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一元一次方程等量关系(学生版)
一次方程等量关系方法一：根据常见的公式寻找等量关系1、 工作问题和工程问题（1） 单人工作：工作总量＝工作效率×工作时间（2） 多人合作：甲的工作总量+乙的工作总量+。
＝工作总量【例】某工作甲单独做4天完成，乙单独做8天完成。
现甲先做1天，然后和乙共同完成余下工作。
问甲一共做了几天？【例】一项工程，甲队独做要120天完成，如果甲队先做10天，乙队再做5天，就可以完成这项工程的245，乙队单独做这项工程需要多少天？2、 行程问题路程＝速度×时间（特别注意：两地的距离不变）（1）追击问题：①同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离＝追者走的路程前者走的时间＝追者走的路程②同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程前者走的时间＝追者走的时间+等待时间【例】甲乙两地路程为180千米,一人骑自行车从甲地出发每小时走15千米,另一人骑摩托车从乙地出发。
已知，摩托车速度是自行车速度的3倍，若两人同向而行，骑自行车在先且出发2小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？【例】甲乙两人都以不变的速度在400米环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分，乙的速度是甲速度的3/2倍，问经过多长时间后两人首次相遇？第二次相遇呢？（2）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程＝两地间的距离【例】甲乙两站之间相距360千米，上午9点1刻，一辆慢车和一辆快车分别分别从两站相向开往对方车站，经过3小时相遇，已知快车速度是慢车的1.5倍，问两车在什么时刻相距90千米？【例】上午8时，甲乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，上午9时，两人相距54km，两人继续前进，到上午11时，两人又相距54km，已知甲每小时比乙多走3km，求A、B两地的距离。
（3）航行问题：①顺风（水）速度＝静风（水）中的速度+风（水）速度②逆风（水）速度＝静风（水）中的速度-风（水）速度引申：在静风（水）中的速度＝1（顺风（水）速度+逆风（水）速度）2风（水）中的速度＝1（顺风（水）速度-逆风（水）速度）2【例】一轮船往返于甲、乙两码头之间，顺水航行需要3小时，逆水航行比顺水多用30分钟，若轮船在静水中的速度为26千米/时。
「初中数学」一元一次方程应用题设元的四种方法及如何找等量关系.doc
「初中数学」一元一次方程应用题设元的四种方法及如何找等量关系解应用题时，首要任务是选设未知数，如何准确恰当地设未知数呢？没有固定的方法，但有一点是肯定的，那就是设未知数要有助于表示相关量，有助于简化解题过程。
设什么元需要根据具体问题的条件确定，常见的设元方法有:直接设元法、间接设元法、整体设元法、辅助设元法等。
那么在做题时又如何找等量关系呢？抓住几个原则:(一).分析题中的不变量原则，利用不变量来列方程(二).用不同的方式表示同一个量原则，以此得到相等关系，从而列出方程(三)利用总量等于各个分量之和”原则列方程具体方法上可以利用平时掌握的一些公式等基本数量关系，也可以抓住问题中的和、差、倍、分关系中的关键词来寻找相等关系。
以上所说，并不单指一元一次方程，所说的方法不可能全面，要学会每一部分知识仍需要同学们自己辛苦，多归纳，多总结，会用了才是你的方法。
一.直接设元法1.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？【分析】这道题我们抓住小型车的车费十中型车的车费=总车费这一关系列方程，具体设谁为未知数，哪种都可以.解:设中型汽车有x辆，则小型汽车有(50一x)辆.根据题意，得12x+8(50一x)=480解得，x=20则50一x=50一20=30.答:中型汽车有20辆，小型汽车有30辆.(1)和、差、倍、分问题基本数量关系:增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量.抓住关键性的词语，多、少、倍、几分之几以及原有量、现有量之间的关系导出相等关系.2.男、女生人数有若干人，男生与女生人数之比为4:3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生人数的2倍，求原来男生和女生的人数.【分析】抓住关键词男生人数恰好是女生人数的2倍”，也可以理解为女生人数恰好是男生人数的一半，等量关系是:男生人数=2(女生原有人数一走了的人数)或女生原来的人数一走了的人数=男生人数的一半.一般看见有比例关系的条件时，未知数设为一份数，所以.解:设原来男生人数为4x人，则女生人数为3x人，根据题意，得3x一12=(4x)/2解得×=12.原来男生人数为4x=48原来女生人数为3x=36答:原来男生人数为x人，原来女生人数为36人.(2)体积变化问题基本数量关系，常见几何图形的面积、周长、体积计算公式.等量关系有，形变体不变，即变形前的体积=变形后的体积;形变体积也变，但质量不变，即变形前的质量=变形后的质量.3.用直径为4厘米的圆柱形钢材，铸造3个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圓柱形钢材？【分析】等量关系是:铸造前圆柱形钢材的体积=铸造后三个圆柱的体积.解:设需截取x厘米的圆柱形钢材，根据题意得π(4/2)²x=3×π×(2/2)²×16解得x=12.答:需要截取12厘米的圓柱形钢材.(3)行程问题这类问题比较复杂，基本数量关系为，路程=速度×时间.①相向问题的等量关系为:甲走的路程+乙走的路程=两地距离.②追及问题的等量关系为:第一，同地不同时出发，前者走的路程=追者走的路程;第二，同时不同地出发，前者所走的路程+两地距离=追者所走的路程.③航行问题基本数量关系:路程=速度×时间，顺水速度=静水速度十水流速度，逆水速度=静水速度一水流速度，静水速度=(顺水速度十逆水速度)/2，水流速度=(顺水速度一逆水速度)/2.寻等量关系时，抓住两码头之间距离不变，水流速度不变，船在静水中的速度不变的特点来考虑.注意:行程问题，关注出发的时间、地点及行走的方式，往往画路线图，帮助分析等量关系，同时注意相遇和追击的区别.4.小红骑车以每小时10km的速度从甲地到乙地，返回时因事绕路而行，比去时多走了8km，虽然速度增加到每小时12km，但比去时还是多用了10min，水甲、乙两地之间的距离.【分析】注意单位统一，10min=1/6h.设甲、乙两地之间距离为xkm，则去时的时间为x/10，回来的时间为(x十8)/12，根据回来时间比去时多用了1/6h，可列方程解:设甲、乙两地之间的距离为xkm，根据题意可得x/10+1/6=(x十8)/12解得x=30答:甲、乙两地之间的距离为30km.5.一艘轮船从A港到B港顺水航行需要4.5小时，从B 港到A港逆水航行需要6小时，已知水流速度为每小时2千米，求船在静水中的速度.【分析】抓住，从A港到B港顺水航行的路程=从B港到A港逆水航行的速程不变.解:船在静水中的速度为x千米/时，则船在逆水航行的速度为(x一2)千米/时，船在顺水航行的速度为(x+2)千米/时，依题意得4.5(x+2)=6(x一2)解得x=14.答:船在静水中的速度为14千米/时.(4).劳动力调配问题将一处的人员调往另一处，一处的人数减少多少，另一处的人数会增加多少，两处的人数之间往往存在着倍分关系，可从题意中的关键性词语找等量关系6.铸造车间共有工人86人，若每人每天加工A种零件15个或B种零件12个或C种零件9个，应怎样按排加工三种零件的人数，才能使加工后的零件按3个A种零件，2个B 种零件和1个C种零件配套？【分析】等量关系是:加工A种零件的人数十加工B种零件的人数+加工C种零件的人数=86.设有x人加工A种零件，因为3个A零件，2个B零件和1个C零件配套，所以最后A种零件:B种零件:C种零件=3:2:1，也就是15x:(12×加工B 种零件的人数):(9×加工C种零件的人数)=3:2:1.所以加工B 种零件的人数为5x/6人，加工C种零件的人数为5x/9人.(必须学会这种用未知数表示相关的量).解:设按排加工A种零件为x人，根据题意得，x十5x/6+5x/9=86解得x=36加工B种零件人数为:5x/6=30加工C种零件人数为:5x/9=20答:安排36人加工A种零件，30人加工B种零件，20人加工C种零件.(5).利润问题基本数量关系为:商品利润=商品售价一商品进价，利润率=利润/进价×100%，销售额=成本(进价)×(1+利润率).7.某商场以每件80元的价格购进了某种品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【分析】等量关系为:销售额=进价×(1十利润率)解:设每件衬衫降价x元，依题意得400×120+(500-400)(120-x)=500×80×(1+45℅)解得x=20答:每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45℅的预期目标.(6)储蓄问题基本量的关系为:利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数×(1一利息税)，本息和=本金【1十利率×期数×(1十利息税)】8.小明买了一年期债券150元，一年到期后小明用本息和正好买了一个价格是162元的书包，问小明买的债券的年利率是多少？(无利息税)【分析】等量关系是:本息和=本金×(1十利率×期数)解:设年利率是x，依题意得150×(1十x)=162解得x=8℅答:小明买的债券的年利率是8℅.(7)工程问题基本数量关系是，工作量=工作效率×工作时间，各部分工作量之和等于工作总量(单位1).9.一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？【分析】甲队做的时间，也是三队合作的时间，等量关系是，甲、乙、丙合作的工作量+乙、丙合作的工作量=1.解:设甲队实际做了x小时，依题意得(1/10+1/15十1/20)x十(1/15十1/20)(6一x)=1解得x=3.答:甲队实际工作了3小时.二.间接设元法(8)数字问题.关键是掌握多位数的表示法，若一个多位数，个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数为100c+10b+a.抓住新数与原数之间的关系列方程.10.有一个两位数，它的十位数字比个位数字大5，且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数.解:设个位数字为x，则十位数字为(x+5)，这个两位数为10(x+5)十x.依题意得10(x+5)十x一8(x十5十x)=5解得x=1，x十5=6，这个两位数为61答:这个两位数是61.三.整体设元法11.一个五位数的个位上的数为4，这个五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，求原五位数.【分析】此题各数位上数字之间没有明确的数量关系，只是位置发生了改变，所以整体设未知数.解:设原五位数去掉个位数后的四位数为x，则原五位数为10x+4，依题意得(10x+4)十6120=4×10000+x解得x=3764，10x+4=37644答:原五位数是37644.四.辅助设元法当题中直接设未知数，不好表示其他量的关系，或一个未知数也不能满足需要，这时不妨再设一个未知数来列方程.12.某公司只生产普通汽车和新能源汽车，该公司在去年的汽车产量中，新能源汽车占总量的10℅，今年由于国家能源政策的导向和油价上涨的影响，计划将普通汽车的产量减少10℅，为保持总产量与去年相等，则今年新能源汽车的产量应增加的百分数是多少？【分析】此题汽车的总产量未知，知道所占的百分数也不好表示量的关系，所以多设一个辅助未知数，则关系就明朗.解:设去年的总产量为a，今年新能源汽车的产量应增加的百分数为x，则去年普通汽车的产量为90℅a，新能源汽车的产量为10℅a，今年普遍汽车的产量为90a(1一10℅)，新能源汽车的产量为10%a(1+x)，根据题意得90%a(1一10℅)+10℅a(1十x)=a解得x=0.9=90℅答:今年新能源汽车的产量应增加的百分数为90℅.【总结】以上只是几种常见的题型，还有很多没有列举出来，同学们要活学活用，根据问题的特点，灵活地设未知数，切不可生搬硬套，多总结，多归纳，形成自己的一套设元法。
(完整word版)一元一次方程中常见的等量关系.docx
七年上一元一次方程1、行程行程的基本公式：速度×= 路程常见的等量关系(1) 相遇一般公式：× 速度和= 相遇路程一、由意得例：甲、乙两地相距 1500千米，两汽同从两地相向而行，其中吉普每小行 60 千米，是客速度的 1.5 倍。
注意数学用，如：等于，⋯⋯与⋯⋯相等，一共有，剩余，是⋯⋯（1）几小后两相遇？（2）若吉普先开 40 分，那么客开出两相遇？的几倍，比⋯⋯多几等等。
例 1：一个数的1与 3 的差等于最大的一位数，求个数。
（ 2）追及7一般公式：例 2：一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数字比十出地不同，同出：×速度差 = 路程差（追及路程）位上的数大 7，个位上的数字是十位上的三倍，求个三位数。
出地相同，先后出： A× A速度= B× B速度例 3 ：从正方形的皮上，截去一个2cm 的方形条，剩余的面是80cm2，，那么原来皮的是多少？例：小明家距离学校 1000米。
一天小明以80 米每分的速度去上学， 5二、前后不分后爸爸小明没文，开始以180米每分的速度去追小明，并在途中追上了他。
例1：在要将一个底面半径 3，高 12 的柱条重新熔成一个底面半径 9的柱，求熔后的柱高。
例 2：小一本，每天（ 3）形跑道20 ，需要 12 天完，如果每天多 4分析意，分析两人路程差或者差，将形跑道直，需要多少天完？如果每天少两，需要几天完？相遇或者追及。
三、算公式例：甲乙两人在形跑道上跑步。
已知跑道一圈400 米，乙每例如面公式，公式等等。
3秒跑 6 米，甲的速度是乙的。
4四、数量关系（ 1）若甲、乙两人在环形跑道上相距8 米处同时相向出发，经过几秒（ 5）火车问题两人相遇？火车过桥总路程= 桥长 + 火车身长（ 2）若甲在乙前 8 米处同时同向出发，那么经过多长时间两人首次相火车完全在桥上时的路程= 桥长 - 火车身长遇？火车过隧道总路程= 隧道长 + 火车身长火车完全在隧道里的路程= 隧道长 - 火车身长（4）顺流（风）逆流（风））以及上下坡问题例：一座桥长1000 米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥公用1静水速度是指船在静水中的速度，也就是船自身的速度。
一元一次方程如何找等量关系
一元一次方程如何找等量关系列方程找等量关系的关键就是找到题目中的不变量，不变量有不同的表现形式分为两种，题目中的已知数，也就是具体的数值，这种是比较简单的，一眼就能看出来的；有的是通过未知数与题目中的数字运算结果作不变量。
当然理解题意非常重要，只有理解了，才能分清等量关系。
好，下面我就一些例题详细作以讲解1.找题目中已知数或者是题目中的一个或多个数字的运算结果作为不变量，让它作为等量关系的一边，把它放在方程的右边（也可以在左边，为了方便叙述，就把它放在右边），然后设未知数，通过未知数和题目中数字的运算列出代数式，使代数式的意义和右边不变量的意义相同，把代数式放在方程的左边，这样方程就会轻而易举的列了出来。
例题1.甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？这个题目中有两个数字，这两个数字都是不变量，任何题目中的数字都是不变量，找到一个不变量，放在方程的右边，我们再用x与题目中的数字把它表示出来。
这个题目中的我们把98作为不变量放在方程的右边，98代表的含义是甲乙两班共有学生的人数，根据题意可以设甲班人数为x，根据第二个条件“甲班比乙班多6人”，就可以用x表示出乙班的人数为x-6，这样就可以用x把98所代表的含义表示出来x+（x-6），这样就可以把方程列出来了： x+（x-6）=98同样，我们可以把6作为不变量来列方程，这里不再叙述，同学们自己可以根据这个思路列出方程来。
例题2.甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B 地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。
求两人的速度。
这个题目中的不变量就是两地之间的距离，这里不做过多解释了。
解：设乙的速度是x 千米/时，3x＋3 (2x＋2)＝25.5×22.先把未知数设出来，然后直接把它放在方程的右边或者与题目中的一个或多个数字的运算结果（代数式）放在方程的右边（也可以在左边，为了方便叙述，就把它放在右边），接着通过未知数和题目中数字的运算列出代数式，使代数式的意义和右边代数式的意义相同，放在方程的左边，这样方程就会轻而易举的列了出来。
第13讲 一元一次方程(3)
第13讲一元一次方程（3）—行程问题专题【知识点清单】1、解行程问题中所用到的基本数量关系：路程= ×时间；速度=路程÷；时间=÷速度。
2、行程问题的四种基本类型：★（1）相遇问题★（2）追及问题（3）航行问题（4）火车过桥问题（1）相遇问题中的等量关系：甲的行程 + = 甲、乙起始间的全程；×相遇时间=路程和。
S甲+S乙=C环形（2）追及问题的等量关系：追及时间× =追及路程，S快者―S慢者=（3）、航行问题：V顺水=V静水+V水流； V逆水=V静水―V水流；V顺风=V无风+V风速； V逆风=V无风―V风速；（4）、火车过桥问题：【典例精讲】考点1: 相遇问题【例1】（1）甲、乙两站之间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米，两车同时开出相向而行，_________小时后相遇。
（2）甲、乙两人骑着自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的速度是_________。
【例2】甲乙两人同时从A地前往相距为1252千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时间为3小时，求两人的速度。
变式议练：1、上午8点，李华和张涛两同学分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知李华的速度每小时比张涛快2千米，上午十点两人还距36千米，到中午十二点时，两人又相距36千米，试求：A、B两地的距离。
2、A、B两地相距450千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，求t的值是？考点2: 追及问题【例3】开心填一填（1）A、B两地间的路程为450千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米，若两车同时开出，相向而行，_________小时相遇；若慢车先开1小时，快车在同地同向开出，快车经过了_______小时可追上慢车。
隐藏等量关系初一一元一次方程
隐藏等量关系初一一元一次方程初一数学学科中，等量关系是一个重要的概念，是学生理解代数的基础。
等量关系可以通过一元一次方程的形式来表示和解决。
一元一次方程是初中数学的重要内容，它是一个未知数与常数之间的关系式，其中未知数的最高次数是1，且系数为常数。
隐藏等量关系的一元一次方程是指问题中隐藏着等量关系，通过建立一元一次方程可以解决问题的一类题型。
这类题目要求学生从问题中抽象出未知数与已知数之间的关系，然后建立相应的方程，最终求解未知数的值。
举个例子来说，假设问题是这样的：某班级的学生人数是未知数x，如果每个学生缴纳10元，可以筹集到300元，那么班级里一共有多少学生？对于这个问题，我们可以从问题中找到未知数和已知数。
未知数是学生人数x，已知数是每个学生缴纳的费用10元和筹集到的总费用300元。
然后，我们可以建立一元一次方程来表示未知数与已知数之间的关系。
根据题目的描述，每个学生缴纳的费用10元乘以学生的人数x等于筹集到的总费用300元。
因此，我们可以得到方程：10x = 300。
最后，我们可以通过解这个方程来求解未知数x的值。
将方程进行变形，得到x = 300 ÷ 10，即x = 30。
所以，班级里一共有30名学生。
隐藏等量关系初一一元一次方程的题目可以通过思考问题中的已知条件和未知数之间的关系来解决。
学生可以将问题中的已知数与未知数用字母表示，并建立相应的方程。
然后，通过解方程来求解未知数的值。
在解这类题目的过程中，学生需要注意以下几点：1. 仔细阅读题目，理解问题的要求和条件。
2. 用一个字母表示未知数，例如x，y等。
3. 根据问题的描述，确定已知数与未知数之间的关系，然后建立一元一次方程。
4. 对方程进行变形，以方便求解未知数的值。
5. 解方程，得到未知数的值。
6. 最后，将未知数的值代入原问题，检查是否满足题目的要求。
隐藏等量关系初一一元一次方程的题目可以帮助学生加深对等量关系和一元一次方程的理解。
《等量关系》认识方程
二元一次方程组
• 认识方程是数学中重要的概念，其中等量关系是方程的核 心。通过理解等量关系，我们可以解决许多实际问题。
05
CATALOGUE
多元一次方程组
定义
多元一次方程组
含有两个或两个以上未知数，且未知数的次数均为1的方程组。
等量关系
表示数量相等的数学表达式或语句，是数学模型的基本特征之一。
解。
应用举例
实际生活中的问题
如行程问题、购物问题等，可以通过建立多元一次方程组来解决。
科学研究和工程设计
如物理学、化学、机械工程等领域的问题，可以通过建立多元一次方程组来描述和求解。
06
CATALOGUE
认识方程在日常生活中的应用
购物优惠活动中的方程应用
总结词
购物优惠活动中，商家经常使用方程式 来表达商品打折后的价格，以便让消费 者更加清晰地了解价格优惠的情况。
物理问题
在物理问题中，方程也被广泛使用。例如，牛顿第二定律 F=ma 就描述了力、质量和加 速度之间的关系。通过建立和解决这些方程，我们可以更好地理解物理现象和规律。
实际生活问题
在实际生活中，方程也有广泛的应用。例如，在商业领域中，可以通过建立和解决方程来 描述和预测产品的销售情况；在工程领域中，可以通过建立和解决方程来描述和优化设计 中的各种参数。
方程的类型
01
02
03
一元方程
只有一个未知数的方程。 例如：x + 5 = 10。
二元方程
有两个未知数的方程。例 如：2x + y = 10。
高次方程
未知数的次数大于2的方
程。例如：x\^{}3
-
2x\^{}2 + x = 0。
隐藏等量关系初一一元一次方程
隐藏等量关系初一一元一次方程1.概述初一学生学习数学的过程中，一元一次方程是一个非常关键的内容。
而在学习一元一次方程的过程中，隐藏等量关系是一个至关重要的概念。
下面我们将探讨隐藏等量关系在初一一元一次方程中的作用和应用。
2. 什么是隐藏等量关系隐藏等量关系是指在一个问题中，虽然没有明确给出某些量的数值，但是由于这些量在问题中起着等量关系，因此可以根据这种关系来建立方程。
在实际问题中，隐藏等量关系往往需要通过分析问题的逻辑关系来找出。
3. 隐藏等量关系的应用在初一学习一元一次方程的过程中，隐藏等量关系经常出现在各种实际问题中。
学生需要通过分析问题，识别出隐藏的等量关系，然后建立相应的方程进行求解。
以下是一个简单的例子：例题：有一堆苹果，小明拿走了其中的1/3，小红又拿走了剩下的1/2，最后还剩下6个苹果，请问原来有多少个苹果？解析：假设原来有x个苹果，则根据题意，可以建立如下等式：x - x/3 - (x/3)*1/2 = 6解方程可得x=36原来有36个苹果。
4. 隐藏等量关系的挖掘在实际问题中，往往需要通过分析问题的逻辑关系来挖掘隐藏的等量关系。
以下是一个更加复杂的例子：例题：甲乙两人合作种地，甲一个人工作4天可以种完，乙一个人工作3天可以种完。
如果甲乙两人一起工作，第一天种1/12，第二天种1/10，第三天种1/8，第四天种1/6，问他们一起工作需要多少天才能种完？解析：假设甲乙两人一起工作x天可以种完，则根据题意，可以建立如下等式：1/4x + 1/3x + 1/2x + 1/x = 1解方程可得x=24甲乙两人一起工作需要24天才能种完。
5. 结语隐藏等量关系在初一一元一次方程中起着至关重要的作用。
通过学习和掌握隐藏等量关系的挖掘方法，学生可以更加准确地理解和解决各种实际问题，提高数学解决问题的能力。
希望同学们能够在学习中认真对待隐藏等量关系的学习和应用，从而更好地掌握一元一次方程的解法。
第五章 一元一次方程
七上第五章一元一次方程本章知识点梳理：（7-12次课）知识点1：方程的相关概念（0.5-1次课） 知识点2：解方程（1-2课时）知识点3：特殊方程的解法（1-2课时） 知识点4： 等量关系认识及基础应用题（1课时） 知识点5：打折销售问题 （1-2课时） 知识点6：方案问题（1课时）知识点7：行程问题（1-2课时） 知识点8：其他应用题（0.5-1课时）第一节 方程及一元一次方程的相关概念知识要点1：1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.注意未知数的理解，n m x ,,等，都可以作为未知数2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。
例如： 8+5x=18， 2(y+1.5)=5等都是一元一次方程。
3.判断一元一次方程的条件①是方程。
②只含有一个未知数③未知数的指数是1注意：1、分母中含有未知数的方程不是一元一次方程，是分式方程2、对于复杂方程必须经过化简，化简后符合一般形式的才是一元一次方程3、π是字母，但不是未知数，是一个常数。
典型例题例1：基本概念填空⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 例2:判定下列那些是方程，那些是一元一次方程？0=x ，712=+x π， 3)813(4)5(21,01002,2,01-+=-=++=+=+x x x y x xx 0)(22=+-x x x练习： 下列方程①313262-=+x x ②4532x x =+ ③2（x+1）+3=x1④3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.一元一次方程共有( )个.A.1B.2C.3D.4例2、 如果(m-1)x |m|+5=0是一元一次方程，那么m ＝＿＿＿．练习：1、若(a －1)x |a|＋3＝－6是关于x 的一元一次方程，则a ＝＿＿；x ＝＿＿＿。
【15】第15讲 用一元一次方程解决实际问题(工程、配套及销售问题)
类型一 工程问题【知识梳理】1．基本等量关系：工作总量=工作时间×工作效率2．工作总量有时是具体工作量，有时看作单位“1”3．全部意义的相等关系通常是：（1）先做的工作量＋后做的工作量＝总工作量（2）甲的工作量＋乙的工作量＝总工作量典例1在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲，乙工程队每天各施工多少米？变式1．某车间加工一批产品，第一小组单独完成需要30天，第二小组单独完成需要20天．若第一小组先做若干天后，由第二小组接替完成该项工作，直至完成这批加工任务，两个小组前后共用了25天．若设第二小组加工的时间为x 天，下面所列方程正确的是（ ）A ．130(25−x)+120x =1B ．130x +120(25−x)=1C ．130(25−x)+(120+130)x =1D ．(130+120)(25−x)=1变式2．岑溪市某个小区需要铺设天然气管道．现有甲、乙两个工程队共同铺设一段长为1350km 的天然气管道．甲工程队每天铺设5km ，乙工程队每天铺设7km ，甲工程队先施工30天后，乙工程队也开始一起施工，乙工程队施工多少天后能完成这项工程？类型二 配套问题【知识梳理】解决配套问题的关键是利用配套本身所蕴含的等量关系，如a 件甲产品和b 件乙产品配成一套，则甲产品数：a ＝乙产品数：b ，即甲产品数×a ＝乙产品数×b典例2某车间有工人50名，平均每天每个工人可加工螺栓9个或螺母12个，要使每天的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？变式3．某工厂检修一台机器，甲、乙两小组单独做分别需要7.5h ，5h 才能完成．现由两小组合作2h 后，再由乙小组单独做，到完成机器的检修任务还需（ ）A ．2hB ．53hC ．43hD ．1h解决实际问题（工程、配套） 第十五讲 专题15ZHUAN TI SHIWU变式4．东方红机械厂加工车间有90名工人，平均每人每天可加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？【课后练习】一、精心选一选（每题6分，共24分）1．甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（）A．8天B．5天C．3天D．2天2．某工厂有技术工20人，平均每天每人可加工甲种零件12个或乙种零件10个，已知2个甲种零件和5个乙种零件可以配成一套，若每天生产的甲乙零件刚好配套，则安排生产甲种零件的技术人员人数是（）A．4 B．5 C．6 D．33．一段路，甲工程队用9小时修完，乙工程队用6小时修完，甲、乙两工程队的效率之比是（）A．1：2 B．2：1 C．3：2 D．2：34．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，则乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，铺好这条管线需要的天数是（）A．8天B．7天C．6天D．5天二、细心填一填（每题6分，共18分）5．某车间每天能制作甲种零件350只，或制作乙种零件150只，甲乙两种零件各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，则制作甲零件需要的天数是．6．一件工程，甲独做18天可完，乙独做24天可完．现在两个人合作，但是中途乙因有事离开几天，从开工后12天两人把这件工程做完，则乙中途离开了天．7．甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要天．三．解答题（共7小题，共58分）8．（8分）某车间有20名工人生产校服，每人每天平均生产2件上衣或3条裤子，一件上衣与一条裤子正好配套，为了使每天的衣服配套，应该分配多少人生产上衣，多少人生产裤子呢？9．（10分）一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需15天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，请问甲做了多少天？10．（10分）在一次地震中，某村受地震影响严重，已经成为一片废墟．为重建家园，政府准备修建在地震中受损的一条公路，若由甲工程队单独修需3个月完成，每月耗资12万元；若由乙工程队单独修建需6个月完成，每月耗资5万元．（1）请问若由甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？（2）若由甲、乙两工程队先合作，剩下的由乙队来完成，且恰好历时4个月完成修建任务，求这样安排共耗资多少万元？（时间按整月计算）12．（10分）某车间有38名工人，每人每天可以生产1200个甲型零件或2000个乙型零件．2个甲型零件要配3个乙型零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各多少名？13．（10分）有蓝色和黑色两种布料，其中蓝布料每米30元，黑布料每米50元．（1）若花了5400元买两种布料共136米，两种布料各买了多少米？（2）用蓝布料做上衣，每件上衣需要布料1.5米，用黑布料做裤子，每条裤子需要布料1.2米，一件上衣和一条裤子配成一套．购买这两种布料共162米做上衣和裤子，布料全部用完，且做的上衣和裤子刚好完全配套，购买这162米布料花了多少元？14．（10分）某工厂有28名工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元．（1）若每天生产的A零件和B零件恰好配套，求该工厂每天有多少工人生产A零件？（2）因市场需求，该工厂每天在生产配套的零件外，还要多生产出一部分A零件供商场零售．在（1）的人员分配情况下，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元？类型一 商品打折问题【知识梳理】在商品销售问题中有几个基本的数量关系：利润=售价－进价；商品利润率＝商品利润÷商品进价；售价＝原价×0.1×折数；售价＝进价×（1＋利润率）典例1某种商品进价为400元，标价600元出售，为了促销，商场准备打折销售，但其利润率不能少于20%．请你帮助销售员计算一下，此种商品至多可以按几折销售？变式1．某商场将一件玩具按进价提高60%后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍获利20%，则这件玩具销售时打的折扣是（ ）A ．8折B ．7.5折C ．6折D ．3.3折变式2．某种商品零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的9折降价，并让利40元销售，仍可获利10%（相对进价），设这种商品进货每件为x 元，则根据题意可列一元一次方程为 ．类型二 销售盈亏问题【知识梳理】要判断盈亏情况，就需要用最后的售价与商品的进价做比较，若售价高于进价，则本次销售盈利，若售价低于进价，则本次销售亏本。
一元一次方程应用题专题——行程问题——学生版
一元一次方程应用题专题——行程问题——学生版解：设快车开出x小时后与慢车相距600公里，由题意得，140x-90x+480=600解这个方程，50x=120∴x=2.4答：快车开出2.4小时后与慢车相距600公里。
4）分析：等量关系为：快车所走路程=慢车所走路程+480公里。
解：设快车开出x小时后追上慢车，由题意得，140x=90x+480解这个方程，50x=480∴x=9.6答：快车开出9.6小时后追上慢车。
5）分析：等量关系为：快车追上慢车所用的时间=快车比慢车快的速度所需时间。
解：设快车开出x小时后追上慢车，由题意得，140(x-1)=90x解这个方程，x=6答：快车开出6小时后追上慢车。
7千米，几小时后两人相遇？B．提高训练1.两辆车从相距720千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行80千米，2小时后乙车出发，每小时行100千米，几小时后两车相遇？2.两船从A、B两地同时出发，相向而行，两船相遇后，A船行驶了120千米，B船行驶了180千米，已知两船的速度之比为2：3，求A、B两地之间的距离。
3.两人从A、B两地同时出发，相向而行，两人相遇后，A行驶了4千米，B行驶了6千米。
已知A的速度是B的2倍，求A、B两地之间的距离。
4.两人从A、B两地同时出发，相向而行，两人相遇后，A行驶了3千米，B行驶了5千米。
已知A的速度是B的3倍，求A、B两地之间的距离。
5.两人从A、B两地同时出发，相向而行，两人相遇后，A行驶了12千米，B行驶了15千米。
已知A的速度是B的4倍，求A、B两地之间的距离。
4.甲和乙分别从两地出发，相向而行，甲先出发1小时。
当他们相距9千米时，乙行了多长时间？（改写并删除明显有问题的段落）甲和乙从两地相向而行，甲先出发1小时。
当他们相距9千米时，乙已经行驶了多长时间呢？假设他们的相遇点距离甲出发点x千米，则乙出发时距离甲出发点45-x千米。
根据题意，甲和乙的总路程为45千米，且甲的速度等于乙的速度加上9千米/小时（即他们相向而行的速度）。
等量关系
教学反思
科目
数学
班级
执课教师
执课时间
课题
课时安排
总第14课时
教学课型
新授课□实（试）验课□复习课□实践课□其他□
教
学
目
标
知识目标：使学生进一步能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，。
能力目标：能借助图表整体把握和分析题意，从多角度思考问题，寻找等量关系，恰当地转化和分析量与量之间的关系，
作业设计
1、关于x的方程4x一2m＝3x+1的解是x＝2x一3m的2倍。
解：关于；的方程4x一2m＝3x+1，得x＝2m+1
解关于x的方程x＝2x一3m得x＝3m
∵根据题意，得2m+l=2×3m
解之，得m＝
2、教科书第21复习题A组第1、2 B组9、10
板书设计
解决含有绝对值的方程
（1）｜5x一2｜＝3
解得
这就是说，大约4280元，3年期满后将本利和再存一个3年期，6年后本利和达到5000元。
因此第一种储蓄方式<即直接存一个6年期)开始存人的本金少。
三、讨论·解疑
小组合作讨论学习中的问题
四、反馈·总结
1、教科书第21页，练习B组8题
2、小结本节课我们复习了利用一元一次方程解决实际问题，方程是刻画现实世界的有效数学模型，列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意
｜a｜＝3，根据绝对值的意义得a＝3或a＝一3
(2)把 看作一个数，或把｜ ｜化成｜ ｜
三、讨论·解疑
小组合作讨论学习中的问题
四、反馈·总结
1、a一3｜+(b十1)2=o，代数式 的值比 b一a十m多1，求m的值。
一元一次方程的讨论4
例5.我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民 的节水意识，合理利用水资源，很多城市制 定了用水收费标准。我市规定每户每月的标 准用水量的部分按每立方米1.2元收费，超过 标准用水量的部分按每立方米3元收费，张大 爷家10月份用水9立方米，需交费16.2元，请 你计算一下每户标准用水量是多少立方米？
等量关系 标准用水量交费+超过标准用水量交费=总收费
作业
书本：P91 4，5 精选：P56 5——12
； / 市场营销
情景，二十三福晋穆哲却是心花怒放，爷不提，她更不会提，巴不得爷壹辈子都忘记咯，那才好呢。可是，任谁都能忘记咯，德妃娘娘却不可 能忘记。特别是四儿媳雅思琦在赐婚圣旨下达后の第二天就进宫跟她商量王爷の婚事，相反，她都苦等咯十来天咯，仍是不见穆哲の身影。每 次壹问起二十三小格，得到の回答都是穆哲生病咯，还没有好利索。到后来，她实在等不及咯，直接跟二十三小格发咯话：“明天让穆哲进宫 来壹趟。”“额娘，儿子不是跟您说过咯嘛，她生病咯。”“生病咯也得来。”“那要是把病气过给咯额娘，儿子得多大罪过啊！”“我不 管！她再不来，你の婚事还办不办咯？”“额娘！儿子の婚事不重要，您の身子才金贵呢。总不能因为要给儿子操持婚事，过咯病气给您 吧。”“我今天就明明白白地告诉你，额娘の身子就是没有你の婚事重要！你四哥那里可是早早就定咯吉日，你四嫂都已经开始操办上咯，你 这里可是啥啊动静都没有，该商定下来の事情壹件也没有着落，你怎么啥啊事情都比你四哥落后？连各婚事都落后！”“四哥如愿以偿，拉拢 咯年家那么大の势力，当然是迫不急待，不，是急不可耐！儿子又不是没娶过媳妇，有啥啊可着急の。”“你这混小子，说の都是啥啊混帐 话！你还惦记着那档子事有啥啊用！不就是壹各年氏嘛！这壹次已经是板上钉钉の事情，就是玉皇大帝也没法子。下壹回选秀女，额娘壹定给 你挑壹各家世比她高，样貌比她好，德行比她强の。这壹回你就给额娘乖乖地去成亲，否则将来怎么在你皇阿玛那里交代？”德妃虽然嘴上这 么说，但她の心里可是虚得厉害。先不说德行の问题，光是家世和样貌这两条，真是很难再找到壹各比她更好の秀女来。可是为咯稳住二十三 小格，她也只好先这么许下大话，反正还要再等三年呢，希望三年之后，能出现奇迹吧。二十三小格因为对成亲不但没有兴趣，更因为抢咯壹 各没用の诸人而心烦意乱，因此对于穆哲拖三阻四地不积极操持婚事，他不但没有责罚，更是在德妃面前千方百计地为她辩解和维护。可是德 妃怎么可能任由这各状况持续下去？于是当即给穆哲下咯最后通牒。二十三小格眼见推挡不过，也只好将额娘の话传给穆哲，明日进宫请安。 穆哲壹听就知道德妃娘娘找她要干啥啊，急火攻心，也顾不得礼数，当场就失声痛哭咯起来。第壹卷 第233章 穆哲望着哭哭啼啼の穆哲，原 本就心烦意乱の二十三小格当即就发作起来，没好气儿地将穆哲壹通数落：“你以为爷愿意啊！爷の苦跟谁说去！你还委屈咯？再娶进来好些 各诸人，你还不壹样都是嫡福晋？又不抢你の位置，你哭各啥啊劲儿！爷该娶の人没娶到，不该娶の弄进府来天天瞧着糟心，爷还没说啥啊呢， 你倒
一元一次方程的应用题专题完整版(自己分类整理).doc
学习好资料欢迎下载列方程（组）解应用题的方法及步骤：（1）审题：（2）找出等量关系（3）列出方程（4）解方程：求出未知数的值。
（5）检验。
检验应是：检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。
应用题的类型：数字问题1．要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1≤a≤9， 0 ≤b≤9， 0 ≤c≤9）则这个三位数表示为： 100a+10b+c。
2. 数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n 表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n— 2 表示；奇数用 2n+1 或 2n—1 表示。
例：一个两位数字，十位上的数字比个位上的小 1, 十位上的数字与个位上的数字的和是这个两位数的 1/5, 求这个两位数。
例 5. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数例：有 6 个连续的正整数，其中较小的三个数之和是较大的三个数之和的 2 倍，求这个六位数。
例：一个四位数，形如4x，请问这个数怎么表示？请用代数式表示____________例：设一个六位数为1abcde，乘以三后为 abcde1，求这个六位数。
例：有一些分别标有 5,10,15,20,25 的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大5，小明拿到了相邻的 3 张卡片，且这些卡片上的数之和为 240。
（ 1）小明拿到了哪 3 张卡片？（ 2）你能拿到相邻的 3 张卡片，使得这些卡片上的数之和是63 吗？练习题1.有一个三位数，个位数字为百位数字的调（个位变百位）所得的新数比原数的2 倍，十位数字比百位数字大2 倍少 49，求原数。
1，若将此数个位与百位顺序对2.一个五位数最高位上的数字是3 倍多 489，求原数。
2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数比原来的数的3.一个两位数字，十位上的数字比个位上的小 3, 十位上的数字与个位上的数字的和是这个两位数的 1/4, 求这个两位数。
中考数学复习指导：常见一元一次方程应用题中的等量关系
常见一元一次方程应用题中的等量关系等量关系是列方程解应用题的重要依据．一元一次方程应用题中的等量关系通常有哪些呢？下面结合例题归纳出十类常见的等量关系，供同学们学习时参考：第一类：相遇问题相遇问题中的等量关系：甲（从A出发）所走的路程＋乙（从B出发）所走的路程＝A、B两地间的路程．在求解时，应注意灵活运用公式：路程＝速度×时间．例1 A、B两地相距700千米，甲车从A出发行使120千米后，乙车行使6小时后两车相遇．若乙车速度是甲车速度的32，则甲车速度是多少千米／小时？解设甲车速度是x千米／小时，则乙车速度是32x千米／小时，依题意得：6x＋6×32x＋120＝720，解这个方程得x＝40．答：甲车速度是40千米／小时．第二类：追及问题①同地不同时：前者走的路程＝追者走的路程；②同时不同地：前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程．例2 小明、小亮两人相距5千米，按照小明在前小亮在后的顺序两人同时出发同向而行．已知小明的速度是3千米／小时，小亮的速度是4千米／小时，那么经过多少小时后小亮能追上小明？解设经过x小时后小亮能追上小明，依题意得：3x＋5＝4x，解这个方程得x＝5．答：经过5小时后小亮能追上小明．第三类：航行问题抓住两地距离不变，静水速度不变的特点考虑相等关系建立方程．在求解时往往会用到以下两道公式：①顺水速度＝静水速度＋水流速度；②逆水速度＝静水速度－水流速度，例3 某轮船往返于A 、B 两个港口之间，逆水航行时需3小时，顺水航行时需2小时，若水流速度是3千米／小时，那么轮船在静水中的速度是多少千米／小时？解 设轮船在静水中的速度是x 千米／小时，则轮船在顺水中的速度是（x ＋3）千米／小时，轮船在逆水中的速度是（x －3）千米／小时，依题意得：2（x ＋3）＝3（x －3），解这个方程得x ＝15.答：轮船在静水中的速度是15千米／小时．第四类：立体几何问题当立体几何图形发生变化时，其高度、底面积等都可能随之变化，但是图形的体积保持不变．这是我们列一元一次方程解立体几何图形问题的关键．例4 用直径为90mm 的圆钢，铸造一个底面边长都是131mm ，高度是81mm 的长方体钢锭，请问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）解 设需要截取x mm 的一段圆钢，依题意得：解这个方程得x ＝686.44π 答：需要截取686.44πmm 的一段圆钢．第五类：商品销售问题①利润＝销售价－成本价；②商品的销售额＝销售价×销售量；③销售价＝进价×（1＋提价的百分数）或者销售价＝进价×（1－降价的百分数）； ④打折后的销售价＝标价×打折的百分数（其中，打几折就是按原价的十分之几出售）． 例5 小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折，上衣的标价为300元，那么裤子的标价为多少元？解 设裤子的标价为x 元，依题意得：300×0.7＋0.8x ＝306，解这个方程得x ＝120.答：裤子的标价为120元，第六类：利息问题①利息＝本金×利率×期数；②本息和＝本金＋利息，其中本金是指顾客存入银行的钱；利息指银行付给顾客的报酬；期数指存入银行的时间；利率指每个期数内的利息与本金的比，而本金与利息的和叫做本息和．例6 六年前妈妈为小英存了一个6年期的教育储蓄，现在取出时共得本息和18240元．如果当时的年利率为3.6%，请问妈妈当时存入银行多少钱？解设妈妈当时存入银行x元，依题意得：x＋x·3.6%×6＝18240．解这个方程得x＝15000.答：妈妈当时存入银行15000元．第七类：数字调位问题抓住新数与原数之间的联系，寻找相等关系．例7有一个两位数，两个数位上的数字之和是3．如果把个位数字与十位数字对调，得到的新两位数比原数大9，那么这个两位数是多少？解设个位数字为x，则十位数字为3－x，依题意得：10x＋(3－x)＝10(3－x)＋x＋9，解这个方程得x＝2，则3－x＝1．答：这个两位数是12.第八类：浓度问题利用变化后的溶质的不同表示方法作为等量关系．例8 浓度为25%的一杯盐水中，加入1.25克盐后，盐水浓度为35%，那么原来那杯浓度为25%的盐水的质量为多少克？解设原来那杯浓度为25%的盐水的质量为x克，则其中含盐的质量为25%x，加入1. 25克盐后，盐水的质量为x＋1.25克，依题意得：25%x＋1.25＝(x＋1.25)×35%，解这个方程得x＝8.125.答：原来那杯浓度为25%的盐水的质量为8.125克．第九类：调派问题此类问题中一般有两个未知数，等量关系也有两个．如果设一个未知数为x，则利用其中一个等量关系把另一个未知数用含x的代数式表示，然后利用另一个等量关系列出方程．例9在甲处工作的有21人，在乙处工作的有12人．为加快进度，又派来18人分到甲、乙两处，使甲处工作的人数是乙处工作人数的2倍，请问应往甲、乙两处各派多少人？解设派往甲处x人，则派往乙处18－x人．调派后甲处有21＋x人，乙处有[12＋(18－x)]人，依题意得：21＋x＝2[12＋（18－x）]，解这个方程得x＝13，则18－x＝5．答：派往甲处13人，则派往乙处5人．第十类：工程问题两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于工作总量．其中工作量＝工作效率×工作时间，而在求解时往往把工作总量看作单位“1”．例10 一项工程，甲队单独做10小时完成，乙队单独做15小时完成，丙队单独做20小时完成，开始时三队合作，中途甲队另有任务，剩下的由乙和丙两队完成，从开始到工程完成共用6小时，请问甲队实际做了多少小时？解设甲队实际做了x小时，则乙和丙两队合作了6－x小时，依题意得：＝1．解这个方程得x＝3．答：甲队实际做了3小时．综上可见，一元一次方程应用题中的等量关系是多种多样的，我们在解题时要认真审题，仔细分析，找出问题中的等量关系，灵活运用解题策略，才能顺利解决问题．。
第3章一元一次方程知识点总结
一元一次方程知识点总结【知识点总结】1、定义：满足① ② ③ 的式子叫一元一次方程。
例题1：判断下列方程中属于一元一次方程的是（ ）(1)x-3 (2)x 2－1=0 (3)2x －3=0 (4)x －y=0 （5）x+=2 （6）2x 2-1=1-2(2x-x 2) 例题2：若方程3x 2m-1＋1=6是关于x 的一元一次方程方程，则m 的值是 。
2、方程的解：知解则代入例题：已知5是关于x 的方程3x －2a=7的解，则a 的值为 。
3、等式的性质：（1）性质一： 。
（2）性质二： 。
【注意】性质二中等式两边同除时，除数不能 。
例题1：（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
解：原方程可变形为去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)去括号，得9x+15=4x-2. （__________________________）(____________________),得9x-4x=-15-2. (___________________________) 合并，得5x=-17. (合并同类项)（____________________）,得x=. （_________________________） 例题2下列说法正确的是 （ ）（A ）在等式两边除以a ，可得b c = （B ）在等式b c a a=两边都乘以a ，可得b c = （C ）在等式a b =两边都除以（21c +），可得2211a b c c =++ （D ）在等式22x a b =-两边除以2，可得x a b =- 4、解方程：步骤与常见错误步骤一： 。
常见错误：① 。
② 。
二： 。
常见错误：① 。
② 。
三： 。
常见错误： 。
四： 。
五： 。
常见错误： 。
5、应用题类型类型一：销售利润问题（1） 与销售有关的量：进价（成本价）、标价（原价）、售价（现价）、利润、利润率、让利（2） 有销售有关的公式：① 利润=售价－进价=标价×打折数－进价=标价×打折数－让利－进价=进价×利润率② 售价=标价×打折数=标价×打折数－让利类型二：工程问题（1）若一件工程甲6天独自做完，则甲的工作效率为： 。
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学习好资料 欢迎下载一元一次方程等量关系方法一：根据常见的公式寻找等量关系1、 工作问题和工程问题（ 1） 单人工作：工作总量＝工作效率 ×工作时间（ 2） 多人合作：甲的工作总量 +乙的工作总量 +。
＝工作总量【例】 某工作甲单独做 4 天完成，乙单独做 8 天完成。
现甲先做 1 天，然后和乙共同完成余 下工作。
问甲一共做了几天？ 甲单独一天可以完成总量的 1/4，乙单独一天完成1/8;甲干 1 天后剩余： 1-1*1/4=3/4 设甲乙共同完成余下的需要X 天则 X*(1/4+1/8)=3/4 解得 X=2 天所以甲一共干了： 1+2=3 天【例】 一项工程，甲队独做要120 天完成，如果甲队先做10 天，乙队再做5 天，就可以完成这项工程的5，乙队单独做这项工程需要多少天？24解：设乙队的工作效率为 X ，得： 5X+10/120=5/24 解得 X=1/40 答：乙队单独做这项工程需要40天2、 行程问题路程＝速度 ×时间（特别注意：两地的距离不变） （1）追击问题：① 同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离＝追者走的路程前者走的时间＝追者走的路程② 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程前者走的时间＝追者走的时间 +等待时间【例】甲乙两地路程为 180 千米 ,一人骑自行车从甲地出发每小时走15 千米 ,另一人骑摩托车从乙地出发。
已知， 摩托车速度是自行车速度的 3 倍，若两人同向而行，骑自行车在先且出发 2 小时，问摩托车经过多少时间追上自行车？解：设摩托车经过时间 x 追上自行车 自行车行驶的路程： S 自 =15* （ x+2 ） 摩托车行驶的路程： S 摩 =15*3x 由于 S 自=S 摩 +180， 代入数据，得 x=7 答：摩托车 7 小时追上【例】甲乙两人都以不变的速度在 400 米环形跑道上跑步， 两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为 100 米 /分，乙的速度是甲速度的 3/2 倍，问经过多长时间后两人首次相遇？第二次相遇呢？首先要相遇，肯定是乙超了甲足足一圈乙的速度：间为 X150X-100X=400X=8设第二次相遇经过时间为100*3/2=150m/min设第一次相遇经过时Y150Y-100Y=400*2Y=16（2）相遇问题：甲走的路程+乙走的路程＝两地间的距离【例】甲乙两站之间相距360 千米，上午 9 点 1 刻，一辆慢车和一辆快车分别分别从两站相向开往对方车站，经过 3 小时相遇，已知快车速度是慢车的 1.5 倍，问两车在什么时刻相距90千米？设慢车速度为V ，则快车速度为 1.5V ，相约90 千米所用时间为 t列方程 1 。
vt+1.5vt=360km(t=3h) 求得慢车速度 V=120km/h 列方程 2。
vt+1.5vt=250km(v=120km/h,t 为两车运行时间）求得时间 t=5/6 小时【例】上午 8 时，甲乙两人从 A 、B 两地同时出发，相向而行，上午 9 时，两人相距54km ，两人继续前进，到上午11 时，两人又相距54km，已知甲每小时比乙多走3km ，求 A 、B 两地的距离。
分析如下：两地距离不变，据此可列等式。
9 时的时候，甲走的距离加乙走得距离加54 就等于两地的距离11 时的时候，根据题意，甲乙已经相遇了一次，两人走得距离相加比两地距离还多了一个54.解：设乙速度Xkm/ 小时，则甲速度（X+3 ） km/ 小时 .根据题意可列方程X+(X+3)+54=3X+3(X+3)-54 解得X=25.5 所以两地距离为X+(X+3)+54=108km（3）航行问题：①顺风（水）速度＝静风（水）中的速度+风（水）速度②逆风（水）速度＝静风（水）中的速度 - 风（水）速度引申：在静风（水）中的速度＝（顺风（水）速度+逆风（水）速度）风（水）中的速度＝（顺风（水）速度-逆风（水）速度）【例】3、利润问题销售毛利率 =（销售收入 -营业成本） /销售收入 *100%（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（进价）＝商品的成本价（进价）×商品利润率（2）商品利润率＝商品利润 /商品成本价（进价）×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8 折出售，即按原标价的 80%出售．15.2%的售价打折出售，【例】某商品的进价是250 元，标价为 320 元，商店要求保持利润率则可以打几折出售此商品？设打折 x 销售，则320*x=250*(1+15.2%)320x=288x=288 ÷ 320x=0.9【例】一种商品的买入单价为1500 元，如果出售一件商品获得的毛利润是卖出单价的15％，那么这种商品出售单价应定为多少元？（精确到 1 元）这种商品出售单价应定为x 元,0.15x=x- 1500x=1764.71≈1765【例】某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品 .经过市场调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700 元 .请问根据商场的资金状况 ,如何购销获利最多？设商场的资金为 x 元月初出售，获利为：x* （ 1+15% ）（1+10% ） -x=0 ·265x 月末出售，获利为：x*0 ·3-700=0·3x-700 令 0·265x=0·3x-700 解得 x=20000 当商场的资金为20000 元时，月初出售和月末出售获利一样多令0·265x＞ 0·3x-700 解得 x＜ 20000 当商场的资金少于20000 元时，月初出售获利多令 0·265x＜ 0·3x-700 解得 x＞ 20000 当商场的资金多于20000 元时，月末出售获利多【例】某商店有一套运动服，按标价的8 折出售仍可获利20 元，已知这套运动服的成本价为 100 元，问这套运动服的标价是多少元？考点：一元一次方程的应用．专题：销售问题．分析：设这套运动服的标价是x 元．此题中的等量关系：按标价的8 折出售仍可获利 20 元，即标价的 8 折 -成本价 =20 元．解答：解：设这套运动服的标价是x 元．根据题意得： 0.8x-100=20 ，解得： x=150 ．答：这套运动服的标价为150 元．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【例】某企业生产一种产品，每件成本为400 元，销售价为510 元，本季度销售了m 件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售将提高10%，要使销售利润（销售利润 =销售价 -成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；经济问题．分析：此题文字叙述量大，要审清题目，找到等量关系：销售利润（销售利润= 销售价 -成本价）保持不变，设该产品每件的成本价应降低x 元，则每件产品销售价为510 （1-4% ）元，销售了（ 1+10%） m 件，新销售利润为 [510（ 1-4% ） -（ 400-x ） ] ×（ 1+10% ）m 元，原销售利润为（ 510-400） m 元，列方程即可解得．解答：解：设该产品每件的成本价应降低 x 元，则根据题意得[510 （ 1-4%） -（ 400-x） ] ×m（ 1+10% ）=m （ 510-400 ），解这个方程得 x=10.4 ．答：该产品每件的成本价应降低10.4 元．4、利息问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金 +利息税后利息＝利息-利息×利息税率【例】小华将勤工俭学挣得的100 元钱按一年定期存入银行，到期后取出50 元来购买学习用品，剩下的50 元和应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和63 元，求第一次存款的年利率（不计利息税）．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；增长率问题．分析：要求存款的年利率先设出未知数，再通过等量关系就是两年的本金加上利息减去够买学习用品的钱等于最后的本息之和．解答：解：设第一次存款的年利率为x ，则第二次存款的年利率为x2 ，第一次的本息和为（100+100×x）元．由题意，得（ 100+100×x-50 ）×x2+50+100x=63 ，解得 x=0.1 或 x= -135（舍去）．答：第一次存款的年利率为10% ．点评：解题的关键要理解题的大意，特别是第二次到期的本息为50+100x ，很多同学都会忽略 100x ，根据题目给出的条件【例】某小店老板从面包厂购进面包的价格是每个0.6 元，按每个面包 1.0 元的价格出售，卖不完的以每个0.2 元于当天返还厂家，在一个月（30 天）里，小店有20 天平均每天卖出面包 80 个，其余10 天平均每天卖出面包 50 个，这样小店老板获纯利600 元，如果小店老板每天从面包厂购进相同数量的面包，求这个数量是多少？考点：一元一次方程的应用．专题：经济问题．分析：由题意得，他进的包子数量应在50-80 之间；等量关系为：（ 20×进货量+10×50）×每个的利润-（进货量-50）×10×每个赔的钱=600；据此列出方程解可得答案．解答：解：设这个数量是x 个．由题意得：（20x+500 ）×（1-0.6）-（x-50 ）×10×（0.6-0.2）=600 ，解得： x=50．故这个数量是 50 个．方法二：抓住数学术语找等量关系1、和差关系和倍数关系常用“一共有”、“比多”、“比少”、“是的几倍”等术语表示，增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量。
在解题时可抓住这些术语去找等量关系，按叙述顺序来列方程。
【例】2009 年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的 3 倍还多0.6 亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？考点：一元一次方程的应用．专题：应用题．分析：等量关系为：居民家庭用水=生产运营用水的 3 倍 +0.6．解答：解：设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水（ 5.8-x ）亿立方米．依题意，得 5.8-x=3x+0.6 ，解得： x=1.3 ，∴ 5.8-x=5.8-1.3=4.5 ．答：生产运营用水1.3 亿立方米，居民家庭用水 4.5 亿立方米．点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．本题也可根据“生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿立方米”来列等量关系．【例】小刚在商场发现他喜欢的随身听和书包单价之和是452 元，并且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元．求小刚喜欢的随身听和书包的单价．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；经济问题．分析：本题的关键语“随身听和书包单价之和是452 元，并且随身听的单价比书包单价的4倍少 8 元”，即随身听的单价=书包单价×4-8．依此等量关系列方程求解．解答：解：设随身听单价为x 元，则书包的单价为（ 452-x）元，列方程得： x=4（ 452-x ）-8，解得： x=360 ．当 x=360 时， 452-x=92【例】有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的 2 倍短 50 米，试求各铁桥的长．解：设第一铁桥的长为 x 米，那么第二铁桥的长为（2x-50 ）米， ?过完第一铁桥所需的时间为分．过完第二铁桥所需的时间为分．依题意，可列出方程+ = 解方程 x+50=2x-50 得 x=100 ∴ 2x-50=2×100-50=150 答：第一铁桥长100 米，第二铁桥长 150 米．【例】《一千零一夜》中有这样一个段文字：有一群鸽子，其中有一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽子群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子一样多”。