变分法二阶条件资料
西工大最优控制课程 第1章 变分法-2-欧拉方程
3 泛函求极值的一般步骤
问题：由 min J ( y) x1 F (x, y(x), y'(x))dx 求 yˆ, J ( yˆ)
y
x0
（1）由EULER方程
d
Fy
dx
(
F y
'
)
0
解出y的通解。
（2）由横截条件求出
F y
'
0
的表达式。
（3）将边值条件代入y的通解与
F y
'
0
求出积分常数，得到 yˆ
当一个端点固定时（假定x0固定）
F y x1 y' x0
Fy'y
x1
Fy'y x0
y(x0 ) 0
Fy'y x1 0Fy' x1 0
y(x0 ) y0
横截条件
F y x1 y' x0
0
当两个端点均可变时
y
y1(x)
y*(x)
δy1
δy0
y2(x)
F y x1 y' x0
Fy'y
x1
x1 0(横截条件)
x0
写成向量形式
t f
t0
(δy)T (Fy
d dx
Fy )dx (δy)T
Fy
x1 x0
0
标量函数F对y的一阶偏导
梯度向量，列向量
向量形式
tf t0
(δy)T (Fy
d dx
Fy )dx (δy)T
Fy
x1 x0
0
n维列向量
泛函极值存在的必要条件：
Fy
d dx
Fy
0
函数极值存在的必要条件
变分法.doc讲解
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
第2章变分法
第二章变分法变分法（Variational calculus ）是研究泛函极值的数学方法，早在十七世纪末，几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题（最速降线问题、最小旋转曲面问题等），导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节 泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1 设Ω为一函数的集合，若对于每一个函数Ω∈)(t x ，都有一个实数J 与之对应，则称J 是定义在Ω上的泛函，记作))((t x J 。
Ω称为J 的容许函数集合，Ω∈)(t x 称为宗量。
例 1 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函⎰+=21))(1()(2))((2x x dx x y x y x y J &π， 容许函数集合可表示为 })(,)(],,[)()({2211211y x y y x y x x C x y x y ==∈=Ω.第一章中介绍的三个性能指标1）终端型性能指标也称麦耶（Mayer ）型性能指标)),(()(11t t x x J Φ=，2）积分型性能指标还称拉格郎日（Lagrange ）型性能指标⎰=10))(),(,()(0t t dt t x t x t f x J &， 3）混合型性能指标也叫包尔查（Bolza ）型性能指标⎰+Φ=10))(),(,()),(()(011t t dt t x t x t f t t x x J &， 它们都是泛函，并且它们之间可以相互转化。
引进新的函数)(0t x ，它是如下微分方程初值问题的解.0)()),(),(,()(0000==t x t x t x t f t x && 则拉格郎日（Lagrange ）型性能指标就化为⎰=≡Φ10))(),(,()()),((01011t t dt t x t x t f t x t t x &， 变成麦耶（Mayer ）型性能指标。
变分法
tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内， M (t ) 0 。
（用反证法容易证明，略） 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt （1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ，使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线（或轨线） ，记为 x (t ) 。 1．端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ，且二次可微。 首先计算（1）式的变分：
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有
0 J
t f dt
t0
x , t ]dt | 0 F[ x x, x
t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
tf x , t ] 0 dt J [ x(t ) x(t )] 0 F[ x x, x t0 tf
J
ห้องสมุดไป่ตู้
, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
（2）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，有
件，有 J
tf
[ Fx
它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况，如二元泛函
二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法+题型和题法系统讲座
二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法 题型和题法系统讲座一、二阶变系数微分方程常数变易法已知()()()0y x p x y q x y '''++=的通解()1122Y x c y c y =+，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：令()()()()y x p x y q x y f x '''++=【例1】已知20x y xy y '''-+=的通解为()12ln Y x c x c x x =+，求2x y xy y x '''-+=的通解y 。
解：22111x y xy y x y y y x x x''''''-+=⇒-+= 令 ()()()12ln Y x v x x v x x x =+代入2111y y y x x x'''-+=，求得()1212212ln 11ln ln ln ln ln 11ln 11ln 1ln ln 2y c x c x x Y x x x x x x c x c x x x dx x x dx xxxxx xxxc x c x x x x =++⋅⋅=+-+++=++⎰⎰ 已知()()()0y x p x y q x y '''++=的一个特解1y ，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：()()()()y x p x y q x y f x '''++=可求得通解y 。
【例2】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。
【例3】已知1y x =是()2220x y x xy y '''-+=的一个特解，求()23222x y x xy y x '''-+=的通解y 。
变分法
y B(x1,y1)
A(x0 , y0)
o C
y
x D
图1.2 曲边梯形的面积
y(x0) y0,
y(x1) y1,及
x1 x0
1[y(x)]2dx l
来确定。
引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函 数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不 变条件
y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。
As
x1 ydx
x0
（1.2）
AS依y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为AB长度
l
x1 x0
1[ y(x)]2 dx const
（1.3）
这是带约束条件的泛函极值由间接
变分法，泛函As的极值曲线为
(x c2 )2 ( y c1 )2 r 2
x1 x0
F
y
d dx
(
F y
)
ydx
端点固定条件 y(x0 ) y(x1) 0 由基本引理式(1.18)
x1 x0
F
y
d dx
( Fy )
ydx
F d (F ) 0 y dx y
(1 20)
, yn )dx
fi (x, y1, y2 , , yn ) 0
（i 1, 2, , k）
y1, y2 , , yn , 1(x), 2 (x), , k (x)
新泛函欧拉方程组
F y j
d dx
F yj
理论力学7 变分法
轨道的变化 导致宏观量S 的变化，其数值远大于 ， 由此导致偏离经典轨道的所有轨道对几率的贡献为0。 对经典轨道 S = 0，因此， cos(DS / ) 经典轨道附近很小邻域内 的轨道对几率的贡献是 互相加强的。 由此得到经典粒子 q(t)- q(c)(t) 是沿经典轨道运动的结论。 这与Hamilton原理得到的结论完全相同。 对微观粒子，虽然偏离经典轨道时S ≠ 0， 但微观量S 的大小一般可以与 相比， 从而导致偏离经典的轨道对几率仍然有明显的贡献。
16
在A点发射一个粒子， 如果在B点测到该粒子的几率为P， Feynman路径积分的理论认为， P 不是粒子沿某一条特定路径的几率，q (t) (c) 而是所有可能的路径的几率的叠加， 2 即： A
B
P
all q ( t )
e
iS [ q ( t )]/
,
= h / 2 , h 是Planck常数， 这里， 其量纲与作用量（或角动量）相同, 用SI单位，其大小约为10-34，非常小。 如果体系是一个经典粒子，当粒子运动的轨道不是经典 轨道时，由于S ≠ 0，
8
对稳定值：
F [ x] =
=
t2 t1
t2
t1
eg , t )dt f ( x, x , t )dt f (x e g, x
t1
t2
e1
f f e dt g g d f = g g , x 1 dt x dt x
t1
t2
19
修正的Hamilton原理：对理想、完整、广义有势体系， 从 t1 ； q1 ( t1 ) ， … , q s ( t 1 ) ； p 1 ( t 1 ) ， … , p s ( t 1 ) 到 t2 ；q1 ( t2 ) ，… , qs ( t2 ) ； p1 ( t2 ) ，… , ps ( t2 ), 真实运动使作用量I 取稳定值。 令： f (q, q ; p, p , t) = q a pa H (q, p, t ), 则I 取稳定值的充要条件是: d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a qa dt q
变分法
寻求最优性能指标（目标函数）J (u(t)) (t f , x(t f ))
tf F(t, x(t),u(t))dt
t0
u(t) S 控制函数 f ,, F C1
x(t)
状态函数 t0固定，t f 、x(t f )自由
下面推导取得目标函数极值的最优控制策略u* (t) 和最优轨线 x* (t) 的必要条件。
变分法的基本引理 (x) C[x1, x2 ], (x) C1[x1, x2 ], (x1) (x2 ) 0, 则
x2 (x)(x)dx 0 x1
(x) 0,
x [x1, x2]
泛函极值的必要条件
F C(2) , 容许函数类S取为满足端点条件的二阶可微函数集合。
最优控制问题求解
J1 0
dt f , x(t f ), x, u,任意
x* , * 必满足正则方程：
x
H H
x
状态方程 协态方程
H (t, x*, u, * ) 满足 Hu 0
利用边界条件（端点条件）
x(t0 ) x0
(t f
)
x(t f
)
t2
J (x(t),u(t)) F(t, x(t), x' (t),u(t),u' (t))dt
t1
其欧拉方程为
Fx
Fu
d
dt d
dt
Fx' Fu '
0 0
端点变动的情况（横截条件）
在考虑泛函极值时，如果容许函数 x(t) 的一个端点不固定，而是在一条曲线
x (t) 上变动，于是端点条件可以表示为
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
2、变分法
一、泛函与变分
dt J (J ) (Lx )x (Lx )x
2 tf t0
– 二阶变分
tf
L
tf t0
t0
x L x x dt L xxx Lxxx xx Lx x x
2 xx Lx xxx Lx x (x ) dt xx (x ) Lxx 2
0 1 1
2 x (t )x (t ) dt
0
– 变分计算的形式化表示
J lim
J [ x(t ) x(t )] J [ x(t )] 0 0 J [ x(t ) x(t )] J [ x(t )] lim x(t ) x ( t ) 0 x(t ) 0 J '[ x(t )] x(t )
J [ x] J [ x * ] J [ x * x] J [ x * ] J [ x * x] J [ x * ] 0, 0 0 * * J [ x x] J [ x ] 0, 0 0 J [ x * ] 0 J [ x * ] 0 * J [ x ] 0
~ x
x
x(t ) ~ x (t ) x(t ) (t )
(t ) x(t )
0
lim
J [ x(t ) (t )] J [ x(t )]
L[ x(t )](t )
y
J [ x(t ) x(t )] | 0 L[ x(t )]x(t )
第2章 变分法
一、泛函与变分
• 泛函的概念
f ( x)
y f ( x)
变分法
18
方法II 使用第二种试探波函数
( x ) Ae
x2
1. 对第二种试探波函数确定归一化系数：
1 ( x )* ( x )dx | A |
| A|
2
2
2
e
2
x2
dx | A |
2
2
2.求能量平均值
H( ) | A | | A |
2
ˆ * H dx
e e
x2
ˆ x 2 dx He [
2 d2 2 dx 2
2
x2
1 2
x ]e
2 2
x2
dx
2 1 2 1 2 8
19
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
0 j j
I c* y* k k
k
ˆ G G c y d
j
ˆ = c* y* c j G G0 y j d k k
= c* c j G j G0 k
k j
j
y y d
* k j
= c* c j G j G0 kj k
1 2
1
2
代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 1 2 2 H 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将 代入试探波函数，得：
( x ) Ae
x
2
1 2
9
第2章变分法
第一章 变分法变分法（Variational calculus ）是研究泛函极值的数学方法，早在十七世纪末，几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题（最速降线问题、最小旋转曲面问题等），导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节 泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1 设Ω为一函数的集合，若对于每一个函数Ω∈)(t x 有一个实数J 与之对应，则称J 是定义在Ω上的泛函，记作))((t x J 。
Ω称为J 的容许函数集合，Ω∈)(t x 称为宗量。
例1 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函⎰+=21))(1()(2))((2x x dx x yx y x y J π 容许函数集合可表示为})(,)(],,[)()({2211211y x y y x y x x C x y x y ==∈=Ω绪论中介绍的三个性能指标1）终端型性能指标也称麦耶（Mayer ）型性能指标)),(()(11t t x x J Φ=2）积分型性能指标还称拉格郎日（Lagrange ）型性能指标⎰=1))(),(,()(0t t dt t xt x t f x J 3）混合型性能指标也叫包尔查（Bolza ）型性能指标⎰+Φ=1))(),(,()),(()(011t t dt t xt x t f t t x x J 它们都是泛函，并且它们之间可以相互转化。
引进新的函数)(0t x ，它是如下微分方程初值问题的解)()),(),(,()(0000==t x t x t x t f t x则拉格郎日（Lagrange ）型性能指标就化为⎰=≡Φ1))(),(,()()),((01011t t dt t xt x t f t x t t x 变成麦耶（Mayer ）型性能指标。
数理经济学第五章
其中c(0)和B(0)由k (0) k0 , k (T ) kT 决定。
注2：某些特殊情形的欧拉方程
(1) F F (t , x) d 由Euler方程 Fx Fx dt d Fx 0 dt Fx C
例：找出下列泛函的极值曲线 V [ x] (tx x )dt
t0 t1
F (t , x (t ) ah(t ), x (t ) ah(t ))dt
* * t0
t1
g (a)是R R上的连续可微函数，且 g (0)为g (a)的最大值点，所以： g (0) 0, g (0) 0。
(1) g (0) {Fx (t , x (t ), x (t ))h(t )
解： min :
T 0
1 [ f ( x)] dx
2
T
0
1 [ y] dx
2
s.t. y(0) A, y(T ) Z
根据Euler定理： d 2 2 ( 1 y ) 1 y dx y y d y ( x ) ( )0 dx 1 y ( x) 2 y ( x ) c y ( x ) cx b Nhomakorabeat
dt
s.t. k f (k ) nk c k (0) k0 , k (T ) kT
解： max
T
0
u ( f (k ) nk k )e
t
dt
t
k (0) k0 , k (T ) kT 所以：F (k ) u ( f (k ) nk k )e Fk u (c)( f (k ) n)e Fk u (c)e
数理经济学
第五章 变分法
理论力学7 变分法
t2
19
修正的Hamilton原理：对理想、完整、广义有势体系， 从 t1 ； q1 ( t1 ) ， … , q s ( t 1 ) ； p 1 ( t 1 ) ， … , p s ( t 1 ) 到 t2 ；q1 ( t2 ) ，… , qs ( t2 ) ； p1 ( t2 ) ，… , ps ( t2 ), 真实运动使作用量I 取稳定值。 令： f (q, q ; p, p , t) = q a pa H (q, p, t ), 则I 取稳定值的充要条件是: d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a qa dt q
d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a pa dt p
20
上面的2组方程就是： a = H / qa , a = 1 ,2 ,… , s . p
a H / pa , a = 1 ,2 ,… , s . 0=q
这2组方程正是正则方程。 ∴ 修正的Hamilton原理 Hamilton正则方程
17
轨道的变化 导致宏观量S 的变化，其数值远大于 ， 由此导致偏离经典轨道的所有轨道对几率的贡献为0。 对经典轨道 S = 0，因此， cos(DS / ) 经典轨道附近很小邻域内 的轨道对几率的贡献是 互相加强的。 由此得到经典粒子 q(t)- q(c)(t) 是沿经典轨道运动的结论。 这与Hamilton原理得到的结论完全相同。 对微观粒子，虽然偏离经典轨道时S ≠ 0， 但微观量S 的大小一般可以与 相比， 从而导致偏离经典的轨道对几率仍然有明显的贡献。
21
§2、正则变换 1、全微分 2、正则变换与生成函数
22
1、全微分 s个变量 q1 , q2 , … , qs组成 s 维空间， f1 (q) , f2 (q) , … , fs (q)为q的函数， A 以下4种说法互为必要充分条件： （1） fa dqa = 0;
第十七章变分法
(3) 变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法， 其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题
由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用 的是里茨 （Ritz）法． 由于里茨法中的试探函数的 选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算 机的展，又迅速发展了一种有限元法；
(4) 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，
图17.1
我们知道，此时质点的速度是 因此从 A滑到B所需的时间为
即为
（17.1.1）
式中 代表对 求一阶导数． 我们称上述的
为
的泛函，而称
为可取的函数类，为泛函
的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数
的那种含义）．
一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合，
如果对于C的任一元素
第十七章 变分法
从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形 状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条 件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了 一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似 解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已 经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定， 定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解 其实也是某种程度的近似．
泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式， 即（17.1.2）
若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点
的任意曲线进行的，其中
泛函中 为 由于两端固定，所以要求
．由(17.1.8)，有
，即
（17.2.3）
式(17.2.3)的积分号下既有 ，又有 应用分部积分法可使积分号下出现
(17.1.4)
(完整版)变分法简介(简单明了易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
二阶条件专业知识讲座
最大化V[ y]
Fyy 0 对于全部 t [0,T ]
最小化V[ y] Fyy 0 对于全部 t [0,T ]
勒让德必要条件证明（对于固定端点问题）：
根据 (4.2)
d 2V
d 2
T 0
Fyy p2 (t) 2Fyy p(t) p(t) Fyy p2 (t) dt
T vdu uv T
垂直终止线旳横截条件：[Fy]tT 0
V[y] V[y*]
垂直截断终止线旳横截条件：
第一种情况（Z1点）：
当y* ymin时， [Fy ]tT 0
V[y] V[y*]
ymin
第二种情况（Z2和Z3点） ：
当y* ymin时, 转化为固定终止点问题。
[Fy( y y*)]tT 0 V [ y] V [ y*]
q旳正半定性 r1 0, r2 0 F (t, y, y)是凸旳
例1 假如目旳泛函旳被积函数是
F (t, y, y) 4 y2 4 yy y2
欧拉方程对于最大化或最小化是充分旳吗？
用两种措施来检验 F (t, y, y)旳凹性/凸性。
第一种措施：符号（半）定性旳行列式检验。
一阶导数： Fy 8 y 4 y 和 Fy 4 y 2 y
鉴别多元函数旳凹凸性：
一对种于点定v义域(v中1, v任2,意给, v定n ) 点，当u 且(仅u1,当u2,, un ) 和另
f
(v)
f
(u)
n j 1
f j(u)(v j
uj)
时，f
(
x1
,,
xn
)为
凹函数 凸函数
其中 f j(u) f x j在 u (u1, u2,, un ) 计算其值。
A.2 变分法概要
x x1
F y'
0
x x2
变分法5
泛函变分的基本运算法则
泛函变分运算与微分运算法则基本相同
d ( F1 F2 ) dF1 dF2
d ( F ) nF dF
n n 1
d ( F1 F2 ) F2dF1 F1dF2
F1 1 d ( ) 2 ( F2dF1 F1dF2 ) F2 F2
例题：求泛函
在边界条件
J y( x ) y
2 0
' 2
y dx
2
y 0 0
时取极值的函数 y x
F d F ( )＝0 y d x y '
y 1 2
F x y
' 2
y
2
d ' 2y 2y 0 dx
变分法2
泛函极值的必要条件—欧拉方程
dy J [ y ] F x , y , dx dx x1
x2
F F dJ ( d y d y ' )dx＝0 y y ' x1
x2
变分dy和dy’不是独立无关的，因此
x2
F F d F d F x2 （ y' d y' dx＝x y' dx d y)dx＝ y' d y x1 x dx ( y' )d ydx x1 1 1
变分法1dxdy在边界条件时取极值的函数dxdy欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件确定泛函j为极大值或者极小值还需要判断其二阶变分dj大于0还是小于0
A.2 变分法概要
泛函与泛函极值 欧拉方程
10-变分法
其中
U (λ ) = ∫ V ( x)e− λ x dx
−∞ +∞
2 2
能量平均值为
E (λ ) = 〈T + V 〉 = h2λ 2 λ + U (λ ) 4m π
由于
λ → 0,
U (λ ) → U (0) = ∫ V ( x)dx ＜0，
−∞ +∞
当 λ 充分小时，式（6）中第二项是主要的，从而
和精确基态能级的比值为
E / E1 = 10 / π 2 = 1.0132
式（5）和基态波函数偏离度为
（7 ）
ε = 1− ψ1 ψ
2
= 1−
960
π
6
= 1.445 ×10 −3
（8 ）
作为基态波函数的更好的近似，可取式（4）三项， 为了满足边界条件，必须取 C4 = −(C0 + C2 ) ，因此试探波函 数可以表示为
ψ (λ , x) = N [1 + λ ( ) 2 − (1 + λ )( ) 4 ], x < a
x a x a
（9 ）
其中 N 为归一化常数， λ 为变分参数。利用归一化条件
ψ ψ = ∫ ψ 2 dx = 1
−a
a
容易求得
N 2 a = 315 /16(λ 2 + 8λ + 28)
由公式
h 2 a d 2ψ E=− ψ dx 2m ∫− a dx 2
(14)
λ 2 = IDε h
代入（14） ，即得 E ( λ ) 之极小值
(15)
E = − Dε +
以及
h Dε 2 I
(16)
ψ=