信号与系统Z变换
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x(n)的单边Z变换定义为：
X (z) Zxn x0z0 x1z1 x2z2 ... x(n)zn n0
双边Z变换定义为：
X (z) Zxn x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
例： 已知x(n)=u(n)求其Z变换表达式。
解：
X (z)
u(n)zn zn 1 z1 z2
信号与系统Z变换
信号与系统（信息工程）
1、从拉普拉斯变换到Z变换 对连续信号x(t)进行理想抽样，即x(t)乘以单位冲激序列
δT(t)， T为抽样间隔，得到抽样信号为
xs (t) x(t)T (t) x(t) (t nT ) n x(nT ) (t nT ) n
信号与系统（信息工程）
X (z) anu(n)zn
z
n
za
(6) x(n) anu(n 1).
X (z) [anu(n 1)]zn
z
n
za
|z|<1 |z|>|a| |z|<|a|
信号与系统（信息工程）
(7)单边正弦序列sinω0nu(n)和余弦序列cosω0nu(n)的Z变换
ZT sin0nun
z2
z sin 0 2z cos0
(2)单边Z变换
若xn为双边序列，单边Z变换x(n)un
ZT
X
(
z),
则有
x(n
m)
zm
X
(z)
m1
xk
z k
k 0
f
(n
m)
z m
X
(z)
m1
xk
z k
k 0
若x(n)为单边序列：
ZT
x(n m) zm X (z)
信号与系统（信息工程）
例：求信号x(n)=u(n+1)的Z变换及其收敛域。
信号与系统（信息工程） jIm[z]
|a | o
Re[z]
jIm[z]
|a |
o
Re[z]
(a)
(b)
6.1.3 典型序列的Z变换
(1) x(n)=δ(n)
X (z) ZT (n) (n)zn 1 n
jIm[z]
|a|
o
Re[z]
|b |
(c)
信号与系统（信息工程）
（2） x1(n) (n m), x2 (n) (n m), m为正整数.
jIm[z]
Rx－ Rx＋
Re[z]
信号与系统（信息工程）
根据离散序列x(n)的特性讨论X(z)的收敛域：
x(n)
x(n)
n1 n n2
0 n n1, n n2
(1) n1＜0,n2＞0时，有
n2
1
n2
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n n1
n n1
n n1
x(n)zn
x(n)z1n
n n1
n n1
因此，n1≥0时的右边序列的收敛域可以写成 |R1|＜|z|≤∞（ |R1| = |z1| ）
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
z1 0
jIm[z] a
Re[z]
例：求指数序列x(n)=anu(n) 的Z变换。
解：显然指数序列是一个 因果序列
X (z) x(n)zn
n0
an zn (az1)n
n0
n0
1 az1 (az1)2
X (z)
1 1 az1
z
z a
(z a)
Re[z]
信号与系统（信息工程）
x(n)
x(n)
n n1
0 n n1
jIm[z]
0 Z1
Re[z]
•当n1<0，绝对可和不成立 的最小z值|z1|=R2，则X(z) 收敛域为|z|<R2 •当n1>0时，剔除z=0点， 收敛域为0<|z|<R2
n
n0
n
右边序列
左边序列
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
信号与系统（信息工程）
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) anu(n) bnu(n 1)
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。
解 x(n)的双边Z变换为
X (z) anu(n) b n u(n 1) zn
信号与系统（信息工程）
例：求左边序列x(n)= -bnu(-n-1)(b＜1)的Z变换。 解：由信号的Z变换的定义可知
1
X (z) xnzn bn zn
n
n
bnzn 1 bnzn
n1
n0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
X (z)
1
1
1 b1z
z
对上式关于z求导一次， 得
dX (z)
dz
d dz
x(n) z n
n
n
x(n)
d dz
(zn )
x(n)(n)zn1 z1 nx(n)zn
n
n
信号与系统（信息工程）
上式两边乘以-z，得
(z) d
X (z)
nx(n)zn Z[nx(n)]
dz
n
即
ZT
nx(n) (z)
d
X (z)
z
d dz
1
( 1
z 1
)
(z
z 1)2
其收敛域为|z|＞1。
信号与系统（信息工程）
例 ：已知x(n)=n(n-1)an-2u(n)，求x(n)的双边Z变换X(z)。
解 根据位移性质， 得
ZT
an1u(n 1) z 1
z
1
za za
根据Z域微分性质式
na n 1u (n
ZT
1) (z)
d dz
n
1
an z n bn z n
n0
n
信号与系统（信息工程）
X (z)
anzn
1
bnzn
a n
1
b
n
n0
n
n0 z n z
z z 2z (a b)z |a|<|z|<|b|
z a z b (z a)(z b)
jIm[z]
a b Re[z]
a+b 2
解： 因为u(n)←→
U(z)
1 1 z1
,
z
1
利用Z变换的移序特性
，有X
(z)
zU
(z)
1
z z1
，因为u(n)是一个因果序列，而u(n+1)
是非因果序列，所以它的收敛域在无穷远处发生了变化，即
删除原有的无穷远点，u(n+1)的Z变换的收敛域为1＜|z|＜∞
。
信号与系统（信息工程）
3.序列线性加权(Z域微分)
X (z)
n n1
x(n)zn x(0)
它的收敛域为整个闭域z平面，即0≤|z|≤∞。
信号与系统（信息工程）
例：已知有限长序列x(n)=u(n+1)-u(n-1)。求x(n)的双边Z变 换及其收敛域。
解：
X (z) x(n)zn [u(n 1) u(n 1)]zn
n
n
1
zn z 1 z1
x(n m) z m X (z) Rx1 z Rx2
式中，m为正整数
信号与系统（信息工程）
证明： 根据双边Z变换的定义，则有
Z[x(n m)] x(n m)zn n
令 k=n+m, 则有
Z[x(n m)] x(k)z(km) k zm x(k)zk zm X (z) k
X(z)存在或级数收敛的充分条件是幂级数满足绝对可和
x(n)zn
n
或
lim
n
xn
zn
0
因为
x(n)zn
x(n) z n
n
n
信号与系统（信息工程）
为满足上述绝对可和的条件，就必须要对|z|有一 定范围的限制。这个范围一般可表示为
Rx z Rx
由此可见Z变换的收敛域为z平面上是一个以Rx-及 Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域。
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
例 ：已知x(n)= u(n) – 3nu(-n-1)，求x(n)的双边Z变换X(z)及 其收敛域。
ZT
u(n)
zBiblioteka Baidu
|z|>1
z 1
X1(z) (n m)zn zm n
z 0
X 2 (z) (n m)zn zm n
z
(3) x(n)=u(n)
X (z) u(n)zn
z
n
z 1
|z|>1
信号与系统（信息工程）
(4) x(n)= -u(-n-1)
X (z) [u(n 1)]zn
z
n
z 1
(5) x(n) anu(n)(a为实数.虚数.复数).
n n1
显然其收敛域为0≤|z|＜∞，是包括零点的半开域，即除z=∞ 外都收敛。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
n n1
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，即除z=0 外都收敛。
信号与系统（信息工程）
n2
(4)特殊情况，n1=n2=0时，这就是序列 ，
1
z 1
ZT cos0nun
zz cos0
z2 2z cos0 1
(8) x(n)=nu(n)的Z变换
X (z)
nz n
n0
1z
11 z2
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
ZT
x2 (n) X 2 (z) Rx21 z Rx22
dz
由于n2x(n)=n［nx(n)］，得
Z[n2 x(n)]
z d
dz
z
d dz
X
( z )
信号与系统（信息工程）
例：已知x(n)=nu(n),求其Z变换及其收敛域。
解 ：u(n)的Z变换
U(z)
1 1 z1
,
z
1
由z域微分特性可知，
x(n) nu(n) X (z) z d U (z) dz
X s (s) L[xs (t)] x(nT )esnT n
令
，Xs(s)变为X(z)，得
X (z) x(nT )zn
n
取T=1，得
X (z) x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X (z) x(n)zn n0
单边Z变换
2、从离散时间序列直接定义 设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则
信号与系统（信息工程）
例：已知x(n)=3n［u(n+1)-u(n-2)］，求x(n)的双边Z变换及 其收敛域。
解 x(n)可以表示为
x(n) 3n u(n 1) 3n u(n 2) 31 3n1u(n 1) 32 3n2 u(n 2)
ZT
3n u(n)
z
z3
z 3
信号与系统（信息工程）
若x(n) ←→ X(z)，α<|z|<β，则有
nx(n)
ZT
(
z
)
dX
(
z)
dz
ZT
n2x(n) (z)
d dz
( z )
d dz
X (z)
nm x(n)
ZT
(z)
d dz
z
d dz
d dz
X
(
z)
式中， m为正整数。
信号与系统（信息工程）
证： 根据双边Z变换的定义，则有
X (z) x(n)zn n
z b
zb
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
b
╳
Re[z]
z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列 ，它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对 此序列进行Z变换得到
1
X (z) Zxn x(n)zn x(n)zn x(n)zn
z
1
a
(z
z a)2
再应用位移性质得
(n
1)a
n
2u(n
2)
ZT
z
1
(
z
1 a)
n1
n2
x(n)zn x(n)zn
n1
n n1
信号与系统（信息工程）
上式中除了第一项的z=∞处及第二项中的z=0处
外都收敛，所以总收敛域为0＜|z|＜∞。有时将这个
开域(0,∞)称为“有限z平面”。
(2)n1＜0,n2＜0时，有
n2
X (z)
n2
x(n)zn x(n)zn
n n1
n1
x(k)zn 1 zn z 1 1
n
n1
z
所以，当 0 z 时，上式级数收敛。于是得
X (z) z 1 z1 z2 z 1 0 z z
信号与系统（信息工程）
Z变换为
x(n)
x(n) 0
n n1 n n1
X (z) x(n)zn
n n1
(1) n1≥0时，这时的右边序列就是因果序列。
根据位移性质，得
ZT
3n1u(n 1) z
z
z2
3 z
z3 z3
ZT
3n2 u(n 2) z 2
z
1
z 3
z 3 z(z 3)
根据线性性质，得
X (z) Z[x(n)] z2 9 z3 27 3 z 3(z 3) z(z 3) 3z(z 3)
信号与系统（信息工程）
ZT
3n u(n 1)
z
z3
|z|<3
由线性性质得
X (z) z z 2z2 4z z 1 z 3 (z 1)(z 3)
1<|z|<3
信号与系统（信息工程）
2. 位移(时移)性 (1)双边Z变换
ZT
若x(n) X (z), Rx1 z Rx2 ,则有
x(n m) zm X (z) Rx1 z Rx2
n
n0
由等比数列求和的性质可知，上式的级数在 |z-1|≥1时是发散的，只有在|z-1|＜1时才收敛。这时无 穷级数可以用封闭形式表示为
X (z)
n0
zn
1 1 z1
1 z
信号与系统（信息工程）
6.1.2 Z变换的收敛域
对于任意给定的有界序列x(n)，使其Z变换式收敛的所有z 值的集合，称为Z变换X(z)的收敛域。
X (z) Zxn x0z0 x1z1 x2z2 ... x(n)zn n0
双边Z变换定义为：
X (z) Zxn x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
例： 已知x(n)=u(n)求其Z变换表达式。
解：
X (z)
u(n)zn zn 1 z1 z2
信号与系统Z变换
信号与系统（信息工程）
1、从拉普拉斯变换到Z变换 对连续信号x(t)进行理想抽样，即x(t)乘以单位冲激序列
δT(t)， T为抽样间隔，得到抽样信号为
xs (t) x(t)T (t) x(t) (t nT ) n x(nT ) (t nT ) n
信号与系统（信息工程）
X (z) anu(n)zn
z
n
za
(6) x(n) anu(n 1).
X (z) [anu(n 1)]zn
z
n
za
|z|<1 |z|>|a| |z|<|a|
信号与系统（信息工程）
(7)单边正弦序列sinω0nu(n)和余弦序列cosω0nu(n)的Z变换
ZT sin0nun
z2
z sin 0 2z cos0
(2)单边Z变换
若xn为双边序列，单边Z变换x(n)un
ZT
X
(
z),
则有
x(n
m)
zm
X
(z)
m1
xk
z k
k 0
f
(n
m)
z m
X
(z)
m1
xk
z k
k 0
若x(n)为单边序列：
ZT
x(n m) zm X (z)
信号与系统（信息工程）
例：求信号x(n)=u(n+1)的Z变换及其收敛域。
信号与系统（信息工程） jIm[z]
|a | o
Re[z]
jIm[z]
|a |
o
Re[z]
(a)
(b)
6.1.3 典型序列的Z变换
(1) x(n)=δ(n)
X (z) ZT (n) (n)zn 1 n
jIm[z]
|a|
o
Re[z]
|b |
(c)
信号与系统（信息工程）
（2） x1(n) (n m), x2 (n) (n m), m为正整数.
jIm[z]
Rx－ Rx＋
Re[z]
信号与系统（信息工程）
根据离散序列x(n)的特性讨论X(z)的收敛域：
x(n)
x(n)
n1 n n2
0 n n1, n n2
(1) n1＜0,n2＞0时，有
n2
1
n2
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n n1
n n1
n n1
x(n)zn
x(n)z1n
n n1
n n1
因此，n1≥0时的右边序列的收敛域可以写成 |R1|＜|z|≤∞（ |R1| = |z1| ）
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
z1 0
jIm[z] a
Re[z]
例：求指数序列x(n)=anu(n) 的Z变换。
解：显然指数序列是一个 因果序列
X (z) x(n)zn
n0
an zn (az1)n
n0
n0
1 az1 (az1)2
X (z)
1 1 az1
z
z a
(z a)
Re[z]
信号与系统（信息工程）
x(n)
x(n)
n n1
0 n n1
jIm[z]
0 Z1
Re[z]
•当n1<0，绝对可和不成立 的最小z值|z1|=R2，则X(z) 收敛域为|z|<R2 •当n1>0时，剔除z=0点， 收敛域为0<|z|<R2
n
n0
n
右边序列
左边序列
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
信号与系统（信息工程）
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) anu(n) bnu(n 1)
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。
解 x(n)的双边Z变换为
X (z) anu(n) b n u(n 1) zn
信号与系统（信息工程）
例：求左边序列x(n)= -bnu(-n-1)(b＜1)的Z变换。 解：由信号的Z变换的定义可知
1
X (z) xnzn bn zn
n
n
bnzn 1 bnzn
n1
n0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
X (z)
1
1
1 b1z
z
对上式关于z求导一次， 得
dX (z)
dz
d dz
x(n) z n
n
n
x(n)
d dz
(zn )
x(n)(n)zn1 z1 nx(n)zn
n
n
信号与系统（信息工程）
上式两边乘以-z，得
(z) d
X (z)
nx(n)zn Z[nx(n)]
dz
n
即
ZT
nx(n) (z)
d
X (z)
z
d dz
1
( 1
z 1
)
(z
z 1)2
其收敛域为|z|＞1。
信号与系统（信息工程）
例 ：已知x(n)=n(n-1)an-2u(n)，求x(n)的双边Z变换X(z)。
解 根据位移性质， 得
ZT
an1u(n 1) z 1
z
1
za za
根据Z域微分性质式
na n 1u (n
ZT
1) (z)
d dz
n
1
an z n bn z n
n0
n
信号与系统（信息工程）
X (z)
anzn
1
bnzn
a n
1
b
n
n0
n
n0 z n z
z z 2z (a b)z |a|<|z|<|b|
z a z b (z a)(z b)
jIm[z]
a b Re[z]
a+b 2
解： 因为u(n)←→
U(z)
1 1 z1
,
z
1
利用Z变换的移序特性
，有X
(z)
zU
(z)
1
z z1
，因为u(n)是一个因果序列，而u(n+1)
是非因果序列，所以它的收敛域在无穷远处发生了变化，即
删除原有的无穷远点，u(n+1)的Z变换的收敛域为1＜|z|＜∞
。
信号与系统（信息工程）
3.序列线性加权(Z域微分)
X (z)
n n1
x(n)zn x(0)
它的收敛域为整个闭域z平面，即0≤|z|≤∞。
信号与系统（信息工程）
例：已知有限长序列x(n)=u(n+1)-u(n-1)。求x(n)的双边Z变 换及其收敛域。
解：
X (z) x(n)zn [u(n 1) u(n 1)]zn
n
n
1
zn z 1 z1
x(n m) z m X (z) Rx1 z Rx2
式中，m为正整数
信号与系统（信息工程）
证明： 根据双边Z变换的定义，则有
Z[x(n m)] x(n m)zn n
令 k=n+m, 则有
Z[x(n m)] x(k)z(km) k zm x(k)zk zm X (z) k
X(z)存在或级数收敛的充分条件是幂级数满足绝对可和
x(n)zn
n
或
lim
n
xn
zn
0
因为
x(n)zn
x(n) z n
n
n
信号与系统（信息工程）
为满足上述绝对可和的条件，就必须要对|z|有一 定范围的限制。这个范围一般可表示为
Rx z Rx
由此可见Z变换的收敛域为z平面上是一个以Rx-及 Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域。
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
例 ：已知x(n)= u(n) – 3nu(-n-1)，求x(n)的双边Z变换X(z)及 其收敛域。
ZT
u(n)
zBiblioteka Baidu
|z|>1
z 1
X1(z) (n m)zn zm n
z 0
X 2 (z) (n m)zn zm n
z
(3) x(n)=u(n)
X (z) u(n)zn
z
n
z 1
|z|>1
信号与系统（信息工程）
(4) x(n)= -u(-n-1)
X (z) [u(n 1)]zn
z
n
z 1
(5) x(n) anu(n)(a为实数.虚数.复数).
n n1
显然其收敛域为0≤|z|＜∞，是包括零点的半开域，即除z=∞ 外都收敛。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
n n1
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，即除z=0 外都收敛。
信号与系统（信息工程）
n2
(4)特殊情况，n1=n2=0时，这就是序列 ，
1
z 1
ZT cos0nun
zz cos0
z2 2z cos0 1
(8) x(n)=nu(n)的Z变换
X (z)
nz n
n0
1z
11 z2
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
ZT
x2 (n) X 2 (z) Rx21 z Rx22
dz
由于n2x(n)=n［nx(n)］，得
Z[n2 x(n)]
z d
dz
z
d dz
X
( z )
信号与系统（信息工程）
例：已知x(n)=nu(n),求其Z变换及其收敛域。
解 ：u(n)的Z变换
U(z)
1 1 z1
,
z
1
由z域微分特性可知，
x(n) nu(n) X (z) z d U (z) dz
X s (s) L[xs (t)] x(nT )esnT n
令
，Xs(s)变为X(z)，得
X (z) x(nT )zn
n
取T=1，得
X (z) x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X (z) x(n)zn n0
单边Z变换
2、从离散时间序列直接定义 设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则
信号与系统（信息工程）
例：已知x(n)=3n［u(n+1)-u(n-2)］，求x(n)的双边Z变换及 其收敛域。
解 x(n)可以表示为
x(n) 3n u(n 1) 3n u(n 2) 31 3n1u(n 1) 32 3n2 u(n 2)
ZT
3n u(n)
z
z3
z 3
信号与系统（信息工程）
若x(n) ←→ X(z)，α<|z|<β，则有
nx(n)
ZT
(
z
)
dX
(
z)
dz
ZT
n2x(n) (z)
d dz
( z )
d dz
X (z)
nm x(n)
ZT
(z)
d dz
z
d dz
d dz
X
(
z)
式中， m为正整数。
信号与系统（信息工程）
证： 根据双边Z变换的定义，则有
X (z) x(n)zn n
z b
zb
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
b
╳
Re[z]
z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列 ，它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对 此序列进行Z变换得到
1
X (z) Zxn x(n)zn x(n)zn x(n)zn
z
1
a
(z
z a)2
再应用位移性质得
(n
1)a
n
2u(n
2)
ZT
z
1
(
z
1 a)
n1
n2
x(n)zn x(n)zn
n1
n n1
信号与系统（信息工程）
上式中除了第一项的z=∞处及第二项中的z=0处
外都收敛，所以总收敛域为0＜|z|＜∞。有时将这个
开域(0,∞)称为“有限z平面”。
(2)n1＜0,n2＜0时，有
n2
X (z)
n2
x(n)zn x(n)zn
n n1
n1
x(k)zn 1 zn z 1 1
n
n1
z
所以，当 0 z 时，上式级数收敛。于是得
X (z) z 1 z1 z2 z 1 0 z z
信号与系统（信息工程）
Z变换为
x(n)
x(n) 0
n n1 n n1
X (z) x(n)zn
n n1
(1) n1≥0时，这时的右边序列就是因果序列。
根据位移性质，得
ZT
3n1u(n 1) z
z
z2
3 z
z3 z3
ZT
3n2 u(n 2) z 2
z
1
z 3
z 3 z(z 3)
根据线性性质，得
X (z) Z[x(n)] z2 9 z3 27 3 z 3(z 3) z(z 3) 3z(z 3)
信号与系统（信息工程）
ZT
3n u(n 1)
z
z3
|z|<3
由线性性质得
X (z) z z 2z2 4z z 1 z 3 (z 1)(z 3)
1<|z|<3
信号与系统（信息工程）
2. 位移(时移)性 (1)双边Z变换
ZT
若x(n) X (z), Rx1 z Rx2 ,则有
x(n m) zm X (z) Rx1 z Rx2
n
n0
由等比数列求和的性质可知，上式的级数在 |z-1|≥1时是发散的，只有在|z-1|＜1时才收敛。这时无 穷级数可以用封闭形式表示为
X (z)
n0
zn
1 1 z1
1 z
信号与系统（信息工程）
6.1.2 Z变换的收敛域
对于任意给定的有界序列x(n)，使其Z变换式收敛的所有z 值的集合，称为Z变换X(z)的收敛域。