第七章第一节 简谐运动和受迫振动
简谐运动简谐运动的图象
简谐运动简谐运动的图象1、简谐运动简谐运动的图象2、简谐运动的能量特征受迫振动共振3、实验：用单摆测定重力加速度简谐运动简谐运动的图象：1、简谐运动：简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，是一种变加速运动。
2、弹簧振子（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。
（2）当与弹簧振子相接的小球体积较小时，可以认为小球是一个质点。
（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。
（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内。
3、单摆：悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，线长比物体的直径大得多。
单摆是实际摆的理想模型。
单摆摆动的振幅很小即偏角很小时，单摆做简谐运动。
4、描述简谐运动特征的物理量（1）位移、简谐运动的位移，以平衡位置为起点，方向背离平衡位置。
（2）回复力：回复力的作用效果是使振子回到平衡位置。
简谐运动中，，负号表示力的方向总是与位移的方向相反。
（3）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间。
用T表示，单位秒（s）。
单摆周期弹簧振子的频率只与弹簧的劲度系数和振子质量有关。
（4）频率：单位时间内完成全振动的次数。
用f表示，单位赫兹（Hz）。
周期与频率的关系：（5）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。
5、简谐运动的公式描述：，A是简谐运动的振幅，ω是圆频率（或角频率），叫简谐运动在t时刻的相位，是初相位。
6、简谐运动的图象简谐运动的图象是正弦（或余弦）函数图象（注意简谐运动的具体图象形状，取决于t=0时振动物体的位置和正方向的选取，可参看“例1”）。
简谐运动图象的应用如下：（1）可直观地读取振幅A、周期T、各时刻的位移x及各时刻的振动速度的方向和加速度的方向；（2）能判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。
7、简谐运动的能量：如忽略摩擦力，只有弹力做功，那么振动系统的动能与势能互相转换，在任意时刻动能和势能的总和，即系统的机械能保持不变，机械能由振幅决定。
简谐运动和受迫振动
• 简谐运动 • 受迫振动 • 简谐运动与受迫振动的比较 • 简谐运动和受迫振动的应用
01
简谐运动
定义与特点
定义
简谐运动是指物体在平衡位置附近所做的周 期性往复运动。
特点
位移、速度和加速度均随时间按正弦或余弦 规律变化。
周期性
简谐运动具有周期性，即运动过程中会重复 相同的运动模式。
振动治疗
在医疗领域，利用简谐运动的原理， 通过特定频率的振动可以缓解迫振动原理被广泛应用于共振现象的研究和应用中，如 振动筛、音响系统等。通过调整外部驱动力的频率，可以 控制受迫振动的频率和振幅。
振动检测
在工业生产和质量控制中，利用受迫振动原理，通过测量 物体的振动响应来检测其状态和性能，如机器故障诊断、 材料质量检测等。
参数
受迫振动的参数包括位移、速度、加速度、频率、相位差和 阻尼比等。
受迫振动的实例
机械系统中的电动机、压缩机、发动机等设备的振动； 流体系统中的流体振动；
电磁系统中的电磁振动； 声学系统中的声波传播等。
03
简谐运动与受迫振动的比较
定义与特点的比较
简谐运动
物体在平衡位置附近做周期性往复运动的运动形式。其特点是振幅不变，周期 和频率是定值，能量守恒。
受迫振动
在外力作用下物体的振动。其特点是振幅和周期会随着外力的变化而变化，能 量不守恒。
公式的比较
简谐运动的公式
$x = Acos(omega t + varphi)$，其中$A$是振幅，$omega$是角频率，$t$是时间，$varphi$是初相。
受迫振动的公式
$x = Acos(omega t + varphi)$，其中$A$是振幅，$omega$是角频率，$t$是时间，$varphi$是初相。
简谐振动中的能量和受迫振动
因此：
3、简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅 越大，振动的能量越大．
4、振子或单摆振动起来之后，由于是简 谐运动，所以能量守恒，此后它的振 幅将保持不的能量守恒.
二、阻尼振动
动画演示的是实际振动情况：
1、实际的振动与理想化的振动不同， 由于振动过程中要克服阻力做功， 将一部分机械能转化为其他形式的 能量，导致振动的总能量不断减小， 即振幅不断减小．
由共振曲线可知道：
当驱动力频率等于物体固有频率时， 物体振幅最大，驱动力频率与固有频 率相差越大，物体的振幅越小.
驱动力的频率接近物体的固有频率时， 受迫振动的振幅最大，这种现象叫做 共振.
四、共振的应用和防止
共振的应用：1、共振筛
2、共鸣箱（在乐器上用的比较多）
共振的危害:
大桥若共振的话!!!
如图AO回复力做正功（重力 做正功），重力势能减少，动
能增加，到O时，动能最大，势
能最小； OB，回复力做负功， 动能减小，势能增加，到达B时， 动能为零，势能最大，同理可 分析，之后过程中能量的转化 情况．
在此过程中，因为只有重力做 功，所以总机械能不变．
3、竖直弹簧振子的振动能量
沿竖直方向振动的弹簧振 子：通过回复力（重力和 弹簧弹力的合力）做功， 动能和势能（包括重力势 能、弹性势能）间相互转 化．
实验表明：物体在外力驱动下振动时， 振动稳定后的频率等于外 力驱动的频率，跟物体的 固有频率没有关系.
四、共振：下面就是一个共振
1940年，Tacoma Narrows大桥在 建成后的4个月就因风共振而倒 塌。
共振
实验表明：
受迫振动的频率 与物体的固有频 率无关，但是如 果驱动力的频率 接近或等于物体 的固有频率时， 振动物体的振幅 将达到最大.
受迫振动与简谐运动的关系
受迫振动与简谐运动的关系受迫振动与简谐运动的关系是物理学中一个重要的研究领域。
在我们的日常生活中，我们经常遇到各种受迫振动的现象，如摆钟、电子钟摆、机械振荡器等等。
这些受迫振动不仅与简谐运动有着密切的关系，而且也对我们的日常生活产生了深刻的影响。
下面我们来分步骤阐述受迫振动与简谐运动的关系。
第一步：简谐运动的定义简谐运动是指一个物体围绕其平衡位置做周期性振动的运动形式。
简谐运动是一种十分规则的运动，它遵循着简单的正弦函数规律，其中包括运动的振幅、频率、相位等运动特征。
第二步：受迫振动的定义受迫振动是指一个物体在外部作用下受到强迫作用，从而发生振动的运动形式。
这种运动形式往往会受到外部力的扰动和振荡，其振动规律比较复杂，不太容易被测量和控制。
第三步：简谐振动与受迫振动的区别简谐振动与受迫振动的区别在于，简谐振动是一种自然振动，不受外部的干扰或者扰动，而受迫振动则是一个物体在大气扰动或其他外部力的作用下起振的过程。
简谐振动的周期与物体的质量、弹性系数和振幅有关，而受迫振动的周期则与外部力的频率和振幅有关。
第四步：受迫振动与简谐振动的关系尽管受迫振动和简谐振动之间有着很大的差异，但是它们之间同样存在着密切的关系。
当一个物体受到外部力的作用时，它会沿着外力的频率进行振动，但仍保持着简谐振动的振幅和相位的特征。
当外部力的作用频率与物体的固有频率相等时，物体达到共振状态，这时候物体的振幅会达到最大值。
这种情况在各种领域都非常常见，比如摆钟、电子钟摆、机械振荡器等都是通过受迫振动与简谐振动的共同作用来完成的。
综上所述，受迫振动与简谐运动之间存在着密切的关系。
尽管它们之间有着巨大的差异，但当它们相互作用时，物体的振动状态仍然保持着规律的特征。
这种联系不仅在理论上很有意义，而且在实际应用中也有很大的价值。
因此，我们需要不断深入研究这种关系，以便更好地应用于现代科技领域。
第七章 振动理论基础
ω < 1.25 的范围内时，振动仍然 实践证明，频率比在 0.75 < 实践证明， 的范围内时， ω0
很强烈，工程上把这一区域称为共振区。 很强烈，工程上把这一区域称为共振区。共振往往是机器或其 共振区 零件产生破坏的重要原因。因此，在设计和使用机器时， 零件产生破坏的重要原因。因此，在设计和使用机器时，必须 使其转速避开共振区。 使其转速避开共振区
满载时车厢的固有频率为
w= g
δs
=
980 = 6.4rad / s 24
每分钟振动的次数为
f ′ = 60 f = 60 × w 6 .4 = 60 × 次 / 分 = 61次 / 分 2π 6.28
例7-2 如图所示，在无重弹性梁的中点放置重量为G的物 体，其静变形为2 mm。若将重物B放在梁未变形的位置上 无初速地释放。求系统自由振动时的运动方程。
第一节
振动的概念
机械振动——物体在其平衡位置附近作周期性的机械运动 机械振动 或往复运动。 振动系统的简化
振动中最简单而且最重要的一种是谐振动。 谐振动。 谐振动 谐振动——凡是决定其位置的坐标按余弦或正弦函数规律 凡是决定其位置的坐标按余弦或正弦函数规律 谐振动 谐振动。 随时间变化的振动都是谐振动 随时间变化的振动都是谐振动。其运动方程为
（4） ω
>ω
0
，振幅B将无限增大，产生强烈的振动。这 振幅 将无限增大，产生强烈的振动。 种现象称为共振 共振。 种现象称为共振。
表示。 旋转机械产生共振时的转速称为临界转速， 旋转机械产生共振时的转速称为临界转速，用 n k 表示。 临界转速
nk = 30
π
ω0 =
30
π
k 30 g = m π δs
简谐振动：受迫振动和共振
受迫振动：电磁场中的电荷在 电场和磁场中的受迫振动
共振：电磁场中的电荷在电场 和磁场中的共振
应用：电磁学中的简谐振动、 受迫振动和共振在电磁波传播、 电磁场分析等方面的应用
生物学和医学中的简谐振动、受迫振动和共振
心脏跳动：心脏的收缩和舒张是一种简谐振动，受神经和激素的调节。
呼吸运动：呼吸过程中，肺的扩张和收缩也是一种简谐振动，受自主神经系统的调节。
受迫振动的相位 与外力的相位有 关，当外力与物 体的固有频率相 同时，相位差为 0，产生共振。
受迫振动的频率 和振幅都会随着 外力的变化而变 化，当外力消失 时，振动也会停 止。
4
共振现象及其应用
共振现象的定义
共振现象：当外 界驱动力的频率 与系统的固有频 率相同时，系统 振动幅度达到最 大，这种现象称 为共振。
利用共振原理进行结构分析和优 化
未来研究和发展的方向
研究新的控制和利用简谐振动、 受迫振动和共振的方法与策略
研究简谐振动、受迫振动和共振 对环境和生态的影响
添加标题
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添加标题
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探索简谐振动、受迫振动和共振 在工程、科技、生活中的应用
研究简谐振动、受迫振动和共振 与其他物理现象的相互作用和影 响
关。
共振原理：当驱动力的频 率与系统的固有频率接近 时，系统振动幅度迅速增 大，这种现象称为共振放
大。
共振应用：共振现象在工 程、建筑、机械、电子等 领域有广泛应用，如地震 监测、桥梁设计、机械调
谐等。
共振现象的应用
建筑结构：利用 共振原理进行建 筑设计，提高建 筑的稳定性和安 全性
机械设备：利用 共振原理进行机 械设备的优化设 计，提高设备的 工作效率和寿命
简谐运动和振动的图像
【4】如图所示，是某弹簧振子的振动图象，试由图 】如图所示，是某弹簧振子的振动图象， 象判断下列说法哪些是正确的 （ ） B A、振幅是 、振幅是3m B、周期是 、周期是8s C、4s末振子的加速度为 ，速度为负 、 末振子的加速度为0， 末振子的加速度为 D、第14s末振子的加速度为正，速度最大 末振子的加速度为正， 、 末振子的加速度为正
例3．如果下表中给出的是做简谐运动的物体的位移或速度与 ． 时刻的对应关系， 为振动周期 为振动周期， 时刻的对应关系，T为振动周期，则下列选项中正确的 ( ) AB 是
时刻 状态 物理量
0
零 零 正向最 大 负向最 大
T/4
正向最 大 负向最 大 零 零
T/2
零 零 负向最 大 正向最 大
3T/4
2.简谐运动的特点： 简谐运动的特点： 简谐运动的特点
（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的 ） 位移(这是为研究方便而规定的）。也就是说 这是为研究方便而规定的）。也就是说， 位移 这是为研究方便而规定的）。也就是说， 在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平 衡位置处。 衡位置处。
（2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动 ）回复力是一种效果力。 方向上所受的合力。 方向上所受的合力。 （3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位 ） 平衡位置”不等于“平衡状态” 置是指回复力为零的位置， 置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合 外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时， 。（如单摆摆到最低点时 外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动 方向的合力为零， 方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不 等于零，所以并不处于平衡状态） 等于零，所以并不处于平衡状态） （4）F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充 ） 是判断一个振动是不是简谐运动的充 分必要条件。 分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须 满足该条件；反之， 满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该 条件，那么该振动一定是简谐运动。 条件，那么该振动一定是简谐运动。
高中物理 单摆简谐运动的能量受迫振动和共振
单摆简谐运动的能量受迫振动和共振一、考点聚焦1、单摆，在小振幅条件下单摆做简谐运动Ⅱ2、单摆周期公式Ⅱ3、振动中的能量转化Ⅰ4、自由振动和受迫振动，受迫振动的频率Ⅰ5、共振及其常见的应用Ⅰ二、知识扫描1、单摆：一根上端固定的细线，下系一个小球就构成了单摆。
要求细线的质量、弹性可以忽略，线的长度比小球的直径大得多。
单摆的回复力是摆球重力的切向分力。
在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动。
单摆的周期公式为T=2πgl2、简谐运动的能量：简谐运动的能量就是振动系统的总机械能。
振动系统的机械能与振幅有关，振幅越大，则系统机械能越大。
阻尼振动的振幅越来越小。
3、简谐运动的过程是系统的动能和势能相互转化的过程，转化过程中机械能的总量保持不变。
在平衡位置处，动能最大势能最小，在最大位移处，势能最大，动能为零。
4、受迫振动：物体在外界驱动力的作用下的运动叫做受迫振动。
物体做稳定的受迫振动时振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
5、共振：当驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，这种现象叫做共振。
当驱动力的频率等于物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大。
驱动力的频率与物体的固有频率相差越远，受迫振动的振幅越小。
声波的共振现象叫做共鸣。
三、好题精析例1 铁道上每根钢轨长12.5m，若支持车厢的弹簧和车厢组成的系统周期为0.6s，那么列车的速度为多大时，车厢振动得最厉害？〖解析〗车厢振动的最厉害是因为发生了共振，由共振条件可知T驱=T固=0.6sT驱=vlV=6.05..12=21(m/s)〖点评〗火车行驶时，每当通过钢轨的接缝处时就受到一次冲击，该力即为驱动力。
当驱动力的频率与振动系统的固有频率相等时就发生了共振，车厢振动得最厉害。
例2 单摆做简谐运动时，下列说法正确的是（）A、摆球质量越大、振幅越大，则单摆振动的能量越大B、单摆振动能量与摆球质量无关，与振幅有关C、摆球到达最高点时势能最大，摆线弹力最大D、摆球通过平衡位置时动能最大，摆线弹力最大〖解析〗对于无阻尼单摆系统，机械能守恒，其数值等于最大位移处摆球的重力势能或平衡位置处摆球的动能。
简谐振动
机械振动和机械波一、简谐振动【【知知识识要要点点】】（1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特征是：F=-kx, a=-kx/m. （2）简谐运动的规律：○1在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。
○2在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。
○3振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。
加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
（3）振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
它是标量。
（4）周期T 和频率f ：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz ）。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f.1．一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内 A ．振子的速度越来越大B ．振子正在向平衡位置运动C ．振子的速度方向与加速度方向一致D ．以上说法都不正确2.一个弹簧振子的振动周期为0.4s ，当振子从平衡位置开始向右运动，经1.26s 时振子做的是 A ．振子正向右做加速运动 B ．振子正向右做减速运动 C ．振子正向左做加速运动 D ．振子正向左做减速运动3.（2010全国卷1）一简谐振子沿x 轴振动，平衡位置在坐标原点。
0t =时刻振子的位移0.1m x =-；4s 3t =时刻0.1m x =；4s t =时刻0.1m x =。
该振子的振幅和周期可能为A ．0. 1 m ，8s 3B ．0.1 m, 8sC ．0.2 m ，8s 3D ．0.2 m ，8s1．一个弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x 后开始振动，第二次把弹簧压缩2x 后开始振动，则两次振动的周期之比和最大加速度的大小之比分别为 [ ]A ．1∶2，1∶2B ．1∶1，1∶1C ．1∶1，1∶2D ．1∶2，1∶1 2.已知某弹簧振子做简谐运动的振幅为4cm ，下列说法正确的是[ ] A ．振子的最大位移是8cmB ．从任意时刻起，一个周期内振子通过的路程是16cmC ．从任意时刻起，半个周期内振子通过的路程是8 cmD ．从任意时刻起，1/4周期内振子通过的路程是4cm3．质点沿直线以O 为平衡位置做简谐运动，A 、B 两点分别为正最大位移处与负最大位移处的点，A 、B 相距10cm ，质点从A 到B 的时间为0.1s ，从质点到O 点时开始计时，经0.5s ，则下述说法正确的是 [ ] A ．振幅为5cm B ．振幅为10cmC ．通过路程50cmD ．质点位移为50 cm 4．对简谐运动下述说法中正确的是 [ ]A ．物体振动的最大位移等于振幅B ．物体离开平衡位置的最大距离叫振幅C ．振幅随时间做周期性变化D ．物体两次通过平衡位置的时间叫周期二、单摆1．单摆：细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量且球的直径比细线短得多的装置叫单摆．在实际摆中如果悬挂小球的细线的伸缩量和质量很小，可以忽略，细线的长度又比摆球的直径大得多时，才能将其理想化为单摆。
高中物理机械振动、机械波知识要点
高中物理机械振动、机械波知识要点1、简谐运动、振幅、周期和频率的概念（1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特征是：，。
（2）简谐运动的规律：①在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。
②在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。
③振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。
加速度与回复力、位移的变化一致，在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
（3）振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
它是标量。
（4）周期T和频率f：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T，它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f。
2、单摆的概念（1）单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。
（2）单摆的特点：①单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型；②单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关；③单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T=。
（3）单摆的应用：①计时器；②测定重力加速度g，g=。
3、受迫振动和共振（1）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。
（2）共振：①共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。
②产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。
第一节__简谐运动课件
减小 向右 减小 向左
增大 向左 增大 向右
减小 向左
减小 向右
增大 向右 增大 向左
三、简谐运动的运动规律 →O A′
振子的运动
A→O
O→A′
O→A
对平衡位置 的位移大小 和方向 回复力的大 小和方向
减小 向右
增大 向左 增大 向右 增大 向右
减小 向左
减小 向右 减小 向右
增大 向右 增大 向左 增大 向左
速度的大小 和方向
三、简谐运动的运动规律 →O A′
振子的运动
A→O
O→A′
O→A
对平衡位置 的位移大小 和方向 回复力的大 小和方向 加速度的大 小和方向
速度的大小 和方向
减小 向右
增大 向左
减小 向左
增大 向右
三、简谐运动的运动规律
振子的运动
A→O
O→A′
→O A′
O→A
对平衡位置 的位移大小 和方向 回复力的大 小和方向 加速度的大 小和方向
位置时，都具有相同的( ACDE )
A．加速度． B．动量．
C．动能． D．位移．
E．回复力． F．速度．
课堂练习
例3：作简谐运动的物体每次通过同一
位置时，都具有相同的( ACDE )
A．加速度． B．动量．
C．动能． D．位移．
E．回复力． F．速度．
课堂练习
例4：一个物体做简谐运动，如图所示
减小 向左 加速度的大 减小 向左 小和方向
速度的大小 和方向
三、简谐运动的运动规律 →O A′
振子的运动
A→O
O→A′
O→A
对平衡位置 的位移大小 和方向 回复力的大 小和方向
简谐运动ppt课件
解：方法1
31.4
15.7
设振动方程为
0
x Acos(t 0 ) 15.7
31.4
1
t(s)
v0 A sin0 15.7cms 1 a0 2 Acos0 0
A vm 31.4cms 1
sin 0
v0
A
15.7 31.4
1 2
0
6
或
5 6
a0
0,则cos0
0
0
6
t 1 v 15.7cms 1 sin( 1 ) v v 1
两振动步调相反,称反相
0
2 超前于1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x Acos( t 0 )
v
A
sin(
t
0
)
vm
cos(
t
0
2
)
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v.a. x
衡位置的运动。
• 平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿 运动方向受的力）等于0，则此位置称为平 衡位置。
•线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平 衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向 平衡位置，则称此作用力为线性回复力。
若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡
位置的位移，则
f kx
3
a 0.12 2 cos( 0.5 ) 0.103
3
(3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 cos(t ) 1
13
2
t 2 , 4
133 3
因该时刻速度为负，应舍去
简谐运动的能量转化、受迫振动和共振
01
简谐运动是自发振动，不受外界力的作用，其振动频率和振幅 是恒定的。
02
受迫振动是振动物体受到外界周期性力的作用，其振动频率和
振幅会发生变化。
共振是受迫振动的一种特殊情况，此时振动物体的固有频率与
03
外界力的频率相同或相近，振幅达到最大值。
三者在物理学中的地位和作用
简谐运动是振动现象中最简单、 最基本的运动形式，是研究复
杂振动的基础。
受迫振动和共振在工程技术 和自然界中广泛存在，如机 械振动、声学、电磁学等领
域都有广泛应用。
了解受迫振动和共振的原理有 助于更好地理解和应用相关的 物理规律，为科学技术的发展
提供理论支持。
THANKS
感谢ห้องสมุดไป่ตู้看
02
当振动物体离开平衡位置时，势 能转化为动能；当振动物体靠近 平衡位置时，动能转化为势能。
简谐运动的能量转化实例
单摆
在摆动过程中，重力势能与动能之间 相互转化。
弹簧振子
在振动过程中，弹性势能与动能之间 相互转化。
02
受迫振动
受迫振动的定义
受迫振动是指物体在外部周期性力的作用下所发生的周期性振 动。这个外部力被称为“驱动力”或“强迫力”，它使物体产 生重复的位移、速度和加速度。
共振是物理学中的一个重要概念，在 机械、电磁、光学等领域都有广泛的 应用。
共振的条件
01
共振的条件是外力的频率与系统的固有频率相等或 接近。
02
当外力的频率与系统的固有频率相差较大时，系统 振幅较小，能量增加缓慢。
03
当外力的频率与系统的固有频率相等或接近时，系 统振幅显著增大，能量增加迅速。
共振的应用与危害
04
7-1简谐振动
总能量
1 1 2 2 2 2 E = E k + E p = mω A sin (ω t + ϕ ) + kA cos2 (ω t + ϕ ) 2 2 1 1 2 2 2 2 因为 ω = k / m 所以 E = mω A = kA 2 2
由此式可见, 由此式可见, 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时 间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的， 间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方 成正比。 成正比。
19
解：设物体沿x 轴作简谐振动 设物体沿
A = 10.0 cm = 0.100 m
m 0.500 当t = 0 时 ，x = A ，cosϕ =1 ， 即 ϕ = 0
所以 x = 0.100 cos 8.00 t m vm = ω A = 8.00×0.100 m ⋅ s−1 = 0.800 m⋅s−1 × ⋅ am= ω2 A = (8.00)2 ×0.100 m ⋅ s−2 = 6.40 m⋅s−2 ⋅ 所以 v = −0.800 sin 8.00 t m⋅s−1 ⋅ a = −6.40 cos 8.00 t m⋅s−2 ⋅
F = - kx
→线性回复力 线性回复力
根据牛顿第二定律有 所以 其解 或
d2 x +ω2 x = 0 dt 2
3振动的能量 受迫振动、共振
3振动的能量受迫振动、共振七、机械振动和机械波(3)[课题] 振动的能量受迫振动、共振[教学目标]1.知道单摆振动的特点,掌握单摆的周期公式2.理解受迫振动和共振的概念[知识要点]一、简谐运动的能量简谐运动是无阻尼自由振动，在振动过程中，动能和势能相互转化，总能量保持不变，即总能量守恒，且振幅越大，总能量越大．总能量E=E K+E P=kA2/2，A一振幅。
二、受迫振动、共振（一）几个概念1、自由振动：开始给振动系统一定的能量，使其振动起来以后振动系统自由运动，不再受其他力作用，这样的振动叫自由振动．2、无阻尼振动：振动系统的总能量不变，振幅不变的振动叫无阻尼振动．无阻尼自由振动是一种理想化的振动．3、阻尼振动：振动系统的总能量逐渐减小，振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动．振动系统的阻尼越大，振幅就减小得越快，振动停下来也就越快．阻尼过大时，系统将不能发生振动．4、固有周期T（固有频率f）系统做无阻尼自由振动的周期（频率）叫固有周期（固有频率). 由振动系统本身决定．（二）受迫振动和共振1、受迫振动①物体在＿＿＿＿＿外力（驱动力）作用下的振动，叫做受迫振动．②物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于＿＿＿＿的频率，跟物体的＿＿＿＿无关．③能量特征：物休做受迫振动时，振动系统中的能量转化不仅是系统内部动能和势能的相互转化．振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行能量的交换，系统的机械能也时刻变化着，振动过程中也不一定动能最大时势能最小，应根据具体情况进行分析。
2、共振①共振是一种特殊的受迫振动，当驱动力的频率跟物体的＿＿＿＿＿＿相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。
②受迫振动的振幅A和驱动力的频率f的关系—共振曲线，如图所示，f 固表示振动物体的固有频率，由图线可以看出当驱动力的频率“远离”f 固时受迫振动的振幅减小，当驱动力的频率“接近”f 固时受迫振动的振幅增大．③发生共振时，一个周期内，外界提供的能量等于振动系统克服阻力做功而耗散的能量④共振的防止和利用利用共振：设法使驱动力的频率接近系统的固有频率，直至相等．实例：共振筛等[解题指导]【例1】如图所示，在水平方向上做简谐运动的弹簧振子，如果振子正经过平衡位置时，恰好从高处落下一橡皮泥粘在振子上，并随振子一起运动，则振子的运动情况与原来比较（ ）A 、振幅将减小B 、振幅将增大C 、周期将增大D 、周期将不变讨论：若振子在振动过程中经过A 点时，恰好从高处落下一橡皮泥粘在振子上，并随振子一起运动，则_________【例2】如图所示曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把曲轴可以带动弹簧振子上下振动，开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，测得其频率为2Hz ，然后匀速转动摇把，转速240转／分，当振子振动稳定时，它的振动周期为（ ）A ．0.5sB ．0.25sC ．2sD ．4s【例3】（1）汽车的重量一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数 k=1.5 × 105N ／m ，汽车开动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足 f=l g /21(l 为车厢在平衡位置时弹簧的压缩长度）。
第七章第一节 简谐运动和受迫振动
【思路点拨】 以下四点：
分析该题时可关注
(1)振子的初始位置及运动方向； (2)振子位移的大小、方向及其变化趋 势； (3)由位移变化判断a、v、Ek、Ep的变 化；
(4)由运动特点确定位移和路程． 【解析】 (1)由振动图象可得：
A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0 2π π 则ω＝ ＝ rad/s T 2 故该振子做简谐运动的表达式为：x＝ π 5sin t (cm)． 2
变式训练1
图7－1－6 如图7－1－6所示是甲、乙两个单摆 做简谐运动的图象，以向右的方向作 为
摆球偏离平衡位置位移的正方向，从t ＝0时刻起，当甲第一次到达右方最大 位移处时( )
A．乙在平衡位置的左方，正向右运动 B．乙在平衡位置的左方，正向左运动 C．乙在平衡位置的右方，正向右运动 D．乙在平衡位置的右方，正向左运动
4．周期性特征：物体做简谐运动时， 其位移、回复力、加速度、速度、动 量等矢量都随时间做周期性变化，它 们的变化周期就是简谐运动的周期(T); 物体的动能和势能也随时间做周期性 T 变化，其变化周期为 . 2
5．对称性特征 图7－1－2 (1)如图7－1－2所示，振子经过关于 平衡位置O对称(OP＝OP′)的两点P、 P′时,速度的大小、动能、势能相等, 相对于平衡位置的位移大小相等．
R (n＝1,2,3，„)．(3 分) g 2H .(2 分) g
因为相遇时 tB＝tC，(1 分) 2n－1 2π2R 所以 H＝ (n＝1,2,3，„)．(2 分) 8
变式训练2
(2011· 高考江苏卷)将一
劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下 端系上质量为m的物块．将物块向下 拉离平衡位置后松开，物块上下做简 谐运动,其振动周期恰好等于以物块平 衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周
第一课时 简谐运动及其图象受迫振动
的
• 一、简谐运动的五个特征 • 1．受力特征：简谐运动的回复力满足F ＝－kx，位移x与回复力的方向相反．由牛 顿第二定律知，加速度a与位移大小成正 比，方向相反．
• 2．运动特征：当v、a同向(即v、F同向， 也就是v、x反向)时v一定增大；当v、a反 向(即v、F反向，也就是v、x同向)时，v 一定减小．当物体靠近平衡位置时，a、F、 x都减小，v增大；当物体远离平衡位置时， a、F、x都增大，v减小． • 3．能量特征：对单摆和弹簧振子来说， 振幅越大，能量越大，在运动过程中，动 能和势能相互转化，机械能守恒．
1－1：摆球表面包有一小块橡皮泥， 在竖直平面内其振动图象如下图所示，某 时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆 长的变化，下列说法正确的是( )
• A．t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T ＜4 s • B．t＝1 s时刻橡皮泥脱落，此后单摆周 期T＞4 s • C．t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 A＝10 cm • D．t＝1 s时刻橡皮泥脱落，此后单摆振 幅A＝10 cm • 【解析】 因为是自然脱落，橡皮泥与摆 球之间无相互作用，摆球仍在原范围内振 动，振幅不变，即C、D正确．
• 二者关系：
.
• 3．简谐运动的两种基本模型 • (1)弹簧振子 • 弹簧振子是一种理想化的物理模型．其回 复力是由 提供，F＝－kx，k为 弹簧弹力 弹簧的劲度系数． • (2)单摆(理想化模型) • ①用细线悬挂一小球，上端固定，如果悬 理想化 挂小球的细线的形变和质量可以忽略，线 长又比球的直径大得多，这样的装置叫做 单摆．单摆是实际摆的 的物理模 型．
•
• • • •
2．图所示的是某弹簧振子的振 动图象，试由图象判断下列说法正确的是 ( ) A．振幅为3 cm，周期为8 s B．4 s末振子速度为负，加速度为0 C．第14 秒末振子加速度为正，速度最大 D．4 s末和8 s末时振子的速度相同
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(2)运动特征：a＝－k′x(负号表示加 速度方向与位移方向相反)． (3)描述简谐振动的物理量 ①振幅：反映质点__振__动_强__弱____的物 理量,它是标量． ②周期和频率：描述振动__快__慢___的 物
理量，其大小由振动系统本身决定， 与_振__幅___无关． 二、简谐运动的两种模型 模型 弹簧振子 单摆
.
5．对称性特征 图7－1－2 (1)如图7－1－2所示，振子经过关于 平衡位置O对称(OP＝OP′)的两点P、 P′时,速度的大小、动能、势能相等, 相对于平衡位置的位移大小相等．
(2)振子由P到O所用时间等于O到P′ 所用时间，即tPO＝tOP′. (3)振子往复过程中通过同一段路程(如 OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO.
3.能量特征：对单摆和弹簧振子来说， 振幅越大，能量越大．在运动过程中, 动能和势能相互转化，机械能守恒．
4．周期性特征：物体做简谐运动时，
其位移、回复力、加速度、速度、动
量等矢量都随时间做周期性变化，它
们的变化周期就是简谐运动的周期(T);
物体的动能和势能也随时间做周期性
变化，其变化周期为 T 2
变式训练1
图7－1－6 如图7－1－6所示是甲、乙两个单摆 做简谐运动的图象，以向右的方向作 为
摆球偏离平衡位置位移的正方向，从t ＝0时刻起，当甲第一次到达右方最大 位移处时( ) A．乙在平衡位置的左方，正向右运动 B．乙在平衡位置的左方，正向左运动 C．乙在平衡位置的右方，正向右运动 D．乙在平衡位置的右方，正向左运动
解析：选D.由题图可知，当甲第一次 到达正向最大位移处时是在1.5 s时， 此时乙的位移为正，即乙在平衡位置 右侧，选项A、B均错；再由位移图象 斜率表示速度，可知此时乙的斜率为 负，即表示乙在向左运动，选项C错 误、D正确．
单摆周期公式的应用
例2 (满分样板 8分)
图7－1－7
如图7－1－7所示，光滑圆弧槽半径 为R,A为最低点,C到A的距离远小于R. 两个可视为质点的小球B和C都由静止 开始释放，要使B、C两球在A点相 遇．问B到A点的距离H应满足什么条 件？
2．共振 (1)概念：当驱动力的频率等于 _固__有_频__率___时，受迫振动的振幅最大 的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于 _固__有__频__率___. (3)共振的特征：共振时_振__幅___最 大．
(4)共振曲线(如图7－1－1所示)．
图7－1－1 f＝f0时，A＝Am.f与f0差别越大，物体 做受迫振动的振幅_越__小___．
当把手以某一速度匀速转动，受迫振 动达到稳定时，砝码的振动图象如图 丙所示．若用T0表示弹簧振子的固有 周期,T表示驱动力的周期，X表示受迫 振动达到稳定后砝码振动的振幅，则
图7－1－8
(1)稳定后，物体振动的频率f＝ ________Hz. (2)欲使物体的振动能量最大，需满足 什么条件？答： __________________. (3)“某同学提出,我国火车大提速时， 需尽可能的增加铁轨单节长度，或者 是铁轨无结头”．利用上述所涉及
(2)靠近平衡位置的过程：由F＝－kx ＝ma可知，x减小，F减小，a减小， 但a与v同向，故v增大，动能增大． (3)经过同一位置时，位移、回复力、 加速度、速率、动能一定相同，但速 度、动量不一定相同,方向可能相反．
2．图象法
图7－1－3 (1)确定振动物体在任一时刻的位 移．如图7－1－3所示，对应t1、t2时 刻的
解析：选CD.建立弹簧振子模型如图 所示．由题意知，振子第一次先后经 过M、N两点时速度v相同，那么，可 以在振子运动路径上确定M、N两点，
M、N两点应关于平衡位置O对称，且 由M运动到N，振子是从左侧释放开始 运动的(若M点定在O点右侧，则振子 是从右侧释放的)．因位移、速度、加 速度和回复力都是矢量，它们要相同 必须大小相等、方向相同．M、N两点 关于O点对称，振子回复力应大小相
简谐运动的周期T.
解析：单摆周期公式 T＝2π gl， 且 kl＝ 解得 T＝2π mk .
答案：见解析
受迫振动和共振
例3 一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子, 如图7－1－8甲所示．该装置可用于 研究弹簧振子的受迫振动．匀速转动 把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力， 使振子做受迫振动．
把手匀速转动的周期就是驱动力的周 期，改变把手匀速转动的速度就可以 改变驱动力的周期．若保持把手不变, 给砝码一向下的初速度，砝码便做简 谐运动，振动图象如图乙所示．
特别提醒：由于简谐运动具有周期性 和对称性，因此，涉及简谐运动时， 往往出现多解.分析问题时应特别注意 物体在某一位置时的速度的大小和方 向、位移的大小和方向.
即时应用
1．一弹簧振子在一条直线上做简谐运 动，第一次先后经过M、N两点时速度 v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的 是( )
A．振子在M、N两点受回复力相同 B．振子在M、N两点对平衡位置的位 移相同 C．振子在M、N两点加速度大小相等 D．从M点到N点，振子先做加速度减 小的加速运动，后做加速度增大的减 速运动
题型探究讲练互动
题型1 简谐运动及其振 动图象
例1
图7－1－5
(2012·温州模拟)如图7－1－5 所示为 一弹簧振子的振动图象，试完成以下 问题： (1)写出该振子简谐运动的表达式． (2)在第2 s末到第3 s末这段时间内， 弹簧振子的加速度、速度、动能和弹 性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？ 路程是多少？
【规律总结】 物体做受迫振动时， 其振动频率等于驱动力的频率，与物 体的固有频率无关，当f驱＝f固时物体 做受迫振动的振幅最大,即发生共振．
知能演练强化闯关
本部分内容讲解结束
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等、方向相反，振子位移也是大小相 等，方向相反．由此可知，A、B选项 错误．振子在M、N两点的加速度虽然 方向相反，但大小相等，故C选项正 确．振子由M→O速度越来越大，但加 速度越来越小，振子做加速运动，振 子由O→N速度越来越小，但加速度越
来越大，振子做减速运动，故D选项 正确．
二、简谐运动的分析方法 1．对称法 (1)远离平衡位置的过程：由F＝－kx ＝ma可知，x增大，F增大，a增大， 但a与v反向，故v减小，动能减小．
模型 示意图
模型 特点 公式
弹簧振子
单摆
①忽略摩擦力，
弹簧对小球 ①细线的质量，
的弹力提供 球的直径均可
回复力
忽略
②弹簧的质量 ②摆角θ很小
可忽略
回复力F＝－ kx
①回复力F＝
－
mg l
x
l
②周期T＝2π g
三、受迫振动及共振 1．受迫振动 (1)概念：物体在_周__期__性___驱动力作 用下的振动． (2)振动特征：受迫振动的频率等于 _驱__动__力___的频率,与系统的固有频率 __________无关．
要点透析直击高考
一、简谐运动的几个重要特征 1．受力特征：简谐运动的回复力满足 F＝－kx,位移x与回复力的方向相 反．由牛顿第二定律知，加速度a与位 移大小成正比，方向相反．
2．运动特征:当物体靠近平衡位置时, x、F、a都减小，但v增大，到达平衡 位置时v最大;当物体远离平衡位置时, x 、F、a都增大，v减小．
Rg (n＝1,2,3，…)．(3 分)
B 球到 A 点的时间 tB＝
2H g .(2
分)
因为相遇时 tB＝tC，(1 分)
所以 H＝2n－812π2R(n＝1,2,3，…)．(2 分)
变式训练2 (2011·高考江苏卷)将一 劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下 端系上质量为m的物块．将物块向下 拉离平衡位置后松开，物块上下做简 谐运动,其振动周期恰好等于以物块平 衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周 期．请由单摆的周期公式推算出该物 块做
【思路点拨】 以下四点：
分析该题时可关注
(1)振子的初始位置及运动方向；
(2)振子位移的大小、方向及其变化趋 势；
(3)由位移变化判断a、v、Ek、Ep的变 化；
(4)由运动特点确定位移和路程．
【解析】 (1)由振动图象可得：
A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
则ω＝2Tπ
＝
π 2
rad/s
故该振子做简谐运动的表达式为：x＝
即时应用 2．(2012·衡阳模拟)
图7－1－4
一质点做简谐运动的振动图象如图7－ 1－4所示，质点的速度与加速度方向 相同的时间段是( ) A．0 s～0.3 s B．0.3 s～0.6 s C．0.6 s～0.9 s D．0.9 s～1.2 s
解析：选BD.质点做简谐运动时加速 度方向与回复力方向相同，与位移方 向相反，总是指向平衡位置；位移增 加时速度与位移方向相同，位移减小 时速度与位移方向相反．
第一节 简谐运动和受迫振动
基础梳理自学导引
一、简谐运动 1．回复力 (1)定义:使振动物体返回到 平衡位置 __________的力．
(2)方向：时刻指向_平__衡__位__置___． (3)来源：振动物体所受的沿振动方向 的合外力． 2．简谐运动 (1)受力特征：_F_＝__－_k_x__ (F—回复力， x—位移，负号表示回复力方向与位移 方向相反)．
位移分别为x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm. (2)确定振动的振幅．图象中最大位移 的值就是振幅，如图7－1－3所示， 振动的振幅是10 cm.
(3)确定振动的周期和频率．振动图象 上一个完整的正弦(余弦)图形在时间 轴上拉开的“长度”表示周期．
由图7－1－3可知，OD、AE、BF的间 隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f ＝1/T＝5 Hz.
(4)确定各质点的振动方向．例如图7－ 1－3中的t1时刻，质点正远离平衡位置 向正方向运动；在t3时刻，质点正向着 平衡位置运动．