《初中数学》数学分析第一章第一节极限(文字版)

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数学分析第一册第一章

S的最小的上界称作的上确界的最小的上界,称作的上确界. 的最小的上界称作S的上确界满足：定义2 定义设S是R中的一个数集若数 η 满足：是中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是的上界；即是S的上界的上界； (ii) 对任何 α < η , 存在x0 ∈ S , 使得 x0 > α , 即则称数
事实上，对任何正数无论多么大无论多么大)，事实上，对任何正数M(无论多么大，取则 n0 ∈ N + , 且 n0
n0 = [ M ] + 1, ([ M ]表示对M 取整)
问题: 问题设 S
有无上界; 有无上界 = [0,1]. (1) S有无上界 (2) S若有上界有几个上界若有上界,有几个上界若有上界有几个上界; (3) S有无最小的上界有无最小的上界. 有无最小的上界
数集.确界原理 §2数集确界原理数集一区间与邻域为开区间，设 a, b ∈ R, 且 a < b. 称数集 {x | a < x < b} 为开区间，记作 ( a, b) 称为闭区间，记作数集称为闭区间，
{x | a ≤ x ≤ b}
(a, b)
数集
{x | a ≤ x < b} [a, b) 都称为半开半闭区间，都称为半开半闭区间，分别记作 ( a, b] { x | a < x ≤ b} b
例2 设
满足：定义2 定义设S是R中的一个数集若数η 满足：是中的一个数集 (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ η , η 即是的上界；即是S的上界的上界； η 又是的最小上界，的最小上界 (ii) 对任何 α < η , 存在x ∈ S , 使得 x0 > α ,即又是S的最小上界，则称数证明: S = [0,1]. 证明 sup S = 1. 的上界；的上界证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界； (ii) 对任何 α < 1, 取 x0 = 1 ∈ S , 则有 x0 > α , 故 sup S = 1. 例2 设证明: = [0,1).证明: sup S = 1. 的上界；的上界证: (i) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤ 1, η = 1 是S的上界；则有任取 x0 ∈ S , (ii) 对任何 α < 1. 若 α < 0, 1+ α , 有 α < x0 . 有 α < x0 . 若 0 ≤ α < 1, 取 x0 = 2 sup S = 1. 例3 设 S 所以

数学极限知识点总结

数学极限知识点总结一、极限的概念极限是一个重要的数学概念，它描述了一个函数在自变量趋近某个特定值时的行为。

具体地说，当自变量x在某一点a附近不断靠近，同时函数f(x)的取值也逐渐接近某个特定的数L时，我们就说函数f(x)在自变量x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

这个定义可以用符号表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε。

在这个定义中，ε和δ分别表示"误差"和"变化范围"，而当自变量x距离a足够近时，函数f(x)的取值与极限L的差异也会变得足够小。

换句话说，极限描述了函数在某点附近的稳定性和趋势。

在实际问题中，极限的概念常常用于描述随着自变量的变化，函数取值的趋势。

比如，在物理学中，我们可以用极限来描述速度、加速度、流体的流动等随着时间或空间的变化而变化的量。

而在工程中，极限也可以描述材料的强度、电路的稳定性等。

因此，极限是数学中一个十分重要、普遍且有广泛应用的概念。

二、极限的性质1.极限的唯一性如果一个函数在某点附近有极限，那么这个极限是唯一的。

换句话说，对于一个自变量x趋近于a的函数f(x)，其极限只能有一个确定的值。

这个性质使得我们可以不用担心在计算函数的极限时会出现多个可能的结果，从而保证了极限的一致性和确定性。

2.极限的局部保号性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则当L>0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都大于0；当L<0时，存在a的某个邻域，使得邻域内的函数值都小于0。

这个性质表明了在极限存在的情况下，函数在足够靠近极限点的地方都具有一致的正负性。

3.极限的局部有界性如果函数f(x)在某点a的邻域内除a点外有定义，并且lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得a的某个邻域内函数的取值都在区间(-M,M)之间。

教资极限知识点总结

教资极限知识点总结一、极限概念1. 极限的定义极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。

数学上，对于一个函数f(x)，当x无限接近某一点a时，f(x)的取值会无限接近于某一特定的值L，这个值L就是函数f(x)在点a处的极限，通常用lim(x->a) f(x) = L来表示。

2. 极限存在性一个函数在某一点的极限存在的条件是：当x无限接近于该点时，f(x)的取值会趋于某一具体的值，即存在一个数L，使得对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

这个数L就是函数f(x)在点a处的极限。

3. 极限的性质（1）唯一性：若lim(x->a) f(x)存在，则函数f(x)在点a处的极限唯一。

（2）局部有界性：若lim(x->a) f(x)存在，则存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，函数f(x)有界。

（3）夹逼定理：若对于所有的x（a-h和a+h之间）都有g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim(x->a)g(x) = lim(x->a) h(x) = L，则lim(x->a) f(x) = L。

4. 极限的计算（1）利用函数性质：例如使用分解因式、换元等方法来计算。

（2）利用极限性质：例如夹逼定理、加减乘除等方法来计算。

（3）利用洛必达法则：当使用代入法计算不便或不可行时，可以使用洛必达法则来计算不定式的极限。

二、常见的极限1. 无穷大极限当函数f(x)在无穷远的点x=a处的极限满足lim(x->∞) f(x) = L或lim(x->-∞) f(x) = L时，称为无穷大极限。

2. 无穷小极限当函数f(x)在某一点x=a处的极限满足lim(x->a) f(x) = 0时，称为无穷小极限。

3. 函数的连续性函数f(x)在某一点x=a处连续的条件是lim(x->a) f(x)存在且f(a)存在且lim(x->a) f(x) =f(a)。

数学分析华东师大第一章第一节

(1) x, y R, R + , 若 x y, 则 x y.
( 2) x1 x2 , y1 y2 , 则 x1 y1 x2 y2 .
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性:
a, b R + , n N+ , 使得 nb a.
k 1 π a 与 b 之间的有理数, 而是 a 与 b 之间 n 4n 的无理数.
例2 若a , b R, 对 0，a b ，则 a b. 证倘若a b，设 a b 0, 则 a b ,
与 a b 矛盾.
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k 1 k 2 k 1 k 2 于是, a b, 则 , 是 n n n n
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若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
则 x y an bn , n 0, 1, 2, . 用无限小数表示实数，称为正规表示. m 3. Q { x | x , 其中 m , n Z, n 0} 表示有理数集. n x Q, x 可用循环十进制小数表示， 1 42857 . 如 0 .1 7
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ;
x 0.1010010001 .
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二、实数的大小
定义1 x , y R + , 若
x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
是正规的十进制小数表示, 规定
a b a0 b0 或 n N+ , 使

初中数学什么是函数的极限如何计算一个函数的极限

初中数学什么是函数的极限如何计算一个函数的极限函数的极限（Limit）是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某个特定点或者无穷远点的趋势或者接近程度。

计算函数的极限是研究函数在特定点的性质和行为的重要方法。

在本文中，我们将详细讨论函数的极限概念以及如何计算一个函数的极限。

首先，让我们回顾一下函数的概念。

函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号表示为f(x)，其中 f 是函数的名称，x 是自变量，f(x) 是因变量。

函数的极限可以用以下形式表示：如果函数f(x) 在某一点c 的某个邻域内存在一个趋近于L 的数列，那么我们说f(x) 在点c 处的极限为L，表示为：lim(x→c) f(x) = L其中lim 表示极限的运算符，x→c 表示自变量x 趋向于点c，f(x) 是函数在点x 处的值，L 是函数在点c 处的极限值。

计算一个函数的极限的方法主要有以下几种：1. 代入法：当函数在某点的定义存在且没有间断点时，可以直接将自变量的值代入函数中进行计算。

例如，计算函数f(x) = x^2 在x = 2 处的极限，可以直接代入x = 2，得到f(2) = 2^2 = 4。

2. 分析法：当函数在某点的定义存在但代入法不适用时，可以通过分析函数在该点的性质和行为来计算极限。

例如，计算函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 在x = 2 处的极限。

在x = 2 处，分子为0，分母也为0，此时无法直接代入计算。

通过因式分解可得到f(x) = (x + 2)，可以发现在x = 2 处，f(x) 的值为4。

因此，函数f(x) 在x = 2 处的极限为4。

3. 夹逼定理：夹逼定理是一种常用的计算极限的方法，适用于一些复杂函数或者无法直接代入计算的情况。

夹逼定理的核心思想是通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数的极限都等于某个数L，然后证明要计算的函数的极限也等于L。

数分极限知识点总结

数分极限知识点总结1. 极限的定义和性质极限是数学分析中的一个重要概念，用来描述一个函数在某一点附近的表现。

通俗地讲，极限就是描述函数在某一点“接近”的程度。

在数学上，极限可以用严谨的定义来描述，即对于函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数f(x)的取值趋于某一个常数L，那么就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(f(x))=L。

极限有许多重要的性质，其中最重要的包括极限的唯一性、极限的局部有界性、极限的保号性等。

这些性质在研究极限时起到了非常重要的作用。

2. 极限的计算方法在实际计算中，我们需要掌握一些常用的计算极限的方法，包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的放缩定理、极限的L'Hospital法则等。

这些方法对于计算复杂的极限非常有帮助，能够让我们更好地理解函数在某一点的表现。

3. 极限存在性的判定在实际问题中，我们常常会遇到需要判断一个函数在某一点是否存在极限的问题。

对于这类问题，我们需要掌握一些判定极限存在性的方法，包括柯西极限存在准则、极限存在性与函数连续性的关系、函数单调有界准则等。

熟练掌握这些方法能够帮助我们更好地解决实际问题中的极限存在性问题。

4. 极限与无穷大在数分中，我们经常会遇到一些极限涉及到无穷大的问题。

对于这类问题，我们需要掌握无穷大的性质、无穷大的比较定理等方法，来帮助我们更好地理解和计算这类复杂的极限。

5. 极限与级数级数是数学分析中的另一个重要概念，它是无穷多个项的和所组成的一种数列。

在研究级数时，极限起着非常重要的作用，我们需要掌握级数收敛的判定条件、级数与函数极限的关系等，来帮助我们更好地理解和计算级数的性质。

6. 极限与微积分微积分是数学分析中的一个重要分支，而极限是微积分中的基础概念。

在学习微积分时，我们经常会用到极限的概念。

我们需要掌握一些常见函数的极限性质，包括指数函数、对数函数、三角函数的极限等，以及极限在微积分中的应用，比如导数的定义、微分方程的求解等。

极限总结知识点

极限总结知识点极限的概念最早起源于17世纪的数学家牛顿和莱布尼茨，并在此后的数学发展中被不断完善和深化。

极限的概念是微积分中的基础，也是分析数学和实变函数理论中的核心内容之一。

在学习极限的过程中，我们需要掌握一些基本概念和相关定理，下面就是对极限相关知识点的总结：一、极限的定义1. 函数极限的定义设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意小的正实数ε，总存在一个正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么就称limf(x)=A，即称A是当x趋于a时函数f(x)的极限，记作limf(x)=A，或者limx→af(x)=A。

2. 数列极限的定义数列{an}的极限是指当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限趋向于一个确定的常数A，即limn→∞an=A。

二、极限的性质1. 唯一性如果f(x)的极限存在，那么极限是唯一的。

2. 有界性如果f(x)在某一点a的邻域内有界，那么f(x)在a处的极限也有界。

3. 保号性如果函数f(x)的极限存在并且大于（或小于）一个常数A，那么函数f(x)在a附近的某个去心邻域内也大于（或小于）A。

4. 夹逼性如果函数f(x)在点a的某个领域内与另外两个函数g(x)和h(x)夹在一起，并且当x趋于a 时，g(x)和h(x)的极限相等且等于A，那么函数f(x)的极限也等于A。

5. 收敛性与发散性如果函数f(x)的极限存在，那么称f(x)是收敛的，否则称f(x)是发散的。

6. 局部有界性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么f(x)在a的某个去心邻域内有界。

7. 局部半连续性如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么函数f(x)在a的左、右邻域内至少有一个是半连续的。

三、极限的计算方法1. 用极限的定义计算极限利用极限的定义，可以求出一些函数在特定点处的极限。

2. 用夹逼准则计算极限当函数f(x)所在的区间内有另外两个函数g(x)和h(x)，并且g(x)≤f(x)≤h(x)在区间内成立，且limx→ag(x)=limx→ah(x)=A，那么可以利用夹逼准则求出函数f(x)的极限。

《初中数学》数学分析-第一章第一节：极限(文字版)

二、极限
【夹逼法求极限】例
谢谢
II 高中数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识知识构架
I 高等数学基础知识
第一章数学分析
III 初中数学学科知识
II 高中数学学科知识
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析
考试重点考试重点
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一、实数的完备性
【单调数列】
单调数列：若数列 {a n } 的各项满足关系式 an an1 ，则{a n } 为递增数列.同理可定义递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列.
国家教师资格证考试·《初级中学》数学学科知识-高等数学基础知识-第一章-数学分析-第一节极限
二、极限
【极限的定义】【例】
【2014 下半年】：函数列{ f n ( x)} 与函数 f ( x) 都在闭区间[a, b] 有定义，则在 [a, b] 上 { f n ( x)} 一致收敛于 f ( x) 的充要条件是（）
A. 0, x [a, b], 正整数N，使得当n N时，有 f n ( x) f ( x) B. 0, x0 [a, b], 正整数N，使得当n N时，有 f n ( x) f ( x) C.正整数N , 0, x0 [a, b], 使得当n N时，有 f n ( x) f ( x) D. 0, 正整数N，使得当n N时，x [a, b], 有 f n ( x) f ( x)

极限的概念ppt课件

x 时，y ex 0 为无穷小量
由函数图形可知
x 0时，y e x 1 x 时，y e x 0
为无穷小量
x 时，y e x
x
为无穷大量
例2：指出当 x 趋于何值时， y是无穷小量？
(1) y x 1 (2) y ln x (3) y ex 1
y
y
y x1
y ln x
(1)
lim
2x2
2x
1
lim
2
2 x
1 x2
200 2
(2)
x
lim
x
x2 5x 4 x2 4 lim x 2 x
x 1 5
1
4 x2
x
1 x
2 x2
4 x2
100
x2
(3)
lim
x
x2
4
lim x
1 x
2 x2
1
4 x2
0
从而可以总结出下列规律：
设P( x)、Q( x)分别是n次和m次多项式，则
-1
-0.5
sin x lim x x
y ex
0.5
1
(1) lim( x2 2x 3) 11 x2
(2) lim ex 1 x0
2.4
ln10
2.3
2.2
2.1
y ln( x 9)
-2
-1
1
2
3
0.8 0.6 0.4 0.2
-0.2
y sin x x
2
3
4
5
(3) limln( x 9) ln10 x1
lim f ( x) A
x
lim f ( x) B

数学分析函数极限概念

| 1 x 2 0 | .
2 这就证明了 lim 1 x 0. x 1
同理可证 lim 1 x 2 0.
x 1
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由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：
定理 3.1´ 设 f ( x ) 在 U（ x0 ）有定义，则
x x0
lim f ( x ) A 的充要条件是:
lim arctan x 不存在 . 则由定理 3.1，
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二、x趋于x0 时的函数极限
设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 U ( x0 ) 内有定义. 下面我们直接给出函数 f (x)当 x x0 时以常数 A
为极限的定义.
x U 定义4 设 f ( x ) 在点 0 的某空心邻域 ( x ) 内有
π arctan x . 这就是说 xlim 2
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定义2 设 f ( x )定义在 , b 上, A是一个常数.
若对于任意 0 , 存在 M 0, 当 x M ( b) 时
f ( x) A ,
则称 f ( x ) 当 x 时以 A 为极限, 记为
前页后页返回
在上面例题中, 需要注意以下几点： 1. 对于 , 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定的 , 不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更好的问题.
2. 是不惟一的, 一旦求出了 , 那么比它更小的正
数都可以充当这个角色. 3. 正数是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
O
C
A
x
前页后页返回
π 因为当 x 时, 2
sin x 1 x , 故对一切 x 0 ,

数学极限ppt

称为数列的通项或一般项。
例如：
1, 1 2
,
1 3
,
1 4
,,
1 n
,
记作：
1
n
记作： (1)n1
1 2
1 , 22
,
1 23
1 , 24
,
1 2n
, 记作：
1
2
n
数列的极限
数列极限的实质：
随着项数n的变化,通项xn的变化趋势也就是
考察当n→∞时，通项xn的变化趋势。
例如, 1,
0下载券文档一键搜索 VIP用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索0下载券文档，下载券不够用不再有压力！
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2.1 极限的概念
现代日常生活中人们常用这种变化趋势来判断事物的发展趋势。
2.1 极限的概念
【古代极限思想】庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，
记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
2.1 极限的概念
【古代极限应用】
三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似值时，提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”

人教版初一数学教材解析与应用

人教版初一数学教材解析与应用数学是一门既具有理论性又具有实践性的学科，对于初中学生而言，数学的学习更是重中之重。

人教版初一数学教材是我国教育系统中的重要教材之一，本文将对该教材进行解析与应用，以帮助初中学生更好地掌握数学知识。

第一章数与式数与式是数学的基础，也是初中数学学习的起点。

本章主要介绍了自然数、整数、有理数、实数等的基本概念与运算规则，培养学生的数学思维和运算能力。

第二章代数初步本章主要介绍了代数式、代数式的加减法、代数式的乘法、代数式的除法等内容。

通过学习本章内容，学生将掌握基本的代数运算技巧，为后续章节的学习打下基础。

第三章平面图形的认识与计算平面图形在生活中随处可见，了解和计算平面图形的性质对于学生的空间想象力和逻辑思维能力有着重要的影响。

本章从点、直线、角开始，逐渐引入三角形、四边形等各种平面图形，让学生对平面图形有一个全面而深入的认识。

第四章测量初步测量是数学中一个重要的分支，也是实践中常用的技能。

本章主要介绍长度、面积、体积以及角度的测量方法和单位换算。

通过学习本章内容，学生将掌握测量的基本原理和方法，提高实际问题的解决能力。

第五章一次函数一次函数是初中数学中的较为复杂的内容之一，也是学生数学思维和逻辑推理能力的重要锻炼。

本章主要介绍了一次函数的定义、性质以及图象的绘制等内容。

通过学习本章内容，学生将培养自己的数学分析和抽象思维能力。

第六章存款与整数本章主要介绍了正数、负数以及存款与整数之间的关系。

通过实际生活中存款的例子，引导学生理解和运用整数的概念和运算规则，培养学生在解决实际问题时的数学建模能力。

第七章数据的分析与处理数据分析与处理是数学中的一项重要应用技术。

本章主要介绍了数据的收集整理、数据的描绘和数据的概率等内容。

通过学习本章，学生将掌握数据的收集和分析方法，并能在实际生活中运用这些知识解决问题。

第八章三角形与平行四边形三角形是几何学中的基本概念，也是初中数学中的重点内容之一。

初中数学的极限

初中数学的极限数学是一门抽象而又深奥的学科，其中包含了许多重要的概念和理论。

在数学的学习过程中，极限是一个十分重要的概念。

初中数学的极限概念是对学生们的数学思维能力、推理能力以及解决问题的能力提出了更高的要求。

在本文中，我将说明初中数学的极限的概念、特性以及应用。

首先，我们需要了解什么是数学的极限。

在数学中，当某个变量逐渐趋近于某个值时，我们可以用极限来表示这种趋势。

例如，当一个变量x的取值趋近于一个常数a时，我们可以用数学符号“lim(x->a)”来表示。

根据这个定义，我们可以看出极限是用来描述变量趋近于某个值的过程。

极限有一些重要的特性。

首先，极限具有唯一性。

也就是说，如果一个变量x在趋近于一个值时有一个极限，那么这个极限是唯一的，不会有多个不同的极限存在。

其次，极限与连续性有关。

如果一个函数在某个点a处的极限存在且等于f(a)，那么这个函数在点a是连续的。

最后，极限也与函数的导数有关。

如果一个函数在某个点a的极限存在，那么这个函数在点a处是可导的。

初中数学的极限在实际应用中有着广泛的用途。

首先，极限可以帮助我们解决一些数列的问题。

数列是一组按照一定规律排列的数的集合。

通过计算数列的极限，我们可以得知数列最终会趋近于什么值。

其次，极限还可以帮助我们研究函数的性质。

通过计算函数的极限，我们可以了解函数在不同的点上的变化趋势，进而帮助我们做出更准确的预测。

最后，极限还可以帮助我们解决一些几何问题。

通过计算几何图形中点的极限，我们可以确定几何图形的某些性质，如切线的斜率等。

理解初中数学的极限概念对学生们来说可能是一个挑战。

然而，通过具体的例子和练习，学生们可以逐渐理解极限的概念和应用。

对于初学者来说，可以从一些简单的例子入手，如计算一个数列的极限。

随着学生们的能力提高，可以逐渐引入函数的极限和几何图形的极限等更复杂的概念。

此外，通过让学生进行实际的探究和解决问题的方式，可以帮助他们更好地理解极限的概念和应用。

高等数学：（2）函数极限的定义（第一章极限）

高等数学：（2）函数极限的定义（第一章极限）
通过上一节的内容，相信同学们都对数列的极限有了一个清楚的认识，绝大部分高数教材都以数列的极限作为整个高等数学的开头，怎么样，这个开头是不是比想象中的要容易一些呢？
接下来，让我们升华一下，学习函数极限的定义吧！
（2）函数极限的定义
观察下面图像：
左边的是数列的图像，右边是函数的图像。

通过观察我们可以发现，函数的图像就是在数列图像基础上减少了对自变量的束缚，可以说数列是特殊的函数。

是的，在数列的基础上，如果我们如果我们把自变量n→∞等特殊性撇开，就得到了一般的函数。

下面我们通过一个函数的图像来引出函数极限的一般定义：
虽然函数在X=-1上是无意义的，但我们发现当自变量趋近于-1时，函数值会趋近于-2，我们将这样的情况记为：
那么，怎么样用数学语言来描述这一变化过程呢？
由此我们可以引出极限的一般定义：
最后，出一个简单的例题来巩固下今天所学的内容
限于作者水平，若有不妥之处望广大读者指正，共同进步。

第一讲数列极限（数学分析）

第⼀讲数列极限（数学分析）第⼀讲数列极限⼀、上、下确界 1、定义：1）设S R ?，若:,M R x S x M ?∈?∈≤，则称M 是数集S 的⼀个上界，这时称S 上有界；若:,L R x S x L ?∈?∈≥，则称L 是数集S 的⼀个下界，这时称S 下有界；当S 既有上界⼜有下界时就称S为有界数集。

2）设S R ?，若:,M R x S x M ?∈?∈≤，且0,:x S x M εε?>?∈>-，则称M 是数集S 的上确界，记sup M S =；若:,L R x S x L ∈?∈≥，且0,:x S x L εε?>?∈<+，则称L 是数集S 的下确界，记inf L S =。

2、性质： 1）（确界原理）设S R ?，S ≠?，若S 有上界，则S 有上确界；若S 有下界，则S 有下确界。

2）当S ⽆上界时，记sup S =+∞；当S ⽆下界时，记inf S =-∞。

3）sup()max{sup ,sup };inf()min{inf ,inf }A B A B A B A B == 。

4）sup inf();inf sup()S S S S =--=--。

5）sup()sup sup ;inf()inf inf A B A B A B A B +=++=+。

6）sup()sup inf A B A B -=-。

（武⼤93） 7）设(),()f x g x 是D 上的有界函数，则inf ()inf ()inf{()()}sup ()inf ()sup{()()}sup ()sup ()x Dx Df Dg D f x g x f D g D f x g x f D g D ∈∈+≤+≤+≤+≤+3、应⽤研究1）设{}n x 为⼀个正⽆穷⼤数列，E 为{}n x 的⼀切项组成的数集，试证必存在⾃然数p ，使得inf p x E =。

（武⼤94）⼆、数列极限 1、定义：1）lim 0,():,||n n n a a N N n N a a εεε→∞=??>?=>-<，称{}n a 为收敛数列；2）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=+∞??>?>>，称{}n a 为+∞数列；3）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=-∞??>?><-，称{}n a 为-∞数列；4）lim 0,:,||n n n a M N n N a M →∞=∞??>?>>，称{}n a 为∞数列；5）lim 0n n a →∞=，称{}n a 为⽆穷⼩数列；2、性质1）唯⼀性：若lim ,lim n n n n a a a b a b →∞2）有界性：若{}n a 为收敛数列，则{}n a 为有界数列。