数列之累加法与累乘法老师专用
方法累加法与累乘法
方法累加法与累乘法累加法和累乘法是数学中常用的两种算法，用于计算一系列数字的和与积。
累加法是将一系列数字相加，而累乘法是将一系列数字相乘。
这两种算法在实际问题中有着广泛的应用，接下来我将详细介绍这两种方法及其应用。
一、累加法累加法又称为求和法，是一种将一系列数字相加的方法。
累加法的计算步骤相对简单，适用于计算数量较多的数字和。
具体的累加法计算步骤如下：1.将要相加的数字列出来。
2.从左到右依次相加，将每一项的结果写在下一项的下方。
3.将最后一项的结果即为所求的和。
例如，计算1+2+3+4+5的和，可以采用累加法进行计算：112336410515所以，1+2+3+4+5=15累加法的应用非常广泛，比如计算一段时间内的销售额、统计一组数据的总数等等。
此外，在编程中，累加法也常用来计算数组中元素的总和。
二、累乘法累乘法又称为求积法，是一种将一系列数字相乘的方法。
累乘法的计算步骤相对来说较累加法更简单，适用于计算数量较多的数字乘积。
具体的累乘法计算步骤如下：1.将要相乘的数字列出来。
2.从左到右依次相乘，将每一项的结果写在下一项的下方。
3.将最后一项的结果即为所求的积。
例如，计算1×2×3×4×5的积，可以采用累乘法进行计算：1122364245120所以，1×2×3×4×5=120。
累乘法也有着广泛的应用，例如计算一段时间内的增长率、统计一组数据的总积等等。
在编程中，累乘法也常用来计算数组中元素的乘积。
总结：累加法和累乘法是两种常用的数学计算方法，分别用于求一系列数字的和和积。
它们的计算步骤相对简单，适用于计算数量较多的数字和乘积。
累加法和累乘法在实际问题中具有广泛的应用，如统计销售额、计算增长率等等。
此外，累加法和累乘法在编程中也常用来计算数组中元素的总和和乘积。
对于学生来说，掌握累加法和累乘法的计算方法能够帮助他们更好地理解和解决实际问题。
数据之累加法与累乘法 数据分析师专用
数据之累加法与累乘法数据分析师专用数据之累加法与累乘法概述在数据分析中，累加法和累乘法是常用的统计方法。
累加法用于计算一组数据中所有数值的总和，而累乘法用于计算一组数据中所有数值的乘积。
这两种方法可以帮助数据分析师更好地理解数据集的整体趋势和变化。
累加法（Summation Method）累加法是一种简单但有效的统计方法，用于计算一组数值的总和。
它适用于任何数值类型的数据，包括整数、小数和百分比。
计算公式累加法的计算公式如下：总和 = 数据值1 + 数据值2 + 数据值3 + ... + 数据值n其中，数据值1至数据值n代表要计算总和的所有数据。
示例假设我们要计算以下数据的总和：10, 15, 20, 25。
使用累加法，我们可以将所有数据相加：总和 = 10 + 15 + 20 + 25 = 70所以，这组数据的总和为70。
累乘法（Product Method）累乘法是一种用于计算一组数据乘积的统计方法。
它可以帮助我们了解数据集中各个数值之间的相对增长或减少。
计算公式累乘法的计算公式如下：乘积 = 数据值1 * 数据值2 * 数据值3 * ... * 数据值n其中，数据值1至数据值n代表要计算乘积的所有数据。
示例假设我们要计算以下数据的乘积：2, 3, 4, 5。
使用累乘法，我们可以将所有数据相乘：乘积 = 2 * 3 * 4 * 5 = 120所以，这组数据的乘积为120。
总结累加法和累乘法是数据分析师经常使用的两种统计方法。
累加法用于计算数据的总和，而累乘法用于计算数据的乘积。
通过使用这些方法，数据分析师可以更好地处理和理解数据集的整体性质和趋势。
数列通项公式的求法时累加法累乘法
和a1求出{sn
nan}的通项公式，
然后利用由 sn求an , 最后用累乘法求得）
谢谢大家！
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1、已知数列{an}满足a1
1.an
an-1
n -1 (n n 1
2)求其通项公式。
2、已知数列{an}满足a1
1, an1
2an an 2
, 求其通项公式。
3、已知数列{an}满足a1 1, an an-1 2（n n 2）, 求其通项公式。
4、设数列{an}的前n项和为sn,a1 1｛, sn nan}为常数列， 求其通项公式。
a3 2
an 1
a2
3
a1 n
a4 3
a3
4
an 1
...
1n
an n -1 注意：有n-1个式子
a n -1
n
1 an n
二、累乘法
3、注意事项：
适用题型：已知a1且
an an-1
f (n)(n
2)
或者会写成： an an-1 f (n)
将n=2,3,4...n代入给出得式子列出各式
数列通项公式的求法 第2课时
累加法，累乘法，倒数法
主讲人:张佩
本节课主要内容
一、了解什么题型使用累加法及累加法的具体使用步骤 二、了解什么题型使用累乘法及累乘法的具体使用步骤 三、了解什么题型使用倒数法及倒数法的具体使用步骤 四、总结并区分（灵丹妙药） 五、过关斩将
一、累加法
1、累加法适用题型：已知a1且an - an-1 f (n)(n 2) 2、例题: 已知数列{an}满足an - an-1 3n - （ 2 n 2), a1 1, 求其通项公式。
将各式相乘时要注意哪些项约掉了
数列综合讲义十三种题型归纳梳理
数列综合讲义第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项 题型1 累加法1．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若1111(2)3(2,*)n n n n n a a a a a n n N -+-++=∈，则数列{}n a 的通项n a = ．【解析】111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N +-+-++=∈，∴1111112()n n n n a a a a +--=-，2111312a a -=-= ∴数列111{}n n a a +-是等比数列，首项与公比都为2，∴1112n n na a +-= 2n ∴时，1212122212121n n n n n a ---=++⋯⋯++==--，则数列{}n a 的通项121n n a =-∴则数列{}n a 的通项121n n a =- 2．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意*n N ∈都有11n n a a n +=++，则1220172018201911111a a a a a ++⋯+++= ． 【解析】由11n n a a n +=++，得11n n a a n +-=+，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋯+-+(1)(1)(2)212n n n n n +=+-+-+⋯++=∴12112()(1)1n a n n n n ==-++ 则1220172018201911111111111120192(1)22334201920201010a a a a a ++⋯+++=-+-+-+⋯+-= 3．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，且*111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N -+-++=∈（1）证明：数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 （2）求数列1{2n n a a +}n 的前n 项和【解析】（1）证明：当2n 且*n N ∈时，在111123n n n n n n a a a a a a -+-++=两边同除以11n n n a a a -+，得11123n n n a a a +-+=，1111112()n n n n a a a a +--=-，1111211n nn n a a a a +--=-为常数，且21112a a -= 所以数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）设数列{}12nn n a a +的前n 项和为n S由（1）知1112n n n a a +-=，1111112221n n n n a a a ++-=-=⋯=-=-，∴11121n n a ++=-，11121n n a ++=- 又由1112n n n a a +-=，112n n n n n a a a a ++=-，所以122311111()()()121n n n n n S a a a a a a a a +++=-+-+⋯+-=-=-- 题型2 累乘法1．已知数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，则(n a = ) A ．1n + B ．n C ．1n -D ．2n -【解析】数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，可得11321111321n n n a a a a a an n n +-===⋯====+- 可得n a n =，选B2．已知数列{}n a 满足1(2)(1)n n n a n a ++=+，且213a =，则(n a = )A ．11n + B ．121n - C ．121n n -- D ．11n n -+ 【解析】1(2)(1)n n n a n a ++=+，∴112n n a n a n ++=+，∴3234a a =，4345a a =，11n n a n a n -⋯=+ 以上各式两边分别相乘得1(2)1n a n n =+，由1n =时也适合上式，所以11n a n =+，选A 3．已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，若数列{}n b 满足12n n n b b +=+，且12b =，则式子312123n nb b b b a a a a +++⋯+的值是( ) A ．122n n +- B ．(1)22n n -+ C ．(1)22n n +- D ．1(1)22n n +-+【解析】根据题意，数列{}n a 满足2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，变形可得11[(1)]()0n n n n n a na a a +++-+= 又由数列{}n a 是首项为1的正项数列，则有1(1)0n n n a na ++-=，变形可得：11n n a na n +=+ 则有11n n a n a n --=，则有1211211211112n n n n n a a a n n a a a a a n n n -----=⨯⨯⋯⋯+⨯=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=-，故1n a n= 数列{}n b 满足12n n n b b +=+，即12n n n b b +-=，则有112n n n b b ---=则有12112211()()()22222n n n n n n n n b b b b b b b b -----=-+-+⋯⋯+-+=++⋯⋯++=，故2n n b = 则2n n n b n a =⨯，设312123n n nbb b b S a a a a =+++⋯+，则212222n n S n =⨯+⨯+⋯⋯⨯，① 则有231212222n n S n +=⨯+⨯+⋯⋯⨯，②-②可得：231112(21)2(222)22(1)2221nn n n n nS n n n +++--=+++⋯⋯-⨯=-⨯=---变形可得：1(1)22n n S n +=-+，选D4．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，则4a = 14，n a = ． 【解析】2211(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，2，3，)⋯，11[(1)]()0n n n n n a na a a ++∴+-+= 又0n a >，1(1)n n n a na +∴+=，11a =，111n na a ∴=⨯=，1n a n ∴=，414a =，故答案为：14；1n5．已知数列{}n a 满足123a =，12n n na a n +=+，求通项公式n a ． 【解析】12n n n a a n +=+，∴12n n a n a n +=+ 1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----∴=⋯12321211433n n n n n n ---=⋯⨯+-43(1)n n =+，43(1)n a n n ∴=+．6．已知数列{}n a 满足13a =，131(1)32n n n a a n n +-=+，求n a 的通项公式． 【解析】数列{}n a 满足13a =，131(1)32n n n a a n n +-=+，∴134(2)31n n a n n a n --=-， 13211221n n n n n a a a aa a a a a a ---∴=⋯3437523313485n n n n --=⋯--631n =-，当1n =时也成立，631n a n ∴=-题型3 差商法1．已知数列{}n a 中，11a =，对所有*n N ∈，都有212n a a a n ⋯=，则3(a = ) A ．32B ．3C ．9D ．94【解析】因为数列{}n a 中，11a =，对所有*n N ∈，都有212n a a a n ⋯=，所以3n =时，21233a a a =，2n =时，2122a a =，所以394a =．选D ． 2．已知数列满足11222()2n n na a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求证221n S n n +-．【解析】()1I n =时，112a =，112222n n n a a a -++⋯+=，2n ∴时，21211222n n n a a a ---++⋯+=两式相减可得，1122n n a -=，∴12n n a = ()II 解：2n n nnb n a ==，∴231222322n n S n =+++⋯+，231212222n n S n +=++⋯+ 两式相减可得，23112(12)22222212n nn n n S n n ++--=+++⋯+-=--∴1(1)22n n S n +=-+()III 证明：由()II 可知，12(1)2(1)(11)n n n S n n +-=-=-+0110112111111(1)()(1)()(1)(3)23n n n n n n n n n C C C n C C C n n n n ++++++++=-++⋯+-++=-+=+-∴2223n S n n ---，∴221n S n n +-3．已知数列n a 满足21*123222()2n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n n nb a =求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】（Ⅰ）1n =时，112a =，21123222..2n n n a a a a -+++⋯+=⋯（1） 2n ∴时，22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=⋯．（2） （1）-（2）得1122n n a -=即12n n a =，又112a =也适合上式，∴12n n a = （Ⅱ）2n n b n =，∴231222322n n S n =+++⋯+（3），23121222(1)22n n n S n n +=++⋯+-+（4） （3）-（4）可得231121212122nn n S n +-=+++⋯+-1112(12)222212n n n n n n +++-=-=---∴1(1)22n n S n +=-+4．已知数列{}n a 满足112324296n n a a a a n -+++⋯+=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2||(3log )3n n a b n =-，探求使123111116n m b b b b -+++⋯+>恒成立的m 的最大整数值．【解析】（1）当1n =时，1963a =-=，当2n 时，112324296n n a a a a n -+++⋯+=-，① 2123124296(1)n n a a a a n --+++⋯+=--，②①-②得，126n n a -=-，232n n a -∴=-；23,13,22n n n a n -=⎧⎪∴=⎨-⎪⎩，（2）．2||(3log )3n n a b n =-，1231(3log )33b ∴=-=，1113b =；2n 时，2||(3log )3n n a b n =-223||2(3log )(3(2))3n n n n --=-=--(1)n n =+；1111n b n n =-+； ∴123111116n m b b b b -+++⋯+>可化为：11111111()()()3233416m n n -+-+-+⋯+->+； 即11112316m n -+->+恒成立，即511616m n -->+恒成立，故1136m ->成立，故m 的最大整数值为2．5．已知数列{}n a 满足1231(1)(41)23(1)6n n n n n a a a n a na -+-+++⋯+-+=．（Ⅰ）求2a 的值； （Ⅱ）若111nn i i i T a a =+=∑，则求出2020T 的值； （Ⅲ）已知{}n b 是公比q 大于1的等比数列，且11b a =，35b a =，设1n n c b λ+=，若{}n c 是递减数列，求实数λ的取值范围【解析】（Ⅰ）由题意，数列{}n na 的前n 项和(1)(41)6n n n n S +-=．当1n =时，有1111a S ⋅==，所以11a =． 当2n 时，1(1)(41)(1)(45)66n n n n n n n n n na S S -+---=-=-22[(1)(41)(1)(45)][(431)(495)](21)66n nn n n n n n n n n n =+----=+---+=-．所以，当2n 时，21n a n =-； 又11a =符合，2n 时n a 与n 的关系式，所以21n a n =-，所以2a 的值为3． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =-． 可令11111111()(21)(21)22121n n n n n c a a a a n n n n ++===-⋅-+-+因为111nn i i i T a a =+=∑所以12233411111n n n T a a a a a a a a +=+++⋯+11111111[(1)()()()]2335572121n n =-+-+-+⋯+--+11(1)22121n n n =-=++ 所以2020T 的值为20204041． （Ⅲ）由111b a ==，359b a ==得29q =．又1q >，所以3q = 所以1113n n n b b q --==，123n n n n c b λλ+==-⋅因为{}n c 是递减数列，所以1n n c c +<，即112323n n n n λλ++-⋅<-⋅．化简得232n n λ⋅> 所以*n N ∀∈，12()23nλ>⋅恒成立 又12()23n ⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭是递减数列，所以12()23n ⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的最大值为第一项1121()233a =⨯=所以13λ>，即实数λ的取值范围是1(,)3+∞6．已知数列{}n a 满足12a =，1121222(*)n n n n a a a na n N -+++⋯+=∈ （Ⅰ）求{}n a （Ⅱ）求证：1223111132(*)61112n n a a a n n n N a a a +----<++⋯+<∈--- 【解析】（Ⅰ）由1121222n n n n a a a na -+++⋯+=可得3121212222n n n na a na a a +-+++⋯+= 所以当2n 时，3121211(1)2222n n n n a a n a a a ----+++⋯+= 因此，有111(1)(2)222n n nn n n a na n a n ----=-，即122(1)n n n a na n a +=--，整理得12(2)n n a a n +=，又12a =，212a a = 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求得2n n a =（Ⅱ）记1111212112121212n nn nn n n a b a +++---==<=---，故122311111111112222n n a a a na a a +---++⋯+<++⋯+=---， 又112111212111111122121212222422232n nn nn n n n nn a b a ++++----====-=------⨯-⨯，所以1223111(1)1111111326211112233223612n n nn a a a n n n n a a a +-----++⋯+-=-+⨯>-=----． 综上可得：122311113261112n n a a a n n a a a +----<++⋯+<---． 7．已知数列{}n a 满足11121(22)2(*)n n n a a a n N n -+++⋯+=∈．（1）求1a ，2a 和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S 对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围． 【解析】（1）由题意得1112222n n n a a a n -+++⋯+=，所以：21124a =⨯=，312222a a +=⨯．解得：26a =．由1112222n n n a a a n -+++⋯+=， 所以212122(1)2(2)n n n a a a n n --++⋯+=-，相减得1122(1)2n n n n a n n -+=--， 得22n a n =+，1n =也满足上式．所以{}n a 的通项公式为22n a n =+． （2）数列{}n a kn -的通项公式为：22(2)2n a kn n kn k n -=+-=-+说以：该数列是以4k -为首项，公差为2k -的等差数列，若4n S S 对任意的正整数n 恒成立，等价于当4n =时，n S 取得最大值，所以4524(2)2025(2)20a k k a k k -=-+⎧⎨-=-+⎩解得12552k ． 所以实数k 的取值范围是125[,]52．8．（1）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -+++⋯+=，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =，求数列{}n a 的通项公式． 【解析】（1）由211233333n n n a a a a -+++⋯+=①，得113a =，且22123113333n n n a a a a ---+++⋯+=②①-②得：1133n n a -=，∴1(2)3n n a n =，验证1n =时上式成立，∴13n n a =（2）设等比数列{}n a 的公比为q由12231a a +=，23269a a a =，且0n a >，得1122342319a a q a a +=⎧⎨=⎩，∴134(23)13a q a a +=⎧⎨=⎩，解得：113a q ==，∴13n n a = 第2讲 已知n S 求n a1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n n a =B ．3122n n n a n =⎧=⎨⎩C ．12n n a -=D ．12n n a +=【解析】由2log (1)1n S n +=+，得112n n S ++=，当1n =时，113a S == 当2n 时，12n n n n a S S -=-=，所以数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n n a n =⎧=⎨⎩，选B2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =-，1n n a S +=，那么5(a = ) A ．4- B ．8- C ．16- D ．32-【解析】2n 时，1n n a S +=，1n n a S -=，可得：1n n n a a a +-=，化为12n n a a +=，1n =时，212a a ==-∴数列{}n a 从第二项起为等比数列，公比为2，首项为2-，那么352216a =-⨯=-，选C3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．*2()n a n n N =∈B ．*2()n n a n N =∈C ．*2()n a n n N =+∈D ．2*()n a n n N =∈【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈∴当2n =时，22121(21)22a S a a a +==+⇒=，把1n =代入检验，只有答案A B 成立，排除CD 当3n =时，331233(31)62a S a a a a +==++⇒=；排除B ，选A 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = ) A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +【解析】14121n n S a n +-=-，1(21)41n n n a S +∴-=-①，1(23)41(2)n n n a S n -∴-=-② ①-②得：1(21)(23)4(2)n n n n a n a a n +---=，整理得：121(2)21n n a n n a n ++=- 1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----∴=⋯21232553123252731n n n n n n ---=⋯---21(2)n n =-，11a =，符合上式21n a n ∴=-，选C5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，若对任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ+++⋯+-++++恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(-∞，2] B ．(-∞，1] C ．1(,]4-∞ D ．1(,]2-∞【解析】22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，2n ∴时，22112()121n n n n n a a S S a +--=-+=+化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0na >，11n n a a +∴=+，即11n n a a +-= 1n =时，212224a a +==，解得11a =，∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1 11n a n n ∴=+-=，∴123111111111222n n n a n a n a n a n n n nn +++⋯+=++⋯⋯+=+++++++ 对任意的*n N ∈，123111120n n a n a n a n a λ+++⋯+-++++恒成立，122λ∴，解得14λ ∴实数λ的取值范围为(-∞，1]4，选C6．已知数列{}n a 满足：12a =，21(1)0(*)n n n a S S n N ++-=∈，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意的n 均有12(1)(1)(1)n S S S n ++⋯+恒成立，则的最大整数值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】当1n 时，由条件21(1)0(*)n n n a S S n N ++-=∈可得21(1)n n n nS S S S +--=-，整理得221(21)n n n n n S S S S S +-=--+，化简得：121n n n S S S +=-从而111n n n S S S +--=-，故111111n n S S +-=-- 由于：1111S =-，所以：数列1{}1n S -是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列，则：11n n S =-， 整理得：1n n S n+=，依题只须12(1)(1)(1)()n min S S S n++⋯+12(1)(1)(1)()n S S S f n n ++⋯+=，则12(1)(1)(23)1()1(1)n n S f n n n f n n n ++++==>++，故11()(1)31ninS f n f +=== 3max∴=，选B7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22(*)n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a = n ．设211(1)nn n n n a b a a ++=-，则数列{}n b 的前n 项和n T =（ ）．【解析】22(*)n S n n n N =+∈，212(1)1(2,*)n S n n n n N -∴=-+-∈，两式相减得：22n a n =，即(2)n a n n =又212112a =+=，11a ∴=，也符合上式，n a n ∴=，又2112111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++1111111(1)()()(1)()223341n n T n n ∴=-+++-+-⋯+-++121,,1111,,11n n n n n n n n n n +⎧⎧---⎪⎪⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪-+-⎪⎪++⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数8．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）． 【解析】当2n 时，12n n S a -=①，12n n S a +=②②-①得12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，故数列{}n a 从第二项起为等比数列，又22a =，则223n n a -=⨯ 当1n =时，11a =，故2*1,123,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⨯∈⎩9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n nS S S n ++⋯+=+，则数列{}n a 的通项公式n a = 【解析】数列{}n a 的的前n 项和为n S ，且1211121n nS S S n ++⋯+=+① 当2n 时，12111122n n S S S n--++⋯+=② ①-②得122221(1)n n n S n n n n -=-=++，所以(1)2n n n S += 故1(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-=-=-=（首项1符合通项）， 故n a n =10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）．【解析】231122n S n n =++，可得113a S ==当2n 时，22131311(1)(1)1312222n n n a S S n n n n n -=-=++-----=-则数列{}n a 的通项公式3,131,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，故答案为：3,131,2n n n =⎧⎨-⎩ 11．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则n a =（ ）【解析】各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S对任意*n N ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列，22n n n S a a ∴=+，21112n n n S a a ---=+两式相减，得22112n n n n n a a a a a --=+--，111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+- 又n a ，1n a -为正数，11n n a a -∴-=，2n ，{}n a ∴是公差为1的等差数列 当1n =时，21112S a a =+，得11a =，或10a =（舍)，n a n ∴=． 第3讲 构造辅助数列求通项1．已知数列{}n a 满112,413n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为（ ）．【解析】知数列{}n a 满112,413n n a a a +==+，则设14()n n a p a p ++=+，整理得13p =，所以113413n n a a ++=+（常数），则数列1{}3n a +是以1113a +=为首项，4为公比的等比数列．所以11143n n a -+=，整理得1143n n a -=-（首项符合通项）．故数列的通项公式：1143n n a -=-．2．已知数列{}n a 的首项12a =，1122n n n a a ++=+，则{}n a 的通项n a =（ ）． 【解析】由1122n n n a a ++=+两边同除以12n +可得，11122n n n n a a ++=+，即11122n nn na a ++-=， 所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭以1为首项，1为公差的等差数列所以2n n a n =，所以2n n a n =． 3．数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为（ ）．变式：已知数列{}n a 中12a =，312n n a a +=，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为（ ）．【解析】由11)(2)1)2n n n a a a +=+=+，得11)(n n a a +=，120a =，∴数列{n a -构成以21为公比的等比数列，则11)(21)1)nn n a --=，则1)n n a =故答案为：1)n n a = 变式：由12a =，312n n a a +=，可知0n a >，两边取对数，得132n n lga lga lg +=+，∴11123(2)22n n lga lg lga lg ++=+， 11322022lga lg lg +=≠，∴数列1{2}2n lga lg +构成以322lg 为首项，以3为公比的等比数列，则11332322222n n n lga lg lg lg -+==，∴31122(31)2222n n n lga lg lg lg =-=-，则1(31)22n n a -=． 4．已知数列{}n a 满足12a =，且*112(2,)1n n n na a n n N a n --=∈+-，则n a = 221nn n - ．【解析】由*112(2,)1n n n na a n n N a n --=∈+-，可得：11122n n n n a a --=+，于是1111(1)2n n n n a a ---=-，又11112a -=-，∴数列{1}n n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列，故112n n n a -=-，*2()21n n n n a n N ∴=∈-． 5．已知数列{}n a 满足1a a =，*121()n n a a n N +=+∈． （1）若数列{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）已知2a =，求证数列{1}n a +是等比数列，并求通项公式n a ．【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，1a a =，121(*)n n a a n N +=+∈，设数列的公差为d ，则(1)n a a n d =+-． 2((1))1a nd a n d ∴+=+-+，即21nd d a =--对*n N ∈成立，于是0d =． n a a ∴=，且21a a =+，解得1a =-．1n a ∴=-；证明：（2）2a =，121(*)n n a a n N +=+∈，112(1)n n a a +∴+=+．1130a +=≠，∴数列{1}n a +是以3为首项，公比为2的等比数列．∴1132n n a -+=．∴1321n n a -=-．6．已知数列{}n a 满足：132a =，且*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-． （1）求1212nna a a ++⋯+的值； （2）求证：*2151()263n n a a a n n N n++⋯++-∈； （3）设*()nn a b n N n=∈，求证：122n b b b ⋯<．【解析】（1）132a =，且*113(2,)21n n n na a n n N a n --=∈+-，∴112113n n n a n a na --+-=，121133n n n n a a --=+⨯．∴1312n n n n a a --=+，113(1)1n n n n a a --∴-=-． 故可得{1}n n a -是以13-位首项，以13为公比的等比数列，∴1111()33n n n a --=-，∴11()3n n n a =-．∴1211[1()]1211133()122313n n n n n n a a a -++⋯+=-=-+-．（2）11()3n n n a =-，∴3121131313n n n n n a n ==++--， 1*2121[1()]11115193()()1222336313n n nn a aa n n n n N n--∴++⋯+++=++-=+-∈-． （3）331n n n n a b n ==-，现用数学归纳法证明122n b b b ⋯<313n n-，(2)n ． 当2n =时，1239271623191169b b ==<=--919-．假设当n k =(2)k 时，122k b b b ⋯<313k k -，当1n k =+时，1212k k b b b b +⋯<11313331k kk k ++--．要证明 2 11113133123313k k k k k k +++--<-，只需证明1133(k k ++1231)3(31)k k k +-<-， 只要证133k +⨯(1231)(31)k k +-<-，222221333231k k k k ++++-<-⨯+，即证213231k k ++>⨯-，即证131k +>-． 而131k +>- 显然成立，1n k ∴=+ 时，112113123k k k k b b b b ++-⋯<，综上得1121131223k k k k b b b b ++-⋯<<．又当1n =时，12b <，所以1212k k b b b b +⋯< 第4讲 分组求和1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，⋯最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{}:1n a ，2，1，6，9，10，17，⋯，设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）请计算123a a a ++，234a a a ++，345a a a ++．并依此规律求数列{}n a 的第n 项n a =（ ）．（2）31n S +=（ ）．（请用关于n 的多项式表示，其中2222(1)(21)123)6n n n n +++++⋯+=【解析】（1）由题意得11a =，22a =，31a =，46a =，59a =，610a =，717a =，计算：1234a a a ++=，2349a a a ++=，34516a a a ++=，⋯ 可归纳得数列{}n a 满足的递推关系式为212(1)n n n a a a n ++++=+，由212(1)n n n a a a n ++++=+，2123(2)n n n a a a n +++++=+，两式相减得323n n a a n +-=+． 可得1211,23n n n n a a a n --=⎧=⎨+⎩． （2）由212(1)n n n a a a n ++++=+可得2222212345678932313(11),(41),(71),(31)961n n n a a a a a a a a a a a a n n n --++=+++=+++=+⋯++=-=-+ 312345632313()()()n n n n S a a a a a a a a a --∴=++++++⋯+++，222329(12)6(12)(1)(21)(1)319636222n n n n n n n n n n n n=++⋯+-++⋯+++++=-+=+- 由323n n a a n +-=+得：41213a a -=+，74243a a -=+，107273a a -=+，⋯，31322(32)3n n a a n +--=-+， ∴2311(321)2(1432)323322n n n a a n n n n n +-+-=++⋯+-+=+=+，∴231321n a n n +=++ ∴322323133131933321312222n n n S S a n n n n n n n n ++=+=+-+++=+++． 2．求数列的前n 项和：2111111,4,7,,32,n n a a a -+++⋯+-⋯．【解析】设21111(11)(4)(7)(32)n n S n a a a -=++++++⋯++-将其每一项拆开再重新组合得21111(1)(14732)n n S n a a a-=+++⋯+++++⋯+- 当1a =时，(31)(31)22n n n n n S n -+=+=，当1a ≠时，111(31)(31)12121n n n n n a a n n a S a a-----=+=+-- 3．数列{}n a 中，*1112,,()22n n n a a a a n N n +-=-=∈+，n P 为抛物线24y x =与直线n y a =的交点，过n P 作抛物线的切线交直线1x =-于点n Q ，记n Q 的纵坐标为n b ． （Ⅰ）求n a ，n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．（附2222(1)(21):123)6n n n n +++++⋯+=【解析】（Ⅰ）*1,()2n n n a a n N n +=∈+，由112a =易得0n a ≠，11,(2)1n n a n n a n --=+，1212111232121143(1)n n n n n a a a a n n n a a a a n n n n n ------⨯⨯⋯⨯==⨯⨯⨯⋯⨯⨯=+-+，112a =， 故1(2)(1)n a n n n =+，经检验1n =时也符合，故n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+．对24y x =两边取导数，可得2y y'=，0(x ，0)y 处切线斜率为002(0)k y y =≠，切线方程为0000022()2y y x x y x y y =-+=+， 与1x =-的交点的纵坐标为0022y y -+，故n b 的通项公式为*212(1)()22(1)n n n a b n n n N a n n =-+=-++∈+． （Ⅱ）2111111112(1)22()2(1)21nn n n n k k k k S k k k k k k k k =====-++=--+-++∑∑∑∑ (1)(21)112(1)(1)621n n n n n n ++=-⨯-++-+(1)(24)32(1)n n n n n ++=-++．4．已知数列{}n a 满足11a =，2*12(1)()n n na n a n n n N +-+=+∈．（1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列：（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解析】（1）由212(1)n n na n a n n +-+=+，两边同除以(1)n n +得1211n n a an n+-⨯=+，∴11222(1)1n n n a a an n n++=⨯+=++．11201a +=≠，∴10n a n +≠，∴11121n na n a n+++=+， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）有12nn a n+=，∴2n n a n n =-，1212(1).12222(123)122222n n n n n S n n n +=⨯+⨯+⋯+-+++⋯+=⨯+⨯+⋯+-． 令1212222n n T n =⨯+⨯+⋯+，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+，∴231112(12)222222(1)2212n nn n n n T n n n +++⨯--=+++⋯+-=-=---，∴1(1)22n n T n +=-+．则前n 项和1(1)(1)222n n n n S n ++=-+-． 5．已知正项数列{}n a 的前三项分别为1，3，5，n S 为数列的前n 项和，满足：22321(1)(1)(3)(n n nS n S n n An Bn A +-+=+++，B R ∈，*)n N ∈．（1）求A ，B 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足122(1)()222n n nb b b n a n N ++=++⋯+∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． （参考公式：222112(1)(21))6n n n n ++⋯+=++【解析】（1）正项数列{}n a 的前三项分别为1，3，5，n S 为数列的前n 项和，满足：22321(1)(1)(3)(n n nS n S n n An Bn A +-+=+++，B R ∈，*)n N ∈．分别令1n =，2，可得：222122(3)S S A B -=++，2232233(2442)S S A B -=++，又111S a ==，23a =，35a =，24S =，39S =．24212(3)A B ∴-⨯=++，2229343(2442)A B ⨯-⨯=++， 化为：427A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得3A =，1B =．（2）由（1）可得：22321(1)(1)(33)n nnSn S n n n n +-+=+++化为：22213311n n S S n n n n+-=+++．∴22222222222112211()()()3[(1)(2)1]3(121)11221n n n n n S S S S S S S S n n n n n n n n n ---=-+-+⋯+-+=-+-+⋯++++⋯+-+--- (1)(21)(1)3362n n n n n n ---=⨯+⨯+3n =，0n S >．2n S n ∴=．（3）由（2）可得：2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-． 数列{}n b 满足122(1)()222n n n b b b n a n N ++=++⋯+∈，即122(1)(21)()222n n b b b n n n N ++-=++⋯+∈， 1n ∴=时，122b =，解得14b =．当2n 时，11221(23)222n n b b bn n ---=++⋯+，可得：412n nb n =-，即(41)2n n b n =-． ∴数列{}n b 的前n 项和23472112(41)2n n T n =+⨯+⨯+⋯+-．231243272(45)2(41)2n n n T n n +=-+⨯+⨯+⋯+-+-，231112(21)84(222)(41)24(41)2(54)2821n n n n n n T n n n +++-∴-=+++⋯+--=⨯--=---，1(45)28(1n n T n n +∴=-+=时也成立）．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，45627a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b a =，求数列{}n b 前n 项和n T ．参考公式：222(1)(21)126n n n n ++++⋯⋯+=．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1322a a a +=，知3239S a ==，即23a =． 又由4565327a a a a ++==，得59a =．52932523a a d --∴===-．2(2)32(2)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-； （2）由222(21)441n nb a n n n ==-=-+． ∴2224(12)4(12)n T n n n =++⋯+-++⋯++(1)(21)(1)4462n n n n n n +++=⨯-⨯+3(1)(21)14[441]623n n n n nn +++-=⨯-⨯+⨯=7．已知数列{}n a 的前n 项和为3n n S =，数列{}n b 满足11b =-，*1(21)()n n b b n n N +=+-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n b 的通项公式n b ；（3）求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考公式：22221123(1)(21)6n n n n +++⋯+=++．【解析】（1）数列{}n a 的前n 项和为3n n S =，1n ∴=时，113a S ==．2n 时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯．13,123,2n n n a n -=⎧∴=⎨⨯⎩． （2）数列{}n b 满足11b =-，*1(21)()n n b b n n N +=+-∈，即121n n b b n +-=-． 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---∴=-+-+⋯+-+(23)(25)311n n =-+-+⋯++-2(231)22n n n n --==-． （3）数列{}n b 的前n 项和22221(1)(1)(25)1232(12)(1)(21)2626n n n n n n T n n n n n ++-=+++⋯+-++⋯+=++-⨯=．8．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)32(32)nn a nn a b n n -=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=，① 当2n 时，1231(1)258(34)2n n n a a a n a --+++⋯+-=，② ①-②得：(1)(1)(31)22n n n n n n a n +--=-=，故(2)31n n a n n =-，当1n =时，解得112a =，首项符合通项，故31n n a n =-．（2）由（1）得：(31)3311222()(32)(31)(32)3132nn a n n n n a b n n n n n n -=+=+=+-+-+-+， 所以12111111(222)()25583132nn T n n =++⋯++-+-+⋯+--+2(21)1121232n n ⨯-=+--+1132322n n +=--+ 9．已知数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(31)22nn a n nn b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）数列{}n a 满足123(1)258(31)2n n n a a a n a ++++⋯+-=，① 当2n 时，1231(1)258(34)2n n n a a a n a --+++⋯+-=，② ①-②得：(1)(1)(31)22n n n n n n a n +--=-=，故(2)31n n a n n =-，当1n =时，解得112a =，首项符合通项， 故31n na n =-． （2）设(31)2222(31)nn a n n n n b n a -=+=+-，所以122(21)(231)2232212n n n n n T n n +-+-=+⨯=++--．10．已知数列{}n a 满足*1(1)(1)()n n nS n S n n n N +=+++∈，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(2)1(1)(1)(1)n n n n a b n n n ++=≠+-，记23n n T b b b =++⋯+，求n T ．【解析】（1）*1(1)(1)()n n nS n S n n n N +=+++∈，且11a =．∴111n n S S n n +=++，即111n n S Sn n+-=+， ∴数列{}n S n 是等差数列，首项为1，公差为1．∴1(1)n Sn n n=+-=，2n S n ∴=． ∴当2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时也成立，21n a n ∴=-．（2）2n 时，(2)1(2)(21)111232()(1)(1)(1)(1)11n n n n a n n n b n n n n n n n +++-+===++-+-+--+，23(1)(523)1111111112[(1)()()()()]232435211n n n n T b b b n n n n -++∴=++⋯+=+-+-+-+⋯+-+---+2111342(1)21n n n n =+-++--+24231(1)n n n n n +=+--+．11．在数列{}n a 中，13a =，12(2)(2n n a a n n -=+-，*)n N ∈． （1）求证：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的与前n 项和n S ．【解析】（1）证明：13a =，12(2)(2n n a a n n -=+-，*)n N ∈．12(1)n n a n a n -∴+=+-，∴数列{}n a n +是等比数列，首项为4，公比为2．11422n n n a n n -+∴=⨯-=-．（2）{}n a 与前n 项和231(222)(12)n n S n +=++⋯+-++⋯+4(21)(1)212n n n -+=--22242n n n ++=-- 12．单调递增数列{}n a 满足21231()2n na a a a a n +++⋯+=+． （1）求1a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设111,21,n n n a n a n c a n -+-⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． 【解析】（1）21231()2n n a a a a a n +++⋯+=+，①∴当1n =时，2111(1)2a a =+，解得11a =，当2n 时，2123111(1)2n n a a a a a n --+++⋯+=+-，② ①-②并整理，得2211(1)2n n n a a a -=-+，∴221(1)0n n a a ---=，解得11nn a a --=或11(2)n n a a n -+= 又{}n a 单调递增数列，故11n n a a --=，{}n a ∴是首项是1，公差为1的等差数列，n a n ∴=⋯ （2）111,21,n n n a n a n c a n -+-⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数，∴13212(242)[1232(21)2]n n T n n n -=++⋯++⨯+⨯+⋯-⨯+ 1321(1)[1232(21)2]n n n n n -=++⨯+⨯+⋯-⨯+，记13211232(21)2n n S n -=⨯+⨯+⋯-⨯③ 352141232(21)2n n S n +=⨯+⨯+⋯-⨯④，由③-④得4622132222(21)2n n n S n +-=+++⋯+--，∴24622132222(21)22n n n S n +-=+++⋯+---，214(14)3(21)2214n n n S n +--=----，∴214(14)(21)22933n n n n S +--=++，21(65)21099n n n S +-=+，∴2122(65)210299n n n T n n +-=+++．⋯（13分）第5讲 裂项求和1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且912162a a =+，24a =，则数列1{}n S 的前20项的和为( )A ．1920 B ．2021C ．2122D ．2223【解析】由912162a a =+及等差数列通项公式得1512a d +=，又214a a d ==+，12a d ∴==，2(1)222n n n S n n n -∴=+⨯=+，∴1111(1)1n S n n n n ==-++， ∴数列1{}n S 的前20项的和为1111111120112233420212121-+-+-+⋯+-=-=，选B 2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，则数列11{}n n a a +的前10项的和为 ． 【解析】数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)2n n n S +=，可得1n =时，111a S ==， 2n 时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=，上式对1n =也成立，故n a n =，*n N ∈， 11111(1)1n n a a n n n n +==-++，则数列11{}n n a a +的前10项的和为111111101122310111111-+-+⋯+-=-=． 3．数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11{}n na a -+的前n 项和为5，则n = ． 【解析】数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，2214n n a a +∴-=，2214n n a a +∴=+，1n a +∴ 12a =，2a ∴=3a ∴=4a =，⋯由此猜想n a =．11142,n n n n a a a a a ++=-=+，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，∴21321111()(2)544n n n a a a a a a a ++-+-+⋯+-=-=，22∴=，解得1121n +=，120n ∴=． 4．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2n n n n a a n n a +-==-，3，4，)⋯． （1）求3a 、4a 的值；（2）设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式； （3）设*1sin3()cos cos n n n c n N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【解析】（1）数列{}n a 中，11a =，214a =， 且1(1)(2nn nn a a n n a +-==-，3，4，)⋯，∴2321(21)1412724a a a -===--，34312(31)17131037a a a ⨯-===--，∴317a =，4110a = （2）当2n 时，1(1)1111(1)(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +---=-==----，∴当2n 时，11n n n b b n -=-， 故*11,n n n b b n N n++=∈，累乘得1n b nb =，13b =，3n b n ∴=，*n N ∈ （3）1sin 3cos cos n n n c b b +=sin(333)tan(33)tan3cos(33)cos3n n n n n n+-==+-+，12n n S c c c ∴=++⋯+(tan6tan3)(tan9tan6)(tan(33)tan3)n n =-+-+⋯++-tan(33)tan3n =+-5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n n a a =+，33S =，数列{}n b 为等比数列，13310b b a +=，24610b b a +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若11(1)(1)(1)n n n n n b c b b b -+=+++，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求使得2116n T λλ<-恒成立的实数λ的取值范围．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，223n n a a =+，33S =，21123a a a d ∴=+=+，1333a d +=， 解得11a =-，2d =．12(1)23n a n n ∴=-+-=-．设等比数列{}n b 的公比为q ，13310b b a +=，24610b b a +=．∴21(1)103b q +=⨯，31()109b q q +=⨯， 解得13b =，3q =．3n n b ∴=．（2）1111113311[](1)(1)(1)(31)(31)(31)8(31)(31)(31)(31)n n n n n n n n n n n n n b c b b b -+-+-+===-++++++++++， ∴数列{}n c 的前n 项和13113[]824(31)(31)64n n n T +=-<⨯++，2116n T λλ<-恒成立，化为2316416λλ-，即264430λλ--，解得：14λ，或316λ-． 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5125S S =，212n n a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b a =，且n b，2n ，*n N ∈，求证：{}n b 的前n 项和n T <．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，5125S S =，212n n a a -=，11545252a d a ⨯∴+=，111(1)[(21)1]2a n d a n d +-=+--，解得11a =，2d =．12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）证明：2(121)2n n n S n +-==．n b =，2n ，*n N ∈，则：{}n b 的前n项和1n T b =+⋯⋯+11==222()2()a b a b ++，a ，0b >，a b ≠．1∴+=．n T ∴<．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 【解析】（1）2321112322n S S S S n n n +++⋯+=+，① ∴2312111(1)(1)23122n S S S S n n n -+++⋯+=-+--，2n ，② ①②两式相减得nS n n=，2n 故2n S n =，2n ，又11S =，从而2n S n =，*n N ∈ 易得11,11,1,221,2n nn S n n a S S n n n -==⎧⎧==⎨⎨--⎩⎩，21n a n ∴=-．（2）由（1）得1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，故12311111111(1)(1)2335212122121n n nT b b b b n n n n =+++⋯+=-+-+⋯+-=-=-+++．由715n T >得7n >， 又当*n N ∈时，n T 单调递增，故所求最小正整数n 为8．。
累加法与累乘法
求数列通项公式之累加法（1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=或)(1n f a a n n +=+，则可利用累加法求通项公式注意：①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和②1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式 ③、具体操作流程之一：若1()n n a a f n +-=，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a解：121n n n a a +-=+ 累加可得：()2112221n n a a n --=++++-【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成)(1n f a a n n =-+或例2：已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：【变式训练】：变式1、已知数列{}n a 的首项为1，且n a a n n 21+=+写出数列{}n a 的通项公式.变式2、在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
变式3、已知数列{}n a 满足1=a变式4、在数列{}n a 中，1=a变式5、已知数列{}n a 满足1321+⋅+=+n n n a a ，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。
累 乘 法1、数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式 解：因为1(1)n nna n a +=+所以n n a a nn 11+=+ 则11-=-n na a n n (1) . （2） . . . .1212=a a (n-1)将上式中的（1）*（2）*………*（n-1）化简得,1n a a n=（n 》2） 所以na n 2= （n 》2）当n=1时满足上式，所以na n 2=总结：满足n1a a n 与+的比值为常数或者变量的时候都可以采用累乘法变式1：数列}{n a 中，12a =,32=a ，n n a n na )1(1-=+ , 求}{n a 通项公式 解：变式2：数列}{n a 中，12a =, n n a n na )2(1+=+ , 求}{n a 通项公式 解：变式3：已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。
数列之累加法与累乘法老师专用
n．2 n (n ＋经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝ (n ≥2)2 ＝ 2 ＝ 2n ²＋3n －4 n ²＋3n n (n ＋∴ a ＝a ₁＋ ， n ²＋3n －4 2×(n －1)2 (n ＋1)＋＝ 解析：由已知得 a －a ＝n ＋2，于是有 a －a ₁＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ₂－a ₁)∴ a ＝a ₁＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n ²＋n ＋1(n ≥2)． ×(n －1)＝(n ＋2)(n －2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a －a ＝2n ，于是有 a －a ₁＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ₂－a ₁)数列之累加法与累乘法 老师专用1. ☆[累加法] 设数列{a }中，a ₁＝2，a ＝a ＋n ＋2，则通项 a ＝ ．2. ◇设数列{a }中，a ₁＝3，a ＝a ＋2n ，则通项 a ＝ ．3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a }满足 a ₁＝33，a －a ＝2n ，则a的最小值为 ．4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a }的首项为 3，{b }为等差数列且 b ＝a －a (n ∈N *)．若 b ₃＝－2，b ＝12，则a ＝ ．为 n21 所以a 的最小值 21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是x /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1，n n 33∴ a ＝a ₁＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a ＝ 解析：a ₂－a ₁＝2，a ₃－a ₂＝4，a －a ₃＝6，…，a －a ＝2(n －1)，以上各式左右两边分别相加，得 a －a ₁＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －a5. ◇(2015 江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a }满足 a ₁＝1，且 a －a ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{ 1 }前 10 项 的 和 为 ．6. ◇数列{a }满足 a ₁＝1，且对任意的 m , n ∈N *，都有 a ＝a ＋a ＋mn ，则 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＝ ．a ₁ a ₂ a ₃ a7. ◇已知数列{a }中，a ₁＝p ，a ₂＝q ，且 a －2a ＋a ＝d ，求数列{a }的通项公式． b －b ₃ 解析：设{b }的公差为 d ，则 d ＝ 10－3＝2，∴ bn ＝b ₃＋(n －3)d ＝2(n －4)，即 a －a ＝2(n －4)． 则 a ₂－a ₁＝－6，a ₃－a ₂＝－4，a －a ₃＝－2，…，a －a ＝2(n －5)，累加得到 a －a ₁＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n －5)＝(n －8)(n －11 11 10 11 2 2 3 a 1 20 1 1 1 1 { }前 10 项的和为 S ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝2(1－ )＝ ． 故数列 1 n n ＋11 ＝2( －a n (n ＋1)2 则1 ，2 n (n ＋＝ a ＝a ₁＋(a ₂－a ₁)＋(a ₃－a ₂)＋…＋(a －a )＝1＋2＋3＋…解析：由 a ₁＝1，且 a －a ＝n ＋1 (n ∈N *)得，2012 2013 20132 23 a a ₁ a ₂ a ₃ n n ＋1 1 1 4024 ＝2( － )，∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ ． a n (n ＋1) 1 1 1 1 1 1 2 ∴ 1 ， 2 ＝ 2，故 a ＝a ₁＋ 2 (n ＋2)(n －1) n (n ＋(n ＋2)(n －累加得到 a －a ₁＝2＋3＋4＋…＋n ＝ 解析：令 m ＝1，则有 a ＝a ₁＋a ＋n ，即 a －a ＝n ＋1，所以 a ₂－a ₁＝2，a ₃－a ₂＝3，a －a ₃＝4，……，a －a ＝n ，＋ n＝ ，满足 ( ＋8. ◇已知数列{a }中，a ₁＝5，满足 a ＝(1 1 )a ，求数列{a }的通项公式．9. ◇已知数列{a }中，a ₁ 1 a ＝ 1 2 )a ，求数列{a }的通项公式． 3 3 3n10. ◇在数列{a }与{b }中，a ₁＝1，b ₁＝4，数列{a }的前 n 项和 S 满足 nS －(n ＋3)S ＝0，2a 为 b 与 b 的等比中项，n ∈N *．⑴ 求 a ₂, b ₂的值；⑵ 求数列{a }与{b }的通项公式．d )2n －2 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝p ＋(n －1)(q －p2 d )＝p ＋(n －1)(q －p ＋ d ) 2n －2 n －2 2∴ a ＝a ₁＋(n －1)(q －p n －2 ＝(n －1)(q －p ＋2n －2 ＝(n －1)(q －p )＋ ×(n －解析：原式可化为(a －a )－(a －a )＝d ．令 b ＝a －a ，则 b －b ＝d ，所以数列{bn }是以 b ₁＝a ₂－a ₁＝q －p 为首项，以 d 为公差的等差数列． ∴ b ＝b ₁＋(n －1)d ＝q －p ＋(n －1)d ．即 a －a ＝q －p ＋(n －1)d ．于是有 a －a ₁5 (n ＋2n ＋1 ∴ a ＝a ₁× ＝ 2 n n －1 n －2 2 4 3 n ＋1 n ＋1 n n －1 ＝ × × ×…× 3 × 2 ＝ ． a ₂×aaaa ×… a ₁＝a ×a ×a 于是有 a ， n 1 ＝n ＋＋ n a 解析：原式可化为 a ＝1 ＝ 2×3． 2(n ＋1)n (n ＋ ＝3× (n ＋ ∴ a n ＝a ₁×3×．2 1 (n ＋(n ＋3× 2×1 ＝3× ＝ 1 2 × 5 × 43 × 3 … n －1 n －2 n －3 n －4n ＋1 n n －1 n －2 × × × × × 3 ＝( 1 ) a ₂ ×a ₁ aaaa ×… 1 n ＋2 n n ＋2 a ＝ 3n ＝ 3 × ，于是有 a ₁＝a ×a ×a 解析：原式可化为 a． 2 ＝ 6 － 6 (n ＋2)(n ＋1)n (n ＋1)n (n －1) (n ＋则当 n ≥2 时，a ＝S －S ＝ ， 6．于是有 S ＝ 6 ＝ 6 (n ＋1)n (n －(n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋∴ S ＝S ₁× ． 6 ＝ 3×2×1(n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋＝ n －1 n －2 n －3 n －46 5 4 n ＋2 n ＋1 n n －1 ＝ × × × ×…× 3 × 2 ×S ₃ S ₂ S ₁ SSSS ₁ S ₃ S ₂ S SSS 于是有 S ＝ × × ×…× × × ． n ＋3 n S ＝ S ⑵ 由原式可得 nS ＝(n ＋3)S ，＝9．b ₁ (2a ₂)＝ ∵ 2a ₂为 b ₁与 b ₂的等比中项，∴ 解析：⑴ 令 n ＝1 可得 S ₂＝4S ₁＝4，∴ a ₂＝S ₂－a ₁＝3． /* 令 n ＝2 可得 2S ₃＝5S ₂＝20，∴ S ₃＝10，a ₃＝S ₃－S ₂＝综上，恒有 b ＝(n ＋1)²．＝(2n ＋(2n ＋＝ b [(2n ＋1)(2n ＋2)]² [(2n ＋1)(2n 再由①式可得：b ＝ ∴ b ＝b ₁×(n ＋1)²＝(2n ＋2)²＝[(2n ＋1)＋b ＝(n ＋1)²， 得：以上各式连乘可 )²2n b 6b b ₁ 2 b ₃ 4 b n ＋1 2n ＋2 b 8 b b b ₃ n ＋3 两式相除得 b ＝( )²，于是有 ＝( )²， ＝( )²， ＝( )²，……， ＝由已知 b ·b ＝(2a )²＝[(n ＋1)(n ＋2)]²，① 则 b ·b ＝[(n ＋2)(n ＋3)]²，② ．2 (n ＋经检验当 n ＝1 时也符合上式，∴ a ＝。
数列通项公式的求法第2课时-累加法累乘法ppt课件
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四、总结并区分（灵丹妙药）
1、累加法的适用条件：已 a 1 且 知 a n-a n -1f(n )( 2 n) 2、累乘法的适用条件：已知 a1且aann-1 f(n)(n2) 3、倒数法的适用条件：已a知 1且 anpanan-1-11(n2)
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五、过关斩将
1、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1.anan-1n n -1 1(n2)求其通项公
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三、倒数法
1、倒数法适用题型：已a知 1且 anpanan-1-11(n2) 分式的形式
2、例题: 已知{a 数 n}满 列 a足 n3aa n-n1-11(n2)a ,11,求其通项公
解：将原式两边同时取倒数得：
1 1 (n -1) 3 3n - 2
1 3an-113 1
an
an
an-1
2、已知 {an}数 满列 a足 11,an1a2nan2,求其通项公式。 3、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1,anan-12（ n n2） ,求其通项
4、设{an数 }的列 n项 前和 sn,a1为 1｛ , snnna}为常数列， 求其通项公式。
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五、过关斩将答案
1、 ann22n（提示：本 法题 的在 时用 候累 ， 算 乘 等 结式 果右 是边 保 前两项的分 项子 的与 分最 母后 ）两
有问题随时欢迎大家提问
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2、an
2（提示：倒数同法时，取两倒边数） n1
3、 an2n1-（ 3 提示：累 右加 边法 是， 一等 个 前 n-1式 等 项比 的
4、 ann21n （提示：先 和 a1根 求{据 s出 nn常 na}的 数 通 列 项公 然后利 sn求 a用 n,最 由 后用累 . 乘法求得）
方法累加法与累乘法
方法累加法与累乘法累加法和累乘法是数学中常用的两种计算方法。
累加法指的是将一系列数字逐个相加，而累乘法指的是将一系列数字逐个相乘。
两种方法都有其特殊的运用场景和计算规则，下面将详细介绍这两种方法的特点、应用以及计算规则。
一、累加法累加法是将一系列数字逐个相加的计算方法。
它适用于计算多个数字的和或者求解一系列数字的总量。
累加法广泛用于算术、代数、几何等数学中的各种问题的求解过程。
累加法的计算规则如下：1.将要相加的数字按顺序排列。
2.从左到右逐个相加，得到每一步的结果。
3.依次相加至此列结束，得到最终的结果。
例如，计算1+2+3+4+5的和，按照累加法的计算规则，可如下计算：1+2=3；3+3=6；6+4=10；10+5=15所以1+2+3+4+5的和为15一定范围内数字的和。
例如，计算1到100的和，可以使用累加法：1+2+3+4+……+98+99+100。
累加法还可以用于计算概率、统计学等领域。
例如，在概率论中，计算其中一事件发生次数的期望值，就需要使用累加法。
二、累乘法累乘法是将一系列数字逐个相乘的计算方法。
它适用于计算多个数字的积或者求解一系列数字的连乘积。
累乘法广泛用于算术、代数、几何等数学中的各种问题的求解过程。
累乘法的计算规则如下：1.将要相乘的数字按顺序排列。
2.从左到右逐个相乘，得到每一步的结果。
3.依次相乘至此列结束，得到最终的结果。
例如，计算1×2×3×4×5的积，按照累乘法的计算规则，可如下计算：1×2=2；2×3=6；6×4=24；24×5=120。
所以1×2×3×4×5的积为120。
一定范围内数字的积。
例如，计算2到10之间的数字的乘积，可以使用累乘法：2×3×4×……×8×9×10。
累乘法还可以用于计算概率、统计学等领域。
数列累加法和累乘法
数列累加法和累乘法
一、累加法（逐差叠加法）
累加法又叫逐差叠加法。
说到累加法，大家应该都有印象，因为等差数列的通项公式就是用累加法求出来的，我们先通过一个例题回忆一下等差数列通项公式的推导过程，然后再讲解累加法的一般情形。
数列累加法：如已知a(n+1)-an=n 且a1=1求an
解：a2-a1=1 a3-a2=2 a4-a3=3 ……an-a(n-1)=n-1 各式左右叠加得
an-a1=1+2+……+(n-1)=(n-1)*n/2 故an=a1+(n-1)*n/2=……
二、累乘法：如已知a(n+1)/an=(n+1)/n 且a1=1求an
解：a2/a1=2/1 a3/a2=3/2 a4-a3=4/3 ……an/a(n-1)=n/(n-1) 各式左右叠乘得an/a1=2/1*3/2*4/3……*n/(n-1)=n 故an=a1*n=n
项数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：
1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。
2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
累加和累乘常用公式
累加：已知A(n+1)-A(n)=f(n) ;A1, 则A（n）=A1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)
累乘：已知A(n+1)=A(n)*f(n);A1,则A（n）=A1*f(1)*f(2)*f(3)*…*f(n-1)
常用的累加公式：n=1时，S=a1，n>1时，S=n(n-1)a1/2，n为自然数，1，2，3，……，n，S=1+2+3+……+n=n（n+1）/2。
融合乘加则是先完成a+b×c的操作，获得最终的完整结果后方才修约到N个比特。
由于减少了数值修约次数，这种操作可以提高运算结果的精度，以及提高运算效率和速率。
浮点运算中：
当使用整数时，操作通常是精确的（以2的幂为单位计算）。
但是浮点数只有一定的数学精度。
也就是说，数字浮点运算通常不是关联的或分布式的。
（请参阅浮点#精度问题。
）因此，无论是使用两个舍入执行乘法加法，还是使用单个舍入（融合乘法加法）进行一次运算，结果都会产生差异。
IEEE 754-2008规定必须进行一次舍入，才能得到更准确的结果。
积和熔加运算：融合乘加运算的操作和乘积累加的基本一样，对于浮点数的操作也是一条指令完成。
但不同的是，非融合乘加的乘积累加运算，处理浮点数时，会先完成b×c的乘积，将其结果数值修约到N个比特，然后才将修约后的结果与寄存器a的数值相加，再把结果修约到N个比特。
题型-数列通项之累加法与累乘法
数列通项之累加法和累乘法一、题型要求：二、例题讲解：1、已知数列{}n a 满足411=a ，n n a a n n ++=+211，求n a2、已知数列{}n a 满足21=a ，a a n n -(2)n ≥，求n a3、已知数列{}n a 满足211=a ，n n a n na 11+=+，求n a4、已知数列}{n a 中，41=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a三、练习巩固：1、（2014－肇庆统考）已知数列{}n a 满足11=a ，n a a na n n n =-++11，*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；2、（2014－湛江模拟）已知正数数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，lg n S 、lg n 、1lgna 成等差数列。
(1) 求n a 和n S ；3、（2015－珠海一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n S n a +=⋅，其中11a = （1）求数列{}n a 的通项公式;4、（2014－深圳一模）5、（2014－汕头二模理）已知数列{}n a 的前n 项和()12nn n a S +=，11a =． （I ）求数列｛a n ｝的通项公式；6、（2013－广东文科）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1) 证明：2145a a =+(2) 求数列{}n a 的通项公式；7、已知数列{a n }满足:1,1211=+=--a n a a n n ,求n a .8、已知数列{a n }满足:1,1411=-=-+a n a a n n ,求n a .9、已知数列{a n }满足:4,1211=+-=-+a n a a n n ,求20a .10、在数列{a n }中，)11ln(,211n a a a n n ++==+,求a n .。
数列之累加法与累乘法老师专用
数列之累加法与累乘法老师专用1. ☆ [累加法 ] 设数列 { a} 中， a?＝2， an+1 ＝ a ＋ n ＋ 2，则通项 a ＝ ．nn n解析 ：由已知得 a n+1－ a n ＝ n ＋2，于是有 a n － a?＝ (a n －a n -1)＋ (a n-1－ a n-2 )＋ (a n-2 － a n-3 )＋⋯⋯＋ (a?－ a?) ＝ (n ＋ 1)＋ n ＋ (n － 1)＋⋯⋯＋ 3＝(n ＋ 1)＋ 3 × (n － 1)＝n2＋ 3n － 4，2 2∴a n ＝ a?＋ n2＋ 3n － 4＝n2＋ 3n ＝ n(n ＋ 3) (n ≥ 2)．222经检验当 n ＝ 1 时也符合该式．∴a n ＝ n(n ＋ 3)．22.◇设数列 { a n } 中， a?＝ 3， a n ＝ a n-1 ＋ 2n ，则通项 a n ＝ ．解析 ：由已知得 a nn -1n－ a?－a ＝ 2n ，于是有a ＝ (a n －a n -1)＋ (a n-1－ a n-2 )＋ (a n-2 － a n-3 )＋⋯⋯＋ (a?－ a?) ＝ 2n ＋ 2(n －1) ＋2(n － 2)＋⋯⋯＋ 2× 2＝ 2n ＋ 4× (n － 1)＝ ( n ＋ 2)(n － 1)．2∴ a n ＝ a?＋ (n ＋ 2)(n － 1)＝ 3＋ (n ＋2)( n －1)＝ n2＋ n ＋ 1 (n ≥ 2)． 经检验当 n ＝ 1 时也符合该式．∴ a n ＝ n2＋ n ＋1．n n+1na n 的最小值为 ．3. ◇ (2010 辽宁卷 T16) 已知数列 { a } 满足 a?＝ 33， a－ a ＝ 2n ，则 n解析 ： a?－ a?＝ 2，a?－ a?＝ 4，a － a?＝ 6，⋯， a － an-1 ＝ 2(n － 1)，4n以上各式左右两边分别相加，得a n － a?＝ 2＋ 4＋6＋⋯＋ 2(n －1)＝ n(n － 1)，∴ a n ＝ a?＋ n(n － 1)＝ 33＋ n(n － 1)，则a n＝ 33＋ n － 1， n n/* 若 x ＞ 0， x ∈ R ，由基本不等式可得33 x ＝ 33时取得最小值．最接近33的两个整数是＋ x ≥ 2 33，当且仅当x5 和 6．*/当 n ＝ 5 时，a n 33 53当 n ＝ 6 时，a n 33 21 53所以 a n的最小值21n ＝ 5＋4＝ 5；n ＝ 6 ＋ 5 ＝ 2＜ 5 ，n 为 2 ．4. ◇ (2011 四川卷 T8 ) 数列 { a } 的首项为3，{ b } 为等差数列且 b ＝an+1－a (n ∈ N *) ．若 b?＝－ 2， b ＝12，则nnnn10a 8＝ ．b － b?10解析 ：设 { b n } 的公差为 d ，则 d ＝ 10－ 3 ＝ 2，∴ bn ＝ b?＋ ( n － 3)d ＝ 2(n － 4)，即 a n+1－ a n ＝ 2(n － 4)． a则 a?－ a?＝－ 6， a?－ a?＝－ 4， a 4－ a?＝－ 2，⋯， a n － a n-1＝ 2(n －5)，累加得到 a n － a?＝ (－6)＋ (－ 4)＋ (－ 2)＋⋯＋ 2(n － 5)＝ (n － 8)(n － 1)，故 a n ＝ 3＋ (n － 8)(n －1) ，a 8＝ 3．5. ◇ (2015 江苏卷 T11)[ 累加法＆裂项相消法 ] 设数列 { a } 满足 a?＝ 1，且 a －a＝ n ＋ 1 (n ∈ N *) ，则数列 {} nn +1n1n解析 ：由 a?＝ 1，且 a n+1n－a ＝ n ＋ 1 (n ∈ N *) 得，a n ＝ a?＋ (a?－a?)＋ (a?－ a?)＋⋯＋ (a n － a n )-＝1 1＋ 2＋ 3＋⋯＋ n ＝n(n ＋ 1) ，2则 1 ＝ 2 1 1＝ 2( n －n ＋ 1 )，a n n(n ＋ 1)故数列 { 11 ＋ 1 － 1 1 1 1 20 ．} 前 10 项的和为 S 10＝ 2(1－ 223＋⋯＋ － )＝ 2(1－ )＝ 11a n10 11 116.◇数列 { a n } 满足 a?＝ 1，且对任意的 m, n ∈N *，都有 a m+n ＝ a m ＋ a n ＋ mn ，则1＋1＋1＋⋯＋1＝ ．a? a? a?a 2012解析 ：令 m ＝ 1，则有 a n +1＝ a?＋ a n ＋ n ，即 a n+1－ a n ＝ n ＋1，所以 a?－a?＝2， a?－ a?＝3， a 4－ a?＝ 4，⋯⋯， a n － a n-1＝ n ，累加得到 a n － a?＝ 2＋ 3＋4＋⋯＋ n ＝( n ＋2)(n －1)，故 a n ＝ a?＋(n ＋2)(n －1)＝n(n ＋ 1)，222∴ 1 ＝ 2 ＝2(1－ 1 )，∴ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋1 ＝2(1－ 1＋ 1 － 1 ＋⋯＋ 1 － 1)＝ 4024 ．a n n(n ＋ 1) n n ＋ 1 a? a? a? a 2012 2 2 3 2012 2013 20137.◇已知数列 { a n } 中， a?＝ p ，a?＝ q ，且 a n+2－ 2a n+1＋ a n ＝ d ，求数列 { a n } 的通项公式．解析 ：原式可化为(a n+2－ a n+1)－ (a n+1 －a n )＝ d ．＋令 b n ＝ a n+1－ a n ，则 b n+1－ b n ＝ d ，所以数列 { bn}n 是以 b?＝ a?－ a?＝ q － p 为首项，以 d 为公差的等差数列．∴ b n ＝ b?＋ (n － 1)d ＝ q － p ＋ (n － 1)d ．即 a n+1－ a n ＝ q － p ＋( n － 1)d ．于是有 a n － a?＝ (a n －a n -1)＋ (a n-1－ a n-2 )＋ (a n-2 － a n-3 )＋⋯⋯＋ (a?－ a?) ＝ [q － p ＋ (n － 2)d]＋ [q － p ＋ (n － 3)d]＋ [q － p ＋ (n －4)d] ＋⋯⋯ [q － p ＋0d]n － 2＝ (n － 1)( q － p)＋ 2 × (n － 1)dn －2 ＝ (n － 1)( q － p ＋2 d)，n － 2n － 2∴ a n ＝ a?＋ (n － 1)(q － p ＋ 2 d)＝ p ＋ (n － 1)(q － p ＋ 2d) (n ≥ 2)． 经检验当 n ＝ 1 时也符合该式．∴a n ＝p ＋ (n － 1)(q － p ＋ n －22 d)．8. ◇已知数列 { a n } 中， a?＝ 5，满足 a n ＝ (1 1)a n-1，求数列 { a n } 的通项公式．解析 ：原式可化为a n ＝ 1 ＋1＝ n ＋ 1，于是有annn-1n ＋ 1 n n － 143 n ＋1＝ n×n － 1 × n － 2×⋯×3×2 ＝ 2 ．a n a n a n-1 a a?＝×× n-2×⋯ ×a n-1 a n-2 n-3 a?a? a5∴ a n ＝ a?×n ＋ 1＝ (n ＋ 1)．221，满足 a n+1＝ (1 29. ◇已知数列 { a n } 中， a?＝＋ ) a n ，求数列 { a n } 的通项公式．33 3n解析 ：原式可化为a＝ n ＋ 2＝ 1 ×n ＋ 2 ，于是有an ＝ ann -1n-2a?n +1a n-3×⋯ × a?a n 3n3n a? a n-1a n-2＝ ( 1)n-1×n ＋ 1 × n× n － 1× n － 2×⋯ × 5 × 4 × 33 n － 1 n －2 n － 3 n －4 3 2 11(n ＋ 1)n 1 (n ＋ 1)n＝n×＝ n× 2．3-12× 1 3 -1∴ a ＝ a?×1n× (n ＋ 1)n ＝ 1n (n ＋ 1)n ＝ (n ＋ 1)n n ．n3 -12 3 × 2 2×310. ◇在数列 { a n } 与 { b n } 中， a?＝1，b?＝4，数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 nS n+1－(n ＋3)S n ＝0， 2a n+1 为 b n 与 b n+1 的等比中项， n ∈ N *．⑴ 求 a?, b?的值；⑵ 求数列 { a n } 与 { b n } 的通项公式．解析 ：⑴ 令n ＝ 1 可得 S?＝ 4S?＝ 4，∴ a?＝ S?－ a?＝ 3．/* 令 n ＝ 2 可得 2S?＝ 5S?＝ 20，∴ S?＝ 10，a?＝ S?－S?＝ 6． */∵ 2a?为 b?与 b?的等比中项，∴b?＝(2a?)2b?＝ 9．S n+1＝ n ＋ 3⑵ 由原式可得nS n+1 ＝ (n ＋ 3)S n ，∴S．nnSS n S n-1 S n-2 S 4 S? S?于是有n×××⋯× × ×＝S n-1 S n-2 S n-3S?S? S? S?＝ n ＋ 2 ×n ＋ 1 × n × n － 1×⋯× 6×5×4n － 1 n － 2 n － 3 n － 432 1＝(n ＋ 2)( n ＋1)n ＝ (n ＋ 2)(n ＋ 1)n ．3×2× 1 6∴ S n ＝ S?× (n ＋ 2)(n ＋ 1)n ＝ (n ＋ 2)(n ＋1)n ．于是有 S n-1 ＝ (n ＋ 1)n(n － 1) ， 666则当 n ≥2 时， a n ＝ S n － S n-1＝(n ＋2)(n ＋1)n －(n ＋1)n(n － 1) ＝( n ＋1)n．6 6 2经检验当 n＝ 1 时也符合上式，∴a n＝(n＋ 1)n．2由已知 b n· b n+1＝ (2a n+1 )2＝ [(n＋ 1)(n＋ 2)]2，①则b n+1· b n+2＝ [(n＋2)( n＋3)] 2，②两式相除得bn+2＝ (n＋ 3)2，于是有b?＝ (4)2，b＝ (6)2，b＝ (8) 2，⋯⋯，b＝(2n＋ 2 n＋ 1b? 254762n+12nb b?b bn5 2 n-1b2n +1以上各式连乘可得：＝(n＋1)2，∴b2n+1＝ b?× (n＋1)2＝ (2n＋2)2＝ [(2 n＋ 1)＋ 1]2．再由①式可得：b2n＝[(2n＋1)(2n＋2)] 2＝[(2 n＋1)(2 n＋2)] 2＝(2n＋1)2．b2 n+1(2n＋2)2综上，恒有b n＝ (n＋ 1)2．。
数列累加累乘PPT课件
1 n 1
得
a2 a1 1 2
a3
a2
1 2
1 3
......
......
11
an1 an2 n 2 n 1
n1
11
an an1
累加得
n
an
1
a1
n
1
1 n
数列的通项公式是
第14页/共24页
an
2n 1 n
14
错位相减法
数 的
列 通
项a公n 满式足。
a1 1, an1 an ，n 2求n 数列
31
2
15. . 16 31
自我小结：
一个等差数列 的前n项和Sn，在 什么时候 有最大 值？ 什么时候有
由Sn
d 2
n2
(a1
d )n可知 2
当d<0时，Sn有最大值；
最小值？
当d>0时,Sn有最小值.
22
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23
四、一般数列求和法
①倒序相加法求和，如an=3n+1
②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n
3、
4、
等差数列求和公式：
等比数列定义： an1
Sn
q
(a1
an )n 2
na1
(n
1)n 2
d
an
5、 等比数列通项： an a1qn-1
6、
等比数列求和公式：
Sn
a1
na1,当q 1时 (1 qn ) ,当q 1时 11
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设数列an前 n 项的和 sn n2 n
数列的通项公式是an 2n 1
12
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数列求和求积累加累乘递推法
例3：用公式 求 π 的近似值， 直到余项的首项绝对值小于10-6为止 #include <math.h> void main ( ) { float PI=0., m=1., i=1.; int j= -1; do { PI=PI+m; i=i+2; m=j/i; j= - j; } while (fabs (m)>= 0.000001); PI=4*PI; printf("PI=%f\n", PI); }
若利用调用一个求阶乘的函数来求和，则可： long fac(int n) { long p=1; int i=1; for( i=1; i<=n; i++) p*=i; return p; } main() { long s0=2000000, s=0; int n=1; while(s<s0) { s+=fac(n); n++; } printf("n=%d, s= %ld", n, s); }
例11: 求下列级数的近似值, x 的值由键盘输入， 约定求和精度为10-5
x3 x5 x7 s( x ) = x − + − + ... 3 * 1! 5 * 2! 7 * 3!
#include "stdio.h" #include "math.h" void main() { float s, m, x, f, f1, f2; int i, j; scanf("%f", &x); s=0; i=0; j=1; f=x; f1=1; f2=1; m=j*f/(f1*f2);
例5: 求和 s=sin1+sin2+...+sin n (求s＝cos 1+cos 2+…+cos n 与此类似) #include <math.h> void main ( ) { int i, n; float s=0; scanf("%d", &n); for ( i=1; i<=n; i++) s+=sin(i); printf ("s=%f\n", s ); }
2024高考数学累加法累乘法求数列通项含答案
累加法累乘法求数列通项【必备知识点】◆累加法若数列a n满足a n+1−a n=f(n)(n∈N*)，则称数列a n为“变差数列”，求变差数列a n的通项时，利用恒等式a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋅⋅⋅+(a n−a n−1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累加法.具体步骤：a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)⋮⋮a n-a n-1=f(n-1)将上述n-1个式子相加(左边加左边，右边加右边)得：(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+⋯+(a n-a n-1)=f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n-1)整理得：a n-a1=f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n-1)1已知数列a n满足a1=1，对任意的n∈N∗都有a n+1=a n+n+1，则a10=()A.36B.45C.55D.662已知数列a n满足a n+1-a n=2n，a1=1，则a5=()A.30B.31C.22D.233已知数列a n满足a1=2，a n+1-a n=1n n+1，则a10=()A.238B.289C.2910D.32111.已知数列{a n}满足a2=2,a2n=a2n-1+3n(n∈N*)，a2n+1=a2n+(-1)n+1(n∈N*)，则数列{a n }第2022项为()A.31012-52B.31012-72C.31011-52D.31011-722.已知数列{a n}满足a n+1-a n=2n(n∈N∗)，a2=3，则a8=()A.511B.502C.256D.2553.已知数列a n满足a1=2,a n+1=a n-n,则求a100=4.数列a n中，a1=1,a n+1=a n+1n2+n，则a5=.5.已知数列a n满足a1=1，且a n-a n-1=n,(n≥2)，若b n=12a n，n为正整数，则数列b n的前n项和S n=．2024高考数学累加法累乘法求数列通项6.若数列{a n +1-a n }是等比数列，且a 1=1，a 2=2，a 3=5，则a n =．◆累乘法若数列a n 满足a n +1a n=f (n )(n ∈N *)，则称数列a n 为“变比数列”，求变比数列a n 的通项时，利用a n =a 1⋅a 2a 1⋅a 3a 2⋅a 4a 3⋅⋅⋅⋅an a n −1=a 1⋅f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅⋅⋅⋅f (n −1)(n ≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
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n a． 2n (n ＋3) 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝ (n ≥2)．2 ＝ 2 ＝ 2 n ²＋3n －4 n ²＋3n n (n ＋3) ∴ a n ＝a ₁＋ ， n ²＋3n －4 2 ×(n －1)＝2 (n ＋1)＋3 ＝ 解析：由已知得 a n +1－a n ＝n ＋2，于是有 a n －a ₁＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ₂－a ₁)n n n ∴ a n ＝a ₁＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n ²＋n ＋1(n ≥2)．经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝n ²＋n ＋1．×(n －1)＝(n ＋2)(n －1)． 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a n －a n -1＝2n ，于是有 a n －a ₁＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ₂－a ₁)n nn 数列之累加法与累乘法 老师专用1. ☆[累加法] 设数列{a n }中，a ₁＝2，a n +1＝a n ＋n ＋2，则通项 a n ＝ ．2. ◇设数列{a n }中，a ₁＝3，a n ＝a n -1＋2n ，则通项 a n ＝ ．3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a n }满足 a ₁＝33，a n +1－a n ＝2n ，则a n 的最小值为 ．4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a n }的首项为 3，{b n }为等差数列且 b n ＝a n +1－a n (n ∈N *)．若 b ₃＝－2，b 10＝12，则a 8＝ ．5. ◇(2015 江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足 a ₁＝1，且 a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{ 1 }n为 2 ． n 21 所以a n 的最小21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ ， 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ ； 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x ＋/*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1，n n 33∴ a n ＝a ₁＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a n 解析：a ₂－a ₁＝2，a ₃－a ₂＝4，a 4－a ₃＝6，…，a n －a n -1＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a n －a ₁＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －1)， b 10－b ₃ 解析：设{b n }的公差为 d ，则 d ＝ 10－3 ＝2，∴ bn ＝b ₃＋(n －3)d ＝2(n －4)，即 a n +1－a n ＝2(n －4)． 则 a ₂－a ₁＝－6，a ₃－a ₂＝－4，a 4－a ₃＝－2，…，a n －a n -1＝2(n －5)， 累加得到 a n －a ₁＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n －5)＝(n －8)(n －1)， 故 a n ＝3＋(n －8)(n －1)，a 8＝3．＋ n ＝ ，满足 ( ＋ 前 10 项 的 和 为 ．6. ◇数列{a n }满足 a ₁＝1，且对任意的 m , n ∈N *，都有 a m +n ＝a m ＋a n ＋mn ，则 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＝ ．a ₁ a ₂ a ₃ a 20127. ◇已知数列{a n }中，a ₁＝p ，a ₂＝q ，且 a n +2－2a n +1＋a n ＝d ，求数列{a n }的通项公式．8. ◇已知数列{a n }中，a ₁＝5，满足 a n ＝(1 1 )a n -1，求数列{a n }的通项公式．9. ◇已知数列{a n }中，a ₁ 1 a n +1＝ 1 2 )a n ，求数列{a n }的通项公式． 3 3 3n11 11 10 11 2 2 3 10 n a 1 20 1 1 1 1 1 { }前 10 项的和为 S ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝2(1－ )＝ ． 故数列 1 n n ＋1 1 ＝2( － )， a n n (n ＋1) 2 1 则 1 ＝ ， 2 n (n ＋1) ＝ n n -1 n a ＝a ₁＋(a ₂－a ₁)＋(a ₃－a ₂)＋…＋(a －a )＝1＋2＋3＋…＋n 解析：由 a ₁＝1，且 a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)得， 2012 2013 2013 2 2 3 a 2012 a ₁ a ₂ a ₃ n n ＋1 1 1 4024 1 ＝2( － )，∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ ． a n n (n ＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ∴ 1 ＝ ， 2＝ 2 ，故 a n ＝a ₁＋ 2 (n ＋2)(n －1) n (n ＋1) (n ＋2)(n －1) 累加得到 a n －a ₁＝2＋3＋4＋…＋n ＝ 解析：令 m ＝1，则有 a n +1＝a ₁＋a n ＋n ，即 a n +1－a n ＝n ＋1，所以 a ₂－a ₁＝2，a ₃－a ₂＝3，a 4－a ₃＝4，……，a n －a n -1＝n ， d )．2 n －2 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝p ＋(n －1)(q －p ＋ 2 d )＝p ＋(n －1)(q －p ＋ d ) (n ≥2)． 2 n －2 n －2 2 ∴ a n ＝a ₁＋(n －1)(q －p ＋ n －2 ＝(n －1)(q －p ＋ d )2 n －2 ＝(n －1)(q －p )＋ ×(n －1)d解析：原式可化为(a n +2－a n +1)－(a n +1－a n )＝d ． 令 b n ＝a n +1－a n ，则 b n +1－b n ＝d ，所以数列{bn }是以 b ₁＝a ₂－a ₁＝q －p 为首项，以 d 为公差的等差数列．∴ b n ＝b ₁＋(n －1)d ＝q －p ＋(n －1)d ．即 a n +1－a n ＝q －p ＋(n －1)d ．于是有 a n －a ₁＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ₂－a ₁)5 (n ＋2 n n ＋1 ∴ a ＝a ₁× ＝ 2n n －1 n －2 2 4 3 n ＋1 n ＋1 n n －1 ＝ × × ×…× 3 × 2 ＝． a ₂ ×a a n a n -1 a n -2×… a ₁＝a n -1×a n -2×a n -于是有 a n ， n 1 ＝n ＋1＋ n a n -解析：原式可化为 a n ＝110. ◇在数列{a n }与{b n }中，a ₁＝1，b ₁＝4，数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 nS n +1－(n ＋3)S n ＝0，2a n +1 为 b n 与 b n +1的等比中项，n ∈N *．⑴ 求 a ₂, b ₂的值；⑵ 求数列{a n }与{b n }的通项公式．＝ 2×3n ． 2 (n ＋1)n (n ＋1)n 1 ＝3n× (n ＋1)n 1∴ a n ＝a ₁×3n -× ． 2 1 (n ＋1)n (n ＋1)n 3n -1× 2×1＝3n -1× ＝ 1 2 × 5 × 4 3 × 3 … n －1 n －2 n －3 n －4 n ＋1 n n －1 n －2 × × × × × 3 ＝ 1a ₂ ×a ₁a n a n a n -1 a n -2×… 1 n ＋2 n n ＋2 a n ＝ 3n ＝ 3 × ，于是有 a ₁＝a n -1×a n -2×a n -解析：原式可化为 a n +1 ．2 ＝ 6 － 6 (n ＋2)(n ＋1)n (n ＋1)n (n －1) (n ＋1)n 则当 n ≥2 时，a n ＝S n －S n -1＝ ， 6．于是有 S n -1＝ 6 ＝ 6 (n ＋1)n (n －1) (n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋1)n ∴ S n ＝S ₁× ． 6 ＝ 3×2×1(n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋1)n ＝ n －1 n －2 n －3 n －46 5 4 n ＋2 n ＋1 n n －1 ＝ × × × ×…× 3 × 2 × 1 S ₃ S ₂ S ₁S n -1 S n -2 S n -S ₁ S ₃ S ₂ S 4 S n S n -1 S n -于是有 S n ＝ × × ×…× × × ．n ＋3 n n +1 S n ＝ n n +1 S ⑵ 由原式可得 nS ＝(n ＋3)S ，∴ ＝9． b ₁ (2a ₂)＝ ∵ 2a ₂为 b ₁与 b ₂的等比中项，∴ b ₂解析：⑴ 令 n ＝1 可得 S ₂＝4S ₁＝4，∴ a ₂＝S ₂－a ₁＝3． /* 令 n ＝2 可得 2S ₃＝5S ₂＝20，∴ S ₃＝10，a ₃＝S ₃－S ₂＝6．*/综上，恒有 b n ＝(n ＋1)²．＝(2n ＋1)²． (2n ＋2)² ＝ b 2n +1 [(2n ＋1)(2n ＋2)]² [(2n ＋1)(2n ＋2)]² 再由①式可得：b 2n ＝ ∴ b 2n +1＝b ₁×(n ＋1)²＝(2n ＋2)²＝[(2n ＋1)＋1]²． b 2n +1＝(n ＋得： b ₁以上各式连乘可 )²． 2n b 2n -6 b 5 b ₁ 2 b ₃ 4 b n n ＋1 2n ＋2 b 2n +1 8 b 7 6 b 5 b ₃ n ＋3 两式相除得 b n +2＝( )²，于是有 ＝( )²， ＝( )²， ＝( )²，……， ＝由已知 b n ·b n +1＝(2a n +1)²＝[(n ＋1)(n ＋2)]²，①则 b ·b ＝[(n ＋2)(n ＋3)]²，② ．2 (n ＋1)n 经检验当 n ＝1 时也符合上式，∴ a n ＝。