2008—2017天津中考数学压轴题解析

2008年—2017年天津中考压轴题解析

1.(2008·天津)已知抛物线c bx ax y ++=232，

(Ⅰ)若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；

(Ⅱ)若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； (Ⅲ)若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<

解：(Ⅰ)当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ，

方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，3

12=

x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是

(–1,0)和(1

3 ,0)．

(Ⅱ)当a =b =1时，抛物线为y =3x 2+2x +c ，且与x 轴有公共点． 对于方程3x 2+2x +c =0，判别式△=4–12c ≥0，有c ≤1

3 ． ①当c =13 时，由方程3x 2+2x +13 =0，解得x 1=x 2= –1

3 ． 此时抛物线为y =3x 2+2x +13 与x 轴只有一个公共点(–1

3 ,0)． ②当c ＜1

3 时，

11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．

由已知–1＜x ＜1时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x = –1

3 ，

应有12

00.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，

解得–5＜c ≤–1．

综上，c =1

3 或–5＜c ≤–1．

第(Ⅱ)问解法二(图象法) 或

103c ∆=⇒=； 或 0

1010

x y x y ∆>⎧⎪

=-⇒⎨⎪=>⎩

时≤时51c -<-≤

综上，3

1

=

c 或51c -<-≤． (Ⅲ)对于二次函数c bx ax y ++=232，

由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ． ∴0>>c a ．

∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式 0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ，

∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． 又该抛物线的对称轴a

b x 3-

=， 由0=++c b a ，0>c ，,c a b o ∴-=++b a ， 得a b a -<<-2， ∴

3

2331<-y ；12=x 时，02>y ，观察图象， 可知在10<

2.(2009·天津)已知函数y 1=x ，y 2=x 2+bx+c ，α，β为方程y 1–y 2=0的两个根，点M (t ,T )在函数y 2的图象上． (Ⅰ)若α=

13，β=1

2

，求函数y 2的解析式； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ,B ，当△ABM 的面积为

3

1

12时，求t 的值；

(Ⅲ)若0＜α＜β＜1，当01t <<时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由.

解:(Ⅰ)212120y x y x bx c y y ==++-=，，，

()210x b x c ∴+-+=.

将1132

αβ==

，分别代入()2

10x b x c +-+=，得 ()()2

2

111110103322b c b c ⎛⎫⎛⎫

+-⨯+=+-⨯+= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，， 解得1166

b c =

=，. ∴函数2y 的解析式为2y 251

66

x x =-

+． 另解第(Ⅰ)问：比较系数法

∵α＝1

3

，β＝12是方程的两个根，

∴11()()032x x --=，即251

066x x -+=． …… ①

∵120y y -=， ∴2(1)0x b x c +-+=． …… ②

方程①，②相同，比较系数得 516b -=-，即16b =，1

6c =．

∴2211

66

y x x =++

另解第(Ⅰ)问：韦达定理法 ∵α+β=

56

αβ=

16

∴α、β是一元二次方程251

066x x -+=的两个根

又α、β是一元二次方程2(1)0x b x c +-+=的两个根

∴比较系数得 516b -=-，即16b =，1

6c =．

∴2211

66

y x x =++

(Ⅱ)由已知，得AB =

6

，设△

ABM 的高为h ，

31121212ABM S AB h h ∴=

==△·1144

=. 根据题意，t T -=，∴t T -=

1144

由2

11

66

T t t =+

+，得2511

66144t t -+-=

. 当

2

51166144t t -+=-时，解得125

12

t t ==；

当2

511

66144

t t -

+=

时，解得34551212t t -==. ∴t 的值为

512

另解第(Ⅱ)问：

方法1：

过点M 作x 轴的垂线，与y x =交于点N ，

111()(||)223ABM S T t ∆=--，211

66T t t =++，

解得 15

12

t =

，2t =3t =

方法

2：

当t α<<β时，S △ABM ＝S △ABC －S △ADM －S 梯形MDCB ，

即

311111*********()()()()[()()]()122232323323232t T T t =-------

+--，解得 1

5

12t =． 同理，当0t <<α时， 3111111111111

()()()()[()()]()1222223323223

t

T t T T T =-------+--，解得2

t =． 当1t β<<时，

即

3

11111111111111

()()()()[()()]()122332232323232

t T T t =-------+--，解得3t =． 方法3：

∵11(,)33A ，11

(,)22

B ， ∴||AB =．

设在△ABM 中以AB 为底的高为h ，则h ＝

288，即将直线y x =向上或向下平移1

144

个单位，得31144y x =-

，41

144

y x =+．