 整式的运算1、乘法公式①②③④⑤注：2222221[()()()]2x y z xy yz xz x y y z z x ++---=-+-+-【例1】对任意实数x ，等式450ax x b -++=恒成立，则2015()a b +=（ ） 222()2x y x xy y ±=±+22()()x y x y x y -=+-2222()222x y z x y z xy yz xz ++=+++++3322()()x y x y x xy y ±=±+33223()33x y x x y xy y ±=±+±A.0B.1C. 1-D. 20152E. 10072【例2】已知，则（ ）（A ）83 （B ）84 （C ）85 （D ）86 （E ）87【例3】实数,,a b c 中至少有一个大于零.(1) ,,,x y z R ∈22,2a x y π=-+22,3b y z π=-+226c z x π=-+(2) x R ∈且1,x ≠1,a x =-1,b x =+21c x =-2、整式除法（1）竖式除法（2）带余除法任意多项式(),()(()0)f x g x g x ≠，则存在唯一的(),()p x r x ，使得()()()()f x g x p x r x =⋅+,其中()r x 的次数比()g x 的低，则称多项式()f x 除以()g x 商式为()p x ,余式为.3、整除（1）定义：当时，()()()f x g x p x =⋅，称整式()f x 能被整式()g x 整除，称()g x 为()f x 的一个因式，记为()|()g x f x .（2）性质：若,且,则.若,且,则.4、因式定理f x ()含有ax b -()因式⇔f x ()能被ax b -()整除⇔0b f a =(). 239x x -=433275x x x --+=()r x ()0r x =()|()h xg x ()|()g x f x ()|()h x f x ()|()h x g x ()|()h x f x ()()|()()()()h x u x f x v x g x ±注：一次因式的零点恰为对应多项式方程的根. 5、 余式定理多项式f x ()除以ax b -()的余式为().b r f a=【例4】若多项式3223()f x x a x x a =++-能被1x -整除，则实数a =（ ）A.0B. 1C. 0或1D. 2或-1E. 2或1【例5】二次三项式26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的一个因式. （1）16a =（2）2b =【例6】若2x x m ++被5x +除，余式为3-，则m =（ ）A.21B.22C.-22D.23E.-23【例7】若f x ()被1x -除，余式为9；若f x ()被2x -除，余式为16，则f x ()被12x x --()()除的余式为（ ）A. 72x +B. 73x +C. 74x +D. 75x +E. 27x +【例8】 若三次多项式g x ()满足1020324g g g g -====-()()(),()，多项式421f x x x =-+()，则34g x f x -()()被1x -除的余式为（ ）A.3B.5C.8D.9E.11三、 整式的因式分解把一个整式化为若干个其他的整式乘积的运算称为整式的因式分解. 常用的因式分解的方法： 1、 公式法2、 十字相乘法3、 待定系数法【例9】多项式326x ax bx ++-的两个因式是2x +和3x -，则第三个一次因式是（ ）A. 6x -B. 3x -C. 1x +D. 2x +E. 3x +【例10】若12x y -+()是2244xy x y m ---的一个因式，则m =（ ）A.4B.1C.-1D.2E.0第二节 分式一、 分式的基本概念1、 定义(1)0AB B≠()称为分式，其中A 称为分子，B 称为分母. （2）最简分式（既约分式）：分子和分母没有正次数的公因式的分式. 2、分式的基本性质（1）分子和分母同乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变. (2)约分：把分式的分子与分母的公因式约去.(3)通分：把异分母的分式化为与原来的分式相等的同分母的分式. 3、分式的运算（1） 分式的加减运算（2） 分式的乘除运算（3）分式的乘方运算【例11】当20051949x y ==,时，代数式4422222x y y xx xy y x y--⋅-++的值为（ ）A.-3954B.3954C.-56D.56E.128【例12】已知0a b c ++=，则111111a b c b c a c a b+++++=()()()的值为（ ）A.0B.1C.2D.-2E.-3二、1nnx x +类型 解题方法：递推公式222112k kk kx x x x +=+-()2112111111k k k k k k x x x x x x x x+++++=++-+()()()【例13】若2510x x -+=，则441x x +的值为（ ） A.527 B.257 C.526 D.256 E.356【例14】若正实数满足2421124a a a =++，则21a a a ++的值为（ ）A.12 B. 14 C. 16 D.112 E.124三、分式方程 1、 分式方程0A B =的解为00A B =⎧⎨≠⎩2、 增根：使得0A B =⎧⎨=⎩成立的根称为方程0A B =的增根【例15】若关于x 的方程2133mx x =---有增根，则m 的值为（ ） A.0 B.3 C.-1 D.-2 E.-3【例16】42233402445815x x x x x --+=-+成立.(1)x =(2) x =第三节 函数一、 函数的基本属性1、 函数的三要素：定义域、对应法则、值域 注：常用的函数定义域的基本原则 （1） 分母不能为零；（2） 偶次根式中被开方数不能小于零；（3） 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4） 零指数幂的底数不等于零； （5） 实际问题要考虑实际意义等 2、 单调性设函数f x ()在区间a b [,]有定义，对于任意的12x x a b ∈,[,]，（1） 单调增加：若12x x <，有12f x f x <()()，则称f x ()在区间a b [,]上单调增加； （2） 单调减少：若12x x <，有12f x f x >()()，则称f x ()在区间a b [,]上单调减少. (3)复合函数的单调性法则：单调性相同的两个函数复合，得到的新函数是单调增加的；单调性不同的两个函数复合，得到的新函数是单调减少的. 3、 奇偶性（1） 偶函数：若函数f x ()在定义域上满足f x f x -=()()，则称f x ()为偶函数； （2） 奇函数：若函数f x ()在定义域上满足f x f x -=-()()，则称f x ()为奇函数； （3） 性质：偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称. 二、一元二次函数1、一元二次函数的解析式（1）一般式：20f x ax bx c a =++≠()() （2）零点式：120f x a x x x x a =--≠()()()()（3）顶点式：224024b ac b f x a x a a a-=++≠()()() 2、一元二次函数的图像及其性质（1）图像：抛物线 开口 判别式 对称轴 零点 顶点（2）单调性：当0a >时，在2b a -∞-(,]上是单调减少的，在2ba -+∞[,)上是单调增加的； 当0a <时，在2b a -∞-(,]上是单调增加的，在2ba-+∞[,)上是单调减少的.（3）最值：一元二次函数在对称轴处取到最值当0a >时，开口向上，有最小值；当0a <时，开口向下，有最大值.注：限定区间的最值问题，有时还需要结合单调性来求出最值. （4）零点与韦达定理设12x x ,是一元二次函数20f x ax bx c a =++≠()()与x 轴的两个交点的横坐标（称为零点），则：12bx x a+=-12c x x a⋅=【例17】函数112x y -=在定义域上的单调性为（ ）A ．在1-∞(,)上是增函数，在1+∞(,)上是增函数 B.减函数 C ．在1-∞(,)上是减函数，在1+∞(,)上是减函数D.增函数E ．以上结论都不正确【例18】一元二次函数1y x x =-()的最大值是（ ）A.0．05B.0.1C.0.15D.0.2E.0.25【例19】设实数x y ,满足23x y +=，则222x y y ++的最小值是（ ）A. 4B. 5C. 6D.1E.1【例20】若不等式210x ax ++≥对一切102x ∈(,)都成立，则a 的取值范围是（ ）A. 0a ≥B. 10a -<<C. 512a -≤≤- D. 52a ≥- E. 1a ≤-三、指数函数和对数函数1、指数函数 （1）定义01x y a a a =>≠,(,)，定义域为R ，值域为0+∞(,).（2）图像（3）单调性当1a >，xy a =是单调增加的；当01a <<，xy a =是单调减少的. （4）底数与图像的关系当1a >，a 值逆时针变大；当01a <<，a 值也是逆时针变大的. 2、对数函数（1）定义01a y x a a =>≠log ,(,)，定义域为0+∞(,)，值域为R .（2）图像（3）单调性当1a >，x y a =是单调增加的；当01a <<，xy a =是单调减少的. （4）对数与指数的关系：对数运算与指数运算是互逆运算ba a Nb N =⇔=log3、指数与对数的运算性质：， ， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， .【例21】若，则有（ ）b a N =01a =1a a =()nm mn a a =m n m n a a a +⋅=()nn n ab a b =⋅m n m n a a a -÷=mn a =1nn aa-=log N a a N =1log 0a=log 1a a =loglog log M N M N aa a=+loglog log M M N N aa a =-log log nM Ma a n =log log logb bcaa c=1log log b a a b =log log m n b b a am n =32a -<<-（A ） （B ） （C ）（D ） （E ）以上均不正确【例22】744855285,,377a b c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是( ). (A) a b c >> (B) a c b >> (C) b a c >> (D) c a b >> (E) 以上均不正确【例23】若330m n <<log log ，则m n ,满足条件（ ）A. 1m n >>B. 1n m >>C. 01m n <<<D. 01n m <<<E. 无法判断【例24】函数223a f x x x =+-()log ()，若20f >()，则f x ()的单调递减区间为（ ）A. 1+∞(,)B. 1-∞-(,)C. 3-∞-(,)D. 1-+∞(,)E.-∞+∞(,)【例25】已知函数2234x x f x +=-⨯()，且20x x -≤，则f x ()的最大值为（ ）A.0B.1C.2D.3E.413()0.32aa a >>10.3()32aa a>>1()0.332a a a>>130.3()2a aa>>【例26】设164x ≤≤，函数42222812y x x x=+⋅(log )(log )log 的最大值和最小值分别是（ ）A.54,2B.81,9C.81,0D.54,0E.以上都不正确第三章 方程和不等式函数、方程、不等式、平面解析几何等方面的问题本质上是同一个问题，只是研究的角度不同.【主要考点】1. 代数方程：一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组.2. 其他类型的方程：绝对值方程，分式方程，根式方程，对数方程，指数方程.3.不等式：不等式的性质，一元一次不等式，一元二次不等式，简单的一元高次不等式. 4. 不等式组：由一元一次不等式和一元二次不等式等组成的不等式组.5. 其他类型的不等式：绝对值不等式，分式不等式，根式不等式，指数不等式，对数不等式.6. 均值不等式，三角不等式.7. 线性规划问题：不等式组约束下的最值问题. 8. 应用问题.第一节 方程一、基本概念1.方程、解（根）含有未知数的等式称为方程.能使方程左右两端相等的未知数的值，称为方程的解或根. 考试只要求方程的实根，即方程在实数域内的解. 2.方程的元和次“元”指的是方程中不同未知数的个数，“次”指的是方程中未知数的最高次数.二、一元一次方程1.方程的形式：ax b =2.解方程（1）若方程中的所有系数均为已知的实数，可利用代数式运算的法则求解方程； 实例：325x +=，解得1x =.（2）若方程中含有参数，特别是未知数的系数中含有参数，通常需要分情况讨论. 3.分情况讨论：① 当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ② 当0,0a b ==时，方程有无穷多解，x R ∈； ③ 当0,0a b =≠时，方程无解. 4.解析几何中的直观解释：【例 3.1】能够推出x 的方程22()0a b x a b -++=有无穷多解，下列说法中正确的个数为（ ）① 0a b +=；② 0a b +≠；③ 220a b -=；④ 0a b -=.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(E)4【例 3.2】直线2(1)y a x a a =+-+与直线2y =-有且只有一个交点，则交点的坐标为（ ）(A) (1,1)a +(B) (1,2),1a a +-≠-(C) (2,1),1a a --≠-(D) (1,2)a +- (E) (2,2),1a a --≠-三、一元二次方程1.形式：20(0)ax bx c a ++=≠ 注：如果0a =，则退化为前一种情况. 2.等价形式：220(0)0b cx x a x px q a a++=≠⇔++= 3.配方形式： 222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 4.一元二次方程的判别式：24b ac ∆=- 5.讨论：① 0∆>，方程有两个不相等的实根.② 0∆=，方程有两个相等的实根. ③ 0∆<，方程无实根.6.求根公式：1,20x =∆≥ 7.因式分解形式（十字相乘）：若12,x x 为方程的两个实根，则212()()0ax bx c a x x x x ++=--=.反之成立.8.韦达定理或根与系数关系：1212,b c x x x x a a+=-=. （1）为什么？（2）推广到一元三次方程20(0)ax bx c d a +++=≠，假定123,,x x x 为三个实根，则123123,x x x x x x ++==（3）与韦达定理有关的代数式运算1211x x += ，2212x x += 3312x x += ，4412x x += 12x x -= ，3312x x -= 【例 3.3】设12,x x 是方程250x px +-=的两个实根，若1211x x +的算术平均数为6，则p 的值为（ ）(A)50-(B)60-(C)50(D)60(E)30【例3.4】方程2780x x -+=的两个实根为121,1x x ++. （1）方程2520x x -+=的两个实根为12,x x （2）方程2520x x ++=的两个实根为12,x x【例3.5】已知方程220x ax x a +-+=有实根，则两根之积的最大值与最小值之差为（ ）(A)1 (B)89(C)29(D)19(E)无法确定【例3.6】已知一元三次方程32210x x -+=的根为1231,,x x x =，则2223x x +=（ ）(A)1- (B)12(C)1 (D)2(E)3【例 3.7】设一元三次方程320x bx cx d +++=的三个实根为123,,x x x ，则22212311x x x ++=.（1）1,5,6b c d =-=-= （2）1,5,6b c d ==-=-【例3.8】方程210x ax ++=与210x x a ++-=有一公共实根. （1）2a = （2）1a =四、二元一次方程组1.形式：111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩2.求解（1）当1110a b c ≠时， 几何解释 ①2211a b a b ≠，方程有唯一解. ②222111a b c a b c =≠，方程无解. ③222111a b c a b c ==，方程有无穷多组解. （2）其他情况，针对具体问题具体分析.3.重点：利用方程组解决应用问题，包括工程问题、行程问题、浓度问题、比例问题等. 【例3.9】一列火车驶过铁路桥，从车头上桥到车尾离开桥公用1分25秒，随后列车又穿过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道用了2分40秒，能确定火车的速度及车身的长度（假定火车始终匀速行驶）.（1）铁路桥长为900米. （2）隧道长为1800米.五、其他类型的方程1.分式方程 （1）形式：()()f x ag x = （2）求解方法① 去分母，验增根：先求方程()()0f x ag x -=的根，再验证()0g x ≠是否成立.②()()0()()0()f x ag x f x a g x g x -=⎧=⇔⎨≠⎩【例3.10】方程213111x x x x x ++=+--的所有根之和为（ ） (A)1 (B)1- (C)2 (D)2-(E)0【例3.11】一满桶纯酒精倒出10升后，加满水搅匀，再倒出4升后，再加满水.此时，桶中的纯酒精与水的体积之比是2:3，则桶的体积是（ ）升(A)15 (B)18 (C)20 (D)22(E)252.绝对值方程（1）形式：含有绝对值的方程. （2）一般形式：① 直接取正负去掉绝对值，注意检验增根.实例：1x =-② 讨论范围去掉绝对值.（3）特殊形式：通常与绝对值函数有关.【例3.12】方程214x x -+=的所有根之积为（ ） (A)3(B)5(C)3-(D)5-(E)6【例3.13】方程1222x x x a -+-+-=无实根. （1）1a ≤ （2）0.5a =3.根式方程（1）形式：含有根式的方程.（2）求解：平方去根式，检验增根.【例3.14】2=的所有根之积为（ ）(A)56(B)48(C)36(D)28(E)244.指数方程和对数方程（1）形式：含有指数或对数的方程.（2）求解：只考查简单的指数方程和对数方程，通常利用换元法进行化简. 【例3.15】方程1332x x --=的所有根之积为（ ） (A)1- (B)0 (C)13(D)1(E)3【例3.16】方程11442x x a -----⨯=有实根，则a 的取值范围是（ ）(A)30a -<<(B)3a ≤-或0a ≥(C) 30a -≤<(D)3a ≤-或0a > (E) 以上答案都不对第二节 不等式一、基本概念1.不等号≥等价于>或=，例11≥. 2.不等式的性质 ① a b b a >⇔< ② ,a b b c a c >>⇒>③ ,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<二、一元一次不等式1.形式：ax b >或0ax b ->2.分情况讨论： 几何解释① 当0a >时，b x a >； ② 当0a <时，bx a<；③ 当0,0a b =≥时，无解； ④ 当0,0a b =<时，x R ∈. 【例3.17】1211x-<<-. （1）0x < （2）32x >三、一元二次不等式1.形式：20ax bx c ++>或20ax bx c ++<.2.解集：注：只讨论0a >的情况.若0a <，既可不等式两边乘以1-后转化为正系数的情况，也可做类似的分析.【例3.18】已知不等式220ax bx ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +=（ ）(A)12-(B)10-(C)6-(D)4-(E)6【例3.19】关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立. （1）1a ≤ （2）35a >-【例3.20】若不等式2210x ax -+≥对于一切()0,1x ∈成立，则a 的取值范围是（ ）(A)11a -<≤ (B)2a < (C)12a -≤≤(D) 1a ≤(E)2a ≤四、一元高次不等式1.形式：通常为几个因式乘积的形式.2.解法：穿线法.① 去掉恒正或恒负的项，调整最高次幂的系数为正，写出等价形式. ② 在数轴上标出零点，判断实心或空心. ③ 从右向左依次穿线. ④ 奇穿偶不穿.【例3.21】不等式22(28)(2)(226)0x x x x x ----->恒成立. （1）(2,1]x ∈-- （2）4x >或2x <【例3.22】不等式(2)ln 0(1)(3)x e x xx x -≥--恒成立. （1）(0,1)(1,2](3,)x ∈+∞（2）[2,3)x ∈五、不等式组1.形式：若干个不等式联立组成不等式组.2.解法：取各个不等式解集的交集.【例 3.23】方程2(2)0x a x a +-+=的两个实根均在(1,1)-内，则a 的取值范围是（ ）(A)142a -<≤+ (B) 142a -≤≤-(C)142a <≤+(D) 142a <≤- (E) 142a <<+【例3.24】某单位年终共发50万元奖金，奖金金额分别为一等奖4万元，二等奖2万元，三等奖1万元，则该单位至少有25人.（1）得二等奖的人数最多 （2）得三等奖的人数最多六、其他类型的不等式1.分式不等式：移项，通分，穿线. 【例3.25】0x <<（1）223211x x ->- （2）当01x <<时，223211x x ->-2.绝对值不等式：讨论法，两侧法，图像法. 【例3.26】123x x +<+. （1）1x <- （2）54x >-【例3.27】2521x x x -->- （1）4x > （2）1x <-3.根式不等式：讨论法，图像法.【例3.28】x a -≥对于1x ≥恒成立. （1）34a <（2）34a =4.对数不等式和指数不等式：结合图像进行讨论.【例3.29】不等式221log ()2x x <-≤（1）112x ≤<- （2）122x <≤六、均值不等式和三角不等式1.均值不等式（1）2a b +≥(0,0)a b ≥≥，当且仅当a b =时等号成立. 等价表述：两个非负实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数.两个非负实数的等差中项大于等于它们的等比中项.222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. （2）适用范围：① 乘积为定值时，可求和的最小值.② 和为定值时，可求乘积的最大值.（3）注意事项：一定要判断取等条件.如果不满足取等条件，则无法取得相应的最值.（4）3a b c ++≥(0,0,0)a b c ≥≥≥，当且仅当a b c ==时等号成立. 实例：对号函数1y x x =+【例3.30】已知0x >，函数223y x x =+的最小值是（ ）(A)(C) (D)5 (E)【例3.31】若40y x x --<对一切正实数x 均成立，则y 的取值范围是（ ） (A)2y =(B)2y < (C)2y ≤ (D)4y ≤ (E)4y <2.三角不等式 （1）a b a b a b -≤+≤+，当且仅当0ab ≥时右侧的等号成立，当且仅当0ab ≤时左侧的等号成立.（2）()a b a b a b a b a b a b -≤-≤+⇔--≤+-≤+-， 当且仅当0ab ≤时右侧的等号成立，当且仅当0ab ≥时左侧的等号成立.【例3.32】a b a b a b -=-=+（1）0ab ≥ （2）0ab ≤七、线性规划1.解法① 根据约束条件即不等式组画出可行域.② 求出可行域的所有“尖点”，注意题目中是否有整数的要求.③ 代入目标函数，比较函数值得出结论.【例3.33】,x y 满足236x y +≤且24x y +≤，则x y +的最大值为52（1）,x y R ∈ （2）,x y N ∈第一章例题答案1-5 DCDCD 6-10 EABAD 11-15 AEDAB 16-20 CCAAB 21-25 EDDEA 26-30 ECAEB 31-35 BDADE第二章例题答案1-5 CDDEE 6-10 EACCC 11-15 AEBCD 16-20 DBEAD 21-25 BADCB 26 C第三章例题答案1-5 CEDAA 6-10 EDECC 11-15 CDBBD 16-20 CDBCD 21-25 ABDEB 26-30 BADDA 31-33 ECA。