运筹学 第二章对偶理论

运筹学
第六节 灵敏度分析
在利用线性规划理论解决问题时， 在利用线性规划理论解决问题时，一方面纪录的数据 常常不是精确的数据；另一方面， 常常不是精确的数据；另一方面，市场的情况经常可能发 生变化，已经形成的数学模型常常需要改变某些参数. 生变化，已经形成的数学模型常常需要改变某些参数 分析某些参数或者约束条件的变化对解的影响称之为 灵敏度分析问题. 灵敏度分析问题
′ = (c1 , c2 ,... , cm )B −1 N + ((c1 − c1 ), 0,... ,0)B −1 N − c T N
T ′ = ζ N + ((c1 − c1 ), 0,... , 0)B −1 N
′ 同理 z ′ = c T B −1 b + (( c 1 − c 1 ), 0 ,..., 0 )B −1 b . B
最优的单纯形表格为 如果其最优的 如果其最优的单纯形表格为
0 I
c T B −1 N − c T B N
B −1 N
c T B −1b B
Β−1b
c的改变并没有改变可行区域 的改变并没有改变可行区域. 的改变并没有改变可行区域 即原来的最优基本可行解，仍然是新问题的基本可行解 即原来的最优基本可行解，仍然是新问题的基本可行解. 最优基本可行解 理学院 岳瑞锋
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式 ζ′ 公 ： k = ζ k − (c′ − ck ) k
min z = 5 x1 + 21 x3 s.t. x − x + 6 x − x =2 1 2 3 4 例 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, ( j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5)
min z = 5 x1 + 21 x3 s.t. x − x + 6 x − x =2 1 2 3 4 例 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, ( j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5)
中 其 c3 =21→c′ =5 3
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运筹学 其最优单纯形表为： 其最优单纯形表为：
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m cT x in 对于问题： 对于问题： s.t. Ax=b x≥0
灵敏度分析主要包含以下内容： 灵敏度分析主要包含以下内容： ☺约束系数的灵敏度分析; 约束系数的灵敏度分析 ☺增加或者减少约束条件对解的影响; 增加或者减少约束条件对解的影响 ☺增加或者减少决策变量对解的影响; 增加或者减少决策变量对解的影响 ☺价值系数的灵敏度分析; 价值系数的灵敏度分析 ☺右端向量的灵敏度分析. 右端向量的灵敏度分析 理学院 岳瑞锋 本节课的内容
′ 中 其 c2 =0→c2 =1
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运筹学 其最优单纯形表为： 其最优单纯形表为：
′ c2 = 0 →c2 = 1
x1
z
x2
1 − 2 1 − 2
x3
0
x4
11 − 4
x5 RHS
9 − 4 31 4
0
x3
0
1
0
x1
1
2
1 − 4 1 2
1 4 3 − 2
1 4 1 2
如果c2从0变为 ，因为x2为非基变量，只需将此表的第0行 如果 变为1，因为 为非基变量，只需将此表的第 行 变为 列变为-1/2-（1-0）=-3/2即得到新问题的单纯形表： 即得到新问题的单纯形表： 第2列变为 列变为 （ ） 即得到新问题的单纯形表 理学院 岳瑞锋
4. 基变量对应的检验数向量：0 基变量对应的检验数向量：
B −1 b 5. 在基本可行解 x = 处的目标函数值： 处的目标函数值： z = cT B−1b B 0
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运筹学 1、改变价值向量c 、改变价值向量
m cT x in 对于问题： 对于问题： s.t. Ax=b x≥0
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情形2： 变化， 情形 ： 仅ck变化，且xk是基变量 T ′ ′ ζ NT = ζ N + ((c1 − c1 ), 0,... , 0)B −1 N
′ z ′ = c T B −1 b + (( c 1 − c 1 ), 0,..., 0 )B −1 b . B
0 I
c T B −1 N − c T B N
1 4 3 − 2
0
31 4
1 4 1 2
x3
x1
0
1
1
0
6 1 T 此时B = (A 3 , A1 ) = ,c B = ( 21,5) 2 1 − 3 / 4 T −1 −1 所以B b′ = ,cB B b′ = −13 / 4 5/ 2
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1 − 4 1 2
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0 I
c T B −1 N − c T B N
B −1 N
c T B −1b B
Β− 1 b
所以新问题的单纯形表格，只要将上述表格的第 行做相应 所以新问题的单纯形表格，只要将上述表格的第0行做相应 的改变即可，公式为： 的改变即可，公式为：
′ ζ N = c′ B N − c′
T B −1
c′ , ck为 k的 旧 值 数ζ k ,ζ k为 k的 旧 验 x 新 价 系 , ′ x 新 检 数 k
′ 则 ζ k = cB B Ak − c′ k
T −1
= c T B −1 Ak − ck + ck c ′ − k B = ζk − (c′ − ck ) k
即原来的检验数减去价值系数的增量. 原来的检验数减去价值系数的增量 理学院 岳瑞锋
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x1
z
0
x2
15 2
x3
0
x4
5 4
1 − 4 1 2
x5 RHS
25 − 4
1 4 3 − 2
15 4
1 4 1 2
x3
0
1 − 2
2
1
0
x1
1
此时检验向量有正分量，需重新迭代，求解新问题 此时检验向量有正分量，需重新迭代，求解新问题.
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2、改变右端向量b 、改变右端向量
已知最优的单纯形表格为： 已知最优的单纯形表格为： 优的单纯形表格为
0 I
c T B −1 N − c T B N
c T B −1 b B
B −1 N
Β− 1 b
仅仅将b 改变为 ’ ，表示只有最右一列改变，所以新问 仅仅将 改变为b 表示只有最右一列改变， 题的单纯形表格变为： 题的单纯形表格变为：
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x1
z
x2
1 − 2 1 − 2
x3
0
x4
11 − 4
x5 RHS
9 − 4 13 − 4
0
检验向量（即对偶的可行解）小于等于零 检验向量（即对偶的可行解）小于等于零. 利用对偶单纯法继续旋转. 利用对偶单纯法继续旋转
1 3 − 1 x3 0 4 4 5 3 0 x1 1 − 2 2 2 5 3 x = ( ,0,− ,0,0 )T 此表对应新问题的一个基本但不可行解 2 4
c T B −1b B
B −1 N
Β− 1 b
以上公式如何在表格上进行？ 以上公式如何在表格上进行？ 1. 用检验数增量乘以 k所在的行，加到第 行上 用检验数增量乘以x 所在的行，加到第0行上 行上. 2. 再将 k所对应的检验数改为 再将x 所对应的检验数改为0.
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xk行× c′ − ck） 到 0行 并 ζk = 0 （k 加 第 , 令 ′
0 I
c T B −1 N − c T B N
B −1 N
c T B −1 b ′ B
Β−1b’
仍然非负，则最优解没有改变； 如果Β−1b’仍然非负，则最优解没有改变；
问题：如果Β−1b’出现负值，如何计算？ 出现负值，如何计算？
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min z = 5 x1 + 21 x3 s.t. x − x + 6 x − x =2 1 2 3 4 例 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, ( j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5)
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情形2： 变化， 情形 ： 仅ck变化，且xk是基变量
不妨假定仅c 改变，且基变量为x 不妨假定仅 1改变，且基变量为 1，…，xm.
′ ′ ζ NT = c′T B −1 N − c T = (c1 , c2 ,..., cm )B −1 N − c T N B N
′ = (c1 + (c1 − c1 ), c2 ,... , cm )B −1 N − c T N
运筹学 回顾几个公式： 回顾几个公式：
T ζ T = c B B −1 A − c T 1. 检验数向量表达式： 检验数向量表达式：
2. 单个检验数公式： ζ 单个检验数公式：
j
= c B Aj − c j = c Aj − c j
T B T B
T T −1 T
−1
ζ 3. 非基变量对应的检验数向量： N = c B B N − c N 非基变量对应的检验数向量：
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情形1： 变化， 是非基变量； 情形 ：仅ck变化，且xk是非基变量；
检验数公式： 检验数公式：
ζ j = c B Aj − c j = c Aj − c j
T B −1 T B
目标函数值： 目标函数值： z = cT B−1b B 显然， 发生了变化， 显然，只有ζ k 发生了变化， 设