第八章 电子的自旋

第八章 电 子 的 自 旋
本 章 要 求
1.掌握电子的内禀属性—自旋的概念。
2.掌握电子的自旋算符和自旋波函数。
教 学 内 容
§1 电子的自旋概念 §2 电子的自旋态和自旋算符
§1 电子的自旋概念
（一）电子自旋的引入 许多实验证实电子具有自旋， 斯特恩(Stern)-盖拉赫(Gerlach) 实验就是其中之一。
Bz Bz U Fz ( cos ) or z z z z
若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在 (-1, +1)之间 但实验结果是出 连续变化，感光板将呈现连续带。 现两条分立线，对应cos = -1 和+1 。处于s态的银 原子 =0，没有轨道磁矩。 那么原子磁矩来自哪里 呢？又如何解释原子的这种空间取向量子化呢？
为了解释实验现象，乌伦贝克(Uhlenbeck) 和古 德斯密特(Goudsmit)于1925年提出电子自旋假设：
类似于地球绕太阳的运动，电子一方面绕 原子核运转，相应有轨道角动量，一方面又 有自转(自旋)，有自转(自旋)角动量。
其理论主要内容： （1）每个电子都具有自旋角动量 s ，它在空间任何 方向上的投影只能取两个数值：
0 1 2 sz 1
（本征值-ħ/2）
0 i ˆy i 0
(z 表象)
— Pauli矩阵
0 1 ˆx 1 0
0 i ˆy i 0
1 0 ˆz 0 1
ˆ ˆ s 2
0 1 ˆ Sx 2 1 0
* ( r , ) * ( r , ) 2 2

归一化条件
(r ,
2) ( r , 2) d 1
2 2
电子自旋向上 的概率
电子自旋向下 的概率
因此，电子波函数归一化时，必须同时对自旋求和 以及对空间坐标积分。 若自旋和轨道相互作用可以忽略，则电子波函数 可分离变量：
（一）电子自旋态的描述
考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式：
(r , 2 ) ( r , sz ) ( r , ) 2 第4个变量
( r , 2)
2
自旋向上分量
sz = ħ/2
(1)
自旋向下分量
sz = -ħ/2
自旋向上且位置在r处的概率密度 自旋向下且位置在r处的概率密度
0 i ˆ Sy 2 i 0
1 0 ˆ Sz 2 0 1
ˆ, S ˆ, S ˆ 的本征值±/2，相应的本征矢？ S x y z
最后考虑自旋波函数
a ( sz ) b
2
ˆ (S ) S z z
( Sz )

a 0 d 0
由力学量算符厄密性
* 0 b 0 b 0 c ˆx ˆx * c 0 b 0 c 0
得：b = c* (或c = b*)
0 c* ˆx c 0
本征值ħ/2（自旋向上），本征函数1/2 :
(3)
(r , ) 1 ( r , sz ) 2 , 2 0
(sz ) 2
自旋向上的态 — (4)
(5)
ˆz 1 2 ( r , sz ) 1 2 ( r , sz ) s 2
本征值-ħ/2（自旋向下），本征函数-1/2。
1 0 a b a b 1 0 0 1 0 1 c d c d
(反对易关系)
a b a b c d c d
x简化为：
0 b ˆx c 0
2 * * | c | 0 0 c 0 c 2 ˆx I 2 c 0 c 0 0 | c |
(?)

| c |2 1
令：c = exp[iα] (α为实），则
0 e i ˆ x i 0 e 0 1 ˆx 1 0
l
② 自旋是电子的一种内禀属性，和电子的坐标 以及动量无关，是描述电子运动状态的第四个变 量或自由度。（电子状态变量=空间坐标+自旋）
ˆ 描写，它无经典对 ③ 自旋角动量用自旋算符 s 应，因为不能写成坐标和动量的函数。
那么，电子的自旋算符该如何表示？计及自
旋后，电子的态函数又该如何表示？
§2 电子的自旋态和自旋算符
电子自旋运动的几点说明： ① 电子自旋运动与电子的“轨道”运动不同，主 要表现在两方面：
电子自旋角动量的z分量sz =±ħ/2；电子
“轨道”角动量的z分量lz = mħ。
二者的朗德因子(g因子)或回转磁比率不同。
自旋运动
e gs sz m
z
e “轨道”运动 gl lz 2m
Z
N
S
实验结论
I. 银原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II. 银原子磁矩只有两种取向 即空间是量子化的 处于s态的 银原子
理论分析 设银原子磁矩为 ，非均匀磁场为 B ，方向是 z 向。则原子在外场中的附加势能
U B Bz cos
银原子沿z 方向的受力：
磁矩与磁场 (z轴)之夹角
( r , 2)
源自文库
2
(r , (r ,
归一化条件
2) d
2) d
2
2
电子自旋向上的总概率
电子自旋向下的总概率
复数共轭* 厄米共轭+
d 1

共轭态
(r , ) 2 1 * ( r , ) * ( r , ) d 2 2 ( r , ) 2
3 2 2 2 2 2 ˆ S 算符的本征值是 S Sx S y Sz 4
仿照
2
l l (l 1)
2
2
S s( s 1)
2
2

3 4
2
1 s 2
自旋量子数s只有 一个数值
ˆz 。其本征值方程如下(3)和(5)式： 下面先计算 s
ˆz 1 2 ( r , sz ) 1 2 ( r , sz ) s 2
3. Pauli算符的矩阵表示—Pauli矩阵
1 0 ˆz s 2 0 1 1 0 ˆz 0 1
ˆ ˆz S z 2
再求 Pauli 算符的其他两个分量。令
a b ˆx ˆ z ˆ x ˆ x ˆz ＋ c d
ˆ s ˆ i s ˆ s
分量形式
（参见第3章角动量算 符部分）
ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S x y z ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S y z x ˆ ,S ˆ ] i S ˆ [S z x y
(2)
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值，所以
ˆ, S ˆ, S ˆ 的本征值都是±/2，其平方为[/2]2 S x y z
本征方程(3)、(5)
1 0 a a 2 0 1 b 2 b a a b b
a 1 2 sz 0
0 1 2 sz b
2. Pauli算符
ˆ： 引入Pauli算符
分量形式
ˆ ˆ s 2
Pauli算符 是否厄米 算符？
ˆ ˆx Sx 2 ˆ ˆy Sy 2 ˆ ˆz Sz 2
ˆ 、S ˆ 、S ˆ S x y z
的本征值都是±/2，
ˆ x、 ˆ y、 ˆ z 的本征值都是±1；
1 1 2 sz 0
（本征值ħ/2）
0 1 2 sz ( 理由? ) 1
（本征值-ħ/2）
（二）电子自旋算符和Pauli矩阵
1. 自旋算符 ˆ 描写，它虽 电子的自旋角动量可用自旋算符 s 然无经典对应，但作为角动量，应该满足角动量 的一般定义：
(r , sz ) (r ) ( sz )
(sz)即是描述自旋态的波函数，其一般形式
其归一化形式

a ( sz ) b
—自旋波函数
a 2 2 a * b * a b 1 b
自旋向上的概率 自旋向下的概率
ˆz 的本征态： 自旋角动量的z分量算符 s
由归一化条件确定a，b
a
*
a 0 1 | a | 1 a 1 0

0
b
*

0 b 1 | b | 1 b 1
ˆz 的本征态： 故自旋角动量的z分量算符 s
1 1 2 sz 0
（本征值ħ/2）
基于σ的对易关系，可以证明σ各分量之间满足:
ˆ x ˆy ˆ y ˆx 0 ˆ y ˆz ˆ z ˆy 0 ˆ ˆ ˆ x ˆz 0 z x
反对易关系
由对易关系和反对易关系还可以得到关于 Pauli 算 符的如下非常有用性质：
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x i ˆz ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y i ˆx ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i z x x z y
sz
2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量 的关系为：
e e s (SI); s (CGS) m mc
( m 电子折合质量 )
自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值：
e z B 2m
(SI)
所以Stern-Gerlach实验中，原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动，即自旋磁矩，它在 z 向投影有2个 值，所以观察到2条个分立线。
2 2 ˆx ˆy ˆ z2 的本征值都是1 。 、 、
即：
1
2 x 2 y 2 z
对易关系
ˆ ˆ ˆ SS i S
ˆ ˆ 2i ˆ
分量形式
ˆ x ˆy ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y ˆz ˆ z ˆ y 2i ˆx ˆ ˆ ˆ x ˆ z 2i ˆy z x
习惯上取α= 0
再由
ˆy ˆ z ˆx i
1 ˆ y i 0 0 0 1 1 1 0
0 ˆy i
0 1 ˆx 1 0
i 0
1 0 ˆz 0 1
0 , 1 ( r , sz ) ( r , ) 2 2
令
(sz ) 自旋向下的态 2
— (6)
a b ˆz s 2c d 1 0 ˆz s 2 0 1
由(3)-(6)式，易知
如何计算
ˆx , s ˆy ？ s