上海版矩阵与行列式基础练习题分析

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2020届上海(沪教版)高考考典——第8章-矩阵和行列式初步教师版

第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ；（4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算：（1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式：（1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解；（2）13m =-或方程组无解；（3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值；（2）按照第一行展开；（3）按照第一列展开．【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解．以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】（A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例．（B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例．（C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（）【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为（）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案：二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。

最新(沪教版高二上)数学：第九章矩阵和行列式初步(章综合)

4 A m n E n E m A m n A ;
n阶方阵的幂:
若A是 n阶矩阵，定义Ak为A的k次幂,k为正整数，
即 Ak AAA 。规定A0 E
k个
易证 AkAl Akl, Ak l Ak.l k,l为正整数
转置矩阵: 把 mn 矩阵 A 的行与列依次互换得到另
一个 nm矩阵，称为 A 的转置矩阵，记作A T
1 a n1
0
4. 利用定义证明某一矩阵 B为矩阵 A的逆阵
分析：这类问A 题与中 B是矩已阵知的，只需
ABE或BAE，从而B 证明 A1.
例7 设Ak0(k为正)整，数证明
( E A ) 1 E A A 2 A k 1 .
证: 因为(E A )E ( A A 2 A k 1 )
α (α T α )α ( T α ) (α T α )α T
(α T α )n 1αT α 2 n 1A .
因为 A 1 01011 0
0 1 0 0,
1
1 0 1
所以
1 0 1 An 2n10 0 0.
1 0 1
注：对一般的 n阶方阵 A，我们常常用归纳的方
法求 An .
0 1 0
例2
设 A ， B 均n阶为方A 阵 2A ，， B 2B 且，
(AB)2AB. 证A 明 B B ： A 0. 三. 求解矩阵方(2程 6分）
0 1 0 1 0 0 1 4 3 1 0 0X0 0 12 0 1. 0 0 1 0 1 0 1 2 0
自测题答案
一. 1) 3, 1/3, 9, 3 7 , -1/3; 2) 4;
长的时间隧道，袅
二上)数学：第九章矩阵和行列式初步

上海版矩阵与行列式基础练习题

上海版矩阵与行列式基础练习题换的方法求解:⑴32110250x y x y --=⎧⎨+-=⎩； ⑵111612102113x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4、已知函数f(x)=x a x +1111111 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的最小值。

5、计算D=a a aaa -----1101101的值6. 用行列式解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=+-0162032y x y x ；（2）⎩⎨⎧=+=++5lg 4lg 301lg 5lg 2y x x y ．7. 若关于x 、y 、z 的方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++m z x mz m y x z y x 212有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯一解．8. 解关于x 、y 、z 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++31z y x a z ay x az y x ，并讨论解的情况．1． (上海 3) 若行列式417 5 x x 38 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是______ 2．（2010年高考上海市理科4）行列式的值是。

3．（2010年上海市春季高考11) 方程的解集为。

4.(2011·上海)行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．5．(2012年高考上海卷理科3)函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .6．【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于____ _______．7．【上海市松江区2013届高三上学期期末文】若行列式,021421=-x 则=x ．计数原理(20131220)作业[1]10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？[2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数c+=2axbxy+的系数a，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？[3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？[4]4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？[5]某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？[6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？7．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？8.在7名运动员中选出4人组成接力队，参加4×10 0米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？9．有5双不同型号的皮鞋，从中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同型号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同型号的取法有多少种？10.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？11.4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？12.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人.（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？矩阵与行列式(20131220)课后作业答案本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）班级：姓名：一、填空选择题：（每题3分，共36分）1、已知46xAy⎛⎫= ⎪⎝⎭，13uBv⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B=，那么A+AB=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36302026 。

上海市华东师范大学第二附属中学实验班用高三数学习题详解第十章矩阵与行列式初步含解析

第十章矩阵与行列式初步10.1 矩阵的定义及其运算1．设矩阵121052312432563241⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭，，，A B C 求（1）+A B ，（2）()++A B C ，（3）2-+A B C ，（4）32-B A ．解：（1）225588⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（2）7487129⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（3）10671106⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（4）1401016-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭．2．设矩阵24241236-⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭，A B ，求AB 和BA ．解：242416322424001236816361200----⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⋅==⋅=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬------⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭，AB BA ． 3．求下列矩阵的乘积：（1）()317156425⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭．（2）212103032141⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭．（3）301601054234215321⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭．解：（1）{}3736．（2）72164⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（3）2124222324291311⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 4．设矩阵215031400306760213221215624--⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪---⎩⎭⎩⎭⎩⎭，，A B C ．求（1）()2-A B C ．（2）3+A BC ．解：（1）30335422557383618-⎧⎫⎪⎪--⎨⎬⎪⎪-⎩⎭．（2）188104913634314-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭． 5．在一次校运会中，高二年级的三个夺冠热门班级获得前六名的项目数如表1所示，而每一种名次可获得如表2所示相应的积分．表1 名次第一名第二名第三名第四名第五名第六名 A 班 5 2 3 4 5 3 B 班187212如果现在要求按前6名的得分统计各个班的团体总分，进而决定各班在年级中的名次，那么，哪个班级最终获胜了呢？（要求用矩阵运算）解：()10645224535012121210399321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭A S ；()106418721210482862292321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭B S ；()10646124366068126698321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭C S ；所以A 班最终获胜了． 6．设矩阵1001⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭A ，⎧⎫=⎨⎬⎩⎭x B y ，求AB ；并说出矩阵A 对矩阵B 产生了怎样的变换？解：⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭x AB y ，产生了一个镜像变换，类似于直角坐标系中关于X 轴对称．10.2 矩阵变换求解线性方程组1．写出方程123123121232152232353-+=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩x x x x x x x x x x x 的系数矩阵和增广矩阵．解：系数矩阵112151203315-⎧⎫⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪-⎩⎭，增广矩阵1121151220323153-⎧⎫⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪-⎩⎭． 2．对下列方阵施以初等变换，使之成为单位方阵：（1）113327133-⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭，（2）321111111⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪--⎩⎭解：（1）()122113113113327101101133133110----⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪-−−−−−−−−→−−−−−−→−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎩⎭⎩⎭⎩⎭第一行加到第三行第三行乘以第一行乘以加到第二行第三行加到第一行第三行不变第二行不变第二行不变 ()()()211203001001101101100110110110---⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭三一第二行乘以加到第一行第一行乘以加到第二行第一行乘以加到第行第三行不变第三行不变第行不变001100100010010001⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭交换第一行和第二行交换第二行和第三行（2）()()()21115112321321321111111110111001001---⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪-−−−−−−−−→-−−−−−−−−→-−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎩⎭⎩⎭⎩⎭三第二行乘以加到第一行第一行乘以第二行乘以加到第三行第行乘以加到第一行第三行乘以加到第二行第三行不变第三行乘以 ()()11100100110010001001--⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪−−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎩⎭第二行乘以加到第二行第二行乘以第三行不变3．把矩形23822122121314A -⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭化为行最简形矩阵．解：10322201330000⎧⎫⎪⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭．4．用矩形的初等变换解下列线性方程组：（1）1212323312234115x x x x x x x +=-⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩．（2）12312312321352752x x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=-⎨⎪-++=⎩．（3）1212123232328233x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎨⎪++=⎩．（4）12312312322313250x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--+=⎩．解：（1）8757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．（2）无解．（3）212x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．（4）503x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．5．线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是__________．解：201112000112--⎧⎪⎨⎪⎩． 6．设A 是一个n n ⨯的矩阵()11*k k A AA A A k +⎧=⎪⎨=⋅∈⎪⎩N ．若1101A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求：（1）2A ，3A ．（2）猜测()*n A n ∈N ，并用数学归纳法证明．解：（1）223111213010101A A ⎧⎫⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，．（2）()*101n n A n N ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭．10.3 二阶行列式与二元线性方程组1．计算下列二阶行列式的值：（1）35571--．（2）sin cos cos sin αααα--．解：（1）()3553535071-=---=-．（2）22sin cos sin cos cos 2cos sin ααααααα-=-+=-．2．用二阶行列式求解方程组12123234x x x x +=⎧⎨-=-⎩．解：1131135510234324x y D D D ==-==-==-----，，； 1212y xD D x x D D ====，，所以方程组的解为1212x x =⎧⎨=⎩． 3．设a ∈R ，若方程组()()120320a x y x a y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩除00x y ==，外，还有其他解，求a 的值．解：120432a a-=⇒-或1-．4．已知方程组()()()11232a x ay a a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩R ，恰有一解，求x y +的最小值，并求此时a 的范围．解：()()()1132323a aD a a a a a a -==-+-+=-++， 1113,42322x y a a D a D a a a -==-==-++． 3433a a x y --==--，． ()()()()7203341341343332743aa a a x y a a a a a -⎧<⎪⎪--⎪+=+=-+-=⎨⎪-⎪>⎪⎩≤≤．x y +的最小值为13，此时a 的范围是34a ≤≤．10.4 三阶行列式1．用对角线法计算下列行列式：（1）623251469----．（2）a cb ba c cba．解：（1）182．（2）3333a b c abc ++-． 2．利用行列式解下列方程组：（1）()()415332x y y y z z⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩．（2）25314510x y x z y z +=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩．（3）123123123323154329547x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩．解：（1）1524513x k y k z k ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．（2）000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．（3）435215325x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．3．利用行列式性质，化简并计算下列行列式：（1）682152056341---．（2）111a b cbc a c a b+++．（3）215326121236132623--解：（1）()()6821520566083026060480341--=-⋅-⋅-+⋅+=-．（2）()()()()2211110111ab cbc a c a bb c a a b c ab b ac c a b c b c c b ca b a b cca b++++=-++=+---+++-=+++．（3）2153261212411115311272363942336649108132623-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅---⋅--+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-．4．展开行列式，证明下列行列式的值为零：（1）000ma nab c nb c m ---．（2）254123131352323143--+．解：（1）000000ma nabcnb c cnb ma nab mnabc mnabc cc mc m ---=+=+=---．（2）()()2541231313522756411727370323143--+=⋅-⋅-+⋅---⋅+⋅=．5．用行列式性质证明：（1）111111*********2222b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++（2）()()()222111a a bb a b bc c a cc =---．证明：（1）11111111111111111222222222222222222222b c c a a b b c a b a b b ca ab bc c a a b b c a b a b b c a a b b c c a a b b c a b a b b c a a b ++++-++++++=+-+=++++++-+++111111111111111122222222222222222232a b c a b a b c b a b b c a b ca b c a b a b c b a b b c a b c a b c a b a b c b a b b c a b c ++++=-++=-+=+=++++．（2）()()()()()()()222222222111a ab b bc b c a c b a c b b c bc ab ac a a b b c c a c c =---+-=--++-=---．6．[]0πθ∈，，且1cos sin 0cos sin 01sin cos θθθθθθ-=，，则θ=__________．解：1cos sin π00cos sin 12sin cos 1sin 241sin cos θθθθθθθθθθ=-=-=-⇒=，．7．设行列式111222333a b c D a b c a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（）． A ．D -B ．DC ．2D D ．2D - 解：111111111111111112222222222222222233333333333333333223232232322323c b c a b c c b a b c c b a a b c c b c a b c c b a b c c b a a b c D c b c a b c c b a b c c b a a b c ++++++++=++==--=-+++++，选Ａ．8．如行列式111213212223313233a a a a a a D a a a =，则313233212223111213333222a a a a a a a a a =---（）．A ．6D -B ．6DC ．4D D ．4D -解：313233313233111213212223212223212223111213111213313233333222666a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a =-==---，选B ． 9．一位同学对三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（其中()123i i i a b c i =，，，，不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：结论1：当0D =，且0x y z D D D ===时，方程组有无穷个解；结论2：当0D =，且x y z D D D ，，都不为零时，方程组有无穷个解；结论3：当0D =，且0x y z D D D ===时，方程组无解．但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（）．（1）230231232x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）2020240x y x y z x y +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩；（3）212032x y x y z x y z +=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩．A ．（1）（2）（3）B ．（1）（3）（2）C ．（2）（1）（3）D ．（3）（2）（1）解：带入逐一检验即可，选B ．10．在ABC △中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2a c ==，且sin sin 0020cos 01C B b c A -=，求ABC △的面积．解：sin sin 0002sin sin 2cos cos 01C B b c b C B c A A =-=-， ()1π2sin sin 2sin sin cos 0cos 23R C B C B A A A -=⇒==，，2221cos 422b c a A b bc +-==⇒=，1sin 2ABC S bc A ==△10.5 三阶行列的展开与三元齐次线性方程组1．利用代数余子式展开下列三阶行列式并求值，并用对角线法验算：（1）122451314-．（2）584345463---．解：（1）()12245112121321921263843314=⋅-⋅+⋅-=--=--．（2）()()()584345512308920418162102328450463--=⋅---⋅+-⋅-=---=--． 2．利用行列式按行或按列展开式计算三阶行列式：104014131D =．解：1041201014145493113131=⋅+⋅=--=-． 3．计算下列行列式：（1）837504922---．（2）152552515552515---．（3）64227828362035135-．解：（1）()837504883467104922-=⋅-⋅-⋅-=---．（2）()()()1525525155152251252537525562575200052515--=⋅++⋅--+⋅-=--．（3）6422782836226802035135-=-．4．解下列齐次线性方程组：（1）023204540x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．（2）202020x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．（3）670510504370x y z x y z x y z --=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩．解：（1）0x k y z k =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．（2）000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．（3）x k y k z k =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．5．已知1023142x x 的代数余子式120A =，则代数余子式21A =__________．解：12211023124022442x A x x A x x =--=⇒==-=-，．6．1010411a a 大于零的充要条件为__________．解：()()210101011411a a a a =->∈-∞-+∞，，，∪． 7．问λμ，取何值时，齐次线性方程组1231231220020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解：111101121λμλμ=⇒=或0μ=．9．()2*4n n n ∈N ，≥个正数排成一个n 行n 列的矩阵111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭，其中()11ik a i n k n ，≤≤≤≤表示该数阵中位于第i 行第k 列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且2134820a a ==，．（1）求11a 和ik a ．（2）计算行列式11122122a a a a 和im ik jm jka a a a ．（3）设()()112132...n n n n n A a a a a --=++++，证明：当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除．解：（1）()211122212i i ik k a a a k --===+．（2）1112212223046a a a a ==． ()()()()1111121212120im iki j i j jm jk a a m k k m a a ----=++-++=；（3）()()()()2123......12122221221222n n n n A n n n A n n n -=++⋅+-⋅++⋅=+⋅+⋅+-⋅++⋅，．两式相减，得()()323321n n n n A n A n =⋅-++=-，．当*3n m m =∈N ，时，()381m n A n +=-． ①1m =时，()38121n -=显然能被21整除； ②假设m k =时，()381k -能被21整除，结论也成立．由①、②可知，当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除．。

沪教版(上海)高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步本章复习题

沪教版（上海）高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步本章复习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．二元一次方程组35,27x y x y +=⎧⎨-+=⎩的增广矩阵是___________． 2．方程3223x x x =-的实数解是________．3．若ABC 的三个顶点坐标为(1,3),(1,2),(3,7)A B C -，其面积为________． 4．设5x π=，计算：cos2sin 2sin3cos3x xx x =________．5．若关于,x y 的二元一次方程组420x my m mx y m +=-⎧⎨++=⎩有无穷多组解，则m =______． 6．将122313122313a b a b a b b a b a b a ++---表示成一个三阶行列式为________． 7．函数2211sin cos y x x=的最大值是_________． 8．计算：222111x yz x y z =__________．二、双空题9．若121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，(111)B =-，410C a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()168b AB C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则a =______，b =______． 10．已知矩阵0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵23B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量23⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵A 变换为向量AB =_______，变换后的向量与原向量关于直线__________对称．三、单选题11．三阶行列式的两行成比例的是这个行列式的值为零的（）A ．充分条件B ．充要条件C ．必要条件D ．非充分非必要条件12．若31110101x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是（）． A ．1 B ．1- C ．13- D ．1313．已知1110D a b c k de f ==≠，则222222a b c d e f =（）． A ．2k B ．4k C ．8k D ．64k14．已知,,A B C 是33⨯阶矩阵，m R ∈，则下列结论中错误的是（）．A ．ABC C B A ++=++B ．ABC CBA = C ．mA A m =⋅D ．()m A B mA mB +=+四、解答题 15．已知矩阵3210A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2530B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，120123C ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，计算：（1）2A B -；（2）AB ；（3）AC ．16．关于,x y 的二元一次方程组2,231x ay x y a +=⎧⎨-=+⎩有唯一一组正解，求实数a 的取值范围．17．用矩阵变换的方法解方程组：1240233x y z x y z x y z ++=⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩.18．已知矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，定义其转置矩阵112111222212n n n nnn a a a a a a A a a a '⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．若123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，写出A 的转置矩阵A '，并求行列式||A 与A '．说明两者有什么关系．19．已知()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ．求证：,,A B C 三点共线的充要条件是11 22 33110 1x yx yx y．参考答案1．315127⎛⎫ ⎪-⎝⎭【分析】利用增广矩阵的定义求解.【详解】由增广矩阵的定义得：二元一次方程组35,27x y x y +=⎧⎨-+=⎩的增广矩阵是315127⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故答案为：315127⎛⎫ ⎪-⎝⎭【点睛】本题主要考查增广矩阵，属于基础题.2．1-或6【分析】根据二阶行列式的计算得出关于x 的二次方程，由此可得出实数x 的值.【详解】()233636223x x x x x x x =--=--=-，即2560x x --=，解得1x =-或6. 因此，方程3223x x x =-的实数解是1-或6.故答案为：1-或6.【点睛】本题考查二阶行列式的计算，同时也考查了一元二次方程的求解，考查计算能力，属于基础题.3．6【分析】先求出三角形的三条边长，再由余弦定理求出三角形的一个内角的余弦值，进一步求出正弦值，由三角形的面积公式可得答案.【详解】由(1,3),(1,2),(3,7)A B C -则AB ==AC ==BC ==所以222cos2AB AC BCA AB AC +-===⋅则sin A ===所以11sin 622ABC S AB AC A =⋅⋅== 故答案为：6【点睛】本题考查两点间的距离公式，余弦定理求角，同角关系和求三角形的面积公式，属于基础题. 4．1- 【分析】根据公式化简整理即可.【详解】解：cos 2sin 2cos 2cos3sin 2sin3cos5cos 1sin3cos3x x x x x x x x x π=-===-，故答案为：1-.【点睛】考查行列式的运算；基础题.5．2-【分析】根据两直线重合的条件，求得m 的【详解】依题意二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由41m m ⨯=⨯解得2m =或2m =-.当2m =时，二元一次方程组为42020220220x y x y x y x y +=+=⎧⎧⇒⎨⎨++=++=⎩⎩，两直线不重合，故2m =不符合题意.当2m =-时，二元一次方程组为4240220220220x y x y x y x y -+=-+=⎧⎧⇒⎨⎨-+-=-+=⎩⎩，两直线重合，符合题意.综上所述，m 的值为2-.故答案为：2-【点睛】本小题主要考查二元一次方程组有无穷多组解的条件，属于基础题.6．112233111a b a b a b - 【分析】根据三阶行列式的计算公式，求得其三阶行列式.【详解】依题意，122313122313a b a b a b b a b a b a ++---()()231213231312111111a b a b b a b a a b b a ⨯+-=⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯-112233111a b a b a b =-. 故答案为：112233111a b a b a b - 【点睛】本小题主要考查三阶行列式的计算，属于基础题.7．1【分析】根据行列式的运算性质和三角函数的恒等变换，化简得22cos sin cos 2y x x x =-=，结合余弦函数的性质，即可求解【详解】根据行列式的运算性质，可得222211=cos sin cos 2sin cos y x x x x x =-=又由[]cos21,1x ∈-，所以函数的最大值为1.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合余弦函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．()()()z y y x z x ---【分析】根据三阶行列式的计算方法，计算出所求结果.【详解】原式222222111111y z z x x y z y x z y x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ()()()222yz z y x z y x z y =-+---()()()()2yz z y x z y x z y z y =-+--+-()()2z y yz x xz xy =-+--()()()z y y x z x =---故答案为：()()()z y y x z x ---【点睛】本小题主要考查三阶行列式的计算，属于基础题.9．6 8【分析】利用矩阵与矩阵的乘法原则进行，先计算111222111AB -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，再计算14()28214a a B C a A -⎛⎫ ⎪== ⎝-⎭-⎪⎪与已知比较得解.【详解】121A ⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭，(111)B =-,410C a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11112(111)2221111AB -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2821111414()222111410a a B a a A C --⎛⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪∴-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭又()168b AB C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1428216148a b a a -=⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，6{8a b =∴= 故答案为：6；8【点睛】本题考查矩阵与矩阵的乘法.矩阵与矩阵的乘法运算规则(1) 行数与（左矩阵）相同，列数与（右矩阵）相同，相乘才有意义(2)ij C 由A 的第i 行元素与B 的第j 列元素对应相乘，再取乘积之和10．32⎛⎫ ⎪⎝⎭y x = 【分析】根据a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可求解,由几何意义可知对称情况. 【详解】根据矩阵对向量的变换可得201103⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭021*******⨯+⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⨯+⨯⎝⎭⎝⎭,它的几何意义是向量23⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵A 变换得到的向量与原向量关于y x =对称.故答案为：32⎛⎫ ⎪⎝⎭；y x =. 【点睛】本题考查矩阵与向量乘法的运算及其意义，考查计算能力，属于基础题.11．A【分析】分别判断充分性和必要性，判断得到答案.【详解】三阶行列式的两行成比例，通过线性变换可以让某一行全为0，则行列式的值为零，充分性；三阶行列式的值为零，行列式的两行不一定成比例，比如：111121141，非必要.故选：A【点睛】本题考查了充分非必要条件，意在考查学生的推断能力.12．D【分析】由矩阵的乘法运算法则先求出3101x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由矩阵相等求出x 的值.【详解】 3111112113110101010101010101x x x x x x x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以31x =，得13x =故选：D【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和根据矩阵相等求参数，属于基础题.13．B【分析】利用行列式的计算规则进行求解，先化简111D ab c d e f =，再化简222222a bc d e f，可得结果. 【详解】因为1110D ab c k def==≠，所以111b c a c a b k bf ec af cd ae bd efdfde=⨯+⨯+⨯=-+-+-；所以222222a bc de f =222222222b c ac a b e f dfde⨯+⨯+⨯()()()4444bf ec af cd ae bd k =-+-+-=，故选：B. 【点睛】本题主要考查行列式的计算，明确行列式的计算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 14．B 【分析】根据矩阵的运算规则，矩阵满足加法交换律，数乘矩阵交换律、分配律，不满足矩阵乘法的交换律，即可选出答案. 【详解】根据矩阵的运算规则，矩阵满足加法交换律，A 正确；数乘矩阵交换律、分配律，故CD 正确；不满足矩阵乘法的交换律，故B 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了矩阵的运算规则，属于容易题.15．（1）18250A B --⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （2）01525AB ⎛⎫= ⎪--⎝⎭（3）1106120AC -⎛⎫= ⎪--⎝⎭ 【分析】（1）根据矩阵加减运算法则求解；（2）根据矩阵乘法运算法则求解；（3）根据矩阵乘法运算法则求解. 【详解】（1）32253210182103010605042A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝=⎭⎭；（2）3225322(3)35200151030120(3)150025AB ；（3）32120312(1)3222302(3)=10123(1)10(1)(1)202(1)00(3)AC ⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪----⨯+⨯--⨯+⨯-⨯+⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1106120-⎛⎫= ⎪--⎝⎭【点睛】本题考查矩阵加减运算以及乘法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.16．1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】对a 进行分类讨论，当12a =-时，该二元一次方程组明显无解，当12a ≠-时，利用行列式可求得，232213321a a x a ay a ⎧++=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，然后，利用0,0x y >>，可得23202133021a a a a a ⎧++>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩然后，求解该不等式组即可求出a 的取值范围. 【详解】11221aa =---当12a =-时，该二元一次方程组明显无解，当12a ≠-时，由已知得，2231x ay x y a +=⎧⎨-=+⎩，利用行列式得到223113212121122313312121a a a a x a a a ay a a ⎧⎪+-++⎪==⎪+⎪-⎪⎨⎪⎪+-==⎪+⎪⎪-⎩，所以232213321a a x a ay a ⎧++=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由于,x y 的二元一次方程组2,231x ay x y a +=⎧⎨-=+⎩有唯一一组正解，故有23202133021a a a a a ⎧++>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，化简得()()221320(21)(1)0a a a a a ⎧+++>⎪⎨+-<⎪⎩，又2320a a ++>，故再次整理不等式组可得，210(21)(1)0a a a +>⎧⎨+-<⎩，解得112a -<<，故实数a 的取值范围为：1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用行列式解二元一次方程组，以及解二元一次不等式方程组的问题，属于中档题.17．10711787x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【分析】写出方程组的增广矩阵，然后通过矩阵变换求方程组的解. 【详解】111111111111511240035101332313013514160033⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭110110100111177511111010100103377888001001001777⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴原方程组的解为10711787x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【点睛】本题考查用矩阵变换的方法解方程组，利用矩阵变换解线性方程组的一般过程为：写出方程组的增广矩阵，通过矩阵变换使系数矩阵变成单位矩阵，则增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解；考查运算求解能力，是基础题.18．111222333a b c A a b c a b c '⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；()()()123322133131221||A a b c b c a bc b c a bc b c =---+-；()()()123322133131221A a b b b c a b c b c a b c b c '=---+-； ||A A '=【分析】根据转置矩阵的定义即可写出A 的转置矩阵A '，根据行列式的公式计算即可得出||A ，A '进而得出关系．【详解】A 的转置矩阵111222333a b c A a b c a b c '⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，231312123231312||b b b b b b A a a a c c c c c c =-+=()()()123322133131221a b c b c a b c b c a b c b c ---+-．()()()221111123123322133131221333322b c b c b c A a a a a b b b c a b c b c a b c b c b c b c b c '=-+=---+-．由上面计算知，||A A '= 【点睛】本题考查根据已知转置矩阵定义求转置矩阵，考查三阶行列式的计算，属于基础题. 19．见解析【分析】根据向量共线的坐标公式以及行列式的运算性质证明即可. 【详解】因为()2121,AB x x y y =--，()3131,AC x x y y =-- 所以,,A B C 三点共线()()()()()213121312323//AB AC x x y y y y x x x y y x ⇔⇔--=--⇔-()()11221111122131132233332233100101x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+-=⇔+-=⇔= 【点睛】本题主要考查了行列式的初步应用以及由坐标解决三点共线问题，属于中档题.。

沪教版(上海)高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4(1)三阶行列式

沪教版（上海）高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4（1）三阶行列式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．用对角线法则计算行列式：00xy zyxzx--． 2．把41032241D -=--按第一行展开． 3．解方程：111130002x x --=.4．计算：cos cos 0cos 0cos 0cos cos αβγβγα---． 5．计算下列行列式的值：（1）102941320-；（2）102101320-；（3）102840320．根据计算结果，并观察行列式，你可以得到怎样更一般的结论？二、双空题6．行列式302647219--中，7的余子式为_______，代数余子式为__________．三、填空题7．把51024132---按第二列展开为____________________． 8．用对角线法则计算行列式：10231245-=-____________．9．把22111133332232x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为____________． 10．已知(1,1),(1,2),(2,4)A B C -，则ABC 的面积为___________．参考答案1．322x xz xy ++ 【分析】直接利用三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()322200()0()00x y zy x x y z z y xz xy x zx-=+⋅⋅-+⋅⋅------⋅-322x xz xy =++．【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 2．3202034(1)0412124⎛⎫⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭【分析】直接根据行列式运算法则计算得到答案. 【详解】4103202030324(1)0412124241-⎛⎫=⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭--．【点睛】本题考查了行列式的展开式，属于简单题. 3．1x =或4x = 【分析】根据三阶行列式的计算方法，先得到21111305402x x x x--=-+-，再解一元二次方程，即可得出结果. 【详解】因为111301013130022002x x x x x x ------=-+22(3)2(3)54x x x x x =-+--=-+-，所以方程111130002x x--=可化为2540x x -+-=，即2540x x -+=，解得：1x =或4x =. 【点睛】本题主要考查解三阶行列式对应的方程，熟记三阶行列式的计算方法即可，属于基础题型. 4．0 【分析】直接根据三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()()cos cos 0cos 0cos cos 0cos cos 0cos cos 0cos 0cos cos αβγβααγγββγα-=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅--- ()()()0cos cos cos cos cos cos 0βγααγβ--⋅⋅--⋅-⋅-=.【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 5．（1）14 （2）6 （3）8；结论见详解；【分析】根据三阶行列式的计算方法，分别计算这三个行列式，再根据计算结果进行合情推理，即可得出结论. 【详解】（1）()102419194941102202181214203032320---=⨯-⨯+⨯=-+-=；（2）1020111101011022022620303232---=⨯-⨯+⨯=-+⨯=；（3）()10240808484010200216128203032320=⨯-⨯+⨯=-+⨯-=；由计算结果可得：102102102102941101018403203203201803204+++-=-+=-；由此可得一般结论如下：设行列式的某一行（或列）的元素都可以写成两项的和那么这个行列式等于把这些两项和各取一项作为相应的行（或列），其余行（或列）不变的两个行列式的和，即111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+.【点睛】本题主要考查计算三阶行列式，以及数与式的合情推理，属于常考题型. 6．3021- 3021--【分析】根据余子式与代数余子式的概念，直接可得出结果. 【详解】由题意，7的余子式为3021-，因为7处在第2行第3列，所以其代数余子式为：()23303012121+-=---.故答案为：3021-；3021--.【点睛】本题主要考查求行列式的余子式与代数余子式，熟记概念即可，属于基础题型.7．510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--【分析】根据行列式的计算方法，直接展开，即可得出结果. 【详解】把51024132---按第二列展开为： 510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.故答案为：510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.【点睛】本题主要考查三阶行列式的展开，熟记行列式的计算方法即可，属于基础题型. 8．23 【分析】利用行列式的对角线法则直接求解. 【详解】()()()()10203113501220423241150023245-=⨯-⨯-+⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯=-故答案为：23 【点睛】本题主要考查三阶行列式展开式的求法以及行列式的对角线法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．112233312x y x y x y --【分析】直接利用三阶行列式的运算法则计算得到答案. 【详解】11221111223333223333212x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-=--.故答案为：112233312x y x y x y --. 【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 10．72【分析】直接利用行列式计算面积公式计算得到答案. 【详解】111117121242414222241ABCS =-=-+-+-=△. 故答案为：72. 【点睛】本题考查了根据行列式计算三角形面积，属于简单题.。

行列式习题及答案

行列式习题及答案【篇一：上海版教材矩阵与行列式习题(有答案)】lass=txt>姓名成绩一、填空题cos1.行列式?3sincos?6sinac?3bd?6的值是 .2.行列式（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .?2x?0?3.将方程组?3y?z?2写成系数矩阵形式为 .?5x?y?3?4.若由命题a:“2x31-x20”能推出命题b:“x?a”，则a的取值范围是．?a1x?b1y?c15.若方程组?的解为x?1,y?2，则方程组ax?by?c?222?2b1x?5a1y?3c1?0的解为x? ，y? . ?2bx?5ay?3c?022?26.方程2x4x2?0的解集为.?39?2x1 y1x3 y3?4x1 y1x2 y27.把x2 y2x3 y3表示成一个三阶行列式为. 8.若?abc的三个顶点坐标为a(1,?2),b(?2,3),c(?4,?5)，其面积为 .2x9.在函数f?x???x1?x2?1x中x3的系数是 x110.若执行如图1所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?4,x4?8,则输出的数等于111.矩阵的一种运算???ab??x??ax?by??ab??????????,该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下(x,y)????????cd??y??cx?dy??cd??1a???的作用下变换成曲线x?y?1?0，则a?b的b1??变换成点(ax?by,cx?dy)，若曲线x?y?1?0在矩阵??值为 .12.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则m?n二.选择题13.系数行列式d?0是三元一次方程组无解的（） a. 充分非必要条件 b. 必要非充分条件c. 充分必要条件d. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（）. a.abccacbdd??caddbb.abcd?dcbac.a?3cb?3d?acbdd.???a?c?b?d15.若a,b,c表示?abc的三边长，aa2且满足ba?b?ca?b?c?0， a?b?cb2c2c则?abc是（）.a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等腰直角三角形d. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果s?（） a．20 b. 35 c. 40 d .45 2图2三、解答题：1?|x|?5?1??mx?217. 已知p：矩阵?|x|?1的某个列向量的模不小于，行列式q：2?01?余子式的值不小于2.若p是q成立的充分条件，求实数m的取值范围. ．．．．18.已知等比数列{an}的首项a1?1，公比为q，（1）求二阶行列式?10?24?3中元素?1的代数1a1a2a3a4的值；（2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组??a1x?a3y?3何时无解，何时有无穷多解？?a2x?a4y??2119.已知函数f(x)?0sinxsinx0xsinx0的定义域为?0,2m???，最大值为4.试求函数g(x)?msinx?2cosx?2??（x?r）的最小正周期和最值．320. 将等差数列an?2n?1(n?n)中n2个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,划去x1所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列?,将最后剩下元素记为xn,记sn?x1?x2??xn，求lim*n??sn的值。

2020-2021学年上海市高三一模数学汇编-矩阵,行列式汇编--教师版

2020-2021学年一模汇编—矩阵、行列式汇编
一、填空题
【崇明7】若关于的方程组无解，则实数=__________
【参考答案】
【解析】
【虹口3】行列式的值等于．
【答案】1
【解析】考察三角比、行列式。

行列式展开得
【嘉定3】不等式的解为____________．
【答案】
【解析】由可得，所以
【浦东新区10】若等比数列的前项和为，且满足，则数列的
前项和为_________.
【参考答案】
【解析】
【青浦区3】行列式中，元素的代数余子式的值为．
【答案】
【解析】元素的代数余子式的值为
【徐汇区3】不等式的解集为
【参考答案】
【解析】也即，解得.
【杨浦区3】若关于的方程组无解，则实数_____________
【答案】
【解析】由方程组无解可知，
此时，方程组无解。

【长宁区7】若直线的法向量与直线的方向向量垂直，则实
数.
【答案】
【解析】易知直线直线平行，得.
二、选择题
【浦东新区14】若某线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解的个数为
（）
A.0个
B.1个
C.无数个
D.不确定
【参考答案】
【解析】由题目可知，两直线重合，故有无数个交点
【普陀区14】设、均为实数，且，则在以下各项中的可能取值只能是（）
A. B. C. D.
【参考答案】B
【解析】，代入点的坐标可得。

上海版教学材料矩阵和行列式习题[有答案解析]

矩阵、行列式和算法（20131224）姓名成绩一、填空题1.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是 .2.行列式a bc d（,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩写成系数矩阵形式为 .4.若由命题A :“22031xx >-”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值范围是．5.若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为2,1==y x ，则方程组⎩⎨⎧=++=++03520352222111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程212410139xx ≤-的解集为 . 7.把22111133332224x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ∆的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----，其面积为 .9.在函数()21112xf x xx x x-=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 .图211.矩阵的一种运算,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 .12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= 二.选择题13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（）.A.bda c dbc a -= B. a bc d d b c a =C.dcd b c a 33++ dc b a =D.dc ba dbc a -----= 15.若,,a b c 表示ABC ∆的三边长，且满足0222=++++++cb ac c c b a bb cb a a a ，则ABC ∆是（）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果S =（） A ．20 B. 35 C. 40 D .45三、解答题：17. 已知P ：矩阵||51||10x x +⎛⎫⎪+ ⎝的某个列向量的模不小于2，Q ：行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不小于2.若P 是Q 成立的充分条件．．．．，求实数m 的取值范围.18.已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为q ，（1）求二阶行列式4231a a a a 的值；（2）试就q 的不同取值情况，讨论二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+234231y a x a y a x a 何时无解，何时有无穷多解？19.已知函数1sin ()0sin sin 20x x f x x xm =的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为4.试求函数()sin 2cos g x m x x =+（x R ∈）的最小正周期和最值．22213521212325414143456122122321n n n n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎪+++- ⎪ ⎪+++- ⎪⎪ ⎪-+-+-⎝⎭20. 将等差数列21n a n =-*()n N ∈中2n 个项依次排列成下列n 行n 列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为1x ,划去1x 所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素2x ,划去2x 所在的行与列,将最后剩下元素记为n x ,记12n n S x x x =++，求limn →∞322nS n n +的值。

上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编专题行列式与矩阵解析含解析

一．基础题组
1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】三阶行列式0
45sin 2cos 61
0sin ---x
x x ()R x ∈中元素4的代数余子式的值记为()x f ，则函数()x f 的最小值为
2. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m m
m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为___________． 3. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：
122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=
.
4. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】
若行列式124012
x -=，则x = .
5. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】各项都为正数的无穷等比数列{}n a ，满足,,42t a m a ==且⎩⎨⎧==t y m x 是增广矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221103的线性方程组⎩⎨⎧=+=+2
222111211c y a x a c y a x a 的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是 _________.。

(上海版)高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编专题07 行列式与矩阵(解析版)Word版含解析

（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编专
题07.行列式与矩阵理（含解析）
一．基础题组
1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（文）试题】对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)1(log 11
1)(--=x x f a 的反函数)(1x f -的图像经
过的定点的坐标是______________．
2.【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（文科）】将函数cos ()sin x f x x =的图像向左平移m 个单位(0)m >，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________.
3.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（文科）数学】二阶行列式i
i i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）
【解析】
4.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（文科）数学】二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.
5. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(文)试题】关于方程211323x
x =-的解为．
6. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（文）试题】函数()()
sin cos cos 2sin cos sin x x x f x x x x π+-=-的最小正周期T =____________．。